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Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

Escuela de Ingeniería Electrónica A-15 - Dispositivos y Circuitos Electrónicos II

A-15 Dispositivos y Circuitos Electrónicos II

Ingeniería Electrónica

Filtros Activos

Edición 2018.1

2

Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos

Índice

Filtros activos: 1° parte ............................................................................................ 4 Definición de filtro: ...................................................................................................................... 4 Clasificación: ............................................................................................................................... 4

Ejemplo:(Relación entre el espectro / F.T. / tiempo) ............................................................... 5 Concepto de transmisión sin distorsión – Retardo de grupo. .................................... 6

Definimos: ................................................................................................................................ 6 Transmisión sin distorsión: .......................................................................................................... 6

Concepto de filtro activo: .......................................................................................... 7 Función transferencia:(transformada de Laplace de larespuesta al impulso) ........... 7

Observaciones: .......................................................................................................................... 7 Filtros activos de 1er orden: .................................................................................... 10

Derivador (pasa altos): ............................................................................................................... 10 Físicamente: ............................................................................................................................ 10 Pasa Altos con ganancia ......................................................................................................... 11

Integradores (pasa bajos): .......................................................................................................... 11 Integrador de Deboo (no inversor): ........................................................................................ 12

Filtro Pasa Banda (con ganancia): ............................................................................................. 14 Filtro Pasa Banda: ...................................................................................................................... 15 Filtro Pasa Todo o Cambiadores de Fase: .................................................................................. 15 Resumen de las configuraciones de 1er orden: .......................................................................... 16

Pasa Bajos con ganancia: ........................................................................................................ 16 Pasa altos con ganancia: ......................................................................................................... 17 Pasa todo: ................................................................................................................................ 17

Filtros estándar de 2° orden ..................................................................................... 18 Respuesta en frecuencia del sistema de 2ºOrden: ................................................... 20

Pasa Bajos de 20 Orden: ............................................................................................................. 21 Pasa Altos de 2° Orden: ............................................................................................................. 24 Respuesta Pasa Banda de 2° Orden: .......................................................................................... 25

Observaciones: ........................................................................................................................ 28 Selectividad: ............................................................................................................................... 29 FILTRO NOTCH (Rechaza banda – Filtro Muesca) ................................................................. 30

Filtros Activo 2° Parte: ............................................................................................ 32 Filtros Butterworth, Chebyshev y Bessel: ............................................................... 32

Aproximación de Butterworth: .................................................................................................. 34 Características del Filtro Butterworth: ....................................................................................... 36 Filtros Chebyshev: ..................................................................................................................... 37

Aproximación de Chebyshev Tipo I: ...................................................................................... 39 Aproximación de Bessel(ó Thomson): ................................................................................... 39 Comparativa: .......................................................................................................................... 41 Coeficientes para filtros de 2° Orden: .................................................................................... 41

Implementación circuital de Filtros de 2° Orden: ................................................... 43 Introducción-Explicación conceptual (Sallen-Key): .................................................................. 44 Filtro KRC Pasa Bajos: .............................................................................................................. 45

Ajuste del filtro: ...................................................................................................................... 46 Solución óptima 1: DiseñoKRCc/componentesiguales. ................................................... 46

3


Filtro KRC Pasa Altos: .............................................................................................................. 48 Filtro Pasa Bandas KRC: ........................................................................................................... 48 Filtros de realimentación múltiple: ............................................................................................ 49

Pasa Banda: ............................................................................................................................. 49 Sensibilidad: ............................................................................................................................... 49

Sensibilidad en los filtros KRC: ............................................................................................. 50 Sensibilidad en los filtros de realimentación múltiple: .......................................................... 50

Observaciones sobre Sallen – Key vs MFB: ............................................................................ 51

4


El presente trabajo es un resumen de los conceptos fundamentales que explicaremos en clase. Para una comprensión y estudio del tema aconsejamos consultar la bibliografía recomendada. Además, se trata de una versión preliminar sujeta a cambios y correcciones.

Filtros activos: 1° parte

Definición de filtro: Circuito que procesa señales con dependencia de la frecuencia. El

comportamiento está definido por la función transferencia , con variable compleja .

La forma en que su comportamiento varía con la frecuencia se llama respuesta en frecuencia y se expresa en términos dela función transferencia para ⟹ 2 .

