7_lec07 - sistemas en tiempo continuo

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Sistemas en Tiempo Continuo

Dr. Luis Javier Morales MendozaProcesamiento Analógico de Señales

FIEC - UV

Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2

Índice7.1. Introducción

7.2. Clasificación de los sistemas continuos

7.2.1. Principio de superposición

7.2.2. Sistemas lineales y no-lineales

7.2.3. Sistemas invariantes y variantes en el tiempo

7.2.4. Sistemas estáticos y sistemas dinámicos

7.2.5. Sistemas causales y no causales

7.2.6. Sistemas estables e inestables

7.3. Dimensionalidad de los sistemas continuos

7.4. Retroalimentación de un sistema continuo

7.5. Tarea

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IntroducciónUn sistema en tiempo continuo es un operador matemático que transfor-ma una señal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y/o funciones. La notación T[.] es usado para representar un sistema general, tal como se muestra en la Figura 7.1.

x(t) y(t) = T[x(t)]T[.]

Figura 7.1. Representación de un sistema en tiempo de continuo como una transformación T[.] que mapea una señal de entrada x(t) en una señal de salida y(t).


IntroducciónUn sistema en tiempo continuo puede ser definido también como un con-junto de operaciones matemáticas, las cuales tienen como objetivo la apli-cación científica en un área específica. Por ejemplo, la médica, la indus-trial, comunicaciones, milicia, entre otras tantas aplicaciones.

GeneradorPulso Atenuador Realzado

Pulso

Imagen

CuerpoFigura 7.2:AplicaciónMédica

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IntroducciónProceso de Manufactura

Sensores

Regulador

Figura 7.3: Aplicación Industrial

Figura 7.4. Aplicación en Comunicaciones

Transmisor

Receptor


Introducción

Avión con radar SAR

Zona de alta resolución

Sombra del lóbulo principal del haz del radar

Figura 7.5. Aplicaciones en la milicia

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Clasificación de los Sistemas Continuos

Tanto en el análisis como en el diseño de sistemas es conveniente realizar una clasificación de los mismos según las propiedades generales que lo satisfacen. De hecho, las técnicas matemáticas que se desarrollan para analizar y diseñar sistemas en tiempo continuo dependen fuertemente de las características generales de los sistemas que se consideren. Por esta razón, es necesario desarrollar una serie de propiedades y categorías que puedan usarse para describir las características generales de los sistemas en tiempo discreto.

Se debe destacar que, para que un sistema disponga de una propiedad determinada, está debe cumplirse para cada señal posible en la entrada del sistema. Si una propiedad se satisface para algunas señales de entrada pero no para otras, el sistema no posee tal propiedad.


Principio de SuperposiciónEs bien conocido que el comportamiento físico de cualquier sistema puede ser descrito por la relación de la respuesta de salida a la excitación de una entrada tal como se muestra en la Figura 7.1. Primero, supóngase que la respuesta de salida y la excitación de entrada son cantidades medibles. Digamos que la respuesta de salida g1(x, y) es causada por la excitación de entrada f1(x, y) y una segunda respuesta g2(x, y) es producida por f2(x, y). Las relaciones entrada-salida se escriben de la siguiente manera

( ) ( )yxgyxf ,, 11 → ( ) ( )yxgyxf ,, 22 → (7.1)

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Principio de Superposiciónen donde, (x, y) representa un sistema de coordenadas espacial bidimencional.Si la suma de esta dos excitaciones de entrada se aplican a la entrada del sistema físico, la respuesta de salida correspondiente sería una combinación lineal de g1(x, y) y g2(x, y) , esto es

( ) ( ) ( ) ( )yxgyxgyxfyxf ,,,, 2121 +→+ (7.2)

La (7.2) junto a (7.1) representan la muy conocida propiedad de adición de un sistema lineal, la cual es también conocida como propiedad de superposición. En otras palabras, una condición necesaria para que un sistema físico sea lineal es que cumpla el principio de superposición.

El principio de superposición implica que en la presencia de una excita-ción en el sistema no afecta la respuesta causada por otras excitaciones.


