8. sınıf matematik ders kitabı.pdf

MATEMAT‹KMATEMAT‹K

88YAZARLAR

‹LKÖ⁄RET‹M

DERS K‹TABI

Serpil Çiçek AYGÜNNurhayat AYNUR

Nurdan COfiKUNTÜRKSema Seher ÇUHA

U¤ur KARAMANUfuk ÖZÇEL‹KMutlu ULUBAYNevzat ÜNSAL

DEVLET K‹TAPLARI

BEfi‹NC‹ BASKI

..........., 2012

Millî E¤itim Bakanl›¤›, Talim ve Terbiye Kurulunun 14.02.2008 gün ve 113 say›l›karar› ile ders kitab› olarak kabul edilmifl, Destek Hizmetleri Genel Müdürlü¤ünün

19.03.2012 gün ve 3398 say›l› yaz›s› ile beflenci defa 237.259 adet bas›lm›flt›r.

Her hakk› sakl›d›r ve Millî E¤itim Bakanl›¤›na aittir.

Kitab›n metin, etkinlik, soru ve flekilleri k›smen de olsa hiçbir surette al›n›p yay›mlanamaz.

M‹LLÎ E⁄‹T‹M BAKANLI⁄I.........................................................................................................: 4507

DERS K‹TAPLARI D‹Z‹S‹.......................................................................................................: 1289

ED‹TÖRDoç. Dr. Soner DURMUfi

D‹L UZMANITurgut BA⁄RIAÇIK

ÖLÇME VE DE⁄ERLEND‹RME UZMANIFatma DURAN

GÖRSEL TASARIMKezban UÇAKSevim YILMAZ

‹hsan TÜRK

REHBERL‹K UZMANIZeki AYDIN

PROGRAM GEL‹fiT‹RME UZMANIMelek AY

12.?.Y.002.3688

ISBN: 978-975-11-3012-9

7

‹Ç‹NDEK‹LER

1. ÜN‹TE: KURALLI fiEK‹LLERDEN KURALLI SAYILARA..............................................13

Tekrar Eden, Yans›yan, Dönen ve Ötelenen fiekiller..........................................................................14

Fraktallar............................................................................................................................................14

Yans›yan, Dönen ve Ötelenen fiekiller ................................................................................................17

KONU DE⁄ERLEND‹RME...................................................................................................................23

Verilerden Ç›kan Sonuçlar...................................................................................................................24

Histogram Olufltural›m.....................................................................................................................24


Üslü Say›lar›n Kuvvetleri.................................................................................................................28

Tam Say›lar›n ve Ondal›k Kesirlerin Kuvvetleri...................................................................................28

Üslü Say›larla ‹fllemler................................................................................................................32


ÜN‹TE DE⁄ERLEND‹RME...................................................................................................................36

2. ÜN‹TE: OLASILIK, ‹STAT‹ST‹K VE SAYILAR.....................................................................39

Olas›l›k ve Olay Çeflitleri.......................................................................................................................40

Olas›l›k Çeflitleri..........................................................................................................................40

Olay Çeflitleri..........................................................................................................................42

KONU DE⁄ERLEND‹RME ..................................................................................................................46

Kareköklü Say›lar..........................................................................................................................47

Kareden Kareköke.......................................................................................................................47

Kareköklü Say›larla Toplama ve Ç›karma ‹fllemleri....................................................................51

Kareköklü Say›larla Çarpma ve Bölme ‹fllemleri......................................................................53

Gerçek Say›lar.......................................................................................................................................57


Standart Sapma............................................................................................................................62


ÜN‹TE DE⁄ERLEND‹RME ..................................................................................................................66

8

3.ÜN‹TE: ÜÇGENLER VE CEB‹R.....................................................................................................69

Üçgen ve Pisagor Ba¤›nt›s›..................................................................................................................70

Üçgenler..........................................................................................................................................70

Üçgenin Kenarlar› Aras›ndaki Ba¤›nt›lar.................................................................................75

Pisagor Ba¤›nt›s›..........................................................................................................80


Say› Örüntüleri ve Özdefllikler...........................................................................................................86

Say› Örüntüleri....................................................................................................................................86

Özdefllikler..........................................................................................................................89

Çarpanlara Ay›rma...............................................................................................................................92

Rasyonel ‹fadeler............................................................................................................................96

KONU DE⁄ERLEND‹RME ................................................................................................................100

ÜN‹TE DE⁄ERLEND‹RME ................................................................................................................102

4. ÜN‹TE: MATEMAT‹KTE YOLCULUK.........................................................................................105

Kombinasyon, Denklemler ve Üçgenlerde Benzerlik.......................................................................106

Kombinasyon..........................................................................................................................106

Denklem Sistemleri..........................................................................................................................109

Üçgenlerde Efllik ve Benzerlik.......................................................................................113

KONU DE⁄ERLEND‹RME ...............................................................................................................120

Geometrik Cisimler......................................................................................................................122

Prizmalar› Tan›yal›m ......................................................................................................................122

Prizmalar›n Yüzey Alanları ve Hacimleri ..........................................................................................127

Piramit, Koni ve Küre..................................................................................................132


ÜN‹TE DE⁄ERLAND‹RME ...............................................................................................................138

5. ÜN‹TE: GEOMETR‹K C‹S‹MLERDE ÖLÇME VE PERSPEKT‹F.............................................141

Piramit, Koni ve Kürenin Yüzey Alanlar›.............................................................................................142

Dik Piramidin Yüzey Alan›..................................................................................................................142

Dik Dairesel Koninin Yüzey Alan›...................................................................................................148

Kürenin Yüzey Alan›..................................................................................................................152


9

Piramit, Koni ve Kürenin Hacmi..................................................................................................156

Dik Piramidin Hacmi......................................................................................................................156

Dik Dairesel Koninin Hacmi...............................................................................................................160

Kürenin Hacmi....................................................................................................................................163


‹z Düflümü ve Çok Yüzlüler................................................................................................................167

Perspektif Çizimi.................................................................................................................................167

Çok Yüzlüler ve Ara Kesitleri.............................................................................................................172



6. ÜN‹TE: BAfiLANGIÇ VE B‹T‹fi NOKTASI: GEOMETR‹............................................................181

Geometrik Cisimler ve Simetri...........................................................................................................182


Do¤runun ‹ncelenmesi................................................................................................................189

E¤imle Tan›flal›m..............................................................................................................................189

Eflitsizlikler...........................................................................................................................................198


Dik Üçgendeki Oranlar.......................................................................................................................209



SÖZLÜK ........................................................................................................................................221

KISALTMA VE SEMBOLLER .........................................................................................................223

KAYNAKÇA .....................................................................................................................................224

Bu bölümde ünite girişlerinde ve ünitede yer alan konular, ünite ile ilgili fotoğraf ve açıklamalaryer almaktadır.

Bu başlık, konu girişlerinde yer almaktadır. gösterimi birinci ünitenin birinci konusunubelirtmektedir.

Merhaba,

Bu kitap ile matematiği eğlenerek ve keşfederek öğreneceksiniz. Böylece hayatınızı ve çevrenizidaha iyi anlamlandıracak ve yorumlayacaksınız. Aşağıda, kitapta yer alan bölüm ve başlıklartanıtılmıştır.

KİTABIMIZI TANIYALIM

Etkinlikte kullanılacak araç ve gereçleri göstermektedir.

10

Ders Kitabı’ndaki sayfa numarasınıgöstermektedir. Bu bölümün rengi üniteye göredeğişmektedir.

AnahtarKavramlar

Ünitede geçenkavramları bu kutudagörebilirsiniz.

İşleyeceğiniz konuyu keşfederek ve yaparak öğreneceğiniz, grupla da yapabileceğinizetkinlikleri bu bölümde bulabilirsiniz.

Etkinlik aşamalarını gösteren semboldür.Etkinliğin amacına yönelik soruları gösteren semboldür.

Tekrar Eden, Yans›yan, Dönen ve Ötelenen fiekiller

KURALLI ŞEKİLLERDEN KURALLI SAYILARA

ETK‹NL‹KETK‹NL‹K

Araç ve Gereç

•Kâ¤›t •Makas •Yap›flt›r›c›

Etkinlikler ve örnekler ile öğrendiklerinizin özeti bu bölümde yer almaktadır.

Öğrendiklerinizi farklı durumlarda kullanabilmeniz için hazırlanmış akıl yürütmeyigeliştirici ilginç problem veya bilgilerin bulunduğu bölümdür.

Bu bölümde, işlenen konunun ne kadar öğrenildiği değerlendirilmektedir.

Ünite sonlarında yer alan bu bölüm ise öğrendiklerinizi kontrol etmeniz amacıyla farklı sorutiplerinin verildiği bölümdür.

Bu bölümde, öğrendiklerinizi uygulamanızı ve pekiştirmenizi sağlayacak alıştırma ve problemlereyer verilmiştir.

Görevler, öğrendiklerinizi uygulama şansı bulacağınız küçük araştırma çalışmalarıdır.

Bu sembol Çalışma Kitabı’na geçmeniz gerektiğini göstermektedir. Çalışma 3

sembolündeki sayı, Çalışma Kitabı’ndaki çalışma numarasını göstermektedir.

3Çalışma

Bu başlık altında, işleyeceğiniz konu ile ilgili çözümlü ve açıklamalı uygulamaları bulabileceksiniz.Örneklerde, etkinliklerdeki keşfettiğimiz konunun açıklamaları yer almaktadır.

Etkinlik veya problem sonlarında öğrendiklerinizi pekiştirmeye yönelik soruları gösterensemboldür.

Konu sonlarında bulunan bu sembol Çalışma Kitabı’nın kaç numaralı “Öz DeğerlendirmeFormu”nu doldurmanız gerektiğini göstermektedir.

1. Örnek2. Örnek3. Örnek

11

1Öz Değerlendirme

UYGULAMAUYGULAMA

ÖRNEKÖRNEK

GÖREV

KONU DE⁄ERLEND‹RME

ÜN‹TE DE⁄ERLEND‹RMEKurallı Şekillerden Kurallı Sayılara

Tekrar Eden, Yansıyan, Dönen ve Ötelenen Şekiller

13


Verilerden Ç›kan Sonuçlar

Üslü Say›lar›n Kuvvetleri

Fraktallar, doğanın geometrisi olarak bilinir. Geometri ile tanımlanamayan doğadakinesneler, matematiksel olarak fraktallarla açıklanır. Geometrik fraktal, kendini giderekküçülen/büyüyen boyutta yineler. Bu nedenle geometrik fraktalın bir bölümü büyütüldüğündeveya küçültüldüğünde tam olarak aslına benzer.

Eğrelti otu, fraktal yinelemenin iyi bir örneğidir. Herhangi bir parçası aslına benzerdir.Eğrelti otundaki fraktalın nasıl olduğunu açıklayınız.

KURALLI ŞEKİLLERDEN KURALLI SAYILARA


Araç ve Gereç

14

Doğru, çokgen ve çember modelleri; halı, kilim ve duvarkâğıdı desenleri oluşturmada sıkça kullanılır. Yanda verilenhalı desenlerini oluşturan şekillerdeki örüntüler nelerdir?Açıklayınız.

Aşağıda bir eşkenar üçgenin kenarlarının oranında küçültülmesiyle oluşturulan örüntümodeli verilmiştir.

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri ile inşa edilen örüntüler“fraktal” olarak adlandırılır.

Tekrar Eden, Yansıyan, Dönen ve Ötelenen Şekiller

Devam Eden Kareler

Noktalı kâğıt üzerine kenar uzunluğu 9 birim olan bir kare çizelim.Karenin her bir kenarını 3 eş parçaya bölerek 9 küçük kare eldeedelim. Ortadaki kareyi boyayalım.Boyanmamış kareler için aynı işlemleri tekrar edelim.Örüntüyü bir adım daha devam ettiriniz. Oluşan şekil ile önceki şekillerarasındaki ilişkiyi açıklayınız.

Fraktallar

•Noktalı kâğıt •Boya kalemleri •Cetvel

Şekillerdeki örüntü modelini açıklayınız.

AnahtarKavramlar

• Fraktal

ÖRNEKÖRNEK

Siz de bir dikdörtgenle aynı ilişkiyi içeren bir örüntü oluşturunuz.

15

Kare ve doğrular yardımıyla oluşturulan aşağıdaki şekli inceleyelim:

Bu örüntü, kare üzerineyazılan sayılardan aynı olanlarınbirleştirilmesiyle oluşturulmuştur.

Bir çember çizilir. Çember üzerinde eşit aralıklarla 12 nokta belirlenir. Noktalar üçer üçerbirleştirilerek eşkenar üçgenler oluşturulur.

Aşağıda bir fraktal örneği verilmiştir. 1. şekilde bir eşkenar üçgen çizilmiştir. Bu üçgeninher kenarı üç eş parçaya ayrılıp her birinin ortasındaki parçadan dışarıya doğru bakaneşkenar üçgen çizilmiştir. Bu işlem devam ettirildiğinde 3. şekil elde edilir.

Doğada yer alan fraktal örneklerini bulup sınıfta sergileyiniz.

23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

Bir Süsleme Örneği

1. şekil 2. şekil 3. şekil

ÖRNEKÖRNEK

GÖREV

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

Aşağıdaki fraktal örneğini bir adım daha devam ettiriniz.

Aşağıdaki örüntüyü devam ettiriniz.

Aşağıdaki örüntü devam ettirildiğinde oluşan şekli açıklayınız.

Yandaki şekillerin eş veya benzerlerini kullanarak farklıörüntüler oluşturunuz. Bu örüntülerden fraktal olanlarıbelirleyiniz.

Aşağıda karesel bölge kullanılarak oluşturulan iki farklı örüntü verilmiştir. Örüntülerin benzerve farklı özelliklerini açıklayınız.

Aşağıdaki örüntünün fraktal olup olmadığını belirleyiniz.

1

2

3

4

5

6

1Çalışma

UYGULAMAUYGULAMA

...


Araç ve Gereç

17

Kumsalda yürümenin keyfi bir başkadır. Adımatmak için yere bastığınız anda ayağınız kuma dalarve her adımda ayak iziniz kalır. Yandaki resimdeayak izlerinin oluşturduğu örüntüyü fark ettiniz mi?

Köşe noktalarının koordinatları A(2,3), B(3,2) ve C(1,1) olan üçgenin x eksenine göreyansıma altındaki görüntüsünü çizelim.ABC ve A´BĆ´ üçgenlerinin köşe noktalarınınkoordinatlarını yazalım:

Köşe noktalarının koordinatları verilen bir şeklin x eksenine göre yansıması altındakigörüntüsü bulunurken şeklin ordinatları (-1) ile çarpılır.

Bu durum cebirsel olarak (x,y) (x,-y) şeklinde gösterilir.

Yans›yan, Dönen ve Ötelenen fiekiller

Koordinat Düzleminde Yans›ma ve Öteleme

KLMN dörtgenini x ekseni boyunca 1 birim sağa, y ekseni boyunca 2 birim aşağıyaöteleyerek görüntüsünü çiziniz. KLMN dörtgeninin köşeleri ile görüntüsünün köşelerininkoordinatları arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

K L

MN

x

y

KLMN ve K´´L´´M´Ń´´ dörtgenlerinin köşe noktalarının koordinatlarındaki değişimiaçıklayınız.

A

x

y

BCC´

BÁ´

O

’ninköşeleriA(2,3)B(3,2)C(1,1)

Ordinatların-1 ile çarpımı

(2,3.(-1))(3,2.(-1))(1,1.(-1))

ninköşeleri(2,-3)(3,-2)(1,-1)

Kareli kâğıda koordinat düzlemi çizelim.x ve y’nin pozitif olduğu bölgeye bir KLMNparalelkenarı çizelim.Simetri aynasını x ekseni üzerine yerleştirerekKLMN dörtgeninin yansıması olan K´L´MŃ´dörtgenini çizelim.

KLMN ve K´L´MŃ´ dörtgenlerinin köşe noktalarının koordinat-larındaki değişimi açıklayınız.Simetri aynasını y ekseni üzerine yerleştirerek KLMN dörtgenininyansıması olan K´´L´´M´Ń´´ dörtgenini çizelim.

ÖRNEKÖRNEK

•Kareli kâğıt •Cetvel •Simetri aynası


Araç ve Gereç

18

Köşe noktalarının koordinatları A(1,0), B(5,0), C(4,2) ve D(2,2) olarak verilen bir yamuğux ekseninde 2 birim sağa, y ekseninde 4 birim aşağıya öteleyerek görüntüsünü çizelim:

ABCD yamuğunun ve A´BĆ´D´ yamuğunun koordinatlarınıyazalım:

Ötelemede ABCD yamuğunun köşe noktasının apsisine 2 eklenir, ordinatından 4 çıkarılır.Bu durum cebirsel olarak

(x,y) (x+2,y+ (-4)) şeklinde ifade edilir.

ABCD yamuğu, A´BĆ´D´ yamuğuna eş mi yoksa benzer midir?

Doğruya göre öteleme yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilenbirim kadar, bütün noktalar paralel ötelenir.

Kareli kâğıda bir koordinat düzlemiçizelim.Köşe noktalarının koordinatları A(4,0),B(4,3), C(7,3) olan bir ABC üçgeni çizelim.Çizdiğimiz üçgeni orijin etrafında saatyönünde 90° döndürelim ve oluşan şekliA´BĆ´ şeklinde adlandıralım.

A x

y

B

C

C´

BÁ´

O

D

D´

A(1,0)B(5,0)C(4,2)D(2,2)

A´(3,-4)B´(7,-4)C´(6,-2)D´(4,-2)

+2

-4

Şeklimizi Döndürelim

A

CB

x

y

A´BĆ´ üçgenini orijin etrafında saat yönünde 90° döndürelim ve oluşan şekli A˝B˝C˝şeklinde adlandıralım.ABC üçgeni kaç derece döndürülürse A˝B˝C˝ üçgeni elde edilir?ABC ve A˝B˝C˝ üçgenlerinin köşe noktalarının koordinatlarını karşılaştırınız. Koordinatlararasındaki ilişkiyi açıklayınız.

ABC üçgenini saatin tersi yönünde 90° döndürüp ABC üçgeni ile yeni oluşan şeklinkoordinatları arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

•Cetvel •Kareli kâğıt

ABC ve A´BĆ´ üçgenlerinin köşe noktalarının koordinatlarını karşılaştırınız. İki üçgeninkoordinatları arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

19

Yandaki şekli orijin etrafında saat yönünde üç defa 90°döndürelim. Oluşan şekillerin koordinatları arasındakiilişkiyi inceleyelim.

Şekli, orijin etrafında saat yönünde üç defa 90°döndürdüğümüzde yandaki şekli elde ederiz.

Geometrik şekillerin döndürülmesi ile yandaki gibisüsleme modelleri oluşturabiliriz.

Şeklin döndürülmesiyle koordinatlarının nasıl değiştiğini inceleyelim:

Şeklin D noktası orijin üzerinde bulunmaktadır. Şekil orijin etrafında döndürüldüğündenD noktasının koordinatları değişmez.

Koordinatlarından biri (a,b) olan bir şekli, orijin etrafında saat yönünde 90°döndürdüğümüzde (a,b) koordinatı (b,-a), 180º döndürdüğümüzde (a,b) koordinatı(-a,-b) 270º döndürdüğümüzde (a, b) koordinatı (-b, a) olur. 360º döndürdüğümüzde ise(a,b) koordinatı değişmez.

Köşe noktalarının koordinatları U(2,0), M(5,2) ve N(3,4) olan üçgeni, orijin etrafında saatyönünde 90° döndürelim. Dönme hareketi sonucunda oluşan yeni şeklin köşe noktalarınınkoordinatlarını belirleyelim.

UMN üçgenini saat yönünde orijin etrafında90° döndürdüğümüzde U´MŃ´ üçgeni oluşur.

U´MŃ´ üçgeni ile UMN üçgeninin koordinat-larını karşılaştıralım.

U´MŃ´ üçgeninin köşe noktalarının koordinatlarından faydalanarak U˝M˝N˝ üçgenininköşe noktalarının koordinatlarını bulalım:

U´(0,-2) ve U˝(x,y) olsun. Bu durumda x=-(-2), y=0 olduğundan U˝(2,0) olur.M˝ ve N˝ noktalarının koordinatlarını bulunuz.UMN ile U˝M˝N˝ üçgenlerinin köşe noktalarının koordinatları arasındaki ilişkiyi bulunuz.

x

B

C´

B´

A´

A C

D

C˝

B˝

A˝

C´́ ´

A´́ ´

B´́ ´

x

(0,6)

(2,4)(-2,4)

1. dönme

2. dönme3. dönme

A(-2,4)B(0,6)C(2,4)

A´(4,2)B´(6,0)C´(4,-2)

A˝(2,-4)B˝(0,-6)C˝(-2,-4)

A˝́ (-4,-2)B˝́ (-6,0)C˝́ (-4,2)

1. dönme 2. dönme 3. dönme

x

N(3,4)

M(5,2)

U(2,0)

N´(4,-3)

M´(2,-5)N˝

M˝

U˝

U´(0,-2)

y

2. dönme

1. dönme

U(2,0)M(5,2)N(3,4)

U´(0,-2)M´(2,-5)N´(4,-3)

1. dönme

y

ÖRNEKÖRNEK


Araç ve Gereç

20

Aşağıdaki şekli d doğrusu boyunca üç birim sağa öteleyip yansımasını çizelim.

Aşağıya ise şeklin önce d doğrusuna göre yansımasını çizip daha sonra doğru boyuncaüç birim sağa öteleyelim.

Bir şeklin, bir doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesi ile ötelenmesindensonra yansıması aynıdır.

Ötemeli yansımada hiçbir nokta ve yansıma doğrusundan başka hiçbir doğru sabitkalmaz.

Öteleme ve Yansıma

Noktalı kâğıda yukarıdaki gibi bir doğru ve bu doğru üzerine herhangi bir şekil çizelim.Şekli doğru boyunca dört birim sağa öteleyip doğruya göre yansımasını çizelim.Çizdiğimiz şekil için aynı işlemi tekrarlayalım.Şeklin önce doğruya göre yansıması, daha sonra yukarıdaki gibi doğru boyunca ötelemesiçizildiğinde son durumda oluşan şekil değişir mi? Tartışınız.

•Cetvel •Noktalı kâğıt

ÖRNEKÖRNEK

d

d

21

Köşe noktalarının koordinatları A(2,1), B(5,3) ve C(3,4)olarak verilen bir üçgenin y eksenine göre yansımasıaltındaki görüntüsünü çiziniz.

Köşe noktalarının koordinatları A(6,-2), L(0,3) ve M(-2,-1)olarak verilen bir üçgeni x ekseni boyunca 7 birim sola,y ekseni boyunca 4 birim aşağıya öteleyerek görüntüsünüçiziniz.

Aşağıdaki grafiklerden hangisinde öteleme, hangisinde yansıma olduğunu belirleyiniz.

Köşe noktalarının koordinatları X(1,3), Y(5,1) ve Z(5,8) olarak verilen XYZ üçgeninin xeksenine göre yansıması olan XÝ´Z´ üçgeninin köşe noktalarının koordinatlarını bulunuz.

Köşe noktalarının koordinatları M(-4,0), N(-4,-3), O(-2,-3) ve P(-2,0) olarak verilen MNOPdikdörtgeni x ekseni boyunca 5 birim sağa ve y ekseni boyunca 2 birim aşağıya ötelendiğindeoluşan MŃÓ´P´ dikdörtgeninin köşe noktalarının koordinatlarını bulunuz.

Köşe noktalarının koordinatları A(-7,4), B(-7,1) veC(-1,1) olan ’ni çiziniz. Aynı düzlemde köşenoktalarının koordinatları ’nin köşe noktalarınınkoordinatlarının (-1) ile çarpımına eşit olan niçiziniz. İki üçgen arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

1

2

3

4

5

6

54321 0 x

y

654321 0 x

y

6

x

y

x

y

x

ya) b) c)

x

y

UYGULAMAUYGULAMA

-1-2-3-4-5

-2-3-4-5

-1

-2-3-4-5

-1

-6

-1-2-3-4-5-6

0

22

Yandaki OİK üçgeninin orijin etrafında saat yönünde 90°döndürülmesiyle oluşan OAB üçgeninin köşe noktalarınınkoordinatlarını bulunuz.

Köşe noktalarının koordinatları U(2,5), V(3,4) ve Z(0,0) olan UVZ üçgeni orijin etrafında180°döndürülüyor. Yeni oluşan U´V´Z´ üçgeninin köşe noktalarının koordinatlarını belirtiniz.ABC üçgeni orijin etrafında saatin tersi yönünde 90° döndürülüyor. Oluşan üçgenin köşenoktalarının koordinatları A´(-3,-1), B´(0,-2) ve C´(-1,-3)’tür. ABC üçgeninin köşe noktalarınınkoordinatlarını bulunuz.RGU üçgeninin orijin etrafında saat yönünde 90° dönmealtındaki görüntüsü R´G´U´ üçgenidir. RGU üçgeninin köşenoktalarının koordinatlarını bulunuz.

DMT üçgeninin orijin etrafında saat yönünde 90° dönme altındaki görüntüsü D´M´T´üçgenidir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.a) D(3,b) ve D´(2,a) ise a+b toplamı kaçtır?b) M(3,0) ve M´(x,y) ise x-y farkı kaçtır?

Yandaki şekle göre KRM üçgeninin hangi yönde ve kaçbirim ötelenerek K´R´M´ üçgeninin elde edildiğinibulunuz.

Aşağıdaki şeklin ötelemeli yansımasını doğru boyunca çizerek devam ettiriniz.

Aşağıdaki süsleme nasıl oluşturulmuş olabilir? Açıklayınız.

7

8

9

10

11

12

13

14

O

x

y

i

K

Ox

y

R´G´

U´

O x

y

K

MR

R´M´

K´

2Çalışma

23

Aşağıdaki örüntüde doğru parçaları üç eş parçaya bölünüp ortadaki parçadan dışarıyaeşkenar üçgen çizilerek oluşturulmuştur. Örüntünün sonraki adımını çiziniz.

Aşağıdaki örüntünün beşinci adımında olması gereken şekli çiziniz.

Satranç oyununda taşlar; sağa ya da sola, aşağıyaveya yukarıya ya da köşegen boyunca hareket eder.a) Bu oyunda hangi tür yer değiştirmeler vardır?b) Tahta üzerindeki atın hareketini yazınız.

Yanda tabloda iki üçgenin köşe noktalarının koordinatlarıverilmiştir. Bu iki üçgen arasında nasıl bir ilişki vardır?Açıklayınız.

Aşağıdaki şekillerin ötelemeli yansımasını doğru boyunca çizerek devam ettiriniz.

Köşe noktalarının koordinatları S(-1,4), T(-2,-2) ve R(-1,1) olan STR üçgeninin orijin etrafında180° dönmesi sonucu oluşan S´T´R´ üçgeninin köşe noktalarının koordinatlarını bulunuz.


1

2

3

4

5

6

1. adım 2. adım 3. adım 5. adım

..........

K(4,-2)L(0,7)M(-6,1)

K´(-4,-2)L´(0,7)M´(6,1)

1Öz Değerlendirme

1. adım 2. adım 3. adım

4. adım

..........


4. adım.............


24

Verileri tabloda gösterelim.Veri sayısının fazla olmasının tablo ve grafik oluşturmadaki zorlukları nelerdir? Tartışınız.Bu zorlukları ortadan kaldırmak için verileri gruplandıralım.Verileri gruplandırırken nelere dikkat edilmelidir? Açıklayınız.Gruplandırılmış verilerle bir grafik oluşturunuz. Grafiği oluştururken nelere dikkat ettiğiniziaçıklayınız.

Banu 82 Semih 79 Süleyman 81 Jale 80 Dursun 89Salih 87 Nazan 91 Pınar 84 Osman 83 Sabiha 88Kutlu 87 Ahmet 85 Mustafa 92 İsmail 76 Emre 87Mehmet 84 Sabri 83 Ali 79 Faruk 85 Davut 89Melih 86 Serap 78 Metin 81 Abdullah 88 Mert 87Melek 62 Sedat 69 Seda 71 Mahmut 65 Ayla 73

Fazla Verilerle Tablo ve Grafik Oluşturalım

Beden eğitimi dersinde öğrenciler arasında 400 metre koşusu yapılmış ve koşu sonuçlarıaşağıda saniye cinsinden verilmiştir.

Bir fabrikaya, iş başvurusunda bulunan kişilerin el becerilerini ölçmek için onlara birermaket verilir. Bu kişilerden maketin aynısını yapmaları istenir. Aşağıda iş başvurusu yapankişilerin maketi yapma süreleri dakika cinsinden verilmiştir:

10, 10, 11, 12, 13, 11, 10, 12, 14, 10, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 15, 18 ,19, 1617, 21, 20, 22, 23, 23, 24, 21, 22, 23, 21, 20, 22, 31, 32, 33, 34, 33, 38, 33, 3236, 35, 39, 36, 35, 36, 37, 40, 44, 41, 42, 43, 44, 46, 45, 45, 47, 48, 4948, 49, 49, 46, 50, 51, 52, 54, 52, 53, 51, 50, 50, 51, 55, 56, 57, 58, 59, 5855, 56, 55, 57, 57, 26, 27, 25, 25Bu verileri grafikte gösterelim. Veri grubunun açıklığını bulalım.

59-10=49

Son teknolojiyle üretilen fotoğraf makinelerinde yeni bir özellik dikkat çekiyor. Birçokfotoğraf makinesinde, fotoğraf çekenlere yardımcı bir araç olarak “histogram” özelliğikullanılıyor. Histogram, fotoğrafın ton dağılımını gösteren grafiktir.

Yukarıdaki fotoğraf makinesinde fotoğraf çekilirken ekranda beliren histogramlar görülüyor.Fotoğraf ve grafiklerde neler ilginizi çekiyor?

ÖRNEKÖRNEK

Verilerden Çıkan Sonuçlar

Histogram Oluşturalım

Seda Öğretmen, öğrencilerden ormanlar hakkında araştırma yapıp, araştırma sonuçlarınıraporlaştırmalarını ister. Öğrenci raporlarındaki kelime sayıları aşağıda verilmiştir:

149, 154, 168, 176, 170, 169, 163, 175, 156, 142, 154, 149, 173, 140, 156, 143, 152, 150,170, 169, 150, 176, 147, 171, 153, 164, 142, 140, 147, 149, 150, 143, 170, 144, 153, 159,156, 158, 149, 170, 170, 176, 174, 160, 164, 162, 173, 170, 173, 149, 176, 175, 168, 176,143, 162, 166, 163, 160, 166, 175, 164, 176, 163, 165, 169, 143, 176, 155, 153, 170, 159,165, 157, 163, 167, 171, 154, 153, 156, 146

Bu verileri grafikte gösterelim.Veri grubunun açıklığını bulalım.Açıklık: 176 - 140 = 36 bulunur.Verileri 9 gruba ayırarak grup genişliğini bulalım.

25

Veri grubunun açıklığı 49’dur. Verileri 10 gruba ayırarak grup genişliğini bulalım. Grupgenişliği bulunurken açıklık, istenilen grup sayısına bölünür. Bulunan sayıya en yakın büyüktek sayı grup genişliği olarak alınır.

Bu veri grubunun genişliği 4,9 sayısına en yakın tek sayı olan 5 alınır.

4910

açıklıkistenilen grup sayısı

4,9 5≈

Tablo: Maket Yapma Süresi

Maket yapmasüresi (dakika)

10-1415-1920-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59

Kişi sayısı

1011114877101011

16

14

12

10

8

6

4

2

010

-14

15-1

920

-24

25-2

930

-34

35-3

940

-44

45-4

950

-54

55-5

9

Grafik: Maket Yapma Süresi

Süre (dakika)

Kişi sayısı

Grafikte, yatay eksen, 1-10 aralığında hiç veri olmadığından yanlış yorumlara yolaçmamak içi “zikzak” kullanılmıştır.

GÖREVTürkiye İstatistik Kurumu’nun (TÜİK) İnternet sitesinden yararlanarak histogram

oluşturulabilecek verilere örnekler bulunuz.

ÖRNEKÖRNEK

Grup genişliği = 36 = 4 olur.9

4 sayısına en yakın büyük tek sayı 5’ tir. Bu durumda veri grup genişliği 5 olarak bulunur.

26

1 Bir çiftlikteki elma ağaçlarının bir yılda verdiğielma miktarlarının aralığı yandaki tablodaverilmiştir.Tablodaki verilerle histogram oluşturunuz.

2 İki öğrenci bir parkta sürücülerin arabalarınıpark etme sürelerini kaydetmiş, bu sürelerikadın ve erkek sürücülere göre ayırıpyandaki tabloyu oluşturmuşlardır. Tablodakiverilerle histogram oluşturunuz.

3 Bir matematik yarışmasına katılanöğrencilerin verdikleri doğru cevaplaryandaki tabloda verilmiştir. Tablodakiverilerle histogram oluşturunuz.

Toplanan elmalarınkütlesi (kg)

51-5960-6869-7778-8687-95

96-104105-113114-122

Ağaç sayısı

57

13102022185

Tablo: Elma Ağaçlarının Verdikleri Elmalar

Park etmesüreleri(saniye)

20-3031-4142-5253-6364-74

Tablo: Sürücülerin Park Etme SüreleriKadın sürücü

sayısı2

102574

Erkek sürücüsayısı

41520104

Doğru cevapsayıları

1-1920-3839-5758-7677-95

Tablo: Öğrencilerin YarışmadakiDoğru Cevap Sayıları

Öğrencisayısı

8490

15012035 3

Çalışma

UYGULAMAUYGULAMA

Tablo: Raporlardaki KelimeSayıları

140-144145-149150-154155-159160-164165-169170174175-179180-184

9811911101310-

Öğrenci sayısı

Kelimesayısı

140-

144

145-

149

150-

154

155-

159

160-

164

165-

169

170-

174

175-

179

180-

184

14

Grafik: Raporlardaki Kelime SayılarıKişi sayısı

0

2

4

6

8

10

12

Kelime Sayısı

27a) Yukarıdaki verilerle oluşturulan yandaki tabloyutamamlayınız.b) Tablodaki verilerle histogram oluşturunuz.c) Verilerden yararlanarak uzunlukları 45-49 mmarasında olan kuşların yüzdesini yaklaşık olarakbulunuz.

2 Bir bilim adamı 60 sinek kuşunun uzunluklarını milimetre cinsinden ölçmüş, ölçüm sonuçlarınıaşağıdaki gibi yazmıştır:

55 49 55 45 59 52 56 39 41 5650 58 42 48 52 45 48 38 38 3754 46 59 59 48 49 48 43 52 4351 54 51 50 41 52 42 43 45 4447 48 48 43 47 48 46 43 54 4959 36 38 39 41 56 51 48 47 50

Uzunluk (mm)35-3940-4445-4950-5455-59

Tablo: Kuşların UzunluklarıKuş Sayısı

Histogram Olufltural›m

Yandaki grafikte öğrencilerin okula gelişsaatleri verilmiştir. Grafiğe göre aşağıdakisoruları cevaplayınız.

3

a) Okulda kaç öğrenci vardır?b) Okula, 08.55 ile 09.05 saatleri arasındakaç öğrenci gelmiştir?

80

60

40

20

008:1108:21

08:2208:32

08:3308:43

08:4408:54

08:5509:05

09:0609:16

Grafik: Öğrencilerin Okula Geliş SaatleriÖğrenci sayısı

Zaman

2Öz Değerlendirme


1 Bir ilde yapılan geleneksel koşu yarışmasında koşucularınbelli bir mesafeyi koşma süreleri kaydedilmiştir. Eldeedilen verilerle yandaki tablo oluşturuluyor. Tablodakiboşlukları siz doldurunuz ve histogram oluşturunuz.

10.00-12.0012.01-14.0114.02-16.0216.03-18.0318.04-20.0420.05-22.05

Tablo: Koşuyu Bitirme SüreleriKoşucusayısı

Süre(dakika:saniye)

6

2

28

Güneş’e en yakın yıldız olan Alfa Centauri’nin Güneş’e uzaklığı 37 900 000 000 000 km’dir.Bu sayıyı daha kısa biçimde yazabilir miyiz?

Negatif Kuvvetler

Yandaki örüntüyü inceleyelim.Her bir adım arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.2 sayısının negatif kuvvetleri ile pozitif kuvvetleriningösterimini karşılaştırınız.Bir tam sayının negatif kuvvetini bulmak için neler yapılmasıgerektiğini açıklayınız.21 sayısından 2-2 sayısına ulaşabilmek için ne yapmanızgerekir? Tartışınız.

2n = 2.2.2. .... 2n tane

23 = 2.2.2 = 822 = 2.2 = 421 = 2 = 220 = 1 = 12-1 = =

2-2 = =

2-3 = =

2-n = =

n tane

Bir üslü ifade, paydan paydaya ya da paydadan paya alındığında üssünün işaretideğişir. a sıfırdan farklı bir tam sayı ve n doğal sayı olmak üzere a’nın negatif kuvvetleriaşağıdaki şekilde yazılır.

a-1 = 1a , a-2 = 1

a2,= 1

a.aa-3 = 1

a3= 1

a.a.a

2

22

AnahtarKavramlar

• Negatif kuvvet• Çok büyük sayılar• Çok küçük sayılar• Bilimsel gösterim


12.2.2. ... .2

, ... , 1ana-n =

Üslü Sayıların Kuvvetleri

Tam Say›lar›n ve Ondal›k Kesirlerin Kuvvetleri

29

4, 10 ve -3 sayılarının negatif kuvvetlerini bulalım:

10-5, 2x10-1, 4x(-2)-4, 17x(17)-1 sayılarının değerini bulalım:

4 sayısının negatif kuvvetleri

-3 sayısının negatif kuvvetleri

1(-3)2

1(-3)3

1(-3)n

1(-3)1

1(-3)x(-3)

1(-3)x(-3)x(-3)

1(-3)x...x(-3)

19

13(-3)-1

(-3)-2

(-3)-3

(-3)-n

1-27

-

127-

n tane

n tane

1102

1103

110n

1101

110x10

110x10x10

110x10x10x...x10

10 sayısının negatif kuvvetleri

1100

110 0,110-1

10-2

10-3

10-n

11000

0,01

0,001

n tane

1105

1100 000 0,0000110-5

1101

110 0,22x10-1 2 x 2 x 2

101

(-2)4116 0,254x(-2)-4 4 x 4 x 1

41

171117 117x(17)-1 17 x 17 x

26,0308 ondalık kesrini 10 sayısının kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim:26,0308 = 2 x 10 + 6 x 1 + 0 x 0,1 + 3 x 0,01 + 0 x 0,001 + 8 x 0,0001

= 2 x 10 + 6 x 1 + 0 x + 3 x + 0 x + 8 x110

1100

11000

110 000

= 2 x 10 + 6 x 1 + 0 x + 3 x + 0 x + 8 x1101

1102

1103

1104

= 2 x 101 + 6 x 100 + 0 x 10-1 + 3 x 10-2 + 0 x 10-3 + 8 x 10-4

Çözümlemesi 5 x 103 + 7 x 101 + 2 x 100 + 4 x 10-1 + 1 x 10-3 + 9 x 10-4 olan rasyonelsayıyı bulalım:

5 x 103 + 7 x 101 + 2 x 100 + 4 x 10-1 + 1 x 10-3 + 9 x 10-4

= 5 x 1000 + 7 x 10 + 2 x 1 + 4 x 0,1 + 1 x 0,001 + 9 x 0,0001= 5000 + 70 + 2 + 0,4 + 0,001 + 0,0009= 5072 + 0,4019= 5072,4019

ÖRNEKÖRNEK


(-3)4

44

30

Sonuç Negatif mi, Pozitif mi?

Negatif bir tam sayı belirleyelim.Aşağıdaki tabloya belirlediğimiz tam sayının 1, 3 ve 5. kuvvetleri ile 2, 4 ve 6. kuvvetlerinihesaplayıp yazalım.

Tabloya göre negatif tam sayının tek kuvvetleri ile sonuçlarının işaretleri arasındaki ilişkinedir? Açıklayınız.Negatif tam sayının çift kuvvetleri ile sonuçlarının işaretleri arasında nasıl bir ilişki vardır?Açıklayınız.Negatif tam sayının tek ve çift kuvvetlerinin sonuçlarının işaretleri arasındaki ilişkiyigösteren bir kural geliştiriniz.Geliştirdiğiniz bu kural negatif tam sayının negatif kuvvetleri için de geçerli midir?

Negatif tam sayınınkuvvetleri1. kuvvet3. kuvvet5. kuvvet

Negatif tam sayınınkuvvetleri2. kuvvet4. kuvvet6. kuvvet

Sonuç Sonuç

Aşağıdaki işlemlerle sonuçlarının işaretlerini inceleyelim:

a) (-2)3= (-2).(-2).(-2)=-8 (sonucun işareti negatif)

b) (-3)4= (-3).(-3).(-3).(-3)=81 (sonucun işareti pozitif)

ç) (-3)-3= (sonucun işareti negatif)

c) (-2)-2= (sonucun işareti pozitif)

Pozitif bir tam sayının tek ve çift kuvvetlerinin sonucu pozitiftir. Negatif bir tam sayınınkuvveti tek ise sonuç negatif tam sayı, çift ise sonuç pozitif tam sayı olur.

a) (0,3).(0,3)= (0,3)2=0,09b) (-0,4).(-0,4).(-0,4)= (-0,4)3=-0,064

Tekrarlı çarpımları verilen ondalık kesir ve rasyonel sayıları üslü olarak yazalım vedeğerlerini belirleyelim:

23

. 23

. 23

. 23 = 2

34= 2

344 = 16

81c)

ç) -34

. -34

. -34

. -34 = -3

44= = 81

256

ÖRNEKÖRNEK

ÖRNEKÖRNEK

31

1 Aşağıdaki sayıların değerlerini bulunuz.a) (-5)3 b) (-3)-3 c) 2-5 ç) 10-4 d) (-10)1

2 Emre (-3)-1 sayısının (3) sayısına eşit olduğunu söylüyor. Serap ise bu fikre karşı çıkıyor.Sizce bu tartışmada kim haklıdır? Neden?

3 Aşağıdaki eşitliklerde “ ” yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.

2-2a) = 1

8-2 = 1

19c) = 3

1100 000d) =10

16

f) = 3. 16

. 16

. 16

. 16

b) = 5625

149ç) =

-2

e) 2 = 1

11024g) = 1

2= 2

4 Aşağıdaki boşluklara “>, < , =” sembollerinden uygun olanını yazınız.18a) ... 23

125c) ...5-2

d) ...102 210

f) ...52 25

b) ...

ç) ...

e) ...

g) ...(-0,4).(-0,4)

(-2)5 (2)-5

12

3(2)-3

310

23

10. 310

(-0,16)

5 Aşağıdaki örüntüde boş bırakılan yerlere hangi sayılar yazılmalıdır?

Aşağıdaki ifadelere göre oranı kaçtır?

, 14 , 2-1 , 1 , , 22 , 8

6

A= (-0,5).(-0,5).(-0,5).(-0,5)

B= 12

. 12

. 12

. 12

4Çalışma

25.

I. (-5)-2 = 7

II. (-3)-4 = -

III. ( )-5 = 32 Yandaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I,II D) I,III

UYGULAMAUYGULAMA



32

Üslü Say›larla ‹fllemler

Bir ansiklopedinin tamamının iğne başıbüyüklüğündeki bir alana yazılabilmesi sizcemümkün müdür? Evet, nanoteknoloji sayesindemümkündür. “Nano” sözcüğü Latince “cüce”,nanoteknoloji de “çok küçük maddelerin teknolojisi”anlamına gelmektedir.

Metrenin milyarda biri ölçüsüne sahip nanometre birimiyleölçülen bir saç telinin kalınlığı ortalama 50 000 nanometredir.Bu durumda bir saç telinin kalınlığı kaç milimetre olur?

Çarpımın Üslü Gösterimi

Yandaki tabloyu inceleyelim ve boşluklarıdolduralım.Her bir çarpma işlemi ile çarpımın üslü gösterimiarasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.108.1012 çarpımı ile 1020 üslü gösterimi için nesöylenebilir?Üslü sayılarla çarpma işlemi ve çarpımın üslügösterimini ifade eden bir kural geliştiriniz.10115 sayısını hangi sayı ile çarparsak sonuç10120 olur?

101.101

101.102

101.103

101.104

101.105

102.103

102.104

103.104

103.105

102

103

...

100

1000

...

Çarpma Çarpım Çarpımın üslügösterimi

Bölümün Üslü Gösterimi

Yandaki tabloyu inceleyelim ve boşluklarıdolduralım.Her bir bölme işlemi ile bölümün üslü gösterimiarasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.1030:105 bölme işlemi ile 1025 üslü gösterimi içinne söylenebilir?Üslü sayılarla bölme işlemini ifade eden bir kuralgeliştiriniz.1043 sayısını hangi sayıya bölersek sonuç 1027

olur?Yandaki tabloyu, tabanı 2 alarak tekrar düzenleyiniz.

102:101

103:101

104:101

105:101

106:101

105:102

106:102

106:103

101

102

...

10

100

...

Bölme Bölüm Bölümün üslügösterimi

Tablo: Çarpma Tablosu

Tablo: Bölme Tablosu


33

Aşağıdaki çarpma işlemlerinin nasıl yapıldığını inceleyelim:

Aşağıdaki bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını inceleyelim:

a) 104 . 102 = 104+2 = 106 b) 313 . 36 = 313+6 = 319

c) 24 . 2-3 = 24+(-3) = 21 ç) 95 . 3-12 = (32)5 . 3-12 = 310 . 3-12 = 310+(-12) = 3-2

Tabanları aynı olan üslü ifadeler ile çarpma işlemi yapılırken ortak tabançarpıma taban olarak yazılır. Payın üssü ile paydanın üssü toplanarak ortaktabana üs olarak yazılır.

Tabanları aynı olan üslü ifadeler ile bölme işlemi yapılırken ortak tabanbölüme taban olarak yazılır. Payın üssünden paydanın üssü çıkarılarak ortaktabana üs olarak yazılır.

ak.an= ak+n

ak

an =ak-n

Çok Büyükler ve Çok Küçükler

Aşağıdaki tabloları inceleyelim.

a) 27 : 23 = 27-3 = 24 b) = 310-2 = 38

c) = 6-5-(-2) = 6-3 125

3ç) 1

5-10 1

53 1

5-10

= =:: 2 (5-2)3 : (5-1)-10

1. Tablo’da güneş sistemindeki bazı gezegenler ve Güneş’e olan uzaklıkları, 2. Tablo’daise maddeyi oluşturan kısımların kütleleri verilmiştir.

1. Tablo: Bazı Gezegenler ve Bunların Güneş’e Olan Uzaklıkları

2. Tablo: Bazı Parçacıklar ve Bunların Yaklaşık Kütleleri

Bazıgezegenler

Güneş’e olanuzaklıkları (km)

Uzaklığınbilimsel

gösterimi (km)

MerkürDünyaMars

SatürnNeptün

57,9 x 106

149,6 x 106

22,7 x 107

14,3 x 108

44,9 x 108

5,79 x 107

1,496 x 108

Maddeyioluşturankısımlar

Yaklaşıkkütleleri (kg)

Bilimselgösterim (kg)

ElektronProtonNötronAtom

91,1 x 10-32

167,2 x 10-28

16,72 x 10-28

16,6 x 10-28

9,11 x 10-31

Tablolardaki örneklere göre boş yerleri dolduralım.1. Tablo’daki her bir gezegenin Güneş’e olan uzaklığı ile aynı uzaklığın bilimsel gösterimibirbirine eşit midir? Aralarındaki ilişkiyi tartışınız.2. Tablo’daki maddeyi oluşturan kısımların kütleleri ile bilimsel gösterimi arasındakiilişkiyi tartışınız.Tabloları doldurduktan sonra tekrar inceleyiniz. Bilimsel gösterimde nelere dikkat edilmesigerektiğini tartışınız.

Bilimsel gösterim nerelerde ve hangi amaçla kullanılmaktadır? Araştırınız ve araştırmasonuçlarını sınıfa sununuz.

= 5-6: 510

= 5-6-10

= 5-16

ÖRNEKÖRNEK

GÖREV

34

a= 3.107 b= 106 c= 10-7

Yukarıdaki ifadelere göre aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulunuz.

•Ay ile Dünya arasındaki uzaklık: 384 400 000 m•Pluton’un Güneş’e olan uzaklığı: 5 900 000 000 km•AIDS virüsünün uzunluğu: 0,00011 mm

Yukarıdaki sayısal verileri bilimsel gösterimle ifade edelim.Bir sayıyı bilimsel gösterimle ifade edebilmek için o sayıyı, çarpanlardan biri 1 ile 10

arasında (1 dâhil), diğeri 10’un kuvveti olacak şekilde, iki sayının çarpımı şeklinde yazmamızgerekir.

