10. vorlesung 6. petri-netze (ii) eigenschaften von petri-netzen petri-netze und simulation 7....

10. Vorlesung

6. Petri-Netze (II)Eigenschaften von Petri-NetzenPetri-Netze und Simulation

7. Regelbasierte Modellierung

Vorlesung WS 06/07 Modellierung & Simulation Überblick

Eigenschaften von Petri-Netzen

Definition: Sei N ein Petri-Netz. Die Menge aller endlichen Folgen (Wörter) von Elementen aus T, darunter das leere Wort mit der Länge 0, bezeichnet man mit W(T). Die Länge eines Wortes q wird durch l(q) notiert. Für Markierungen m,m’ von P, Wörter q aus W(T) und für eine Transition t aus T definiert man die Relation m [q> m’ induktiv durch:

Anfangsschritt: m [e> m’ m=m’

Induktion q=> qt: m [qt> m’ m’‘ (m [q> m’‘ und m’‘ [t> m’).

Schließlich definiert man die Erreichbarkeit [*> von N durch

m [*> m’ : q (q aus W(T) und m [q> m’).

Wenn m [*> m’ im Netz N gilt, heißt m’ erreichbar von m in N.

Vorlesung Modellierung & Simulation 6. Petri-Netze

Erreichbare Zustände - Erreichbarkeitsgraph

Definition: Mit RN(m) bezeichnet man die Menge aller von m in N erreichbaren Markierungen und mit LN(m) die Menge aller Transitionswörter q, die, von m ausgehend, Transition für Transition geschaltet werden können:

RN(m) := {m’ | m [*> m’ } und LN(m) := {q | m’ (m [q> m’)}.


Erreichbare Zustände - Erreichbarkeitsgraph Definition: Es sei N ein Petri-Netz. Als Erreichbarkeitsgraph von N bezeichnet man den Graphen EG(N) := [RN(m0), BN], der die in N erreichbaren Markierungen RN(m0) als Knoten und die Menge BN von mit Transitionen beschrifteten Bögen hat, wobei

BN = { [m,t,m’] | m,m’ aus RN(m0) und t aus T und m [t> m’ }

[m,t,m’] beschreibt einen Bogen vom Knoten m zum Knoten m’, der mit t beschriftet ist.

Schon für beschränkte Netze benötigen wir exponentielle Zeit.


Beschränkte Netze

Die Markenzahl jeder Stelle bleibt unter einem Maximalwert.

Die Menge aller erreichbaren Markierungen ist endlich.

Der Erreichbarkeitsgraph ist konstruierbar.

Unbeschränkte Netze

Die Menge der erreichbaren Markierungen ist unendlich.

Die Erreichbarkeit ist entscheidbar - auch für unbeschränkte Netze (Mayr).

Der Aufwand - keine praktikable Lösung.


Beschränktheit

Definition: Es sei N ein Petri-Netz, m eine Markierung von P und p ein Platz aus P, ferner k eine positive, natürliche Zahl.

1) p heißt k-beschränkt bei m, wenn für jede von m in N erreichbare Markierung m’ gilt: m’(p) k.

2) p wird beschränkt bei m genannt, wenn ein k existiert, für das p k-beschränkt bei m ist.

3) Das Netz N heißt beschränkt bei m, wenn alle seine Plätze beschränkt bei m sind.


Beschränktheit

Ein Petri-Netz mit Kapazitäten ist per Definition beschränkt.

Der Algorithmus zur Untersuchung der Beschränktheit von Petri-Netzen wurde 1990 hergeleitet. Er wurde nur für Petri-Netze mit Konstanten als Bogenbeschriftung bewiesen.

Für selbstmodifizierende Netze hat Valk die Unentscheidbarkeit der Beschränktheit bewiesen.


ÜberdeckbarkeitDie Überdeckbarkeit beschreibt den Fall, dass eine bestimmte Markierung nicht genau erreicht werden muß, sondern die gewünschte Markierung nur eine Teilmenge der erreichten Markierung betrifft.