Principio de Superposición

Si multiplicamos la entrada de excitación del sistema por una constante K, esto es, K f1(x, y) la respuesta de salida también estará multiplicada por esta constante, es decir

( ) ( )yxKgyxKf ,, 11 → (7.3)

entonces se dice que el sistema tiene la propiedad de homogeneidad. En otras palabras, un sistema lineal es capaz de preservar el factor de escala de una excitación de entrada.

Así, si un sistema físico va a ser un sistema lineal, debe poseer las propiedades de adición y homogeneidad definidas en (7.2) y (7.3).

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Sistemas Lineales y No-LinealesLos sistemas, en general, pueden subdividirse en lineales y no lineales.

Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición. De forma sencilla se puede decir que el principio de superposición exige que la respuesta del sistema a una suma ponderada de señales sea igual a la correspondiente suma ponderada de las salidas a cada una de las señales de entrada.

En otras palabras, un sistema T[.] es lineal si para dos entradas x1(t) y x2(t) y dos constantes a y b se cumple la siguiente propiedad

[ ] )]([)]([)()( 2121 txbTtxaTtbxtaxT +=+ (7.4)


Sistemas Lineales y No-Lineales

Para cualesquiera secuencias arbitrarias de entrada x1(t) y x2(t), y cuales-quiera constantes arbitrarias a y b. El principio de superposición dado en la relación (7.4) se puede expresar en dos partes. Para la primera parte, se supone que b = 0, entonces se reduce a

( )[ ] ( )[ ]txaTtaxT 11 =

Esta relación muestra la propiedad de multiplicación ó escalonado de un sistema lineal. Esto es, si la respuesta del sistema a x1(t) es y(t), entonces la respuesta del sistema ax1(t) es simplemente ay(t).

Por tanto, cualquier escalonado de la entrada produce un escalonado igual de la salida correspondiente.

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( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]txTtxTtxtxT 2121 +=+

Esta relación muestra la propiedad aditiva (7.2) de un sistema lineal. La propiedad aditiva y multiplicativa definen el principio de la superposicióntal y como se aplica a los sistemas lineales.

Para la segunda parte, se supone que a = b = 1, entonces de tiene

- Si un sistema produce una salida distinta a cero cuando la entrada es cero, el sistema no está en reposo o no es lineal.

- Si un sistema en reposo no verifica el principio de super-posición tal como se ha definido, entonces se dice que el sistema es no-lineal.



( ) ( )ttxty =

Ejemplo 1. Determine para cada uno de los sistemas si son o no lineales

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]txtTttxTtytx 1111 ==→

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]txtTttxTtytx 2222 ==→

( ) ( ) ( )txtxtx 213 +=

a)

Sol. Se tiene que para diferentes entradas

( ) ( )[ ] ( ) ( )ttyttytxTty 2133 +== ∴ Es Lineal

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Sistemas Lineales y No-Lineales( ) ( )2txty =b)


( ) ( ) ( )[ ]2111 txTtytx =→

( ) ( ) ( )[ ]2222 txTtytx =→

( ) ( ) ( )txtxtx 213 +=

( ) ( )[ ] ( ) ( )tytytxTty 2133 +== ∴ Es Lineal


Sistemas Lineales y No-Lineales( ) ( )txty 2=c)


( ) ( ) ( )[ ]txTtytx 2111 =→

( ) ( ) ( )[ ]txTtytx 2222 =→

( ) ( ) ( )txtxtx 213 +=

( ) ( )[ ] ( ) ( )tytytxTty 2133 +≠= ∴ Es No Lineal

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Sistemas Lineales y No-Lineales( ) ( ) btaxty +=d)


( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] 11111111 btxTabtxaTtytx +=+=→

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] 22222222 btxTabtxaTtytx +=+=→

( ) ( ) ( )txtxtx 213 +=

( ) ( )[ ] ( ) ( )tytytxTty 2133 +== ∴ Es Lineal


Sistemas Lineales y No-Lineales( ) ( ){ }txty exp=e)

Sol. Se verifica fácilmente que

( ) 0=tx

∴ Es No Lineal

si

entonces ( ) 1=ty

Esto indica que el sistema es no lineal. Este hecho, es la conclusión que se llega si se aplica una prueba de linealidad.