Kitabımızdaki bir “i” harfinin noktasını koymak için gerekli mürekkebin kütlesi0,000 000 001 kg = 1x10-9 kg’dır.

Bir sayının bilimsel gösterimi ax10n şeklindedir.(a sayısı 1 ≤ a < 10 olacak şekilde bir rasyonel sayı, n ise bir tam sayıdır.)

Buna göre;•Ay ile Dünya arasındaki uzaklık: 384 400 000 m = 3,844x108 m•Pluton’un Güneş’e olan uzaklığı: 5,9x109 km•AIDS virüsünün uzunluğu: 0,00011 mm = 1,1x10-4 mmolarak bilimsel gösterimleri yapmış oluruz.

1 Aşağıdaki ifadelerin değerinin üslü gösterimini yazınız.

a) 24.27 b) 39.3-7 c) ç) 4.23 d) e) 3-7.310

2 Aşağıdaki ifadelerde “ ” yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.

a) 2 . 212= 217 b) 37. 3-8= 3 c) 5 . 5 = 510 ç) 712. 7 = 74

olduğuna göre A ifadesi, B ifadesinin kaç katıdır?3

4

Aşağıdaki sayıları bilimsel gösterimle yazınız.a) 4 000 000 000 b) 9 000 000 000 000 000

Türkiye’de yapılan son nüfus sayımına göre 70 milyon olan nüfusu bilimsel gösterimleyazınız.

İnsan vücudunda günde 200 milyar alyuvar parçalanır. Bir günde parçalananalyuvar sayısını bilimsel gösterimle yazınız.

5

6

7

27.29

4A= 42.4

27B=

a.b.ca) a.cb

b) 1a.b.c

c) a.bc2ç) a.b

cd) a

b.ce)

5Çalışma

UYGULAMAUYGULAMA

ÖRNEKÖRNEK

ve

35

Afla¤›daki say›lar› ondal›k kesir olarak yaz›n›z.

Afla¤›daki say›lar› bilimsel gösterimle yaz›n›z.

K›rm›z› kan hücresinin çap› 0,00074 cm’dir. K›rm›z› kan hücresinin çap›n› bilimsel gösterimleyaz›n›z.

a) 7,777x103 b) 6,222x10-3 c) 3,4404x10-2

a) 3752d) 42 573

c) 0,00704f) 0,05050550

b) 20 051e) 0,0001

ç) 51 230 000

Ekvator'un çevresinin uzunlu¤u yaklafl›k 4x104 km’dir. Ifl›k h›z›yla hareket eden bir araçlaseyahat edilece¤i düflünülürse bu uzunluk yaklafl›k ne kadar sürede al›n›r (Ifl›k 1 sn’de3x105 km yol al›r.)?

1

2

3

4

5 Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların önüne “D”, yanlış olanların önüne “Y” yazınız.(...) (-7) sayısının 17. kuvveti alınırsa sonuç negatif olur.(...) (-1)12+(-1)7 işleminin sonucu 2’dir.(...) (0,1).(0,1).(0,1) işleminin sonucu 0,001’dir.(...) 5 sayısının negatif kuvvetleri pozitiftir.Pelin, yandaki sayıların değerlerinin negatif olduğunu, Yiğitcanise pozitif olduğunu savunuyor. Sizce kim haklıdır? Neden?

6

7 Yandaki ifadelere göre oranı kaçtır?

3.xy ifadesinde x yerine 2, y yerine 5 yazarak sonucu bulunuz.8

9

14

1218-

,(-2)10,(-0,9) 22

14-A= B= 0,25

1) 3-4 ifadesinin değeri-34 tür.

3) 2-7 ifadesi ’eeşittir.

2) 24 sayısı, 2-2

sayısının 26 katıdır.

4)

ifadesinin değeri -1’dir.

5) Bir negatif tam sayınıntüm kuvvetleri pozitiftir.

6) (-109)1218 sayısının işareti(+)’dır.

7) ifadesinindeğeri 2’dir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

Afla¤›da birbiriyle ba¤lant›l› do¤ru / yanl›fl cümleler verilmifltir. fiemadaki cümlelerde do¤ruoldu¤u belirtilen yarg› yanl›fl, yanl›fl oldu¤u belirtilen yarg› do¤ru olabilir. Her bir do¤ru / yanl›flkarar› sizi farkl› ç›k›fllara ulaflt›r›r. Buna göre afla¤›daki ç›k›fllardan birine ulafl›n›z.

Üslü Say›lar›n Kuvvetleri

3Öz Değerlendirme


36

Kurall› Say›lardan Kurall› ‹fllemlere

Aşağıdaki örüntülerden hangisi fraktaldır?

Yandaki örüntünün sonraki iki adımı aşağıdakilerdenhangisidir?

Koordinatları A(1,3), B(1,1) ve C(4,1) olarak verilenbir üçgeni 4 birim sağa, 2 birim yukarıya öteleyerekgörüntüsünü çiziniz.

1A) B) C) D)

2

A) B) C) D)

3

4

x

y

A

CB

1)

3) Bir eşkenarüçgenle hiçbir zamanfraktal oluşturulamaz.

2) Her fraktal bir şeklin oranında küçültülmesiyle

4) (2,4) noktasının xeksenine göre yansıması(2,-4) noktasıdır.

5) A(0,2) noktası bulunanşekil 3 birim sağaötelenirse A'(3,5) noktasıolur.

6) Bir şekil 2 birim aşağıyaötelenirse şeklin y eksenininkoordinatları 2 azaltılır.

7) Bir şeklin ötelemeliyansıma hareketibulunabilir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y


Örüntüsü fraktaloluşturur.

oluşur.

ÜN‹TE DE⁄ERLEND‹RME

37

Sakarya İlköğretim Okulunda bir günde kaç dakika kitapokunduğunu belirlemek için öğrencilere anket yapılır.Anket sonuçları yandaki tabloda verilmiştir.

a) Tablodaki verilerle histogram oluşturunuz.b) Günde 10 ile 34 dakika arasındaki sürede kitap okuyankaç öğrenci vardır?

Yandaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunluklarıverilmiştir.

5

6

a) Ayhan bu verileri 9 cm’lik aralıklarla kaydederek yeni birtablo oluşturmuştur. Ayhan’ın tablosunu siz tamamlayınız.

b) Ayhan tablodaki verilerin grafiğini çizmiştir. Grafiği çizerken iki tane hata yapmıştır.Bu hatalar nedir?c) Sınıfa sonradan 1 kişi daha katılmıştır. Bu kişinin boyu 148 cm’dir. Bu kişi Ayhan’ınbelirlediği aralıklardan hangisine dâhil olur?

Uzunluk (cm)121-124125-129130-133134-138139-142143-147148-151152-156

Kişi sayısı

Uzunluk (cm)121-129130-138139-147148-156

Kişi sayısı

25

20

15

10

5

0121-129

Kişi sayısı

Boyuzunluğu (cm)

130-138 139-147 148-156

258

1411931

Tablo: Boy Uzunlukları

10-1415-1920-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59

ÖğrenciSayısı

Tablo: Kitap Okuma SüreleriOkuma Süresi

(dakika)101211 4 8 7 7101011

Aşağıdaki eşitliklerde “ ” yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.

Aşağıdaki üslü sayıları işlem yapmadan ondalık kesir olarak yazınız.a) 10-7 b) 10-6 c) 10-10 ç) 10-4

Aşağıdaki sayıları bilimsel gösterimle yazınız.a) 38 000 000 b) 482 000 000 000c) 0,0000003 ç) 0,000000007

Aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu diğerlerinden farklıdır?

8

9

10

11

5-3 = . .13

. 13

. 13

. 13 = 3 100 000 = 5

64 = 2 = -3164 (0,3) . (0,3) . (0,3) = (0,3)

a) b) c)

ç) d) e)

A) 10-7. 10-3 B) 108

104 C) 102 . 102 D) 103

10-1

6Çalışma

38

39

OLASILIK, İSTATİSTİK VE SAYILAR

Y›llar Toplam kitap say›s› Yararlanan kifli say›s› Ödünç al›nan kitap say›s›

1996 328 690 415 490 138 0351997 334 510 460 343 148 3191998 344 392 509 022 147 2831999 355 875 520 517 142 3252000 368 352 497 718 137 1352001 377 944 480 784 136 9962002 382 210 377 345 130 4982003 391 067 283 883 104 596

Tablo: Nevflehir ‹li Kütüphane Verileri

600 000

500 000

400 000

300 000

200 000

100 000

0Toplam

kitap say›s›Yararlanankifli say›s›

Ödünç al›nankitap say›s›

19961997

1998

1999

2000

2001

20022003

Türkiye ‹statistik Kurumunun Nevflehir ilindeki kütüphanelere ait verileri yukar›datablo ve grafik fleklinde verilmifltir.

2007 y›l›nda kütüphanelerden en verimli flekilde yararlanabilmek amac›yla toplamkitap say›s›, yararlanan kifli say›s› ve ödünç al›nan kitap say›s›n›n tahmin edilmesigerekiyor. En iyi tahmin için mod, medyan, aritmetik ortalama ve aç›kl›k hesaplar› yeterlimidir?

Grafik: Nevflehir ‹li Kütüphane Verileri

Olas›l›k ve Olay Çeflitleri

Kareköklü Say›lar

Standart Sapma


Araç ve Gereç

40

Olasılık ve Olay Çeşitleri

Yazı mı Tura mı?

Olasılık Çeşitleri

•Madenî para

Bir ayakkabı mağazasına bir ayakkabı kolisi gelmiştir. Kolideki eş büyüklükteki her birkutuda bir çift ayakkabı bulunmaktadır. Kolideki 100 kutuda 45 çift siyah, 40 çift kahverengive 15 çift bordo ayakkabı vardır.

Koliden alınan bir kutunun içinden siyah ayakkabı çifti çıkmama olasılığı kaçtır?

Bir madenî para alalım.Para atıldığında tura gelme olasılığı kaçtır?Bu olasılığı nasıl hesapladığınızı açıklayınız.

Parayı 50 kez havaya atarak kaç kez yazı veya tura geldiğine ait çetele tablosu oluşturalım.Çetele tablosundan yararlanarak tura gelme olasılığını bulunuz.Bulduğunuz olasılık değerlerini karşılaştırınız.Diğer grup arkadaşlarınızın çetele tablo sonuçlarını ortak bir tabloda birleştirerek tura gelmeolasılığını hesaplayınız.İlk olasılık değeri, tablolardan hesapladığınız hangi olasılık değerine daha yakındır?Karşılaştırarak nedenini açıklayınız.Olasılık değerleri ile deneme sayıları arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.Tura gelme olasılık değeri, herhangi bir deneme ya da hesap yapmadan 1 olursa buolasılık nasıl adlandırılabilir? Tartışınız.

Hilesiz bir zar atıldığında üst yüzünde 5 gelme olasılığını hesaplayalım.

Mete, hilesiz bir zar atarak üst yüzünde 5 gelme olasılığını hesaplamak istiyor. Zarı 100kez atıyor ve 63 tanesi 5 geliyor.

E={1,2,3,4,5,6}B={5}

O(B)= s(B)s(E) = 1

6

Bulduğumuz olasılık değeri ’dır. Hesaplayarak bulduğumuz bu olasılık “Teorik Olasılık”olarak adlandırılır. Teorik olasılık, yukarıda olduğu gibi her bir çıktının eş olumlu olmasıdurumunda hesaplanır.

AnahtarKavramlar

•Deneysel Olasılık•Teorik Olasılık•Öznel Olasılık

ÖRNEKÖRNEK

16

63100

Bulduğu olasılık değeri oluyor.Mete zarı 10 000 kez attığında üst yüzünde 1659 kez 5 geliyor. 1

61659

10000Yani oluyor.

41

1) Olasılık çeşitleri;deneysel, teorik veöznel olarak üççeşittir.

3) Bir tane hilesiz zaratıldığında üst yüze 4gelme olasılığınıteorik olarakhesaplayamayız.

2) Hilesiz bir madenîparayı 100 kez ataraktura gelme olasılığınıhesaplamak deneyselolasılıktır.

4) Deneysel olasılıkdeğerinin teorik olasılıkdeğerine yakın olabilmesiiçin bir deneme yeterlidir.

5) Öznel olasılık değerikişiden kişiye değişmez.

6) Bir kavanozda çeşitlisayılarda yeşil, mavi, kırmızı,bilyeler vardır. Rastgeleseçilen bir bilyenin kırmızıgelme olasılığı ’ tür.

7) 1000 deneme, gerçekolasılık değerine 100denemeden daha yakındır.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7Çalışma

Siz de bir zar atıp aynı deneyi yaparak bulduğunuz olasılık değerlerini karşılaştırınız.

Mete’nin deneyerek yaptığı bu olasılık hesabı “Deneysel Olasılık” olarak adlandırılır.Deneydeki her bir çıktının eş olasılıklı olmadığı durumlarda deneysel olasılıktan yararlanılır.Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşmaktadır.

Celal, hilesiz bir zar attığında üst yüzünde 5 gelme olasılığının %50, Canan ise %70olduğunu söylüyor.Yapılan bu kişisel olasılık değerleri “Öznel Olasılık” olarak adlandırılır.Celal ve Canan’ın bulduğu olasılık değerlerinin neden farklı olduğunu açıklayınız.

1 Bir cam kâsenin içinde 20 adet kırmızı, 15 adet sarı, 12 adetmavi, 5 adet yeşil ve 3 adet beyaz bilye bulunmaktadır. Rastgelebir bilye alındığında aşağıdaki renklerin gelme olasılıklarını teorikolarak hesaplayınız.a) Kırmızı gelme olasılığı kaçtır?b) Mavi gelme olasılığı kaçtır?c) Beyaz gelme olasılığı kaçtır?

2 Bir kasiyer, kasaya ödeme yapan ilk yüz müşterinin ne kadarpara verdiğini not alarak yüz birinci müşterinin 100 TL vermeolasılığını deneysel olarak bulmak istiyor. Bunun için yandakitabloyu kullanarak yüz birinci müşterinin 100 TL verme olasılığınıhesaplayınız.

3 23’ten 33’e kadar olan sayıların (23 ve 33 dâhil) yazılarak atıldığı bir torbadan 3’e ve 2’yetam bölünebilen bir sayıyı çekme olasılığını teorik olarak bulunuz.

5 TL 10 TL 20 TL 50 TL100 TL

6 adet10 adet21 adet35 adet28 adet


4

UYGULAMAUYGULAMA


Araç ve Gereç

42

Bir taksi durağında bekleyen 20 taksinin sekizi 2006, yedisi 2005, beşi ise 2004 modeldir.Duraktan iki taksi çağıran müşteriye 2006 model taksi yollanma olasılığı kaçtır? Duraktaher seferinde 20 taksinin beklediğini düşünürsek iki gün üst üste taksi çağıran müşteriye2006 model taksi yollanma olasılığı kaçtır?

Olay Çeflitleri

Kâğıt Çekelim

Kâğıdı eş büyüklüklerde 12 parçaya bölelim.Kâğıtların üçüne üçgen, dördüne dörtgen, beşine de beşgen çizelimve bunları katlayarak torbaya atalım.Torbadan bir kâğıt çekelim.Çektiğiniz ilk kâğıdı torbaya atmadan ikinci bir kâğıt çekerseniz ilkçektiğiniz kâğıtta çizili olan çokgenin aynısından çekme olasılığınızhakkında ne söyleyebilirsiniz? Tartışınız.

Kâğıtta çizili çokgeni tekrar torbaya atarak mı yoksa atmadan mı çekerseniz aynı çokgeniçekme olasılığınız daha fazla olur? Gerekçeleriyle açıklayınız.Yukarıdaki kâğıt çekme olaylarının hangilerinin sonucu bir başka olaya bağlıdır?Bu olasılıkları nasıl adlandırabilirsiniz? Tartışınız.

29 Ekim Cumhuriyet Bayramı tören resimlerini çekmek üzere 21 üyeli fotoğrafçılıkkulübünden 2 öğrenci seçilecektir. Kulüp üyelerinin 6’sı 6. sınıf, 7’si 7. sınıf, 8’i de 8. sınıföğrencisidir.

Bir torbanın içerisine 6 adet “6.sınıf”, 7 adet “7.sınıf”, 8 adet “8.sınıf” yazılı eş özelliklikağıtlar atılarak seçim yapılacaktır. İlk olarak “8. sınıf” yazılı kağıt çekilmiştir. Çekilen kâğıdıtorbaya tekrar atmak veya atmamak, ikinci seçimde, 8. sınıf yazılı kâğıdın gelme olayınıetkiler mi? İnceleyelim:

İlk seçimden sonra “8.sınıf” yazılı kâğıdı torbaya atalım. Bu durumda torbadaki kâğıtsayılarında herhangi bir değişiklik olmamaktadır. Yani ilk seçimin sonucu, ikinci seçimietkilememektedir.

İlk seçimden sonra “8.sınıf” yazılı kâğıdı torbaya atmayalım. Bu durumda torbada“8.sınıf” yazılı kâğıtların biri azalmaktadır. Yani ilk seçimin sonucu ikinci seçimin sonucunuetkilemektedir.

ÖRNEKÖRNEK

AnahtarKavramlar

•Bağımlı Olay•Bağımsız Olay

•Torba • Kâ¤›t • Makas


Araç ve Gereç

43

İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesi birbirine bağlıysa yani bir olayın sonucu diğerolayın sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara “bağımlı olaylar” denir.

İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesi birbirine bağlı değilse yani bir olayın sonucudiğer olayın sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara “bağımsız olaylar” denir.

I. Durum (Bağımsız Olay): 1. çekiliştensonra çıkan altın tekrar keseye atılacak veikinci altın çekilecektir.

•Torba • Eflit büyüklüklerde 4 k›rm›z›, 7 mavi kalem

Torbadaki Kalemler

Kalemleri torbaya koyalım.Torbadan bir kalem çekelim.Çektiğiniz kalemi torbaya atarak ikinci kez kalem çektiğinizde ilkkalemle aynı renkte olma olasılığı kaçtır? Hesaplayınız.Çektiğiniz kalemi torbaya atmadan ikinci kalemi çektiğinizde ikincikalemin ilk kalemle aynı renkte olma olasılığı kaçtır? Hesaplayınız.

Bulduğunuz iki olasılık değerini karşılaştırınız. Hangisinde aynı rengi çekme olasılığıdaha fazladır? Açıklayınız.

Serhat Kuyumcusu’nun, keseye koyduğu 18 adet çeyrekaltının 7’si 2008, geri kalanı 2009 tarihlidir. Keseden rastgeleiki altın çekiliyor. Altınların çekilişi iki farklı durumda yapılabilir.Bu durumları aşağıdaki gibi ağaç diyagramlarında gösterelim.

2008 tarihli altın 2009 tarihli altınA B

II. Durum (Bağımlı Olay): 1. çekilişten sonraçıkan altın, keseye atılmadan ikinci altınçekilecektir.

1118

718

A

B

A

B

A

B

1118

718

1118

718

AA

AB

BA

BB

1118

1118

121324

. =

1118

718

77324

. =

718

1118

77324

. =

718

718

49324

. =

1118

718

A

B

A

B

A

B

1017

717

1117

617

AA

AB

BA

BB

1118

1017

110306

. =

1118

717

77306

. =

718

1117

77306

. =

718

617

42306

. =

1. çekiliş 2. çekiliş Çıktılar Olasılıkları 1. çekiliş 2. çekiliş Çıktılar Olasılıkları

ÖRNEKÖRNEK

44

II.durumdaki bağımlı (B olayı A’ya bağlı) olayın olma olasılığı,

P(A)= (18 altının 11’i A olayı)

P(B)= (Kesede kalan 17 altının 7’si B olayı)

P(A ve B)= P(A).P(B)

olur.1118

717

77306

. ==

1118

717

1

2 Bir öğrenci, okula yürüyerek, otobüsle ya da taksiyle gidebilmektedir. Okul dönüşü, sporayürüyerek ya da otobüsle gidebilmektedir. Bu öğrencinin, okula yürüyerek gitme ve okuldansonra otobüsle spora gitme olasılığı kaçtır?

Bir sınıftaki öğrencilerden bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecektir. 4 kız ve 8 erkeköğrenci aday olmuştur. Adayların isimlerinin yazılı olduğu kâğıtlar bir torbaya atılmıştır.Çekilen ismin yazılı olduğu kâğıt, torbaya geri atılmamak kaydıyla önce başkan, sonrabaşkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim ne tür bir olaydır? Bu olaya göre aşağıdakiolasılıkları hesaplayınız.

a) Başkan ve başkan yardımcısının kız öğrenci olmasıb) Başkanın kız, başkan yardımcısının erkek öğrenci olmasıc) Başkanın erkek, başkan yardımcısının kız öğrenci olmasıç) Başkan ve başkan yardımcısının erkek öğrenci olması

3

Bir torbadan kalem çekme olayı için aşağıda verilen olayların bağımlı mı bağımsız mıolduğunu belirleyiniz.a) Kalemi torbaya atmadan ikinci bir kalem çekmeb) Çekilen kalemi tekrar torbaya atarak ikinci bir kalem çekme

A ve B olayları;• Bağımsız ise P(A ve B)=P(A).P(B)• Bağımlı ise (B, A’ya bağlı) P(A ve B) = P(A).P (A’ya bağlı B)

Yukarıdaki örnekteki AB çıktılarını inceleyelim.

I. durumdaki bağımsız olayın olma olasılığı,P(A ve B)= P(A).P(B)

’tür.= 1118

718

77324

. =

UYGULAMAUYGULAMA

45

Bir küpün üzerine 15, 18, 21, 22, 25, 30 sayılarını, bir çarkı da 6 eş bölüme ayırarak herbir bölüme K, J, L, A, E, O harflerini yazalım. Küpü attığımızda ve çarkı çevirdiğimizdeaşağıdaki olayların olma olasılığını hesaplayınız.

4

a) 10 ile 20 arasında bir sayı ve sessiz harf gelmesib) 20’den büyük 2 ile tam bölünebilen sayı ve kalın sesli harf gelmesic) 20 ile 30 arasında 3 ile tam bölünebilen sayı ve ince sesli harf gelmesi

A ve B’nin bağımsız olaylar olduğunu düşünerek aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız.5

a) P(A)= 13 ve P(B)= 1

5 P(A ve B)=?

b) P(A)= 25 ve P(B)= 3

8 P(A ve B)=?

c) P(A)= 14 ve P(B)= 4

9 P(A ve B)=?

ç) P(A)= 34 ve P(B)= 4

7 P(A ve B)=?

8Çalışma

1) Bağımlı veyabağımsız olaylarınolasılık değerleri,olayların olasılıkdeğerleri toplanarakbulunur.

3) Aynı andagerçekleşen bir olayınsonucu diğerinietkilemiyorsa bağımsızolaydır.

2) Aynı andagerçekleşen bir olayınsonucu diğer olayınsonucunu etkiliyorsabağımlı olaydır.

4) Bir madenî parayı iki kezattığımızda ikisinin de turagelme olasılığı ’ dir.

5) İçerisinde eş büyüklükte3 limonlu, 4 portakallı şekerbulunan kutudan rastgelealınan iki şekerin de limonluolma olasılığı ’dir.

6) Bir madenî parayı iki kezattığımızda ikisinin de turagelme olasılığı ’tür.

7) İçerisinde aynı biçimde 3limonlu, 4 portakallı şekerbulunan kutudan rastgelealınan iki şekerden birincisininlimonlu ikincisinin ise portakallıolma olasılığı ’dur.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y


6

46

Olas›l›k ve Olay Çeflitleri

Bir okul gezisinde öğrencilere öğle yemeği olarak birsandviç ve bir de meyve suyu verilecektir. Sandviç vemeyve suyu çeşitleri yandaki tabloda verilmiştir. Bunagöre aşağıda verilen olayların olma olasılığını bulunuz.a) Rastgele alınan sandviçin tavuklu ve meyve suyununportakallı olmasıb) Rastgele alınan 2 sandviçin sırasıyla tavuklu, sosislive iki meyve suyunun sırasıyla şeftalili ve kayısılı olmasıc) Rastgele alınan sandviçin peynirli ve meyve suyununvişneli olması

1

2

3

4

Yanda bulunan eş parçalara bölünmüş çark döndürüldüğüzaman okun aşağıdaki renklerin üzerine gelme olasılığınıhesaplayınız.

10 ile 25 arasındaki doğal sayılar küçük birer kâğıda yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadanrastgele bir sayı çekildiğinde aşağıdaki seçeneklerin olma olasılığını teorik olarak hesaplayınız.

a) Sarıb) Yeşilc) Mavi

a) Asal ve 3 ile tam bölünebilen bir sayı gelmesib) Asal veya 3 ile tam bölünebilen bir sayı gelmesic) 2’ye ve 5’e tam bölünebilen bir sayı gelmesiç) 2’ye veya 5’e tam bölünebilen bir sayı gelmesid) 4’e tam bölünebilen bir sayı gelmemesi

Yandaki eş parçalara bölünmüş çark iki kere döndürüldüğünde aşağıdakiolayların olma olasılığını hesaplayarak türünü belirtiniz. Okun,a) Önce A sonra C’yi göstermesib) Önce B sonra A’yı göstermesic) Önce C sonra B’yi göstermesi

AB

A

C A

C

BA

5

Bir zar ve madenî para aynı anda atılıyor. Zarın 3,madenî paranın ise tura gelme olasılığınıhesaplayınız.

Tavuklu SandviçSosisli SandviçPeynirli SandviçPortakal SuyuŞeftali SuyuVişne SuyuKayısı Suyu

10 adet15 adet20 adet12 adet18 adet14 adet8 adet

4Öz Değerlendirme


Tablo: Öğle Yemeği


Araç ve Gereç

47

Kareköklü Say›lar Kareden Kareköke

Kendisi ile çarpıldığında 64 sayısı elde edilen başka bir sayı var mıdır? Bulalım.(-8)x(-8)=64’ tür.

Karesel Bölgenin Alanı ile Kenarı

Kareli kâğıda, bir karesel bölge modelleyelim.Modellediğiniz karesel bölge, kaç adet küçükkaresel bölgeden oluşmaktadır?Karesel bölgenin kenar uzunluğunu kullanarakalanını veren eşitliği yazınız.

Bir karesel bölgenin alanı verilmişse bir kenar uzunluğunu nasıl bulursunuz? Açıklayınız.

Alanı 121 br2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu hesaplayınız.

(-8) sayısı, alanı 64 cm2 olan karenin bir kenar uzunluğu olabilir mi? Tartışınız.

64 = 8 cmAlanı 64 cm2 olan bir karesel bölgenin bir kenar uzunluğu için 64’ün karekökü bulunur.64 = 82 = 8 x 8 eşitliğini yazabiliriz.

“ ” sembolünden önce bir sayının karekökü için “kök” ve “kenar” sözcükleri kullanılmaktaydı.Siz olsaydınız, bu sembol ve karekök sözcüğü yerine ne kullanırdınız?

“ ” sembolünü ilk kez Almanmatematikçi Christoff Rudolff(Kristof Rudolf 1499-1545) “DieCoss” kitabında, 1525 yılındakullanmıştır.

ÖRNEKÖRNEK

AnahtarKavramlar

•Karekök•Tam kare

• Kareli kâ¤›t

Verilen sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi, karekök almaktır.Pozitif karekök “ ” sembolü ile, negatif karekök “ - ” sembolü ile gösterilir.264

ifadesi “karekök iki” olarak okunur.ifadesi, karesi 64 olan pozitif sayıyı bulma işlemidir.

Alanı 64 cm2 olan karesel bölge şeklindeki not kâğıdının bir kenarınınuzunluğunu bulalım:Karesel bölgenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisi ile çarpımınaeşittir. Bu nedenle “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 64’e eşittir?”sorusunun cevabını bulmamız gerekir. Buna göre,


Araç ve Gereç

•Hesap makinesi

Karekök Tahmini

Tam kare olmayan bir sayı belirleyiniz.Belirlediğiniz sayıya en yakın iki tane tam kare sayıbulunuz.Bu üç sayıyı küçükten büyüğe doğru sembolkullanarak sıralayınız.

48

Kenar uzunlukları: 1 br 2 br 3 br 4 brAlanlar : 1 br2 4 br2 9 br2 16 br2

O hâlde alanını bildiğimiz bir karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulabilmek içinkaresel bölgenin alanının karekökünü almalıyız:

” sembolünü, bir sayının pozitif karekökünü bulmak için kullanırız. Yani bir sayının“karekökü pozitif bir sayıdır.

Aşağıda noktalı kâğıt üzerinde oluşturulan kare modellerinin alanları ve kenarları arasındakiilişkiyi bulalım.

Bir karenin alanını, bir kenar uzunluğunun karesini alarak bulabiliriz.Bir kenar uzunluğu;1 br olan karesel bölgenin alanı 1x1 = 12 = 1 br2 ,2 br olan karesel bölgenin alanı 2x2 = 22 = 4 br2 ,3 br olan karesel bölgenin alanı 3x3 = 32 = 9 br2 ,4 br olan karesel bölgenin alanı 4x4 = 42 = 16 br2 olur.

alanı 1 br2 olan karesel bölgenin bir kenarıalanı 4 br2 olan karesel bölgenin bir kenarıalanı 9 br2 olan karesel bölgenin bir kenarıalanı 16 br2 olan karesel bölgenin bir kenarı

Bulduğumuz sonuçların tam sayı olduğunu görüyoruz.

Karekökleri tam sayı olan doğal sayılar (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...), tam kare sayılar

olarak adlandırılır.

1 = 1 br,4 = 2 br,9 = 3 br,

16 = 4 br olur.

Aynı sıralamayı bu sayıların karekökleri için de yapınız.Yaptığınız sıralamadan yararlanarak belirlediğiniz sayının karekökünün hangi iki tam sayıarasında olduğunu tahmin ediniz.Belirlediğiniz sayının karekökünün yakın olduğu tam sayıyı dikkate alarak en yakın ondabirliğe kadar tahmin ediniz ve tahmininizi sayı doğrusunda gösteriniz.Yaptığınız tahmin sonucunu, hesap makinesiyle bulduğunuz karekök değeri ile karşılaştırınız.

49

Aşağıda verilen kareköklü sayıların hangi iki tam sayının arasında olduğunu bulunuz.

28 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim:

28 sayısına en yakın tam kare sayılar 25 ve 36’dır.Bu sayıları 25 < 28 < 36 şeklinde sıralayabiliriz.Sıraladığımız sayıların kareköklerini alalım. 25 < 28 < 36 olur.Buradan 5 < 28 < 6 yazabiliriz.28’in 5 ile 6 arasında bir sayı olduğunu söyleyebiliriz.28’i en yakın onda birliğe kadar tahmin edebilmek için 28’in 25 ve 36 sayılarına olan

uzaklığına bakalım.

28-25=336-28=8

28 sayısı, 25’e 36’dan daha yakın olduğundan 28’ i 5,2 veya 5,3 olaraktahmin edebiliriz.

(5,2)2 =27,04 (5,3)2 =28,09 olduğundan 28 5,3 olur.

28’i sayı doğrusunda gösterelim:

Yaptığımız tahmini, hesap makinesi kullanarak kontrol edelim:Bunun için hesap makinesine 28 yazıp tuşuna basmamızyeterlidir. 28 5,291502622 olarak buluruz.

28 65

1 Hangi sayıların kareleri 36 sayısını verir?

28 adet birim karesel bölge ile yeni bir karesel bölge oluşturabilir miyiz? Açıklayınız.2

39 sayısının karekökü bir tam sayı mıdır? Açıklayınız.3

4 Aşağıda verilen sayıların tam kare olup olmadığını açıklayınız.a)230 b) 156 c)196 ç) 0

5

Negatif bir sayının karesini ve karekökünü almak mümkün müdür? Açıklayınız.

75a) 80b) 82c) 110ç)

6

ÖRNEKÖRNEK

UYGULAMAUYGULAMA

28 5,291502622

50

1) Karekök alma,verilen sayınınhangi sayınınkaresi olduğunubulma işlemidir.

3) Bir sayınınkarekökünün karesi osayının kendisini verir.

2) Her tam sayının birkarekökü vardır.

4) 4, 5, 8, 10, 16, 20 sayılarıtam kare sayılardır.

5) Herhangi bir sayınınkarekökü pozitif iki tamsayı arasındadır.

6) Negatif bir sayının karesiyine negatif bir sayıdır.

7) Pozitif bir tam sayınınkarekökü pozitiftir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

9Çalışma


9

a) 32=9 b) 102=100

8 Aşağıdaki eşitliklere uygun model yapınız.

7 40 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin ediniz.

51

Kareköklü Say›larla Toplama ve Ç›karma ‹fllemleri

Yapboz (puzzle), iç içe geçebilen küçük parçaların renk ve şekil uyumu içinde birleştirilerekbir bütün oluşturmasıdır. Küçük yaştakiler için büyük ve sayısı az olan parçalarla tasarlananyapbozlar, ilerleyen yaşlar için küçük ve daha fazla sayıda parçadan oluşturulur.

Alanı 400 cm2 ve 2 m2 olan iki ayrı karesel bölge şeklindeki yapbozu tamamlayanÖzlem, bu yapbozları çerçeveletmek istemektedir. Bunun için gerekli çerçevelerin uzunluklarınıbulunuz.

ETK‹NL‹KETK‹NL‹KÇokgenlerin Çevre Uzunlukları

Aşağıdaki çokgenleri inceleyelim.

Kenar uzunlukları verilen çokgenlerin çevre uzunluklarını bulunuz. Nasıl bulduğunuzu venelere dikkat ettiğinizi açıklayınız.Arkadaşlarınızla tartışarak kareköklü sayılarla toplama işlemine ait bir genellemeye varınız.

Kareköklü sayılarla toplama işleminde vardığınız sonuç, çıkarma işlemi için de geçerliolur mu? Tartışınız.

5 cm

2 cm

2 cm

3 m

3

3 m3 3 m2

2 m5

52

Düzgün altıgenin çevre uzunluğu, eş uzunluktaki 6 kenarının toplamına eşittir.Ç1= + + + + + =6 cm buluruz.

2 cm

3 cm

7 cm

Yukarıda verilen bir kenarı cm olan düzgün altıgen ile, kısa kenarı cm, uzunkenarı cm olan paralelkenarın çevre uzunluklarını bulalım:

Paralelkanarın çevre uzunluğu ise karşılıklı kenar uzunluklarının toplamıdır.Ç2 = + + + = 2 +2 = 2( 3 + 7 )cm olur.

Kareköklü sayılarla toplama işlemi yapılırken kök içleri aynı olan terimlerin kat sayılarıtoplanır, ortak kök aynen yazılır. Bu özellik kareköklü sayılarla çıkarma işlemi için degeçerlidir.

7 +2 -4 -6 işlemini yapalım:

(7 - 4 ) + (2 - 6 )................. kök içleri aynı olan terimler gruplanır.= (7-4) +(2-6) ................................ kök içleri aynı olan terimlerin kat sayıları toplanır.= 3 -4 ............................................ sonuç bulunur.

1

2

Kenar uzunluğu br olan eşkenar dörtgenin çevre uzunluğunu bulunuz.

Dikdörtgenin içinde yeşil çizgilerle verilen uzunluğubulunuz.

3 a) 2 +4 =6b) 5 -2 =3

Yandaki işlemlerin doğru olup olmadığını kontrol ediniz.Hatalıysa doğru çözümü yapınız.

3 br10

2 br6

4

5 3 -5 +8 -4 - işlemini yapınız.

-3+ -2 işleminin sonucunu bulunuz.10

Çalışma

ÖRNEKÖRNEK

UYGULAMAUYGULAMA



53

Kareköklü Say›larla Çarpma ve Bölme ‹fllemleri

Farklı alanlarda, kareköklü ifadeler içeren birçok bağıntıkullanılmaktadır. Bunlardan biri, üçgenin alanını veren u.(u-a).(u-b).(u-c) şeklindeki bağıntıdır. Burada a, b, cüçgenin kenar uzunlukları, u ise çevre uzunluğunun yarısıdır.Bu bağıntıyı farklı şekillerde yazabilir misiniz? Tartışınız.

Kareköklü Sayılarla Çarpma İşlemi

Alanı 3 m2 olan karesel bölgeyi ele alalım.Alanı verilen bu karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulunuz. Nasıl bulduğunuzuaçıklayınız.Kenar uzunlukları m ve m olan dikdörtgensel bölgeyi ele alalım.Bu karesel bölgenin alanını bulunuz. Nasıl bulduğunuzu açıklayınız.Kareköklü sayılarla çarpma işlemiyle ilgili bir kural geliştirebilir misiniz? Tartışınız.

. işlemini yapınız.

3 m

2 mA= 3 m2

Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım.a) . b) 4 . c) 8 . 2

a) . = = b) 4 . = 4. = 4c) 8 . 2 = 8.2 = 16

Farklı Gösterim

say›s›n› ele alal›m.20 say›s›n› çarpanlara ay›rarak biri tam kare olacak flekilde çarpanlar›n çarp›m› biçimindeyaz›n›z.Çarpma iflleminin özelli¤inden yararlanarak say›s›n› iki kareköklü say›n›n çarp›m›fleklinde yazal›m.Tam kare olan terimin de¤erini bularak çarpma ifllemini yap›n›z.

say›s›n› farkl› bir biçimde nas›l gösterebilirsiniz? Aç›klay›n›z.

Yapt›¤›n›z ifllemleri aç›klayan bir paragraf yaz›n›z.

ÖRNEKÖRNEK

A

CB a

c b

u = a+b+c2

Kareköklü sayılarla çarpma işleminde kat sayılar kendi aralarında, karekök içindekisayılar da kendi aralarında çarpılır.


54

Alanı 75 cm2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulalım:Alanı 75 cm2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu cm’dir.75 sayısını çarpanlara ayıralım:752551

355

75 = 3.52 75 3.52= 3= . 52 = 3 .5 = 5 3

72

kareköklü say›s›nda kat say› olan 2’yi kök içine alal›m:

7.22= 7.4= = 28

Kareköklü Sayılarla Bölme İşlemi

Yandaki örüntünün ilk üç satırını inceleyelim.Kareköklü sayılarla bölme işleminin nasıl yapıldığını açıklayınız.Yandaki örüntünün 4. satırındaki ondalık kesrin karekökünü elealalım.Ondalık kesri, rasyonel sayı olarak nasıl ifade edersiniz? Açıklayınız.Rasyonel sayı olarak ifade ettiğiniz ondalık kesrin karekökününasıl bulacağınızı tartışınız.Gerekli işlemleri yaparak bulduğunuz kesri, ondalık kesir olarakifade ediniz.

işleminin sonucunu bulunuz.

1649 = 16

49= 4

7

2564 = 25

64= 5

8

3681 = 36

81= 6

9

=0,49 =

1)

2)

3)

4) ...

1681

16100=

Karekök sembolünü pay ve paydaya ayrı ayrı uygulayalım:1681 = 16

81

işlemini yapalım:

Pay ve paydanın karekökünü alıp sonucumuzu bulalım:

1681 = 16 = 4

981

0,16 işlemini yapalım:

16100 = 16 = 4

10100 = 0,4

Bölme işleminin özelliğinden yararlanarak sonucu bulalım:0,16

0,16 =

ÖRNEKÖRNEK

ÖRNEKÖRNEK

bulunur.

Tablı: Sayı Örüntüsü

Aynı karekök içindeki sayılar pay ve paydada ayrı ayrı köklerde yazılarak bölme işlemiyapılabilir.

55

Yanda alanı verilen dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarınıtahmin ediniz.

Aşağıdaki işlemleri yapınız.

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bularak bu işlemlere uygun birer model oluşturunuz.

say›s›n› iki kareköklü say›n›n çarp›m› fleklinde yaz›n›z.

Alan› 80 m2 olan bir karesel bölgenin bir kenar›n›n uzunlu¤unu cebir ile iliflkilendirerekbulunuz.

Afla¤›daki kareköklü say›lar› a fleklinde yaz›n›z.

Afla¤›daki kareköklü say›lar› fleklinde yaz›n›z.

Afla¤›daki say›lar› büyükten küçü¤e do¤ru s›ralay›n›z.

Afla¤›daki ifllemlerin sonucunu en sade biçimde yaz›n›z.

Afla¤›da a fleklinde verilen say›lar› fleklinde yaz›n›z.

Afla¤›daki kareköklü ifadeleri en sade biçimde yaz›n›z (a>0, b>0 ve c>0).

10

kareköklü say›s›n› en sade biçimde yaz›n›z.

10 br2

a) 53( + 2 ) b) 33 ( - 5 ) c) 25 ( - 3 ) ç) 25 ( + 3 )

a) 3 . 3 b) 2 . 5 c) 25 + 6 ç) 3. 32

a) 125 b) 50 c) 75 ç) 32

a) 124 b) c) ç)- 10-3 27 26

15- , -4 , 10 , 12 , 2 2 , -2 3

a) 6 b) c)- 82 4 -24- 32- 32

a) 2 b) c) ç)3 7-2 54 1012

a) 4a2b2 b) c) ç)25a2b2c 27a6b4c2 48a4b6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11

12

UYGULAMAUYGULAMA

56

iflleminin sonucunu en sade biçimde yaz›n›z.

Kenarlar›n›n uzunlukları ( )a cm ve ( ) a cm olan dikdörtgensel bölgenin alan›n›bulunuz.

13

14


11Çalışma

1) Kareköklüsayıların çarpılmasıiçin kökün içindekisayıların aynıolması gerekir.

3) Her a şeklindekisayıyı şeklindeyazabiliriz.

2) Her kareköklüsayıyı a şeklindeyazabiliriz.

4) Kareköklü sayılarlabölme işleminde bazen

5)

6) Ondalık kesirlerinkarekökünü alırkenkesirlerden yararlanırız.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

0,004 = 0,2

7) 12 > 2 3

şeklinde, bazen de

şeklinde işlem yaparız.

15


Eskiden geometrik ifadelerin her zaman rasyonel sayılarbiçiminde gösterilebileceğine inanılıyordu. Kenar uzunluğu1 br olan karenin köşegen uzunluğunun bir rasyonel sayıolmadığı anlaşıldıktan sonra bu inanışa olan güven azaldı.Rasyonel sayıların oranları ve paylaşımları ölçmede yeterliolmasına rağmen uzunlukları ifade etmek konusunda yetersizolduğu ortaya çıktı. Bu yetersizliği gidermek için yeni bir sayısistemi kurmak gerekliydi.

Aşağıdaki sayılardan hangilerinin irrasyonel sayı olduğunu belirleyelim.a) 4,33... devirli ondalık kesrini iki tam sayının oranı olarak yazabiliriz.

57

Gerçek Say›lar

Yeni kurulan bu sayı sistemi neydi acaba?

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılar irrasyonel sayı olarak adlandırılır.Bu sayıların oluşturduğu küme irrasyonel sayılar kümesidir.

Aradığımız oran x olsun,x= 4,333... olur.

Devreden 3 sayısını yok edebilmek için eşitliğin her iki tarafını 10 ile çarpalım:10x=43,333...

4,333... devirli ondalık kesri, iki tam sayının oranı olarak şeklinde yazılabildiğindenrasyonel sayıdır.

b) 2,01020301... şeklinde sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eden sayılar iki tamsayının oranı şeklinde yazılamaz. Dolayısıyla bu sayı irrasyonel sayıdır.

Her Ondalık Kesir Rasyonel Sayı mıdır?

0,16; 0,9 ve -4,3 ondalık kesirlerini iki tam sayının oranı şeklinde yazalım.0,7; -2,0101 ...; 14,0101030405 ondalık kesirlerinden hangilerinin rasyonel sayı olarakyazılabileceğini tartışınız.Rasyonel sayı olarak yazılamayan sayılara ne ad verilebilir? Tartışınız.

sayısı, rasyonel sayı mıdır?

Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkaralım:

133

399

10x= 43,333...x= 4,333...

9x= 39x= =

ÖRNEKÖRNEK

AnahtarKavramlar

•İrrasyonel sayılar•Gerçek sayılar

1 br

?1 br 1 br

1 br


58

c) = 4,123105626... sayısı devirli sayı şeklinde yazılamaz. Yani iki tam sayının oranıbiçiminde gösterilemez. Bu sebeple sayısı irrasyoneldir.

π sayısının virgülden sonraki basamakları hakkında araştırma yaparak sınıfa sununuz.

Siz de irrasyonel sayılara örnekler veriniz.

Sayı Kümeleri

Sayı kümelerini ele alalım.Sayma sayılar kümesinin elemanlarını belirtiniz. Bir sayma sayısından kendisiniçıkardığınızda bulduğunuz sayı bir sayma sayısı mıdır? Tartışınız.İki doğal sayının farkı her zaman bir doğal sayı mıdır? Tartışınız.İki tam sayı birbirine bölündüğünde, bölüm her zaman bir tam sayı mıdır? Açıklayınız.Rasyonel sayılar kümesinde kök alma işlemi yapılabilir mi? Nedenini tartışınız.Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılar arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.Sayma sayılarını, doğal, tam, rasyonel ve irrasyonel sayıları Venn şemasında gösteriniz.Venn şemasında gösterdiğiniz sayı kümelerini alt küme veya kapsama sembolüylebelirterek karşılaştırınız.Belirttiğiniz tüm sayı kümelerini kapsayan bir küme var mıdır? Tartışınız.Sayı kümelerinin her birinin sayı doğrusunu ne ölçüde doldurduğunu tartışınız.

şeklinde alt küme ilişkisi vardır. Aynı zamanda S = N+ olur.

İrrasyonel sayılar (I), rasyonel sayılar kümesini kapsamaz. Dolayısıyla bu kümelerayrıktır.

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesinioluşturur. Gerçek sayılar kümesi R sembolü ile gösterilir.

Gerçek sayılarla, sayı doğrusundaki tüm noktalara bir sayı sistemi karşılık gelmiş olur.Yani gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

Gerçek sayılar kümesinin diğer sayı kümeleriyle ilişkisini aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.

Gerçek sayılarRasyonel sayılar

Tam sayılar

Doğal sayılar

İrrasyonelsayılar

ÖRNEKÖRNEK

GÖREV

Sayı kümelerini inceleyelim:Sayma sayıları (S), doğal sayılar (N), tam sayılar (Z), rasyonel sayılar (Q) olup aralarında

Hasan, herhangi iki rasyonel sayı arasında bir başka rasyonel sayının olabileceğini iddiaediyor. Gülay ise bu fikre karşı çıkıyor. Sizce bu tartışmada kim haklıdır?

Bir arkadaşınız rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar arasındaki farkı merak ediyor. Busayılar arasındaki farkı anlatan bir açıklama yazınız.

1

2

3

N ∪ Z ∪ Q ∪ I hangi kümeyi oluşturur?5

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi belirtiniz.

6 3 , 5 , sayılarını sayı doğrusunda gösteriniz.

7 Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayı çarpıldığında sonucun hangi sayı kümesine aitolacağını tartışınız.

8 Bir irrasyonel sayı ile bir tam sayının toplamı rasyonel bir sayı mıdır? Açıklayınız.

1) Gerçek sayılar, sayıdoğrusunu tam olarakdoldurur.

3) sayısı birrasyonel sayısıdır.

2) İki rasyonel sayıarasında mutlaka birtam sayı vardır.

4) Her rasyonel sayının birondalık gösterimi vardır.

5) Devirli ondalık kesirleraynı zamanda bir rasyonelsayıdır.

6) irrasyonel sayısı ikirasyonel sayı arasındadır.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

12Çalışma


7) Rasyonel sayılarlairrasyonel sayıların birleşimkümesi gerçek sayılarkümesidir.

9

59

Aşağıdaki sayılardan rasyonel ve irrasyonel olanları belirleyiniz.a) b) -2 c) +2 ç)1,02 d) 0,4949... e) -2

4

86 ,

UYGULAMAUYGULAMA

60

Kareköklü Sayılar

Alanı 196 m2 olan karesel bölge biçimindeki bir duvarın kenar uzunluğu kaç metredir?1

2 152 işlemini, hesap makinesinde x2 tuşunu kullanmadan nasıl hesaplayacağınızı açıklayınız.

5 39 sayısının karekökünün hangi tam sayılar arasında olduğunu bulunuz.

7 Çevre uzunluğu 4 cm olan iki kare birleştirilerek bir dikdörtgen elde edilecektir. Oluşandikdörtgenin kenar uzunluklarını ve çevre uzunluğunu bulunuz.

8 işleminin sonucunu bulunuz.27 72 50+ 48- +

10 ) işleminin sonucunu bulunuz.3 5( 2 --2 3

3 Bir kareli kâğıda, alanı 23 birim kareden fazla olmamak şartıyla mümkün olan en büyük

karesel bölgeyi çiziniz.

4 Bir kareli kâğıda, alanı 23 birim kareden az olmamak şartıyla mümkün olan en küçük

karesel bölgeyi çiziniz.

