150

7. OPTINI APARATI

7.1 TANKE LEE

o Bikonveksna lea:

f > 0

a > 0

b > 0

o Bikonkavna lea:

f < 0

a < 0

b < 0

o Raunanje gorine razdalje:

1 1 1

1'

nf r r

n lomni kolinik stekla

, 'r r krivinska radija obeh povrin lee

o Enaba tanke lee:

1 1 1

a b f

151

poveava: 'y b f

y a a f

Bikonveksna lea:

1

23

12

31F

2F

1

23

1 23

Q

1F

2F

1

23

12

3

Q

1F

2F

1

2

1

2

Q2F

SLIKA V

NESKONNOSTI

'P 'P

'P

'P

P

P

P

P

1F

1

SLIKA V

NESKONNOSTI

2F12Q

2

P'P

152

Sistem dveh le:

1 2 1 2

1 1 1

razdalja med leama

s

f f f f f

s

f > 0

bikonveksna:

0, ' 0r r

1 1 1 1 'f n r r

plankonveksna:

0, 'r r

1 1f n r

konkavno konveksna:

0, ' 0r r

1 1 1 1 'f n r r

konveksno konkavna:

0, ' 0r r

1 1 1 1 'f n r r

f < 0

plankonkavna:

0, 'r r

1 1f n r

bikonkavna:

0, ' 0r r

1 1 1 1 'f n r r

slike: J. Strnad, Fizika II

153

7.2. LUPA IN MIKROSKOP

7.2.1 LUPA

Predmet postavi v gorie povea zorni kot

brez lupe:

z lupo:

0

''

ytg

a

ytg

f

poveava 0

'

'

atgN

tg f

lupa0 25cma normalna zorna razdalja

y

0a

'f

y'

'

'f

154

7.2.2 OPTINI MIKROSKOP

o Okular uporabimo kot lupo

MAKROMETRSKI

VIJAK

MIKROMETRSKI

VIJAK

TUBUS

OKULAR

REVOLVER

OBJEKTIV

KONDENZOR

SVETLOBNI IZVOR

155

7.2.3 ELEKTRONSKI MIKROSKOP

Namesto curka svetlobe uporabimo curek hitrih elektronov. V elektronskem mikroskopu

imamo zato namesto obiajnih steklenih le lee, ki ustvarjajo elektrino in magnetno polje.

Elektronski mikroskop (Serway,1992)

o Slike eritrocitov z elektronskim mikroskopom (Bessis):

eritrocit: dimenzija ~ 6 m

156

7.3 OKO

Gorina razdalja 2cmf

Slika ODDALJENIH PREDMETOV

nastane pred mrenico, ker oesna

lea ne more imeti dovolj velike

gorine razdalje

Slika BLJINIH PREDMETOV

nastane za mrenico, ker oesna lea

ne more imeti dovolj majhne gorine

razdalje

NORMALNO OKO

mrenica

KRATKOVIDNO OKO

DALJNOVIDNO OKO

157

7.3.1 KOREKCIJA Z OALI

o Daljnovidno oko

Dobro vidi samo oddaljene predmete

f gorina razdalja oesne lee

Normalna vidna razdalja 0 25cma .

Brez oal: a > a0 , da je b normalen

1 1 1

a b f

Z oali: a = a0.

0

1 1 1 1

'a b f f

Odtejemo obe enabi in dobimo:

dioptrija: 0

0

10

'

a aD

f a a

zbiralna lea

e je predmet blizu,

vidi slabo

158

o Kratkovidno oko

Dobro vidi samo blinje predmete.