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Sistemas Variantes e Invariantes

( ) ( )yxgyxf ,, →

Existe otro aspecto físico importante que caracteriza un sistema lineal con parámetros constantes. Si la respuesta de salida de un sistema físico perma-nece inalterada con respecto a la excitación de entrada, se dice que el sistema físico tiene la propiedad de invarianza espacial. La calificación de que un sistema sea invariante es forma espacial es que:

( ) ( )0000 ,, yyxxgyyxxf −−→−− (7.5)

En donde f(x, y) y g(x, y) son la excitación de entrada correspondiente y la respuesta de salida, respectivamente, y y0 y x0 son constantes arbitrarias.


Sistemas Variantes e InvariantesUn sistema se dice invariante en el tiempo si sus características de entrada y salida no cambian con el tiempo. Para entender esto, supóngase que se tiene el sistema T[.] en reposo y que, cuando se excita con una señal x(t), produce una señal de salida y(t). Entonces, se puede escribir

( ) [ ])(txTty = (7.6)

Supóngase ahora que esa misma entrada es retardada t0 unidades de tiempo para dar lugar a x(t – t0), y de nuevo se aplica al mismo sistema.

Si las características del sistema no cambian con el tiempo, la salida del sistema del sistema en reposo será y(t – t0), es decir, la salida será la misma que la correspondiente a la entrada x(t), excepto que este estará retardada las mismas t0 unidades de tiempo que se retardó la entrada.

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Sistemas Variantes e InvariantesEsto conduce a definir un sistema invariante en el tiempo o invariante ante desplazamientos de la siguiente forma:

Teorema: un sistema en reposo T[.] es invariante en el tiempo o invariante a desplazamientos si y solo si

( )tytxT→)( ( ) ( )00 ttyttx

T−→− (7.7)

para toda señal de entradas x(t) y todo desplazamiento temporal t0.

Para determinar si un sistema dado es invariante en el tiempo, se necesita realizar una prueba especificada, dada en (7.7). Básicamente, excitamos el sistema con una secuencia de entrada arbitraria x(t) que produce una salida denotada por y(t).


Sistemas Variantes e InvariantesEn seguida, se retarda la señal de entrada en la misma cantidad t0 y se recalcula la salida. En general, se puede escribir la salida como

( ) )]([, 00 ttxTtty −= (7.8)

- Si la salida cumple con (7.7), para todos los valores de t0, el sistema es invariante en el tiempo.

- En cambio, si la salida no cumple para un valor de t0, el sistema es variante en el tiempo.

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Sistemas Variantes e InvariantesEjemplo 2. Determine para cada uno de los sistemas discretos si son invariante o variantes en el tiempo

( ) ( ) ( )1−−= txtxtya)

Sol. Se tiene que

( ) ( ) ( )000 1, ttxttxtty −−−−=

( ) ( ) ( )000 1 ttxttxtty −−−−=−

( ) ( )00, ttytty −= ∴ Es un sistema invariante

( ) ( )[ ] ( )[ ]1−−= txTtxTty



( ) ( )[ ] ( )[ ]txtTttxTty ==( ) ( )00, tttxtty −=

( ) ( ) ( )000 ttxtttty −−=−

( ) ( )00, ttytty −≠ ∴ Es un sistema variante

( ) ( )ttxty =b)

Sol. Se tiene que

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( ) ( )[ ]txTty −=

( ) ( )00, ttxtty −−=

( ) ( )00 ttxtty +−=−


( ) ( )txty −=c)

Sol. Se tiene que



( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )ttxTttxTty ωω coscos ==

( ) ( ) ( )tttxtty ωcos, 00 −=

( ) ( ) ( )( )000 cos ttttxtty −−=− ω


( ) ( ) ( )ttxty ωcos=d)

Sol. Se tiene que para la señal

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Sistemas Estáticos y Dinámicos

Se dice que un sistema es sin memoria si su salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo tiempo.

Por ejemplo, un resistor es un sistema sin memoria; con la entrada x(t) tomada como la corriente y considerando el voltaje como la salida y(t), la relación entrada-salida de un resistor es:

donde R es la resistencia. Un sistema sin memoria particularmente simple es el sistema de identidad, cuya salida es idéntica a su entrada.