6 Aşağıdaki sayıları sayı doğrusunda gösteriniz.32- , 10 20 255

3- ,, - ,

9 Yandaki x, y, z, k ve t harfleriyleisimlendirilmiş dikdörtgenselbölgelerin alanlarını bulunuz.


x

yk

z

t

3

3

23 + 2

2 3

3

br

br

brbr

3 br br

br

( )

61

14 Afla¤›daki ifadelerden do¤ru olanlar›n bafl›na “D”, yanl›fl olanlar›n bafl›na “Y” yaz›n›z.

(......) 28 say›s› bir rasyonel say›d›r.(......) -π fark›, bir irrasyonel say›d›r.(......) 0,12 ondal›k kesri rasyonel say› belirtir.(......) Kareköklü her bir say› bir irrasyonel say›d›r.

15 1,89 ile 1,9 ondal›k kesirleri aras›nda olan 3 tane rasyonel say› yaz›n›z.

Aşağıdaki işlemlerin sonucunun hangi sayı kümesine ait olduğunu sembol kullanarakyazınız.

16

3 28342 -+ -

34- 4 +

a)

b) 16-

34+c) - 20

5 - 15

ç) ( 2 + 1) ( 2 - 1)

d) 2 + 12 + 82 + 2 33

11 Aşağıdaki kareköklü sayıları en sade biçimde yazınız.a) 24 b) 1,21 c) 0,025 ç) 48

75

12 Alanı 32 br2 olan karesel bölgenin kenar uzunluğunun alanı 40 br2 olan kareselbölgenin kenar uzunluğuna oranı kaçtır?

13 Kenar uzunlukları cm ve cm olan dikdörtgensel bölgenin çevreuzunluğunu bulunuz.

5Öz Değerlendirme

62

Standart Sapma

Bir ülkenin ekonomisini belirleyen etkenlerdenbirisi de borsadır. Borsada kazanabilmek için riskiniyi bir şekilde analiz edilmesi gerekir. Riskin analizedilmesi standart sapma kullanılarak gerçekleşir.Borsada iki durumdan hangisinin riskinin daha küçükolduğunu anlayabilmek için standart sapmadanyararlanılır. Standart sapması küçük olan durum içinsapma ve risk az, büyük olan durum için ise sapmave risk yüksektir.

ETK‹NL‹KETK‹NL‹KStandart Sapma

İki farklı gruba ortak bir sınav uygulanıyor.İki grup üyelerinin aldığı sınav sonuçlarıtabloda verilmiştir.

I. grup

II. grup

10 50 80 90 90100 70 70 60 80

70 70 70 60 50 90 80 70 70 70

Her iki gruptaki verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayalım.Aritmetik ortalamaya bakarak hangi grubun daha başarılı olduğu söylenebilir?Neden?Her iki grup için açıklık, mod ve medyan değerlerini hesaplayalım.Açıklık, mod ve medyan değerlerine ayrı ayrı bakarak hangi grubun daha başarılıolduğu söylenebilir? Tartışınız.İki grubu başarıları açısından karşılaştırmak için farklı bir yol bulunabilir mi?Tartışınız.

BORSA ENDEKSİNDE SON HAFTA

38.99839.744

39.64439.824

40.591

38.457EKİM 16 17 18 20 2619

AnahtarKavramlar

•Standart sapma•Merkezî eğilim ölçüleri•Merkezî yayılma ölçüleri

Bir veri grubunun standart sapmasını bulmak için aşağıdaki aşamalar uygulanır:•Veri grubunun aritmetik ortalaması bulunur.•Her bir verinin aritmetik ortalama ile farkının karelerinin toplamı bulunur.•Bulunan toplam, veri sayısının bir eksiğine bölünerek bölümün karekökü alınır.•Bulunan sonuç veri grubunun standart sapmasını belirler.

a1, a2, a3, ..., an veri grubunun aritmetik ortalaması aort olsun. Bu veri grubunun standartsapması aşağıdaki formül ile hesaplanır.

(a1- aort)2 + (a2- aort)

2 + ... + (an- aort)2

n-1Standart sapma =

Aritmetik ortalamaları birbirine yakın veya eşit olan iki veri grubundaki çok büyük veyaçok küçük değerler verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda merkezî yayılma ölçüsününaçıklığına veya çeyrekler açıklığına bakılır. Bu değerler veri gruplarının üst ve alt bölgelerindeyer alan ve verilerin yayılımını etkileyen değerler hakkında tam olarak bilgi vermeyebilir.Böylesi durumlarda merkezî yayılma ölçüsü olarak standart sapma kullanılır.

Sizin de çevrenizdeki riskleribelirlemede kullandığınız ölçütlervar mıdır? Tartışınız.

63

Aşağıdaki tabloda iki farklı şehirde bir hafta boyunca her gün gerçekleşen trafik kazalarınınsayısı verilmiştir.

Bu verilerin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını bularak hangi şehirde trafikkazası riskinin daha az olduğunu belirleyelim:

1+13+2+10+15+8+77

=I. flehirdeki kaza say›s›n›n aritmetik ortalamas› =

8+8+7+6+9+8+107

=II. flehirdeki kaza say›s›n›n aritmetik ortalamas› =

I ve II. flehirlerdeki kaza say›lar›n›n aritmetik ortalaması ayn› oldu¤undan hangi flehirdekikaza riskinin daha az oldu¤unu bilemeyiz. Bu nedenle iki flehirdeki kaza say›lar›n›n standartsapmas›n› bulal›m:

I. flehirde gerçekleflen kaza sayılarının oluflturdu¤u veri grubunun standart sapmasınıbulalım.

164

Ayn› yöntemle II. flehirde gerçekleflen kaza say›lar›n›n oluflturdu¤u veri grubunun standartsapmas› yaklafl›k 1,3 olarak bulunur.II. flehirde gerçekleflen kaza say›larının oluflturdu¤u veri grubunun standart sapmas› dahadüflüktür (1,3 < 5,23). Bu durumda I. flehirdeki kaza riski daha azd›r.

5, 10, 20, 30, 35 say›lar›ndan oluflan veri grubunun standart sapmas›n› hesaplayal›m.

5+10+20+30+355

= 20Aritmetik ortalama =

(5-20)2+(10-20)2+(20-20)2+(30-20)2+(35-20)2

5-1Standart sapma =

= 6504

8

8

ÖRNEKÖRNEK

= 162,5 12,75

(1-8)2+(13-8)2+(2-8)2+(10-8)2+(15-8)2+(8-8)2+(7-8)2

7-1

(-7)2+52+(-6)2+22+72+02+(-1)2

6=

49+25+36+4+49+0+1=6

=6

27,33 5,23 bulunur.

I. flehir

II. flehir

1 13 2 10 15 8 7

8 8 7 6 9 8 10

Pazartesi Sal› Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar

64

1 Afla¤›daki verilerin standart sapmas›n› bulunuz.

52, 52, 48, 50, 47, 48, 49, 55, 52, 55, 53

2 8A ve 8B s›n›f›na ortak bir s›nav yap›lm›fl, s›n›ftaki ö¤rencilerin ald›klar› notlar tablodaverilmifltir.

Hangi s›n›f daha baflar›l›d›r? Neden?

3

Hangi durumlarda standart sapma 0’a eflit olur? Örnek vererek aç›klay›n›z.

Aritmetik ortalamas› 70 olan bir veri grubuna 55 say›s› eklenirse standart sapmada nas›lbir de¤ifliklik olur?

Okan, bir kamera almak istemifl ve farkl› marka ve modeldeki kameralar›n fiyatlar›n›araflt›rm›flt›r. Elde etti¤i fiyatlar afla¤›da verilmifltir. Okan, merkezî e¤ilim ölçülerinikullanarak alaca¤› kameraya karar vermek istiyor.

100 TL, 105 TL, 100 TL, 115 TL, 120 TL, 110 TL, 115 TL, 105 TL 100 TL, 120 TL,120 TL, 120 TLOkan hangi merkezî e¤ilim ölçüsünü kullan›rsa fiyatı en uygun kameray› al›r? Neden?

Aç›kl›k, aritmetik ortalama, çeyrekler aç›klı¤ı, mod, medyan, standart sapmaterimlerinden hangileri merkezî yay›lma ölçüsüdür?

13Çalışma

400, 400, 1400, 400, 1100, 1000, 400, 900, 400, 400, verilerini kullanarak merkezîe¤ilim ve yay›lma ölçülerini bulal›m:

Verileri küçükten büyü¤e do¤ru s›ralayal›m.400, 400, 400, 400, 400, 400, 900, 1000, 1100, 1400

Verilerin ortas›ndaki de¤er: ortanca (medyan) 400’ dür.En fazla tekrar eden de¤er 400 oldu¤undan tepe de¤er (mod) 400’dür.

Açıklık = 1400-400 = 1000’ dir.

Aritmetik ortalama:

Aritmetik ortalama, ortanca (medyan), tepe değeri (mod), “merkezî eğilim”; açıklık,çeyrekler açıklığı ve standart sapma ise “merkezî yayılma” ölçüleridir.

Marketlerdeki değişik markalara ait ürünlerin fiyatları arasındaki farklılıklarla ilgili biraraştırma yapıp araştırma sonuçlarınızı sınıfa sununuz.

8A

8B

76 52 10 27 34 53 72 64 55 67 42 45 91 28 52 61 70 34 96 15

43 52 61 55 72 36 37 53 62 71 32 25 74 67 69 55 57 43 62 70

S›n›f Notlar

ÖRNEKÖRNEK

UYGULAMAUYGULAMA

382,4

5

4

400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 900 + 1000 + 1100 + 140010

= 680

Standart sapma:

Standart sapman›n veri grubundaki en küçük de¤ere yak›n olmas› aç›kl›¤›n büyük oldu¤unugöstermektedir.

9

65

Standart Sapma

1

Aşağıdaki veri gruplarının hangisinin standart sapmasının düşük olduğunu tahmin ediniz.Tahmin ederken kullandığınız yöntemi açıklayınız.a) 10, 11, 12, 13, 14 b) 5, 6, 12, 18, 19 c) 6, 8, 10, 12, 14

A

B

51, 56, 51, 49, 53, 63, 49

C

71, 76, 71, 69, 73, 82, 55

102, 112, 102, 98, 106, 124, 126

a) Tablodaki her bir veri grubunun aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz.

2

Yanda verilen grafik İngilizce seviyebelirleme sınavında öğrencilerinaldığı notları belirtmektedir.Grafikteki verilere göre öğrencilerinseviyeleri için neler söylenebilir?Bunu yaparken hangi merkezîeğilim veya yayılma ölçüsündenyararlandınız? Açıklayınız.

Aşağıda verilen durumlar için mod, medyan, açıklık, çeyrekler açıklığı ve standart sapmagibi merkezî eğilim ve yayılma ölçülerinden hangisinin kullanılmasının daha uygun olacağınıbelirleyiniz.a) Öğrencilerin en sevdikleri spor dalıb) Şubat ayı boyunca hava sıcaklığı

3

4

40 45 50 55 60 65 70 75 80

5

10

20

40

45

Grafik : Seviye Belirleme Sınavında Alınan Notlar

6Öz Değerlendirme

b) Elde ettiğiniz sonuçlara göre veri gruplarını birbirleriyle karşılaştırarak yorumlayınız.

Öğrenci sayısı

Alınan notlar


30

66

Olas›l›k, ‹statistik ve Say›lar

5 11 adet birim karoya en az kaç karo eklenirse büyük bir karesel bölge oluşturabilir?A) 2 B) 5 C) 14 D) 36

1

Atatürk İlköğretim Okulunda 120 öğrenci bulunmaktadır. Bu okulda

hafta sonları açılan kurslardan matematik kursuna 50 öğrenci, fen ve

teknoloji kursuna 45 öğrenci katılmıştır. 45 öğrenci de hiçbir kursa

devam etmemiştir.

Okuldan rastgele bir öğrenci seçildiğinde, seçilen öğrencinin her iki kursa da devam edenöğrenci olma olasılığı nedir?

2 Okuldan rastgele bir öğrenci seçildiğinde, seçilen öğrencinin hiçbir kursa katılmama olasılığı nedir?

Okuldan rastgele bir öğrenci seçildiğinde, seçilen öğrencinin sadece matematik kursuna katılan öğrenci olma olasılığı nedir?

3

Ayşe’nin çorap çekmecesinde 6 kırmızı, 4mavi çorap bulunmaktadır. Buna göreaşağıdaki soruları yanıtlayınız.a) Ayşe art arda iki çorap aldığında,çoraplardan ilkinin kırmızı diğerinin mavigelme olasılığı nedir?b) Ayşe’nin çekmeceden aldığı iki çorabında kırmızı gelme olasılığı nedir?c) Ayşe’nin çekmeceden aldığı iki çorabında mavi gelme olasılığı nedir?

4

Yukarıdaki bilgilere göre aşağıdaki 1, 2 ve 3. soruların cevabını teorik olarak bulunuz.


67

6 18 adet birim karodan en az kaç karo çıkarılırsa bir karesel bölge oluşturulamaz?A) 4 B) 9 C) 14 D) 17

7 1, 3, 5, 8, 9, 16, 18, 25, 36, 44, 49, 52 sayılarından kaç tanesi tam kare sayıdır?A) 6 B) 7 C) 9 D) 10

8 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) - + B) + C) D)

9 Kenar uzunluğu br olan karesel bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D) 27

- + 3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D)

10

kareköklü sayısı şeklinde yazıldığında aşağıdakilerdenhangisine eşit olur?

A) B) C) D)

11

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) -4 B) 4 C) D) 2

12

0,16 + 0,0256 işleminin sonucu kaçtır?

A) 0,56 B) 0,20 C)4,16 D) 5,6

13

16 Bir firma iki tür gübre denemektedir. Aynı şartlarda, x ve y gübresi ile yetiştirilen domatesmiktarları tabloda verilmiştir.

x gübresi (kg) 25, 22, 30, 19, 17, 26, 12, 922, 18, 21, 20, 19, 23, 20, 17y gübresi (kg)

Sizce gübrelerden hangisi daha kalitelidir? Neden?

17 Alparslan 20 kişilik bir sınıfta eğitim görmektedir. Alparslan matematik dersi sınavına ogünkü rahatsızlığından dolayı katılamamıştır. Sınıfın matematik dersi sınav notunun aritmetikortalaması 65’tir. Alparslan daha sonra sınava katılmış ve 75 almıştır. Buna göre aşağıdakisoruları cevaplayınız.a) Sınıfın matematik dersi sınav notlarının aritmetik ortalamasını, Alparslan’ın sınav notunuda dâhil ederek tekrar hesaplayınız.b) Alparslan’ın notunun dâhil edildiği ve edilmediği durumlardaki standart sapmayıkarşılaştırabilir misiniz? Tartışınız.

Aşağıdaki çarpma işlemlerinden hangisinin sonucu rasyonel sayıdır?

A) B) C) D)

14

- işleminin sonucu aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi ya dahangilerinin elemanıdır? I. Rasyonel sayılar kümesi II. Tam sayılar kümesiIII. İrrasyonel sayılar kümesiIV. Doğal sayılar kümesi V. Gerçek sayılar kümesi

15

68

14Çalışma

A) I B) I, II, IV C) III D) I, II, V

69

ÜÇGENLER VE CEB‹R

Say› Örüntüleri ve Özdefllikler

Üçgen ve Pisagor Ba¤›nt›s›

Günümüzde farklı amaçlarla kullanılmak üzere Dünya çevresine birçok uydu yerleştirilmiştir.Uydudan alınan görüntüler incelendiğinde Dünya yüzeyindeki birçok oluşumun üçgenselbölgeye benzediği dikkat çekmektedir. Aşağıda buna örnek olabilecek uydu görüntüleriverilmiştir.

Arjantin’de bir göl

Bahama’da bir su alt› oluflumuTürkistan’da bir göl

Bir üçgensel bölgenin oluşması için sizce hangi şartların sağlanması gerekir? Kenaruzunluklarının ve açılarının bilinmesi önemli midir? Tartışınız (Kaynak: http://edc.usgs.gov).

Çin’de bir su alt› oluflumu

Ayers Kayas›, Avustralya

Kanada’da bir göl


Araç ve Gereç

70

Bilimsel terimlerinTürkçeleştirilmesinde ilk adım,Atatürk’ün 1936-1937 yıllarının kışaylarında yazdığı ve geometriöğretiminde yol gösterici olaraktasarlanan bir geometri kitabıylaatılmıştır. Kitap 1937’de Millî EğitimBakanlığı tarafından yayınlanmış,1971’de ise ikinci baskısı Türk DilKurumu tarafından yapılmıştır.Kitapta yer alan ve günümüzde dekullanılmakta olan pek çok terimAtatürk tarafından türetilmiştir.


Üçgenler

•Pergel •Cetvel

4 cm uzunluğunda bir [AB] çizelim.B noktasını merkez alarak pergelle 5 cmyarıçaplı bir yay çizelim.A noktasını merkez alarak pergelle 6 cmyarıçaplı bir yay çizelim. Bu yayın diğer yaylakesiştiği noktayı C olarak isimlendirelim.

Üç Kenar

Cetvel kullanarak C noktasını, A ve B noktaları ile birleştirelim.Hangi üçgeni elde ettiniz? Bu üçgenin kenar uzunluklarını yazınız.Üç kenarı bilinen bir üçgeni kaç farklı şekilde çizebilirsiniz? Açıklayınız.

Atatürk, Sivas Kongresi’nin toplandığı Sivas Lisesinde Hendese (Geometri) dersi vermiştir.Bu derste tahtaya kaldırdığı bir kız öğrenci açıların Arapça adlarını söylemekte zorluk çekipyanlışlıklar yapınca durumdan etkilenen Atatürk tepki göstermiştir. Tebeşiri eline alan Ata,tahtada çizimlerle “zaviye”nin karşılığı olarak açı, “dılı” karşılığı olarak kenar, “müselles”inkarşılığı olarak üçgen gibi Türkçe yeni terimler kullanarak birtakım geometri konularınıanlatmıştır (Kaynak: Bilim ve Teknik, Kasım 1982, Sayı: 180).

6 cm uzunluğunda bir [DE] çizelim.Bir Kenar ‹ki Aç›

Bu iki açının kollarını üçgen oluşturacak şekilde uzatarak birleştirelim.Elde ettiğiniz üçgenin kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini yazınız.Bu üçgen başka hangi iki açısının ölçüsü ile kenar uzunluğu verilseydi çizilebilirdi?

Benzer şekilde ölçüsü 55° olan ’nıoluşturalım.

Açıölçeri kullanarak ölçüsü 45° olan ’nıoluşturalım.

Araç ve Gereç

•Aç›ölçer •Cetvel

A

B

C

Siz de kenar uzunlukları 7 cm, 3 cm ve 6 cm olan bir üçgen çiziniz. Nasıl çizdiğinizi açıklayanbir paragraf yazınız.

D E

F

IKLI= 5 birim, IKMI = 4 birim ve s(LKM) = 70º olan bir KLM üçgeni çizelim.Önce [KL]’nı çizelim.

71

K L5 birim

K noktasını merkez alarak açıölçerle ölçüsü 70º olan LKM’nı çizelim. 70º

5 birimK L

Uzunluğu 4 birim olan [KM]’ nı çizelim.

M ve L noktalarını bir doğru parçasıyla birleştirelim ve KLMüçgenini elde edelim.

Üç kenar uzunluğu, iki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü veyabir kenarının uzunluğu ile iki açısının ölçüsü verilen bir üçgen cetvel, açıölçer ve pergelkullanılarak çizilebilir.

Siz de bu üçgenin ML kenarının uzunluğunu, L ve M açılarının ölçüsünü bulunuz.

ÖRNEKÖRNEK

70º

5 birimK L

4birim

M

70º

5 birimK L

4birim

M

Kenar uzunlukları IABI = 4 cm, IACI = 2 cm ve IBCI = 3 cm olan ABC üçgenini çizelim.

Siz de, kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm, bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü 90º olanüçgen çiziniz.

4 cmA

C

B

2 cm 3 cm

4 cmA B

4 cmA B

Kesim noktasına C diyerek cetvelimizle A,B,C, noktasınıikişer ikişer birleştirelim.

Önce [AB] yi çizelim. Sonra pergelin açıklığını 3 cm olarakayarlayıp sivri ucu B noktasına koyarak bir yay çizelim.

Daha sonra pergelin açıklığını 2 cm olarak ayarlayıp sivriucu bu kez A noktasına koyalım. İlk yayı kesen bir yay çizelim.

72

Yanda verilen için;a) B köşesine ait açıortayı,b) BC kenarına ait yüksekliği,c) AB kenarına ait kenarortayı ve kenar orta dikmeyi çizelim.

a) [BF], B açısının açıortayıdır. s( )= s( )= 59°b) geniş açılı üçgen olduğundan [AH] yüksekliği üçgenindış bölgesindedir.c) [CE], AB kenarına ait kenarortaydır.IAEI= IEBI= 1,5 cm’dird doğrusu ise AB kenarına ait kenar orta dikmedir. IAEI= IEBI= 1,5 cm ve d ⊥ [AB]’dır.

Siz de ’ nde diğer açıortay, kenarortay ve yükseklikleri çiziniz.

3 cm6 cm

4 cmB C

A

118°

1,5cm

6 cm

4 cmB C

A

F

H

E

d1,5cm

59º59º

ÖRNEKÖRNEK


Araç ve Gereç A4 kâğıdını keserek istediğimiz boyutta bir üçgensel bölge elde edelim.Kâğıt katlama yoluyla kenarların orta noktasını belirleyelim.Her bir orta noktayı cetvel ve kırmızı kalemkullanarak karşısındaki köşeyle birleştirelim.Bu şekilde kaç doğru parçası elde ettiniz?Bu doğru parçaları noktadaş mıdır?

Üçgenin Elemanlar›

Kâğıt katlama yoluyla (veya açıölçer ile) her bir açının açıortayını,karşısındaki kenarla birleşecek şekilde mavi kalemle çizelim.Bu şekilde çizilen doğru parçaları noktadaş mıdır?Her bir kenara ait orta dikmeyi cetvel ve yeşil kalem kullanarak çizelim.Bu orta dikmeler noktadaş mıdır?Mavi, kırmızı ve yeşil renkli kalemlerle çizilen doğru parçaları arasındaki benzerlikve farklılıkları açıklayınız.

•A4 kâ¤›d› •Cetvel •K›rm›z› kalem •Mavi ve yeflil kalem

Araç ve Gereç

•Cetvel •Gönye

Bir dar açılı, bir de geniş açılı üçgen çizelim.Üçgenlerin herhangi bir köşesinden geçen ve buköşenin karşısında bulunan kenara paralel olanbir doğru çizelim.Her bir üçgen için çizdiğimiz doğru üzerindenoktalar belirleyerek bu doğrunun karşısındakikenara dikmeler indirelim.

Üçgenlerde Yükseklik

Dikmelerin uzunluğunu bulunuz. Bu dikmelerle ilgili ne söylenebilir?Üçgenlerin her bir köşesinden karşısında bulunan kenara dikmeindirelim.Köşelerden inilen dikmelerin üçgenin hangi bölgesinde kaldığınıbelirleyiniz.Her bir üçgen için köşelerden inilen bu dikmeleri bir noktadakesiştirelim.Kesişim noktası üçgenin hangi bölgesindedir?

73

Üçgende kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın ortasına birleştiren doğru parçasıdır.Kenar orta dikme ise bir kenarı dik olarak iki eş parçaya böler. Açıortay bir köşedeki açıyıiki eş parçaya ayıran doğru parçasıdır. Bir üçgende kenarortay, kenar orta dikme veaçıortaylar üçgenin içinde noktadaştır. Kenar orta dikmeler dik ve dar açılı üçgenlerdeüçgenin içinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dışında noktadaştır.

L

F

D

K

M

E

H

SK L

R M P

H

A

B C44°

86°

E 6,3 cmD

6,9 cm

9 cm50°

I

G

A

B C44°

86°

E 6,3 cmD

6,9 cm

9 cm50°K

Üçgende yükseklik bir köşenin karşısındaki kenara uzaklığı veya köşeden bu kenarainilen dikmedir. Dar açılı SRP’nde yükseklikler üçgenin içinde noktadaş, geniş açılıDEF’nde ise yüksekliklerin uzantıları üçgenin dışında noktadaştır.

1 Açıölçer ve cetvel kullanarak aşağıda ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz.a) IABI = 8 cm, s( ) = 40° ve s( ) = 54°b) IPSI = 6 cm, s( ) = 48° ve s( ) = 47°

2

3

4

Cetvel ve pergel kullanarak aşağıda ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz.a) IEFI = 10 cm, IFGI = 8 cm ve IEGI = 6 cmb) IKLI = 5,4 cm, ILMI = 4,6 cm ve IKMI = 4,6 cmAçıölçer, cetvel ve pergel kullanarak aşağıda ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz.a) IABI = 6 cm, s( ) = 85° ve IBCI = 7 cmb) IDEI = 8 cm, s( ) = 78° ve IDFI = 7 cm

Yandaki üçgene eş bir üçgen çiziniz. Nasıl çizdiğiniziaçıklayınız.

A

C

B

UYGULAMAUYGULAMA

74

5

6

Tuğba’dan, bir kenar uzunluğu 5 cm ve bu kenara aitaçılardan birisinin ölçüsü 50° olan bir üçgen çizmesi isteniyor.Tuğba’nın bu üçgeni çizebilmesi için başka hangi bilgiyeihtiyacı vardır? Açıklayınız.

7

Yanda verilen SRP üçgeninin iç bölgesindeki doğruparçalarından yükseklik, kenarortay ve açıortay olanlarıbelirleyiniz.

5 cm

50°

8

9

10

Yanda verilen ABC üçgeninin iç bölgesindeki doğruparçalarından hangisi B açısının açıortayıdır? Açıklayınız.

Yandaki şekilde EBCD bir karesel bölgedir. IEBI= 4 cm iseA( ) kaç santimetrekaredir?

Bir dik üçgen çizerek yüksekliklerin kesim noktasını belirleyiniz. Bu nokta nasıl adlandırılabilir?

Bir binanın 50 m gölgesi oluştuğunda güneşigörme açısı 42° oluyor. Bu binanın yüksekliğiniölçekli şekil çizerek bulunuz.

50°

70°

A

D

EF

CB

AE D

CB

42°

R PK L M N

S

15Çalışma


Araç ve Gereç

75

Üçgenin Kenarlar› Aras›ndaki Ba¤›nt›lar

İlk Çağda Nil Nehri’nin taşmasından sonraarazi sahiplerinin her yıl tarlalarını yenidenölçmeleri gerekirdi. Bunun için tarlalarınköşelerine yerleştirdikleri kazıklardan düğümlüipler geçirirlerdi.

Bir arazi sahibi, üçgensel bölge şeklindekiarazisinin kenar uzunluklarını 100 m, 400 m ve200 m olarak ölçüyor. Sizce arazi sahibi buölçümlerde hata yapmış olabilir mi? Neden?

•Çubuk makarna •Cetvel

Bir çubuk makarnayı üçgen oluşturabilecek şekilde üç parçaya bölerekuzunluklarını ölçelim.Bu uzunluklardan birini ayırıp diğer iki uzunluğu toplayalım ve çıkaralım(Çıkarma işleminde büyük kenarın uzunluğundan küçük kenarınuzunluğunu çıkaralım.).

Üçgen Oluflur mu?

Elde ettiğiniz sonuçları ayırdığımız çubuğun uzunluğuyla karşılaştırınız. Bulduğunuz ilişkiyieşitsizlik kullanarak ifade ediniz.Ayırdığımız uzunluğu değiştirerek diğer iki kenar için de bu işlemleri tekrarlayalım.Ölçülen uzunluklar a, b ve c birim olsaydı bu uzunluklar için yazılabilecek eşitsizlikler nelerolurdu? Açıklayınız.Bu kez çubuk makarnayı, üçgen oluşturmayacak şekilde üç parçaya bölerek uzunluklarınıölçelim.Bu uzunluklardan birini ayırıp diğer iki uzunluğu toplayalım ve çıkaralım (Çıkarma işlemindebüyük kenarın uzunluğundan küçük kenarın uzunluğunu çıkaralım.).Ayırdığımız uzunluğu değiştirerek diğer iki kenar için de bu işlemleri tekrarlayalım.Üçgen oluşturan uzunluklarla yazılan ilişki, üçgen oluşturmayan uzunluklar için geçerlimidir? Açıklayınız.

Yanda uzunlukları verilen doğru parçalarındanbir üçgen oluşturulup oluşturulmayacağınıbelirleyelim.

K L6 cm

M N3 cm

P R5 cm

İncelemeyi üç adımda yapalım.

1. ad›m[KL]'nı ele alalım:

2 < 6 < 8 olduğundan|PR|-|MN| < |KL| < |PR| + |MN|’dur.

|KL| = 6 cm|PR|-|MN| = 5-3 = 2 cm|PR|+|MN| = 5+3 = 8 cm

ÖRNEKÖRNEK

76

2. ad›m[MN]'nı ele alalım:

1 < 3 < 11 olduğundan|KL|-|PR| < |MN| < |KL| + |PR|’dur.

|MN| = 3 cm|KL|-|PR| = 6-5 = 1 cm

|KL|+|PR| = 6+5 = 11 cm3. ad›m[PR]'nı ele alalım:

3 < 5 < 9 olduğundan|KL|-|MN| < |PR| < |KLI < |MN|’dur.

|PR| = 5 cm|KL|-|MN| = 6-3 = 3 cm|KL|+|MN| = 6+3 = 9 cm

3 adımda da herhangi bir kenarı ele aldığımızda, bu kenarın uzunluğunun diğer ikikenarın uzunlukları toplamından küçük ve farkından büyük olduğu görülür. Bundan dolayıbu doğru parçalarıyla bir üçgen oluşturulabilir.

Aşağıda uzunlukları verilen doğru parçalarından bir üçgen oluşturulup oluşturulmayacağınıbelirleyelim.

İncelemeyi üç adımda yapalım.

B U7 cm

K L2 cm

F G4 cm

1. ad›m[BU]'nı ele alalım:

2 < 6 < 7 olduğundan|FG|-|KL| < |FG|+|KL| < |BU|’dur.

|BU| = 7 cm|FG|-|KL| = 4-2 = 2 cm|FG|+|KL| = 4+2 = 6 cm

2. ad›m[KL]'nı ele alalım:

|KL| = 2cm|BU|-|FG| = 7-4 = 3 cm

|BU|+|FG| = 7+4 = 11 cm

2 < 3 <11 olduğundan|KL| < |BU|-|FG| < |BU|+|FG|’dur.

|FG| = 4 cm|BU|-|KL| = 7-2 = 5 cm|BU|+|KL| = 7+2 = 9 cm

3. ad›m[FG]'nı ele alalım:

4 < 5 < 9 olduğundan|FG| < |BU|-|KL| < |BU| + |KL|’dur.

3 adımda da herhangi bir kenarı ele aldığımızda bu kenarın uzunluğunun diğer ikikenarın uzunlukları toplamından küçük ve farkından büyük olmadığı görülür. Bundan dolayıbu doğru parçalarıyla bir üçgen oluşturulamaz.


Araç ve Gereç

•Cetvel •Aç›ölçer

77

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenar uzunluğundan büyük ve ikikenarın uzunlukları farkı, üçüncü kenar uzunluğundan küçüktür. Bu bağıntı üçgen eşitsizliğiolarak isimlendirilir.

Yanda verilen ’ nin a kenarı için üçgen eşitsizliği|b-c|<a<b+c şeklindedir.

a

bc

A

B C

Katlay›p ÖlçelimBir çeşitkenar üçgeni çizelim.Üçgenin açılarını açıölçerle, kenarlarını cetvelle ölçerek aşağıdakigibi bir tablo oluşturalım.

Üçgendeki iç açıların ölçüsü (derece) Açıların karşısındaki kenarların uzunluğu (cm)|BC| =|AC| =|AB| =

s( ) =s( ) =s( ) =

Önce açıları büyükten küçüğe doğru, daha sonra kenarları büyükten küçüğe doğru sıralayınız.Bu sıralamalara göre, üçgenin iç açıları ve bu açıların karşısındaki kenarlar arasında nasılbir ilişki vardır? Tartışınız.

Siz de bir ikizkenar üçgen çizerek açı ölçüleriyle kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyibulunuz.

Aşağıdaki üçgenin kenar uzunluklarını ve iç açılarını ölçerek açı ölçüleriyle kenaruzunlukları arasındaki ilişkiyi bulalım.

A

B C

|BC| = a = 6 cm s(A) = 120°|AC| = b = 4 cm s(B) = 35°|AB| = c = 3 cm s(C) = 25°

'nin kenarlarını uzunluklarına göre sıralayalım.a > b > c

'nin iç açılarını ölçülerine göre sıralayalım.s(A) > s(B) > s(C)

c

a

b

'nde en uzun kenar a, en büyük açı ise bu kenar karşısındaki ’ dır.Siz de diğer kenarlar arasındaki ilişkiyi yazınız.

Bir üçgende; büyük aç› karfl›s›nda uzun kenar, küçük aç› karfl›s›nda k›sa kenar bulunur.

ÖRNEKÖRNEK

78

P

RN

rn

p

60°

30°

Yandaki s( ) = 90° olan ’ nin kenar uzunluklarınıinceleyelim. Bir dik üçgen olan ’nde [PN] ve [NR] dik

kenarlard›r. 'nın karşısında bulunan ve en uzun kenar olan[PR] ise hipotenüstür.

'nin açılarının ölçülerine göre sıralamasıs( ) > s( ) > s( )’dır. Büyük açı karşısında uzun kenar bulunduğundan|PR| > |NR| > |PN| ya da n > p > r’dir.

İç açılarının ölçüleri 45°, 45° ve 90° olan bir üçgen çizerek bu üçgenin kenar uzunluklarınıinceleyiniz.

Uzunlukları 32 cm, 16 cm ve 15 cm olan 3 doğru parçası ile üçgen çizilebilir mi? Nedenleriyleaçıklayınız.

Bir KLM üçgeninde |KL| = 7 cm, |LM| = 9 cm ise |KM| değeri 8 cm olabilir mi? Neden?

Üçgen oluşturmayan 3 doğru parçası belirleyiniz. Bu doğru parçalarını isimlendiripuzunluklarını ölçünüz. Neden üçgen oluşturamazlar? Açıklayınız.

Birbirlerine eş üç doğru parçası her zaman bir üçgen oluşturabilir mi? Neden?

Yandaki ASU üçgeninde, |SU| = 4 cm, |AU| = 7 cm ise |AS|’nunalabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A

S U

Üç kenar uzunluğu eşit olan bir üçgenin kenarları ile açıları arasındaki bağıntıyı inceleyiniz.

s( ) = 45°, s( ) = 65° olan bir ABC üçgeni çiziniz. Üçgenin hangi kenarının en büyükolduğunu tahmin ediniz. Daha sonra kenarların uzunluklarını ölçerek tahmininizlekarşılaştırınız.

Yandaki SRP üçgeninde s( ) = 62°, s( ) = 54º dir.Fatma, SRP üçgenindeki en uzun kenarı ölçmedenbulabileceğini söylüyor. Sizce Fatma haklı mıdır?

S

PR

62°

54°

Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğu dik kenar uzunluklarından büyüktür.

1

2

3

4

5

6

7

8

ÖRNEKÖRNEK

UYGULAMAUYGULAMA

79

Yandaki SUN üçgeninde |SU| = 6 cm, |SN| = 5,5 cm ve|NU| = 4,5 cm’dir. SUN üçgeninin iç açılarını büyüktenküçüğe doğru sıralayınız.

1) Herhangi üç doğruparçası ile bir üçgenoluşturulabilir.

3) Üçgende büyükaçının karşısında kısakenar bulunur.

2) Üçgende ikikenarın uzunluklarıtoplamı üçüncükenarın uzunluğunaeşittir.

4) Üçgenlerde iki kenaruzunluklarının toplamının vefarkının üçüncü kenaruzunluğu ile olan bağıntısınaüçgen eşitsizliği denir.

5) 6 cm, 8 cm , 10 cmuzunluğundaki üç kibritçöpünün uçları bir arayagetirilirse üçgenoluşturulamaz.

6) Eşkenar üçgendehipotenüs bulunur.

7) Bir dik üçgende dikkenarlardan biri en uzunkenar olabilir.

1. çıkış

2. çıkış

3. çıkış

4. çıkış

5. çıkış

6. çıkış7. çıkış

8. çıkış

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

Aşağıda birbiriyle bağlantılı doğru / yanlış cümleler verilmiştir. Şemadaki cümlelerin belirttiğiyargıların doğru ya da yanlış olduğuna karar veriniz. Her bir Doğru / Yanlış kararı sizi farklıçıkışlara ulaştırır. Buna göre verilen çıkışlardan birine ulaşınız.

Yandaki TUV üçgeninde bir geniş açıdır. Sizce buüçgenin en uzun kenarı hangisidir? Neden?

T

U V

S

UN

9

10

12

Yanda uzunlukları verilen doğru parçalarıile oluşturulabilecek üçgenleri çiziniz.

11

5,5 cm

2 cm

1,5 cm3 cm

A

B

C

D

H

G

E F

16Çalışma

80

Pisagor Ba¤›nt›s›

“Sayıların babası” olarak bilinen Pythagoras (Pisagor),M.Ö. 580-M.Ö. 500 tarihleri arasında yaşamıştır. En iyibilinen teoremi, adıyla anılan Pisagor Teoremi’dir. Doğumyeri olan Sisam Adası’ndan Güney İtalya’ya göç ederekburada bir okul kurmuştur. Pisagor müzik ile de uğraşmış,telin kısalmasıyla çıkardığı sesin inceldiğini keşfetmiştir.

Yaklaşık 2500 yıl önce yaşamasına rağmen çalışmalarıgünümüzde hâlâ kullanılan Pisagor gibi bildiğiniz başkamatematikçiler var mı?


Araç ve Gereç

•Santimetrekarelik kâ¤›t

•Cetvel •Makas

Santimetre karelik kâğıda dik kenaruzunlukları 4 cm ve 3 cm olan bir üçgençizelim ve üçgeni kenarları boyuncakeselim.Üçgenin hipotenüs uzunluğunu ölçelim.

Pisagor Ba¤›nt›s›’n› Olufltural›m

Bulduğunuz ilişkiyi kullanarak dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgeninhipotenüs uzunluğunu hesaplayınız.Bir dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki bağıntıyı harfli ifade olarak yazınız.

Santimetre karelik kâğıt üzerinde kenar uzunlukları 3 cm,4 cm ve 5 cm olan üç farklı karesel bölge çizelim. Kareselbölgeleri kenarları boyunca keselim.Karesel bölgeleri, dik üçgenin kenarları boyunca eş olankenarlar üst üste gelecek şekilde yerleştirelim.Her bir karesel bölgenin alanını bulunuz. Karesel bölgelerinalanları arasında nasıl bir ilişki vardır? Tartışınız.Bu ilişkiden yararlanarak üçgenin kenar uzunlukları arasındabir ilişki bulunuz.

Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının karelerinintoplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. Yandakiüçgen için Pisagor Bağıntısı a2+ b2= c2 şeklindedir.

a

b

c

Bazı elektrik direkleri güvenlik amacıyla ikitarafından çelik halatlar kullanılarak yandaverilen çizimdeki gibi sabitlenir. Uzunluğu15 m olan bir elektrik direği 25 m uzağındansabitlenmek isteniyor. Bunun için kaç metreçelik halat kullanılacağını bulalım.

15 m

25 m25 m

ÖRNEKÖRNEK

81

50 cm

135 cm

Plan Yapal›mDuygu, kolunu duvara uzattığında vücudu koluna dik konumda olur. El ve ayak parmak

uçları birleştirildiğinde bir dik üçgen oluşur. Bu üçgenin dik kenarlarının uzunluğu biliniyor.Pisagor Bağıntısı’nı kullanarak bilinmeyen kenar uzunluğunu bulalım.

Plan› Uygulayal›mOluşan dik üçgen yandaki gibi olur. Bu üçgende el ve ayak

parmak uçları arasındaki uzaklık [AC] ile gösterilmiştir. IACI’ nubulalım:

BA

C

50 cm

135 cm

Bu uzunluk yaklaşık olarak 143,96 cm’dir.

|AC|2 = |AB|2 + |BC|2|AC|2 = (50)2 + (135)2

|AC|2 = 2500 +18 225IACI = cm

Elektrik direği yere dik konumda olduğundanhalatla yere birleştirildiğinde bir dik üçgen oluşur.Bu durum yandaki şekilde olduğu gibi gösterilebilir.

15 m

25 m

A

B C

?Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu dik kenarların

uzunlukları kullanılarak bulunabilir.Yandaki üçgende Pisagor Bağıntısı;

|AC|2 = |AB|2+|BC|2|AC|2 = 152+252

|AC|2 = 225+625|AC|2 = 850

Hesap makinesi kullanıldığında IACI yaklaşık 29,15 m olarak bulunur.

şeklindedir.

ÖRNEKÖRNEKDuygu, yere paralel biçimde kolunu duvara uzatıyor.

Arkadaşı Pınar da, Duygu’nun omuz hizasına kadar olan boyuzunluğunu ve kol uzunluğunu ölçüyor. Resimde verilenölçülere göre Duygu’nun sağ el parmak ucu ile sol ayakparmak ucu arasındaki uzaklığı hesaplayalım.

Problemi Anlayal›mDuygu kolunu duvara uzatıyor. Duygu’nun omuz hizasına

kadar boy uzunluğunu ve kol uzunluğunu biliyoruz. Sağ elparmak ucu ile sol ayak parmak ucu arasındaki uzaklıksoruluyor.

Kontrol EdelimDik üçgende BC kenarını bilinmeyen olarak kabul edelim. Hipotenüs ve diğer kenar

uzunluğunu kullanarak IBCI’nun 135 cm olup olmadığını kontrol edelim: |AC|2 = |AB|2 + |BC|2

( )2 = (50)2 + IBCI2 20 725 = 2500 + IBCI2 18 225 = IBCI2 IBCI = 135 cm Sonuç [BC]’nın verilen uzunluğu ile aynıdır.

Siz de aynı yöntemi kullanarak el ve ayak parmak uçlarınız arasındaki uzaklığı hesaplayınız.

82

Aşağıdaki dik üçgenlerde verilmeyen kenar uzunluklarını Pisagor Bağıntı’sını kullanarakbulunuz.

1

2 Kısa kenarı 4 cm, uzun kenarı 8 cm olan bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunu hesaplayınız.

3 Yandaki dik üçgende verilmeyen kenar uzunluğununbulunabilmesi için Aylin ve Emre’nin yazdıkları bağıntılaraşağıdaki gibidir. Sizce hangisi doğrudur? Neden?

4 Yandaki resimde verilen ağaçyıldırım çarpması sonucu devrilmiştir.Resimde verilenlere göre ağacındevrilmeden önceki boyu yaklaşıkolarak kaç metredir?

Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm olan küpün cisim köşegenininuzunluğunu hesaplayınız.

5

x

8 cm

a)6 cm

5 cm12 cm

x

x

6 cm12 cm

x

5 cm

5 2 cmb) c) ç)

x

10 m4 m

Aylin

42+x2 = 102

Emre

42+102 = x2

UYGULAMAUYGULAMA

5 m

12 m

ÖRNEKÖRNEK

Bir televizyonun ekran boyutu köşegen uzunluğu ile ifade edilir. Aşağıdaki resimlerdegösterilen televizyonların ekran boyutlarını hesaplayalım.

x2 = 122 + 352

x2 = 144 + 1225

x2 = 1369

x = 37 cm bulunur.

y2 = (12 2 )2 + (12 2 )2

y2 = 288 + 288

y2 = 576

y = 24 cm olarak bulunur.

y12 2 cm

12 2 cm

x12 cm

35 cm

3 m

1 m

Mustafa Amca, meyve bahçesindeki ağaçları eğilmemesiiçin kalın ipler ve kazıklar yardımıyla resimdeki gibi bağlıyor.Kazıklar ağaçtan 1 m uzaklıkta, ipler ise 3 m uzunluğundaolduğuna göre ağacın gövdesi kaç metredir?

9

Yandaki yelkenlide yelkenin yapılmasında kullanılan kumaşın kaçmetrekare olduğunu hesaplayınız.

Yandaki şekilde verilenleri kullanarakABCD dikdörtgeninin köşegen uzunluğunuhesaplayınız.

11

8 cm

12 cm9 cm

C

DA

B

10

83

Yanda verilen SAN üçgeninin yükseklik uzunluğunu bulunuz.6

7 Aşağıdaki şekillerde verilmeyen x uzunluklarını hesaplayınız.

6 br

100 br2

x

169 br212 br

x4 br

20 br2

x

a) b) c)

Yükseklik uzunluğu 9 cm olan eşkenar üçgenin alanını hesaplayınız.8

20 m 10 m

17Çalışma

13 cmh

S N

A

H

13 cm

10 cm

E

84


1 Yandaki tabloda ’nin açı ölçüleri ve kenar uzunluklarıverilmiştir. Tabloda verilen bilgilerden istediğiniz üçünükullanarak bu üçgeni çiziniz. Nasıl çizdiğinizi açıklayınız.

2 Bir kenarının uzunluğu 4 cm olan eşkenar üçgeni çiziniz.Nasıl çizdiğinizi açıklayınız.

Levent, üç iç açısının ölçüsü bilinen bir tane üçgen çizilebileceğini iddia ediyor. Ayşenurise bunun doğru olmadığını söylüyor. Sizce kim haklı? Neden?

3

ICDI = 5 cm, s( ) = 47°, IEDI = 6,5 cm olan çiziniz.

Yandaki şekilde karesel bölgelerin arasında oluşan üçgendik üçgen midir? Açıklayınız.

4

F S

M

K TYandaki şekilde [KT]//[FS], s( ) = 55°, s(MTK) = 35°ise MFS üçgeninin en uzun kenar uzunluğunu ölçümyapmadan bulunuz.

Yandaki ABC üçgeninde |AB| =15 cm’dir. |BC|'nunalabileceği en büyük tam sayı değeri 30 cm ise |AC|’ nunen büyük değeri kaçtır?

TUS dik üçgeninde |TS| =13 cm’dir. geniş açı olursa|TU| ve |US| aynı kalmak koşuluyla, |TS|'nun alabileceğien küçük tam sayı değeri kaç santimetre olur?

A

B C

15 c

m

SU

T

s(A)s(B)s(C)|AB||AC||BC|

90°53°37°

2,4 cm3,2 cm4 cm

Tablo: ABC Üçgeni

5

6

7

8


85

Vildan ve Kemal birbirlerine 150 m uzaklıktaduruyorlar ve Kemal uçurtma uçuruyor.Uçurtmanın ipi 170 m’dir. Yandaki şekle göreVildan ile uçurtma arasındaki uzaklık kaçmetredir?

Yandaki şekilde a, b, c, d, e ve f kenarlarınınuzunluklarını hesaplayınız. Kenar uzunluklarıarasında nasıl bir örüntü vardır? Açıklayınız.

Ahmet merdiveni duvardan 2 m uzağagelecek şekilde dayıyor. Merdiven 3,5 muzunluğunda olduğuna göre Ahmet bumerdiven ile kaç metre yükseğe çıkabilir?

Yanda verilen ABCD yamuksal bölgesinin alanınıhesaplayınız.

9

10

11

12

170 m

150 m

?

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm 1 cm

1 cm

1 cm

f

e

dcb

a

3,5 m

2 m

Köşelerinin koordinatları (2,1), (2,7) ve (6,1) olan üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayınız.13

7Öz Değerlendirme

17 cm

16 cm

8 cm

A B

CD


Araç ve Gereç86


Say› Örüntüleri

•Özdeşlikler

AnahtarKavramlar

Leonardo Fibonacci (Leonardo Fibonaçi) 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçidir.Fibonacci en ünlü eseri olan Liber Abaci adlı kitabında Fibonacci dizisini tanıtmıştır. Busayı dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... şeklinde devam etmektedir. Dizinin en ilgi çekici yönü iseterimlerinin doğada beklenmedik yerlerde karşımıza çıkmasıdır. Örneğin bitki yaprakları,bitki tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda bu sayılara rastlamak mümkündür. Ayrıcabu sayılar Pascal üçgeninde, Mimar Sinan’ın eserlerinde, Leonardo Da Vinci’nin resimlerindede karşımıza çıkmaktadır.

Yukarıdaki bitkilerde Fibonacci sayı dizisinin terimleri nasıl elde edilir? Tartışınız.

•Kareli kâğıt•Cetvel

Kareli kâğıda kenar uzunlukları 1br, 2br,3br, ... olan yanyana karesel bölgeler çizelim.Karesel bölgelerin alanlarını hesaplayıpaltlarına yazalım.