Aparecen entonces el módulo de la ganancia∥ ∥ y la fase ∡ que dan la ganancia y el cambio de fase que sufre una señal de C.A al pasar por un filtro.

Clasificación:

5


Ejemplo:(Relación entre el espectro / F.T. / tiempo)

Pasa bajos: Utilizados para filtrar (sacar) altas frecuencias. Ej:

medición de variables de baja dinámica (t °C). Pasa altos: Procesamiento de imágenes. Ej: cambios bruscos en el

contorno. Pasa banda: Selección de frecuencia de radio. Rechaza banda (notch): Ej: medición de frecuencia cardíaca que

viene acompañada por la frecuencia respiratoria.

6


Concepto de transmisión sin distorsión – Retardo de grupo.

Definimos:

ylafase

Retraso de fase a la salida expresado en tiempo es:

Es decir, el retraso temporal de la salida respecto de la entrada a una frecuencia dada es el promedio de .Por esto se denomina Retardo de grupo.

Cuando ⟹

Transmisión sin distorsión: Para que haya transmisión sin distorsión debe ser la amplitud de la

respuesta en frecuencia y la fase debe disminuir con pendiente constante

⟹

“El retardo de grupo contante en el rango de frecuencia de la banda de paso.”

Un filtro alimentado con una señal de entrada ∑ cos tendrá

una salida:

∥ ∥.

Para evitar la distorsión de amplitud ∥ ∥

Además, el retardo que sufre cada componente es:

Retardo de fase. Por lo tanto

7


Concepto de filtro activo: Los filtros pueden construirse exclusivamente a partir de elementos

resistivos R y almacenadores de energía L y C. Son en este caso filtros pasivos.

Con la aparición del concepto de realimentación, puedo usar amplificadores (A.O.) y generar cualquier respuesta sin usar L.

Los C y L son elementos no disipativos que pueden almacenar energía en un ciclo y entregarla en el otro.

Un A.O puede hacer lo mismo transfiriendo energía desde las fuentes de alimentación y aportando energía a los elementos resistivos que son disipativos.

Limitación: la ganancia a lazo abierto del amplificador operacional limita el uso por debajo de los Mhz.

Para frecuencias mayores uso RLC. Además, en altas frecuencias disminuye el tamaño de las inductancias y su peso, dado que la reactancia inductiva en función de L es:

Función transferencia:(transformada de Laplace de larespuesta al impulso)

Caracteriza el comportamiento con la frecuencia del filtro. Resultan ser funciones Racionales de s con polinomios N(s) y D(s) con

coeficientes reales.

. . .. . .

Cuando conozco H(s) puedo encontrar x0(t) para una dada xi (t) (tensión o corriente).

.

transformadainversadeLaplace

Observaciones: a) El grado del denominador [D(s)] determina el orden del filtro. b) Las raíces del numerador [N(s)] son los ceros {z1, z2,….,zn} c) Las raíces del denominador [D(s)] son los polos {p1, p2,….,pn} d) Se puede factorizar numerador y denominador.

⇒ . . …..

. ….con

8


e) Las raíces se denominan frecuencia crítica o característica y sólo dependen del circuito.

f) Las raíces pueden ser reales o complejas. Si son complejas aparecen como pares conjugados ya que los coeficientes son reales.

⟹p σ jωp∗ σ jω q

Ejemplo: En el siguiente circuito encontrar H(s) y la gráfica de polos y ceros.

L=5mH C=40µF R=10Ω

Usando variable compleja:

.

⇒

Operando algebraicamente:

⇒

Vemos que tendrá un cero en s=0 y dos polos complejos conjugados. Para encontrar los polos debo encontrar los ceros de la función

cuadrática del denominador. Resolviendo:

⇒ .

Es decir

9


.

.

Vemos que los polos tienen parte real negativa. Este es un sistema de fase mínima (polo con parte real negativa y

como máximo un cero en cero) Vemos que esta función transferencia tiene una gráfica∥ ∥ del tipo

pasabanda.

Conceptualmente: cero en el origen bode con pendiente + 20 dB/dec. 2 polos bode con pendiente-40 dB/ dec. Por lo que la pendiente

de la asíntota para f > f polo resultará -20 dB/dec

10


Filtros activos de 1er orden: Repasemos algunas configuraciones ya estudiadas. Son los filtros más simples que utilizan C y R como componentes

externos al AO.

