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9. Vorlesung EPI. Mechanik

6. Hydro- und Aerodynamik(Bernoulli-Gleichung, Viskosität)

Versuche:Bernoulli (Druckänderung bei Änderungdes Rohrdurchmessers)Abdecken eines Hausesturbulente und laminare StrömungenMagnuseffekt in WasserBlutdruckmessung


blaue Linien ��• Bahnen von Partikeln der Flüssigkeit• Dichte der Linien ist ein Maß für die

Geschwindigkeit

Hydro- und Aerodynamik:

(Strömung von Fluiden, also flüssigen und gasförmigen Substanzen)

•Strömungsfeld charakterisiert durchGeschwindigkeitsverteilung im Raum

•stationär = nicht zeitabhängig

• (zunächst ohne Reibung, Viskosität)

6. Hydro6. Hydro6. Hydro6. Hydro---- und und und und AerodynamikAerodynamikAerodynamikAerodynamik


.constvAtVI =⋅=∆∆=

Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung:

Teilchen- oder Massenstrom J

tVtMJ ∆∆⋅ρ=∆∆=

Volumenstrom durch eine Fläche A

Kontinuitätsgleichung (für inkompressibles, ideales Fluid)→ V1/V2 = A2/A1

Die Strömungsgeschwindigkeitnimmt an einer Engstelle zu,

Ursache der Beschleunigung ?


Energiebilanz an der Engstelle:

Beschleunigung ← Kraft auf Strecke (Arbeit) ← Druckdifferenz (p2 > p1)

Aus Kin. Energie + Stempelarbeit = const. folgt

Staudruck (dynamischer Druck) + Stempeldruck (statischer Druck) = const.

kGesamtdrucconstp)2v( 2 ==+⋅ρ

.constp)2v()gh( 2 =+⋅ρ+⋅ρ

Bernoulli Gleichung

Ändert sich außer dem Rohrdurchmesser auch noch die Höhe h über dem Boden (ansteigendes oder abfallendes Rohr), so muß zusätzlichder Schweredruck berücksichtigt werden:


Herleitung der Bernoulli-Gleichung

Ekin= ½ ∆M ·v1² < ½ ∆M ·v2² ,weil wegen der Kontinuitätsgleichung v1/v2 = A2 /A1.

Energie-Erhaltung:½ ∆M ·v2² - ½ ∆M ·v1² = Arbeit durch Druck

F1· ∆x1 – F2· ∆x2

=p1·A1· ∆x1 – p2·A2·∆x2=p1·∆V – p2·∆V

44444 344444 21

½ ∆M ·v²2 + p2·∆V = ½ ∆M·v²1+p1·∆V = const. (d.h. überall).Geteilt durch ∆V:

.constp2

v2

=+⋅ρ


Hydrodynamisches Paradoxon:

In Bereichen mit hoher Strömungsgeschwindigkeit herrscht ein reduzierter statischer Druck

Bunsenbrenner

Zerstäuber

Tragfläche

Haus im Sturm

Innendruck > stat. Druck oben


Weitere Beispiele für die Verringerung des statischen Drucks in Regionen hoher Geschwindigkeit:

Die Gebiete zusammengedrängter Stromlinien (Unterdruck) ziehenAn den Seiten der Scheibe (→Drehmoment im mittleren Bild)Beispiel: fallende Blätter


„Magnus-Effekt“ bei Umströmung eines rotierenden Körpers

Wegen der Adhäsion an der Kugeloberfläche führt die Kugel eine Wasserschicht mit sich herum. Dadurch ist die Geschwindigkeit des Wassers rechts größer als links. Der gleiche Effekt tritt bei rotierenden Bällen in Luft auf.


z

vAFR ∆

∆⋅⋅η−=

Strömung viskoser Flüssigkeiten und Gase

Kohäsionskräfte behindern die Bewegung der Teilchen in einem Fluid (→innere Reibung). Wir betrachten zunächst laminare Strömung.Flüssigkeitsschichten gleiten aneinander vorbei und üben eine Schub-spannung auf die benachbarten Schichten aus. Ist die Adhäsion zur Wand größer als die Kohäsion, so haftet die an die Wand angrenzendeSchicht (v=0). Andernfalls bewegt sie sich reibend an der Wand (→äußereReibung). Die innere Reibungskraft ist proportional zum Geschwindigkeits-Gradienten ∆v/∆z:

Reibungskraft

Materialkonstante η η η η ====„Viskosität“


ηηηη in [Pa · s] (Pascalsekunde) =

2m

Ns

Zahlenwerte für ηηηη bei 20°C in Einheiten [Pa · s]:

4,4·10-32·10-510-3~ 1ηηηηBlutLuftWasserÖlStoff

Flüssigkeiten mit ηηηη unabhängig von ∆∆∆∆v/∆∆∆∆z heißen Newtonsche Flüssigkeiten. Blut ist eine nicht-Newtonsche Flüssigkeit (oben ist der Mittelwert seiner Viskosität eingetragen).