Karesel Say›lar

Karesel bölgelerin alanlarının oluşturduğu sayı örüntüsündeki kuralı açıklayınız. Bulduğunuzkuralı harfli ifade olarak yazınız.Sayı örüntüsündeki terimlerin her birini tek sayıların toplamı olarak yazınız. Ortaya çıkanörüntüyü açıklayınız.

Yandaki sayı üçgeni MS 1300 yılında Çin’debulunmuştur. Fransız matematikçi Blaise Pascal’ınbu sayı üçgeni üzerinde birçok çalışması vardır.Bu nedenle bu sayı üçgeni genellikle “PascalÜçgeni” olarak bilinmektedir. Üçgendeki sayılararasındaki örüntüleri Blaise Pascal 1653 sayfalıkbir çalışmada anlatmıştır.

1

21 1

1

43 1

1

41 3

61 1

...5 101

Pascal üçgenindeki örüntülerden bazılarını inceleyelim:

Pascal Üçgeni’nde satırların başında vesonunda 1 bulunur. Ortadaki terimler ise üsttekiiki terimin toplamıdır.

ÖRNEKÖRNEK

............ 11. satır............

2. satır............3. satır............

4. satır............

1 11

1 31

3 12

1 4 6 4 1

87

Siz de Pascal Üçgeni’nin 5 ve 6. satırlardaki terimleriniyazınız.Pascal Üçgeni’nden yararlanarak Fibonaccisayı dizisini yandaki yöntemle eldeedebilirsiniz.

Fibonacci sayı dizisini oluşturan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... sayıları arasında nasıl bir ilişki vardır?Açıklayınız.

11 1

11 3

13 1

2

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1

1+5+6+11+4+31+3+11+21+111 1 2 3 5

813


İlk belirlediğimiz sayı ile ikincisini art arda çarpalım. Her bir çarpma sonucunu sıraylayazarak bir başka sayı örüntüsü oluşturalım.

Birbirinden farklı iki sayı belirleyelim.İlk belirlediğimiz sayıya ikincisini art arda ekleyelim. Her bir eklemede elde ettiğimiz sonucusırayla yazarak bir sayı örüntüsü oluşturalım.

Say› Dizileri

Elde ettiğiniz iki farklı sayı örüntüsünü açıklayınız. Bu sayı örüntülerinin kurallarını yazınız.

4 sayısından 2 sayısını ardışık bir şekilde çıkararak bir sayı örüntüsü oluşturalım.ÖRNEKÖRNEK

4 4-2 4-(2+2) ... 4-(2+2+... +2)

1. terim 2. terim 3. terim

Bir sayıya belirlenen başka bir sayının art arda eklenmesi veya çıkarılması ile eldeedilen sayıların oluşturduğu örüntü aritmetik dizi olarak adlandırılır. Aritmetik dizide ardışıkiki terimin farkı eklenen veya çıkarılan sayıdır ve bu sayıya “dizinin ortak farkı” denir.

ÖRNEKÖRNEK

3 sayısını 2 sayısına ardışık bir şekilde bölerek veya sayısıyla çarparak bir sayı örüntüsüoluşturalım.

3 3 x 3 x x ...

1. terim 2. terim 3. terim

3 x x x ... x

88

1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., ..., ...

Fibonacci dizisinde noktalı yerlere gelmesi gereken sayıları bulunuz.

Aşağıdaki sayı dizilerinin kurallarını bulunuz. Sayı dizilerinin sonraki üç terimini yazınız.2a) 3, 9, 27, 81, ...b) 2, 6, 12, 20, ...c) 0,1, 0,001, 0,0001, ...ç) 1

319

, , ...

3 Yandaki Pascal Üçgeni’nde boş bırakılan kutulara gelmesigereken sayıları bulunuz.

11 1

11 3

13 1

1 4 11 10 5 1

4

5

Yandaki örüntüye karşılık gelen sayıörüntüsünü bulunuz. Örüntüyü oluşturansayıların özelliği nedir? Açıklayınız.

Bir kural belirleyip bir sayı örüntüsünü oluşturunuz. Belirlediğiniz kuralı açıklayıp harfli ifadeolarak yazınız.

18Çalışma

UYGULAMAUYGULAMA

Bir sayı ile belirlenen başka bir sayının art arda çarpılması veya bölünmesi sonucu eldeedilen sayıların oluşturduğu örüntü geometrik dizi olarak adlandırılır. Geometrik dizideardışık iki terimin oranı, ardışık çarpılan veya bölünen sayıdır ve bu sayıya “dizinin ortakçarpanı” denir.

6 -3, -7, -11, -15, ...,1, 3, 9, 27, ..., 2187, ...16, 8, 4, 2, ...,-4, -1, 2, 5, ..., 32, ....Yukarıda verilen sayı örüntülerinden hangilerinin aritmetik dizi, hangilerinin geometrik diziolduğunu belirleyiniz. Aritmetik dizi olanların ortak farkını, geometrik dizi olanların ortakçarpanını yazınız.

7 İlk terimi 2, ortak farkı 5 olan bir aritmetik dizinin 6. terimi kaçtır?

8 İlk terimi 3, ortak çarpanı 23 olan bir geometrik dizinin ilk dört teriminin

toplamı kaçtır?


89

Özdefllikler

Seda, yandaki terazide modellenen eşitliğisağlayan x değerini bulmaya çalışıyor. Fakatbir problemle karşı karşıya olduğunun farkındadeğil. Sizce bu problem nedir? Açıklayınız.

x +1

Fark Ne?Yandaki tabloda verilen eşitlikleri sağlayan x değerlerinibularak tabloda belirtilen sütuna yazalım.Eşitlikleri sağlayan farklı x değerleri olup olmadığınıaraştırınız.Birden fazla x değeri ile sağlanan eşitliklerin diğereşitliklerden farkını açıklayınız.

2x-4=82(x+3)=2x+6x+7=7+x2x+x=3x8x+4=163-x=2x

Eşitliği sağlayanx değeri

Eşitlik

x(1+x)= x+x2 eşitliğini sağlayan x değerlerini deneme-yanılma yoluyla bulalım:x=1 için 1(1+1)= 1+12 x=-2 için -2.(1+(-2))=-2+(-2)2

x=3 için 3(1+3)= 3+32

1.2= 1+12= 2

-2.(-1)= -2+4 +2= +2

3.4= 3+912= 12

x(1+x)= x+x2

x+x.x = x+x2eşitliğinin sol tarafı düzenlendiğinde eşitliğin sağ tarafındaki ifade elde edilir.Bu nedenle eşitlik x değişkenine verilecek bütün gerçek sayılar için sağlanır.

Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için; denklemlerise bazı gerçek sayı veya sayılar için doğrudur.

Siz de aşağıdaki eşitliklerden hangilerinin özdeşlik hangilerinin denklem olduğunu belirleyiniz.• 3x+5= -2x+7 • 2(2a+3)= 4a+6 • 4-2x= x

ÖRNEKÖRNEK


Araç ve Gereç

90

a2 - b2 = (a-b).(a+b) özdeşliğinden yararlanarak 4a2 - 9b2 ye eşit olan ifadeyi bulalım:

(a+b)2 =?Kareli kâğıda kenar uzunluğu (a+b)br olan birkaresel bölge çizelim.Kareyi, karşılıklı kenarları üzerindeki noktalarıbirleştirerek dört bölgeye ayıralım.Oluşan her bir bölgenin alanını veren ifadeyio bölgenin içine yazınız.Başlangıçta çizdiğiniz karesel bölgenin alanınıveren iki farklı ifade yazınız.Elde ettiğiniz eşitliğin özelliklerini tartışınız.

•Kareli kâğıt •Cetvel

a b

a

b

a b

a

b

a b

a

b

a b

a

b

“a2-b2= (a-b). (a+b)” özdeşliğini model kullanarak elde edelim.a-bb

a-b

a

a

b

Kenar uzunluğu “a” olan bir karenin bir köşesinden kenaruzunluğu “b” olan başka bir kare çizelim.

Kalan parçayı köşesinden kesip elde ettiğimiz parçalarıbirleştirerek yandaki gibi bir dikdörtgen elde edebiliriz.

Oluşan dikdörtgenin alanı (a-b).(a+b)’dir. Aynı alanı, alanı a2 olan büyük karenin alanından,alanı b2 olan küçük karenin alanını çıkararak da bulabiliriz. O hâlde;

a2-b2= (a-b).(a+b)’dir.

Benzer geometrik modeller kullanarak (a-b)2 = a2- 2ab+b2 özdeşliğini elde ediniz.

(a-b)2= a2 - 2ab+b2 özdeşliğinden yararlanarak (2x - 3)2 ifadesine eşit olan ifadeyi bulalım.

a= 2x b= 3 alındığında;

(2x - 3)2 = (2x)2 - 2 . (2x . 3) + 32

= 4x2 -12x + 9 ifadesi elde edilir.

4a2 - 9b2= (2a)2 - (3b)2

=(2a - 3b).(2a + 3b)

ba

a-b a-b

b a

ÖRNEKÖRNEK

91

1 “Bir sayının iki katının altı fazlası aynı sayının üç fazlasının iki katına eşittir. Bu sayı kaçtır?”Yukarıdaki problem çözülebilir mi? Neden?

Aşağıdaki eşitliklerden hangilerinin denklem hangilerinin özdeşlik olduğunu belirleyerekdenklem olanları çözünüz.

2

a) 4x-7=2x+1b) 4x+8= 4(x+2)c) a2-6a+9= (a-3)2

ç) 2(m-2)+m+1= 3(m-1)d) 3(a+3)+4(a-1)=2(a-2)+2(2a-1)

3 Aşağıdaki modellerden elde edilebilecek özdeşlikleri yazınız.

4 Aşağıdaki ifadeleri özdeşlik oluşturacak şekilde eşleştiriniz.a + 11(x - 2).(x + 2)a2 + 8a + 164x2 - 12x + 9a2 + 4a +16

(2x - 3)2

(a + 4)2

x2 - 43(a + 3) - 2(a -1)

Yandaki özdeşliklerden yararlanarak aşağıdaki ifadelerineşitlerini yazınız.

5(a+b)2= a2+2ab+b2

(a-b)2= a2-2ab+b2

a2-b2= (a+b).(a-b)a) ( + 7y)2 b) (2a -1)2

c) (x - 2).(x + 2) ç) 121-16x2

d) x2 - 10x + 25 e) 9a2 - 25

Aşağıda verilen özdeşliklerde “ ” yerine gelmesi gereken sayıları bulunuz.6

a) (x- )2 = x2 -6x + 9 b) a(a + 5)= 3a2 +15ac) x2 -(2y)2 = x2 - y2 ç) (4 + m)2 = 16 + m + m2

a a

a

2a

a2 a2

a) b)

20 x2 4x

5x

c)

aa a.b

b c

a.c

Yandaki şekil üzerinde verilenleri kullanarak Pisagor Bağıntısı’nı eldeediniz (İpucu: Üçgenlerin ve yamuğun alan bağıntısını kullanabilirsiniz.).

7

b

a c

b

c

a

19Çalışma

UYGULAMAUYGULAMA


Araç ve Gereç

92

Çarpanlara Ay›rma

Halı üreticisi bir firma ürettiği bir modeldehalıları uzunlukları genişliklerinden 3 metre dahafazla olacak şekilde tasarlıyor. Bu halıların kenaruzunluklarını ve alanlarını harflerle nasıl ifadeedersiniz? Tartışınız.

•Karton •Makas •Cetvel

Harfli ‹fadelerin Çarpanlar›

x2+3x+2 ifadesinin çarpanlarını belirlemek üzere ifadeye karşılık gelen parçalar elde edelim.Bunun için kartondan kenar uzunluğu x ile temsil edilen bir adet kare; uzun kenarı x, kısakenarı 1 cm olan üç adet dikdörtgen, kenar uzunluğu 1 cm olan iki adet kare keselim.Elde ettiğimiz parçalardan, en büyük parçalar sol üst köşede olacak şekilde bir dikdörtgenselbölge oluşturalım.Oluşturulan dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarını küçük parçaların kenar uzunluklarıcinsinden yazalım.Dikdörtgensel bölgenin alanını nasıl ifade edersiniz?Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları ile x2+3x+2 arasındaki ilişkiyi tartışınız.Benzer yöntemle 2x2+5x+3 ifadesinin çarpanlarını bulunuz.

x

x x2 x

1

x1

11

4x+6 ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.1. Yol4x+6 ifadesine karşılık gelen parçalar;

şeklinde olur.

x

1

1

1

Bu parçaları kullanarak dikdörtgensel bölge oluşturalım:

2

2x+3

Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları 4x+6 ifadesinin çarpanlarıdır.4x+6= 2.(2x+3)

ÖRNEKÖRNEK

93

2. Yol

4x+6 ifadesindeki terimlerin çarpanlarını yazalım:4x+6= 2.2.x+2.3

Bütün terimlerdeki ortak olan çarpanı belirleyerek parantezin önüne yazalım:

4x+6= 2.2.x+2.34x+6= 2.(2x+3)

4x2+2x ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.

1. Yol4x2+2x ifadesine karşılık gelen parçalarla dikdörtgensel bölge oluşturalım:

Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları4x2+2x ifadesinin çarpanlarıdır.

2x

2x+1

4x2+2x= 2x(2x+1)

2. Yol

4x2+2x ifadesindeki terimlerin çarpanlarını yazalım:4x2+2x= 2.2.x.x+2.x.1Çarpanlardan ortak olanları belirleyerek parantezin önüne yazalım:4x2+2x= 2x.(2x+1)

1. Yol

2. Yol

2x2+3x+1 ifadesine karşılık gelen parçalarla dikdörtgensel bölge oluşturalım:

Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları2x2+3x+1 ifadesinin çarpanlarıdır.

x+1

2x+1

2x2+3x+1= (x+1).(2x+1)

İfadedeki terimleri kuvvetlerine göre büyükten küçüğedoğru sıralayalım:

2x2+3x+1

Baştaki ve sondaki terimlerin çarpanlarını, çaprazçarpımlarının toplamı ortadaki terimi verecek şekildealtlarına yazalım:

2x2 + 3x + 1

2x.1+x.1= 3x

2xx

11

2x2+3x+1 ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım:

94

Yazılan çarpanların karşılıklı toplamları 2x2+3x+1 ifadesinin çarpanlarını oluşturur.

2x2+3x+1= (2x+1).(x+1)

Harfli ifadelerin çarpanları aşağıdaki yöntemlerden uygun olan kullanılarak bulunur.• Ortak çarpan parantezine alma• Gruplandırma• Baştaki ve sondaki terimin çarpanlarından yararlanma• Özdeşliklerden yararlanma

1 Aşağıda modellenen cebirsel ifadeleri ve bu ifadelerin çarpanlarını yazınız.

2 Aşağıdaki ifadelerde verilmeyen çarpanları bulunuz.

3 Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

a) 6. =6a b) 4. =16b c) 2y. =30y2

ç) .3x2=12x3 d)a. =3ab e) 7x2. =14x3y

a) b) c)

x2 x1

a) 3a+9 b) 15-5x c) xy-yz ç) 4b-12d) 25+20b e) 16x-24 f) 13x-39y g) 10+25y

2xy-6 + 3x-4y ifadesini çarpanlara ayıralım.

UYGULAMAUYGULAMA

(2xy-4y) + (3x-6) Çarpanlara ayıracağımız ifadeyi gruplandıralım.= 2y.(x-2) + 3.(x-2) Gruplardaki terimleri ortak çarpan parantezine alalım.= (x-2) . (2y+3) (x-2) ortak çarpan parantezine alalım.

bulunur.

95

4 Aşağıdaki dikdörtgensel bölgelerin alanları, cebirsel ifade olarak iç bölgelerine yazılmıştır.Dikdörtgensel bölgelerin olası kenar uzunluklarını örnekteki gibi bulunuz.

x2+x3x2-6x

Örnek

6x-18

a)

5 Yanda bir cebirsel ifadenin çarpanları, çarpanağacı yöntemi ile bulunmuştur. Aşağıdaki ifadelerinçarpanlarını örnekteki gibi bulunuz.

20x-5x3

x 20-5x2

5 4-x2

2+x 2-x

a) 3x+6x2 b) 21a2+7ac) 6x-3x2 ç) 6x2 - 4x

Yanda modellenen cebirsel ifadeyi ve çarpanlarınıbulunuz. Aynı cebirsel ifade farklı bir şekildemodellenebilir mi? Araştırınız.

6

7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerin çarpanlarını bulunuz. Nasıl bulduğunuzu açıklayınız.

8 Aşağıdaki ifadelerde boş kutulara gelmesi gereken cebirsel ifadeleri bulunuz.

9 x+5x-m ifadesinin çarpanlarından biri (x-1) olduğuna göre m kaçtır?

(10 001)2-(10 000)2 işleminin sonucunu bulunuz.10

a) x2-16y2 b) 4x2+4x+1 c) 49-9a2 ç) 16-8a+a2

2x+82

x+4

b) c)

20x-5x3 = x.5.(2+x).(2-x)

a) x2-3x+2= . b) =(x+1).(x-4)

c) 2x2-2x-4= . (x+1) ç) 3a2-15a+12= .

d) 4x3-4x2 -8x = 4x.(x-2). e) x4 - 64 = (x-2 2).(x+2 2)

(a-b)2- (a+b)2 = 8 ise a.b çarpımının değerini bulunuz.11

20Çalışma


96

Rasyonel ‹fadeler

Oya ve Murat birlikte ders çalışıyorlar. Muratbir kesir söylüyor ve Oya o kesrin sadeleştirilmişşeklini buluyor. Murat, harfli ifadeler içeren kesirlersöylerse Oya nasıl cevap vermelidir? Tartışınız.

Sadelefltirme

rasyonel ifadesinin pay ve paydasında bulunan cebirsel ifadeleri

çarpanlarına ayıralım.

Elde ettiğimiz çarpanları pay ve payda için farklı renkte kalemler kullanarak küçükbirer kâğıda yazalım.Bu çarpanlardan pay ve paydada aynı olan çarpanları eşleştirerek ayıralım.Pay ve paydada kalan çarpanları rasyonel ifade şeklinde yazınız. Hangi ifadeyi eldeettiniz? Arkadaşlarınızla karşılaştırınız.

Aynı adımları

,

,

rasyonel ifadeleri için tekrarlayınız.

Elde ettiğiniz sonuçları karşılaştırınız.

ifadesini sadeleştirelim.

Bunun için önce pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım ve aynı olan çarpanlarısadeleştirelim:

6 .3 . x . x . y6 . x . y

3x1

= = = 3x

x2 + 2xx2 + 5x + 6 ifadesini sadeleştirelim.

Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım ve aynı olan çarpanları sadeleştirelim:

x . (x+2)(x+3) . (x+2)

= xx+3

ÖRNEKÖRNEK


97

a2 - 3a + 22a2 + 3a - 2

2a2 + 4a2a - 4

ifadesini en sade biçimde yazalım..

Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım:

Kesirlerde yapılan çarpma işlemine benzer şekilde pay ile payı, payda ile paydayıçarpalım ve aynı olan çarpanları sadeleştirerek sonucu bulalım:

2 . a . (a + 2)2 . (a - 2)

(a - 2).(a -1)(a + 2) . (2a -1)

.

(a - 2).(a -1) . 2 . a . (a + 2)(a + 2) . (2a -1) . 2 . (a - 2)

a. (a - 1)2a - 1

=

Rasyonel ‹fadelerle ‹fllemler

Yandaki tablonun birinci satırında yapılanişlemi inceleyelim.İşlem basamaklarında yapılan işlemleriaçıklayınız.Diğer satırlardaki işlemlerin sonuçlarını bulmakiçin hangi işlemler yapılmalı? Tartışınız.Belirlediğiniz adımları uygulayarak diğersatırlardaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

16x2 + 2

x1

6x2 + 2x

(6x)

16x2 + 12x

6x21+12x

6x2

3a5b - 2b

3ax

6yz : 2x3yz

aa+1: 1

a2+a

Toplama ve çıkarma işlemlerini yapabilmek için öncepaydaları eşitleyelim. Bunun için paydadaki ifadelerinçarpanlarını bulalım:

2.x.(x+1)x.(x+1).(x-1)

-3.x

x.(x-1).(x+1)+

x-1x.(x-1).(x+1)

=2x(x+1)-3x+x-1

x.(x+1).(x-1)

işleminin sonucunu bulalım.2x - 1

- 3x2 - 1

+ 1x2 + x

2x - 1

- 3(x - 1). (x + 1)

+ 1x.(x + 1)

Paydaların eşit olması için ifadelerin pay ve paydasınınhangi ifade ile çarpılması gerektiğini belirleyelim:

2x-1

x.(x+1)

- 3(x - 1). (x + 1)

x

+ 1x.(x + 1)

(x-1)

Belirlediğimiz ifadelerle pay ve paydaları çarparak toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:

2x2 + 2x - 3x + x - 1x . (x + 1).(x - 1)

2x2 - 1x . (x + 1).(x - 1)

=

ÖRNEKÖRNEK

=

1. adım 2. adım 3. adım 4. adımTablo: ‹fllemler

98

3a + 6a2

a2 + 3a + 2a2 + a

: işleminin sonucunu gerekli sadeleştirmeleri yaparak bulalım:

3a + 6a2

a2 + 3a + 2a2 + a

: 3 (a + 2)a . a

(a +1).( a + 2)a.(a + 1)

:=

3 (a + 2)a . a

a(a + 2)

.=

3a

=

Aşağıdaki ifadelerden birbirine eş olanları örnekteki gibi eşleştiriniz.1

23

3x4x2

3x + 3

x2 + xx2 - x - 2

x + 1x - 1

x2 - x - 2x2 - 3x + 2

3x + 3x2 + 4x + 3

xx-2

34x

4a2

6a2

Aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazınız.2

2by2 - 4by2

y2 - 4b2a) x2 - 2x - 3

2x2 + 2xb) 2a2 + 5a - 3

a2 + 6a + 9c)

b2 - 4b + 4b2 + 4b + 4

ç) x2y2 - 2xy + 12xy - 2

d) 2x2 + 2y2

3x2 + 3y2e)

3 Afla¤›daki eflitliklerden do¤ru olanlar›n bafl›na “D”, yanl›fl olanlar›n bafl›na “Y” yaz›n›z.

2x2 + 2x + 1x2 + 2x + 1

= x + 2x + 1

a)4x2 - 1

2x2 + x - 1= 2x + 1

x + 1b)

3x2 - 6x - 9x2 + 2x - 3

= 3(x + 1)(x - 1)

c)a2 + a - 22ab + 2b

= a - 12a

ç)

4 ifadesi sadeleştirilebildiğine göre a tam sayısı kaçtır?

5 Aşağıdaki işlemleri yapınız. Sonucu en sade biçimde yazınız.

x + yx - y - x - y

x + ya)

+1xx+y2x

b)

1y

3x2 + 3x + 1

4c)

- : ç)

UYGULAMAUYGULAMA

(...)

(...)

(...)

(...)

99

6

iflleminin sonucunu bulunuz7

8 ifadesini en sade biçimde yaz›n›z.(x - y + z)2 - (x + y - z)2

z - y

9

3y + 12

-y-15

Özge ifadesinin

y=1 olduğunda alacağı değeri hesaplıyor.

Ayn› flekilde Ezgi’nin buldu¤u sonucuny=1 için alaca¤› de¤eri hesapl›yor.

Ezgi ve Özge yandaki ifllemi yapmaya çal›fl›yorlar.Ezgi verilen ifllemi afla¤›daki gibi yap›yor.

3y + 12(5)

-y-15

(2)

=

5 (3y + 1)10

-2 (y-1)

10=

15y + 510

-2y - 2

10=

15y + 5 - 2y - 210

=

13y + 310

=

3y + 12

-y-15 = ?

42

3.1 + 12

-1 - 1

5 = - 0 = 2

13 . 1 + 310

= 13 + 310

1610

=

Sonuçlar birbirine eflit olmad›¤›ndan Özge,Ezgi’nin yapt›¤› ifllemlerde hata oldu¤unudüflünüyor.

10 iflleminin sonucunu bulunuz.

11 x= 5 + 1 ise x2 - 2x + 1 ifadesinin değerini bulunuz.21

Çalışma

Ezgi’nin ifllemlerini inceleyerek yapt›¤› hatay› bulunuz.

iflleminin sonucunu bulunuz

a

b

100


1 Esra, yandaki sayı örüntüsünün kuralının ardışık doğal sayılarınüçüncü kuvvetlerinin alınarak oluşturulduğunu söylüyor. Sizde tek sayıları ve toplama işlemini kullanarak bu sayı örüntüsüiçin farklı bir kural bulunuz.

1 , 8 , 27 , 64 , ............

Yandaki modelden elde edilebileceközdeflli¤i yaz›n›z.

3

6y

x

x

Kenar uzunlukları a ve b olan iki karesel bölge şekildekigibi yerleştiriliyor. Boyalı alan 80 br2, a - b = 4 brolduğuna göre a + b toplamının değerini bulunuz.

4

5

9992 - 1 = 1000 . x ise x kaçtır?

6

Aşağıdaki ifadeleri özdeşlik oluşturacak şekilde eşleştiriniz.

2

3x - 4(1 - x)(3 + 4x)2

25 - x2

( 5 - x)2

16x2 + 24x + 97x - 4(5 - x).(5 + x)- x - 4x2 - 2 5 x + 5


İlk terimi 5, ortak farkı 3 olan aritmetik diziyi yazınız. Bu diziye uygun bir şekil örüntüsüoluşturunuz.

7

İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştiriliyor. Elde edilen sayı ilk sayıdan çıkarılıyor.Oluşan yeni sayı seçeneklerde verilenlerden hangisiyle kesinlikle tam bölünemez?A) 11B) 12C) 15D) Rakamlarının farkı

101

Birinci sütundaki ifadelerden her biri, ikinci sütundaki ifadelerden birine eşittir. İkinci sütundakiifadelerin birinci sütundaki hangi ifadeye eş olduğunu bulduktan sonra, ifadenin önündekiharfi birinci sütundaki ilgili ifadenin solunda ayrılan çizgiye yazınız.

ifadesini en sade biçimde yazınız.

ifadesini en sade biçimde yazınız.x2 - 12x + 36x2 - 36

. x + 6x - 6

8

9

10

a2b3ca3b2c

4a3b-16ab3

4a2b-8ab2

a3x - axax - a2x

b -1ab :

1a -

1b

I

II

III

IV

ab

b - 1b - a

a + 1

a + 2b

-a - 1ba

11

A)

B)

C)

D)

E)

F)

8Öz Değerlendirme

ifadesini en sade biçimde yazınız.a-12

102

1 Yandaki şekilde k ve l doğrularıparaleldir. Buna göre AEH, BEG,CFH, DKF üçgenlerinin alanlarınıbüyükten küçüğe doğru sıralayınız

A B C D

E G HF K

k

2m 3m 4m 5m

2 Bir üçgenin çizilebilmesi için bütün açı ölçülerinin ve kenar uzunluklarının bilinmesi gerekirmi? Neden? Açıklayınız.

3 Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına “D ”, yanlış olanların başına “Y” yazıp cümleyiyanlış yapan kısmın altını çizerek doğrusunu yazınız.(...) Bir üçgende yükseklikler daima üçgenin iç bölgesinde noktadaştır.(...) Bir dik üçgende yükseklikler dik açının köşesinde kesişir.(...) Bir üçgen, üç açısının ölçüsünün verilmesiyle çizilebilir.(...) Bir eşkenar üçgen, bir kenar uzunluğunun verilmesiyle çizilebilir.(...) Bir üçgende kenarortay ve açıortaylar daima üçgenin iç bölgesinde kesişir.

4 Yandaki şekilde verilenlere göre ILNI’nun en küçüktam sayı değeri kaç santimetredir?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

K

13cm

NL

7cm

5 Yandaki şekilde s ( ) > 90º , s ( ) = 90º iseen uzun kenar aşağıdakilerden hangisidir?A) [EB] B) [AB] C) [EA] D) [AL]

BE

LA

6 IABI = IBDI = 4 cm ve IACI = ICDI = 6 cm uzunluklarınıkullanarak yandaki şekli çiziniz. Bu şekilde [BH] ve[HC] doğru parçalarının özellikleri nelerdir? A

B

D

C

Üçgenler ve Cebir

H


l

103

7

8

Aralarında 24 cm uzaklık bulunan paralel iki çubuk düz bir zemine dik olarak yerleştirilmiştir.Çubukların uzunlukları 25 cm ve 40 cm olduğuna göre;a) Kısa çubuk, uzun çubuğun üzerine düşerse uzun çubuğun hangi noktasına gelir?b) Uzun çubuk kısa çubuğun üzerine düşerse kısa çubuğun hangi noktasına gelir?

10

Bilgisayar ekranlarının büyüklükleri genellikle “inç” birimindeverilir. Bu büyüklük dikdörtgensel bölge şeklindeki ekranınköşegen uzunluğunu ifade eder. Buna göre 19 inçlik birbilgisayar ekranının yüksekliği 10 inç ise genişliği yaklaşıkolarak kaç inçtir?

11

Yanda oluşturulan sayı üçgenini inceleyiniz. Sayılarınoluşturduğu örüntüyü bulunuz. Üçgenin devamınagelmesi gereken iki satırı yazınız.

1

2

4

6

8

1

2

4

6

1

2

4

1

21

1

2

4

6

1

2

4

1

2 1

Aşağıdaki ifadelerden hangileri özdeşliktir? I. 2(5 + x) + 3x = 5x + 10 II. a + a = a2

III. 2 - x = (3 + x) 2 - 3x - 4IV. 5x + 2x = 7xA) I ve II B) II, III ve IV C) I, III ve IV D) I, II ve III

Terimleri pozitif sayılardan oluşan 5, p, r, s, 3125 geometrik dizisinde ifadesinin değeriaşağıdakilerden hangisidir?

12

9 Atletizm yarışmalarına hazırlanan Eda önce 1,2 kmkuzeye, daha sonra 0,9 km doğuya doğru koşuyor.Eda koşuya başladığı noktaya dönmek isterse koşmasıgereken en kısa mesafe kaç kilometre olur?

A) B) 1 C) 5 D) 25

104

Aşağıdaki ifadelerden hangisi 24xy ifadesinin özdeşi değildir?A) 12xy.2 B) 12xy+12xy C) 6x.4xy D) 18xy+6xy

20

Bir sayının karesine 8 katı ve 16 sayısı ekleniyor. Elde edilen sayı başka bir sayının karesiolabilir mi? Açıklayınız.

13

3x2 + 5x -12 = (x + 3) .................... eşitliğinde noktalı yere hangi ifade gelmelidir?

14

Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. Kullandığınız yöntemi açıklayınız.a) 4x2 y + 6xyb) 3a + 9b + 18cc) 4x2 - 1ç) 18x2 - 50y2

15

Yandaki tabloyu tamamlayınız.17

(10 001).(9999) çarpımı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?A) 104-1 B) 105-1 C) 109-1 D) 1010-1

x2+x 3x2+x -2x2

x2-x-2 3x2-5x-2 -2x2+4x

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?a2 + b2

bb

2b

+- b

ab

A) a - 2b

B) a - 1b

C) a2 + 2bb2

D)

18

19

ifadesinin en sade biçimini bulunuz.a2 - 1a + 1

: a - 1a2 + 3a + 2

22Çalışma

16

x+1

x

105

MATEMAT‹KTE YOLCULUK

Kombinasyon, Denklemler ve Üçgenlerde Benzerlik

Geometrik Cisimler

Evrendeki birçok gök cismi geometrik cisimlerebenzetilerek adland›r›lmaktad›r. Buna en güzel örneklerdenbiri koni bulutsusudur (gaz ve tozdan oluflmufl evrenbulutu). Koni bulutsusu 1997 y›l›nda keflfedilmifltir veDünya’m›za uzakl›¤› 2200 ›fl›k y›l›d›r.

Bunun yan›nda içinde yaflad›¤›m›z Dünya, kutuplardan bas›kolmas›na ra¤men küre olarak kabul edilebilir. Benzer flekildegezegenler ve uydular› da birer küre modeli olabilir.

Bir kimyasal elementin özelliklerini tafl›yan en küçük tanecikolan atom da küresel bir yap› olarak kabul edilmektedir. Atomkavram›n› bugünkü anlamda ilk kullanan bilim insan› 19. yy. dayaflam›fl olan John Dalton’dur.

Dünyan›n yedi harikas›ndan biri olarak kabul edilenM›s›r Piramitleri insano¤lunun tarihte infla etti¤i en büyükyap›lard›r. Bu piramitlerin say›s›n›n 80 ile 100 aras›ndaoldu¤u belirtilmektedir. M›s›r Piramitleri’nin yap›lar›n›ngünefl ›fl›nlar›na benzetilmeye çal›fl›ld›¤› fleklinde görüfllerbulunmaktad›r.

Ünlü bilim insan› Galileo Galilei: “...evren her an gözlemlerimize aç›kt›r ama onun dilinive bu dilin yaz›ld›¤› harfleri ö¤renmeden ve kavramadan anlafl›lamaz. Evren matematikdiliyle yaz›lm›flt›r; harfleri üçgenler, daireler ve di¤er geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadantek sözcü¤ü bile anlafl›lamaz, bunlars›z ancak karanl›k bir labirentte dolan›l›r.” demifltir.

Evrendeki cisimler ve matematik aras›ndaki iliflki sizin de dikkatinizi çekti mi? Evrendengeometrik cisimlere örnekler verebilir misiniz?


Araç ve Gereç

106

Bir tasarımcı yeni üretilecek olan bir duvar kâğıdı deseniüzerinde çalışıyor. Bunun için yandaki şekillerden ikisiniseçmeyi planlıyor. Tasarımcı kaç farklı seçim yapabilir?


Kombinasyon

•Dört farkl› renkte kalem •Kâ¤›t veya karton •Makas

Kâğıttan karesel bölge şeklinde birbirine eşdört parça keselim ve bunları farklı renklere boyayalım.Bu parçalardan herhangi ikisini kaç farklıbiçimde seçebiliriz?Olası seçimleri not edelim.Seçtiğimiz parçalarla iki elemanlı kümeler oluşturalım.

Renk Seçimi

Kaç farklı küme oluşturdunuz?Oluşan küme sayısı ile olası seçim sayısını karşılaştırıp yorumlayınız.Bu parçalardan üç elemanlı kaç farklı küme oluşturulabilir? Tartışınız.

Pelin ve arkadaşları lokantaya giderler. Dört farklı pide çeşidinden üçünü seçerek karışıkpide yemeye karar verirler. Pide çeşitleri yumurtalı, kıymalı, kaşarlı ve kuşbaşılı olduğunagöre bu seçim kaç farklı şekilde seçim yapılabileceğini bulalım.

AnahtarKavramlar

• Kombinasyon• Rasyonel denklem• Denklem sistemi

ÖRNEKÖRNEK

107

1 Bir dondurmacıda beş farklı dondurma çeşidi bulunmaktadır.Aylin bu dondurmacıdan üç çeşit dondurma almak istiyor.

a) Aylin kaç farklı seçim yapabilir?b) Dondurmaların seçiminde sıranın önemli olması durumunda

kaç farklı seçim yapılabilir?c) Sıralamanın önemli olması durumunda üç çeşit dondurma kaç farklı

şekilde servis edilebilir?ç) Bulduğunuz sonuçlar arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.d) Altı dondurma çeşidinden dört çeşit seçilmesi durumu için a, b, c ve ç seçeneklerinde

belirtilen işlemleri yapınız.

Pide çeşitlerini yanda verildiği gibi A, B, C, Dharfleri ile gösterelim. A, B, C ve D çeşitlerindenüçü ile oluşturulabilecek bütün grupları yazalım:

I II III IVABC ABD BCD ACDACB ADB BDC ADCBCA BDA CDB DCABAC BAD CBD DACCAB DAB DBC CADCBA DBA DCB CDA

Yumurtalı AKıymalı BKaşarlı CKuşbaşılı D

Seçme sırası önemli ise A, B, C ve Dçeşitlerinden üçü ile 24 grup oluşturulabilir.Bu sayıya 4’ün 3’ lü permütasyonu bulunarakda ulaşılabilir.

P (4, 3)= = = 244!(4-3)!

4.3.2.11!

Karışımda sıra önemli olmadığı için bu ölçü gruplardan I, II, III, ve IV. sütundakiler kendiiçlerinde aynı durumu belirtmektedir. Bu nedenle dört farklı pide çeşidinden oluşturulabilecekfarklı üçlü gruplar; ABC, ABD, BCD ve ACD şeklindedir.Bu sonucu permütasyondan yola çıkarak da aşağıdaki gibi elde edebiliriz.

P(4,3)3!

243.2.1

= = 246

= 4

2 Altı kişilik bir gruptan üç kişilik bir alt grup kaç farklı yolla oluşturulabilir?

3 Meltem 20’lik bir CD kutusundan 4 tane CD seçmek istiyor. Meltem bu seçimi kaç farklışekilde yapabilir?

UYGULAMAUYGULAMA

n elemanl› bir kümenin elemanlar› ile oluflturulacak r elemanl› farkl› gruplar›n say›s›n’nin r’li kombinasyonu olarak adland›r›l›r. n’nin r’li kombinasyonu C(n,r) veya (n) fleklindegösterilir. P(n,r)

r!C(n,r)= (n)= = n!(n-r)! . r!r

r

108

4 Çetin Öğretmen hazırladığı sınavda 8 soru sormuştur. Öğrencilerinden kendi belirledikleri4 soruya cevap vermelerini istemektedir. Öğrenciler cevaplayacakları soruları kaç farklışekilde seçebilir?

5 Yandaki çember üzerinde 10 nokta işaretlenmiştir. Bunoktaların herhangi ikisi kullanılarak kaç farklı doğruparçası çizilebilir?

6 Aşağıdaki durumların permütasyon veya kombinasyondan hangisine örnek olabileceğiniifadelerin yanlarındaki noktalı yerlere sembolle göstererek yazınız.

a) 20 kişilik sınıftan herhangi iki kişinin seçilmesi...........................b) 30 kişilik bir sınıftan sırayla bir başkan ve başkan yardımcısı seçilmesi..........................c) 16 kişilik bir takımdan 11 kişi seçilmesi..................................ç) “0, 1, 2, 3” rakamları ile yazılabilecek birbirinden farklı üç basamaklı sayıların kaç

tane olduğunun bulunması...............................d) Dört arkadaşın birlikte yan yana kaç farklı biçimde fotoğraf çektirebileceğinin

bulunması...............................e) 6 farklı tatlı çeşidinin bulunduğu bir menüden 2 tatlının seçilmesi. ........................................

7 Bir şirket 2 muhasebeciyi işe alacaktır. Yapılan başvurulardan 21 farklı seçim yapılabileceğinegöre bu iş için kaç kişi başvuruda bulunmuştur?

8 20 kişilik bir sınıftan bir geziye katılmak için 4 kişi seçilecektir. Seçilecek dört kişiden biribaşkan diğeri başkan yardımcısı olacağına göre bu dört kişi kaç farklı biçimde seçilebilir?

9 Aşağıda verilen permütasyon ve kombinasyon hesaplamalarını yapınız.a) C(14,2) b) P(12,3) c) C(10,5) ç) P (9,6)

10 Bayram ziyaretinde buluşan 15 kişilik grupta herkes birbiriyle tokalaşmıştır. Toplam kaçtokalaşma olmuştur?

11 Aşağıdaki şekilde yer alan noktaların birleştirilmesi ile kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

23Çalışma


109

Büyüme çağında olan çocukların bir gündeuyumaları gereken süre yaşlarına göre değişir.Bu süre ile yaş arasındaki bağıntı (17 -

. a)

şeklindedir. Burada “a”, çocuğun yaşınıbelirtmektedir. Bir günde 12 saat uyumasıgereken bir çocuk kaç yaşında olabilir?

Denklem Sistemleri

“Bir sayının 2 eksiğinin çarpmaya göre tersi ile ’ün toplamı 2’ ye eşittir. Bu sayıyı bulunuz.Yukarıdaki probleme uygun denklemi yazalım.Denklemi çözmeden denklemi sağlayan değer için ne söylenebilir? Tartışınız.Denklemin çözümü için öncelikle hangi işlem yapılmalıdır?Denklemi çözdükten sonra çözümün doğruluğunu nasıl kontrol edebilirsiniz?

Denklem Çözelim

= 8 denklemini sağlayan x değerini bulalım.

Eşitliğin her iki tarafını 2x ile çarpalım (Böylece paydayı ortadan kaldırmış oluruz.).

x + 152 x

x + 152 x

2 x . = 8 . 2 x

1515

x + 15 = 16 x

= 15x15

x = 1 elde ederiz.

Bulduğumuz değeri denklemde x yerine yazarak çözümün doğruluğunu kontrol edelim:x + 15

2 x= 8

x = 1 için 1 + 152 . 1

= 8

162

= 88 = 8

Eşitlik sağlandığından bulduğumuz değer doğrudur.

?

?

ÖRNEKÖRNEK


110

5 . (4x - 20) = (-6) . (x - 5) 20x - 100 = -6x + 30 26x = 130 x = 5 elde ederiz.

4x - 10 - 10x - 5

65

= -

4x - 20x - 5

65

= -

Buldu¤umuz de¤eri denklemde yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol edelim:

4x - 10x - 5

+ 65

4 . 5 - 105 - 5

+

= 10x - 5

x = 5 için 65

100

=

100

+ 100

65 =

Buldu¤umuz x de¤eri denklemde baz› rasyonel ifadelerin paydas›n› “0” yapmakt›r. Bunedenle x = 5 de¤eri denklemin çözümü olamaz. O hâlde bu denklemin çözüm kümesibofl kümedir.

Yanda denge durumunda olan terazi modellerindeki

: x’ i ; : y’ yi temsil etmektedir.

‹ki De¤iflkenli Denklemler

4kg 4kg 4kgTerazilerde modellenen denklemleri yazalım.Denklemlerdeki değişkenler arasındaki ilişkiyiaçıklayınız.Bu ilişkiden yararlanarak 2. terazide tek değişkenin yer almasını nasıl sağlayabilirsiniz?Tartışınız.Tek değişken içeren denklemi çözünüz. Elde ettiğiniz sonuçtan yararlanarak diğer değişkenibulunuz.Bulduğunuz değerlerin doğruluğunu kontrol ediniz.

4x - 10x - 5

+ 10x - 5

65 denklemini sağlayan x değerini bulalım:

İşlem kolaylığı sağlamak amacıyla payları eşit olan ifadeleri bir araya getirelim:

=

4x - 10x - 5

- 10x - 5

= - 65

olur.

111

16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğrucevaplandığında 100 puan alındığına göre testte 5 ve 10 puanlık sorulardan kaçar taneolduğunu bulalım:Problemde verilen durumlara uygun denklemleri yazalım. 5 puanlık soruların sayısı x ,10 puanlık soruların sayısı y olsun. Buna göre;

x + y = 165x + 10y = 100 şeklinde iki bilinmeyenli iki denklem elde edilir.Bu denklem sisteminden bilinmeyenleri bulmak için iki farklı yol izleyebiliriz.

1. yol: (Yerine Koyma Yöntemi)(1) x + y = 16 1. denklemden x = 16 - y eşitliğini yazabiliriz.(2) 5x + 10y = 100 2. denklemde x yerine (16 - y) yazarak y değerini bulabiliriz.

5. (16 - y) + 10.y = 100 80 - 5y + 10y = 100

5y = 20y = 4

x + y = 16 denkleminde y yerine 4 yazarak x değerini bulalım.x + 4 = 16

x = 12 elde edilir.

Bulduğumuz x ve y değerlerinin her iki denklemi de sağlaması gerekmektedir.x + y = 12 + 4 = 165x + 10y = 100 5.12 + 10.4 = 60 + 40 = 100

(1) x + y = 16 Bu yöntemde eşitliğin her iki yanındaki ifadelerin taraf tarafa (2) 5x + 10y = 100 toplanması veya çıkarılmasıyla bilinmeyenlerden biri yok edilir.

Bunun için 1. denklemi -5 ile çarpalım. Böylece iki eşitliği taraf tarafa topladığımızda x bilinmeyenini yok etmiş oluruz.

-5x - 5y = -805x + 10y = 100

-5x + 5x - 5y + 10y = -80 + 1005y = 20y = 4

x + y = 16 denkleminde y yerine 4 yazarak x değerinibulalım:x + 4 = 16 x = 12 elde edilir.

Ayn› de¤iflkenleri içeren iki do¤rusal denklem “do¤rusal denklem sistemi” oluflturur.Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma veya yok etme yöntemikullan›l›r. Sistemin çözümü olan s›ral› ikili her iki denklemi sa¤lamal›d›r.

ÖRNEKÖRNEK

+

2. yol: (Yok Etme Yöntemi)

112

1 Zehra, aylık harçlığını her hafta için eşit harcamak üzere 4’e bölüyor. İlk hafta 12 TL’yekitap alıyor ve o hafta için elinde 40 TL kaldığını görüyor. Zehra’nın aylık harçlığı kaç TL’dir? Denklem kurarak çözünüz ve çözümde kullandığınız stratejiyi açıklayınız.

2 “15 eksiğinin ’si 22 olan sayı kaçtır? ” Bu sorunun çözümü için Banu ve Arzu aşağıdakigibi iki farklı denklem kuruyor. Hangi denklemin doğru olduğunu bularak çözümünü yapınız.

2x3

- 15 = 22Banu :

Arzu : 23

(x - 15) = 22

3 Ahmet Öğretmen, bir testte bulunan soruları 5 kişiden oluşan bir grup öğrenciye çözmeleriiçin eşit olarak paylaştırıyor. Gruba bir öğrenci daha katıldığında her öğrenciye düşen sorusayısı 3 azalıyor. Bu testte kaç soru vardır?

4 Ardışık üç çift sayının toplamının yarısı 12’ dir Bu sayılardan en büyü¤ü kaçtır?

5 Aşağıdaki denklemleri gerçek sayılar kümesinde çözünüz.

a) 34

=x - 25

b) 3y5 + 2y

4 = -y + 12

c) 2x + 65

= x8

6 = 20 denklemine uygun bir problem kurunuz.x - 803

7 denklemini çözünüz.2x - 3

1x - 2

=

8 Müzik öğretmeni Başak Hanım, okul korosundaki kız ve erkek öğrencilerin sayısının birbirine

eşit olmasını ister. Korodaki erkek öğrencilerin sayısı kız öğrencilerin sayısının 35 ’ ü

kadardır ve koroya 12 erkek öğrenci katıldığında kız ve erkek öğrencilerin sayısı eşitolmaktadır. Korodaki kız öğrencilerin sayısını bulunuz.

9 Mesut’un boyu babasının boyunun 23 ’ si kadardır. İkisinin boyları toplamı 2,95 m ise

Mesut’un boy uzunluğunu bulunuz.

10 Toplamları 74 farkları 18 olan iki sayıdan büyük olan› kaçtır?

11 Aşağıdaki denklemleri çözünüz.

a) 2x + y = 3x + 2y = -12

b) a + 3b = 82 b - a = 12

c) 2k - 3 = 2n 2n - k = 7

24Çalışma

UYGULAMAUYGULAMA


Araç ve Gereç

113

Üçgenlerde Efllik ve Benzerlik

Üçgenleri Karfl›laflt›ral›m

•Cetvel •Aç›ölçer •Makas

IABI = ISRI, IBCI = IRPI ve IACI = ISPI olacak şekilde bir SRP çizelim.Çizdiğimiz üçgenlerin herbirini kenarları boyunca keserek kağıttan ayıralım ve üst üsteçakıştıralım.Bu üçgenler eş midir? Tartışınız.Üçgenlerin bilinmeyen kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini belirleyiniz. Elde ettiğinizsonuçları tartışınız.

Herhangi bir ABC üçgeni çizelim. Cetvel ve açıölçer kullanarakbu üçgenin kenar uzunluklarını ve açılarını ölçüp not edelim.IABI = IDEI , IACI = IDFI ve s(ABC) = s(DEF) olacak şekildebir DEF çizelim.s(ABC) = s(KLM) , s(ACB) = s(KML) ve IBCI = ILMI olacakşekilde bir KLM çizelim.

A

B C100o

5 cm

6 cm

D

E F100o

5 cm

6 cm

Yanda verilen üçgenlerin eş olduklarınıgösterelim.

Çok eski devirlerden beri eş ve benzer üçgenler uzaklık ve yükseklik ölçümleri içinkullanılmaktadır. O devirlerden kalma kitaplarda bu ölçümlerin çubuklar veya ağaçlaryardımıyla nasıl yapılacağı anlatılır. Örneğin, bir dağın yakınlarındakibir ağacı kullanarak dağın yüksekliğini binlerce yıllık bir yöntemleölçebilirsiniz. Sizce bu ölçümü yapabilmekiçin hangi bilgilere ihtiyacınız vardır? Tartışınız.