( ) ( )tRxty =


Sistemas Estáticos y DinámicosPor otra parte, un sistema con memoria es aquel que depende tanto del tiempo pasado como del tiempo actual en la variable independiente.

Un ejemplo de un sistema en tiempo continuo con memoria es el condensador, ya que si la entrada se toma como la corriente y la salida como el voltaje, entonces

( ) ( )∫∞−

=t

dxC

ty ττ1

donde C es la capacitancia.

Ejemplo 3. Determine si los siguientes sistemas continuos son Estáticos óDinámicos

( ) ( )taxty =a)

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Sistemas Estáticos y Dinámicos

b) ( ) ( ) ( )tbxttxty 3+=

( ) ( ) ( )131 −++= txtxty

El sistema es estático dado que la salida solo depende de la variable t.

El sistema es estático dado que la salida solo depende de la variable t.

c)

El sistema es dinámico dado que la salida no solo depende de la variable t.

( )∫∞

∞−

−= ττ dtxty 0)(d)

El sistema es dinámico dado que la salida no solo depende de la variable t.


Sistemas Causales y No-Causales

( ) ( ) ( ) ( )[ ],...2,1, −−= txtxtxFty (7.9)

donde, F[.] es una función arbitraria. Si un sistema no satisface esta defi-nición se dice que no es causal. En un sistema no causal, depende no solo de las entradas pasadas y presentes sino también de las futuras.

Teorema: Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante t depende solo de las entradas presentes y pasadas. (es decir, de x(t), x(t – 1 ), x(t – 2), ...).

En términos matemáticos, la salida de un sistema causal verifica una ecua-ción de la forma

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Por otra parte, si la señal se graba de manera que el procesado no se realiza en tiempo real, es posible implementar sistemas no causales, ya que todos los valores de la señal se encuentran disponibles en el momento del procesado. Este es, a menudo, el caso de señales geofísicas e imágenes.

Ejemplo 4. De los siguientes sistemas continuos, determine si el sistema escausal o no-causal

Es evidente que un sistema en tiempo real no se dispone de las entradas futuras de la señal y, por lo tanto, un sistema no causal no puede ser implementado físicamente.

( ) ( ) ( )1−−= txtxtya)



b) ( ) ( ) ( )43 ++= txtxty

( ) ( )txty −=

El sistema es causal dado que la salida solo depende de t y valores de tpasados.

El sistema es No causal dado que la salida depende de valores futuros de t.

c)

El sistema es Causal dado que la salida depende de valores de t pasados.

( )2)( txty =d)

El sistema es No Causal dado que la salida depende de valores futuros de t.

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Sistemas Estables e Inestables

La estabilidad es una propiedad muy importante que debe ser considerada en cualquier aplicación práctica de un sistema. Los sistemas inestables presentan un comportamiento errático y extremo que es causa del desbor-damiento del sistema en aplicaciones prácticas.

Aquí se define matemáticamente lo que se quiere decir con un sistema estable y, sus consecuencias de esta definición en sistemas invariantes con el tiempo.

Teorema: Un sistema arbitrario en reposo se dice que es limitada en la entrada y salida (BIBO, bounded input–boundedoutput), si y solo si toda la entrada acotada produce una salidaacotada.


Sistemas Estables e Inestables

Matemáticamente, el acotamiento de las secuencias de entrada y de salida, x(t) e y(t), se traducen en la existencias de un par de números finitos, digamos Mx y My, tales que

( ) ∞<≤ xMtx y ∀ t( ) ∞<≤ yMty (7.10)

Si para alguna entrada acotada x(t) la salida no es acotada (es infinita), el sistema se clasifica como inestable.

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Sistemas Estables e InestablesEjemplo 5. Se considera un sistema no-lineal descrito mediante la siguiente relación de entrada-salida: y(t) = y2(t – 1) + x(t), con la entrada del sistema la señal acotada definida como x(t) = Cδ(t), donde C es una constante y además y(–1) = 0. Entonces la secuencia de salida es,

y(0) = C, y(1) = C2, y(2) = C4, ... , y(t) = C2n

Claramente, la salida no está acotada si 1 < |C| < ∞.

Por lo tanto, el sistema es inestable dado que la entrada acotada a produ-cido una salida no acotada.