Brez oal: a < a0 , da je b normalen

1 1 1

a b f

Z oali: a >> a0:

1 1 1 1

'b f f

Odtejemo obe enabi in dobimo:

1 1

'a f

1 10

'D

f a

e je predmet zelo dale, vidi slabo

159

8. RELATIVNOSTNA MEHANIKA IN

KVANTNI POJAVI

8.1 DIMENZIJE Doline

DOLINA

[metri]

razdalja do najblije galaksije (v Andromedi) 2 x 1022

radij nae galaksije 6 x 1019

razdalja do najblije zvezde (Alpha Centauri) 4.3 x 1016

povpreni radij Plutona 5.9 x 1012

radij Sonca 6.9 x 108

radij Zemlje 6.4 x 106

viina Mt. Everesta 8.9 x 103

povprena viina loveka 1.7 x 100

debelina lista papirja 1 x 10-4

velikost virusa 1.2 x 10-8

polmer vodikovega atoma 5 x 10-11

~ 10-10

efektivni polmer protona 1.2 x 10-15

~ 10-15

Mase

OBJEKT

[kilogrami]

IZOTOP

MASA [a.e.m.]

naa galaksija 2.2 x 1041

H1

1.00782522 0.00000002

Sonce 2.0 x 1030

C12

12.00000000 (exactly)

Zemlja 6.0 x 1024

Cu54

63.9297568 0.0000035

Luna 7.4 x 1022

Ag102

101.911576 0.000024

voda oceanov 1.4 x 1021

Cs137

136.907074 0.000095

prekooceanska ladja 7.2 x 107 Pt

190 189.959965 0.000026

slon 4.5 x 103

lovek 5.9 x 101

drobec prahu 6.7 x 10-10

virus 2.3 x 10-13

molekula penicilina 5.0 x 10-17

atom urana 4.0 x 10-26

proton 1.7 x 10-27

elektron 9.1 x 10-31

160

8.2 MEGLINA CELICA, SELEKTOR HITROSTI, MASNI

SPEKTROMETER

8.2.1 MEGLINA CELICA

Mehanizem delovanja:

zraku z vodno paro sunkovito

poveamo prostornino, da se

ohladi

z vodno paro nasieni zrak

postane prenasien

vodna para se useda na gibajoih se ionih in tvori

vodne kapljice (kondenzacija)

sledovi nabitih delcev lahko tako

postanejo vidni

B magnetno polje

Bubble chamber photograph. The spiral tracks at the bottom of the photograph are an electron

positron pair (left an right respectively), formed by a gamma ray interacting with a hydrogen nucleus.

An applied magnetic field causes the electron and the positron to be defected in opposite directions. The

track leaving from the cusp between the two spirals is an additional electron knocked out of a hydrogen

atom during this interaction. (G. Holton, F.J. Rutherford, F.G. Watston, Project Physics, New York, HRW, 1981) .

8.2.2 SELEKTOR HITROSTI (izbira delcev z enako hitrostjo)

ev B eE E

vB

161

8.2.3 CIKLOTRON

2 votli elektrodi D1, D2 v evakuiranem prostoru. V elektrodah ni elektrinega polja!

gibanjepokroguv B

d d 0 konst.kF ev B s A F ds W

8.2.4 MASNI SPEKTROMETER

Masni spektrometer: nabiti delec gre najprej skozi selektor hitrosti (magnetno polje B ,

elektrino polje E ). Ko vstopi v podroje z magnetnim poljem 0B , se zane nabiti delec

gibati po kronem tiru s polmerom r. Fotografski film zadane v toki P. (iz Serway: Physics)

Selektor hitrosti:ev B eE E

vB

(8.2.1)

Newtonov zakon:

0

2

0

rma ev B

vm ev B

r

p (izvor ionov)

izhod

generator visokofrekvenne

izmenine napetosti

v vmesnem prostoru

se ioni pospeujejo

R

B

E

0B

selektor hitrosti

162

0

mvr

e B

(8.2.2)

0 0

mv m Er

e B e B B 0

r B Bm

e E

, kjer smo upotevali enabo (8.2.1)

o Thomsonov aparat za merjenje razmerja e

m (specifini naboj)

katodni arki elektroni

Thomson: 11As

0.77 10kg

e

m

Thomsonov eksperimentalni sistem za merjenje razmerja e/m (Serway, 1992).

reikatoda

fluorescentni premaz

na zaslonu

Odkritelj elektrona

J.J. Thomson (1856-1940)