ÖRNEKÖRNEK

IBCI = IEFI = 6 cms( C ) = s( F ) = 100ºIACI = IDFI = 5 cm olduğundan [BC] ile [EF] , C ile F ve AC ile DF eştir.Bu nedenle ABC ile DEF, eş üçgenlerdir. Bunu sembolle ABC DEF şeklinde gösterebiliriz.

114

K

LM N

O

4 cm4 cm

P R

T S

U

Y Z8 cm

75o

55o

A

B C8 cm75o

55o

a)

b)

c)

IPRI = ITSI , IPTI = IRSI ve [TR] iki üçgenin de kenar›oldu¤undan PRT ile STR’nin kenarlar› efltir. Bunedenle PRT ve STR, KKK efllik flart›na göre eflüçgenlerdir.

‹ki üçgenin;• ‹ki kenar› ve dahil ettikleri aç›,• ‹ki aç›s› ve dahil ettikleri kenar,• Kenarlar›,• ‹ki aç›s› ile bu aç›lar›n karfl›s›ndaki kenarlardan herhangi biri efl ise bu üçgenler efltir.Bu efllik flartlar› s›ras›yla;• Kenar-Aç›-Kenar (KAK),• Aç›-Kenar-Aç› (AKA),• Kenar-Kenar-Kenar (KKK),• Kenar-Aç›-Aç› (KAA) fleklinde adland›r›l›r.

Afla¤›da verilen üçgenlerin efl olduklar›n›, efllik flart›n› belirleyerek gösterelim.

s( U ) = s ( A ) = 55ºs( Y ) = s( C ) = 75ºIYZI = IBCI = 8 cm oldu¤undanU ile A, Y ile C ve [YZ] ile [BC]

efltir. Bu nedenleUYZ ile ACB, KAA efllik flart›nagöre efl üçgenlerdir.

s( L ) = s( N ) = 90ºILMI = IMNI = 4 cms(KML) = s(OMN) (ters açılar)olduğundan L ile N, LM ile MN ve KMLile NMO eştir. Bu nedenle KLM ile ONM,Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik şartına göre eşüçgenlerdir.

ÖRNEKÖRNEK


Araç ve Gereç

115Aşağıda verilen üçgenlerin benzer olup olmadıklarını inceleyelim:

4 cm

3 cm

2 cm

A

BC

6 cm

3 cm

4,5 cm

D

EF

Efl mi? Benzer mi?

•A4 kâ¤›d› •Aç›ölçer •Cetvel

A4 kâğıdının herhangi bir köşesini kısa kenarı üzerinekatlayalım ve oluşan üçgenleri isimlendirelim.Üçgenlerin açılarını ve kenar uzunluklarını ölçelim.Açılar arasındaki ilişkiyi tartışınız.ABG ve CDB üçgenlerinin hipotenüsuzunluklarını oranlayınız.

Aynı oran dik kenarlar arasında da bulunabilir mi?Bu iki üçgenin açıları, kenarları ve bu oran arasında nasılbir ilişki vardır? Tartışınız.Yukarıdaki iki adımı ABG ile FEG ve BCD ile GFE için deuygulayınız.Bu üçgenler eş midir, benzer midir? Tartışınız.

A B C

G

E

F

D

İki üçgenin karşılıklı kenarlarını oranlayalım:

=

= =

= =

İki üçgenin karşılıklı kenarlarının oranı aynı olduğundan ABC ve DFE benzer üçgenlerdir.ABC’nin kenar uzunlukları, DFE’nin kenar uzunluklarının ’ si oranında küçültülmüşüdür.Bu nedenle benzerlik oranı ’ tür.

ÖRNEKÖRNEK

116

‹ki üçgenin;• ‹kifler aç›lar›n›n efl,• Karfl›l›kl› kenarlar›n›n orant›l›,• Karfl›l›kl› iki kenar›n›n orant›l› ve dahil ettikleri aç›lar›n efl

olmalar› durumunda bu üçgenler benzerdir. Benzerlik flartlar› s›ras›yla;• Aç›-Aç› (AA),• Kenar-Kenar-Kenar (KKK),• Kenar-Aç›-Kenar (KAK)fleklinde adland›r›l›r.

s( K ) = s( S ) = 50º oldu¤undan verilen iki üçgenin birer aç›lar› efltir. Bu aç›y› oluflturankenarlar›n uzunluklar›n› oranlayal›m:

= =

= =

4 cm

3 cm

K

50o

M

L

8 cm

S

50o

PR

6 cm

Afla¤›da verilen üçgenlerin benzer olduklar›n›, benzerlik flart›n› belirleyerek gösterelim:

Üçgenlerin iki kenar› karfl›l›kl› olarak orant›l› ve bu kenarlar›n aras›ndaki aç›lar efl

oldu¤undan KLM ve SRP , KAK benzerlik flart›na göre benzer üçgenlerdir. Benzerlik

oran› ise ’dir.

ÖRNEKÖRNEK

117

Tünel çal›flmalar› yapan bir ekip yanda resmiverilen da¤›n yerle birleflti¤i uzunlu¤uhesaplamak istiyor ve resim üzerinde verilenölçümleri yap›yor. Bu uzunlu¤un kaç metreoldu¤unu bulal›m.

Siz de E ve C noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

128 . x = 256 . 156 x = 312 m olur.

Problemi Anlayal›mA ile D, B ile E noktalar› birlefltirildi¤inde iki

tane üçgen oluflmufl. Küçük üçgenin üç kenaruzunlu¤u da biliniyor. Büyük üçgende IEDIsoruluyor.

Ex

D

AB

C

156 m

128

m 110 m

256

m

Plan Yapal›mYap›lan ölçmelerde E ve B aç›lar› efl verilmifltir. ECD ve BCA ters aç›lar oldu¤undan

efltir. Bu nedenle ECD ve BCA üçgenlerinde AA benzerli¤i vard›r. Bu benzerli¤i kullanarakIEDI’nu bulal›m.

=

= 156

x

Kontrol EdelimICDI’ nu bilinmeyen olarak kabul edelim. IABI, IACI ve IEDI’nu kullanarak ICBI’nun

256 m olup olmad›¤›n› kontrol edelim.

=

128ICDI

156312

=

128 . 312 = 156 . ICDI

Sonuç [CD]’n›n verilen uzunlu¤u ile ayn›d›r.

Plan› Uygulayal›mBenzerlik için “ ~ ” sembolünü kullanal›m.

ECD ~ BCA

ICDI = 256 m

Ex

D

AB

C

156 m

128

m 110 m

256

m

1 Yiğit, karesel bölge şeklindeki bir kâğıdı köşegeni boyunca ikiye katlıyor. Sizce oluşanüçgenler eş midir? Neden?

2 Mühendis Erol Bey, yandaresmi verilen gölün A ve Bnoktaları arasındakiuzaklığı ölçmek istiyor.Bunun için resim üzerindeverilen ölçümleri yapıyor.Buna göre IABI kaçmetredir? Açıklayınız.

50m

38m

38m

42m50m

A

B

D

CP

1183 Betül, yalnızca açı ölçüleri eş olan iki üçgenin eş üçgenler olduğunu, Lale ise benzer

olduğunu iddia ediyor. Sizce kim haklıdır? Neden?

A

D

C

B

S R

T P

Yanda verilen flekilde [SR] [TP] ve [ST] [RP]’d›r.Buna göre ISRI = ITPI oldu¤unu gösteriniz.

5

7 KLM dik üçgeninin dik kenar uzunluklar› 5 cm ve 12 cm’dir. VYZ dik üçgeninki ise 12 cmve 13 cm’dir. Bu iki üçgen efl midir? Neden?

4 I. IABI = IBCI II. IADI = IDCI

III. s(BDC) = s(ADB)

Yandaki flekilde ABD ile CBD’nin efl oldu¤unugöstermek için yukar›da verilen bilgilerdenhangisine gerek yoktur? Efllik flart›n› belirterekaç›klay›n›z.

6 DEF ile GHK efl üçgenlerdir. IDEI = IGHI, IEFI = IHKI ve IDFI = IGKI’ dur. D ile E ’nın

ölçüleri toplam› 100º ise K ’n›n ölçüsünü bulunuz.

UYGULAMAUYGULAMA

119

8 Boyu 155 cm olan Onur, bir a¤ac›n yak›n›ndadurdu¤unda gölgesinin bitti¤i yer ile a¤ac›ngölgesinin bitti¤i yer ayn› nokta oluyor. Yandamodellenen bu durumda Onur’un gölgesininuzunlu¤u 248 cm, a¤ac›n gölgesininuzunlu¤u ise 744 cm’dir. Buna görea¤ac›n uzunlu¤unu bulunuz.

9 ABC’nin kenar uzunluklar› 6 cm, 9 cm ve 14 cm dir. ABC ile benzer olan DEF’nin ise en

k›sa kenar› 3 cm’ dir. Buna göre DEF’nin çevre uzunlu¤unu bulunuz.

10 Yandaki resimde verilen nehir üzerinde, A ile B noktalar›n›birlefltiren bir köprü yap›lmak isteniyor. Bunun için flekildekigibi dik üçgenler ve ölçümlerden yararlan›l›yor. Buna göreA ile B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤› bulunuz.

E

B

A

D

11

Yanda verilen flekilde [AH] [BC],[BA] [AC], IABI = 12 cm ve IACI = 16 cmise IAHI kaç santimetredir?

H

L K

M N

24cm

12cm

8cm

15cm

Yanda verilen flekilde [MN] [LK], IHMI = 8 cm,IMLI = 12 cm, INKI = 15 cm ve ILKI = 24 cm ise[HN] ve [MN]’n›n uzunluklar›n› bulunuz.

16cm12cm

A

H CB

12

25Çalışma

80m48m

32m

120


1 Sınıf kitaplığına 5 yeni kitap alan Şükran Öğretmen bu kitapları 5 farklı öğrenciye her birinebirer kitap verilmek üzere kaç değişik biçimde dağıtabilir?

2

3

4 Yanda verilen ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. ABCüçgeninin çevre uzunluğu 42 cm olduğuna göre x vey değerlerini bulunuz.

5 Bir kesrin payı ile paydasının toplamı 26’dır. Kesrin payının 2 katı ile paydasının 3 katınıntoplamı 67 olduğuna göre bu kesri bulunuz.

6 Yanda verilen bölme işleminde bölen ile bölünenintoplamı 63 olduğuna göre x - y değerini hesaplayınız. yx

5

3

7 Esma Hanım, bir top kumaşın yarısını alır. Aldığı kumaşın yetmeyeceğini düşünerek kalankumaşın yarısını daha alır. Esma Hanım, toplam 3 m kumaş aldığına göre bir top kumaşınkaç metre olduğunu bulunuz.

8 Aşağıda verilen denklemleri çözünüz.

(x - 3) + = a) - = b)

9 Bir ikizkenar üçgende eş olan kenarlara ait yükseklikler arasındaki ilişkiyi şekil çizerekgösteriniz.

10cm

y+32x - 4

A

B C

200 metre koşusunda 8 yarışmacıyarışmaktadır. Bütün yarışmacılarınkazanma şanslarının eşit olduğudüşünülürse altın, gümüş ve bronzmadalyanın sahipleri için kaç farklıdurum vardır? Bu problemin çözümüiçin gereksiz olan bilgi nedir?

Aşağıda verilen iki sorunun çözümleri arasındaki farkları açıklayınız.a) Emel Hanım, yeni bir kazak örmek için 10 farklı desenden 4’ünü kullanmak istiyor. Buseçimi kaç farklı biçimde yapabilir?b) Burcu misafirleri için masa hazırlıyor. 8 farklı tabağı kaç farklı şekilde dizebilir?


121

PASTANE

10 Yanda verilen şekilde s( R ) = s( T ) ve S noktası[RT]’nın orta noktasıdır. Verilenlere göre PRS veVTS üçgenleri eş midir? Neden?

PT

VR

S

11 Gül ve Yasemin koşu yaptıkları mesafeleri yandakigibi çiziyorlar. Gül, koşmaya G noktasında başlayıpK noktasında bitiriyor. Yasemin ise Y noktasındabaşlayıp L noktasında bitiriyor. P noktasında bulunanpastane her iki başlangıç noktasına eşit uzaklıktaolduğuna göre hangi koşucu daha uzun koşmuştur?Neden?

72º 72º

G Y

KL

12 Benzer iki üçgenin alanlarının oranı ’tir. Bu iki üçgenin karşılıklı kenarlarının oranınedir? Açıklayınız.

13 Yanda verilen şekilde IDFI = 8 cm, IACI = 12 cm,D, [AC]’ nın orta noktası ise IBFI kaç santimetredir?

C

A

F

D

E

P

12 c

m

B

9Öz Değerlendirme


Araç ve Gereç

Prizmaları Tanıyalım

Geometrik Cisimler

Ifl›k, beyaz gibi görünür. Fakat gerçekte birçok rengin kar›fl›m›ndan oluflur. Ifl›k havadanfarkl› bir ortama geçti¤inde, ortam›n k›rmaetkisiyle renklerine ayr›fl›r.

Ünlü fizikçi Newton, ›fl›¤›n bu özelli¤ini camdanyap›lm›fl bir üçgen prizma kullanarak incelemifltir.Ifl›k, bu prizman›n yüzlerinden geçti¤inde, renklerfarkl› miktarda k›r›lmaya u¤rar ve k›rm›z›dan morade¤iflen bir renk kufla¤› ortaya ç›kar.

Yandaki foto¤raflarda bu olay modellenmifltir.Foto¤raflar› inceleyerek, ›fl›¤›n bu prizman›nhangi yüzlerinden geçti¤ini tart›fl›n›z. Sizce böylebir prizma nas›l oluflturulabilir?

Üçgen Prizma Olufltural›m

Aşağıdaki prizma açınımını kartona çizelim. Aynı renkle çizilmişkenarların uzunluklarının eş olmasına dikkat edelim.Bu açınımı makasla kenarları boyunca keselim ve kapatarak prizmamızıoluşturalım.

Üçgensel bölge şeklindeki yüzler, bu yüzlerarasındaki uzaklık ve üç dikdörtgenselbölgenin birleştirilmesi ile elde edilen yüzey,prizmanın hangi elemanlarıdır? Tartışınız.Üçgen prizmanın kaç tane ayrıtı, kaç taneköşesi vardır? Bu ayrıtlardan hangileri eştir?Neden?Açınımdaki dikdörtgensel bölgelerden üçüparalelkenarsal bölge olarak çizilirseprizmanın şekli ve duruşu değişir mi?Tartışınız.

•Karton •Makas •Cetvel •Yap›flt›r›c›

Yandaki prizmada, efl ve paralel üçgensel bölge olan ikitaban renklendirilmifltir. Bu iki taban aras›ndaki uzakl›k, prizman›nyüksekli¤idir. Üç dikdörtgensel bölgenin birlefltirilmesiyle eldeedilen yüzey ise yanal yüzeydir.Üçgen prizman›n temel elemanlar› taban, yan yüz, ayr›t, köfleve yüksekliktir.

yükseklik

yanal yüzey

taban

taban

122

AnahtarKavramlar

• Dönel koni• Ana do¤ru• Büyük çemberler• Dik prizma• E¤ik prizma

123

Aşağıda verilen üçgen prizma modellerinden hangisinin dik, hangisinin eğik olduğunubelirleyelim.

Üçgen prizmanın tabanlarının karşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtlar tabanlara dik ise dikprizma, eğik ise eğik prizma olarak adlandırılır. Buna göre ilk prizma dik, ikincisi ise eğikprizmadır.

Siz de yukarıda verilen prizmaların temel elemanlarını belirleyiniz.

Yanda verilen eşkenar üçgen dik prizmanındönme simetrisine sahip olup olmadığınıbelirleyelim.

10 cm 10 cm

10 cm

20 cm

Eşkenar üçgen dik prizmanın tabanlarının merkezinden geçen doğru “eksen” dir. Prizmamızıbu eksen etrafında iki kez 60º lik açı ile döndürelim.

ÖRNEKÖRNEK

Yanda verilen düzgün altıgen dik prizmanın yüzey açınımınıçizelim ve prizmayı inceleyelim.

Yukarıda yüzey açınımı verilen prizmanın tabanları düzgün altıgensel bölgeler olduğu içindüzgün altıgen dik prizmadır. Dik prizmaların yan yüzleri dikdörtgensel bölge, eğik prizmalarınyan yüzleri paralelkenarsal bölgedir.

Eşkenar üçgen dik prizma ekseni etrafında 120º lik açı ile döndürüldüğünde değişmezkaldığından dönme simetrisine sahiptir.

Siz de eşkenar üçgen prizmanın neden 120º lik açıda dönme simetrisine sahip olduğunuaçıklayınız.

124

60º lik dönme 120º lik dönme

Yukarıdaki düzgün beşgen, düzgün altıgen ve düzgün sekizgen dik prizmalarındönme simetrisine sahip olup olmadıklarını belirleyelim.

Düzgün beşgen dik prizma ekseni etrafında her 72º lik, düzgün altıgen dikprizma ekseni etrafında her 60º lik, düzgün sekizgen dik prizma ekseni etrafındaher 45º lik açıyla dönmelerde değişmez kalır. Bundan dolayı bu prizmalar dönmesimetrisine sahiptirler.

125

1 Aşağıda her bir seçenek için verilen çokgenlerle üçgen prizma oluşturulupoluşturulamayacağını belirleyiniz.

a)

4 cm3 cm 3 cm 4 cm

5 cm

6 cm

3 cm 4 cm

6 cm 6 cm

c)

2 Aşağıda verilen dik ve eğik prizmaların temel elemanlarını işaretleyiniz.

b) ç)

5 cm

5 cm

3 cm 2 cm

5 cm 5 cm

5 cm 5 cm

3 cm 3 cm2 cm 2 cm

UYGULAMAUYGULAMA

5 Deniz, bir düzgün beşgen dik prizmanın yüzey açınımında bulunan çokgensel bölgeleriaşağıdaki gibi çizer. Deniz çokgensel bölgelerden bazılarını fazladan çizdiğini fark eder.Deniz’in fazladan çizdiği çokgensel bölgeleri ayırarak düzgün beşgen dik prizmaların yüzeyaçınımını çiziniz.

6 Ayrıt uzunluğu 8 cm olan bir küp, tabanının köşegeni boyunca kesilerek iki tane üçgenprizma elde ediliyor. Oluşan üçgen prizmayı çizerek ayrıt uzunluklarını bulunuz.

126

4 Yanda kareli kâğıtta verilen üçgen prizma dönme simetrisinesahip midir? Neden?

3 Aşağıda verilen üçgen dik prizma ve düzgün altıgen dik prizmanın açınımını çiziniz.

10cm

8cm

6cm5cm

26Çalışma

4cm

9cm


Araç ve Gereç

127

Evlerin çat›lar›na dikkat ettinizmi? Genelde üçgen prizmafleklinde olur. Baz› evlerde çat›katlar› oda olarak kullan›l›r. Çat›kat›n› da düflünerek bir evinhacmini ve yüzey alan›n› nas›lhesaplars›n›z?

Prizmaların Yüzey Alanları ve Hacimleri

Dik Üçgen Prizman›n Yüzey Alan›

Üçgen dik prizma modelinin tabanlar›n› kâ¤›t üzerine koyarak çevresiboyunca çizelim.Oluflan üçgensel bölgeleri keserek kâ¤›ttan ay›ral›m.Prizman›n yanal yüzünü kâ¤›tla kaplayal›m. Kâ¤›d›n taflan k›s›mlar›n›keserek yanal yüzün tam olarak kaplanmas›na dikkat edelim.

•Dik üçgen prizma modeli •Kareli kâ¤›t •Makas

Yanal yüzü kaplad›¤›m›z kâ¤›d› ve üçgensel bölgeleri kullanarak üçgen prizman›n aç›n›m›n›elde edelim.Yanal yüzün üçgensel bölge ile birleflen kenar uzunlu¤u ile üçgensel bölgenin çevreuzunlu¤u aras›ndaki iliflkiyi aç›klay›n›z.Yanal yüzün ve üçgensel bölgelerin alanlar›n› nas›l bulabilece¤inizi tart›fl›n›z.Küp, kare prizma ve dikdörtgenler prizmas›n›n yüzey alan›n› veren ba¤›nt›lardan yararlanaraküçgen dik prizman›n yüzey alan›n› veren bir ba¤›nt› yaz›n›z.

Yanda verilen üçgen prizman›n yüzey alan›n› bulal›m.28cm

21cm

35cm

20cm

28cm21cm

20cm

35cm

28cm21cm

üçgenin çevre uzunlu¤u

Aç›n›mda tabanlar üçgensel bölge yanalyüz ise dikdörtgensel bölge fleklindedir.Yüzey alan›n› bulmak için iki üçgenselbölgenin alan› ile dikdörtgensel bölgeninalan›n› hesaplay›p bu alanlar› toplayal›m.Üçgensel bölgenin alan›:21.28

2= 294 cm2 olur.

Dikdörtgensel bölgenin alan›: (21 + 28 + 35) . 20 = 1680 cm2,

prizman›n yüzey alan›: 2 . 294 + 1680 = 2268 cm2 olur.

Bunun için önce üçgen prizman›n aç›n›m›n› çizelim:

ÖRNEKÖRNEK

128


Araç ve Gereç

Dik Üçgen Prizman›n Hacmi

Kartondan birbirine efl üçgensel bölgeler elde edelim.Üçgensel bölgeleri üst üste koyarak üçgen prizma modeli olufltural›m.Oluflturdu¤umuz modelin tabanındaki üçgensel bölgenin alan›n›kullanarak dik prizmalardaki hacim ba¤›nt›s› yard›m›yla üçgenprizman›n hacminin nas›l hesaplanabilece¤ini tart›fl›n›z.

•Kal›n karton •Cetvel •Makas

ÖRNEKÖRNEK

Prizmaların yüzey alanları dikdörtgenler prizmas›nda oldu¤u gibi yanal yüz ile taban

alanlar›n›n toplam›na eflittir.

Prizman›n yüzey alan›= 2 . (taban alan›) + (taban çevresinin uzunlu¤u) . (yükseklik)

Prizmaların hacmi, taban alanı ile yüksekli¤inin çarp›m›d›r.

Hacim = taban alan› . yükseklik

Taban›n›n bir kenar uzunlu¤u 3 birim ve yüksekli¤i 7 birim olan kare prizman›nyüzey alan›n› ve hacmini hesaplayal›m.

Kare prizma iki efl karesel bölge ve dört efldikdörtgensel bölgeden oluflur.

Yüzey alan› = 2.(Taban alan›)+(Taban›n çevre uzunlu¤u).(Yükseklik)Y.A. = 2 . (32) + (3.4) . 7

= 2 . 9 + 12 . 7= 102 br2 bulunur.

Hacmi = (Taban alan›) . (Yükseklik)= (32) . 7= 63 br3 bulunur.

3 br

3 br

7 br

3 br

7 br

Hacmi 300 cm3, taban›n›n kenar uzunluklar› 5 cm ve 10 cm olandikdörtgenler prizmas›n›n yüksekli¤ini bulal›m

Dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi = (Taban alan›) . (Yükseklik)300 = (5.10) . h30050 = 50.h

50h = 6 cm olarak bulunur.

10 cm

h

5 cm

Siz de dikdörtgenler prizmas›n›n yüzey alan›n› hesaplay›n›z.

129

a=8cm

h=12cm

1

43

26

5

Bir prizmanın yüzey alanı, yanal yüz ile taban alanlarının toplamınaeflittir. Prizmanın tabanı düzgün altıgensel bölgedir. Düzgün altıgenselbölgenin alanı flekildeki gibi altı tane eflkenar üçgensel bölgenin alanlarınıntoplamına eflittir. Taban alanlar› ise altıgensel bölgenin alanının iki katınaeflittir.

12 . 82. 34

=

Taban alanları4

= 2 . 6 . a2 . 3

3

1= 3.64. 3 = 192 3 cm2 olur.

Yanal alan düzgün altıgensel bölgenin çevre uzunlu¤u ile prizmanın yükseklik uzunlu¤ununçarpımına eflittir.

Yanal alan = 6.a.h= 6.8.12= 576 cm2 bulunur

Prizmanın yüzey alanı = Taban alanı + Yanal alan= 192 3 + 576= 192 ( 3 + 3) cm2 dir.

Düzgün altıgensel dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yükseklik uzunlu¤unun çarpımıdır.

Prizmanın hacmi = Taban alanı . Yükseklik= 192 3 . 12= 2304 3 cm3 tür.

Yanda ölçüleri verilen düzgün altıgen dik prizmanınyüzey alanı ve hacmini hesaplayalım.

“Yanda verilen düzgün altıgen dik prizmanın tabanayrıtının uzunlu¤u 2 cm, yanal alanı 12 3 cm2

dir. Prizmanın yükseklik uzunlu¤u ........ cm’dir.”ifadesindeki bofllu¤a hangi sayı yazılmalıdır?

Yi¤itcan, yanda boyutlar› verilen kutunun yan yüzlerinikâ¤›tla kaplayarak süslemek istiyor. Yi¤itcan’›n bu ifl içinkaç santimetre kare kâ¤›da ihtiyac› vard›r?

25 cm

12 cm12 cm

12 cm

15 cm 12 cm

10 cm

1 Hazar, üçgen prizma oluflturmak içinkarton üzerine yandaki çizimi yap›yor.Hazar’›n oluflturdu¤u üçgen prizman›nyüzey alan›n› bulunuz.

8 cm 10 cm 12 cm

3

4

7 cm

Yanda ayr›t uzunluklar› verilen peynirdiliminin hacmi kaç santimetre küptür?

6,2m

2,4m

3 m

5 Y›ld›r›m çiftli¤inde bulunan ah›rlardan birinin önden görünüflü afla¤›daki gibidir. Verilenölçülere göre ah›r›n hacmini hesaplay›n›z.

10 cm

UYGULAMAUYGULAMA

12m

130

2

2cm

h

6 Yanda kare prizma fleklindeki bir tahta parças› verilmifltir. Buprizma taban›n›n köflegeni boyunca ikiye ayr›larak k›rm›z› ileboyal› cisim elde ediliyor. Bu cismin yüzey alan›n› ve hacminihesaplay›n›z.

7

8

Yanda üçgen prizma fleklinde tahtadan yap›lm›flbir araç takozu verilmifltir. Bu takozun hacmini vegörünen iki yüzünün alan›n› bulunuz.

65cm

30cm

40cm

22 cm

8cm

27Çalışma

131Tabloda bazı düzgün altıgen dikprizmalar ve ölçüleri verilmifltir.Buna göre tablodaki boflluklarıuygun sayılarla doldurunuz.

Tablo: Düzgün Altıgen Dik Prizmalar

Tabanayrıtı (cm)

Tabanalanı (cm2)

Yükseklikuzunlu¤u (cm)

Hacim(cm3)

1

2 6 3

2 3

3

33

9

3

9 Zeynep, bir proje ödevinde müzik aletlerihazırlamak için düzgün altıgen veeflkenar üçgen dik prizma modellerioluflturur. Yanda ölçüleri verilenmodellerin her birinin yarısını kumladoldurur. Modellerdeki kum miktarlarınınoranını bulunuz.

a = 4 cm

h = 6 cm

a = 8 cm

h = 2 cm


Araç ve Gereç Kartona kenar uzunlu¤u 12 cm olan bir kare çizelim.Kenarlar›n orta noktalar›n› bulal›m ve A, B, C, D olarakisimlendirelim.Bu noktalar› karfl›l›kl› olarak birer do¤ru parças› ilebirlefltirelim.

Piramit Olufltural›mA

C

BD

A

C

BDH F

G

E

A

C

BD H FG

E

Bu do¤ru parças› üzerinde A noktas›ndan 4 cm uzakl›kta bir E noktas›iflaretleyelim. Bu ad›m› B, C ve D noktalar› için de uygulayal›m. Di¤ernoktalar› da F, G ve H olarak isimlendirelim.E noktas›ndan geçen, [AE]’na dik olan 4 cm uzunlu¤unda bir do¤ruparças› çizelim. Bu ad›m› F, G ve H noktalar› için de uygulayal›m.A, B, C ve D noktalar›n›, oluflan karenin en yak›n iki köflesi ile birlefltirerekbirer üçgen elde edelim.Oluflan flekli üçgenin kenarlar› boyunca keselim. Üçgenleri, kare ileortak kenarlar› boyunca katlayal›m ve di¤er kenarlar› bantla yap›flt›rarakpiramidi olufltural›m.Piramidin taban›n›, yan yüzlerini, ayr›tlar›n›, tepe noktas›n› ve yüksekli¤inibelirleyebilir misiniz? Tart›fl›n›z.Piramit, yan yüzleri boyunca tabana paralel olmayan ve tabanı kesmeyenbir düzlemle kesildi¤inde elde edilen parçalar hakk›nda ne söylenebilir?Tart›fl›n›z.

Piramit, Koni ve Küre

Yaklafl›k 5000 y›l önce yap›lan M›s›r’dakipiramitlerden 30 kadar› günümüze kadarkalm›flt›r. Piramitler M›s›r krallar›n›n ölünceiçlerine gömülmeleri için yap›lm›flt›r.

1958’de Brüksel’de yap›lan Dünya Fuar›’n›n sembolü “Atomium”binas› olmufltur. Atomium, her birinin çap› 18 m olan 9 tane küredenoluflmaktad›r ve bir demir kristalinin 150 trilyon kez büyütülmüfl modelidir.

‹stanbul’da bulunan Galata Kulesi, 1349y›l›nda Cenoval›larca Galata’y› çevreleyens›n›rlar›n bafl kulesi olarak infla edilmifltir.Koni fleklinde çat›s› olan kule günümüzde‹stanbul manzaras› seyretmek için eflsiz biryerdir.Çevrenizdeki yap›larda hangi geometrikcisimler dikkatinizi çekiyor? Tart›fl›n›z.

132

•Karton •Cetvel •Makas •Yap›flt›r›c›


Araç ve Gereç

Yanda verilen iki piramidin tepe noktas›n›, yan yüzlerini,yüksekli¤ini taban›n› ve ayr›tlar›n› belirleyelim:

Her iki piramitte de ayr›tlar k›rm›z› ile iflaretlenmifltir. I. piramidin tabanındaki çokgenselbölge, karesel bölge oldu¤u için “kare piramit”; II. piramidin tabanındaki çokgensel bölgeüçgensel bölge oldu¤u için “üçgen piramit” olarak isimlendirilir.

Kare piramit

yükseklik

taban

yan yüz

tepe noktas›

Üçgen piramit

Piramidin temel elemanlar› tepe noktas›, taban›, yan yüzleri, ayr›tlar› ve yüksekli¤idir.Piramitte yükseklik tepe noktas›n›n taban düzlemine olan uzakl›¤›d›r.Piramidin tepe noktas›n› taban merkezine (a¤›rl›k merkezi) birlefltiren do¤ru parças›tabana dik ise dik piramit, e¤ik ise e¤ik piramit olarak adland›r›l›r.

Siz de afla¤›da verilen piramitlerin taban›n›, ayr›tlar›n›, yüksekli¤ini, tepe noktas›n› ve yanyüzlerini gösteriniz.

Kâ¤›ttan yar›çap› uzunlu¤u 9 cm olan bir daire elde edelim.Bu daireden merkez aç›s›n›n ölçüsü 120º olan bir daire dilimi keselim.Bu daire diliminin yay›n›n uzunlu¤unu bulal›m.Daire dilimini iki yar›çap boyunca birlefltirip yap›flt›rarak bir külah eldeedelim.Çevre uzunlu¤u daire diliminin yay uzunlu¤una eflit olan bir çemberçizelim. Çemberi keserek kâ¤›ttan ay›ral›m ve bir daire elde edelim.

Koni Olufltural›m

Bu daireyi külah›n aç›k k›sm›n› kapatacak flekilde yap›flt›rarak koniyi elde edelim.Koninin taban›n›, yanal yüzeyini, tepe noktas›n› ve eksenini belirleyiniz.Koni dönme simetrisine sahip midir? Tart›fl›n›z.

133

tepe noktas›

yan yüz

taban

yükseklik

•A4 kâ¤›d› •Makas •Aç›ölçer •Pergel •Yap›flt›r›c›

ÖRNEKÖRNEK

I II


Araç ve Gereç

134

Yanda verilen koninin taban›n›, yanal yüzeyini, tepe noktas›n› ve ekseninibelirleyip aç›n›m›n› çizelim.

tepe noktas›

eksen

taban

yanalyüzey ana do¤ru

yanalyüzey

Koninin temel elemanlar›, bir dairesel bölge olan “taban”, taban›n d›fl›nda bir “tepenoktas›”, tepe noktas›n› taban merkezine birlefltiren do¤ru parças› olan “eksen”, tepedengeçen ve taban›n kenar› olan çembere dayanan “ana do¤ru” ve bu do¤runun süpürdü¤ü“yanal yüzey”dir.

Ekseni tabana dik olan koni “dik koni” veya “dönel koni”, e¤ik olan ise “e¤ik koni”olarak adland›r›l›r. Dik koniler, eksen etraf›ndaki dönmelerde dönme simetrisine sahiptir.

Yanda verilen portakal› küre modeli olarak ele alal›m. Bumodelle kürenin merkezini, yar›çap›n› ve yüzeyini belirleyelim.

Bir parça oyun hamurunu avuç içlerimizle yuvarlayarak bir küremodeli elde edelim.Bu model üzerinde kürenin merkezini, yar›çap›n› ve yüzeyinigösterebilir misiniz? Tart›fl›n›z.Oluflturdu¤unuz modeli veya portakal, elma vb. modelleri çeflitlidüzenlemelerle keserek gözlemleyiniz.Kürenin merkezinden geçen düzlemlerle küre yüzeyinin ara kesitihangi geometrik flekli oluflturur?

Küre Olufltural›m

•Oyun hamuru •Portakal •Elma

çap

yüzeymerkez

ÖRNEKÖRNEK

ÖRNEKÖRNEK

135

Kürenin temel elemanlar›; merkezi, yar›çapı ve yüzeyidir. Merkezden geçen düzlemlerleküre yüzeyinin ara kesitine büyük çemberler denir. Bu flekilde oluflan dairenin çap› isekürenin çap›d›r.

1 Yandaki foto¤rafta Antalya’da bulunan “Cam Piramit”verilmifltir. Bu piramidi çizerek temel elemanlar›n›gösteriniz.

2 Taban› karesel bölge fleklinde olan yandaki piramidinaç›n›m›n› kareli kâ¤›da çiziniz.

3 Tabanlar› efl ve üçgensel bölge olan iki piramit tabanlar›ndan birbirine yap›flt›r›l›yor.Piramitlerden birinin yüksekli¤i 3 cm, di¤erininki ise 5 cm’dir. Oluflan flekli çiziniz.

4 Bir dik piramit tabana paralel olmayan, taban› kesmeyen ve tepe noktas›ndan geçmeyendüzlemle kesildi¤inde tepenin bulundu¤u parça hangi geometrik cisme modeldir? Neden?

5 Taban yar›çap›n›n uzunlu¤u 4 cm olan bir koninin aç›n›m›n› çiziniz.

6 Berna, yar›çap› uzunlu¤u 8 cm olan bir daireden merkez aç›s› 90º olan bir dilim keserekkoni oluflturmak istiyor. Bu koninin taban›n›n yar›çap› uzunlu¤u kaç cm olur? Taban›nfleklini çizerek gösteriniz ( π = 3 al›n›z.).

7 Yanda verilen basketbol topunu küreye model olarakdüflününüz ve modeli çizerek temel elemanlar›n› gösteriniz.

8 Taban› düzgün alt›gensel bölge olan bir dik piramitin kaç tane eflyüzü vard›r?

28Çalışma

UYGULAMAUYGULAMA

136

Geometrik Cisimler

1 Yanda verilen aç›n›mla bir eflkenar üçgen prizmaoluflturabilmek için hangi kenarlar›n efl olmas›gerekir? ‹flaretleyerek gösteriniz.

2 Bir üçgen prizma çizerek temel elemanlar›n› gösteriniz.

3 Hacmi 240 cm3 olan üçgen prizma fleklindeki bir tahta parças›n›n taban›n›n alan› 80 cm2

dir. Bu prizman›n yüksekli¤inin uzunlu¤unu bulunuz.

4 Afla¤›da eflkenar üçgen prizma ve düzgün alt›gen prizma verilmifltir. Eflkenar üçgeninkenarlar›n›n uzunlu¤u 12 cm, düzgün alt›genin kenarlar›n›n uzunlu¤u 6 cm ve her ikiprizman›n da yüksekli¤i 14 cm oldu¤una göre bu prizmalar›n hacimlerini hesaplayarakkarfl›laflt›r›n›z.

5 Yanda verilen geometrik cisim, iki efl geometrik cismin tabanlarınınbirlefltirilmesiyle oluflmufltur. Buna göre afla¤ıdaki soruları cevaplayınız.

a) Hangi geometrik cisimlerden oluflmufltur?b) Ortadan enine ikiye bölündü¤ünde oluflan cisimleri adland›r›n›z.c) Ortadan boyuna ikiye bölündü¤ünde oluflan cisimleri adland›r›n›z

6 Yanda verilen aç›n›m ile bir koni oluflturabilir mi?Aç›klay›n›z.

r

120º 3r


137

7 Piramitler ve prizmalar aras›ndaki benzerlikleri ve farkl›l›klar› aç›klay›n›z.

8 Afla¤›da verilen ifadelerden do¤ru olanlar›n bafl›na “D”, yanl›fl olanlar›n bafl›na”Y” yaz›n›z.

(...) a) Bir koninin iki taban› vard›r.(...) b) Bir kare piramit infla etmek için 4 efl üçgensel bölgeye ihtiyaç vard›r.(...) c) Bir kürenin temel elemanlar› merkezi, yar›çap›, yüzeyi ve büyük çemberleridir.(...) ç) Bir üçgen prizman›n 6 köflesi vard›r.(...) d) Taban› üçgensel bölge fleklinde olan bir piramidin 4 tane yüzü vard›r.(...) e) Taban alan› 64 cm2 ve yüksekli¤i 8 cm olan bir üçgen prizman›n hacmi 512 cm3 tür.

9 Taban› alt›gensel bölge fleklinde olan bir piramidin köfle, ayr›t ve yüz say›s›n› bulunuz.

11 Afla¤›da Topkap› Saray›’n›n farkl› yönlerden çekilmifl foto¤raflar› verilmifltir.Foto¤raf› inceleyerek geometrik cisimlere modeller bulunuz.

10 Dünyay› küreye bir model olarak kabul ediniz. Buna göre bu modelin eksenini, büyükçemberini, çap›n›, yüzeyini ve merkezini uygun terimleri kullanarak ifade ediniz.

10Öz Değerlendirme

138

Matematikte Yolculuk

“Basketbol tak›m›nda oynayan O¤uz, haftada 5 kez yapt›klar› antrenmanlarda farkl› birertiflört giymektedir. O¤uz, befl farkl› tiflörtünü antrenman yapt›¤› befl gün için kaç farkl›flekilde seçer?”Yukar›daki problemin çözümü için seçeneklerde verilenlerden hangisi hesaplanmal›d›r?

A) C(5,5) B) C (7,5) C) P(5,5) D) P(7,5)

1

Ebru Han›m, yapt›¤› bir s›navda 16 soru sorar ve ö¤rencilerden bu sorulardan 12’siniseçerek cevaplamalar›n› ister. S›navdaki ilk iki sorunun mutlaka cevaplanmas› gerekti¤inegöre ö¤renciler cevaplayacaklar› sorular› kaç farkl› flekilde seçebilirler?

2

Genç Osman ‹lkö¤retim Okulunda düzenlenen kariyer günlerine kat›lmak için bir sa¤l›kmerkezinde çal›flan 6 doktordan üç kiflilik bir grup oluflturulmak isteniyor. Bu 3 doktor kaçfarkl› biçimde fleçilebilir?

3

I. P(4,3)= C(4,3) II. C(4,4)= 4

III. =

IV. C(6,4) = 15

4 Yanda verilen eflitliklerden hangileri do¤rudur?

A) I, II B) II, IIIC) I,III,IV D) III,IV

Bir tiyatro oyununa girifl biletleri; çocuklar için 4 TL, yetiflkinler için 7 TL’dir. Bu oyunu 388kifli izlemifl ve 2110 TL kazan›lm›flt›r. Bu oyunu izleyen çocuk say›s›n› bulunuz.

5

‹ki basamakl› bir say›n›n rakamlar› toplam› 9’dur. Say›n›n basamaklar›ndaki rakamlar yerde¤ifltirildi¤inde say› 45 azald›¤›na göre bu say› kaçt›r?

6

- = 1 denkleminde a afla¤›dakilerden hangisidir?

A) -4 B) C) D) 9

7

Ahmet Bey, bir miktar sütün 14

’ini pasta, kalan›n yar›s›n› da tatl› yapmak için kullan›r.

Geriye 0,75 L süt kald›¤›na göre bafllang›çta kaç litre süt vard›r?

8

Yanda bir otelde bulunan havuzun üstten görünümüverilmifltir.IAKI = IKDIIBKI =IKCI ise bu havuzu oluflturan üçgenselbölgeler efl midir?Neden?

9B C

A D

K


139

10 Yandaki flekilde A ve B noktalar›nda bulunan ikipark aras›ndaki yollar çizilmifltir. A ve B ile C ve Daras›ndaki yollar birbirine paralel, A ve D ile C veB aras›ndaki yollar ise birbirine diktir.ICRI = 4 km , IRBI = 12 km ve IRDI = 3 km iseiki park aras›ndaki uzakl›g› bulunuz.

11 Yanda verilen flekilde IABI, IADI’nun 2 kat›d›r.

[DE] [BC] oldu¤una göre oran› kaçt›r?

A) B) C)

D)

12

A

D E

CB

13

ABC’nin iki iç aç›s›nın ölçüleri 20º ve 75º, KLM’nin ise 85º ve 20º dir. Bu iki üçgen benzermidir? Neden?

14

Afla¤›dakilerden hangisi bir üçgen prizman›n aç›n›m› olamaz?

b aa b

b aa bc

c

d d

a aa

a

a

aa

a a

aa

6cm

3cm 3cm

3cm

4cm3cm

2cm

4cm

3cm

4cm

3cm

Yanda verilen üçgen prizman›n temel elemanlar›n› gösterinizve aç›n›m›n› çiziniz.

60cm

50cm

10cm

BA

DC

R

12 km

4 km 3 km

A) B)

C) D)

15cm

15cm 12cm

9cm 12cm

9cm 12cm

9cm

9cm 15cm 12cm

15cm

50cm

140

15

16 Bir üçgen prizman›n yüksekli¤i 15 cm, tabanlar›ndan birinin çevre uzunlu¤u 32 cm vetaban alan› 48 cm2 ise bu prizman›n yüzey alan›n› ve hacmini bulunuz.

17 Al›flverifl merkezlerinde bulunan merdivenlerin yan›na eflya tafl›mak amac›yla geneldeüçgen prizma fleklinde olan rampalar yap›l›r. Afla¤›da resmi verilen böyle bir rampay›yapmak için kaç santimetreküp çimento kullan›lmal›d›r?

2,1m

1,8m

1,2m

18 Afla¤›da verilen geometrik cisimler hangi geometrik cisimlerin birlefltirilmesiyleoluflturulmufltur?

19 Küre ile ilgili olarak afla¤›da verilenlerden hangisi yanl›flt›r?

A) Temel elemanlar›; merkezi, yar›çap› ve yüzeyidir.B) Merkezden geçen düzlemlerle kürenin ara kesiti dairedir.C) Aç›n›m› daire fleklindedir.D) Büyük çemberlerin yar›çap› kürenin yap›çap›d›r.

20 I. Koni II. Üçgen prizma III. Piramit IV. Silindir V. KüreYukar›da verilen geometrik cisimlerden hangilerinin bir tane taban› vard›r?

A) I,III ve V B) I ve III C) III ve V D) IV ve V

29Çalışma

Öykü, kartontan taban ayrıtının uzunlu¤u 10 cm ve yükseklikuzunlu¤u 20 cm olan bir düzgün altıgen dik prizma modelioluflturur ve yüzeyini kırmızıya boyar. Ancak modelin yanyüzlerini maviye boyaması gerekti¤ini hatırlar. Öykü’nünyanlıfllıkla k›rm›z›ya boyadı¤ı alan kaç cm2 dir?

a=10 cm

h=20 cm

141

GEOMETR‹K C‹S‹MLERDE ÖLÇME VE PERSPEKT‹F

Dünya’m›z, 8 gezegeni kapsayan günefl sistemi içerisinde yer almaktad›r. Dünya’n›nyar›çap› uzunlu¤u yaklafl›k 6370 km, uydusu olan Ay’›n yar›çap› uzunlu¤u ise yaklafl›k1740 km’ dir. Ay ve Dünya’n›n hacimlerini karfl›laflt›r›n›z. Yer yüzeyinin yaklafl›k %71’isularla kapl›d›r. Karalar›n alan› kaç kilometre karedir?

Piramit, Koni ve Kürenin Yüzey Alanlar›

Piramit, Koni ve Kürenin Hacmi

‹z Düflümü ve Çok Yüzlüler

ETK‹NL‹KETK‹NL‹K142

M›s›r’daki Keops Piramidi (Büyük Piramit), günümüze kadar ulaflan önemli eserlerdenbiridir. Bu eser, MÖ 2800 y›llar›na do¤ru hüküm süren firavunlardan Keops’un mezar›d›r.2 tondan 70 000 tona kadar olan 2 300 000 adet blok tafl üst üste y›¤›larak oluflturulmufltur.

Tepeden 10 m kadar afl›nan bu piramidin gerçek yüksekli¤i yaklafl›k 146 m’dir.52 900 m2 alan› kapsayan bu kare piramidin yüzey alan›n› hesaplayabilir misiniz?


Dik Piramidin Yüzey Alan›

Piramidin Yüzey Alan›n› Bulal›m

Yandaki dik piramitleri inceleyelim.Piramitlerin isimlerini belirtiniz. Bu isimlendirmeyineye göre yapt›¤›n›z› aç›klay›n›z.Piramitlerden her birinin yüzey aç›n›m›n› çiziniz.Piramitlerin yüzey aç›n›mlar›nda hangi çokgenselbölgelerin kullan›ld›¤›n› aç›klay›n›z.Bu çokgensel bölgeleri kullanarak her bir piramidinyüzey alanlar›n›n nas›l bulunaca¤›n› tart›fl›n›z.

Piramitlerin yüzey alan›n› bulabilmekiçin genel bir ba¤›nt› oluflturabilir misiniz?Tart›fl›n›z.

Keops Piramidi’nin taban çevre uzunlu¤u yükseklik uzunlu¤unun iki kat›na bölünürseπ say›s›n›n elde edildi¤ini biliyor muydunuz?


Araç ve Gereç

Yandaki kare dik piramidin yüzey alan ba¤›nt›s›n›olufltural›m.

Bir kare dik piramidin yüzey aç›n›m› yanda verilmifltir.Piramidin taban› karesel bölge oldu¤undan taban alan›: a . a = a2 dir.Piramidi oluflturan yan yüzlerdeki bir üçgensel bölgenin alan›:

’dir.

Kare dik piramidin üçgensel bölge olan 4 yan yüzü oldu¤undanyanal yüzeyinin alan› 4. = 2.a.h’dir.

Piramidin yüzey alan›, taban alan› ile yanal yüzlerinin alanlar› toplam› oldu¤undan bu kare

dik piramit için yüzey alan ba¤›nt›s› a2 + 2.a.h olur.

Piramidin yüzey alan›= taban alan› + yanal yüzeyinin alan›

Alan› Tahmin Edelim

Bir dik piramit modelini elimize alal›m.Silginizin boyunu ölçünüz.Silginizin boyunun ölçüsünden hareketle piramidin yüzey alan›n›tahmin ediniz.Cetvelle ölçüm yaparak piramidin yüzey alan›n› bulunuz.Elde etti¤iniz sonuçla tahmininizi karfl›laflt›r›n›z.

•Çeflitli piramit modelleri •Cetvel •Silgi

Yanda taban› ve yan yüzleri eflkenar üçgenlerdenoluflan ve bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 19 cm olan bir dikpiramit verilmifltir. Bu dik piramidin yüzey alan›n›bulalım.

Piramidin tüm yüzleri eflkenar üçgen oldu¤u için bir eflkenar üçgensel bölgenin alan›n›bulup 4 ile çarpal›m.

a

aa a

h

h

143

ÖRNEKÖRNEK

ÖRNEKÖRNEK

Bir kenar uzunlu¤u 19 cm olan eflkenar üçgensel bölgeninalan›n› hesaplayabilmek için yüksekli¤inin uzunlu¤unu bulmal›y›z.Pisagor Ba¤›nt›s›’n› kullanarak hesaplayal›m.

a=19 cm

19 cmh

192

cm

h2 = 192 - ( )2

h2 = 361 - = =

h = cm

192. 34

19 32

Yüksekli¤i cm, bir kenar›n›n uzunlu¤u 19 cm olan eflkenar üçgenlerden oluflan

piramidin alan›n› tahmin edelim.

a 20 cm ve h 17 cm olan üçgensel bölgenin alan›:20 . 17

2 = 170 cm2 olur.