Dimensionalidad de los Sist. Continuos

Figura 7.7: Sistema MIMO

Los sistemas pueden ser descritos en diferentes configuraciones para tener no solo una entrada y una salida sino, que dependa de un tipo del sistema que se este considerando. Una descripción de los sistemas pueden ser:

Múltiple Entrada - Múltiple Salida (MIMO). Los sistemas que poseen mas de una entrada (k × 1) y mas de una salida (p × 1) son aquellos que entran en esta clasificación. En la Figura 7.7 se presenta esta clase de sistema

Sistema Continuo

x1(t)

xk(t)x(t)

y1(t)

yp(t)y(t)

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( )

( )( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

tx

txtxtx

t

k

...3

2

1

x ( )

( )( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ty

tytyty

t

p

...3

2

1

y; (7.11)

Una Entrada – Una Salida (SISO). Un sistema continuo es considerado como de entrada simple – salida simple si la relación entrada-salida está dada por

Figura 7.8: Sistema SISO

Sistema Continuo

x(t) y(t)

( ) ( )[ ]txTty = (7.12)



Múltiple Entrada - Simple Salida (MISO). Esta clase de sistemas es una combinación de los dos sistemas presentados atrás. La Figura 7.9 se muestra un sistema de esta clase.

Figura 7.9: Sistema MISO

Sistema Continuo

x1(t)

xk(t)x(t) y(t)

Simple Entrada - Múltiple Salida (SIMO). Esta clase de sistemas también es una combinación de los dos sistemas presentados atrás. La Figura 7.10 se muestra un sistema de esta clase.

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Figura 7.10. Sistema SIMO

Sistema Continuo

y1(t)

yp(t)y(t)x(t)

7.4. Retroalimentación de un sistema continuo

Dentro de los sistemas de tiempo continuo pueden existir estructuras generales las cuales pueden ser de gran interés para el diseño de esquemas específicos tales como los amplificadores de audiofrecuencia (AF) ó radio frecuencia(RF), enganchadores de fase cerrada (PLL), osciladores, entre otros. Estas estructuras pueden ser cuan un sistema se encuentra retroalimentado en forma positiva ó en forma negativa.


Retroalimentación de Sist. ContinuosUn sistema retroalimentado puede ser representado como se muestra en la Figura 7.11, en donde, con base al signo que se encuentre en el símbolo de suma es como se puede determinar si el sistema es retroalimentado en forma Positiva ó Negativa.

A(s)

β(s)

x(s) y(s)

Figura 7.11. sistema continuo retroalimentado

donde, A(s) es la función de transferencia del sistema principal y β(s) es la función de transferencia de la retroalimentación.

±

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Retroalimentación de Sist. Continuos

( )( )

( )( ) ( )sAs

sAsxsy

β+=

1

( )( )

( )( ) ( )sAs

sAsxsy

β−=

1

( ) ( )( ) ( )sAssAsH

β±=

1

Para la retroalimentación negativa se tiene que:

para la positiva

y en forma general se tiene que un sistema retroalimentado obedece a

(7.13)

(7.14)

(7.15)


Retroalimentación de Sist. Continuos

β(s)

A(s)

Corrimiento de Fase de 180°

Figura 7.12: Sistema retroalimentado en forma positiva - oscilador

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Tarea1. Realice la clasificación de los siguientes sistemas continuos con base a lo establecido en los puntos del 7.2.1 al 7.2.6 de esta lectura

( ) ( ) ( )txtxty −+−= 22

( ) ( ) ( )ttxty 3cos=

( ) ( )∫∞−

=t

dxty2

ττ

a)

b)

c)

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

≥−+<

=0200

ttxtxt

tyd)


Tarea

2. Investigue el criterio de Barkhausen para la generación de sistemas oscilatorios.

3. Investigue por lo menos 5 tipos diferentes de osciladores describiendo su funcionamiento y aplicación en los sistemas de comunicaciones.

4. Un convertidor analógico-digital, un digital-analógico, un amplificador de RF y un multiplexor ¿Qué tipo de sistemas son? ¿Por qué?

( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

≥−+<

=0200

txtxtxtx

ty

( ) ( )3txty =

e)

f)

7_lec07 - sistemas en tiempo continuo

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