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MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 1
Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva
2 MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO
2.1. Modelado Matemático.2.2. Descripción Externa/Interna.2.3. Modelado de Sistemas.2.4. No linealidades, linealización.
2.1.- MODELADO MATEMÁTICO
2.1.1.- ObjetivoCaracterizar las relaciones existentes entre las magnitudes asociadas alsistema, con el fin de estudiar su evolución temporal (análisis), oreproducir su comportamiento bajo ciertas condiciones (simulación)
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2.1.2.- Parámetros concentrados y Distribuidos
-Entidades ideales (masa puntual, carga concentrada en un punto delespacio etc...) no tienen existencia real, estos elementos idealizadosreciben el nombre de elementos de parámetros concentrados.
-En el mundo real, las masas no son puntuales, las resistencias eléctricaspresentan un efecto capacitivo e inductivo distribuido a lo largo delcomponente etc...los modelos que tienen en cuenta este tipo decaracterísticas se denominan modelos de parámetros distribuidos.
-Los modelos para representar elementos de parámetros distribuidos soncomplejos, por tanto suelen utilizarse modelos de parámetrosconcentrados que presenten comportamientos similares a los deparámetros distribuidos.
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2.1.3.- Modelos determistas y no deterministas
-Modelo determinista: Conocido el modelo, el comportamiento delsistema queda determinado por la especificación de las condicionesiniciales y la evolución de las magnitudes de entrada. -Modelo no determista: Intervienen fenómenos aleatorios, imposiblesde modelar y predecir. Se modelan las evoluciones estadísticas de lasmagnitudes fundamentales del sistema.
2.1.4.- Sistemas variantes o invariantesLos términos que multiplican a las derivadas pueden o no variar con eltiempo:
t
2
dd x 2
tddx x+ + 0 Ec. Inv. =
t
2
dd x tsin( )x+ 0 Ec. Variante.=
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2.1.5.- Sistema Lineales y No lineales
Sistema lineal: La ecuación diferencial que lo modela es lineal
Ecuación diferencial Lineal: Suma de términos lineales, es decir,términos de primer grado en las variables dependientes y susderivadas.
2.1.6.- Sistemas L.T.I.Son Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo, su forma general es:
t
2
dd x 2
tddx x+ + 0 Ec. Lineal =
t
2
dd x x2+ x( ) Ec. No Linealsin=
ai t
i
dd x
⋅
i 0=
n
∑ bi t
j
dd u t( )⋅
j 0=
m
∑=
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2.2.- DESCRIPCIÓN EXTERNA/INTERNA
-Representaciones que consideran la evolución de las variables deestado: descripciones internas.
-Las ecuaciones que componen una representación interna suelenllamarse modelos de estado.
-Un mismo sistema se puede modelar de diferentes modos.
-Representaciones que únicamente consideran las variables de entrada ysalida: descripciones externas.
-Las ecuaciones de las descripciones externas se obtienen eliminandolas variables de estado de las ecuaciones diferenciales del sistema.
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Ejemplo
S0
S1
S2
h1
h2
C1
C2
tddV1 S0 S1–=
tddV2 S1 S2–=
V1 C1 h1⋅= V2 C2 h2⋅=
S1h1R1------= S2
h2R2------=
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2.2.1.- Representación externaLa descripción externa de un sistema LTI suele presentar un aspecto deltipo:
donde la variable dependiente coincide con la variable de salida que sedesea estudiar y u(t) representa las señales de entrada.
Si la interacción con el exterior no involucra términos con derivadas laecuación suele tener el aspecto:
ai t
i
dd x
⋅
i 0=
n
∑ bi t
j
dd u t( )⋅
j 0=
m
∑=
ai t
i
dd x
⋅
i 0=
n
∑ b u⋅ t( )=
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2.2.2.- Representación interna: modelo de estado Usualmente, se utiliza la representación por modelo de estado cuando:- Interesa conocer la evolución global del sistema.- Se pretenda trabajar con ecuaciones de primer orden.- En general para trabajar con sistema MIMO.
Expresión General de un modelo de estado lineal
Un modelo de estado lineal para un sistema LTI adquiere la forma:
-Si se desea asociar un vector salida al modelo, se añade la expresión
x[ ] A[ ] x[ ]⋅ B[ ] u[ ]⋅+=
Y[ ] C[ ] x[ ]⋅ D[ ] u[ ]⋅+=
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Conversión de representación externa a modelo de estado
Considerando la ecuación:
Puede definirse un vector de estado de n componentes
en la forma: .
La ecuación diferencial puede escribirse en forma matricial:
Esta forma particular de escribir el modelo de estado se conoce como: forma canónica de control
ai t
i
dd y
⋅
i 0=
n
∑ b u⋅ t( )=
x x1 … xn, ,[ ] T=
x1 y= ; x2 tddy ; x3 t
2
dd y
… ; xn t
n 1–
dd y ; x·n t
n
dd y====
x·[ ]
0 1 0 …0 0 1 …0 0 … 1a0–
an---------
a1–an
--------- …a1n 1––
an-------------------
x[ ]⋅
000ban-----
u⋅+= y 1 0 0 … 0, , , ,[ ] x[ ] 0[ ] u⋅+⋅=
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2.3.- MODELADO DE SISTEMAS2.3.1.- Generalidades
Variables de Acumulación: variables cuyo valor actual es la suma de unvalor anterior mas los incrementos debido a ciertas Variables de Flujo.
Variables de Flujo: Representan el incremento de una variable deacumulación por unidad de tiempo.