Derivador (pasa altos):

/. ⇒

Si ⇒ 1

Sillamo 2

De (1) y (2) H jω j ∠ 90°

; ∠ ° °

|H(jω)|dB

ω/ω0(normalizado)01 1 10

20

-20

Físicamente:

f↓ ω↓ →ǀZcǀ R→Atenuación

f↑ ω↑ →ǀZcǀ R→Amplifica

para ∥ ∥ 1 0 .

11


Pasa Altos con ganancia

ceroenS 0,poloenS ‐1/R1C

|H(jω)|

ω

Ideal

R2/R1

ω0

Integradores (pasa bajos):

VoVi

R C

de Miller

VoVi

R C

de Miller

Integradorinversor,dividirporS,significaintegrar.

12


⇒ ∠ °

ω/ω001 1 10

20

-20

|H(jω)|

ω/ω0

90º

θ(jω)

ω/ω001 1 10

20

-20

|H(jω)|

ω/ω0

90º

θ(jω)

Integrador de Deboo (no inversor): Conceptualmente es una fuente de Howland con carga capacitiva y con

entrada de señal por el terminal no inversor.

En la fuente de Howland vimos que:

En términos de s:

.

13


Luego:

Unpoloens 0

El circuito integrador de Deboo puede estudiarse también relacionándolo con el conversor de resistencia negativa que ya estudiamos.

Recordemos que, en el conversor de resistencia negativa, teníamos que la resistencia de entrada es:

Por lo tanto, el C ve una resistencia equivalente:

..

.

.

Por lo que el polo estará en:

14


a) para k<1:

1. >0 ⇒prevalece R positiva, polo negativo y respuesta temporal

que se extingue. Energía perdida en R.

b) para k=1: Se balancea la energía suministrada por la R negativa en la R positiva -

>polo en el origen. c) para k>1: d) Energía aportada por la R negativa es mayor que la de la R positiva -

> diverge.

Filtro Pasa Banda (con ganancia): Vimos el integrador no ideal modificado para evitar la saturación del

A.O. Este es el mismo pensado como P.B con ganancia de CC.

IdealR2/R1

ω0

IdealR2/R1

ω0

Vi

R1C

R2

Vi

R1C

R2

IdealR2/R1

ω0

Vi

R1C

R2

15


↑∥ ∥≪ ⇒

↓∥ ∥≫ ⇒

Filtro Pasa Banda:

..

(Filtro de 2° orden como suma de órdenes menores)

Filtro Pasa Todo o Cambiadores de Fase:

Vo

R2

C

R1

R

Vi

Vo

R2

C

R1

R

Vi

A.O ideal + superposición

.

Aplico superposición:

Suponiendo y operando:

16


. ⟹

⟹

‖ ‖ .

Ecualizadores de fase.

Resumen de las configuraciones de 1er orden:

Pasa Bajos con ganancia:

17


Pasa altos con ganancia:

Pasa todo:

Todos los denominadores son del tipo 1 ; 1 y la respuesta

depende del numerador:

→

→

→

18


Filtros estándar de 2° orden El estudio de los filtros de 2° orden se puede ver genéricamente como

sigue: plantear un cociente de polinomios del tipo

Ecuación (1)

Expresión general en función de:

O bien Ecuación (2)

12

:

Vemos que si en esta última expresión – ecuación (2)- desaparece el término con S2 y consideramos Q → ∞ ( → 0) a expresión tiene el mismo denominador que un filtro de primer orden 1

0

Utilizaremos la expresión (1) en función de para estudiar la ubicación

de los polos (ceros del denominador) ya que la ubicación en el lugar de las raíces puede verse fácilmente en función de .

Tiene 2 polos, y resolviendo la ecuación cuadrática, resultan:

1 → como aparece una raíz el valor de determinará si los polos son complejos o no.

Es decir, los polos son:

19


Por lo tanto, podemos identificar las siguientes situaciones:

a) ξ = 0 ⇒ p 1-2 = ± JW0 2 polos complejos conjugados sobre el eje y.

Respuesta No Amortiguada Sostenida. b) ξ = 1⇒ p 1-2 =- JW0 un polo doble real negativo.

c) 0< ξ <1 ⇒ 2 polos complejos conjugados.

