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  • 9. Vorlesung

    Petri-Netz (Modellierung)Vorlesung WS 06/07Modellierung & Simulation berblick

  • Modellierung mit Petri-Netzen Motivation

    Modell zur Simulation mit den folgenden Eigenschaften:

    System beschreibt den Informations- bzw. Daten- und Objektfluss.System bildet parallel laufende Prozesse und deren Organisation und Kommunikation ab.Es wird dem modularen Aufbau und der hierarchischen Struktur Rechnung getragen.Anwendungsproblematik ist diskret darstellbar.Fr jeden eintretendenden Prozess des Systems werden die Voraussetzungen fr sein Eintreten und seine Auswirkungen aufgezeigt. Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Petri-Netze

    Darstellungsform der Petri-Netze:Graph.

    Petri-Netze sind gerichtete Graphen.

    Zwei verschiedene Knotenarten: - Stellen und - Transitionen.

    Einschrnkung:Kante nur zwischen zwei Knoten verschiedener Art.

    Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Netz zeigt die strukturellen Zusammenhnge des Systems.

    Das Tripel N = [P,T,F] wird Netz genannt, wenn

    - P und T endliche, nichtleere disjunkte Mengen sind,- F (P x T) (T x P) eine binre Relation.

    Alle Elemente p von P bezeichnen die Stellen (auch Pltze) des Netzes N, die Elemente t von T die Transitionen. F ist die Bogenmenge von N.

    Zur Struktur einer Anwendung muss nun auch die Interpretation beschrieben werden. Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Token:Marken auf den Stellen geben an, ob eine Stelle belegt ist, d.h. ob Objekte vorliegen. Konzession:Sind alle Stellen, deren Kanten zu einer Transition hinfhren belegt, kann die Transition schalten, d.h. die fr die Verarbeitung notwendigen Voraussetzungen sind gegeben und der Prozess kann ausgefhrt werden. Feuern:Dabei wird die Belegung den Eingabestellen entnommen und eventuell auf den Ausgabestellen eine Belegung erzeugt.

    Transitionen, die keine Vorstellen haben, schalten immer, Transitionen ohne Nachstellen lassen Belegungen verschwinden.

  • Kantengewichte:Nun knnen beim Schalten mehrere Marken gleichzeitig einer Stelle entnommen und wieder auf eine Stelle abgelegt werden.

    Marken entsprechen natrlichen Zahlen, die die Konzentrationen der einzelnen Substanzen angeben, z.B. ber die Anzahl der Molekle.

    Markierung: Es sei N = [P,T,F] ein Netz. Jede Abbildung m von der Platzmenge P in die Menge IN aller natrlichen Zahlen wird als Markierung von P bezeichnet.

    Festlegung: Ist N = [P,T,F] ein Netz und x P T ein Knoten von N. Dann bezeichnet xF die Menge aller Knoten y, zu denen ein von x ausgehender Bogen aus F fhrt, d.h.

    xF := {y | (x,y) F }. Analog ist Fx definiert: Fx := {y | (y,x) F }.Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Petri-Netz: Das Quintupel N = [P,T,F,Vk,m0] heit Petri-Netz, wenn1)[P,T,F] ein Netz ist,2)Vk eine Abbildung ist, die jedem Bogen f F eine positive natrliche Zahl Vk(f) zuordnet, wenn m0 eine Markierung von P ist.Gesamtzustand:Belegung der Stellen des Systems mit Marken zu einem Zeitpunkt. Sie wird als die Markierung des Netzes bezeichnet.

    Zustandswechsel:Schalten von Transitionen.

    Das Schalten von Transitionen beschreibt den Ablauf eines Systems. Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Konzession und Schalten einer Transition. Sei N = [P,T,F,Vk,m0]ein Petri-Netz, m eine Markierung von P und t eine Transition aus T.

    Die Transition t hat Konzession bei der Markierung m, wenn fr alle Vorpltze p aus Ft gilt:m(p) Vk(p,t).

    Wenn t Konzession bei m hat, dann darf t bei m schalten. Durch Schalten von t bei m entsteht die Markierung m (als Formel: m[t>m), wobei fr p P gilt:

    m(p) -Vk(p,t)+ Vk(t,p), falls pFt und ptFm:=m(p) -Vk(p,t),falls pFt und p kein tFm(p) + Vk(t,p),falls p kein Ft und ptF m(p),sonst.Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • HexokinaseG6PADPGlucoseATPHexokinaseG6PADPGlucoseATPVorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Interpretation

    Anzahl der Marken gibt die Konzentration der Substanz an.

    Ein Abweichen von Normwerten entspricht dem ber- oder Unterschreiten von Grenzwerten fr die Konzentrationen von Metaboliten, also fr die Anzahl der Markierungen. Petri-Netze mit Kapazitten.

    Kapazittsbeschreibung von Reisig beinhaltet nur eine Beschrnkung nach oben, die maximale Kapazitt.Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • InterpretationDie elementaren Reaktionen der biochemischen, genetischen und der Prozesse der Zelldifferenzierung sind durch Vorbedingungen (z.B. Substrate), Nachbedingungen (z.B. Produkte) und Inhibitor- und Repressor-Aktivitten gekennzeichnet.

    Fr das biologische Modell muss eine Beschrnkung definiert werden, die minimale und maximale Kapazitt. Erst dann ist die Abbildung eines Konzentrationsintervalls im Modell mglich, mit deren Hilfe u.a. Engpsse (Metabolic Bottlenecks) in einem Stoffwechselprozess identifizierbar werden.