+

-

163

8.3 POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI

8.3.1 AS V KLASINI FIZIKI

o Predpostavka o univerzalnem asu

'tt

o inercialni koordinatni sistem: konst.v

o inercialni sistem S: (x, y, z) mirujoi koordinatni sistem o inercialni sistem S': (x', y', z') gibajoi se koordinatni sistem (hitrost v0)

GALILEJEVA TRANSFORMACIJA:

0

'

'

'

'

x x v t

y y

z z

t t

00

0

d

d

d

d

d

'd' vvv

t

x

t

tvx

t

xv

0' vvv

o hitrosti se setevajo (ni zgornje meje!) o oblika zakonov (Newtonovih zakonov) je neodvisna od hitrosti premikanja koordinatnega

sistema.

x

y

z

x'

y'

z'

0v

164

8.3.2 ENABE POSEBNE TEORIJE RELATIVNOSTI

A. Einstein (1905 annus mirabilis)

Dve glavni naeli:

1. Naelo relativnosti: fizikalni zakoni imajo enako obliko v vseh inercialnih opazovalnih sistemih.

2. Hitrost svetlobe v praznem prostoru 00

0

1

c je enaka v vseh inercialnih

opazovalnih sistemih.

LORENTZOVA TRANSFORMACIJA:

00 0 0 00

'v

x x v t x c tc

(8.3.1)

'y y (8.3.2)

'z z (8.3.3)

00 0 00

'v

c t c t xc

(8.3.4)

02

0

2

0

1

1v

c

(8.3.5)

o Vsak inercialni sistem ima svoj lastni as.

OBRATNA LORENTZOVA TRANSFORMACIJA

00 00

' 'v

x x c tc

(8.3.6)

'y y (8.3.7)

'z z (8.3.8)

0

0 0 0

0

' 'v

c t c t xc

(8.3.9)

165

Zahteva, da preide nova Lorentzova transformacija pri majhnih hitrostih v GALILEJEVO

TRANSFORMACIJO je izpolnjena:

0

0

2

00 1 2 2

20 0

0

2

0

1 11 .... 1

21

v

c

v

cv

c

DODATEK: Izpeljava 0 (enaba (8.3.5)) in enabe (8.3.4)

Na osnovi enab (8.3.1) in (8.3.6):

0 0'x x v t , (8.3.D1)

0 0' 'x x v t , (8.3.D2)

in naelo o invariantnosti svetlobne hitrosti

'

0 0c c (8.3.D3)

lahko izpeljemo vrednost 0 kot sledi. Najprej vstavimo x iz enabe (8.3.D1) v enabo

(8.3.D2):

2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 ,x x v t v t x v t v t (8.3.D4)

torej:

2 20 0 0 0 0 1 .v t x v t (8.3.D5)

Iz enabe (D5) sledi:

200 2

0 0

1' .t t x

v

(8.3.D6)

Naredimo e diferencial enabe (8.3.D6):

1

1 0

0

v

c

0

166

200 2

0 0

1d ' d dt t x

v

. (8.3.D7)

V nadaljevanju upotevamo naelo invariantnosti svetlobne hitrosti '0 0c c (enaba

(8.3.D3)) ter diferencialono obliko enabe (8.3.D1): 0 0d ' d dx x v t in enabo

(8.3.D7) pri raunanju hitrosti ' d ' / d t'xv x , za xv pa postavimo 0c . Dobimo:

0 0' 0 0 0

0 02 220 00

02 20 20 0 0 00 0

d dd '.

d ' 1 111 1dt d

x

x

x v t v v c vxc c

tv cx

v vv

(8.3.D8)

Iz enabe (8.3.D8) sledi:

20 0 0 002

0 0 0 0

11 1 ,

c v vc

v c c

(8.3.D9)

oziroma:

20 002

0 0 0

1.

vc

v c

(8.3.D10)

Iz enabe (8.3.D10) lahko izraunamo 0 :

2 2

0 0

2 2 2

0 0 0

1 11 ,

v

c

(8.3.D11)

2

0

2 2

0 0

11 ,

v

c

2

0 2

0

2

0

1,

1v

c

(8.3.D12)

oziroma

02

0

2

0

1.