20


Respuesta Sub Amortiguada

d) ξ >1 ⇒p 1-2 polos reales negativos. Respuesta Sobre Amortiguada

e) ξ < 0 2 polos complejos conjugados c/ parte real positiva.

Respuesta No Amortiguada

Respuesta en frecuencia del sistema de 2ºOrden: La expresión general en función de Q es:

Para estudiar la respuesta en frecuencia tomamos S=Jw

Al igual que para los sistemas de 1º orden las distintas respuestas serán función del numerador N(s)

1) N(jw)= 1 ⇒ Pasa Bajos

2) N (jw)= ⇒ Pasa Altos

3) N (jw)= j ( ⇒ Pasa Bandas

21


Genéricamente:

Pasa Bajos de 20 Orden: Vamos a analizar conceptualmente la forma de la ganancia de amplitud

(Bode de amplitud) de filtros genéricos de 20 Orden que expresamos de esta forma en función de Q.

Para ello vamos a analizar el Bode de Ganancia en casos extremos:

≪1 w≪ ; ≫1 ω≫ yω

1) Frecuencias Bajas ⇒ ≪1 (ω≪ω )

En este caso

Despreciablesfrentea1

2) Frecuencias Altas ⇒ ≫ 1 (w ≫W )

Prevalecefrentealosotros

H0 = Ganancia de cc

22


Esta aproximación tiene una asíntota:

| | ‐40dBpordécada

3) =1 ⇒ w = W

Por lo que |H j W | Este es el valor del |H j W | pero no es el máximo. Coincide con el máximo si Q→∞

Es decir, aparece una dependencia de |H | con el valor de Q. Si Q ↑⇒|H | ↑ En términos de ξ sería ( ; ξ ↓⇒ Q ↑⇒ |HLP| ↑

Conceptualmente si ξ → 0, los polos se acercan al eje imaginario,

siendo que ξ=0 tengo dos polos sobre el eje imaginario. La forma del Bode de Ganancia para un sistema de 20 Orden es:

|HLP|dB

ω/ω0

1 10

-3dB

-40dB

~20dB

Q → ∞

Q = 10

Q = 2

Q = 1/

-40dB/dec

Para valores altos de , el pico de la gráfica es aproximadamente igual al valor de en dB. En ω= ω0 el módulo tiende a ∞. Recordar que: Q → 0 es lo mismo que ξ → 0 y significa que los polos tienden a ubicarse sobre el eje imaginario.

Observaciones:

23


a) Para √

, que es equivalente a ξ√

, tendremos

√

| |

√

| |

| |

¿Dónde se produce la caída de 3dB? Para ello calculemos | |

√

⟹ | | √

⟹

⟹

Es decir, si √

W0 es la Frecuencia de Corte y la respuesta se

denomina “Máximamente Plana” que también se conoce como respuesta Butterworth.

b) Para los valores de

√ se verifica que el pico en la forma del

Bode se produce a:

esdecir,afrecuenciasmenoresqueW0.

24


c) Los valores máximos de HLP son para Q√

|HLP|máx

Si Q ↑⇒ | | á

Si √

no hay picos y el máximo se produce en w = 0 (CC)

Por ejemplo, si

Q 10⇒ ≅

| | á

Pasa Altos de 2° Orden: La expresión general es:

cerodobleenS 0

Puede realizarse el mismo análisis que el caso del Pasa Bajos para concluir que la gráfica del Bode de amplitud es de la siguiente forma:

25


En este caso se cumple que la frecuencia donde se produce el pico para

√ es:

Y el pico vale:

| | á

Por lo que también se cumple que el módulo de la ganancia tiende a valor de en dB para valores grandes de .

Respuesta Pasa Banda de 2° Orden: La expresión general es:

Y valorizada en s= jw resulta:

Para estudiar conceptualmente que forma tendrá |HBP(jw)| en este caso estudiaremos (como antes) para los casos extremos:

26


a)

≪ 1 ⇒ ≪

En este caso:

Despreciablesfrentea1

∴ | | 20 log 20 log (asíntota de 20 dB x década

correspondiente a un cero en cero corrido en QdB)

0 ω/ω0

1

Figura 16

Zona donde ω«ω0 y se cumple la expresión

|HBP(jω)| Se aproxima a esta asíntota

|HBP|dB

20dB/dec

QdB

b) ≫ 1 ⇒ ≫

En este caso resulta:

.