Piramidin alan›: 170 x 4 = 680 cm2 olarak tahmin edilebilir.fiimdi ifllem yaparak tahminimizle karfl›laflt›ral›m.

Piramidin alan›: . 4 = 361 3 625,27 cm2

Piramidin alan› tahminen: 680 cm2 dir.Piramidin alan› : 625,27 cm2 dir.

Problem Çözelim ve Kural›m

Yanda çizimi verilen kare piramit fleklindekiçat›n›n d›fl yüzeyi, sacla kaplanacakt›r. Ayr›tuzunluklar› birbirine eflit olan çat›n›n tepe noktas›tabandan 4 m yüksekliktedir. Çat›n›n yan yüzeyinikaplamak için kaç metrekare saca ihtiyaç vard›r?

Problemi Anlayal›mPiramit fleklindeki çat›n›n taban› karesel bölgedir. Piramidin ayr›t uzunluklar› birbirine

eflit oldu¤undan, piramidi oluflturan yan yüzler eflkenar üçgensel bölgedir. Çat›n›n yüksekli¤iverilmifl oldu¤undan yüzeyini kaplamak için gerekli sac miktar›n› bulmam›z isteniyor.

Plan Yapal›mÇat›n›n yüksekli¤ini kullanarak piramidin bir ayr›t›n›n uzunlu¤unu ve yan yüz yüksekli¤inin

uzunlu¤unu bulmal›y›z. Bu verilerden yararlanarak bir yan yüzün alan›n› hesaplar›z. Yanalyüzey alan›n›n 4 kat›n› alarak gerekli sac miktar›n› buluruz.

144

.

a=19 cm

= 192

a2

cm 192

a2

cm=

Piramidin yan yüzünü oluflturan bir üçgensel bölgenin alan›: 12

. a.y = 12

. 4 2 . 2 6 145

Plan› Uygulayal›mBir kenar› a metre olan eflkenar üçgenin yüksekli¤inin uzunlu¤unu Pisagor Ba¤›nt›s›

yard›m›yla a cinsinden bulal›m.

y2 = ise y= olur.

y2 = a2-( )2 = a2 - =

Dik üçgende Pisagor Ba¤ıntısı yard›m›yla de¤erini bulal›m:

Pisagor Ba¤›nt›s›’ndan; a 32

2

= ( )2 + 42

= + 16a2. 34

a2

4

a2 - = 1634

a2

4a2

2 = 16 a = 4 2 cm’dir.

Buradan y = = a 32

4 2 . 32 = 2 6 cm olur.

Piramidin yan yüzlerini kaplamak için gerekli sac miktar›; 4. 8 3 = 32 3 cm2 dir.

Kontrol Edelimfiimdi buldu¤umuz sonucun do¤rulu¤unu geriye do¤ru çal›flma stratejisiyle kontrol

edelim.Toplam sac miktar›ndan hareketle piramidin yüksekli¤i olan 4 m’ye ulaflal›m.

Piramidi oluflturan yan yüzlerden birinin alan›; 32 3 : 4 = 8 3 cm2

8 3 = 4 2 . y

2y= 4 3

2cm

h

a2 = 2 2 cm

Yandaki dik üçgende PisagorBa¤›nt›s›’ndan

h2 = y2 - ( a2

)2

h2 = -4 32

h2 = -

h2 = 24 - 8h2 = 16h = 4 m bulunur.

Yukar›daki piramit ayn› özelliklere sahip üçgen dik piramit olsayd› kaç metrekare saca ihtiyaç olurdu? Hesaplay›n›z.

aa

a

y

a2

a2

a

y

4

a

a2 a

2

24 2

2

2

= 8 3 cm2

Taban› 4 2 cm, alan› 8 3 cm2 olan üçgensel bölgenin yüksekli¤inin uzunlu¤unu bulalım.

y= cm4 3 2

146

1 Piramitler isimlendirilirken nelere dikkat edilmelidir? Açıklayınız.

2 Yandaki kare piramidin yüzey alan›n› harfli olarak ifade ediniz.

3 Taban› dikdörtgensel bölge olan dik piramidin taban›n›n kenar uzunluklar› 6 cm, 2 cm ;yüksekli¤i ise 4 cm’dir. Bu piramidin yüzey aç›n›m›n› çiziniz.

4 Yüksekli¤i 4 cm ayr›t uzunluklar› birbirine eflit ve 6 cm olan kare dik piramit fleklindekiyap›t›n yüzey alan›n›n kaç santimetrekare oldu¤unu bulunuz.

5 Yüzey alan› (54 + 8 5 ) cm2 olan yandaki dik piramidincisim yüksekli¤ini bulunuz. Bu soruyu çözmek için verilenbilgilerden hangisine ya da hangilerine gerek yoktur?

7 A = 1250 m2

a = 10 cmb = 15 cm

Yandaki verilere uygun bir problem kurunuz ve probleminçözümünü yap›n›z.

6 Keops Piramidi’nin yüksekli¤i 146 m’dir. 52 900 m2 alan› kapsayan bu kare dik piramidinyüzey alan›n› hesap makinesi kullanarak hesaplay›n›z.

h

a

4 cm6 cm

5 cm

2 5 cm

UYGULAMAUYGULAMA

147

1) Piramidin tepenoktasını tabanmerkezine (ağırlıkmerkezi) birleştirendoğru parçası tabanadik ise dik piramittir.

3) Dik piramidin yüzeyalanını bulmak içintaban ve yan yüzlerinalanını bilmek gerekir.

2) Piramidin temelelemanları; tepenoktası, tabanı,yüksekliği, yan yüzlerive ayrıtlarıdır.

4) Dik piramitler taban-larında bulunan çokgenselbölgelerle adlandırılır.

5) Yan yüzlerin alanınıbulmak için piramidinyükseklik uzunluğununbilinmesi yeterlidir.

6) Kare dik piramitlerin yanyüzlerini oluşturan üçgenselbölgeler eşkenar üçgenselbölgelerdir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Yükseklikleri ve tabanalanları eş olan kare dikpiramitle, kare dikprizmanın yüzey alanlarıeşittir.

Kare dik piramit fleklinde tasarlanm›fl yak›t deposunun flekli afla¤›da verilmifltir. Bu deponunyan yüzlerinde çelik levhalar kullan›lacakt›r. %5 fire verece¤i düflünülerek en az kaç metrekareçelik levha siparifl edilece¤ini hesaplay›n›z.

30Çalışma

8


9

25m

20m

20m


Araç ve Gereç

148

Dik Dairesel Koninin Yüzey Alan›

Dik Koninin Alan›

Dik dairesel koninin yüzey alan›n› hesaplayabilmek içinhangi uzunluklar gereklidir? Tart›fl›n›z.

•Kâ¤›ttan dik dairesel koni modeli •Makas

Dik dairesel koni için yüzey alan ba¤›nt›s›n› nas›l oluflturursunuz? Tart›fl›n›z.

Koni modelinin taban› ile yanalyüzeyini keserek birbirindenay›ral›m.

Yanal yüzeyi tabandan tepe noktasına kadar keselim.

Koniyi oluflturan parçalar›n aç›n›mlar› hangi geometrikflekillerden oluflmaktad›r? Aç›klay›n›z.

Yanda aç›n›m› ve ölçüleri verilen dik koninin yüzey alan›n›hesaplayal›m. Koninin yüzey alan›n› tahmin edelim. Tahmindeπ’yi yaklafl›k olarak 3 alal›m.

Daire kesmesi (sektör) çeyrek dairedir. Bu çeyrek dairenin alan›

=

= 48 cm2 olur.

Dairenin alan›: π.r2 = 3. 22 = 12 cm2

Koninin yüzey alan›n›: 48 + 12 = 60 cm2 olarak tahmin edebiliriz.

a=8cm

r=2cm

Aç›n›m› verilen koninin yüzey alan›;taban alan + yanal alan = π r2 + π a2 .

Osmanl›-Türk mimarisinin en büyük eserlerinden biriolan Selimiye Camisi Mimar Sinan taraf›ndan zaman›nbaflkenti olan Edirne’de yap›lm›flt›r. Caminin dört minaresi,bir kubbesi bulunmaktad›r. Her minarenin yüksekli¤i 79,89m, kubbesinin çap› ise 31,28 m’dir. Minarenin bölümlerindenbiri olan en üstteki koni biçimindeki k›sm› minarenin çat›s›d›rve kurflun kaplamad›r. Bu kurflun kapl› bölgelerin alanlar›n›bulabilmek için hangi bilgilere ihtiyaç vard›r?

a

r

ÖRNEKÖRNEK

ba¤›ntısı ile bulunur.

fiimdi de π’yi 3,14 alarak koninin alan›n› hesaplayal›m.Daire kesmesinin alan›: π.a2 . = 3,14.82. = 50,24 cm2

Dairenin alan›: πr2 = 3,14. 22 = 12,56 cm2

Koninin yüzey alan›: 50,24 + 12,56 = 62,8 cm2

Tahmin: 60 cm2

Koninin alan›: 62,8 cm2

149


Trafikte sürücüleri uyarmak için çeflitli uyar› iflaretleri kullan›l›r. Bunlardanbiri de “trafik konisi”dir. fiekildeki trafik konisinin yüksekli¤i 48 cm, konininyanal yüzeyini oluflturan daire kesmesine ait merkez aç›n›n ölçüsü = 100,8ºdir. Karesel bölge fleklindeki taban›n›n bir kenar› 36 cm, taban içindeki çemberinçap uzunlu¤u ise 28 cm’dir. ‹çi bofl olan bu konilerden üretmek istersek birtrafik konisi için kaç santimetre kare plastik malzemeye ihtiyaç duyar›z? Bulal›m(π = 3 alal›m.).

Plan Yapal›mProblemi çözmek için önce trafik konisinin yanal alan›n› hesaplamal›y›z. Sonra taban›

oluflturan karesel bölgenin alan›n› buluruz. Koninin içi bofl oldu¤undan karesel bölgeninalan›ndan koninin taban alan›n› ç›kar›r›z. Taban ç›k›nt›s›n›n alan› ile koninin yanal alan›n›toplayarak gerekli plastik malzeme miktar›n› bulmufl oluruz.

Problemi Anlayal›mTrafik konisinin taban çap uzunlu¤u 28 cm, yüksekli¤i ise 48 cm verilmifl. Koninin içi

bofl ve taban› oluflturan çemberin çevresinde kare fleklinde ç›k›nt› vard›r. Bu kareselbölgenin bir kenar› ise 36 cm verilmifltir. Bir trafik konisini üretmek için kaç santimetre kareplastik malzeme gerekti¤i soruluyor.

Yar›çap› 6 cm olan dairebiçimindeki bir kartondan merkezaç›s›n›n ölçüsü 300º olan bir dairedilimi kesilmifltir. Kesilen kartonunkenarlar› bir birine uç ucayap›flt›r›larak dik dairesel konininyanal yüzeyi elde edilmifl vetaban›na yap›flt›r›lan dairesel bölgeile bir koni oluflturulmufltur. Oluflankoninin yüzey alan›n› bulal›m.

300º

Ta = 6 cm

A

B

T

A B

a = 6 cm

Dairenin çevre uzunlu¤u koninin yanal yüzünün taban›n›n çevre uzunlu¤una eflittir.Buna göre;

2 . π . r = 2 . π . a .

Daireninçevre

uzunlu¤uKoninin yanal

yüzünün taban›n›nçevre uzunlu¤u

2 . 3,14 . r = 2 . 3,14 . 6 . 300360

5

6

1

1

6,28 . r = 31,4r = 5 cm olarak bulunur.

= π r2 + π a2 .

= 3,14 . 52 + 3,14 . 62 . 300360

= 78,5 + 94,2= 172,7 cm2’dir.

5

6

Koninin yüzey alan› = Taban alan› + Yanal alan›

150Kontrol Edelimfiimdi buldu¤umuz yanal alan de¤erinin do¤rulu¤unu kontrol edelim.

Yanal yüzeyi oluflturan daire kesmesine ait merkez açısının ölçüsünü bulal›m:

a = 50 cm

2 .π . r . = 2 . π . a .

2 . 3,14 . 14 = 2 . 3, 14 . 50

= 100,8º

Buldu¤umuz de¤er soruda verilen aç›yla ayn›d›r.Çözümümüz do¤rudur.

“Taban›n›n çap uzunlu¤u 20 cm, yüksekli¤i 30 cm olan dik dairesel konifleklinde bir flapkan›z var.” Bu verileri kullanarak bir problem kurunuz veçözünüz.

1 Yan yüzeyi flekilde verilen dik dairesel koninin yanal alan›n›bulunuz (π = 3 al›n›z.).

UYGULAMAUYGULAMA

Daire kesmesinin alan›; πr2 . = 3 . (502) . 100,8360

= 2100 cm2,

koninin yanal alan›, 2100 cm2 dir.

a2 =142+ 482 a2 = 2500 a = 50 cm olarakbulunur.

Koninin aç›n›m›n› çizerek yanal yüzey alan›n›bulal›m.48 cm

14 cm

a

Trafik konisi için 2100 + 708 = 2808 cm2 plastik malzemeye ihtiyaç vard›r.

r=14 cm

Koninin taban ç›k›nt›s›n›n alan›n› bulal›m.Karesel bölgenin alan› : 362 = 1296 cm2

Koninin taban alan›: π . r2 = 588 cm2

Taban ç›k›nt›s› alan›: 1296 - 588 = 708 cm2

36 cm

36 cm

a = 50 cm

14 cm

= 100,8º

Plan› Uygulayal›mTaban çemberinin çap› uzunlu¤u 28 cm olan koninin yar›çap uzunlu¤u 14 cm’dir.

Yüksekli¤i 48 cm olan koninin ana do¤rusu (a) Pisagor Ba¤›nt›s›’ndan,

a = 6 cm

240º

151

2

5 Yüksekli¤i 10 cm, taban yar›çap uzunlu¤u 6 cm olan ve [AB] ekseniboyunca kesilerek oluflturulan yar›m koninin yüzey alan›n› bulunuz.

1) Dik dairesel bir konibir daire ve bir dairediliminden oluşur.

3) Bir dik konininaçınımında tepeaçısının ölçüsübüyüdükçe tabanalanı da büyür.

2) Bir dik koninin yanalyüzey alanını bulabilmekiçin açınımdaki sektörünmerkez açısının ölçü-sünü bilmemiz yeterlidir.

4) Bir dik koninin yanalyüzeyinin alanı taban alanınınher zaman iki katıdır.

5) Koninin yüzey alanıtaban ve yanal alanlarınçarpımına eşittir.

6) Dik koninin yanal yüzeyinioluşturan sektör yayınınuzunluğu, koninintabanındaki çemberin çevreuzunluğuna eşittir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7)Dik koninin anadoğrusunun uzunluğu aynızamanda konininyüksekliğinin uzunluğunaeşittir.

31Çalışma


6

A

CB

Bir dik dairesel koninin yüzey alan›n› hesaplayabilmek için hangi veriler gereklidir? Dikdairesel koni modeli üzerinde bu verileri gösteriniz. Bu verileri kullanarak bir problemkurunuz ve çözünüz.

3 Yanda bir dik dairesel koninin yüzey aç›n›m› verilmifltir. Bu dikdairesel konide r = 3 cm, merkez aç› = 180º ve dik daireselkoninin yüzey alan› 81 cm2 oldu¤una göre ITBI = a uzunlu¤ukaç cm’dir?

180º

r = 3 cmO

TA Ba

4 Yanda verilen dik dairesel koninin yüzey alan›n›hesaplayabilmek için baflka hangi veriye ihtiyaçvard›r?

O

a

T

BA


Araç ve Gereç

Kürenin Yüzey Alan›

Küreyi Kaplayal›m

Küre modelinin en büyük dairesini kâ¤›tüzerine çizip kâ¤›d› keselim.Bu daireyi sekiz efl sektöre ay›r›p tekrarkeselim.Kesti¤imiz sektörleri, kürenin yüzeyinebirlefltirerek yap›flt›ral›m.

Kürenin yüzey alan ba¤›nt›s›n› oluflturunuz. Nas›l oluflturdu¤unuzu aç›klay›n›z.

Yap›flt›rd›¤›n›z daire dilimlerinin kürenin yaklafl›k olarak ne kadar›n›kaplad›¤›n› tahmin ediniz.

Yar›çap› r olan kürenin yüzey alan›, en büyük dairesinin alan›n›n 4 kat›d›r.Kürenin yüzey alan›: 4.(π . r2)

Büyük çemberinin çevre uzunlu¤u 204,1 cm olanjimnastik topunun yüzey alan›n› hesaplayal›m(π = 3,14 alal›m.).Jimnastik topunun yar›çap uzunlu¤unu bulal›m:

Ç = 2.π.r204,1 = 2.(3,14).r

r = 32,5 cmJimnastik topunun yüzey alan›:4π r2 = 4.(3,14).(32,5)2

= 13266,5 cm2

= 1,32665 m2

1,3 m2 dir.

152

Do¤ada yaflam mücadelesinde olan insanlar ya¤mur,kar, rüzgâr veya güneflten korunmak için bar›naklara ihtiyaçduyarlar.

Afl›r› so¤uk iklimlerde, yani kutuplarda ya¤an karlardonarak sertleflir ve dirençleri artar. Eskimolar evlerini busebeple buzdan kubbe fleklinde yaparak “iglo” olarakadland›rm›fllard›r. Çap uzunlu¤u yaklafl›k 3 m olan bir iglonunyüzey alan›n› tahmin ediniz.

•Küre modeli •Kâ¤›t •Makas •Yap›flt›r›c›

ÖRNEKÖRNEK

Plan Yapal›mProblemi çözmek için önce bir futbol topunun yüzey alan›n› bularak 300 adet futbol

topu için kaç m2 lik deri kullan›laca¤›n› hesaplamal›y›z. Elde etti¤imiz sonuçla 20 TL’likde¤eri çarparak futbol toplar›n›n yüzeyini kaplamak için kaç liral›k deri gerekti¤ini ö¤renmifloluruz.

Plan› Uygulayal›mBir futbol topunun çap uzunlu¤u 25 cm oldu¤una göre yar›çap› uzunlu¤u 12,5 cm’dir.

Bir futbol topunun yüzey alan›: 4πr2 = 4.(3,14).(12,5)2 = 1962,5 cm2 dir.300 adet futbol topunun yüzey alan›: 300.(1962,5) = 588750 cm2 = 58,875 m2 dir.1 m2 deri 20 TL oldu¤una göre; 58,875 m2 deri için (58,875)x20 =1177,50 TL gerekir.

Kontrol Edelim Buldu¤umuz sonucun do¤rulu¤unu, geriye do¤ru çal›flma stratejisiyle kontrol edelim.

Tüm toplar› kaplamak için 1177,50 TL’lik deri gerekiyor. Metrekare fiyat› 20 TL olanderilerden kaç m2 kullan›ld›¤›n› bulal›m:

1177,50:20 = 58,875 m2 lik deri kullan›lm›fl.58,875 m2 lik deri 300 adet top için kullan›ld›¤›na göre bir adet futbol topu için,58,875:300 = 0,19625 m2 lik deri kullan›l›r.0,19625 m2 =1962,5 cm2 dir.

Yüzey alan› 1962,5 cm2 olan futbol topunun yar›çap uzunlu¤u bulal›m:4.(3,14).r2 = 1962,5 ise r2 = 156,25

r = 12,5 cm’dir.

Yar›çap› uzunlu¤u12,5 cm olan futbol topunun çap› ise 12,5x2 = 25 cm’dir. Böylecebuldu¤umuz 1177,50 TL sonucunun do¤rulu¤unu oldu¤unu kontrol etmifl olduk.

1 Büyük dairesinin alan› 258 cm2 olan kürenin yüzey alan›n› bulunuz (π= 3 al›n›z.).

153

2 Taban› kürenin büyük dairesinde olmak üzere kürenin içine taban yar›çap› ve yüksekli¤ieflit ve ana do¤rusu 9 2 cm olan bir koni yerlefltiriliyor.

a) Kürenin yar›çap› uzunlu¤u bulunuz.b) Kürenin yüzey alan›n› bulunuz.


Spor malzemeleri üreten bir firmaya 300 adet futboltopu siparifli verilmifltir. Derinin metrekaresi 20 TL oldu¤unagöre çap uzunlu¤u 25 cm olan futbol toplar›n›n yüzeyinikaplamak için kaç Türk Lirası deri kullanmak gerekir?

Problemi Anlayal›mÇap uzunlu¤u 25 cm olan futbol toplar›ndan 300 adet

üretilece¤i belirtilmifl, derinin metrekare fiyat› 20 TL verilmifl,300 adet futbol topu için kaç TL’lik deri gerekti¤i soruluyor.

UYGULAMAUYGULAMA

1) Kürenin yüzey alanıen büyük daireninçapı ile doğru orantılıolarak değişir.

3) Kürenin yarıçapınıbelirleyen daire,kürenin merkezindengeçen dairedir.

2) Kürede bulunan enbüyük daireninyarıçapı küreninyarıçapının yarısınaeşittir.

4) Yüzey alanları oranı olankürenin yarıçaplarıoranı da ’ tür.

5) Yarıçapı r olan yarımkürenin yüzey alanı 3π r2 dir.

6) Küre yüzeyi düz bir yüzeyhâline getirilemez.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Büyük dairenin çapı10 cm olan kürenin yüzeyalanı 1256 cm2 dir.

154

3 Yar›çap› uzunlu¤u 1,35 cm olan kürenin yüzey alan›n› yaklafl›k olarak bulunuz (π= 3 al›n›z.).

4 Yar›çap› uzunlu¤u 5 cm, yüksekli¤i 20 cm olan dik silindirin içine yar›çap› uzunlu¤u 4 cmolan küre fleklinde toplar konulacakt›r.

a) Bu silindire en fazla kaç adet top konulabilir?b) Toplar›n yüzey alan›n›n, silindirin yüzey alan›na oran› nedir?c) Bu silindire çap› uzunlu¤u 4 cm olan toplardan en fazla kaç adet s›¤ar?

32Çalışma


5

155


1 Yüksekli¤i 6 cm olan ve taban›n›n kenar uzunlu¤u afla¤›da verilen kare dikpiramitlerin yüzey alanlar›n› bulunuz.

a) a= 4 cm b) a=8 cm c) a= 6 cm ç) a=10 cm

2 Yan yüzleri eflkenar üçgensel bölge olan kare dik piramidin yüzey alan›n›n kaçbirimkare oldu¤unu harfli olarak ifade ediniz.

3 Yanal yüzey alan› 80 cm2 ve yan yüz yüksekli¤i 5 cm olan kare dik piramidintabanının bir kenar›n›n uzunlu¤u kaç santimetredir?

4 Yandaki yar›m küre ve koniden oluflan cismin yüzey alan›n›n kaçsantimetrekare oldu¤unu bulunuz.

5 Ay’›n çap uzunlu¤u 3,476 x103 km, Dünya’n›n çap uzunlu¤u 6,730 x 103 km oldu¤una göreAy’›n ve Dünya’n›n yüzey alanlar›n› yaklafl›k olarak bulunuz.

6 Yar›çap uzunlu¤u; taban alan› 48 cm2 olan koninin yar›çap uzunlu¤unun 3 kat›na eflit olankürenin yüzey alan›n› bulunuz (π= 3 al›n›z.).

7 Yanda aç›n›m› verilen dik koninin yanal alan›n›ntaban alan›na oran›n› bulunuz.

8 Yanal alan› 10π cm2 ana do¤rusu 5 cm olan dik koninin taban alan›n› bulunuz.

r

4cm

6π

4cm

A

B C

3cm

6cm




Araç ve Gereç


Dik Piramidin Hacmi

Ülkemizin kongre ve fuar merkezlerinden biri,Antalya’daki Cam Piramit Kongre ve FuarMerkezi’dir. Renkli ›s›caml› uzay çat› ile örülerekpiramit fleklinde infla edilmifltir. 4500 m2 tabanalan›na sahip olan bu yap›n›n yerden yüksekli¤i22,76 metredir. Piramit fleklindeki bu yap›n›nhacmini yaklafl›k olarak tahmin ediniz.

Kum Piramit

Yandaki tabanlar› ve yükseklikleri efl olankare prizma (üst tabanı olmayan) ve karepiramit aç›n›mlar›n› kâ¤›da çizelim vekeselim.Noktal› yerlerden içe k›v›r›p kenarlar›n›bantla yap›flt›ral›m.Taban›ndan delik açt›¤›m›z piramidi kumile doldural›m.

Piramitteki kumu prizma modelinin içine aktaral›m.Prizma dolana kadar bu iflleme devam edelim.Doldurduktan sonra kumu boflaltalım.Prizmay› doldurma ifllemini kaç kez yapt›¤›n›z› aç›klay›n›z.Prizman›n hacminin piramidin hacmine oran›n› tahminediniz. Tahminizi nas›l yapt›¤›n›z› aç›klay›n›z.Yapt›¤›n›z ifllemlere dayanarak piramit için hacim ba¤›nt›s›n›nas›l oluflturursunuz? Tart›fl›n›z.

5 cm

5,83 cm6 cm

156

4 cm

6 cm

•Kâ¤›t •Cetvel •Makas •Bant •Kum

Yandaki dik piramidin taban› eflkenar, yanal yüzleriise ikizkenar üçgensel bölgelerden oluflmaktad›r.Taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 8 cm yükseklik uzunlu¤u15 cm, olan bu piramidin hacmini bulal›m.

8cm 8cm

4cm 4cm

h

Dik piramidin hacmi, efl tabana ve efl yüksekli¤e sahip dikdörtgenler prizmas›n›nhacminin üçte biridir.

Dik piramidin hacmi: taban alan› x yükseklik 3


Kare dik piramit fleklinde, yan yüz yüksekli¤inin yar›s›nakadar kapakla örtülmüfl bir parfüm fliflesi tasarlanm›flt›r.fiifle taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm, yan yüzyüksekli¤i ise 5 cm’dir. Kapak taban›na kadar dolu olanbu fliflenin kaç mililitre parfüm alabilece¤ini bulal›m.

Problemi Anlayal›mYan yüz yüksekli¤i 5 cm, taban›n›n bir kenar›n›n

uzunlu¤u ise 6 cm olan kare dik piramit fleklindeki parfümfliflesi verilmifl. fiifle yüksekli¤inin yar›s› kapakla örtülü,

157

Piramidin hacmi, taban alan› ile yükseklikuzunlu¤unun çarp›m›n›n üçte biridir. Taban›n›n birkenar›n›n uzunlu¤u 8 cm olan eflkenar üçgenselbölgenin alan›n› hesaplayal›m.

Önce eflkenar üçgensel bölgenin yükseklikuzunlu¤unu Pisagor Ba¤›nt›s›’n› kullanarak bulal›m:h2=82-42

h2=64-16h2=48h=4 3 cmTaban alan›: a.h

2= 8.4 3

2=16 3 cm2,

piramidin hacmi: 16 3.153

= 80 3 cm3

ÖRNEKÖRNEK

bulunur.

di¤er yar›s› ise parfümle doludur. Bu fliflenin kaç mL parfüm alaca¤›n› bulmam›z isteniyor.

158

Piramidin hacmi: taban alan› x yükseklik3

=6.6.4

3= 48 cm3

Piramit yar› yüksekli¤ine kadar kapakla örtülü oldu¤undantaban›n›n bir kenar› 3 cm, yüksekli¤i ise 2 cm’dir.

Kapa¤›n hacmi: 3.3.23

= 6 cm3

Parfüm fliflesinin hacmi: 48-6=42 cm3 tür.fiifle, 42 cm3=0,042 dm3=0,042L=42 ml parfüm al›r.

fiekil çizmenin problemin anlafl›lmas›na ve çözümüne sa¤lad›¤› katk›y› aç›klay›n›z.

Kontrol EdelimProblemi tekrar okuyarak verilen çözümü kontrol ediniz.

1 Taban› düzgün alt›gensel bölgeden oluflan dik piramidin cisim yüksekli¤i 10 cm ve birkenar›n›n uzunlu¤u 5 cm oldu¤una göre hacminin kaç santimetre küp oldu¤unu bulunuz.

2 Bir kare dik piramidin yanal yüzey alan› 192 cm2, taban alan› 144 cm2 oldu¤una görehacmini bulunuz.

3 Yükseklik uzunlu¤u taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤unun üç kat› olan kare dik piramidinhacmini harfli ifadeler kullanarak yaz›n›z.

4 Dikdörtgen dik piramidin boyutlar›,a = 3,8 cm, b = 6,3 cm, h = 9,1 cm’dir.Bu piramidin hacmini tahmin ediniz.Tahmininizi buldu¤unuz sonuçla karfl›laflt›r›n›z.

Dik piramidin hacmi ile ilgili flekil çizerek çözülebilecek bir problem kurunuz ve problemiçözünüz.

6cm6cm

h5cm

3cm

UYGULAMAUYGULAMA

Plan Yapal›mÖnce dik piramidin yükseklik uzunlu¤unu bulup hacmini hesaplamal›y›z. Daha sonra

kapak k›sm›n›n ölçülerini bulup hacmini hesaplamal›y›z. Hesaplad›¤›m›z bu iki de¤erinfark›n› al›p parfümün hacmini mL cinsinden buluruz.

Plan› Uygulayal›mPisagor Ba¤›nt›s› kullan›ld›¤›nda yükseklik uzunlu¤u: h2 = 52-32

h2 =16 h = 4 cm bulunur.

b

h

a

159

5 Yandaki flekilde verilen kare dik piramit fleklindeki depoya300 m3 bu¤day kondu¤unda deponun yar›s› dolmufltur.Depoda daha önce kaç metre küp bu¤day vard›r?

15 m

20 m

1)Taban alanı ileyükseklikleri eş olanpiramit ile prizmanınhacimleri aynıdır.

3) Düzgün altıgenpiramidin hacminieşkenar üçgenpiramidin hacmindenyararlanarakbulabiliriz.

2) Taban alanı ve yanyüzleri oluşturanüçgensel bölgelerinyükseklikleri bilinen birkare piramidin hacmihesaplanabilir.

4) Tabanı yamuksal bölgeolan piramidin hacim hesabıiçin tabanının yüksekliği vecisim yüksekliğinin uzunluğubilinmelidir.

5) Taban alanları ve hacimleriaynı olan bir piramit ile birprizma karşılaştırıldığında;piramidin yüksekliğininprizmanın yüksekliğineoranının 6 olduğu sonucunavarılır.

6) Hacmi 8 cm3, taban alanı4 cm2 olan prizmanınyüksekliği 2 cm’dir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Taban alanı 2 cm2,yüksekliği 2 cm olanpiramidin hacmi cm3 tür.

6 Yandaki de¤erleri kullanarak bir problem kurunuz ve çözünüz. a=6 cmh=8 cm

33Çalışma

7 Afla¤›da birbiriyle ba¤lant›l› do¤ru / yanl›fl cümleler verilmifltir. fiemadaki cümlelerde do¤ruoldu¤u belirtilen yarg› yanl›fl, yanl›fl oldu¤u belirtilen yarg› do¤ru olabilir. Her bir do¤ru / yanl›flkarar› sizi farkl› ç›k›fllara ulaflt›r›r. Buna göre afla¤›daki ç›k›fllardan birine ulafl›n›z.


Araç ve Gereç

160

Dik Dairesel Koninin Hacmi

Taban çevresi 31,4 cm olan koninin yüksekli¤i 21 cm’dir. Bu konininhacmini bulal›m:

Taban uzunlu¤u = 2π.r31,4 = 2.(3,14).r r = 5 cm

Taban alan› = π . r2 = (3,14).52 = 78,5 cm2

(78,5).213

Koninin hacmi = = = 549,5 cm3

Koninin hacmi =π . r2. h

3=silindirin hacmi

3

Bir dik koninin hacmi, efl taban ve efl yüksekli¤e sahip silindirinhacminin üçte biridir.

h

rO

Doldur Boflalt

Kâ¤›t, pergel, makas, cetvel ve yap›flt›r›c› kullanarak efl taban veefl yükseklikte dik dairesel koni ve dik silindir modelleri olufltural›m.Silindir modelini kum ile tamamen doldural›m.Silindirdeki kumdan, koni modelini dolduracak kadar kum aktaral›m.Bu iflleme silindir boflal›ncaya kadar devam edelim.Silindirdeki kumla koniyi kaç kez doldurdunuz?Efl taban ve efl yükseklikli koninin hacminin, dik silindirin hacmineolan oran›n› bulunuz. Nas›l buldu¤unuzu aç›klay›n›z.Koninin hacim ba¤›nt›s›n› nas›l oluflturursunuz? Tart›fl›n›z.

•Kâ¤›t •Pergel •Makas •Cetvel •Yap›flt›r›c› •Kum

Tarihi çok eski zamanlara dayanan dondurma,insanlar›n serinlemek, ferahlamak ve mutluolmak için kar, çeflitli meyveler ve balkar›fl›m›ndan elde ettikleri bir yiyecekti.Günümüzde süt ve meyvelerden haz›rlanandondurmalar genellikle külahlarla servis edilir.‹çine konan dondurman›n eriyip a¤z›na kadardoldurdu¤u bir dondurma külah›n›n hacminihesaplayabilir misiniz?

21cm

rO

ÖRNEKÖRNEK

161


Problemi Anlayal›mProblemde koni fleklindeki sark›tlar›n çaplar› ile yükseklikleri ve sark›t› oluflturan buzun

yo¤unlu¤u ile ilgili ölçüler verilmifltir. Bu üç sark›t›n a¤›rl›klar›n› bulmam›z isteniyor.

Plan Yapal›mÖnce koni fleklindeki sark›tlar›n hacimlerini hesaplar›z. Hesaplad›¤›m›z cm3 cinsinden

hacimler ile buzun öz kütlesini çarparak sark›tlar›n a¤›rl›¤›n› buluruz.

Plan› Uygulayal›mKoni fleklindeki sark›tlar›n flekilleri, hacimleri ve kütleleri afla¤›dad›r.

r=6cm

h = 20cm

r=7cm

h = 21cm

r=7cm

h = 21cm

r=9cm

h = 30cm

Hacim

π . r2. h3

(3,14).62 . 203

= 753,6 cm3

(3,14).72 . 213

= 1077,02 cm3

(3,14).92 . 303

= 2543,4 cm3

Kütle =Hacim x yo¤unluk

(753,6) x (0,918)= 691,804 g≈ 692 g

(1077,02) x (0,918)= 988,70436 g≈ 989 g

2543,4 x (0,918)= 2334,8412 g≈ 2335 g

fiekil

Kontrol EdelimYap›lan ifllemlerin do¤rulu¤unu strateji kullanarak kontrol ediniz.

Sark›tlar›n yar›çaplar› iki kat›na ç›kar›l›r, yükseklikleri yar›ya düflürülürse kütlelerinde nekadarlık bir de¤iflim olur? Tart›fl›n›z.

Külah, çekirdek, 8 cm ve 12 cm ifadelerini kullanarak bir problemkurunuz ve çözünüz.

Ya¤murlu ve karl› havalarda havas›cakl›¤› 0ºC’nin alt›na düfltü¤ü zamançat›larda koni fleklinde sark›tlar oluflur.Yanda verilen resimdeki çat›da oluflanüç sark›t›n taban yar›çap uzunlu¤u6 cm, 7 cm, 9 cm; yükseklikleri ise20 cm ve 21 cm ile 30 cm’dir. Buzunöz kütlesi (yo¤unlu¤u) 0,918 g/cm3

oldu¤una göre üç sark›t›n a¤›rl›¤›n›bulunuz.

162

1 Bir dik koninin taban alan› 25 cm2 ve hacmi 100 cm3 oldu¤una göre yüksekli¤i kaçsantimetredir?

2 Bir dik silindirin içine taban çap› ve yüksekli¤inin uzunlu¤u silindirin taban çapının veyükseklik uzunlu¤unun yar›s› olan bir dik koni yerlefltiriliyor. Koninin hacminin silindirinhacmine olan oran›n› bulunuz.

3 Yüksekli¤i 10 cm, taban yar›çap› uzunlu¤u 5 cm olan dik koni fleklindeki kaba, bir kenar›n›nuzunlu¤u 5 cm olan küp fleklindeki kapla kaç kez su boflalt›l›rsa koni fleklindeki kap dolmuflolur? (π = 3 al›n›z.)

4 Afla¤›da yar›çap› ve yükseklik uzunlukları verilen dik konilerin hacimlerinin oran› hakk›ndane söyleyebilirsiniz?

a) r= 3 cm b) r= 5 cm h= 5 cm h= 3 cm

5 Yandaki verileri kullanarak bir problem kurunuz ve çözünüz. r= 2,5 cmh= 3,5 cm

1)Taban alanları veyükseklik uzunluklarıeşit olan dik koniyle diksilindirin hacimlerininoranı ’ tür.

3) Taban yarıçapı uzunluğu3 cm, yüksekliği 15 cmolan dik koni şeklindekiyağdanlığa 4,05 cm3yağ konulur.

2) Hacimleri eşit olan Ave B konilerinin yarıçapuzunluklarının oranırArB

= 3 ise yüksekliklerinin

oranı hAhB

=

19

’dur.

4) Yarıçapı uzunluğu 4 cmolan koni ile tabanının birkenar uzunluğu 8 cm olan birkare piramidin yükseklikleriuzunluğu eşit ise konininhacmi daha küçüktür.

5) Aynı tabana veyüksekliğe sahip silindirile koninin hacimleriaynıdır.

6) Koni şeklinde bir hediyeen az boşluk kalacak şekildedikdörtgenler prizmasışeklindeki bir kutuyakonabilir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Yarıçapı uzunluğu4 cm ve yükseklik uzunluğu9 cm olan dik koninin hacmiπ, 3 alındığında yaklaşık432 cm3 tür.

34Çalışma

6 Afla¤›da birbiriyle ba¤lant›l› do¤ru / yanl›fl cümleler verilmifltir. fiemadaki cümlelerde do¤ruoldu¤u belirtilen yarg› yanl›fl, yanl›fl oldu¤u belirtilen yarg› do¤ru olabilir. Her bir do¤ru / yanl›flkarar› sizi farkl› ç›k›fllara ulaflt›r›r. Buna göre afla¤›daki ç›k›fllardan birine ulafl›n›z.

UYGULAMAUYGULAMA


Araç ve Gereç

163

Kürenin Hacmi

Kürenin hacmi: π . r3 tür.

Pinpon Topu ve Kutusu

Pinpon topuna te¤et olacak flekilde bir silindirmodeli olufltural›m.Pinpon topunu delerek kumla doldural›m.Pinpon topundaki kumu art arda silindirin içineboflaltal›m.Pinpon topunun hacminin, silindirin hacmininkaç kat› oldu¤unu tart›fl›n›z.

•Pinpon topu •Kâ¤›t •Makas •Yap›flt›r›c› •Kum

Kürenin hacim ba¤›nt›s›n› oluflturunuz. Bu sonuca nasıl ulafltı¤ınızı aç›klay›n›z.

Camdan yap›lm›fl bir küre hediye olarak al›n›yor. Bir kenar›n›nuzunlu¤u 30 cm olan küp fleklindeki kutuya konuluyor. Kutudabofl kalan k›s›mlara ise kürenin zarar görmemesi için ambalajköpükleri dolduruluyor. Kürenin yar›çap uzunlu¤u 12 cm oldu¤unagöre ambalaj köpüklerinin hacmini bulal›m.


Çap uzunlu¤u 30 cm olan küre fleklindeki bir akvaryumunyar›s›na kadar dolduruldu¤unda alaca¤› suyun kaç litreoldu¤unu bulal›m.

Kürenin hacmi: . π . r3 = . (3,14).153 = 14 130 cm3

Yar›m kürenin hacmi: 14 130 : 2 = 7065 cm3 = 7,065 dm3

= 7,065 L

Üzüm, sa¤l›k ve flifa kayna¤›d›r. ‹çerisindekibir çok vitamin ve mineral, ba¤›fl›kl›k sistemimizingüçlenmesinde etkili rol oynamaktad›r. Çap›yaklafl›k 1 cm olan bir üzüm tanesi yaklafl›k 7ggelmektedir. Bu üzüm tanesinin öz kütlesinihesaplayabilir misiniz?

ÖRNEKÖRNEK

r

164

Problemi Anlayal›mYar›çap› uzunlu¤u 12 cm olan küre fleklindeki hediye, bir kenar›n›n uzunlu¤u 30 cm

olan küp fleklindeki kutuya konmufl. Camdan yap›lm›fl kürenin zarar görmemesi içinboflluklar ambalaj köpükleriyle doldurulmufl. Ambalaj köpüklerinin hacmi soruluyor.

Plan Yapal›mAmbalaj köpüklerinin hacmini bulmak için küp fleklindeki kutunun hacminden kürenin

hacmini ç›karmam›z yeterlidir.

Plan› Uygulayal›mKürenin hacmi:

πr3 =

. (3,14) . (12)3 = 7234,56 cm3

Küpün hacmi: (30)3 = 27 000 cm3

Ambalaj köpüklerinin hacmi: 27000-7234,56=19765,44 cm3

Kontrol Edelim

Yap›lan ifllemin do¤rulu¤unu kontrol ediniz.

“Kubbe, 20 m, alan, hacim” verilerini kullanarak bir problem kurunuz ve çözünüz.

1 Büyük çemberinin çevre uzunlu¤u 66 m olan bir kürenin hacmini ve yüzey alan›n› bulunuz(π = 3 al›n›z.).

2

3

Yandaki yar›çap› 5 cm, yüksekli¤i 34 cm uzunlu¤unda olan diksilindir fleklindeki fanusa, büyük dairesinin yar›çap› 4 cm olan dörtadet küre fleklinde mavi bilye yerlefltiriliyor. Fanus içinde kalanbofllu¤a ise beyaz renkli boncuklardan doldurularak masa süsüoluflturulmak isteniyor. Beyaz boncuklar kaç santimetreküp yereyerleflecektir (π = 3 al›n›z.)?

4

r1= 4 cmr2= 8 cm

Yandaki verilere uygun bir problem kurarak çözümünü yap›n›z.

Yanda ayn› kalitede küre fleklindeki elmalar›n boyutlar› ve hergruba ödenecek tutar yaz›lm›flt›r. Kârl› bir al›flverifl yapmakaç›s›ndan hangi elma grubunu tercih edersiniz? Neden?

1 TL

3,5 cm

r

1 TLa 3 cm

r r

a

a

a

UYGULAMAUYGULAMA

165

5

Yar›çaplar› oran› olan iki kürenin hacimlerinin oran›n› bulunuz.6

1) n tane konininhacminden hareketederek küreninhacmini bulabiliriz.

3) Yarıçapları aynıolan bir silindir ilekürenin hacimlerioranı ’dir.

2) Küreyi oluşturan eşkonilerin yarıçapı aynızamanda kürenin deyarıçapını oluşturur.

4) İki kürenin yarıçapuzunlukları oranı ise

hacimleri oranı ’ dir.

5) Bir kürenin yarıçapuzunluğu biliniyorsa hacmihesaplanabilir.

6) Kürenin hacmi, yarıçapuzunluğu ile doğru orantılıolarak artar ya da azalır.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Birinin yarıçap uzunluğudiğerinin yarıçap uzunluğu-nun 3 katı olan kürelerinhacimleri farkı 7’ dir.

35Çalışma

Afla¤›da birbiriyle ba¤lant›l› do¤ru / yanl›fl cümleler verilmifltir. fiemadaki cümlelerde do¤ruoldu¤u belirtilen yarg› yanl›fl, yanl›fl oldu¤u belirtilen yarg› do¤ru olabilir. Her bir do¤ru/yanl›flkarar› sizi farkl› ç›k›fllara ulaflt›r›r. Buna göre afla¤›daki ç›k›fllardan birine ulafl›n›z.

7

Yandaki resimde küre fleklindeki bir kavunun yar›s›na ait kesit verilmifltir.Kavunun kabuklu iken yar›çap› uzunlu¤u 11 cm, kabu¤u soyuldu¤undaise yar›çap› uzunlu¤u 10 cm’ dir. Yar›m kavun flekilde gösterildi¤i gibitepesinden 200 lik açılarla dilimlere ayrılacaktır.Buna göre (π = 3 al›n›z.);

a) Yar›m kavun kaç dilime ayr›lm›fl olur?b) Yar›m kavunun hacmini bulunuz.c) Kabuksuz servis edilen bir kavun diliminin hacmini hesaplay›n›z.ç) Bu kavun tüm olsayd› kabuklar› kaç cm3 olurdu?

166


1 Bir piramidin hacmi 50 m3 tür. Yüksekli¤i ve taban› bu piramitle ayn› olan prizman›n hacminibulunuz.

2 Bir dikdörtgen dik piramidin taban›n›n uzun kenar›nın uzunlu¤u, k›sa kenar›nın uzunlu¤undan5 cm fazlad›r. Yüksekli¤i 7 cm ise hacmini k›sa kenara ba¤l› olarak bulunuz.

3 Yandaki ölçüleri verilen eflkenar dörtgen piramidin yüksekli¤i5 cm oldu¤una göre bu piramidin hacmini hesaplay›n›z. Sorudafazla veri var m›d›r? Varsa hangisidir?

4 Küre fleklindeki bir karpuzun yarısının resmi yandaverilmifltir. Verilen de¤erlere göre karpuzun kabukkısmının hacmi ne olur?

5 Yükseklikleri ayn› olan iki piramidin hacim hesaplamaları ayn› olmas›na ra¤men sonucunfarkl› olmas›n›n sebebini aç›klay›n›z.

6 ‹çinde bir miktar süt bulunan silindir fleklindeki bir tencerenin içine, sütün kaynarkentaflmas›n› engellemek amac›yla bir cam küre konuyor. Yar›çap› 3 cm olan bu cam küre,tencerenin içine konuldu¤unda tencere tam olarak doluyor. Tencerenin yar›çap› 10 cm,yüksekli¤i 20 cm oldu¤una göre cam küre konulmadan önce tencerede bulunan sütünhacmi kaç santimetreküptür (π = 3 al›n›z.)?

a

3cm

2cm



15cm

14cm


Araç ve Gereç


Perspektif Çizimi

Bir Nokta Perspektifi

•Dikdörtgenprizmas›fleklindeki kutu •Cetvel •Kâ¤›t •Kalem

Perspektif çizimini yapaca¤›m›z kutuyu, ön yüzü ileüst taban› görünecek flekilde yerlefltirelim.Kutunun ön yüzü için, kâ¤›t düzlemine bir dikdörtgençizelim.Dikdörtgenin üst taraf›na, dikdörtgene paralelolacak flekilde yatay bir do¤ru çizelim.Dikdörtgenin taban›n›n orta noktas› hizas›nda olacakflekilde, do¤ru üzerinde bir nokta belirleyelim.

Belirledi¤imiz noktaya, dikdörtgenin dörtköflesinden, noktal› do¤ru parçalar› çizelim.Noktal› do¤ru parçalar› aras›nda kalacakve yatay do¤ruya paralel olacak flekildedo¤ru parças› çizip kutunun üst tabanayr›tlar›n› olufltural›m.Arkada sakl› duran di¤er dikey ve yataydo¤ru parçalar›n›, noktal› olarak çizelim.Fazlal›klar› silerek çizimi tamamlayal›m.Kutuya, ön yüzü ile alt taban› görünecekbiçimde bakarsan›z perspektif çizimini nas›lyapman›z gerekir? Tart›fl›n›z.Kâ¤›t düzlemine paralel olan kutuya öndenbakmak yerine sa¤dan veya soldanbakarsan›z kutunun hangi yüzleri görünür?Bu görünümlerin perspektif çizimini nas›lyapars›n›z? Tart›fl›n›z.

Geometrik cisimlerin herkes taraf›ndan kolayca anlafl›labilmesiiçin genel olarak üç yüzünü birden gösteren perspektif çizimleryap›l›r. Perspektifte, cisimler bizden uzaklaflt›kça küçülmüflve renkleri solmufl gibi görünür.

Zeminin bitti¤i yerde, gökyüzüyle birleflen çizgiye“ufuk çizgisi”, gözümüzden uzaklaflt›kça birlefliyormuflgibi görünen çizgilere “kaybolunan do¤rular”,kaybolunan do¤rular›n birlefliyormufl gibi göründü¤ünoktaya da “kaybolunan nokta” denir.

Verilen resmi inceleyerek ufuk çizgisi, kaybolunando¤rular ve kaybolunan noktay› gösteriniz.