1v

c

(8.3.D13)

e vstavimo relacijo (glejte enabo (8.3.D11))

167

2 2

0 0

2 2

0 0

1 v

c

v enabo (8.3.D6) dobimo:

00 2

0

' ,v

t t xc

(8.3.D14)

oziroma enaba (8.3.4):

00 0 0

0

'v

c t c t xc

(8.3.D15)

o Transformacije hitrosti

Sledi iz enab (8.3.1) (8.3.4):

Infinitezimalna Lorentzova transformacija

00 2

0

d ' d dv

t t xc

(8.3.10)

0 0d ' d dx x v t (8.3.11)

d ' dyy (8.3.12)

d ' dzz (8.3.13)

' ' 'd ' d ' d '

d t' d t' d t'x y z

x y zv v v (8.3.14)

d d d

d t d t d tx y z

x y zv v v (8.3.15)

Iz enab (8.3.10) (8.3.15) sledi:

168

0 0'

00 2

0

0

0 0

0 0 0

2 2 2

0 0 0

d dd '

d t'd d

d

d d d t,

dd d 1 1

d t

x

x

x

x v txv

vt x

c

xv

x v t v v

v v v vxt x

c c c

torej

' 0

0

2

0

1

xx

x

v vv

v v

c

(8.3.16)

Podobno lahko dobimo e ostale transformacije za hitrosti:

'

00 2

0

1

y

y

x

vv

v v

c

(8.3.17)

'

00 2

0

1

zz

x

vv

v v

c

(8.3.18)

Obratna transformacija 0 0v v :

'

0

'

0

2

0

1

xx

x

v vv

v v

c

(8.3.19)

'

'

00 2

0

1

y

y

x

vv

v v

c

(8.3.20)

'

'

00 2

0

1

zz

x

vv

v v

c

(8.3.21)

o transformacija vsebuje NAELO O INVARIANTNOSTI SVETLOBNE HITROSTI v

praznem prostoru 00 0

1c

:

0 0 00 0 0 0

00 0 0 0 0

2

0 0

1 1x

c c vc v c vv c

v c v c v

c c

169

FORMALIZEM: 4-razseni prostor - as

Svetovni etverec definiran kot:

4 0 0, , , ,x c t x y z c t r

Lorentzova transformacija:

0 0 0'c t c t x

0 0'x x c t 'y y

'z z

kjer je 0

0

v

c

o Klasina 3-D slika: Razdalja med dvema tokama d d dr r r je neodvisna od izbire

opazovalnega sistema. Pravimo, da je 2d d dr r r invarianta.

o Specialna teorija relativnosti

Invarianta je:

2 2 2 2 2 2 2 '2 '2 '2 '2

0 0d d d d d d d d d .s c t x y z c t x y z (8.3.22)

Novost: negativni znak pred prvim lenom, klasino je namre

2 2 2 2d d d d d d .r x y z r r

1r

2r

dr

170

o Skrenje dolin

Inercialna opazovalna sistema S in S':

1 1

2 102 22

0

dogodek 1: 0, 0

S: palica miruje vsistemuS: xdogodek 2 : ,

t x

x Lv Lt x L

c

Lorentzova transformacija:

' '

1 1

' ' '

2 1' '

2 2 0

0

dogodek 1: 0, 0

S' : xdogodek 2 : 0,

t xL

x LLt x

ZAKLJUKI:

izmerjena dolina je odvisna od hitrosti gibanja koordinatnega sistema,

dogodka soasna samo, e se dogodita v isti toki,

opazovalcu se zdi gibajoa se palica skrena:

'

0

LL

(8.3.23)

soasnost dogodkov je relativen pojem

o Podaljanje asa (inercialna sistema S in S')

1

2 1

2

prvi dogodek: mesto , as:

drugi dogodek: mesto , as

x tS t t t

x t

Lorentzova transformacija:

S':

' 01 0 1 2

0

v xt t

c

' 02 0 2 2

0

v xt t

c

torej: ' '2 1 0 2 1t t t t

'

0t t (8.3.24)

171

't t za gibajoega opazovalca dogodki potekajo poasneje kot za opazovalca, ki miruje ob dogodkih as je relativna koliina.

lastni as as, ki ga kae ura v izbranem koordinatnem sistemu.

