A differenciálszámt

ás alapjaiKészítette : Scharle

Miklósné

Függvényelemzési szempontok

• értelmezési tartomány

• értékkészlet

• zérushelyek

• korlátosság

• monoton növekedés és fogyás

• szélsőértékek

• paritás

• folytonosság

• konvexitás és konkávitás (ez új lesz)

Függvényvizsgálat érintővel

• A függvények vizsgálatát megtanuljuk a görbéhez húzott érintő segítségével elvégezni.

• Az érintővel letapogatjuk a görbét.

• Az érintő meredeksége sok információt hordoz a fv. menetéről.

Mi az érintő?

Olyan egyenes, aminek 1 közös pontja van a görbével?

Nem. Lehet több közös pontja is.

Az érintő olyan egyenes, amihez a görbe hozzásimul.

Lehet több közös pontja is.

hozzásimul hozzásimul

H o z z á s i m u l

Mi az érintő?

Az érintő a szelő határhelyzete

Induljunk ki a szelőből!

x

y

xx

yytg sz

0

0

0xx

A fv.-görbe szelőjénekmeredeksége:

x

y

xx

yytg sz

0

0

0xx

A fv.-görbe szelőjének meredekségét megadó törtet, a fv. d i f f e r e n c i a –h á n y a d o s á n a k nevezzük.

Mi az érintő?

• Az érintő a szelő határhelyzete.

• A szelő meredeksége:

x

y

xx

yytg sz

0

0

0xx

Az érintő meredeksége ennek a határértéke.

Milyen meredek az érintő?

• Az érintő meredeksége:

tg

0xx

0

0lim0

xx

yytg

xxé

• tg

A fv.-görbe

érintőjének meredekségét megadó értéket a függvény

d i f f e r e n c i á l- h á n y a d o s á n a k

nevezzük.

0

0lim0

xx

yytg

xxé

A differenciálhányados

• Az érintő meredeksége: tg

• A f(x) fv.-görbéjének minden pontjában az érintő meredekségét megadó fv.-t az eredeti függvény

d e r i v á l t j á n a k nevezzük.

Jele: f(x)

Definíciók

• Legyen az függvény az hely valamely

környezetében értelmezve, és olyan tetszőleges eleme

ennek a környezetnek, amelyre .

Ekkor az

függvényt az függvény helyhez tartozó

differenciahányados függvényének nevezzük.

• Ha létezik az így definiált differenciahányados függvénynek az helyen határértéke, és az véges, akkor azt mondjuk, hogy a függvény az helyen differenciálható.

xf

0xx

xf

0x

0

0

xx

xfxfx

0x

0xx

0x

• A

értéket az fv. helyhez tartozó

differenciálhányadosának nevezzük.

• Azt a függvényt, amely az fv. értelmezési tartományának minden helyéhez az ottani

differenciálhányados értékét rendeli,

az eredeti függvény derivált függvényének nevezzük, és

-szel jelöljük.

0

0

0

limxx

xfxfxx

xf0x

xf

xf

Differenciálási szabályok

Mire jó mindez?

• Térjünk vissza a függvényvizsgálathoz!

• Az érintő meredekségével, vagyis a derivált értékének a meghatározásával fogjuk a függvények menetét megismerni.

• Az érintő, miközben letapogatja a görbét, meredekségével sok információt tud közölni a függvényről.

Monoton növekedés és fogyás

Egy függvény szigorúan monoton növekvő, ha a fv.-görbe érintőjének meredeksége - tehát a derivált -

p o z i t í v .

Monoton növekedés és fogyás

Egy függvény szigorúan monoton fogyó, ha a fv.-görbe érintőjének meredeksége - tehát a derivált -

n e g a t í v.

Konvex és konkáv görbék• Egy görbét

konvexnek nevezünk, ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötõ húr alatt, vagy magán a húron van.

• Ilyenkor az érintő meredeksége nő.

Konvex és konkáv görbék• Egy görbét

konkávnak nevezünk,

ha bármely ívének minden pontja

az ív végpontjait összekötõ húr felett, vagy magán a húron van.

• Ilyenkor az érintő meredeksége csökken.

Szélsõértékek• Az alábbi ábrán látható függvénynek van egy jól

látható maximuma és egy minimuma. Pontosan hol?• Erre a kérdésre a differenciálszámítás segítségével

válaszolhatunk.

3 5

f(x)= - 0.3x+ 0.1x 53 1.03,0 xxxf

P

Az inflexiós pont a görbe olyan P pontja,

ahol a görbe konkávból konvexre változik (vagy

fordítva).

Lokális maximuma van a fv.-nek az a helyen,

ha megadható az a-nak olyan környezete,

amelybe eső x értékekre (ahol a fv. értelmezve van)

igaz, hogy f(x) ≤ f(a).

P

P

Az inflexiós pont a görbe olyan P pontja,

ahol a görbe konvexből konkávra változik (vagy

fordítva).

Lokális minimuma van a fv.-nek az a helyen,

ha megadható az a-nak olyan környezete,

amelybe eső x értékekre (ahol a fv. értelmezve van)

igaz, hogy f(x) ≥ f(a).

Függvény maximuma• A maximum elõtt a függvény növekszik, tehát az

érintő meredeksége ( vagyis a deriváltja) pozitív,

• Ha elõtte pozitív, utána negatív, akkor pont a maximumban 0.

utána pedig csökken.

tehát a deriváltja negatív.

Függvény minimuma•A minimum esetében ugyanez a helyzet, csak elõtte negatív az érintő meredeksége ( vagyis a derivált )

•utána pozitív.

•Tehát ott van differenciálható függvényeknél a szélsõ-érték, ahol a derivált 0.

Lehet a fv. érintőjének meredeksége (deriváltja) 0 az inflexiós pontokban is.

Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet.

Lehet a fv. érintőjének meredeksége (deriváltja) 0 az inflexiós pontokban is.

Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet.

Keress az alábbi görbéken minimumokat és maximumokat!Hol fogyók az „y” értékek és hol növekvők?

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15