167

AnahtarKavramlar

• Perspektif• Ufuk çizgisi• Kaybolunan nokta• Kaybolunan do¤ru

168

Yukar›da, sayfa düzlemine paralel olan kutunun farkl› aç›lardan görünümleri verilmifltir.Kutunun bu görünümlere göre perspektif çizimini yapal›m.

I. kutunun sa¤ üstten görünümü verilmifltir. Kutunun ön yüzü için bir dikdörtgen çizeriz.Dikdörtgenin üst taraf›nda bir do¤ru (ufuk çizgisi) belirleriz. Do¤runun üzerinde, dikdörtgeninsa¤ taraf›nda bir nokta (kaybolunan nokta) seçeriz. Dikdörtgenin köflelerinden kaybolunannoktaya do¤ru parçalar› (kaybolunan do¤ru) çizeriz. Üst taban ile sa¤ yan yüz ve arkadakalan ayr›tlar› belirleyip fazlal›klar› silerek çizimi afla¤›daki aflamalarla tamamlar›z.

Kaybolunan nokta

Ufuk çizgisi

II ve III. kutunun çizimleri ise afla¤›daki gibi yap›l›r.

II. kutuKutuya sol alttan bak›lmaktad›r. Ufukçizgisi çizimin alt›nda, kaybolunannokta ise sol tarafa al›n›r. Buna göreçizim afla¤›daki gibidir.

III. kutuKutuya önden bak›lmaktad›r. Ufukçizgisi çizimin üstünde, kaybolunannokta ise ortadan al›n›r. Buna göreçizim afla¤›daki gibidir.

Prizma modelinin ön yüzü, resmin (çizimin) düzlemine paralel olarak yap›l›yorsa buperspektif çizim tipine “bir nokta perspektifi” denir.

Kaybolunan nokta, prizmaya sa¤dan bak›ld›¤›nda ufuk çizgisi üzerinde ve prizman›nsa¤›nda; soldan bak›ld›¤›nda ise solundad›r. Bu durum, prizmaya alttan veya üsttenbak›ld›¤›nda de¤iflmez.

I. kutu II. kutu III. kutu

Kaybolunando¤rular

ÖRNEKÖRNEK


Araç ve Gereç

169

‹ki Nokta Perspektifi

Perspektif çizimini yapaca¤›m›z kutuyu,ayn› köfleden kesiflen üç yüzünden üsttaban ile sa¤ ve sol yan yüzü görünecekflekilde yerlefltirelim.Kutunun, kâ¤›t düzlemine paralelolmayan ön yüzündeki ayr›t için dikeybir do¤ru parças› çizelim.Do¤ru parças›n›n üst taraf›na yatay birdo¤ru parças› çizip iki kaybolunannokta belirleyelim.Dikey do¤ru parças›n›n uçlar›n›, her ikikaybolunan noktaya, kaybolunando¤rularla birlefltirelim.Kutunun geniflli¤i ve uzunlu¤u için heriki kaybolunan nokta ile kaybolunando¤rular aras›na dikey do¤ru parçalar›çizelim.Kutunun arkada kalan görünmeyenk›sm›n› belirleyen yok olunan do¤rular›çizelim.Üst taban› oluflturup fazla çizgilerisilerek çizimi tamamlayal›m.

•Kare prizmafleklindeki kutu •Cetvel •Kâ¤›t •Kalem

Kutuya, üst taban› yerine, alt taban› ile sa¤ ve sol yan yüzleri görünecek flekilde bakarsan›zçizimi nas›l yapman›z gerekir? Tart›fl›n›z.

170

Yandaki küpün perspektif çizimini ad›m ad›m yapal›m.

Küpün üst taban› ile sa¤ ve sol yan ayr›tlar› görünmektedir.Yani küpün ön yüzünü oluflturan dikey ayr›t, kâ¤›t düzlemineparalel de¤ildir. Bu durumda perspektif çizimi iki kaybolunannokta ile afla¤›daki gibi yap›l›r.

Küpe dikey ayr›t› önde olacak flekilde bakarsak alt taban ile sa¤ ve sol yan ay›rtlar›görünür. Üzerinde iki kaybolunan nokta bulunan do¤ru, küpün alt taraf›nda olur. Bunagöre perspektif çizim afla¤›daki gibi olur.

Prizma modelinin ön yüzü (sa¤ ve sol yüzlerin kesiflti¤i dikey ayr›t) çizimin düzlemineparalel de¤ilse perspektif çiziminde iki kaybolunan nokta vard›r. Bu tekni¤e “iki noktaperspektifi” ad› verilir.

ÖRNEKÖRNEK

171

1

Bir üçgen dik prizman›n ön ve sa¤ yan görünümünün perspektif çizimini yap›n›z.2

“Bir nokta perspektifi” ve “iki nokta perspektifi” tekniklerinin hangi durumlarda kullan›ld›¤›n›aç›klay›n›z.

3

Yandaki flekilde, bir binan›n önden ve yandangörünümü verilmifltir. Bu binan›n belli bir mesafedengörünümünü çiziniz.

4

Ufuk çizgisinin çizimin alt›nda, kaybolunan noktan›n ise sa¤da oldu¤u dikdörtgenler prizmas›fleklinde bir kutunun perspektif görünümünü çiziniz.

5

Yaln›zca ön ve üst yüzü görünen bir küpe hangi aç›dan bak›lmaktad›r? Aç›klay›n›z. Perspektifçizimi ad›m ad›m anlat›n›z.

1) Bir küpün ya da birprizmanın farklımesafelerdengörünümlerininperspektif çizimleri defarklıdır.

3) Kaybolunan noktakaybolunan doğrununherhangi bir yerindeolabilir.

2) Perspektif çizim içinön yüz ve ön yüzeparalel altta ya daüstte bir doğru çizmekyeterlidir.

4) Düz bir yolda giderkenyolun çok ilerde daralarakbir noktadan ibaretolduğunun görünmesikaybolunan nokta vedoğruya örnek verebilir.

5) Perspektif çizimdekaybolunan nokta, cismesağdan bakıldığındasağda, soldan bakıldığındasoldadır.

6) Cisme önden bakılarakyapılan perspektif çiziminde;ön yüz ile taban yüzlerindenbiri hariç diğer hiçbir yüzgörülemez.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Bir perspektiftekaybolunan nokta iki adetise buna iki noktaperspektifi denir.

Aşağıda birbiriyle bağlantılı doğru / yanlış cümleler verilmiştir. Şemadaki cümlelerin belirttiğiyargıların doğru ya da yanlış olduğuna karar veriniz. Her bir do¤ru / yanl›fl karar› sizi farkl›ç›k›fllara ulaflt›r›r. Buna göre afla¤›daki ç›k›fllardan birine ulafl›n›z.

6

36Çalışma

UYGULAMAUYGULAMA


Araç ve Gereç

172

Çok Yüzlüler ve Ara Kesitleri

Bir dik koni, taban›na paralel olacak biçimde kesildi¤inde ara kesitini inceleyelim.Dik koni, taban›na paralel olacak flekilde kesildi¤inde afla¤›daki gibi iki parça elde edilir.

Kesik Cisimler

Maket b›ça¤› ile patateslerden prizma, silindir, küre, koni vb. modelleriolufltural›m.Oluflturdu¤umuz geometrik cisimleri çeflitli k›s›mlar›ndan (tabanlaraparalel olacak, eksenlerden geçecek flekilde kesip ikiye ay›ral›m.Her bir kesimde oluflan ara kesitlerin ne tür bölgeler oldu¤unu tart›fl›n›z.

P›rlantan›n ifllenmeden önceki ham hâline elmasdenir. Elmas, sertli¤inden dolay› endüstride; camkesmek, tafl yontma ve delme ifllemleri için kullan›l›r.Dayan›kl›l›¤›ndan ve ›fl›¤› çok iyi k›rmas›ndan dolay›mücevher yap›m›nda da kullan›lmaktad›r. Elmas ilep›rlanta ayn› tafl›n farkl› kesim flekilleridir. Elmas›n altk›sm› düz, yüz say›s› 12 ile 37 aras›nda de¤iflmektedir.Daha ince iflçili¤e sahip p›rlantan›n alt k›sm› kubbegibi, yüz say›s› ise genellikle 57’dir.

Yukar›daki veriler göz önünde bulunduruldu¤undaelmas m› yoksa p›rlanta m› daha parlakt›r?

Ara kesit görüldü¤ü gibidairedir.

Elmas

P›rlanta

•Patates •Maket b›ça¤›

ÖRNEKÖRNEK


Araç ve Gereç

173

Bir çok yüzlünün yüzleri birer çokgensel bölgedir. Ayr›t ve köfleleri ise bu çokgenselbölgelerin kenar ve köfleleridir.

Bir çok yüzlünün yüzeyi, yüzleri ile ayr›tlar›n›n birlefliminden oluflur. Çok yüzlüleryüz say›lar›na göre “dört yüzlü”, “befl yüzlü” fleklinde isimlendirilir.

Kaç Yüzlü?

•Patates•Maket b›ça¤›

Patateslerden, maket b›ça¤› yard›m› ile piramit ve prizma modelleriolufltural›m.Her bir modelin kaç yüzü oldu¤unu ve bu yüzlerin hangi çokgenselbölgelerden olufltu¤unu aç›klay›n›z.Seçti¤imiz bir modeli, maket b›ça¤› ile bir veya daha fazla düzlemboyunca keselim.Keserek oluflturdu¤unuz geometrik cisim ile kesilmeden önceki fleklini,yüz, köfle ve ayr›tlar› aç›s›ndan karfl›laflt›r›n›z.

Yandaki dikdörtgen piramit ile tabana paralel olacakbiçimde üst k›sm› kesilip ç›kart›lm›fl piramit fleklinikarfl›laflt›ral›m.

Alt› yüzlü

Tabanlar› dikdörtgen

Yanal yüzleri yamuksal bölge

Dikdörtgen piramit Kesik piramit

Befl yüzlü

Taban› dikdörtgen

Yanal yüzleri üçgensel bölge

ÖRNEKÖRNEK

Çok yüzlülerin köfle, yüz ve ayr›t say›lar› aras›ndaki iliflkiyi belirten “Euler (Öyler)Formülü”nü araflt›r›p s›n›fa sununuz.

GÖREV

BA

C

h

BA

C

h

r

Dik üçgenin ve dikdörtgenin dik kenarlar›ndan birinin etraf›nda 360º döndürülmesiyleoluflacak yüzey örneklerini inceleyelim.

Dik üçgen h dik kenar› etraf›ndadöndürüldü¤ünde oluflan flekil konidir.

r

Dikdörtgen h dik kenar› etraf›ndadöndürüldü¤ünde oluflan flekil silindirdir.

D

A B

C

h

rBA

CD

r

h

ÖRNEKÖRNEK

174

Yukar›daki I. çok yüzlü, bir dikdörtgen prizman›n iki farkl› düzlem boyunca kesilipç›kart›lm›fl flekli olup 8 yüzü vard›r. Üzerinde al›nan A ve B noktalar›n› birlefltiren do¤ruparças›n›n bir k›sm› çok yüzlünün içinde kalmad›¤›ndan içbükeydir. II. çok yüzlü ise birkare prizmad›r ve 6 yüzü vard›r. Üzerinde ald›¤›m›z herhangi iki noktay› birlefltiren bütündo¤ru parçalar› prizman›n içinde veya yüzeyinde kald›¤›ndan d›flbükeydir.

A

BI II

Çokgenlerde oldu¤u gibi çok yüzlülerde de iç bükey ve d›fl bükeylik durumlar› vard›r.

Çok yüzlünün herhangi iki noktas›n› birlefltiren do¤ru parças›n›n tamam› çok yüzlününyüzeyinde (bir yüzünde) veya içinde kal›yorsa d›flbükey, aksi hâlde içbükeydir.

Dışbükey İçbükey

Tüm yüzleri ve tüm ayr›tlar› efl olan çok yüzlülere “düzgün çok yüzlü” denir. Yukar›dakiçok yüzlüler s›ras›yla düzgün dört yüzlü, düzgün alt› yüzlü, düzgün sekiz yüzlü, düzgünon iki yüzlü ve düzgün yirmi yüzlüdür. Bu cisimler “platonic (platonik) cisimler” olarakadland›r›l›r.

Bu cisimlere neden “platonik cisimler” dendi¤ini araflt›r›n›z.

1 Bir düzlemle kesildi¤i zaman ara kesiti dikdörtgensel bölge olan cisimlere iki tane örnekveriniz.

2 Bir düzlem ile kesildi¤inde ara kesiti dairesel bölge olan üç cismi çiziniz.

ÖRNEKÖRNEK

ÖRNEKÖRNEK

UYGULAMAUYGULAMA

GÖREV

175

3 Bir düzlemle farkl› flekillerde kesildi¤inde ara kesiti üçgensel ya da dairesel bölge olancismi çizerek gösteriniz.

4 Yanda hangi cismin görünüflünün verildi¤ini, geometrik cisminkaç yüzlü oldu¤unu bulunuz.

6 Yandaki geometrik cisim, iki farkl› geometrik cismin tabanlarınınbirlefltirilmesiyle oluflmufltur.

a) Bu geometrik cismin kaç yüzlü oldu¤unu bulunuz.b) Bu geometrik cismin hangi geometrik cisimlerden olufltu¤unu bulunuz.

a

aa

a

5 Hipotenüs uzunlu¤u 13 cm, dik kenarlar›ndan birinin uzunlu¤u 12 cm olan bir dik üçgen,12 cm’lik dik kenar› etraf›nda 360º döndürülüyor. Oluflan cismin taban alan›n› ve yanalalan›n› bulunuz.

7 Yandaki ABC dik üçgeni afla¤›da verilen kenarlar›etraf›nda 360º döndürülüyor. Oluflan cisimlerinyüzey alan›n› bulunuz.a) [BC]b) [AB]

9 cm15 cm

B C

A

8 Yandaki ABC dik üçgeni [AB] dik kenar› etraf›nda 180ºdöndürüldü¤ünde oluflan cismin hacmi kaç santimetre küptür?

15cm

12cm

A

B C

9 Yandaki flekil [OB] kenar› etraf›nda afla¤›daverilen aç› ölçüleri ile döndürüldü¤ünde oluflancisimleri adland›r›n›z.

a) 180ºb) 360º

B

AO r

r

176

1) Çok yüzlüler ayrıtsayılarına göreisimlendirilir.

3) Bütün yüzleri veayrıtları eş olan çokyüzlülere düzgün çokyüzlü denir.

2) Herhangi ikinoktasını birleştirendoğru parçasınıntamamı çok yüzlününyüzeyinde veya içindekalıyorsa çok yüzlüiç bükeydir.

4) Küp tam ortadan birdüzlemle kesildiğinde arakesiti tabanlara dik olacakşekilde bir karesel bölgedir.

5) Bir dik koni tabana paralelolacak şekilde herhangi biryerden kesildiğinde ara kesitüçgensel bölge şeklindedir.

6) Çok yüzlülerinyüzleri çokgensel bölgeşeklindedir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Çok yüzlüler sadeceiçbükey olabilirler.


11

37Çalışma

Aşağıda verilen çok yüzlülerin içbükey mi dışbükey mi olduğunu belirleyiniz.10

a) b)

c) ç)

177

1 Yandaki flekilde verilen süt kutusu, cam sehpa üzerinekonuyor. Bu süt kutusunun soldan ve alttan görünümününperspektif çizimini yap›n›z.


2 Biz düzlem boyunca kesildi¤inde ara kesiti de¤iflmeyen cisim nedir?

3 Bir düzlem ile tabana paralel olarak kesildi¤inde ara kesiti karesel bölge, tabanlara dikkesildi¤inde ise ara kesiti dikdörtgensel bölge olan cisim nedir?

4 Yandaki cisim hangi geometrik cisimlerin bileflimindenoluflmufltur?

SÜT



5 Afla¤›da verilen ifadelerden do¤ru olanlar›n bafl›na “D”, yanl›fl olanlar›n bafl›na “Y” yaz›n›z.

(.....) a) Bütün yüzleri ve bütün ayr›tlar› efl olan çok yüzlülere düzgün çok yüzlü denir.(.....) b) Dik üçgen prizma bir içbükey çok yüzlüdür.(.....) c) Koni bir çok yüzlüdür.(.....) ç) Piramit bir düzlemle kesildi¤inde yine bir çok yüzlü elde edilir.(.....) d) Çok küplüler kullan›larak bir çok yüzlü oluflturulabilir.

6 “Çap uzunlu¤u 20 birim olan yandaki O merkezli çeyrek daire [OU]etrafında 360º döndürüldü¤ünde elde edilen geometrik cismin yüzeyalanı ........... br2 olur.” ifadesindeki bofllu¤a hangi sayı yazılmalıdır?

E

O U

178

Yaflam›m›zdaki Matematik

1 Taban alan› 36 cm2 ve yanal yüzleri eflkenar üçgenden oluflan kare piramidin yüksekli¤iafla¤ıdakilerden hangisidir?A) 2 3 B) 3 2 C) 3 3 D) 6 3

3 Dik dairesel koninin yüzey alan›n› hesaplayabilmek için afla¤›daki verilerden en az hangilerineihtiyaç vard›r?

I. Taban yar›çap›nın uzunlu¤uII. Cisim yükseklik uzunlu¤uIII. Taban alan›IV. Yan yüzey yar›çap›nın uzunlu¤uV. Yan yüzey alan›

A) I,V B) I,II,IV C) I,II,III,V D) I, III, IV, V

4 Yanal yüzeyinin aç›n›m›nda yarıçap uzunlu¤u 6 cm olan yar›m daireden oluflan dik koninintaban alan› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 3π cm2 B) 6π cm2 C) 9π cm2 D) 12π cm2

5 Bir kürenin çap› 3 kat›na ç›kar›ld›¤›nda yeni kürenin yüzey alan› ilk kürenin yüzey alan›n›nkaç kat› olur?

A) 3 B) 6 C) 9 D) 126 Yar›çap› uzunlu¤u 12 cm olan küre fleklindeki bir voleybol topunun yar›s›n›n yüzey alan›

afla¤›dakilerden hangisidir (π = 3 al›n›z.)?

A) 784 cm2 B) 860 cm2 C) 864 cm2 D) 868 cm2

7 Yandaki piramidin hacmi kaç metreküptür?

A) 8 B) 16 C) 20 D) 32

h=6cm

2cm

4cm8 Yanda aç›n›m› verilmifl olan geometrik cisim

afla¤›dakilerden hangisidir?

A) Üçgen piramit B) Kare piramitC) Üçgen prizma D) Kare prizma

Yan yüz yüksekli¤i 2 3 birim olan, taban› ve yan yüz alanlar› eflkenar üçgensel bölgedenoluflan üçgen dik piramidin taban›n›n çevre uzunlu¤u kaç birimdir?

A) 3 3 B) 9 3 C) 12 D) 16

2


179

9 Yandaki flekilde ABC ile EDC benzer üçgenleroldu¤una göre, ABC üçgeni, BC kenar› etraf›nda360º döndürüldü¤ünde oluflan cismin hacmi kaçsantimetreküp olur?

A) 0,84π B) 8,4πC) 84π D) 98π

6cm

3,5 cm

3 cm

B CD

E

A

10 Hacmi 0,04 m3 ve yüksekli¤i 10 cm olan dik koninin taban alan› kaç santimetre karedir(π = 3 al›n›z.)?

A) 6000 B) 8000 C) 12 000 D) 16 000

11 Silindir biçimindeki kutuya alttan, üstten ve yanlardan de¤ecekflekilde çapı uzunlu¤u 6 cm olan 3 tenis topu yerlefltirildi¤indekutuda kalan bofllu¤un hacmini bulunuz.

A) 54π cm3 B) 108π cm3 C) 162π cm3 D) 270π cm3

12 Hacmi 972π cm3 olan kürenin yar›çap uzunlu¤u kaç metredir?

A) 0,09 B) 0,9 C) 9 D) 90

13 Afla¤›dakilerden hangisi dikdörtgenler prizmas›n›n sol alttan bak›ld›¤›ndaki perspektifçizimidir?

A)

C)

B)

D)

180

14 Yandaki silindir, alt ve üst tabanlar›na dik birdüzlemle kesildi¤inde silindirin ara kesitiafla¤›dakilerden hangisi olur?

A) B) C) D)

15 Yandaki kare prizma, alt ve üst tabana paralel olacakflekilde bir düzlemle kesildi¤inde prizman›n ara kesitiafla¤›dakilerden hangisi olur?

A) C)B) D)

16 Afla¤›dakilerden hangisi dört yüzlü bir cisimdir?

A) Üçgen piramit B) Kare piramitC) Dikdörtgen piramit D) Eflkenar dörtgen piramit

17 Yandaki üçgen prizman›n yüz say›s› ve yüzlerinde bulunançokgensel bölgelerin adlar› afla¤›dakilerden hangisidir?

I. 5 yüzlüII. 4 yüzlüIII. Üçgensel bölgeIV. Dikdörtgensel bölge

V. Yamuksal bölge

A) I, III, IV B) II, III, IV C) I, III, V D) II, III, V

38Çalışma

181Eğim, hayatımızın her alanında önemli bir yer tutabilmektedir. Ulaşım sektöründe,yolların eğimi, uçakların güvenli kalkış ve iniş yapması için gereken eğim önemli bir yertutar. Altyapıda ise su kanallarında, merdivenlerde, su borularındaki eğime çok dikkatedilir. Eğlence sektöründe, su parkları ve çocuk bahçesindeki kaydıraklarda, haberleşmeve iletişim sektöründe ise uzaya gönderilen bir uydunun atmosfere girerken yaptığı eğimhayati bir önem taşımaktadır.

Siz de çevrenizde eğimin önemli olduğu modelleri belirleyiniz ve bu modellerde eğiminneden önemli olduğunu tartışınız.

Geometrik Cisimler ve Simetri

Do¤runun ‹ncelenmesi

Dik Üçgendeki Oranlar

BAfiLANGIÇ VE B‹T‹fi NOKTASI: GEOMETR‹


Araç ve Gereç

182


Müteahhitler bir evi inşa etmeden öncemimarlara evin projesini çizdirirler. Bununyanında evin maketi de oluşturulabilir.Yanda, inşa edilecek bir evin maketiverilmiştir. Maketi verilen bir evin üçboyutlu cisimleri yapılırken nelere dikkatedilmelidir? Tartışınız.

Çok küplüler takımından bir çok küplü seçelim.Seçtiğimiz çok küplünün görünümünü izometrik kâğıda çizelim.Ayrı ayrı üç farklı çok küplü alıp her bir çok küplünün görünümünü farklıizometrik kâğıtlara çiziniz.İki çok küplü seçerek bu çok küplülerle bir yapı oluşturalım.Oluşan yapının görünümünü izometrik kâğıda çiziniz.

Çok Küplülerle Yap› Olufltural›m

Görünümü izometrik kâğıtta çizilmiş yapıları oluşturunuz.

Çok küplüler ile yapılar oluşturalım. Yapıların görünümlerini izometrik kâğıda çizip kodlarıbelirleyelim.

Çok küplüsünün çizimi yandaki gibidirve kodu L’dir.

Çok küplüsünün çizimi yandaki gibidirve kodu D’dir.

•Çok küplüler tak›m›•‹zometrik kâ¤›t

ÖRNEKÖRNEK

Yapının görünümünü çizersek elde ederiz.

183

Çok küplüsünün çizimi yandaki gibidirve kodu Z’dir.

Çok küplüsünün çizimi yandaki gibidirve kodu 3’tür.

Çok küplüsünün çizimi yandaki gibidirve kodu 2’dir.

Çok küplüsünün çizimi yandaki gibidirve kodu 1’dir.

Çok küplülerden oluşan yapının görünümünüizometrik kâğıda çizelim ve kodunu belirleyelim.

Yapının kodu : DL

Çok küplüsünün çizimi yandaki gibidirve kodu V’dir.

184

Çok küplülerden oluşan yapının görünümünü izometrik kâğıdaçizelim ve kodunu belirleyelim.

Yapının görünümünü çizersek elde ederiz.

Yapının kodu : LLZ

İzometrik kâğıtta çizimleri verilen yapıları oluşturalım ve kodlarını belirleyelim.

Yapınınkodu: VL1

Siz de çok küplüler ile yapılar oluşturarak izometrik kâğıda görünümlerini çiziniz.

Yapının kodu: DZ2


Araç ve Gereç

185

Geometrik cisimlerden küpü inceleyelim.Küpün bir simetri düzlemi olup olmadığını tartışınız.Eğer varsa kaç tane simetri düzlemi olduğunu tartışınız.Küpün ekseninin hangi doğrular olabileceğini belirleyiniz.

Geometrik Cisimlerin Simetrileri

Küpün ekseni etrafında kaç derecelik dönmesinde değişmez kaldığını bulunuz.Bir dikdörtgenler prizması için aynı işlemleri tekrar ediniz.Geometrik cisimlerden dairesel silindiri ele alalım.Dairesel silindirin simetri düzlemlerini belirleyiniz.Dairesel silindiri hangi doğru etrafında döndürürsek duruş şekli değişmez? Açıklayınız.

Dönel dairesel koninin, kürenin, eşkenar üçgen, ikizkenar üçgen, kare, düzgün altıgen vedüzgün sekizgen piramitlerin simetri düzlemlerini belirleyiniz.

Belirtilen geometrik cisimlerin hangi doğrular etrafında döndürüldüğünde değişmez kaldıklarınıbulunuz.

Önce geometrik cisimlerin simetri düzlemlerini belirleyelim.

Şekillerinden de görüldüğü gibi küp ve dikdörtgenlerprizması, karşılıklı iki yüzlerinin paralel olan kenarlarınınorta dikmelerinden ve paralel olan yüz köşegenlerindengeçen düzlemlere göre simetriklerdir.

Küp, ekseni etrafındaki her bir 90º lik dönme iledeğişmez kalır. Dikdörtgenler prizması ise karşılıklı yüzlerinmerkezlerinden geçen doğrular ve her bir köşegenlerietrafındaki 180º lik dönmelerde değişmez kalır.

Dairesel silindir ekseninden geçen düzlemlere ve eksenidik olarak ortalayan düzleme göre simetriktir. Ayrıca eksenietrafındaki her bir dönmede değişmez kalır.

•Geometrik Cisimler

ÖRNEKÖRNEK

186

Dönel dairesel koni, ekseninden geçen her bir düzleme göresimetriktir. Ayrıca ekseni etrafında her bir dönmede değişmez kalır.

Küre, her bir çapından geçen düzlemlere göresimetriktir ve her bir çapı etrafındaki dönmededeğişmez kalır.

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgen,kare, düzgün altıgen ve düzgün sekizgenpiramitler simetrik düzlemlerdir. Ayrıcaeksenleri etrafında dönmelerindedeğişmezler kalırlar.

1 Çok küplülerle kodu LZZ olan yapıyı oluşturunuz. Yapının görünümünün çizimini izometrikkâğıda çiziniz.

UYGULAMAUYGULAMA

187

2 Yanda görünümünün çizimi verilen ve koduZZZL olan yapıyı oluşturunuz.

3 Aşağıda kodları verilen yapıların kaç tane çok küplüden oluştuğunu bulunuz. Belirtilenyapıları oluşturunuz.a) D1L2 b) LLL c) ZL1 ç) DDD2

4 En fazla 4 çok küplü kullanarak bir yapı oluşturunuz. Oluşturduğunuz yapının görünümünüizometrik kâğıda çiziniz. Yapının kodunu belirleyiniz.

5

Yukarıdaki geometrik cisimlerden cisim köşegenleri etrafında 180º lik dönmelerde değişmezkalanları belirleyiniz.

6 Sevil, bir kürede bir simetri düzlemi olabileceğini, Soner ise kürede sayısız simetri düzlemiolabileceğini söylüyor. Sizce kim haklıdır? Nedenini açıklayınız.

7 Öykü, yanda açınımı verilen karton küpü yapar. Buna göreaşağıdaki soruları cevaplayınız.

b) görünümünü görünümü getirmek için küpü kaç derece döndürmek gerekir?

a) Öykü, verilen açınıma göreyandaki küpü 90º döndürdüğündehangi renkler görünür?

39Çalışma

188


1 Yanda görünümünün çizimi verilen yapıyıoluşturunuz ve inceleyiniz.a) Yapının kodunu yazınız.b) Yapıdaki yatay ve dikey duran çok küplüleribelirleyiniz.

2 Çok küplülerle oluşturulan yapının görünümünün çiziminin nasıl yapıldığı ve kodunun nasılbelirlendiği hakkında bir paragraf yazınız.

3 Çok küplülerle, kodu ZLL olan yatay ve dikey 2 farklı yapı oluşturunuz. Oluşturduğunuzyapıların görünümlerini izometrik kâğıda çiziniz.

4 Bir geometrik cismin simetri düzlemini çizerken nelere dikkat etmemiz gerektiği ile ilgili birparagraf yazınız.

5 Bir küp yapınız ve küpün her bir yüzüne ayrı bir şekil çiziniz. Bir küpü önce 4 kez, sonrasırasıyla 8 ve 12 kez aynı yönde döndürünüz (Her bir döndürmede üst yüze gelen şekildeğişsin.). 4, 8 ve 12 kez küpü döndürdüğünüzde üste gelen şekilleri karşılaştırınız vesonucu yorumlayınız.

6 Dairesel silindir ve dönel dairesel konininsimetri eksenlerini belirleyiniz. Simetrieksenlerinin ortak özelliklerini yazınız.



AnahtarKavramlar


Araç ve Gereç

189

•Eğim•Kat sayı•Çözüm kümesi•Doğrusal denklem•Eşitsizlik

Trafik işaretleri, trafik ortamında bulunan sürücü, yaya veyolcuların ortak dilidir. Bu yüzden trafik işaretlerinden oluşanbu ortak dili doğru ve yerinde kullanmak trafik güvenliğiaçısından önemlidir.

Resimlerdeki gibi bir trafik levhası hiç gördünüz mü? Bu levhalar yokuşlarda seyahateden sürücülere eğim olduğunu uyarmak için kullanılır.Siz de günlük yaşamda karşılaştığınız eğime model olabilecek durumlara örnekler veriniz.

E¤imi Keflfedelim

•Noktalı kağıt

Yukarıda araba ve yokuş modelleri verilmiştir. Arabanın her bir yokuşu tırmandığınıdüşünelim.Bu yokuşların hangisine tırmanmak daha zordur? Neden?Her bir üçgenin kenar uzunluğunu kullanarak aşağıdaki tabloyu dolduralım.

Dikey uzunluğun, yatay uzunluğa oranı “eğim” olarak adlandırılır. Eğim “m” harfi ilegösterilir.

Eğim = m = Dikey UzunlukYatay Uzunluk

Tablodaki (dikey uzunluk) ÷ (yatay uzunluk) oranlarını karşılaştırınız. Hangi yokuşatırmanmanın daha zor olduğu ile bu oranlar arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.

1. üçgen 2. üçgen 3. üçgen 4. üçgen 5. üçgen

Dikey uzunluk

Yatay uzunluk

Dikey : Yatay

2

5

2 : 5

E¤imle Tan›flal›m


190

Aşağıda verilen kırmızı doğru modelinin eğimini bulalım.

m =

= 3200 m6400 m

= 12

olarak bulunur.

Eğim yüzde cinsinden veya ondalık kesirle ifade edilebilir.

m = 12

= %50 veya m = = 0,5’ tir.12

Eğim = m = = %2015

m = - = -0,9910

Siz de yatay bir doğru modelinin eğimini bulunuz.

Yanda verilen şekildeki gibi doğru eğimi, pozitifeğim olarak düşünülebilir.

Şekildeki gibi doğru eğimi isenegatif eğim olarak düşünülebilir.

3200

m

6400 m

m = 15

m = - 910

ÖRNEKÖRNEK

Dikey UzunlukYatay Uzunluk

191

Yandaki grafikte verilen doğrunun eğiminibulalım.

y

x

y

x

Doğru üzerinde A ve B noktalarını alalım.

B noktasından 5 birim yukarı, 3 birimsağa gidilirse A noktasına ulaşılır.O hâlde bu doğrunun eğimi:

m =

= 53

y = -x + 2 doğrusunun grafiğini çiziniz. Grafiğin eğimini bulunuz.

B

A

5br

3br

Dikey uzunlukYatay uzunluk


Araç ve Gereç

192

E¤imi Belirlemenin K›sa Yolu

•Noktal› ka¤›t

Noktalı kâğıda 2 farklı koordinat sistemi çizelim.

Her bir grafikteki doğrunun eğimini bularak aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

Tablodan yararlanarak bir doğrunun eğimi ile denklemlerdeki x’in kat sayısı arasındakiilişkiyi belirleyiniz.

Do¤runundenklemi

Do¤runune¤imi

Denklemdekix’in kat say›s›

y = x

y = -x + 2

y = -2 x + 1 doğru denkleminin eğimini inceleyelim.Önce y = -2 x + 1 doğru denkleminin grafiğini çizelim.x = 0 için y = -2.0 + 1 = 0 + 1

=1x = 1 için y = -2.1 + 1 = -2 + 1

= -1

y

xA

B

(0,1)

(1-1)

Doğru grafiğinden yararlanarak eğimi;

m =

m = - = -2 olarak buluruz.21

y = -2x + 2 doğru denklemindeki x’in kat sayısı ile doğrunun eğimi arasındakiilişkiyi bulalım:x’in kat sayısı: -2 Eğim: -2

y = 5x - 4 doğru denkleminin grafiğini çizmeden doğrunun eğimini bulunuz.

y = x ve y = -x + 2 doğru denklemlerinin grafiğini ayrı koordinatsistemlerine çizelim.

ÖRNEKÖRNEK

Dikey UzunlukYatay Uzunluk

0Grafiğin y eksenini kestiği nokta: (0,1)’dir.Denklemin grafiğini çizerken A(0,1) veB(1,-1) sıralı ikililerinden yararlanırız.


193

y = ax + b biçimindeki bir doğru denkleminde x’ in kat sayısı doğrunun eğimini verir.

y - x - 5 = 0 doğru denkleminin eğimini bulalım. Önce doğru denklemini y = a x + b biçiminedönüştürmeliyiz.

(Her iki taraf x + 5 ile toplanır.)y - x - 5= 0y - x - 5 + (x + 5) = 0 + (x + 5)y - x - 5 + x + 5 = x + 5y = x + 5

y = x + 5 doğru denkleminde x’ in kat sayısı 1 olduğu için eğim 1 olarak bulunur.

(Parantezler kaldırılır.)(Doğru denklemi y = ax + b biçimine dönüştürülür.)

3y - x = 4 denkleminin belirttiği doğrunun eğimini bulunuz.

Orijinden ve A(2, 4) noktasından geçen doğrunun eğimini bulalım:Doğrunun geçtiği noktaları koordinat sistemindeişaretleyerek doğruyu çizelim.Bu doğrunun eğimi;

m = Dikey uzunlukYatay uzunluk

= = 2 olarak bulunur.42

Koordinat Sisteminde ‹ki Grafik

Koordinat sistemindeki grafikleriinceleyelim.Grafiklerin kesim noktasının koordinatlarınıbelirleyelim.Kesişim noktasını oluşturan koordinatlarher iki denklemi de sağlar mı? Açıklayınız.Grafikleri verilen doğru denklemlerininoluşturduğu denklem sisteminin çözümkümesini bulunuz.Denklem sisteminin çözüm kümesi iledoğruların kesişim noktası arasındakiilişkiyi açıklayınız.Grafiklerin kesişimleriyle oluşan taralıüçgenin alanını bulunuz.

y

x

y=x+1 ve y=2x-4 doğrusal denklemlerin grafiklerini çiziniz.Grafikten yararlanarak doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

ÖRNEKÖRNEK

y

x

A

O

(2,4)

(0,0)2

4

2 birim

4 birim

194

Yukarıda verilen denklem sisteminin çözüm kümesini önce cebirsel yolla sonra grafiktenyararlanarak bulalım:y = 2x ................. 1y = 3-x ................ 2

denklem sisteminin çözüm kümesini yerine koyma metodu ile bulalım.

y=2xy=2.1y=2 olarak bulunur.Bu durumda denklem sisteminin çözüm kümesi {(1,2)} olur.

Şimdi denklem sisteminin çözümkümesini grafikten faydalanarak bulalım.Grafikten iki doğrunun kesim noktası,A(1,2) olarak bulunur.

Buradan bir doğrusal denklemsisteminin çözüm kümesinin, denklemsistemindeki iki doğru grafiğinin kesimnoktası olduğu anlaşılmaktadır.

y

x

doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi varsa bu, doğruların grafiklerininkesim noktasının koordinatlarıdır.

y = ax + by = cx + d

y = 2xy = 3-x

A(1,2)

ÖRNEKÖRNEK

2. denklemde y yerine 2x yazalım.2x = 3 - x (Her iki taraf x ile toplanır.)2x + x = 3 - x + x (Benzer terimler toplanır.)

Bulduğumuz x = 1 değerini 1. denklemde yerine yazalım:

= x = 13x3

33 bulunur.

y = 2x

y = 3-x

195

1

Bir şirket ağır iş makineleri satmaktadır. Sattıkları iş makinelerini kamyonlara yüklemek içinise yukarıdaki gibi bir rampa inşa etmektedir. Rampanın eğimi yüzde kaçtır?

2 Kitaplıktaki mavi rafların eğimleriiçin ne söylenebilir?

3

Ahmet, kış mevsiminde yağan karın kendi evlerinin çatısından hemen düşeceğini söylüyor.Kaan ise evinin çatısından karın durmasının daha zor olduğunu savunuyor. Sizce Kaan’ınsavunduğu görüş doğru mudur? Açıklayınız.

Ahmet’in evi Kaan’›n evi

22 m

1,1 m

UYGULAMAUYGULAMA

196

4 Yandaki merdivenin eğiminibulunuz.

5

Yukarıda kırmızı ile gösterilen doğru modellerinden negatif eğime sahip olanları belirleyiniz.

6 y = x + 4 denkleminin eğiminin 1 ile 4 arasında (1 ve 4 hariç) olabilmesi için “ ” yerinekaç farklı tam sayı yazılabilir?

7 Yanda üçgen modeli verilmiştir. Eğimi, kırmızıdoğrunun eğimine eşit olan doğru denkleminiçözüm yapmadan bulunuz.

9

1. Doğru Denklemi: 5y + 2x = 4

2. Doğru Denklemi: y = x + 33. Doğru Denklemi: y = x + 4

Yukarıda denklemleri verilen 1. doğrunun eğiminin, 2. doğrunun eğimine oranını bulunuz.

8 Orijinden ve K(-3,0) noktalarından geçen doğru ve bu doğrunun eğimi için ne söylenebilir?

1. doğru 2. doğru

2y - 2 x = 1 y - 2 x = 1

10 Yiğitcan, eğimi 0 olan bir doğru denklemi yazdığını söylüyor. Yiğitcan’ın yazdığı doğrudenklemi ne olabilir?

11 Hangi doğruların eğimi sıfırdır? Koordinat sistemi üzerinde çizerek gösteriniz.

12 y = 3x -1 doğru denklemini koordinat sisteminde çiziniz. Bu doğru ile doğrunun y ekseninegöre simetrisinin oluşturduğu denklem sisteminin çözüm kümesini grafikten yararlanarakbulunuz.

0,3m

0,2m

Eğim = - 25

x

y

x

y

197

y

x

D(0, )

B( , )

A(0, - )

13 Yandaki sıralı ikililerden hangisi, belirtilendenklem sisteminin çözüm kümesidir? Tartışınız.

14 2y = 4x - 8 doğru denklemine göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.a) Doğrunun y noktasını kestiği noktayı bulunuz.b) Doğrunun eğimini bulunuz.c) Yukarıdaki doğru denklemi ile y = -2x doğru denklemi ve bir denklem sistemi oluşturunuz.Bu denklem sisteminin çözüm kümesini grafik çizerek bulunuz.

15

16

A(2,5) sıralı ikilisinin yandaki denklem sisteminin çözümkümesi olup olmadığını grafik çizerek bulunuz.

2x + y = 94x - y = 3

1) Bir doğrunun eğimi,dikey uzunluğun yatayuzunluğa oranı ilebulunur.

3) Eğimi -1 olan doğrudenkleminde x’in katsayısı her zaman-1’dir.

2) Üçgende kırmızıdoğru modelinin eğimi

’tir.

4) ay + bx + c = 0 denklemininbelirttiği doğrununeğimi ’dır.

5) y = 3x ile 3y = x doğrudenklemlerinin belirttiğidoğruların eğimleri oranı 1’dir.

6) Paralel iki doğrununeğimleri oranı 1’dir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Bir denklem sistemininçözüm kümesi doğrugrafiklerinin kesimnoktasıdır.

0.5m1 m


40Çalışma

0


198

Eflitsizlikler

Yanda tekvando müsabakasından bir angörülmektedir. Maçın sonunda her iki taraf daeşit puan almış ve berabere kalmıştır. Hangidurumda maçı taraflardan biri kazanırdı? Bunumatematik cümlesiyle nasıl ifade edersiniz?Arkadaşlarınızla tartışınız.

Terazinin kefelerinden birine iki tane 2 kg’lık ve bir tane 1 kg’lık, diğerine ise bir tane 2 kg’lıkve üç tane 1 kg’lık kütle koyalım.Terazi dengede midir? Bu durumu gösteren matematik cümlesini yazınız.Terazinin kefelerinden istediğiniz birine 2 kg’lık bir kütle daha koyalım.Terazi dengede midir? Bu durumu gösteren matematik cümlesini nasıl yazabilirsiniz?Tartışınız.Terazinin her iki kefesine 2 kg’lık birer tane daha kütle koyalım.Terazi dengede midir? Bu durumu gösteren matematik cümlesini yazınız.Terazinin her iki kefesinden 1 kg’lık birer kütle çıkaralım.Terazi dengede midir? Bu durumu gösteren matematik cümlesini yazınız.

Terazide Denge ve Dengesizlik

Terazinin sa¤ kefesine iki tane 2 kg’l›k, bir tane 1 kg’l›k kütle, sol kefesine 1 tane 2 kg’l›kkütle koyal›m.Terazinin denge durumu hakk›nda ne söylenebilir? Bu duruma ait matematik cümlesiniyaz›n›z.Terazinin sol kefesindeki kütlelerin daha büyük olmas› için bu kefeye konmas› gerekenkütle miktar›n› bilinmeyen kabul ederek bu durumu gösteren matematik cümlesini yaz›n›z.Her iki kefeden 2 kg’l›k kütleler ç›kararak bu durumu gösteren matematik cümlesini yaz›n›z.Yazd›¤›n›z matematik cümlesinin do¤ru olmas› için bilinmeyene hangi de¤erler verilebilir?Tart›fl›n›z.

Dengesizlik

Afla¤›daki terazi modelinde kahverengi kütleler 1 kg’l›k kütleyi, yeflil kütle ise bilinmeyenkütleyi göstermektedir. Buna göre modelin bozulmamas› için bilinmeyen kütle yerine kaçtane kahverengi kütle konulabilece¤ini bulal›m. Terazinin dengede olmama durumunueflitsizlik cümlesi ile ifade edelim:x + 3 7Yazd›¤›m›z do¤rusal eflitsizli¤in çözümkümesini bulal›m:x + 3 - 3 7 - 3x 4 Buna göre bilinmeyen kütlenin yerine1, 2 veya 3 tane kahverengi kütle konulabilir.

ÖRNEKÖRNEK


199

“2 eksi¤i 3 veya 3’ten küçük olan say›lar” ifadesine uygun do¤rusal eflitsizli¤i yazarakçözüm kümesini bulal›m ve say› do¤rusunda gösterelim.

x - 2 ≤ 3x - 2 + 2 ≤ 3 + 2x ≤ 5

Eflitsizli¤in çözüm kümesini 5 veya 5’ten küçük say›lar oluflturur. Bu say›lar› kümelerdekiortak özellik yöntemini kullanarak say› do¤rusunda gösterelim.

Ç = { x I x ≤ 5, x ∈ IR }

“ -3 kat›n›n 1 fazlas› 7 veya 7’den büyük olan say›lar” ifadesine uygun do¤rusal eflitsizli¤iyazarak çözüm kümesini bulal›m ve say› do¤rusunda gösterelim:

-3x + 1 ≥ 7-3x + 1 - 1 ≥ 7 - 1-3x ≥ 6

≤

x ≤ -2

Eflitsizli¤in çözüm kümesini -2 veya -2’den küçük say›lar oluflturur. Bu say›lar›kümelerdeki ortak özellik yöntemini kullanarak say› do¤rusunda gösterelim:

Ç = { x I x ≤ -2 , x ∈ IR }

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-5 -4 -3 -1 -2 -1 0 1 2

“Yar›s› 3’ten büyük olan say›lar” ifadesine uygun do¤rusal eflitsizli¤i yazarak çözümkümesini bulal›m ve say› do¤rusunda gösterelim.

3

2 . 3.2

x 6Eflitsizli¤in çözüm kümesini 6’dan büyük say›lar oluflturur.Ortak özellik yöntemini kullanarak say› do¤rusunda gösterelim.

Ç = { x I x 6 , x ∈ IR }

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 98

‹çinde say›lar ve “ , ≤, , ≥ ” sembollerinden birini içeren cebirsel ifadeler eflitsizlikolarak adland›r›l›r. Bu eflitsizli¤in her iki taraf›na ayn› say› eklenir veya her iki taraf›ndanayn› say› ç›kar›l›rsa eflitsizlik bozulmaz.

Eflitsizli¤in her iki taraf› negatif bir say› ile çarp›l›r veya bölünürse eflitsizlik yönde¤ifltirir.

(Eflitsizli¤in her iki taraf› negatif bir say› ile çarp›l›r veya bölünürse eflitsizlik yön de¤ifltirir.)


Araç ve Gereç

200

B(-3,5) s›ral› ikilisini eflitsizlikte yerine yazarsak,3x - y ≥ 33.(-3) - 5 ≥ 3-9 - 5 ≥ 3-14 ≥ 3 eflitsizli¤i do¤ru olmad›¤›ndan, B(-3,5) s›ral› ikilisi eflitsizli¤i sa¤lamaz.3x - y - 3 = 0 do¤ru denkleminin grafi¤i koordinat sistemini 2 parçaya ay›r›r.3x - y ≥ 3 eflitsizli¤inin grafi¤ini çizerken A(4, -2) s›ral› ikilisinin oldu¤u taraf taran›r.

3x - y = 4 do¤ru denkleminin grafi¤ini noktal› kâ¤›da çizelim.(3,5) s›ral› ikilisinin denklemi sa¤lay›p sa¤lamad›¤›n› tart›fl›n›z.(4,2) ve (1,-1) s›ral› ikililerini koordinat sisteminde göstererek s›ral› ikililerile do¤ru grafi¤inin konumlar›n› tart›fl›n›z.

Eflitsizlik Grafi¤ini Çizelim

•Noktal› ka¤›t

(4,2) ve (1,-1) s›ral› ikilisinin 3x - y ≥ 4 eflitsizli¤ini sa¤lay›p sa¤lamad›¤›n› belirleyiniz.3x - y ≥ 4 eflitsizli¤inin grafi¤ini 3x - y = 4 do¤ru denkleminden yararlanarak nas›lçizebilirsiniz? Tart›fl›n›z.

y

x

B(-3,5)

A(4,-2)

3x - y - 3 = 03x-y ≥ 3 do¤rusal eflitsizli¤inin grafi¤iniçizelim.3x-y ≥ 3 do¤rusal eflitsizli¤inin grafi¤iniçizerken3x - y = 3 yani 3x - y - 3 = 0 do¤rudenkleminin grafi¤inden yararlan›r›z.Önce 3x - y - 3 = 0 do¤ru denkleminingrafi¤ini çizelim:

x = 0 için, y = -3y = 0 için, x = 1 olarak bulunur.

A(4, -2) s›ral› ikilisini eflitsizlikte yerineyazarsak;

3x - y ≥ 33.4 -(-2) ≥ 312 + 2 ≥ 314 ≥ 3 oldu¤undan dolay› A(4, -2) s›ral› ikilisi eflitsizli¤i sa¤lar.

ÖRNEKÖRNEK

201

y - x < 5 eflitsizli¤inin grafi¤ini çizelim.y - x < 5 eflitsizli¤inin grafi¤ini çizerkeny - x = 5 yani y - x - 5 = 0 do¤ru denkleminin grafi¤inden yararlan›r›z.Önce y - x - 5 = 0 do¤ru denkleminin grafi¤ini çizelim:x = 0 için y = 5y = 0 için x = -5 olarak bulunur.K(-5,4) s›ral› ikilisini eflitsizlikte yerine yazarsaky - x < 54 -(-5 )< 54 + 5 < 59 < 5 eflitsizli¤i do¤ru olmad›¤›ndan dolay›K(-5,4) s›ral› ikilisi eflitsizli¤i sa¤lamaz.

y

x

K(-5,4)

L(3,-3)L(3,-3) s›ral› ikilisini eflitsizlikte yerine yazarsaky - x < 5-3 - 3 < 5-6 < 5 eflitsizli¤i do¤ru oldu¤undan dolay› L(3,-3)s›ral› ikilisi eflitsizli¤i sa¤lar. y - x - 5 = 0 do¤rudenkleminin grafi¤i koordinat sistemini2 parçaya ay›r›r. y - x < 5 eflitsizli¤in grafi¤iniçizerken L(3,-3) s›ral› ikilisinin oldu¤u taraf taran›r.Do¤runun üzerindeki noktalar eflitsizli¤i sa¤lamaz. Bu durumda do¤ru kesik çizgi ile çizilir.