ZAKLJUKI:

Popolna novost specialne teorije relativnosti je, da se tudi as transformira.

Prostor in as sta povezana v skupni prostor - as.

Svetovni etverec popisuje dogodek.

8.3.3 ZAKONI GIBANJA

Na osnovi enabe (8.3.24) naredimo posploitev in definiramo lastni asovni razmik z

enabo:

d dt , (8.3.25)

2

2

0

1

1v

c

, (8.3.26)

kjer je:

dt as, ki ga meri opazovalec, ki opazuje gibanje tokastega telesa

d lastni as (lastni asovni razmik, ki ga izmeri opazovalec, ki se giblje skupaj z

opazovanim gibajoim tokastim telesom)

Novost: za hitrost v izrazu (8.3.26) dopuamo, da ni konstantna, kar pomeni, da se telo lahko

giblje pospeeno.

o etverec hitrosti 4v

svetovni etverec 4 0 , , ,x c t x y z (8.3.27)

odvajamo po lastnem asu in dobimo etverec hitrosti:

4 4

4

0

d d, , , ,

d dx y z

x xv c v v v

t

(8.3.28)

kjer so

d d d, ,

d d dx y z

x y zv v v

t t t .

Enabo (8.3.28) zapiemo v vektorski obliki:

172

4 0 ,v c v

, (8.3.29)

kjer je , , .x y zv v v v

Pri majhnih hitrostih 0

0:v

c

1 ,

torej:

v v , (8.3.30)

d dt . (8.3.31)

Opomba:

koordinatni as (t ali dt) ni skalar ampak komponenta 4-dimenzionalnega vektorja

0 , , ,c t x y z . Odvajanje po koordinatnem asu dt zato ne proizvede novega vektorja

etverca. Zato odvajamo po lastnem asu d . Lastni as je skalar, ki preide pri majhnih hitrostih v koordinatni as t.

o etverec gibalne koliine

4 40 0 0 0,P m v m c m v . (8.3.32)

Izraz 0m v zapiemo v obliki:

P mv , (8.3.33)

kjer je

0m m , (8.3.34)

0m mirovna ali lastna masa telesa.

Pri majhnih hitrostih 0

0:v

c

1 ,

0 ,m m (8.3.35)

0 .P m v

Vidimo, da pri majhnih hitrostih P preide v klasino gibalno koliino 0 .G m v

173

Opomba:

kljub temu, da 0v c je lahko relativistina gibalna koliina poljubno velika, ker se lahko

poljubno vea zaradi naraajoe vrednosti .

o Polna in lastna energija

etverec gibalne koliine lahko piemo tudi kot (glejte enabo (8.3.32)):

4

0

0

, ,W

P m vc

(8.3.36)

kjer je W polna energija delca:

2

0 0W m c . (8.3.37)

Polna energija je odvisna od hitrosti. Najmanja polna energija ima delec, ki miruje je

1 :

2

0 0 0W m c , (8.3.38)

0W lastna ali mirovna energija delca. Sedaj definiramo kinetino energijo delca kot:

2 2 20 0 0 0 0 0 0 1 .kW W W m c m c m c (8.3.39)

o Kinetina energija je torej tisti del polne energije, ki je posledica gibanja.

Pri majhnih hitrostih 0

0v

c

velja razvoj:

2

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0220

2

0

1 1 11 1 1 .... 1 .