Ecuación General
-Capital (dinero)
-Nº de habitantes
-Productos almacenados-Habitantes infectados
-Pedidos
-Ventas
-Ingresos-Gastos
-Nacimiento-Muertes
tddx F p1…p2( )∑=
x : variable de acumulación F : variable de flujo
pi: variables auxiliares-T. nacimiento-Intereses bancarios-Discrepancias
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2.3.2.- Evolución de una Población
N = Número de habitantes: Variable de acumulaciónF1 = Número de nacimientos/unidad de tiempo: Variable de FlujoF2= Número de muertes/unidad de tiempo: Variable de Flujoµ = Tasa de nacimiento (Nacimiento/habitante): Variable Auxiliarβ = Tasa de mortandad (Muerte/por habitante): VariableAuxiliar
µ = cte; β = cte; tddN µ β–( ) N⋅– 0=
Modelado de distintas situacionesa) Recursos ilimitados:
β = cte; µ = µ0 - (µ1 · N); tddN µ0 β–( ) µ1 N⋅–( ) N⋅=
b) Recursos limitados:
F2(β)
-+
F1(µ)+ N
++ -
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2.3.3.- Gestión de un Almacén
x = Cantidad almacenada de un producto: Variable de acumulaciónF1 = Pedidos al distribuidor/unidad de tiempo: Variable de FlujoF2= Ventas realizadas/unidad de tiempo: Variable de Flujoxd= valor deseado para x: Variable AuxiliarD(t) = xd - x(t): Variable Auxiliar
Modelado de distintas políticas de pedidos
a) F1= cte. tddx F1 F2 t( )–=
b) F1= k·D. td
dx k x⋅+ k xd⋅ F2 t( )–=
c) F1= k1·D(t)+k2· t
2
dd x k1 td
dx⋅ k2+ x⋅+ k2 xd⋅td
dF2–=
x
+F2
D_ + _
F1
xd
-
+
D dt⋅∫
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2.3.4.- Sistemas eléctricosEcuación de flujo:q = Carga: Variable de acumulaciónI = Intensidad: Variable de Flujo
Resistencia:Elemento por el que circula una corriente eléctrica proporcional a ladiferencia de potencial existente en sus extremos. Como consecuenciade ello disipa energía calorífica.
tddq I=
v2v1
v1 v2–( ) R I⋅ Rtd
dq⋅= =
Ecuación: Ley de Ohm
v2v1
v1-v2 > 0; I > 0
v1-v2 < 0; I < 0
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Condensador:Elemento que acumula carga eléctrica. Dicha carga es proporcional ala diferencia de potencial existente en sus extremos.
Ejemplo
Cv1 v2–( ) q
C----=
Ecuación:v2v1
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2.3.5.- Sistemas mecánicos translacionalesEcuación de flujo: Ley de Newton
Muelle con un solo extremo móvil
Rozamiento viscoso y amortiguador
Mx (posición)v (velocidad)a (aceleración)
F ΣF M a⋅ M tddv⋅ M t
2
dd x⋅= = =
kx
F0
F2 k– x⋅=
Ecuación:
F x· Ecuación: F µ– x·⋅= x· F
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2.3.6.- Sistemas mecánicos rotacionalesSe considerará la mecánica que describe los giros realizados por lossólidos rígidos alrededor de su eje principal de inercia.
θ(t) ángulo girado; ω(t) velocidad angularτ par aplicado; Ι Momento de Inercia respecto al ejeEcuación de flujo:
θΕje
ω
F Fr
F
τ F r⋅=
Iθ (ángulo)ω (velocidad)α (aceleración)
τ Στ I α⋅ I tddω⋅ I t
2
dd θ⋅= = =
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Engranajes y cajas de reducción
- Un conjunto de engranajes se representa por una ganancia que es iguala la proporción entre los radios de los engranajes:
τ 1
τ 2
--- k r1
r2
---–θ2
θ1
----= = =
kτ1 τ2
1/kτ1r τ2r= -τ2
τ1 τ2
τ1r τ2r
Sitema 1 Sitema 2
Sitema 2Sitema 1
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2.3.7.- Sistemas electromecánicosMotores:Elementos que transforman energía eléctrica en energía mecánica.
V1V2
LR
i
ω, τ
kp
kc
Vce
µ
JLJkp------
t
2
dd ω⋅ Lµ
kp------- RJ
kp------+
td
d ω Rµkp------- kc+ ω++ ∆V=
Motorω∆V
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2.3.8.- Sistemas HidráulicosEcuación de flujo
Tuberías: Circula líquido debido a una diferencia de presión; puedenasociarse con válvulas o con grifos
Qi
QoC
tddV Qi Qo–=
V C h⋅=C
tdd
⋅ h( ) Qi Qo–=}P
P1 P2
K1 Q t( ) kp P1 P2–⋅=
Q(t): Flujo de líquido en el instante tP1,P2: Presión en cada uno de los extremos
Ecuación de regimen turbulento:
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Ecuación en régimen turbulento
2.4.- No linealidades, linealización
-La mayoría de los fenómenos del mundo real presentancaracterísticas no lineales.
-Los sistemas lineales resultan convenientes por la sencillez en sutratamiento y análisis. Las ecuaciones con no linealidades son dedifícil tratamiento.
Qi
QoS
Ctd
dH⋅ Qi Qo– Qi k2p H⋅–= =
P Ctd
dH⋅ k2p H⋅+ Qi=
HEcuación no lineal
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-Los sistemas suelen evolucionar entorno a un punto de trabajopunto de trabajo
-Una función no lineal puede aproximarse en un determinado rangopor una función no lineal. A este procedimiento se le llamalinealización.
-El modelo linealizado:* Mantiene las características del sistema en el entorno del
punto de trabajo.* Es posible tratarlo con la facilidad de los sistemas lineales.* Tiene asociado un error que será mayor cuanto mas se aleje
el sistema del punto de trabajo.
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