Definition: Sei N Petri-Netz, Q sei nicht leer und Teilmenge von P.

1) m heißt von m’ überdeckt, wenn m m’ ist.

2) m wird überdeckt in N genannt, wenn es eine in N erreichbare Markierung m`gibt, die m überdeckt.

3) Jede Markierung von Q ist eine Teilmarkierung von P auf Q.

4) Eine Teilmarkierung m* auf Q heißt erreichbar von der Markierung m in N, wenn von m in N eine Markierung erreichbar ist, die mit m* auf Q übereinstimmt.


Bottlenecks: Der Normbereich wird über- oder unterschritten.

Definition: Sei N ein Petri-Netz, m eine Markierung von P.

Eine Markierung m heißt Bottleneck, wenn m von m0 aus erreichbar ist und für mindestens ein p aus P gilt:

m(p) < Ku oder m(p) > Ko.

Bottelneckerkennung ist über die Erreichbarkeit analysierbar.

Für kleine, beschränkte Modelle ist der Erreichbarkeitsgraph konstruierbar.

Sind jedoch die Modelle komplexer oder unbeschränkt, bleibt nur die Analyse über die Simulation.Vorlesung Modellierung & Simulation 6. Petri-Netze

Tod und Lebendigkeit von Transitionen / Markierungen

Duale Begriffe!

Totsein (Transition) := Die Transition kann ab der betrachteten Markierung nie schalten.

Lebendigkeit (Transition) := Die Transition hat immer wiederGelegenheit zu schalten.

Definition: Sei N ein Petri-Netz.

1) Eine Markierung m von P heißt tot in N, wenn kein t aus T bei m Konzession hat.

2) Eine Transition t von N heißt tot bei der Markierung m in N, wenn von m aus keine Markierung erreichbar ist, bei der t Konzession hat. Wenn t tot bei m0 ist, so sagt man, dass t tot in N sei und nennt t ein Fakt.

3) Eine Transition t von N heißt lebendig bei der Markierung m in N, wenn sie bei keiner von m aus erreichbaren Markierung tot ist. Wenn t lebendig bei m0 ist, wird t als lebendig in N bezeichnet.

4) Eine Markierung m von P wird lebendig in N genannt, wenn alle Transitionen t aus T lebendig bei m in N sind.

5) Das Petri-Netz heißt lebendig, wenn seine Anfangsmarkierung m0 lebendig in N ist.

Deadlock

Definition: Sei N ein beliebiges Petri-Netz. Eine nichtleere Platzmenge

D Teilmenge von P wird (struktureller) Deadlock in N genannt, wenn

jede Transition die Marken in die Menge D hineinschaltet, auch Marken

aus D entnimmt.

Kritisch wird es, wenn ein Deadlock nicht mehr genug Marken hat, um

eine seiner Nachtransitionen zu konzessionieren.

Folgerung:

1. Wenn ein Platz p keine Vortransition hat, dann ist {p} ein Deadlock.

2. Wenn es keinen Deadlock in N gibt, dann ist N lebendig.


PN type PN tool Application Reference

High level Stella Dynamic biological systems,especially ecological system.

Goldberg,95; Ruth,97

Hybrid VON++ Gene regulatory; Metabolic pathways;Bioprocess

Doi,99; Chen,00; Matsuno,00; Matsuno,01; Chen,02; Chen03

Stochastic UltraSAN Protein synthesis from mRNA; Plasmid Replication; Prion Propagation

Goss,98;Goss,99;Srivastava,01

Hierarchical PED Pentose phosphate pathway Koch,99

High level THORNs Ecological system Gronewold,97;Gronewold,98

High level Design/CPN

Glycolysis Voss,00;Kueffner,00;Genrich,01

Functional GON/Cell Illustrator

Biopathways; Cell development Mat03;Nag03

PN-Simulatoren

• Designed to describe data (it is the way how to store, stucture, send and exchange information).

• Generalization of HTML, it is not replacement for HTML.

• DTD (Document Type Definition) is used for description of XML data; DTD defines legal elements in XML document.