2 21

k

vW m c m c m c m v

cv

c

(8.3.40)

Vidimo, da relativistini izraz za kinetino energijo telesa 20 0 1kW m c preide pri

0

v

c v klasini izraz 20

1

2kW m v , ki velja v Newtonovi mehaniki.

o Skalarni produkt etverca gibalne koliine 4

0

,W

P Pc

s samim seboj je invarianta:

24 4 2

2

0

WP P P

c

= invarianta . (8.3.41)

174

V lastnem sistemu delec miruje torej je P = 0. Iz enabe (8.3.41) v tem primeru sledi:

2 42

2 2 20 00 02 2

0 0

0 .m cW

P m cc c

(8.3.42)

Ker pa je 4 4P P invarianta, velja v splonem:

2

2 2 2

0 02

0

WP m c

c

, (8.3.43)

oziroma

2 2 2 2 4

0 0 0W c P m c ,

ali drugae:

2 2 2 2

0 0W W c P

. (8.3.44)

o Enabe gibanja

Newtonova mehanika d

d

GF

t

, G mv

Posebna teorija relativnosti 4

0

, ,W

P P P m vc

:

4 44

0

d d 1 d d,

d d d d

P P W PF

t c t t

. (8.3.45)

etverec sile 4 F na tokasti delec z nabojem e v elektrinem in magnetnem polju:

40

,e E v

F e E v Bc

. (8.3.46)

Izenaimo loeno asovni in krajevni del med enabama (8.3.45) in (8.3.46):

- asovni del: d

d d ,d

We E v W e E v t e E r e

t (8.3.47)

torej 0,W e W e

oziroma konst.W e

- krajevni del: d

d

Pe E v B

t

, P m v , (8.3.48)

175

Ohranitvene enabe:

44 4 4

dd

d

PF P F

e

4 4d 0 0F P

0W OHRANITEV POLNE ENERGIJE (8.3.49)

0P

OHRANITEV KRAJEVNEGA

DELA GIBALNE KOLIINE (8.3.50)

8.3.4 UPORABA ENAB GIBANJA SPECIALNE TEORIJE

RELATIVNOSTI

Obravnavamo enabo (8.3.48):

d

d

Pe E v B

t , P m v

.

Posebna primera: 0 ali 0E B

A) Poseben primer: e 0E iz enabe (8.3.48) sledi (kroenje v magnetnem polju):

d,

d

Pev B

t

0d

d

m vev B

t

, (8.3.51)

ker ,d d d 0 konst.

konst.

ev B v s A F s v

Torej: 0d

d

m vev B

t

,

0 rm a ev B , kjer je ra radialni pospeek, 2

0

vm ev B

r

0m v er B 0m v Pr

e B e B

(8.3.52)

Obhodni as: 0 002 22 m v mr

tv e Bv e B

Frekvenca:

0 0

1

2

e B

t m

. (8.3.53)

176

B) Poseben primer: e 0B iz enabe (8.3.48) sledi:

0d

d

m ve E

t

. (8.3.54)

Enabo (8.3.54) predelamo v obliko:

0d d .m v e E t (8.3.55)

e je E = konst. velja:

0 d ,m v e E t e E t (8.3.56) oziroma

0

2

2

0

1

m ve E t

v

c

. (8.3.57)

Iz enabe (8.3.57) po krajem raunu dobimo za hitrost:

02 21

tv c

t

, (8.3.58)

kjer je

0 0

e E

m c .

(8.3.59)

Izraunana pot pa je:

1

2 20 2

0

d 1 1 .

t

cs v t t

. (8.3.60)

177

8.4 POJAVI, KI JIH NE MOREMO RAZLOITI V OKVIRU

KLASINE FIZIKE

slika: Serway, 1992

8.4.1 FOTOEFEKT

Fotocelica:

j gostota svetlobnega toka

ANODA

SVETLOBA

napetost

elektrini

tok

zaporna

napetost

1 2j j

2j

178

o energija fotona: W h ; c ; c = svetlobna hitrost

frekvenca valovna dolina svetlobe

o gibalna koliina fotona: 2 2 2 20 0; kjer je lastna energija 0W W c P W

W h hP

c c

Albert Einstein

(1879 1955)

Einsteinova predstava fotona kot

potujoega energijskega paketa

Tabela: izstopno delo 0 0 0 0,izA h c

kovina 0

platina 230 nm

volfram, baker 280 nm

srebro 290 nm

aluminij, cink 340 nm

kalij 560 nm

8.4.2 SEVANJE RNEGA TELESA

Joef Stefan

(1835 1893)