Términodominanteenelnumerador

En este caso la asíntota de alta frecuencia es:

27


| |

ω/ω01

Zona donde ω»ω0 y se cumple la expresión

|HBP(jω)| Se aproxima a esta asíntota

|HBP|dB

-20dB/dec

QdB

c) Para 1 ⇒ 1 ⇒ | | 0

Resumiendo: La forma del Bode de amplitud para un Pasa Banda tiene la siguiente forma, para distintos valores de Q

0dB

-20dB

-40dB

0,1 1 10

Q = 10

Q = 5

Q = 1

|H|dB

0dB

-20dB

-40dB

0,1 1 10

Q = 10

Q = 5

Q = 1

|H|dB

28


La gráfica correspondiente a a Q=1 tiene una asíntota de sin corrimiento pues Q=0dB

Observaciones: a) Se demuestra que |HBP| tiene un pico en 1

independientemente del valor de Q, por lo que ω0 se llama “Frecuencia de Pico o RESONANCIA”.

b) A medida que Q ↑ las gráficas son más “selectivas”. c) Cerca de 1 las curvas con alto Q son mucho más empinadas

que 20 y fuera de la resonancia se comportan del mismo

modo.

29


Selectividad: Para expresar cuantitativamente la selectividad se introduce el concepto

de Ancho de Banda Bω= ωH- ωL Donde ωH y ωL son frecuencias de -3 dB.

Se puede demostrar que:

∗

∗∗

MediaGeométrica √

Si se restan (**) y (*)

∴

Ejemplo:

Filtro 1 Filtro 2

BW = 10 BW = 10

30


1 100

100, selectivo 10

FILTRO NOTCH (Rechaza banda – Filtro Muesca) La forma genérica de la función transferencia es con S = jω

Vemosqueademásdelospolosconjugados,tiene2cerossobreelejeImaginario:Z1‐2

a) Si ≪ 1 ⟹ ≪

→

b) Si ≫ 1 ⟹ ≫

≅ →

Si 1

31


→

→ ⟹ ∞

20dB

0,1

ω/ω0

|H|dB

-20dB

1 10

Q = 10

Q = 1

20dB

0,1

ω/ω0

|H|dB

-20dB

1 10

Q = 10

Q = 1

0º

0,1

ω/ω0|H|dB

-360º

1 10

Q = 0.2

Q = 5

-180º

Q = 1

0º

0,1

ω/ω0|H|dB

-360º

1 10

Q = 0.2

Q = 5

-180º

Q = 1

Observación: La combinación de un Pasa Altos y un Pasa Bajos resulta en un filtro

Notch

1

1

1

1

1

Pasa Altos

Pasa Bajos Notch

32


Filtros Activo 2° Parte:

Filtros Butterworth, Chebyshev y Bessel: Hasta ahora vimos filtros de 1° y 2° orden genéricos. Para los de 1° orden vimos algunas síntesis con AO. En general los filtros de orden N>2 se conforman con cascadas de

orden 1 y 2 (es lo que se conoce como diseño en cascada) El proceso de diseño del filtro tiene en cuenta el tipo de Respuesta

(Ganancia y Fase) que se quiere tener para lo cual deben especificarse la banda pasante y la banda de atenuación además de la Ganancia.

Por ejemplo, en un Filtro Pasa Bajos tendríamos:

Vimos que los filtros de 2° orden tienen un rizado y una pendiente mayor en la banda de transición. (por ej en un PB)

Es fácil ver que si pretendo una banda de transición angosta deberemos elevar el orden del filtro.

33


Cuando utilizo filtros con N>2 aparecerán polinomios en el denominador de la H(s) con coeficientes que deberemos elegir en función de la plantilla que especifiquemos.

Existen algunas aproximaciones que resultan satisfactorias de tal forma que los coeficientes se tabulan en manuales de filtros. Estos son (entre otros): Butterworth, Chebyshev y Bessel.

Estas tablas están normalizadas para frecuencias de corte de 1 Hz.

Lo que se suele hacer es factorizar H(s) en el producto de términos de orden 2 y tabular los coeficientes de ellos para luego usar celdas de orden n=1 y n=2 para lograr el orden del filtro deseado. A esto se lo llama diseño en cascada.