• Extensible - it allows the author to define his own tags and his own document structure.

• Stored in plain text format, it provides hardware, and software independence; it is used to store data, to share data and to exchange data between different applications.

XML

PNMLhttp://www.informatik.hu-berlin.de/top/pnml/

• Problem:- Lack of a standard interchange format for bioinformatics and Petri nets- Many software tools, few common exchange formats

• Difficult to exchange models between different analysis & simulation tools• Difficult to take advantage of different tools

• A Solution:- To define a common exchange language

• Use a simple, well-supported, textual substrate (XML)• Add components that reflect the natural conceptual constructs used by modelers in the

domain- To extend the SBML & PNML

• BioPNML Proposal:- A common XML format for metabolic networks Petri net modeling- Enables exchange of models between bio-simulators and Petri net tools

XMLs

XSLT

Other appl.literaturesCellMLWWW ...

Remote database layer

Client layer

XMLs

Petri Net Modeling & SimulationOther bio-simulators Other purposes

BioPNML

MARGBench XSLTXSLT

Tools Gepasia Jarnacb DBsolvec E-Celld VON++/GONe

Stoichiometry matrix presentation + + + + -

Core algorithm and method MCA MCA MCA SRM, MCA Petri net

Pathway DB retrievable - -WIT/MPW, EMP

KEGG, EcoCyc KEGG

Pathways graphic editor - ++++ ++++ - +++++

Kinetic types ++++ +++ +++ ++ ++++

Virtual cell model - - - + +

Simulation graphic display ++++ +++ ++ ++ +++

Mathematical model accessible and modifiable + + + + +

Data XML export * SBML* * * Biopathway XML

User interface ++++ +++ ++++ +++ ++++

Programming language C++ Delphi 5 C++ C++ Delphi /Java

Simulation von Netzwerken

Metabolic/SignalPathways

Cell Communication

SynthesisRe

gulat

ion

Influence

Effect

Gene Regulation

Regelbasierte ModellierungEigenschaften:

Parallelität

Probability

Modularität

Datenfluss

Genetic Information

Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Das metabolische System

Idee: Regelbasiertes System für die Formalisierung von:

- Biosyntheseprozessen,

- Proteinsyntheseprozessen,

- Metabolic pathways sowie

- Zellkommunikationsprozessen.

Die Grundlage ist eine universelle Regel:

- Die Spezifikation der Regelwahrscheinlichkeit (p).

- Vier weitere Komponenten = spezifische Metabolite.


Metabolisches System

Notation: Die Menge aller möglichen Zellzustände wird im Weiteren mit Z bezeichnet.

Fundamental für das metabolische System ist die metabolische Regel.

Festlegung der Menge Z.

1. Schritt:Eine universelle Regel entwickeln, die die bekannten Gesetzmäßigkeiten qualitativ beschreibt.

Die einfachste Form der Formalisierung: Black-Box-Modell.

Substrate werden biochemisch in Produkte transformiert (S P).

S und P sind hier metabolische Gemische (z.B. 2H+O H2O).Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

Definition: Vorbedingung/Nachbedingung

Sei v n eine biochemische Reaktionsgleichung, dann ist v die Vorbedingung und n die Nachbedingung.

Reaktionen finden immer in einer metabolischen Umgebung statt, die dadurch modifiziert wird.

Dies lässt sich im Fall v n im Zustand z Z einfach beschreiben:

z' = (z \ v) n.


Biochemische Reaktionen - reversible Reaktionen: A B.

Modell - durch zwei Produktionen darstellbar: A B und B A.

Kaskaden biochemischer Reaktionen: A B C D ... Werden ebenfalls aufgespalten: A B, B C, C D,....

Häufig sind Zwischenreaktionen unbekannt: A D.

Modell - durch eine Regel abkürzend formalisiert: A D.


In den biochemischen Reaktionsgleichungen werden die fördernden und hemmenden Reaktionen wie folgt dargestellt:

A B (Katalysator) und

A : B (Blockierer).