Max Planck

(1858 - 1947)

foton z energijo h

179

Spektri sevanja rnega telesa za razline temperature

mK109.2 3wk (Wienova konstanta)

428 KWm1067.5 (Stefanova konstanta)

Js106.6 34h (Planckova konstanta)

J/k1038.1 23k (Boltzmannova konstanta)

o Planck-ov zakon sevanja rnega telesa

1

2

d

d5

2kT

hc

echj

o Stefanov zakon

4j T

Model rnega telesa

0

0

Wienov zakon

max wT k

0.001

vid

na

sv

etl

ob

a

20

1

1.5

32 10 K

240 10 nm

dj d

180

8.4.2.1 Izpeljava Stefanovega zakona iz Planck-ovega zakona

Planckov zakon, ki ga izpeljemo v okviru kvantne statistine fizike, podaja porazdelitev

gostote energijskega toka izsevanega elektromagnetnega valovanja po valovnih dolinah:

2

0

5 0

2d,

dexp 1

hcj

hc

k T

kjer je h Planckova konstanta, j gostota izsevanega energijskega toka, valovna dolina, k

Boltzmannova konstanta, 0c hitrost svetlobe v vakuumu in T absolutna temperatura.

Stefanov zakon podaja gostoto izsevanega energijskega toka. Dobimo ga z integracijo

Planckovega zakona po valovnih dolinah:

2

0

50 0 0

2 h c ddd .

dexp 1

jj

hc

k T

Uvedemo novo spremenljivko:

0 0

2, d d .

hc hcx x

kT kT x

Zgornji integral potem preide v:

4 4 3 5 4

4

3 2 x 3 2

0 00

2 d 2.

e 1 15

k T x x kj T

h c h c

Vrednost zgornjega integrala poiemo v tabelah, kjer najdemo

3 4

x

0

d.

e 1 15

x x

Zgornji izraz preuredimo v bolj znano obliko Stefanovega zakona:

4j T

kjer je:

5 4

8

3 2 2 4

0

25.67 10

15

k W

h c m K

Stefanova konstanta je imenovana po avstro-ogrskem fiziku slovenskega rodu Joefu Stefanu.

181

8.4.2.2 Izpeljava Wienovega zakona iz Planck-ovega zakona

Spekter izsevanega elektromagnetnega valovanja ima maksimum pri doloeni valovni dolini.

Ta valovna dolina m je odvisna od temperature in to tako, da je produkt valovne doline, pri kateri ima spekter maksimum, in absolutne temperature konstanten. Vrednost te konstante

izraunamo iz Planckovega zakona. Najprej Planckov zakon zapiemo z novo spremenljivko

x, ki smo jo definirali prej:

5 5 5

4 3 x

0

d 2.

d e 1

j k T xx

h c

Ekstrem te funkcije poiemo tako, da odvod po x izenaimo z 0. Tako dobimo enabo:

5 1 xx e .

To enabo reimo numerino, na primer z metodo navadne iteracije. Dobimo:

0 4.9651 ,m

hcx

kT

oziroma:

30 2.898 10 mK4.9651

m w

hcT k

k .

Enabi

m wT k

pravimo Wienov zakon, konstanti kw pa Wienova konstanta.

182

8.4.3 COMPTONSKO SIPANJE

Arthur Holly Compton

(1892 1962)

Sipana svetloba (Serway, 1992)

Shema Comptonovega aparata (Serway, 1992)

valovna dolina vpadne kratko valovne Rtg-svetlobe

odbiti elektron

x

y

sipani foton

vpadni foton

p

'

183

Ohranitev polne energije

0'

c ch W h W (8.4.1)

h Planckova konstanta

c hitrost svetlobe v vakuumu

0W lastna energija elektrona

W polna energija elektrona

o Ohranitev gibalne koliine

x os: cos cos ,'

h hP

(8.4.2)

y os: sin sin'

hP

(8.4.3)

Opomba:

Najibkeje vezani elektroni v atomih so vezani z energijo nekaj eV, zato jih v prvem

pribliku vzamemo za proste, to je nevezane delce.