En resumen, el diseño de un filtro de orden superior tendrá estos pasos:

Datos

Existe otro enfoque que se conoce como Simulación de Escalera RLC. En este se utilizan convertidores de resistencias negativas, giradores,

etc. para simular un prototipo RLC pasivo que cumpla con las especificaciones.

34


Aproximación de Butterworth: Desde el punto de vista matemático se pretende encontrar una función

que aproxime al filtro ideal, es decir si planteo un PB ideal sería:

H

f0 (ω0)f(ω)

N ↑ aumentando el orden

H

f0 (ω0)f(ω)

N ↑ aumentando el orden

Para eso se propone una función como la siguiente que intenta aproximarse al filtro ideal:

| | ó| |

Esta función tiene como característica que las 2n-1 derivada de |H(ω)|2 sean cero para ω=0 y ω=∞ .

En forma más general la aproximación de Butterworth tiene la siguiente

expresión:

Donde n es el orden del filtro y determina la Amáx (variación máxima pasa-banda)

Observación: recordemos que la FT del filtro PB de primer orden era:

21

12 1

⟶1

1 2

⇒ | | 1

1

35


que es la expresión BUTTERWORTH (de la aproximación).

Observación: Todos los filtros de primer orden, independientemente de sus nombres, son idénticos y poseen la misma respuesta en frecuencia.

En base a una plantilla genérica, para este filtro podemos encontrar la relación entre á y el coeficiente ε

á

Se deduce considerando que la atenuación es: A(ω)= -20log10 |H(jω)| y calculándola para ω = ωC

Por lo tanto, en el proceso de diseño del filtro, si pretendo una determinada Amáx⟹ determino .

Para ω→ ∞ ⟹ | | ⟶ 0 ⇒ ∞ Por ejemplo: Quiero diseñar un filtro Pasa Bajos con una respuesta tipo Butterworth

con:

36


fc = 1 KHz fs = 2 KHz Amáx= 1 dB Amín= 40 dB

á ⟹ ,

⇒ ⇒ ,

⇒ ⇒ ,

⇒ ; ,

Observación: Si supongo 1 ⟹ | |

á 20 log √1 1 10log 2 = 3 dB Es decir, con 1ωc coincide con la ωcorte de - 3 dB.

Características del Filtro Butterworth: Es un filtro básico que produce respuesta máximamente plana hasta la

frecuencia de corte y luego disminuye a razón de 20.n (dB/dec) con n= orden del filtro.

El más básico es el de 1° orden. Es el único filtro que mantiene su forma para órdenes mayores y sólo

aumentando la pendiente a partir de la frecuencia de corte. Este filtro necesita mayores órdenes para los mismos requerimientos en

comparación con Chebyshev.

37


Comparado con un filtro Chevyshev, el filtro Butterworth posee una caída relativamente más lenta, y por lo tanto irá a requerir una orden mayor para implementar uno especificación de banda rechazada particular.

Sin embargo, el filtro Butterworth presentará una respuesta en fase más lineal en la banda pasante del que los filtros Chebyshev

Observar que la expresión general (por ejemplo, para el 2° orden) se transforma en Butterworth si

√á 23

El diseño del filtro (síntesis) luego se realizará de distinta forma, utilizando por ejemplo una célula SALLEN-KEY (o filtro KRC) ó Rauch.

Notar que el filtro PB de primer orden era:

⟶

⇒ | |

, que es la expresión Butterworth (de la aproximación).

Filtros Chebyshev: La función matemática que aproxima su respuesta en frecuencia utiliza

los polinomios de Chebyshev. Son de dos tipos: Tipo I.-Con ripple en la banda pasante (solo polos) Tipo II.-Con ripple en la banda de atenuación (ceros y polos) El diseño de estos filtros involucra un compromiso entre la pendiente

(dB/dec) y el ripple admitido. Los polos en los filtros Chebyshev se ubican sobre una elipse (no una

circunferencia como en Butterworth) y los ceros sobre el eje imaginario.

38


Un filtro de este tipo realizado con inductancias y capacitores es de Chebyshev.

Para este tipo de filtros el número de rizados es igual al orden del filtro.

dB

ω

Ripple 3dB

fC

Amax1

2

3

4

5dB

ω

Ripple 3dB

fC

Amax1

2

3

4

5

Orden5 impar GananciadeCC 0dB

Ripple3dB

39


dB

ω

Ripple 3dB

Amax

1

2

3

4dB

ω

Ripple 3dB

Amax

1

2

3

4

Orden4 par GananciadeCC 0‐AMáx

Ripple3dB

Aproximación de Chebyshev Tipo I:

| |

εdeterminaelripple

| || |

| || |

… . .