    Auerdem spielt der zeitliche Verlauf der Konzentrationen im Raum eine wichtige Rolle. Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Petri-Netz mit Kapazitten. Ein 7-Tupel N = [P,T,F,Kun,Kob,Vk,m0]heit Petri-Netz mit Kapazitten, falls gilt:1)[P,T,F,Vk,m0] ist ein Petrinetz,2)Kun: P IN erklrt eine minimale Kapazitt fr jede Stelle,3)Kob: P IN erklrt eine (mglicherweise unbeschrnkte) maximale Kapazitt fr jede Stelle,4)m0: P IN ist eine Anfangsmarkierung, die die Kapazitten respektiert, d.h. fr jede Stelle p aus P gilt:

    Kun(p) m0(p) Kob(p).

    Die Begriffe der Markierung und der Konzession werden auf dieDefinition der Kapazitten angepasst. Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Sei N ein Petri-Netz mit Kapazitten.Eine Abbildung m: P IN heit Markierung von N, falls fr jede Stelle p aus P gilt:

    Kun(p) m(p) Kob(p).

    Sei m eine Markierung von N. Eine Transition t aus T hat Konzession bei der Markierung m, wenn fr alle Vorpltze p aus Ft von t gilt:

    m(p) -Vk(p,t) Kun(p) und m(p) + Vk(t,p) Kob(p).

    Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Die alkoholische Grung wandelt zur Energiegewinnung Glucose in Ethanol um. Die Gesamtgleichung lautet:C6H12O6 2 CO2 + 2 C2H5OH

    Diese Reaktionsfolge wird in der Biologie wie folgt dargestellt:GlucoseBrenztraubensureAcetaldehydEthanolGlykolyseDecarboxylierungReduktionCO2NADH + H+NAD+Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Wir knnen nun den gerichteten Graphen als Reprsentation whlen. Hier sind die Knoten die Substanzen und die Kanten geben die Reaktionsrichtung an.GlucoseBrenztrau-bensureAcetaldehydEthanolCO2NADH + H+NAD+In Netzform werden auch die ablaufenden Reaktionen dargestellt:GlucoseGlykolyseBr.tr.-sureDecarboxy-lierungCO2Acetal-dehydReduktionNADH+ H+NAD+Ethanol

  • Reprsentation als Petrinetz mit Anfangsmarkierung:GlucoseGlykolyseBr.tr.-sureDecarboxy-lierungCO2AcetaldehydReduktionNADH+ H+NAD+Ethanol211111111GlucoseGlykolyseBr.tr.-sureDecarboxy-lierungCO2AcetaldehydReduktionNADH+ H+NAD+Ethanol211111111Bei dieser Anfangsmarkierung hat nur die Glykolyse Konzession:

  • GlucoseGlykolyseBr.tr.-sureDecarboxy-lierungCO2AcetaldehydReduktionNADH+ H+NAD+Ethanol211111111Im Beispiel der alkoholischen Grung werden folgende Kapazitten fr die einzelnen Substanzen festgelegt:Glucose:[2, 2000]Brenztraubensure: [0, 4000]CO2: [0, w]Acetaldehyd:[0, 4000]NADH + H+:[0, w]NAD+:[0, w]Ethanol:[0, 4000]

    Ausgehend vom Zustand m ist nun folgender Nachfolgezustand mglich:[2, 2000][0, 4000][0, w][0, 4000][0, w][0, w][0, 4000]

  • Simulation mit Petri-NetzenJede geschaltete Transition entspricht einem Schritt im Ablauf des gesamten Systems. Berechnung der Folgemarkierungen von Transitionsschritten:Definierte Beziehungen in Matrixform bringen. Zeilen reprsentieren die Stellen und Spalten die Transitionen. Entzug von Marken einer Stelle wird durch ein negatives Matrixelement dargestellt, die Erzeugung von Marken durch positive Matrixelemente. Die Startkonfiguration wird als Vektor dargestellt, dessen Gre durch die Anzahl der Stellen im Netz festgelegt ist.Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Sei m0 der Vektor der Anfangsmarkierung, C Matrix, die die Vernderungen durch das Schalten von Transitionen beschreibt und x Vektor, der angibt, welche Transitionen geschaltet werden, so ergibt sich folgende Beziehung:

    m = m0+ Cx

    m ist die durch die Anwendung der Transitionen neu entstehende Markierung des Netzes.

    Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Erweiterung der Petrinetze

    Idee:Funktionen als Kantenmarkierung.Stellen (Namen) der Netze = Parameter dieser Funktionen.

    Erkennung von spezifischen Markierungen:- Bottelnecks im Stoffwechselmodell,- Deadlocks im System,- Konfliktsituationen etc.

    Modellerweiterung:- Selbstmodifikation der Kanten und- Petri-Netze mit definierten Kapazitten der Stellen.Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Selbstmodifikation der Kanten

    Erweiterung durch die von Valk definierte Selbstmodifikation. Beschriftung der Kanten durch natrliche Zahlen sowie die Bezeichnung einer Stelle.

    Hier werden der entsprechenden Stelle, an der der Bogen beginnt, so viele Marken entzogen, wie aktuell gerade in der durch die Kantenbeschriftung bezeichneten Stelle enthalten sind.

    Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Selbstmodifikation der Kanten

    Definition: Ein Petri-Netz N = (P,T,F,Vs,m0) heitselbstmodifizierendes Netz, falls gilt:

    - {P,T,F} ist ein Netz,- Vs: P PN T INmit PN = P IN, m0: P IN Anfangsmarkierung.Vorlesung Modellierung & Simulation6. Petri-Netze

  • Konzess

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