5x + 7y >12 eflitsizli¤inin grafi¤ini çiziniz.

y

x

y ≥ ax + b

y≤ ax + b

“ y ax + b” veya “ y ≥ ax + b” do¤rusaleflitsizliklerin grafikleri çizilirken öncey = ax + b do¤rusunun grafi¤i çizilir. Sonrado¤runun ay›rd›¤› bölgelerden birer s›ral› ikili seçilipeflitsizlikte yerine yaz›l›r. Eflitsizli¤i sa¤layan s›ral›ikilinin oldu¤u taraf taran›r. Do¤rusal eflitsizlikte“ ” veya “≥” sembolleri oldu¤unda do¤ru, çözümkümesine dâhildir ve grafi¤i düz çizgi ile çizilir.“ y<ax + b” veya “ y>ax + b” do¤rusal eflitsizlikleringrafikleri çizilirken aynı yol takip edilir. Ancakdo¤ru, çözüm kümesine dâhil de¤ildir ve grafi¤ikesik çizgi ile çizilir.

Gazete ve dergilerden aralar›nda eflitsizlik iliflkisi bulunan veriler bulunuz. Veriler aras›ndakiiliflkiyi gösteren matematik cümlesini yaz›n›z. Verilerle grafik oluflturunuz.

y-x - 5 = 0

GÖREV

202

1 Afla¤›daki terazi modellerinde, dengede olmama durumlar›n› do¤rusal eflitsizlik olarakifade ediniz.

2 kg’l›k kütle

1 kg’l›k kütle

Bilinmeyenkütle

Bilinmeyen kütle

2 kg’l›k kütle

1 kg’l›k kütle

5 kg’l›k kütle

Bilinmeyen kütle

2 kg’l›k kütle

1 kg’l›k kütle

2 Afla¤›daki durumlara uygun do¤rusal eflitsizlikleri yaz›n›z.

a) Ülkemizde örgün e¤itimin ilk kademesinden yararlanma yafl› en fazla 14’tür.b) Ülkemizde cumhurbaflkanl›¤›na aday olma yafl› en az 25’tir.

3 Afla¤›daki terazi modelindeki do¤rusal eflitsizlik durumunun bozulmamas› için bilinmeyenkütlenin alabilece¤i de¤erleri bulunuz. Daha sonra say› do¤rusunda gösteriniz.

1 kg’l›k kütle

Bilinmeyen kütle

2 kg’l›k kütle

5 kg’l›k kütle

UYGULAMAUYGULAMA

203

4 Aykut, Recep ve Aysel üç arkadaflt›r. Aykut’un 7 TL’si vard›r ve en çok paras› olan Aykut’tur.Recep’in paras› ise Aysel’den az ve 2 TL’dir. Aysel’in paras›n› do¤rusal eflitsizlik kullanarakifade ediniz.

5 Afla¤›daki ifadelere uygun do¤rusal eflitsizlikleri yaz›n›z.

a) 3 eksi¤i 11’den küçük olan say›lar

b) fazlas› - ’den büyük olan say›lar

c) 11 eksi¤i 6’dan büyük ve 11’den küçük say›lar

6 Cem, kumbaras›nda sadece 1 TL’lik biriktiriyor. 15 gün önce kumbaras›nda en az 17 tane1 TL’lik oldu¤unu hat›rl›yor. 15 gün sonra ise kumbaray› aç›p sayd›¤›nda 25 TL’si oldu¤unugörüyor. Bu durumda Cem’in 15 günde kumbaraya en fazla kaç adet 1 TL’lik atm›flolabilece¤ini bulunuz.

-2 -1 0 1 2 3 4

7 x - 1 2 do¤rusal eflitsizli¤in çözüm kümesi afla¤›daki say› do¤rusunda gösterilmifltir. Bugrafikte 3 noktas›n›n farkl› gösterilmesinin nedeni ne olabilir? Aç›klay›n›z.

9 Çözüm kümesi afla¤›daki say› do¤rusunda gösterilen do¤rusal eflitsizli¤i yaz›n›z.

-4 -2 0 2 4

10 “Babas›n›n yafl› fiükran’›n yafl›n›n 5 kat›n›n 2 eksi¤inden büyüktür.” ifadesine göre afla¤›dakisorular› cevaplay›n›z.

a) ‹fadeyi belirten do¤rusal eflitsizli¤i yaz›n›z.b) fiükran’›n 8 yafl›nda oldu¤u düflünülürse babas› en az kaç yafl›ndad›r?

-3 -2 -1 0 2 31

-3 -2 -1 0 2 31

-3 -2 -1 0 2 31

-3 -2 -1 0 2 31

-3 -2 -1 0 2 31

8 Afla¤›da verilen do¤rusal eflitsizlikleri say› do¤rusundaki gösterimleri ile efllefltiriniz.

1) x 12) y 23) z ≤ 14) t 05) k ≥ -1

Eflitsizlikler Say› do¤rusu

a)

-3 -2 -1 0 2 31

b)

c)

ç)

d)

e)

204

11 Yanda grafi¤i verilen do¤rusal eflitsizli¤i yaz›n›z.Do¤rusal eflitsizli¤i yazarken nelere dikkatetti¤inizi aç›klay›n›z.

y

x

-1 0 1 2 3 4

12 Çözüm kümesi afla¤›daki sayı do¤rusunda verilen do¤rusal eflitsizli¤i yaz›n›z. Yazd›¤›n›zdo¤rusal eflitsizli¤in grafi¤ini çiziniz.

13 Emel, 2x + y ≤ -1 do¤rusal eflitsizli¤ini A(3,0) noktas›n›n, Kemal ise B(-7,-1) noktas›n›nsa¤lad›¤›n› söylüyor. Sizce hangisi do¤ru söylüyor? Neden?

14 Afla¤›daki do¤rusal eflitsizliklerin grafiklerinin hangilerinde do¤ru grafi¤inin kesik çizgilioldu¤unu grafik çizmeden belirleyerek sonuçlarla ilgili bir paragraf yaz›n›z.

a) x - y > 5 b) 3x - 2y ≥ 4 c) x + 5y - 4 < 0ç) 13x ≤ 14 d) 2 + 4y - x > 0

1) y - 2x > 8 ifadesibir doğrusal eşitsizlik-tir.

3) “3 katının 2 eksiği5’ten küçük sayılar”ifadesini 2x - 3 ≤ 5eşitsizliği belirtir.

2) (2, 1) sıralı ikilisix + y - 1 < 2 doğrusaleşitsizliğini sağlar.

4) x = - 3 sayısıx - 7 ≤ 5 doğrusaleşitsizliğini sağlar.

5) 2y - x ≤ 0 grafiğini çizmekiçin 2y - x = 0 doğrudenkleminden yararlanılır.

6) Yukarıda sayı doğrusun-da verilen doğrusal eşitsiz-liğin çözüm kümesine 3sayısı dâhildir.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) 2y - 3x ≤ 5 doğrusaleşitsizliğinin grafiğindekidoğru kesik çizgidir.

15

1 2 3 4 5


41Çalışma

205


1 Ogan her sabah spor yapar. Sabah sporununbir bölümünde yandaki gibi omuz ve kar›nkaslar›n› gelifltirir. Ogan’ın bulundu¤u konumdadikey uzunluk ile yatay uzunluk birbirine eflittir.Yatay uzunluk ile dikey uzunluk 5’er kat›naç›kar›ld›¤›nda e¤imde de¤ifliklik olur mu?Model üzerinde gösteriniz.

2 E¤imi gösterebilece¤iniz 3 model oluflturunuz. Her bir modelin baz› uzunluklar›na de¤erlervererek e¤imlerini hesaplay›n›z.

3 Sevil, yandaki do¤runun e¤imini hesaplamak içinafla¤›daki ad›mlar› izler.

1. Ad›m: E¤im = m =

2. Ad›m: m =

3. Ad›m: m =

4. Ad›m: m = 3

Sevil’in kaç›nc› ad›mda ilk hatayı yapt›¤›n› belirleyiniz.Hatay› düzeltip do¤ru e¤imi bulunuz.

4 + 22 + 062

y

x

B(0,2)

A(2,4)

4 Selçuk, bir do¤ru denkleminden do¤runun e¤imini ad›m ad›m bulur. Afla¤›da bofl b›rak›lanad›mlar› tamamlayarak Selçuk’un e¤imi bulmas›na yard›mc› olunuz.Do¤ru denklemi: -y - 5x - 4 = 0

1. ad›m: (y, eflitli¤in solunda yaln›z b›rak›l›r.)2. ad›m: (-1)(-y)=(-1)(5x+4) (Her iki taraf (-1) ile çarp›l›r.)3. ad›m: (Parantezler kald›r›l›r.)4. ad›m: E¤im: m= -5 (E¤im x’in kat say›s› olur.)

5 A(-1,4) ve B(0,0) noktalar›ndan geçen grafi¤i çiziniz. Do¤runun denklemini belirleyiniz.Do¤ru denkleminden yararlanarak e¤imi bulunuz.

6

Yukar›daki do¤ru denklemlerinin belirtti¤i do¤rular›n e¤imleri eflittir. Buna göre “ ”yerinehangi say›lar›n yaz›lmas› gerekti¤ini bulunuz.

3y = 6x - 2 -5y = x + 4 x + y = -7


Dikey uzunlukYatay uzunluk

0

206

7 Yandaki grafiklerinbelirtti¤i denklemsisteminin çözümkümesini grafiktenyararlanarak nas›lbulursunuz?Aç›klay›n›z.

x

y

8

b) x eksenine paralel bir do¤runun e¤imi hangi kutucuktaverilmifltir?c) Dikey ve yatay de¤iflimi ayn› olan bir do¤runun e¤imi hangikutucuktad›r?

ç) y + x + 4 = 0 denkleminin belirtti¤i do¤runun e¤imi

- ’ dir. yerine 3. kutucuktaki say› yaz›l›rsa yerine

52

-0 4

13

38

12

-

-2 61Yanda verilen kutucuklara göreafla¤›daki soruları cevaplay›n›z.

x

y

a) Yandaki do¤runun e¤imi hangikutucuklarda olabilir?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

x = 2 - 2y

12 x + y = 4

hangi kutucuktaki say› gelmelidir?

d) Dikey de¤iflim 8. kutucuktaki say›, yatay de¤iflim 6. kutucuktaki say› olan bir do¤rumodelinin e¤imini bulunuz.

207

10 Yanda verilen dar aç›n›n ölçüsü a + 23º dir. Buna görea’n›n alabilece¤i de¤erleri bulunuz.

11 Afla¤›daki do¤rusal eflitsizliklere uygun birer durum belirleyerek bu eflitsizliklerin çözümkümesini bulunuz.

a) 11t + 20 > 42 b) a - 5 ≤ 10 c) 7 + 7t > 0 ç) k ≥10

12 Mehmet Bey, bankadaki paras›ndan üç hafta üst üste 550 TL çekmifltir. Bu durumdabankada en az 2200 TL’si varsa Mehmet Bey’in bafllang›çta kaç TL paras› olabilece¤inibulunuz.

13 Afla¤›daki ifadelere uygun do¤rusal eflitsizlikler yazarak çözüm kümelerini bulunuz. Çözümkümelerini verilen say› do¤rusundan uygun olan› ile efllefltiriniz.

1) 7 eksi¤i -3’e eflit veya -3’ten büyük olan say›lar2) 9 ç›kar›l›nca 7’den büyük olmayan say›lar3) 5 kat›ndan 7 ç›kar›ld›¤›nda -47’den küçük olan say›lar4) 1’e eflit olmayan say›lar

-12 -8 -4 0 84 1612

-3 -2 -1 0 2 31-4 4

-5 -4 -3 -2 0-1

-10 -8 -6 4 02 42

-10 -8 -6 4 02 42

-8 -6 -4 0 42-2 86

A

BC

(a + 23º)

A)

B)

C)

D)

E)

F)

9 Afla¤›daki ifadeyi denklem sistemine dönüfltürünüz ve grafikle çözünüz.“‹ki say›n›n toplamlar› 10’dur. Büyük say›n›n 2 kat›ndan küçük say›n›n 3 kat› ç›kar›ld›¤›ndafark 5’tir.”

2 31 4 5

208

a) Hangi kutucuklardaki say›lar 3x - 4 < 8 do¤rusal eflitsizli¤inin çözüm kümesinde yer al›r?b) 4x - 2 ≤ 18 do¤rusal eflitsizli¤inde x’in alabilece¤i en büyük tam sayı de¤eri hangikutucukta verilmifltir?c) 10a - 37 > -7 do¤rusal eflitsizli¤inde a’n›n alabilece¤i en küçük tam sayı de¤eri hangikutucuktad›r?

14 Afla¤›daki x de¤erlerinden hangisi 4 < x - 3 do¤rusal eflitsizli¤ini sa¤lar?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

15 Afla¤›daki do¤rusal eflitsizliklerden hangilerinin çözüm kümesi x + 3 ≥ -2 do¤rusal eflitsizli¤inçözüm kümesi ile ayn›d›r.

I) 2x + 3 ≥ -5 A) I ve II II) x - 4 ≥ -9 B) I ve IIIIII) x + 5 ≥ 0 C) II ve IIIIV) 3x + 4 > -5 D) III ve IV

16 “x’in 4 de¤erine karfl›l›k y’nin alabilece¤i en büyük de¤er 3’tür.”Yukar›daki ifadeye uygun do¤rusal eflitsizlik afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 2x - 5 ≥ y B) y ≥ 2x - 5 C) y < 2x - 5 D) y > 2x - 5

17 “Bir say›n›n 2 kat› ile baflka bir say›n›n 5 fazlas›n›n toplam› 15’ten küçüktür.”

a) ‹fadeye uygun do¤rusal eflitsizli¤i yaz›n›z.b) Do¤rusal eflitsizli¤in grafi¤ini çiziniz.c) (-1,4) s›ral› ikilisinin eflitsizli¤i sa¤lay›p sa¤lamad›¤›n›, grafikten yararlanarak bulunuz.

18 x - y ≥ 5 ve y ≥ x + 7 do¤rusal eflitsizliklerinin grafiklerini ayn› koordinat sistemindeçiziniz. ‹ki eflitsizli¤i de sa¤layan bir nokta olup olmad›¤›n› grafiklerden faydalanarak bulunuz.

19

3 4

-7 20

Yandaki kutucuklarda verilen sayılara göreafla¤›daki soruları cevaplay›n›z.

1

5 82

1 2 3

4 5 6

7 8 9


209

• Trigonometri• Sinüs (sin)• Kosinüs (cos)• Tanjant (tan)• Kotanjant (cot)

AnahtarKavramlar


Trigonometri sözcü¤ü, Yunanca üçgen (trigon) veölçüm (metrio) sözcüklerinin birlefliminden oluflur.Üçgenlerin kenarlar› ile aç›lar› aras›ndaki iliflkilerioluflturmak amac›yla kullan›l›r. M›s›rl›lar ve Babilliler,arazi ölçümlerinde, yap›larda, astronomide ve güneflsaatinde trigonometriden yararlanm›fllard›r.

............ Bu oran A’n›n tanjant›d›r.

c = 5cm

b = 4cm

a = 3cm

AC

B

IBCIIABI

= Karfl› dik kenar uzunlu¤uHipotenüs uzunlu¤u

=ac

=35

............. Bu oran A’n›n sinüsüdür.

sinA =

35

fleklinde gösterilir.

IACIIABI

= Komflu dik kenar uzunlu¤uHipotenüs uzunlu¤u

= bc

= 45

............ Bu oran A’n›n kosinüsüdür.

cosA = 45

’fleklinde gösterilir.IBCIIACI

= Karfl› dik kenar uzunlu¤uKomflu dik kenar uzunlu¤u

= ab

= 34

tanA =34

fleklinde gösterilir.

Yanda verilen dik üçgendeki dar aç›lar›n oranlar›n› bulal›m.

A aç›s› için IBCIIABI

IACIIABI

IBCIIACI

IACIIBCI

oranlar›n› bulal›m:, , ,

ÖRNEKÖRNEK


Araç ve Gereç Kareli kâ¤›da kenar uzunluklar› 6 birim,8 birim ve 10 birim olan bir dik üçgençizerek aç›lar›n› flekildeki gibi isimlendirelim.Üçgenin A aç›s›n›n,

Trigonometrik Oranlar

•Kareli kâ¤›t •Cetvel •Kalem

A

B C6 birim 10 birim

8 birim• Karfl›s›ndaki dik kenar›n›n uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤unaoran›n› yaz›n›z.

• Komflu olan dik kenar›n›n uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤una oran›n› yaz›n›z.• Karfl›s›ndaki dik kenar›n uzunlu¤unun bu aç›ya komflu olan dik kenar›n uzunlu¤unaoran›n› yaz›n›z.• Komflu olan dik kenar›n uzunlu¤unun bu aç›n›n karfl›s›ndaki dik kenar›n uzunlu¤unaoran›n› yaz›n›z.Ayn› oranlar› C aç›s› için de bulunuz.A ve C aç›lar› için buldu¤unuz oranlar aras›nda bir birine eflit olanlar var m›d›r? Oranlararas›nda nas›l bir iliflki oldu¤unu aç›klay›n›z.

210

Buldu¤umuz oranlar› inceledi¤imizde A aç›s›n›n tanjant ve kotanjant de¤erleri çarpmaifllemine göre birbirinin tersi oldu¤unu görürüz.

Ayn› ifllemleri A aç›s›n›n tümleri olan B aç›s› için yapal›m.

B aç›s› için , ,

,

oranlar›n› bulal›m:

IACIIBCI

= Komflu dik kenar uzunlu¤uKarfl› dik kenar uzunlu¤u

= ba

= 43

............ Bu oran A n›n kotanjant›d›r.43

cotA = fleklinde gösterilir.

Birbirinin tümleri olan A ve B aç›lar›n›n trigonometrik oranlar›n› karfl›laflt›ral›m:

IACIIABI

= Karfl› dik kenar uzunlu¤uHipotenüs uzunlu¤u

= bc

= 45

.................... Bu oran B aç›s›n›n sinüsüdür.45

sinB = fleklinde gösterilir.

IBCIIABI

= Komflu dik kenar uzunlu¤uHipotenüs uzunlu¤u

= ac

= 35

....................Bu oran B aç›s›n›n kosinüsüdür.35

cosB = fleklinde gösterilir.

IACIIBCI

= Karfl› dik kenar uzunlu¤uKomflu dik kenar uzunlu¤u

= ba

= 43

.................... Bu oran B aç›s›n›n tanjant›d›r.43

tanB = fleklinde gösterilir.

IBCIIACI

= Komflu dik kenar uzunlu¤uKarfl› dik kenar uzunlu¤u

= ab

= 34

.................... Bu oran B aç›s›n›n kotanjant›d›r.

34

cotB = fleklinde gösterilir.

35

sinA=

45

cosA=

34

tanA=

43

cotA=

45

sinB=

35

cosB=

43

tanB=

34

cotB=

Yukar›da da görüldü¤ü gibi birbirinin tümleri olan A ve B aç›lar› için;sinA = cosB, cosA = sinB, tanA = cotB, cotA = tanB dir.

A aç›s›n›n sinüs ve cosünüs de¤erlerini oranlayarak hangi de¤erlere ulaflt›¤›n›z› aç›klay›n›z.

211

sinA = Karfl› dik kenar uzunlu¤uHipotenüs uzunlu¤u

= IBCIIACI

= ab

cosA= Komflu dik kenar uzunlu¤uHipotenüs uzunlu¤u

= IABIIACI

= cb

tanA = Karfl› dik kenar uzunlu¤uKomflu dik kenar uzunlu¤u

= IBCIIABI

= ac

cotA = Komflu dik kenar uzunlu¤uKarfl› dik kenar uzunlu¤u

= IABIIBCI

= ca

Bu oranlara A aç›s›n›n “trigonometrik oranlar›” denir.

bc

a CB

A

ABD dik üçgeninde AD uzunlu¤unu Pisagor Ba¤›nt›s›’ndan bulal›m:IADI2 = IABI2- IBDI2

IADI2 = 22- 12

IADI2 = 3IADI = 3 birimABD dik üçgeninde s(A) = 30º ve s(B) = 60ºdir.

Dar aç›lar›n ölçüleri 30º ve 60º olan dik üçgendeki trigonometrik oranlar› bulal›m.Bu dik üçgeni, bir kenar uzunlu¤u 2 br olan eflkenar üçgenden yararlanarak oluflturabiliriz.

IABI=IACI=IBCI=2 birimEflkenar üçgende yükseklik hem aç›ortay hem dekenarortay oldu¤undanIBDI=IDCI=1 birimdir.

A

CB

2br

D

60º 60º

30º 30º

1br

A

B

2br

D

60º

30º

3br

IBDIIABI

sin30º =12

=

12

cos60º =IBDIIABI

=cos30º =IADIIABI

= 32

tan30º = 13

IBDIIADI

=

31

cot30º =IADIIBDI

= = 3

IADIIABI

sin60º = 32

=

31

tan60º = IADIIBDI

= 3=

13

cot60º =IBDIIADI

= olur.

1br

1br

2br

212

Ölçüsü 45ºlik aç›n›n trigonometrik oranlar›n› bulal›m.Bir dar aç›sın›n ölçüsü 45º olan dik üçgenin di¤er dar aç›s›nın da ölçüsü 45º dir. Buüçgen ikizkenar dik üçgendir. Bu üçgeni, ikizkenarlar›n›n uzunluklar› 1 birim olan diküçgenden yararlanarak oluflturabiliriz.

K

45º 45ºML

IKLI=IKMI=1 birimdir. Pisagor ba¤›nt›s›ndan LMuzunlu¤unu bulal›m.ILMI2=IKLI2+IKMI2

ILMI2=12+12

ILMI2=2ILMI= 2 birimdir.

K

45º 45ºML

2 br

LKM dik üçgeninde s( L)=45ºdir.

12

cos45º=IKLIILMI

=

11

cot45º=IKLIIKMI

= =1

IKMIILMI

sin45º= 12

=

tan45º= 11

IKMIIKLI

= =1


Sezin, uçurtma flenliklerinekat›lm›flt›r. Rüzgâr›n h›z›yla uçurtmaipi 30 m aç›lm›flt›r. Yere saplanançubuk ile 27º aç› yapan uçurtman›n;a) Yerden yüksekli¤i kaç metredir?

b) Uçurtma havada ve günefl tamtepede iken uçurtman›n gölgesi,yere saplanan çubu¤a 22,7 muzakl›kta ise ip kaç metre aç›lm›flt›r?

Problemi Anlayal›mUçurtma flenliklerine kat›lan

Sezin’in uçurtma ipi, çubuk ile 27ºaç› yapacak flekilde 30 m aç›lm›fl.

Plan Yapal›ma) Uçurtman›n yerden yüksekli¤i için önce yer ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsünü bulup durumu

gösteren dik üçgeni çizmemiz gerekir. Dik üçgendeki trigonometrik oranlar› kullanarakuçurtman›n yerden yüksekli¤ini hesaplar›z.

b) ‹p uzunlu¤unu, durumu ifade eden dik üçgenin trigonometrik oranlar› kullanarakbulunuz.

‹lk olarak uçurtman›n yerden yüksekli¤i, ikinci olarak da uçurtman›n gölgesi ile yere saplanançubuk aras›ndaki uzakl›ktan yararlanarak ayn› aç›yla uçan uçurtman›n kaç m aç›ld›¤›soruluyor.

1br1br

1br1br

213

Plan› Uygulayal›ma) Çubuk ile 27º aç› yapan ip, yer ile 90º-27º=63ºlik aç› yapar.Dik üçgende hipotenüs uzunlu¤u biliniyor. Bunun için ölçüsü63º olan aç›n›n sinüs de¤eri ile oranlad›¤›m›z uzunluklar› eflitleriz.

sin63º = Karfl› dik kenar uzunlu¤uHipotenüs uzunlu¤u

x30

sin63º =

Sayfa 217’deki trigonometri tablosundan ölçüsü 63º olan aç›n›n sinüsünü bulal›m.

Trigonometri tablosunda 63º sa¤ sütundad›r. Sa¤ sütundaki 63º ile alt sat›rdaki sinüs

sütununun kesiflimindeki de¤er 0,9810’dur.x

300,9810 = denkleminden x = 0, 8910 . 30

cos63º= Komflu dik kenar uzunlu¤uHipotenüs uzunlu¤u

22,7y

cos63º= Trigonometri tablosunda 63º lik aç›n›n kosinüsü 0,4540’t›r.

22,7y

0,4540= denkleminden22,7

0,4540y= y=50 m bulunur.

Kontrol EdelimGünefl tam tepede iken gölgesinin uzunlu¤u 22,7 m olan uçurtma ipi 50 m aç›l›r.

Buldu¤umuz sonucun do¤rulu¤unu, hesap makinesi kullanarak geriye do¤ru stratejisikullanarak kontrol edelim.

a50

cos63º = fonksiyonlu hesap makinesinde, 63º lik aç›n›nkosinüsü için 63 yaz›p cosx yazan tufla basmakyeterlidir. Hesap makinesinde cos63º = 0,4540bulunuz.

a50

0,4540 = denkleminden a = 22,7 m bulunur.

Uçurtman›n ayn› aç›yla 33 m yükselebilmesi için ipin kaç m daha aç›lmas› gerekti¤inibulunuz.Siz de trigonometrik oranlar› kullanaca¤›n›z bir problem kurup hesap makinesi veyatrigonometri tablosu yard›m› ile çözünüz.

a

50m

63º

b) Günefl tam tepede iken uçurtman›n gölgesi yere dik aç› iledüfler. ‹pin gölgesi 22,7 m’dir. Ölçüsü 63º olan aç›ya komfluolan dik uzakl›k biliniyor. Hipotenüs uzunlu¤unu bulmal›y›z.Bunun için ölçüsü 63º olan aç›n›n kosinüs de¤erini oranlar›z.

22,7m

y

63º

ve uçurtma ipinin uzunlu¤u x=29,43 m bulunur.

30m

x

63º

27º

214

1 Yandaki ABC dik üçgeninde; [BC] [DE] [FG] dir.Trigonometrik oranlar›n, üçgenlerin ölçülerine göre de¤iflipde¤iflmedi¤ini yandaki üçgeni kullanarak aç›klay›n›z.

B C

cb

A

a

2 Yandaki dik üçgene göre cosA, sinA , tanA ve cotA de¤erlerini “a,b,c” harflerine ba¤l› olarak bulunuz. Buldu¤unuz sonuçlar› karfl›laflt›r›n›zve ç›kard›¤›n›z sonucu aç›klay›n›z.

ÖRNEKÖRNEK

UYGULAMAUYGULAMA

B C

D

F

E

G

A

sinA = 35 ise cosA, cotA ve tanA de¤erlerini bulal›m.

sinA = 35 olacak flekilde bir dik üçgen çizelim.

Pisagor Ba¤›nt›s›’ndan bu üçgenin uzunlu¤u bilinmeyen a kenar›;

a2 + 32 = 52

a2 + 9 = 25a2 = 16 a = 4 olarak bulunur.

53

a

A

B C

53

4

A

B C

Bu dik üçgene göre;

cosA= Komflu dik kenar uzunlu¤u

Hipotenüs uzunlu¤u = 4

5

tanA = Karfl› dik kenar uzunlu¤uKomflu dik kenar uzunlu¤u

= 34

cotA = Komflu dik kenar uzunlu¤uKarfl› dik kenar uzunlu¤u

= 43

olur.

Ölçüleri 30º, 45º ve 60º olan dar aç›lar›n trigonometrik oranlar›ndan faydalanarak

cos30º + sin60ºtan45º

de¤erini hesaplayal›m.

B

2

C

60º

3

1

A

E1

F

45º 21

D

30º

45º

cos30º + sin60ºtan45º

=

cos30º = 32

sin60º = 32

tan45º = 11

= 1

32

+ 32

1

= 322

= 3 bulunur.

215

4 Bir dar aç›n›n sinüsü ve kosinüsü hangi de¤erler aras›nda yer almaktad›r?Trigonometri tablosundan yararlanarak belirtiniz.

5 ‹kizkenar fleklindeki bir çad›r›n tepe aç›s› 90º, geniflli¤i ise 4 m’dir. Bu çad›r›n yerdenyüksekli¤ini bulunuz.

1) Bir dik üçgende birdar açıya görekenarların oranlarıtrigonometrik oranlarolarak isimlendirilir.

3) Bir dik üçgende birdar açının tanjantı ilekotanjantının değerleriçarpımı -1’dir.

2) Bir dik üçgende ikidar açıdan birininsinüsü diğerininkosinüsüne eşittir.

4) Bir dik üçgende bir daraçının sinüsünündeğerinin, kosinüsünündeğerine oranı o açınınkontenjantını verir.

5) Bir dik üçgende bir daraçının sinüsüne ait oranbiliniyorsa kosinüsü, tanjantıve kotanjantı bulunabilir.

6) 0º ile 90º arasındaki daraçıların tanjantları 0 ile 1değerleri arasındadır.

1. ç›k›fl

2. ç›k›fl

3. ç›k›fl

4. ç›k›fl

5. ç›k›fl

6. ç›k›fl

7. ç›k›fl

8. ç›k›fl

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

7) Bir dik üçgende bir daraçının ölçüsü arttıkçakosinüsünün değeri azalır.

3 Yandaki flekilde, kuflun yerden yüksekli¤i kaç metredir?(cos 33º = 0,8387 ve tan33º = 0,6494)

80m

33º


9

7 Afla¤›da verilenleri kullanarak bir problem kurunuz ve çözünüz.

a = 3 m , b = 5 m , oyun park›

6 Bir model uçak, yerden 20º lik sabit aç›yla 30 m yol ald›¤›nda yerdenkaç metre yukar›dad›r? Problemi modelleyerek çözünüz.

20º

30m x

42Çalışma

Klinometre (Clinometer)nin ne oldu¤unu ve ne amaçla kullan›ld›¤›n› araflt›r›n›z. Klinometreyikullanarak bir cismin yüksekli¤ini hesaplay›n›z.

8

216


BC

D

F

E

G

A

HK

tan45º+cos60º+sin30ºcot45º

iflleminin sonucunu bulunuz.

3 cotx = ise tanx’in de¤erini bulunuz.

4 cosx = 0,9848 , siny = 0,3090 , tanz = 0,5317 , cota = 0,9004 oldu¤una göre x, y, z, aaç›lar›n›n ölçülerini trigonometrik oranlar tablosundan bulunuz.

5

Bir inflaat ustas› ulaflamad›¤› yerlere s›va yapmak için merdiven kullanacakt›r. 3 m’likmerdiveni 63º lik aç› ile duvara dayad›¤›nda, merdiven yerden kaç metre yukarıda veduvardan kaç metre uzakta bulunmaktad›r?

6

1 1) Yandaki ABC dik üçgeninde s(ABC) = 90º ve[CB] [ED] [GF] [KH] olarak verilmifltir. Buna göreafla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.

a) A açısının ölçüsünü ve üçgenlerin kenar uzunluklar›n›aç› ölçer ve cetvel kullanarak bulunuz.

b) AHK, AFG, ADE ve ABC dik üçgenlerinde cotA’n›nde¤erini bulunuz.c) Buldu¤unuz de¤erleri kendi aran›zda karfl›laflt›r›n›zve ç›kard›¤›n›z sonucu aç›klay›n›z.ç) cotA’n›n de¤erini trigonometrik oranlar tablosundanbularak, b fl›kk›nda buldu¤unuz sonuçlarlakarfl›laflt›r›n›z. Ç›kard›¤›n›z sonucu aç›klay›n›z.

2 cot55º=0,7002 oldu¤una göre yanda verilen üçgendex’in de¤erini bulunuz.

CB

270mm

35º

A

x



217

0 0,0000 0,0000 ÅÂ 1,0000 901 0,0175 0,0175 57,2900 0,9998 892 0,0349 0,0349 28,6362 0,9994 883 0,0523 0,0524 19,0811 0,9986 874 0,0698 0,0699 14,3007 0,9976 865 0,0875 0,0875 11,4300 0,9962 856 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 847 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 838 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 829 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 8110 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 8011 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 7912 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 7813 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 7714 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 7615 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 7516 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 7417 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 7318 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 7219 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 7120 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 7021 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 6922 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 6823 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 6724 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 6625 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 6526 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 6427 0,4540 0,5095 1,9626 0,9810 6328 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 6229 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 6130 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 6031 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 5932 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 5833 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 5734 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 5635 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 5536 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 5437 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 5338 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 5239 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 5140 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 5041 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 4942 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 4843 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 4744 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 4645 0,7071 0,1000 1,0000 0,7071 45

“Trigonometri Tablosu” dar aç›lar›n trigonometrik oranlar›n› bulmak amac›yla kullan›l›r. Ölçüleri1º den 45º ye kadar olan aç›lar yukar›dan afla¤›ya do¤ru, 45º den 90º ye kadar olan aç›lar iseafla¤›dan yukar›ya do¤ru gösterilmifltir.

Ölçüsü bulunacak aç› 1º ile 45º aras›nda ise üst sat›rda yaz›l› olan trigonometrik oran sütunuile sol tarafta yaz›l› olan aç›n›n kesiflti¤i de¤er al›n›r (Örne¤in 38º lik aç›n›n tanjant› tan38º=0,7813’tür.).

Ölçüsü bulunacak aç› 45º ile 90º aras›nda ise alt sat›rda yaz›l› trigonometrik oran ile sa¤tarafta yaz›l› aç›n›n kesiflti¤i de¤er al›n›r (Örne¤in 72º lik aç›n›n kosinüsü, cos72º=0,3090’d›r.).

TR‹GONOMETR‹ TABLOSU

Aç› sin tan cot cos Aç›(Derece)

Aç› cos cot tan sin Aç›

218

Bafllang›ç ve Bitifl Noktas›: GEOMETR‹

1 Kodu DD1 olan yap›n›n görünümünün çizimi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) C)B) D)

2 Yandaki yap›n›n kodu afla¤›dakilerden hangisidir?

A) LZ1 B) LZ2 C) ZZ1 D) L21

3 Bir geometrik cisim seçiniz. Seçti¤iniz geometrik cismingörünümünü çiziniz ve simetri düzlemlerini belirleyiniz.

4 Bir düzgün alt›geni ekseni etraf›nda en az kaç derece çevirirsek görünümü de¤iflmez kal›r?A) 30 B) 60 C) 90 D) 120

5 Yandaki flekilde e¤im, %12’dir. 200 metrelik yatay uzunlu¤akaç metre yükseklik karfl›l›k gelir?A) 12 B) 24 C) 100 D) 120

6 Bir do¤runun e¤imi 0,8’dir. Do¤rudaki dikey de¤iflim 2 kat, yatay de¤iflim 5 kat art›r›l›yor.E¤imdeki de¤iflim yüzde kaç olur?A) 20 B) 24 C) 48 D) 50

7 Afla¤›daki ifadelerde verilen boflluklar› tamamlay›n›z.

a) -2x + y - 2 = 0 denkleminin belirtti¤i do¤runun e¤imi ..................... say›s›d›r.

b) E¤imi 0 olan do¤runun denklemi ...................... olabilir.c) E¤imleri çarp›m› -1 olan do¤rular, .................... do¤rulard›r.


219

8 ay=bx+2 do¤ru denklemine göreyandaki tabloyu tamamlay›n›z.

Tablo: Do¤ru Denklemi ve Do¤rununE¤imi

y’ninkat say›s› (a)

x’ninkat say›s› (b)

E¤im(m)

-2tt

k

698 102

-18 E¤imyoktur.

3

0

9 x ekseni, y ekseni, y=2 do¤rusu ve x+y=5 do¤rusunun s›n›rlad›¤› yamuksal bölgenin alan›kaç birimkaredir?A) 6 B) 8 C) 9 D) 10

10 y = 2xx = y-8

a) Denklemlerle iliflkilendirebilece¤iniz bir problem kurunuz ve çözünüz.b) Yukar›da verilen denklem sistemini grafik kullanarak çözünüz.

denklem sistemine göre afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.

11 Afla¤›dakilerden hangisi, -4 ≤ x < 3 eflitsizli¤inin çözüm kümesinin say› do¤rusundagösterilmifl hâlidir?

12 Yandaki terazi modeli dengededir. Terazininsol kefesine 2 kg’l›k bir kütle konuldu¤unda,terazi modelinin son durumuna uygun eflitsizlikifadesi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) x+6>8B) x+8≥6C) x+6<8D) x+8≤6

Bilinmeyen kütle

5 kg’l›k kütle

2 kg’l›k kütle

1 kg’l›k kütle

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

A)

B)

C)

D)

220

13 A= x - 4 < - 2 do¤rusal eflitsizli¤inin çözüm kümesi

B= x - 4 = - 2 do¤rusal denkleminin çözüm kümesi

Yukar›da verilen kümeler için seçeneklerden hangisi do¤rudur?A) B kümesi, A kümesinin alt kümesidir.B) A kümesi ile B kümesinin birleflimi reel say›lar kümesini verir.C) A kümesi ile B kümesinin eleman say›s› eflittir.D) A kümesinin sonsuz eleman› vard›r.

14 “x’in alabilece¤i en küçük de¤er -2’dir.”Yukar›daki ifadenin belirtti¤i do¤rusal eflitsizlik afla¤›dakilerden hangisidir?

A) -x+4<3B) -x-7<-4C) x≤-3D) x≥-2

15 Afla¤›daki grafiklerden hangisi -x - y<0 do¤rusal eflitsizli¤inin grafi¤idir?

y

x

A) y

x

B) y

x

C) y

x

D)

16 Afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r?

A) sin20º = cos70º B) tan35º = cot55º

C) tan7º = ºº D) cot12º =

18 2.sin45º + 3.cos60º -sin30º iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

A) B) 2-1 C) 2+1 D) 2( 2+1)

17 Yandaki ABC dik üçgeninde;

s(ABC)=90º

s(ACB)=30º

IACI=15 cm oldu¤una görex’in de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 30 cm B) cm C) cm D) 30 3 cm

X 15 cm

A

B C30º

43Çalışma

221

SÖZLÜK

Aana do¤ru: Konide tepe noktası ve tabanın kenarı olan çemberin herhangi bir noktasındangeçen doğrulardan her biri, doğuran.aritmetik dizi: Bir sayıya başka bir sayının ardışık eklenmesi veya çıkarılmasıyla oluşanörüntü.

Bba¤›ml› olay: İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesinin bir birine bağlı olması, bir olayınsonucunun diğer olayın sonucunu etkilemesi.ba¤›ms›z olay: İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesinin bir birine bağlı olmaması, birolayın sonucunun diğer olayın sonucunu etkilememesi.benzer terim: Bir cebirsel ifadede kuvvetleri aynı olan bir değişkenin aynı veya farklı katsayılara sahip terimleri.bilimsel gösterim: Bir sayının a.10n şeklinde yazılması (1≤a<10, a R ve n Z).bilinmeyen: Bir eşitliği sağlayan sayılara karşılık gelen sembol ya da harf.

Ccebirsel ifade: Sayıların bilinmeyenle temsil edildiği matematik cümlesi.

Ççap: Çemberin merkezinden geçen ve uç noktaları çember üzerinde bulunan doğru parçası.çember: Düzlemde bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesi.çember parças›: Çemberin iki noktası arasında kalan parçası, çember yayı.çevre aç›: Köşesi ve uç noktaları çember üzerinde olan açı.

Ddaire: Çember ile iç bölgesinin birleşimi.daire dilimi: Bir dairede, merkez açının iç bölgesiyle gördüğü yay arasında kalan kısmı,sektör.daire grafi¤i: Bir bütünün parçaları hakkında bilgi sunmada kullanılan daire şeklindekigrafik türü.de¤iflken: Sayıları temsil eden harf.deneysel olas›l›k: Bir olayın olma olasılığını deneyerek bulma.denklem: İçinde en az bir bilinmeyenin bulunduğu eşitlik.d›fl ters aç›: Herhangi iki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde bu doğruların arasındaolmayan ve kesenin her iki tarafında komşu olmayan açılar.d›flbükey çokgen: Köşegenlerinin bazılarının çokgenin dışında kalmasıyla oluşan çokgen.dik kenar: Bir dik üçgende dik açıyı oluşturan kenarlardan her biri.do¤ru orant›: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artan ya da biri azalırkendiğeri de aynı oranda azalan çokluklar arasındaki orantı çeşidi.do¤rusal iliflki: İki değişkenden oluşan ax+by+c=0 biçimindeki cebirsel ifade.dönme aç›s›: Bir şeklin dönme merkezi etrafında döndürüldüğü açı.

Ee¤im: Bir doğruda y koordinatındaki uzunluk değişiminin x koordinatındaki uzunluk değişimineoranı.eksen: Dairesel silindirde birbirine eş ve paralel iki daire olan tabanları birleştiren doğru.eflitlik: İçinde “=” sembolü bulunan matematik cümlesi.eflitsizlik: İçinde <, >, ≤, ≥ veya ≠ sembollerinden en az birinin bulunduğu matematikcümlesi.etkisiz eleman: İşlemde etkisi olmayan eleman.

222

Ffaktöriyel: 1'den n'ye kadar (veya n'den geriye doğru 1'e kadar) olan doğal sayılarınçarpımı.fraktal: Bir şeklin ardışık olarak aynı oranda küçültülmesi veya büyütülmesiyle inşa edilenörüntü.

Ggeometrik dizi: Bir sayıyla başka bir sayının ardışık çarpılması veya bölünmesiyle oluşanörüntü.gerçek say› kümesi: Rasyonel ile irrasyonel sayı kümelerinin birleşimi ile oluşan sayıkümesi.

‹içbükey çokgen: Köşegenlerinin tamamının çokgenin iç bölgesinde kalmasıyla oluşançokgen.iç ters aç›: Herhangi iki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde bu doğruların arasında vekesenin her iki tarafında komşu olmayan açılar.irrasyonel say›lar: İki tam sayının birbirine bölümü şeklinde yazılamayan sayılar.

Kkarekök alma: Verilen bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma.kartezyen koordinat sistemi: Düzlemde, birbirine dik iki doğrunun 0 noktasında kesişerekoluşturduğu sistem.kirifl: Uç noktaları çember üzerinde bulunan doğru parçası.kombinasyon: Sıranın önemli olmadığı bir listeleme biçimi.koni: Tabanı daire şeklinde olan ve bir tane tepe noktası bulunan geometrik cisim.küre: Uzayda bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesini oluşturduğu geometrikcisim.

Mmajör yay: Merkez açının çemberi kestiği noktalar arasında kalan büyük çember yayı.medyan: Ortanca değer.merkez aç›: Köşesi merkezde, uç noktaları çember üzerinde olan açı.merkezil dönme: Noktaya göre simetri.minör yay: Merkez açının çemberi kestiği noktalar arasında kalan küçük çember yayı.mod: Tepe değer.

Nnegatif kuvvet: an ifadesindeki n sayısının negatif olması (a bir rasyonel sayı).

Oortanca de¤er (medyan): Bir veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında terim sayısıtek ise ortadaki sayı, çift ise ortadaki iki sayının toplamının yarısı.

Öötelemeli yans›ma: Bir şeklin önce ötelenmesi sonra ötelenen şeklin yansıması.özdefllik: İçerdiği değişkene verilen bütün değerler için her iki yanında aynı sonucun eldeedildiği eşitlik.öznel olas›l›k: Bir olayın olma olasılığının kişiden kişiye göre değişmesi.

Ppermütasyon: Sıranın önemli olduğu bir listeleme veya diziliş biçimi.piramit: Tabanı bir çokgensel bölgeye, yanal yüzleri üçgensel bölge olan ve bir tepenoktasına sahip geometrik cisim.pozitif kuvvet: an ifadesindeki n sayısının pozitif olması.

223

KISALTMA VE SEMBOLLER

YüzdeRasyonel sayılar kümesiAB yayıAB yayının ölçüsüKüçük eşitBüyük eşitPi sayısın faktöriyeln’nin r’li permütasyonlarının sayısıKesişimBirleşim

ABCBINZ

%[AB[AB] AB doğru parçası

AB ışınıParalellikDiklikBenzerlik veya yaklaşık değerEşlikABC açısıB açısıDoğal sayılar kümesiTam sayılar kümesi

ABs(AB)

Q

≤≥πn!

P(n,r)

Rrasyonel say›: a bir tam sayı, b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere biçimindekisayılar.

Ss›ral› ikili: Kartezyen koordinat sisteminde bir noktanın yerini belirlemek için kullanılan sayıçifti.sektör: Bir dairede, merkez açının iç bölgesiyle, gördüğü yay arasında kalan kısmı, dairedilimi.standart sapma: Verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar saptıklarını gösteren bir merkezîyayılma ölçüsü.süsleme kodu: Bir süslemede, her köşedeki düzgün çokgensel bölgelerin kenar sayısı.

Tte¤et: Çember ile yalnızca bir ortak noktası olan doğru.tepe de¤er: Veri grubunda en çok tekrar eden sayı.terim: Bir cebirsel ifadede bir veya birden fazla değişken ile bir sayının çarpımı.ters orant›: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda azalan ya da biri azalırkendiğeri de aynı oranda artan çokluklar arasındaki orantı çeşidi.

Üüçgen eflitsizli¤i: Bir üçgende iki kenar uzunluğunun toplamının, üçüncü kenarınuzunluğundan küçük ve iki kenar uzunluğunun farkının üçüncü kenarın uzunluğundanbüyük olması.

Xx ekseni: Kartezyen koordinat sistemindeki yatay eksen.

Yy ekseni: Kartezyen koordinat sistemindeki dikey eksen.yans›ma: Bir şeklin doğruya göre simetrisi.yay: Çemberde farklı iki nokta arasındaki çember parçası.

224

KAYNAKÇA

ALTUN, M., Matematik Ö¤retimi, Alfa Yay›nlar›, Bursa, 2002.

BAYKUL, Y., ‹lkö¤retimde Matematik Ö¤retimi, Pagem Yay›nc›l›k, 2004.

CHAPIN, S.H., Middle Grades Mathematics An Interactive Approach, Prentice Hall,New Jersey, 1995.

DAVID, M.; L. MARSHA, Prentice Hall Pre-Algebra, A Paramount Comminications, 1991.

DIETER, B.; B. BARBARA, Schnittpunkt 6, Ernst Klett Verlag GmbH,Stuttgart, 1998.

Glencoe/McGraw-Hill, Mathematics, Columbus, 2001.

Glencoe/McGraw-Hill, Mathematics, Course 2, 1999.

HAESE, S.; R. HAESE, Mathematics For Year 8, Haese Harris Publications, Australia,2004.

HAESE, S.; R. HAESE, Pulgies, S., Mathematics For Year 7, Haese Harris Publications,Australia.

JOHN, Busbridge; Durmufl Ali ÖZÇEL‹K, ‹lkö¤retim Matematik Ö¤retimi, YÖK, Ankara,1997.

LEHMANN, K.; W. SCHULZE, Schnittpunkt 6, Ernst Klett Schulbuchverlag GmbH,Stuttgart, 1994.

LICHTENBERG, B. K.; A. P. TROUTMAN, Mathematics A Good Beginning, Wadsworth,Belmont, 2003.

Matematik Terimleri Sözlü¤ü, Türk Dil Kurumu Yay›nlar›, Ankara, 2000.

MEB, 6-8. S›n›flar ‹lkö¤retim Matematik Dersi Ö¤retim Program› ve K›lavuzu, Millî E¤itimBakanl›¤› Yay›nlar›, Ankara, 2005.

RAYNER, Moraska, Achim Olpp, Schnittpunkt 8, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart,1997.

SERTÖZ, S., Matemati¤in Ayd›nl›k Dünyas›, Tübitak Yay›nlar›, Ankara, 2006.

TDK, Yaz›m K›lavuzu, Türk Dil Kurumu Yay›nlar›, Ankara, 2005.

TDK, Türkçe Sözlük, Türk Dil Kurumu Yay›nlar›, Ankara, 2005.

BASSAREAR, Tom, Mathematics For Elementary School Teachers, Houghton MifflinCompany, Boston, New York, 1997.

URAL, fi., K›ran K›rana Zekâ Sorular›, TimaflYay›nlar›, ‹stanbul, 2005.

8. sınıf matematik ders kitabı.pdf

Documents