BeispieleAlkohol-Dehydrogenase

Ethylenglykol : Oxalsäure (Hemmung durch Ethanol)

Isomerisierung von Glucose-6-phosphat zu Fructose-6-phosphat:

Glucose-6-phosphat Fructose-6-phosphat (Katalyse durch Glucosephosphat-Isomerase)

Umwandlung von Lactose in Galactose

Lactose Galactose (Katalyse durch β-Galactosidase)


Definition: Metabolische Regel

Sei Z die Menge aller möglichen Zellzustände. Eine metabolische Regel ist ein 5-Tupel (p,V,N,F,H), wobei p [0;1] und V,N,F,H Z.

p heißt Regelwahrscheinlichkeit,

V ist eine Menge von Vorbedingungen,

N ist eine Menge von Nachbedingungen,

F ist die Menge der Förder-Substanzen (Förderer) und

H ist die Menge der Hemm-Substanzen (Hemmer).

Notation: Ist V, N, F oder H die leere Menge, so wird dies im Weiteren durch dargestellt.


Semantik wird wie folgt festgelegt:

a) Biosynthese

V-Komponente: Spezifiziert die Metaboliten, die in den biochemischen Prozess einlaufen (Substrat).

N-Komponente: Spezifiziert die Metaboliten, die aus diesem biochemischen Prozess hervorgehen (Produkt).

Fördermenge: Metabolite, die den biochemischen Prozess katalysieren.

Hemmer: Metabolite, die die Reaktionsgeschwindigkeit des biochemischen Prozesses herabsetzen.

Die Wahrscheinlichkeit p wird als Reaktionsgeschwindigkeit interpretiert.


Beispiel: Die reversible Biosynthese

Glucose-6-phosphat Fructose-6-phosphat

wird durch das Enzym Glucosephosphat-Isomerase katalysiert.

Dies kann durch zwei metabolische Regeln modelliert werden:

(p, {Glucose-6-phosphat}, {Fructose-6-phosphat}, {Glucosephosphat-Isomerase}, Æ)

(p, {Fructose-6-phosphat}, {Glucose-6-phosphat}, {Glucosephosphat-Isomerase}, Æ)

Für die Hydrolyse der Lactose ergibt sich:

(o.7, {Lactose}, {Galactose, Glucose}, {ß-Galactosidase}, )Vorlesung Modellierung & Simulation 7. Regelsystem

b) Proteinsynthese

Die metabolische Regel repräsentiert ein Operon.

Strukturgene werden durch die Menge N spezifiziert.

F modelliert die Funktion der Induktoren (z.B. enhancer).

Repressoren werden durch die Hemmer spezifiziert.

Beispiel:(p, {Aminosäuren, t-RNS, RNS-Polymerase}, {ß-Galactosidase, Permease, Transacetylase}, {Lactose}, {Glucose})


c) Zellkommunikation

Metabolische Regel erlaubt Formalisierung metabolischer Randbedingungen:

Die Prozesse der Zellkommunikation, des Zerfalls von Metaboliten und die Abstraktion komplexer Biosynthesen.

Die einfachste Art der Zellkommunikation:

Diffusion durch gaps der Zellmembran sowie

Exocytose und Endocytose.

Beispiel: Die Galactosid-Permease des Lactose-Operons dient der Aufnahme von Galactosiden.

(p, , {Galactose}, {Galactosid-Permease}, )


Das Basismodell ist ein diskretes Modell.

Definition: Metabolisches Basissystem

Ein metabolisches Basissystem ist ein Tripel G = (Z, R, z0).

- Z bezeichnet die Menge aller möglichen Zellzustände,

- z0 Z ist der Start-Zell Zustand und

- R eine endliche Menge metabolischer Regeln.

Die Arbeitsweise des metabolischen Basissystems.

Grundidee: Eigenschaften der metabolischen Verarbeitung in das Modell integrieren.


10. vorlesung 6. petri-netze (ii) eigenschaften von petri-netzen petri-netze und simulation 7....

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