a common tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

10
A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems J.M. Machado a , Yang Shiyou b, * , S.L. Ho c , Ni Peihong b a Departamento de Ciencias da Computacao e Estatistica, IBILCE, Universidade Estadual Paulistica, P.O. Box 136, CEP 15054-000, S.J.Rio Preto SP, Brazil b Department of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, People's Republic of China c Department of Electrical Engineering, Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong Received 4 December 1998 Abstract A novel common Tabu algorithm for global optimizations of engineering problems is presented. The robustness and eciency of the presented method are evaluated by using standard mathematical functions and by solving a practical engineering problem. The numerical results show that the proposed method is i) superior to the conventional Tabu search algorithm in robustness, and ii) superior to the simulated annealing algorithm in eciency. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Stochastic optimization algorithm; Tabu search method; Global optimization; Domain elimination method 1. Introduction Optimization design is a scienti®c branch employing both scienti®c methods and technological ap- proaches to satisfy technical, economical and social requirements in an ideal way. Thanks to the devel- opments both in computer sciences and numerical techniques, researchers are paying increasing attention to design optimization problems. In general, optimization problems in engineering can be formulated as non- linear programming problems. Due to the multi-modal and ill condition natures of the cost functions, it is dicult to solve these engineering optimization problems with traditional methods. Hence the study of global optimization methods is one of the most important topical research issues for engineering designers. In short, there is a need to develop robust and ecient global optimization methods. Recently, the probabilistic heuristic algorithms have been given more considerations and are used as general alternatives for the global optimization of engineering problems. These algorithms include simu- lated annealing, genetic, and Tabu methods and so forth, which is all initially developed for combinatorial optimization problems. A lot of the creative works on the development and application of these algorithms to the optimization of multi-modal functions with continuous variables are attributed to Bohachevsky [1], Hajela [7], and Hu [8]. Compared with simulated annealing and genetic algorithms, the application of Tabu method in engineering designs is very limited and it is felt that there is a need to explore this method further. Moreover, the investigation on the benchmark problems as presented in this paper would demonstrate that www.elsevier.com/locate/cma Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190 2001) 3501±3510 * Corresponding author. Present address: Department of Electrical Engineering, Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong, Hong Kong. Fax: +852-2330-1544. E-mail address: [email protected] Y. Shiyou). 0045-7825/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 0 4 5 - 7 8 2 5 0 0 ) 0 0 2 8 1 - 4

Upload: jm-machado

Post on 02-Jul-2016

216 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

� ������ ��� ���� ������� � ��� � � ������ �������������� ����������� �������

���� ��� ��� �� ���� � ��� ���� ���� �� �� � !�� ��� �

� ����������� � ���� ��� � ������ � � ��������� �� ������� ���������� ������� �������� �� ���� �� ���� ��� �� �!" �

#�$�%� ���� #�� ���&��� ���������� ' ��� ��� �� ��(�������(� )*�+���( ���������,� -��(&*� �� ./� �����0� %���1�� ' �*���

� ���������� ' ��� ��� �� ��(�������(� -�( 2�( ��,�� *�� ���������,� -�( 2�(

"����#�� $ %������� &''(

��������

� ��#�� ������ ��� ������� � ��� ������ ������������ �� ����������� ������� � ��������� � � ������ ��� �)������ ��

� � �������� ��� �� ��� �#������ �� ��� ������� ��� �������� ������� ��� �� ��#��� � ��������� ����������� �������� � �

�������� ���� �* � �� � � ������� ��� �� � +�, ������ �� � � ���#�������� ��� ���� ������� � �� ������� ���

+��, ������ �� � � ������� ��������� ������� � �� �)������� � -..& /��#��� ������� 0�1� ��� ��� � ����#���

2�,3��4 ���� ���� ������������ ������� �2 ��� ���� ��� ��2 3����� ������������2 %����� ����������� ��� ��

� ���� ������

4����������� ����� � � ������5� ����� ��������� ��� ������5� ��� �� ��� ��� ��������� ��6����� � �� ����� ��� ������ ���������� ��� ����� ��7������� �� �� ����� *��� � ��8 �� � � ��#��6������ ��� �� ������� ������ ��� �������� ��� ��7�� ������ �� ��� ������ ��������� ��������� ������� ������������ �������� 9� �������� ������������ ������� �� ����������� ��� �� ��������� � ���6������ ����������� �������� %� �� � � ����6����� ��� ��� ��������� ����� �� � � ��� �������� �� ���)��� �� ��#� � �� ����������� ������������ ������� *�� ����������� ��� ��� ����� � � ��� �������� ������������ ��� �� � ��� �� � � ��� ��������� ������� ������ �� ��� ����������� ��������9� ���� � ��� � � ���� �� ��#���� ���� ��� �)����� ������ ������������ ��� ���"�������� � � ������������ ������ ������� � �#� ���� ��#�� ���� ������������ ��� ��� �� �

������� ���������#� ��� � � ������ ������������ �� ����������� �������� � �� ������� � ������ ��6����� ���������� �������� ��� ��� ��� �� ��� � ���� � * �� � ��� ��������� ��#������ ��� ������������������������� �������� � ��� �� � � ������#� *��8 �� � � ��#�������� ��� ����������� �� � �� ������� ��� � � ������������ �� ����6����� ������� *�� ������� #������� ��� ��������� �� 0� �� �#8� :&;���<��� :=;� ��� � :(;� >������� *�� ������� ��������� ��� ������� ������� �� � � ����������� �� ������ �� �� ����������� ����� � #��� ������� ��� �� � ���� � �� � ��� � � ���� �� �?����� � � ��� �� ��� ��������#��� � � ��#��������� �� � � ���� ���8 ������� � �������� �� � � ����� *��� ���������� � ��

***����#�������@������@���>����� ��� �� ����� ��� � /����� &'. +-..&, AB.&CAB&.

�>����������� �� ��� !����� �����D %��������� �� /��������� /����������� ���� E��� !������ ��� F��#������ ���� E����

���� E���� G�?D H(B-6-AA.6&B$$�

�"���� �����4 ����*<I���8�������� +�� � ���,�

..$B6=(-B@.&@J 6 �� ����� ������ � -..& /��#��� ������� 0�1� ��� ��� � ����#���

!99D � . . $ B 6 = ( - B + . . , . . - ( & 6 $

Page 2: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

� � ��� ������� � ��#������ �� � + ���������� ������ ����, ���� �� ��� �� ��#������ �� ��8� ������ ���� �� � ������� �������0��� �� � � ������ ���#� �����#����� �� ���� ��� � � ����������� �� � � ������ �����������

��� ��� � � ����� *��� �� ��������� � ��#�� ������ ��� ���� ������� � �� � � �����*��� ������� ������� *�� � ������� - *��� �� ��#��� � ����� ��#��* �� � � ���� ��� ��� ������ ����������� ��� ���������� A ������ � � ������ ��� ���� ������� � ��� � � ������������ �� ����6����� ������� *�� ������� #������� �� ������� ����������� ������ ������� $ ���� ��� �������� �?����� ��� �#��6����� � � ����������� �� � � ������� ��� ��� ������� B ��#� � � ���������

� � ����� ������ �� ��� ����� ���� �� ����� ����������� ����� �

G�� � � �����*��� ������������ �������D

��� � ��� � �� � �� �&�* ��� � � ��&� �-� � � � � ����� *�� � � � ������ ��� ���������

�� � �� �� � �� � �� � � &� -� � � � � �� �-�* �� ��� �<��� �� 5 �7����� �������� ��� 6 ���7����� ��������

����� � . �� � &� -� � � � �������� . �� � &� -� � � � ���� �A�

� � ���� ���� �� � � ��� ���� ��� ��� ��������� ������� ��� ������������� ������������ �� 3��#�� ����?������ �� ������� #������� �� �� ��� �������� � :(;D+�, G�� � ������ ����� � ��� � ��#�� ��� � � .�� �� * ���� ��� ��� � � ��5��� ���� � � ����� ��� � � � ������ ��#� �� ����� � �� ����� , �� �� * ���� ��� ����� ��������� � ���#�� �� �� � �� � � +% � � ������ ����� � �� ������ �� :.�&;� � � &� -� � � � � �,�+�, 3�#�� � � ��� �� � � � &� -� � � � � � ��� �� ������� ������� ����� � +� ����� �������� ��������� +-,��� +A,,� 4�� ��� ����� � � ������ 7 +� � ��� �� ������#� ���, �� � � ����������+�, G�� ��� ����#� ���� ��� ��� � �� � � ������ ����� �� * ��� � ��� � � ������� ������ ��#� � �����5� ��������� +-, ��� +A, � �� �� ����������+�, >������ � � ��<����#� #��� �� � � ������� ��#� *�� � �� �� � � ������ ������� 9� � ��������� ����� ������� �� � � ������� ��#� �?��� ��� ��� �#� � � ������� ��#� � � � ������ ������ ����� ������ � � ������������ ��� �� � � ������ 7 ��� �� �� � � ��?� ���2 �� ��*��� �� �� � � ��?� ������������+�, ���� �� � � ����������� �������� ��� ���5��2 �� ��*��� ����� 7 �� �� � ���2 � �� �� �� +�,�� ������ �� �� �� ��� ���� ������ ������������ ��� ��� � � ������ ����������� ������� � ��� � �

������ � �� ��� � ����� � ��� G�� � � ������ � �� � � ��� ������� � �#������ �� � ����� �� �������������� ����� �� � � ������� ������� G�� � � ����� � �� � � ����� ����� ��� ���������� +�� ���� ������� ���� , �� ����� � ��������� ������ ������ � � ���� ��������� ����� �� � � ��� �� � :$;D+�, 3������� � ������ ����� �. � �� ���5� � � �?������ ����� #������� ���� �������� +-,�+�, > ��8 ��� ��<������ �������� +�� �� ����� �����, ���� �� � � ���?����� �� �. *�� ������ �� ����������� �� � � ���#�� ������� ����� �� � � ����� ������ ����� �� � � ��<����� ����� +�� ��?�������,� 9� � ��<������ ��������� � ���5��� �� �� +�,2 �� ��*�� �� �� +�,�+�, ��� �. �� � � �� �� ������� ������ ����� � ����� ������������ �������� ���� �. �� ����� � ����� ���6��� � �� � � ��� ������� �<��� �� �������� +A,� ��� � �� �� �� +�,�+�, > ��8 �� � � � ��* ����� ������2 �� �� ��� �� �� � � �� �� ����� ������ ������ �� ��*�� ��� ���� � � �� �� ��<����� �����2 � �� �� �� +�,�G��� � � ���#� ����������� �� � #��� ����� � �� � � ������ ����������� ������� � ��� �� #��*�� � �

����5������ �� � � ����6���� �������� �#��� � � ������� �� ����� � � � ���� ������� �� ���������� � ��*�� ��������� ����� *�� � �� ����� �� ������� �� � � � �� ���������� � � ������� ������ � �

AB.- $�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=���

Page 3: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

����� ������ ����� �� � � ��<����� ������ ���� ����� � � ������� ��� �� � �?������ �� �� �����)������

� ������ ���� ������ ���������

� � ��� ��������� +-, ��#�� �� � :(; ��� ��� ���������� �� ����������� ������� * ��� � � �����#������� �� ��� ��� �������� ��������� ����� � � ���� ������� ��������� � ������� �� � � ��������

�� � �� ��� � �� � ��� � � &� -� � � � � �� �$�* ��� �� ��� 1� �� � &� -� � � � � �� ���� �������#���� � � ��*�� ��� ���� ���� �� � � #������� �� � � � ��6��������

���� 9 ����� � ������� '� ��3 ������

9� ����� ���� � �� ��#� *�� � ��������� �� � � ��� ������� ��� �������� ��� ������� � ������� ��� ��� � � ������� � � �� ������ �� ��������� �� �������� ��8� ���� ��K����� ������ �� �� �� ������������� ������������ �������� ����� �� � ��� ������� � �� ���� � ������������ �� � ����� ������� G�� � � ������� ��� ��� � � ��� ������ �� � � ������ * �� ��� ���� ���� � � ����� ������� * �� ���� ���� ������� ��#� � �� ��� ��������� �� � � ���� ��� ��� �� � ������� ������ � �� � � � ��� ������ ���� �� ������ * �� �� �� ��� ������� � ������ � �� � �� �� � ������� ����� �� ����

��.� ������������ ' �*� ���� �� �� �� �*� ���� (�������� ' ��3 ������

G�� ��������� ������������ � � ����� �� � � �����#�� ��� ��K����� #������� ��������� ��� ��� ��*�� � ����� ���� �� � ��� ��������� �� � ������� �����#�� ��� ��K����� #������� ���������� �����#��� � ���K������ ���*��� � � ������ ����� ��� � � ������������ ��#� �� �� � �� � $� B� � � � � �� ���� ��� ������������� * �� � � ��� #����� - � ���������� �� � � *�� <� � ��5��� �� � :(;� � �������� � ����������� ������������ �� � �� ��#� *��� �� *����� � � ������������ ������� ������� ������5����� ������� �� 9� � � ������� ������� �� +&, � � �����#�� �� ��������� #������� ��������� ��� 5�������������� ���� :.�&;2 +-, �� ��#���� ��� #����� - � � �� ��5��� � � ���� � � � �&����� � -� A� � � � � � &� & � &� � � .�...&�2 +A, �� � � 5��� ��� � � ������ ��#� ���� � ������� ����� � ����� � � + ��������� ��� �� *� ���� ��� � �������� ���

�� � ���� � �� � � �� �� �B�* ��� �� � .�B ��� ��� �� � &� -� � � � � �� ��� % � � ������ ��������� *�� �� � � �����#�� �� �&� &��

���� 91�� 7�1� ����

9� ���#�������� ��� ���� ������� � ��� � � ������ ������������ �� ����6����� ������� *�� ������� #�������� � � ������ 7 �� �� ���������� *�� � �� ��� ������������� ������������ ������������ ������� �� ���#��� � � ������� � ���� �������� � � �����*��� ������ *��� �*�#�� �* � �� �� � ���*�� �� � ������ ��� ������� *�� ������� #�������� �� �?����� �������� ��� � �� � � ������ �������� ��� , �� � � ��� ������ �� ������� ��#� ��������� �� � � ����#� ���� ��� ��� �� �� ���� , � ��6������ � � � ������ ������ ��� *�� � � ������������ ��� *� ����� ����� �� � � ������ �� ���#��� � ��������� ���� �������� �� �� � � �������� *��� ����� � ��* ����� �� ��������� ��� ��� ��� ���� � ��D&� �� ���� � � ������� ���� , �� � +������� � ��� �� * �� �����*, ��� �� ���������� �� ��� � � ����6��� �� ��� � � ����� �� �� � ���� ��� ��� ��� ��� ����*���

-� � � ������� ���� , �� ��� ���� ��� �� �#����� �� ���� �� ��� � ������� *�� �� � � � ���� ��� ��� ������� ,�

$�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=��� AB.A

Page 4: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

A� L�� ��������� �� � � 7������� ����� ����� �� � � ������ 7� � � ����� �� ������� ��#� ����������� � � ������ ����� *��� �� ������� ����� � � ����������� * �� ��� �� �� �� ���� ���� � *������ �� ������� >���7����� � � ��������� ��� � � �������� �� �� ������� *�� �� � � ����� ��������������

$� � � ������� * �� ���� �� ������������� ������������ ������� ��� �� �#����� �K����#��� * �� ��6�������� ����6����� ������� *�� ������� #������� �� ��<���� � � ��� �� �� ���� ����� � � ����������� �� ������ �� ��� ��� �� ��� ���������� ����6����� ������� *�� ������6

� #������� � � *��� �� ������������ �K��� �� ���� �� ������� ������ ��� ������� ����� 9� � �������� ��� ��� �� ������ � ��������

��!� #�� �������

� � ������� ������� � � �*� ����������� �������� �� ������ �� � � ������ ������ �#� ���� ����� � �5�� ��� � �� � � ��� �� �#��� ��������� ������ � � ���� ��� �� ������ ��

� �

��� � ��

���� � �� � &� -� � � � � ����� � ����� ��

�M�

* ��� � � � � � ��� ������ �� � � ��� ������� ���� �� �� >� ������ ���� � � ��� ��� ���� �� � ���� ���

�� � � ��������� ������� ������ ��������� �� � � �������� �?�������� �� � � �� ��� �� � �M� =� ( �������������� ���������� � � �����*��� ����D&� � � ��� ������ �� � � ��� ������� ���� �� �� ��� �������#� ����� ��� ��� #��� ����5��������� �� ���� ������ �� #��� ���� �� � � ��� ��� ���� �� � ��� �#�� �� � � ������ ������ � ��� �������� �� � � ������� �� � �������� � ���� #��� �� �� ��� ���� �� � � ������� � ������� �� � � #��������� � � ����� ������2 ��� �?������ * �� � � ������ ��� �� � �� �� ��#� G�B �� ������� $ *�� �� � $�� � ������� � ��� ���� 5�� � ����� �������

-� 9� � � #��� �� � � ��������� *��� ��� ������ �� *��� ���� �� �� ���)����� ������� �� G�� � � ����6���� ��� ������� ��� � � ��������� ����������� ������� �� �� �������� �� ��?� ������� �� � ( � ������ �� � � ��� ����������� #��� ��� � � ������� � �� ���� � � ������ �������� � �� �� ����������� ��������� �� ��� � � ���� � ���5�� * �� � � ����� �� �������#� ��#�

*�� �� ���6��5��� �����#����� �� � � ��� ��� ������� �?���� � � �� ��� #����

���� %������ '�� �*� ������ ����

9� ����� � � ����� *�� � � ��� ���#������ ��� ������� #���� ������� � ����� � ��*�� �� � � ���� ������ ��� ��� � � ��������� �� �#��� �������#� ������ >��������� � � ���� � �� ���� ��� ��� � ���� ������ �������#� ������ * �� ���� � � ���� *� �������� ���5��� *�� �� ��� ���� � ������� � ������������� �K��� *��� �� ������� *����� 0� �� ��� ��*�� ���� ���� � � ��� �������� ������ � � ��6��������� ��� ���� ���� � � ��� ������ ����� � ��� ����� �� �K����#���� ����� � � �������� *��������� ���� ���� ����� �#��� � �������#� ����� �� � � ������� ������� ��

���� ����� ��� ' � �� �*���

9� ����� �� ������� � � ���� ��� �)������ �� � � ������ ������� �� � ����� � �� � ���������� ���������� �#��� ������� ������ ��#� � ���������� � � ������� �?���� � ����� ���� ������� � �� ������ ���������� ����� ��� �#��������

��/� ����� ��� ' �*� ��� ' ���� *��( ���+� �����

9� ����� �� ���#��� �������� ������������ ��� � �� *��� �� ��*�� ���� �� ������� 8��*� ����������� ������ � � ���� ��� ���<������� ��� ����� ��� �� �� � � ������� ������� �� ���� � ���<��������5��� � � � ���� ��� ����� ���� � ������� ����� �� � � ������������ ����� ������ ����� ��� � �����

AB.$ $�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=���

Page 5: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

���� ��������� ����� � ��* ������� ��#� � ���������� ��� ��<����� ��������� � ������ 9� � � ���������#� � ���� � ���<������ ����� �� � � ���<������ ��� �� � ��<������ � �#������ ���� � ���� ��� �������8��*� ����� ������ ��� ��� � � ����� ������� �� ��� 0������ �� ���� � �� � � ���������� �� � ����������� ��� �#������� �� �� �#������� � � ����� ����� ��� �� � ����� � �� ��������� � ��* �������#� �����*�� � � 8��� �� ������ � � ������� ��������� *��� ����5������ ������� � � ���������� �)������� � �� ���� �� 5����� � ��* ����� ������ �� � � ��?������ ������ � ��� �� ����� ����5�������>��������� � � ���� � �� ��� ������� ��� ��<������ ����� ��� #��� ���� �� ���<������� ����� �� � �

���<������ ��� ��� ��� ��� �������� � � ������� ����� ��� ��<������ ����� �� � � �� �#��� � � �6������� ��������#� ����������� �����#��� �� ����� �� ����� � � ������ ��7�������� � � ����� ��� � ���<������ �� � �������� � ��� ����5� ���<������� ��� ���� �K����#� ��� ������� ��������� ����� ��� � ������� ��� ��� � � ��������� � ��#������ ��� ����� �� ���#��� � ��6#��� �� ��� ���#�������� �� ����� ��� ������ �� �� ��� �?����� � � ������ ������� ������ ���������

��?� 7*� ����(�� � ����,���

G�� ������ ��� ��� � � ���#������� ������ � � � ������� ��������� �� ��������� * �� �� � �� ��������� ��� ��#��� ����������� ����� �������� � � ���#������� � ����������� �� � � ������� ��� ����� �� �������� � �����*D&� � � ���#������� �� � � ��� ��� �� *� *��� ���#�� �#�� * �� �� *� ��*�� ��������� :B�M;2 � � ������ �� � ��� ���� ���� �� �� #��� �)����� �� ��#��� ���� ���� �� ��)��� ������������� ������6������ ������� �� %��� :A;�

-� � � ����������� �� � � ���� ���<������ �� �� � � ������� ��� �� ��� �K����#��� �#��� � � ���������� ���� ���� ����� � �� *��� �#������� ���� �� ������� 8��*� ������� ������ � ����� ��������� � ����� �)�������

A� � � ��������� ���#������� �� ��� ������� � �� � ������ ������ *��� ��� �� �K����� �� � ������ �� � �?����� ����� �#��� ������� ����� �� ����� ��������� ������ ��� �� � �� � � ������� ����� � ��6��#�� � � ����#����� � ������ ������ �� � �� �� >���� :-; ��� � ����� ���� �������� �� �� �6����� ��� ���

��:� 9�(���*� �� ������

��������� �� � � ���#�� ����������� � � ������ ���� � � ������� ��� ���� ������� � ����������� �D

��/! . 9�������������2��/! & ��� � � ��������� #������� +� &2��/! - ��� � � ��� #����� #������� �� &2��/! A 3������� � ������ ������� ��#�� ��� �� � � � ���� ��� ��� �� � � ������ ���� ��� +B,2��/! $ 9� �� � ���� � ���<������� �� �� ��/! A2 �� ��*�� �� �� ��/! B��/! B ����� � ����� ������������ ������� � ���� �� �� ��� �6 ��������� �� ����� �� ������������

����� ���� �� ���� � � ��* ����� ������ ������ ���� � � ���<������ ���� �� �� ���� ��� � ���� �� ��/! M2 ��� �� �� ��/! M ��������

��/! M ��� �� �� �� 9� � � ��� � ����� �� �� ��/! =� /�� � � �� &� �� �� ��/! A2��/! = ��� �@ �� � � ��#� *�� � � ���6��� ������� ����� ����� ���� �� � &� -� � � � � ��� ��� ��

� �� � � ����� 9� � � ��������� ���� ��� ���� � � � ���� � � �� � ��� � �� �� �� ��/! (2�� ��*��� �� �� ��/! ( ��������2

��/! ( ��� �� �� �� 9� �� � ����� �� � � �� &� ��� �� �� ��/! -2 �� ��*��� �� �� ��/! '2��/! ' ��� ��� � � ����������� ���������� 9� � � ��� � ����� �� �� ��/! &&2 ��� �� �� ��/! &.2��/! &. � ��� � � �������� ���� ���� � � ������ ����� ���� �� � ���N 9� � �� � � ���� ���

�� �� ��/! &2 ��� �� � � � ��� � �� �� �� ��/! &2��/! && 4��� � � ������������ ���� ��� ��������� � � ���������

$�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=��� AB.B

Page 6: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

� ��������� ����������

0�� ��� �������� ��� ������� ��� ��������� ����������� ������� ��� �� �� � � �����*��� �������� ����� �� �#����� � � ����������� �� � � ������� ������ ��� ��� �� +>���,�

!��� 6��*����� �� ����

!����� �������� ' ������� ���* 3��* 7�1�-��*� �?����� ��� ���������

G�&

�������� � ��� � $

� -�&�-& �

&

A�$&

��-& � �&�- �

� $� $�--��--�<��� �� A� �&� A� -� �-� -�

� � ������� � �? ����� ������� �*� �� * �� ��� ������ �� +H.�.('(� �.�=&-M, ��� +�.�.('(� H.�=&-M,*�� ���� � &�.A&M-B(�

G�-

�������� � ��� � ��&.��-���&�

����&��&

���� &�-�&� &.��-�����&��� � ��� &�-�

�<��� �� &.� �� � &. �� � &� -� � � � � B��

� � ������� � ��� �� &.B ����� ������ ��� � � ������ ��� � �� �� � & �� � &� -� � � � � B� *�� ���� � .�.������ & ��#� � � ������������ ���� �������� �� ��� ���� ��� � � ������� ��� ��� G��� � ��

���� �� ��� �� ��� � ��D&� � � ������� ������� � � ���� �� � � ������ ������ ��� ��� ��� ������� �� � ������� ����� ������������

-� ���� ��� ���� 5�� � � ������ ������ �� G�&�

!���.� ���'���� � ������� 3��* �������� ������� ;#9< ��(���*�9� ����� �� ������� � � ������� ������� � *�� � � �� ������� �� � � �����*��� ������� ������� ���

��������

G�A

� ��&� �-� � �&� ��& � �- � &�-�&' &$�& � A�-& &$�- � M�&�- � A�--��� �A.� �-�& A�-�-�&( A-�& � &-�-& � $(�- AM�&�- � -=�--���

� � �� � �-� -� �� � - �� � &� -��

� � ������� � ��� ����� ������� � � ������ ��� � �� �� +.� �&, *�� ���� � A�

����� &

4����������� ���� �� ��� ���� ��� ������ ��� ��

��� �� 4������ ������ G������ #��� ����

�� ���������

���� G�& +�.�.('(AAMB� .�=&-=A$-=, �&�.A&M-($ M..

G�- +&�--'$$M&� A�&&$(...� .�('AM=$B� &�'$$($($� A�&-A((M, &-�(BA('A $.(-

>��� G�& +�.�.('='$� .�=&-B'=A=, �&�.A&M-($ MA.

G�- +&�......'� .�'''''&&� .�'''''=&� &�.....$M� .�''''(A=, -�('($&$&�&.&. BBBA.

AB.M $�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=���

Page 7: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

G�$

� ��&� �-� � ���- ��-& � ��& ��- � ��& � ����& � ��

� � �� � �-� B� �&� &.� .� �-� &B�� � &� � � B�&��$�-�� � � B��� � � M� � � &.� � � &� (�� ��

� � ������� � � ��� ������ ������ ����� �� +��� &-�-=B,� +�� -�-=B,� +A�� -�-=B,� *�� ���� � B��$���

G�B

� ��� � �A ��-����$�&��

���&��&

��� �B�-�&� �M ��-���$���&�� � ��� �B�-�&� �M ��

-���=�����

���

��&����� B� &..� $��

� � �� � �B � B� �� � B� �� � &� -� � � � � B���A � .�&� �$ � A� �B � �M � &� �= � -�

* ��� � � � � ������� ������� ��5��� �

���� �� ���� ���� ��� ��� � ���. �� �� �� ������ ��� ��� � ���

� � ������� � ��� �� &BB ����� ������� � � ������ ��� � �� ���� � �&� &� &� &� &� ��� ���� � .������ -C$ ������� � � ��������� �� � � ����������� ���� �� � � ������� ������� � *�� ��

��� �� ��� ��#��� G�A �� G�B� G��� � �� ����� �� � #��� ��#�� � ��D

����� -

4���������� ���� �� G�A �� ��� �� ��� ������ ��� ��

��� �� 4������ ������ G������ #��� ���� �� ���������

�� +-�B� &.B� �.�''''=, A�......& &.$.'$

>��� +&�.''BB(� &.B� �.�''''$M$, -�''''MM A(==B

����� A

4����������� ���� �� G�$ �� ��� �� ��� ������ ��� ��

��� �� 4������ ������ G������ #��� ���� �� 9��������

�� +�A�&$-� &-�-=B, .�A'=((=M 'AM'-

>��� +A�&$&M&M� -�-=$'M&, .�A'=((M( A-.-B

����� $

4����������� ���� �� G�B �� ��� �� ��� ������ ��� ��

��� �� 4������ ������ G������ #��� ���� �� ���������

�� +&�...(=B� &�..&BB(� .�''(&MM� &�..$MB-� &�..&M&-, &�-� &.B A'..&A

>��� +&�...(=B� &�...B&&� &�..A-BM� .�''.AAB� .�''=.$B(, &�-� &.B B$-=.

$�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=��� AB.=

Page 8: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

&� 0�� �� ��� � � ������� ��� ������� � �#� ���� ���� �� ������ � � ������ ������ ��� ��� � � � ������ ��������

-� � � ������� �#������� ����� �� � � ��#�� ������� � ������� � ���� ��� � ��� �� � �� �� � � ����� �� ��� ������#��� ����� ��� �������� ����� G�A ��� G�$� G�� � � ���� ������? ������� � �G�B � � ������� �#������� ����� �� � � ������� ������� � � ���� ���� &BO �� � �� �� � � ����� ���

!����� ���'���� � ' ��3 ���* 3��* �� 3��*�� � 7�1� ����9� ����� �� #������� � � ������ �� � � ���#�� ������ ��� �� �#����� � � �K��� �� ������ �� � �

����������� �� � � ������� �� G�B � ��#�� ����� �� ��� � � ������� ��� ���� ��� �� *�� ���*�� �� � ������� � � ������������ ���� ��� �*� �� ����� B� G��� � �� ���� �� � #��� ����� � �� � ������������ �� � ������� �� �� � ��� ����� �7��� *��� ���� �� � � ������� � ����� ������� *�� ������� ������ ������9� ��������� ��� ��� ��� � � � ������� ��� �� �� ���� ������� ���#���� �������� ���� ���6

������ ������� ������ � � �������� ���� �������� � �� � � ������� ��� �� � ���� �� 5�� � � ������������ ����� ��� ��� � � �����6��������� ������� �������� �� � � ������� ������

!�.� 9���� ����

� � ����������� �� ��*�� ��?��� �������� 5��� �� � � ��� ������ �� ��*�� ���������� ���� ��������� ����� ��������� ��������� � �� �������� ���������� ��� � � �������� ���� � �������� �� � ���?��� �������� 5��� *��� ���#��� � � ���������� ���� �������� P� �#��� � � ������������������� � � �� �� ��������� � � ������� ����������� ��������� �� � � ��� ������ � � �� �#� �� ������������� 5��� ����������� ��� �� � ��� ��� ���� ������������ ������� � �������� �� � � ���������� � ������ �� ������ ������� � � �� ��� �� �� �� ��#� � ������� � #��� ��* �� �� � � ����6���������� �� � � ��<����#� �������� ����� � � ������� � ������� � � � ���� ���8 ������� ��� � � �6����� �� � � ������� ��� ��� ���� � � ����������� ������������ ������� � ��������� �

��� ���?�<��� �� ��� � �� � ��� �� � &� -� � � � � $�� �=�

���� ���? � � � ��?��� #��� �� � � �������� 5��� �� � � ��� ������� �& � � � *��� �� � � ������������ ������ � � *������ ��� �� �� � -� A� $� � � � *��� �� � � ����� �� � �*� �� G��� &� � � ��� 5��� ���������� �� ��� 5���� ������� ��� ��� � � ��#������ �7����� �

�-���-

� �-���-

� .� ���& � &� ���A � .�����

�����-

� .� �(�

� � �������� ������������ ���� �� � � ��� ������ �� � MA �1�� &&. 81 ���������� ��� � � ���6���� >��� ��� �� ������� � ��� ��#�� �� ����� M� 9� ����� �� ���������� � �� � � ������ ����������� ���� �� �� ��� ��� �� � � � ������ ���� �� �? ���#� ���� ������� � � ��� �� �� ��� � ��������� � � ������� �� * �� � � ��?��� �������� ������ ���� ���� � � ������� ��� � � ����������������� ��� �������� �� G��� -� 9� � � 5���� ������� ��������� � �� *�� &M(A ���� ��� -$A. ���6������ ������� � ��� ��� � � �?������ ���� ��� ��� ������� �#������� � ���� -. �� � �������

����� B

4����������� ���� �� G�B �� ��� ������ ��� �� *�� ��� *�� �� � ������

��� �� 4������ ������ G������

#���

���� ��

���������

>��� *�� � ������ +&�-'&&A&B� .�M-.&..=� &�AMA.$B&� .�''''A&M� .�=.=M$B=&, =�.-A� &.- A.-AM

>��� *�� �� � ������ +&�...(=B� &�...B&&� &�..A-BM� .�''.AAB� .�''=.$B(, &�- � &.B B$-=.

AB.( $�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=���

Page 9: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

G��� -� � � ������� �� � � ��?��� �������� ������D +�, 9������ ��������2 +�, ��������� ���������

G��� &� � � � ������ ������� �� � � ��� ������ �� � � ����� �����������

����� M

4����������� �����

A&+��, �

-+��, �

A+��, �

$+��, ���� ��

���������

���?+�,

9������ #��� $- M- (( &&- @ &�..

�������� �������

/�� $.�$ $.�& (B�& &&-�A -(... .�'&

�� A'�( $.�A ($�' &&.�- (M$B .�'.

!����� ��� �� $&�& A'�M (M�& &&A�& &(AM .�'.

����� /�� ���� �� �? ���#� ���� ������� ��

$�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=��� AB.'

Page 10: A common Tabu search algorithm for the global optimization of engineering problems

!����� 999 ��Q M.. ��� ������� �� %! G4"�"� ��#��������� G��� � �� ���� �� ��� �� ���� ��D&� 0�� � � ������� >��� ��� � � �� ������� � �#� ���� � � ������ ������ ������-� � � ��������� ����� �� �� � � ������� ��� �� � ���� ���� ��� 5�� �� � �� ��7���� �� � � ��������� ��

A� � � ��?��� #��� �� � � �������� 5��� ���� � � ��������� �������� ������� ���� & �� .�'& +�, ���� � ������� �� * �� � � ��?��� �������� 5��� ���� � ��#�� ���� ����� � �� ����� �� � �������� ��G��� -+�, ��� +�,�

� ����������

G��� � � �������� ���� �� ��� � � ���� ���8 ��� ����������� �������� ��� ��� ���* � � ���6��*��� ��������D&� � � ������� ������� � � ���� ���� � �� � � ���#�������� ��� ��� ����� � � ������� ��� ������ 5�� � � ������ ������ ��� ��� � � ������� �������� �� � � ����� * ���� � � ���� ������� ��������

-� � � ������� ��� ��� �� � � ����� ��������� �� � � �� ������� � ���� � � ������� �#������������ ��� � � ������� ������� � � ���� ���� &BO �� � �� �� �� � � �� ������� � ��� #��� ������?��������

A� � � ������ �� �� � � ������������� ������������ ������� ��� �� ������� �� � � ������������ ��������� *�� ������� #��������

�������� �������

� � *��8 *� ������� �� G�!/�!�

���������

:&; 9�4� 0� �� �#8�� ��/� �� ���� ���� ������ 3��������� ������� ��������� ��� ������� ������������ ��� �������� -( +&'(M,

-.'C-&=�

:-; �� >����� �� ���� 3����� ����������� ��� ������� ���������� ��� � !������� B. +&''&, AM=CA'A�

:A; � %���� %�%� L����� /!>4�D �� �)����� �������� ��� �������� ��������� *�� ��� ���� � >����� ��� � ����� -B +&.R&&,

+&''A, ABC$B�

:$; 4��� /�*�8���� ���� ������ �*� ������� � ��� � � ������ ����������� �� ������� �! �������� 9��� �� ���� ��� �� /����� A'

+&''-, AA.BCAA-B�

:B; G� 3��#��� ��� ���� 6!��� &� 4"�� �� >����� & +&'(', &'.C-.M�

:M; G� 3��#��� ��� ���� 6!��� -� 4"�� �� >����� - +&''., $CA-�

:=; !� ��<���� 3������ ���� 6�� ������� �� � � ���6���#�? ����������� �������� �9�� �� -( +&''., &-.BC&-&.�

:(; � �� ��� ���� ��� �� *�� ������ ��#� ��� �������� ������� ������ 9��� �� ���� ��� �� /����� AB +&''-, &.BBC&.=.�

AB&. $�6� 6� *� �� ��� 8 ������ 6��*� 9���� 6� *� ��(�(� �: ;. �< �� �=���