Druck FR/A ist nötig, um konstanten Volumenstrom I z.B. durchein Rohr zu erreichen. Für Newtonsche Flüssigkeiten und laminareStoffe (unverwirbelt) gilt

p1 p2

Mit ∆∆∆∆p = p1-p2, Rs=Konstante=Strömungswiderstand, I = ∆∆∆∆V/∆∆∆∆tDamit ergibt sich ein Druckgefälle beim Durchströmen einesRohrsystems:

∆∆∆∆p = RsI


Bei gleichmäßiger Strömung muss dieReibungskraft durch eine Druckdifferenzausgeglichen werden.Es folgt ein linearer Druckabfall im Rohr:

Bei hohen Geschwindigkeiten v> vk geht dielaminare Strömung ineine turbulente über

vk≈ 1000 η/ρrmit r = Rohrradius.

Rs steigt dramatisch(etwa prop. v2)

I = ∆∆∆∆V/∆∆∆∆t = pR

1

s

∆


Kugelfallviskosimeter:

Stokes’sche Reibung bremst ~ η r v

Schwerkraft (-Auftrieb) beschleunigt ~ ρ r3

Konstante Sinkgeschwindigkeit, wennbeide Kräfte sich kompensieren ist proportional zum Quadrat des Radius

Medizin: Messung der Blutsenkung (Sinkgeschwindigkeit der imBlutplasma suspendierten roten Blutkörperchen), durch Agglomeration bei Infektionen reduziertalternative Meßmethoden: Kapillarviskosimeter (s. nächste Seite),

Rotationsviskosimeter

h


Der gesamte Volumenstrom ist•proportional zur Druckdifferenz•umgekehrt prop. zur Viskosität•und umgekehrt proportional zur Rohrlänge•prop. zur vierten Potenz des Radius

Strömung nach Hagen-Poiseuille

Strömt ein viskoses Fluid durch ein Rohr (Ader), so bildet sich eine parabolische Geschwindigkeits-verteilung aus u(r) ~ (R-r)2

d.h. Strömungswiderstand RS = (8ηL/πR4)


Folgen der R4 Abhängigkeit des Volumenstroms

Bei Verengung des Rohrs entweder starke Stromreduzierung oder zur Kompensation starke Druckerhöhung notwendig ...


Blutkreislauf

•Blutkreislauf ist parallel angelegt, Lunge und Körper aber in Serie

•Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren ist ca. 1000-fach größer als in der Aorta, also die Geschwindigkeit entsprechen kleiner

•Druckabfall erfolgt in den Kapillaren mit kleinem Radius

Druck

Querschnitt

mittlere Geschwindig-keit

Arterien Kapillaren Venen


•Druckabfall erfolgt in den Kapillaren mit kleinem Radius •um Hagen Poiseuille zu entschärfen, reduziert sich dieViskosität des Bluts in den Kapillaren (Fahraeus-Lindquist Effekt)

Rote Blutkörperchen in einer Glaskapillare von 10 µm Durchmesser

Ordnung der roten Blutkörperchen reduziertStrömungswiderstand

Arterien, Venen

Kapillaren

dz

dv~

= Druck


Bemerkung zum Blutkreislauf beim MenschenTypische Drucke im Blutkreislauf:im Lungenkreislauf p = 10 bis 20 Torrim Körperkreislauf p = 70 bis 140 TorrBlutvolumen gepumpt: ca. 5 Liter/MinuteAortadurchmesser ca. 2,5 cm. Gesamtquerschnitt der verzweigten Blut-gefäße (Kapillaren) entspricht dem Tausendfachen des Querschnitts in der Aorta. Deshalb ist die Geschwindigkeit in den Kapillaren ein Tausendstel der Geschwindigkeit in der Aorta (Kontinuitätsgleichung). Die Geschwin-digkeit in den Kapillaren ist 0,3 mm/sek. Kleiner Radius in den Kapillaren ergibt sehr hohen Widerstand, d.h. der Druckabfall erfolgt im Wesentlichen in den dünnen Blutgefäßen.Blutverteilung im Körper kann über die Radiusänderung der Adern gesteuert werden. Beim gesunden Körper ist die Blutströmung im allgemeinen laminar (Aus-nahme Herzklappen). Beim kranken Körper werden durch Ablagerungen an den Blutgefäßen turbulente Strömungen auftreten, die hörbar werden. Im Körperkreislauf variiert der Blutdruck zwischen der Systole (Kontraktion des Herzens) mit ca. 140 Torr und der Diastole mit 80 Torr (Rückbewegung im Herzen). Die Aorta ist elastisch und gleicht Druckschwankungen, die von der Pumpe Herz erzeugt werden, aus.


Blutdruckmessung

•Druck in einer großen Arterie ist etwa gleich dem in der Aorta•Abdrücken des Blutflusses mit Manschette bis kein Puls mehr spürbar•Druckablassen bis Turbulenzgeräusche hörbar (systolischer Druck)•Ablassen bis Turbulenzgeräusche verschwinden, das Blut zirkuliert jetztlaminar (diastolischer Druck)

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