Aproximación de Bessel(ó Thomson): Se basan en las funciones de Bessel. En la banda de paso presentan una respuesta menos constante que

Butterworth. La pendiente es menor que Butterworth. Se pretende una característica de Fase casi lineal en la banda de paso. Gráficas comparativas de la ganancia del filtro

40


41


Comparativa: TIPO VENTAJAS DESVENTAJAS

BUTTERWORTH MáximamenteplanaenlaB.P.

Buencomportamientoengeneral.

Mejorrespuestaaentradadepulsos.

MejorpendientedeatenuaciónqueBESSEL

Ligerossobrepasamientosyoscilacionesenlarespuestaapulsos.

CHEBYSHEV Mejoratenuacióna

frecuenciasmásaltasdelaBPqueBUTTERWORTH

RizadoenlarespuestaenlaBP.

Sobrepasamientosyoscilacionesconsiderablesanteentradadepulsos.

BESSEL Lamejorrespuestaa

pulsos.

Peorpendienteenlabandaprohibida.

RespuestamenosconstanteenlabandadepasoenrelaciónconBUTTERWORTH

Coeficientes para filtros de 2° Orden: En la siguiente tabla se indican los coeficientes de las distintas

aproximaciones para filtros de orden 2 BESSEL BUTTERWORTH CHEBYSHEV

a1 1.36 1.414 1.065b1 0.618 1 1.93Q 0.58 0.707 1.3

42


Por ejemplo, si tomamos la expresión general de PB de 2° orden y pretendemos diseñar el filtro según la aproximación Butterworth deberíamos igualar los coeficientes de la tabla con la expresión general, sabiendo que a1 es el coeficiente que acompaña a S y b1 es el coeficiente que acompaña a S2

.

Comoloscoeficientesestánnormalizadosparaunafrecuenciadecortede1Hzresultaque:

b1 = por lo que es lógico b1 = 1

a1 = = 1.414 √2y como ω0 = 1 resulta Q √quevimoscorrespondíaalQdeun

filtrodesegundoordenButterworth

PodemosvertambiénelsignificadodeQenunfiltropasabajos.SirecordamoslaubicacióndelospoloscomplejosconjugadosysurelacióndeparterealeimaginariaconQoξresultaqueQeslarelaciónentrelaparteRealyω0,

ω0/ω0.ξ 1/ξ Q √

GráficamentecuantomenorsealaparteRealmayorseráQyvemosqueenestecasolospolosseacercanalejeY.

ƺ.ω0

ω0

ƺ.ω0

ω0

b1 a1 b1 a1

43


Implementación circuital de Filtros de 2° Orden: Para el diseño de filtros de orden n 2 se utiliza la técnica de etapas en

cascada. P. ej n=7 (1+2+2+2). S2

Veremos dos tipos de síntesis:

Filtros KRC o Sallen-Key Filtros de Realimentación múltiple.

44


Introducción-Explicación conceptual (Sallen-Key): Un filtro RC de primer orden tiene una síntesis elemental como sigue:

C

R

C

R

Pasa Bajos RC de 1° orden.

Este filtro tiene un comportamiento estudiado y para ω >ωc =1/RC una pendiente en el Bode de Ganancia de -20dB/Dec.

Si coloco dos etapas en cascada tendré:

Si f↓⇒C1 y C2 abiertos ⇒ ⇒ ⇒ 1 0

Si f↑⇒ atenúa C1 y C2 ⇒ doble atenuación ⇒ 2° orden. 1 Etapa (para w↑):

2 Etapas:

⇒ /

Con √

En resumen, resulta un filtro de 2° orden y puede demostrarse que tiene Q< 0,5.

Si quiero Q↑ debo reforzar la ganancia (respuesta de magnitud) cerca de ω=ω0 por lo que se debe proveer realimentación positiva controlada.

Propongamos el mismo RC pero agregando una etapa de ganancia K y una realimentación como se ve en la figura:

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a) Para ω << ω0 ⇒ C1 abierto ⇒ baja realimentación. (XC1 ↑) b) Para ω>> ω0 ⇒ Sube la acción de la realimentación por C1 y

baja la entrada del amplificador (XC2↓ ) Esta es la explicación del funcionamiento de los bloques de 2° orden

que se conocen como Filtros KRC (por el uso de un amplificador de ganancia K).

Filtro KRC Pasa Bajos:

En este circuito puede demostrarse que:

Ysirelacionamosestaecuaciónconlaexpresióngeneraldeunpasabajosde2doordenresultaqueloscoeficientesserían:

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Recordemos la expresión general para un PB de 2° orden

Cada celda de 2° orden luego puede calcularse según la aproximación deseadaButterworth,Chevyshev,Bessel.

Podemos entonces calcular ω0 y Q con las siguientes ecuaciones de

diseño:

Para ω0 tendremos:

∗ √

Observemos que resulta la media geométrica entre

y

;

√ .

ParalagananciaKtendremos: ** K

YparaQtendremos:

∗∗∗ √

Observar que K y Q dependen de cocientes de componentes y ωo depende de un producto

Ajuste del filtro: R1 → ajustar ω0 ( este ajuste también modifica Q ) RB → K → Ajusto Q (varío la ganancia pero no ω0 )

Solución óptima 1: DiseñoKRCc/componentesiguales.Como tengo 3 ecuaciones (*) (**) y (***); y cinco parámetros

(K,R1,R2,C1,C2) se pueden elegir a 2 para fijarlas y calcular las otras tres. Asi se propone: R1=R2=R ; C1=C2=C

47


∴ las ecuaciones de diseño serían: 1. ⟵

2. ⟵

3. 1 ⟵

Otra opción se conoce como KRC de ganancia unitaria. K=1 → Se propone R2=R, C2=C, R1=m.R y Cn = n.C

⇒ ; √ .

; √ .

Se puede demostrar que para un dado (relación entre C1 y C2) Q resultará máximo si m=1 es decir cuando las resistencias son iguales

∴ m=1 ⟹ √ ⟹ 4

Procedimiento 1. Para un Q ⟹ se busca un par de capacitores con 4

2. Luego √

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Filtro KRC Pasa Altos:

Tiene ecuaciones de diseño similares

√

Valen las mismas consideraciones de diseño.

Filtro Pasa Bandas KRC:

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Filtros de realimentación múltiple: A diferencia de los KRC tienen más de una trayectoria de

realimentación. Aprovechan toda la ganancia de lazo abierto (también se llaman de

ganancia infinita)

Pasa Banda:

Sensibilidad: Las tolerancias de los componentes producen un comportamiento que

se aleja del teórico. Importa conocer que tan sensible es un filtro a las variaciones de los

componentes. Por ejemplo: Si quisiera saber que tanto afecta en ω0 ó BW a un pasa

banda una variación del 1% en una R o C.

Definición:

Sensibilidad del parámetro respecto a un componente . Para cambios pequeños ≅

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Sensibilidad en los filtros KRC: Se demuestra que para un KRC pasa bajos tendremos la siguiente

sensibilidad según sea el diseño con componentes iguales o con ganancia unitaria.

Componentes iguales Ganancia unitaria

Además, para el KRC con componentes iguales, tenemos:

y porloquevemosqueaumentanconQ

Un desequilibrio en RB/RA puede llevar a valores muy altos de Q que puede producir oscilación. El diseño con ganancia unitaria ofrece sensibilidades mucho menores.

Sensibilidad en los filtros de realimentación múltiple: Ej. Pasa Banda =

Podemos ver que el diseño con capacidades iguales ofrece una sensibilidad igual a cero de Q respecto a las capacidades.

En resumen, los filtros con realimentación múltiple ofrecen menores sensibilidades de sus parámetros con respecto a los componentes.

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Observaciones sobre Sallen – Key vs MFB:

Sallen – Key c/ganancia unitaria MFB 2R + 2C : 4 componentes 3R+2C

2En CC es un No Inversor En CC es un Inversor

3La ganancia es unitaria (muy precisa) La ganancia depende de las R

4Menor ruido (1) Ruido = 2

5Convenientes para filtros con Q↓ Conveniente para Q↑ y alta f ya que aparecen C

6Por efecto de Rout aparece un aumento en |H| para f ↑

7Alta sensibilidad frente a variaciones de componentes Baja sensibilidad

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