Enabe (8.4.1) (8.4.3) zapiemo v obliki:

0'

h hc W W

, (8.4.4)

cos cos'

h hP

, (8.4.5)

sin sin'

hP

, (8.4.6)

in kvadriramo na obeh straneh enaajev:

2

2

0'

h hc W W

, (8.4.7)

2

2 2cos cos'

h hP

, (8.4.8)

2

2 2sin sin'

hP

. (8.4.9)

V nadaljevanju enabo (8.4.7) samo prepiemo, enabi (8.4.8) in (8.4.9) pa setejemo in

e mnoimo na obeh straneh enaaja s 2c :

184

2

2

0'

h hc W W

, (8.4.10)

2 2

2 2 2 2cos sin' '

h h hc c c P

. (8.4.11)

Enabi (8.4.10) in (8.4.11) zapiemo kot:

2

2

0'

h hc W W

, (8.4.12)

2 2

2 2 2 2 2 2 22 cos cos sin' '

h h h hc c c c P

. (8.4.13)

Torej:

2

2 2 2

0 02' '

h h h hc c W W W

, (8.4.14)

2 2

2 2 2 2 22 cos' '

h h h hc c c c P

. (8.4.15)

Enabi (8.4.14) in (8.4.15) med sabo odtejemo in upotevamo e zvezo 2 2 2 20W c P W .

Tako dobimo:

2 2

02 2 2 cos 0' ' '

h h h h h hc c W c

,

oziroma

20

'2 2 1 cos

' '

h hch W c

,

ali

0

' 1 coshc

W (8.4.16)

Enabo (8.4.16) imenujemo Compton-ova enaba, konstanto

0.0024chc

nmW

(8.4.17)

185

pa Compton-ova valovna dolina, torej:

' 1 cosc (8.4.18)

Enabe (8.4.18) ne moremo izpeljati v okviru klasine fizike.

Opomba:

Elektron v resnici absorbira foton z valovno dolino in takoj za tem odda foton z nekoliko vejo valovno dolino ' .

8.4.4 ATOMSKI RTASTI SPEKTRI

Niels Bohr

(1885 1962)

o Energijski nivoji vodikovega atoma so diskretni:

2

13.6 eV1,2,3,......nE n

n (8.4.19)

Pascheneva

serija

Balmerjeva

serija

Lymanova

serija

186

o Valovna dolina izsevane svetlobe pri prehodih elektrona iz vijega v niji energijski nivo za vodikov atom:

'2 2

1 113.6eV

nh

n

,

0

2 ' 2

1 113.6eV

n

ch

n

,

2 ' 2

0

1 13.6eV 1 1

nhc n

,

torej:

2 '2

1 1 1yR

n n

(8.4.20)

n' > n

kjer je 7 1

0

13.6eV1.09678 10yR m

hc

. Konstanti Ry pravimo Rydbergova konstanta.

8.4.5 INTERFERENNI POJAVI PRI ELEKTRONIH

Interferenni kolobarji curka elektronov:

slika: J. Strnad, Fizika II

Louis de Broglie

(1892 1987)

187

Fotoni:

2 2 2 2

0W W c P

0 0W h h

W Pc c

hP

2

2

22

hP k

hW h

P k

W

P gibalna koliina fotona

W energija fotona

Elektroni:

B

h h

P mv

de Broglie-eva valovna dolina

m masa elektrona

v hitrost elektrona

Interferenca dveh koherentnih EM valovanj:

Gostota energijskega toka EM valovanja v vakuumu: 2

1 2j E E

1

2

1 0

2 0

i kr t

i kr t

E E e

E E e

cos sin

cos sin

i

i

e i

e i

1 0 1cosE E kr t , 2 0 2cosE E kr t

1 2 1 2

2 * * *

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

* * * * 2

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2 0

2 2

04 o

2

c s2

ik r r ik r r

E E E E E E E E E E

E E E E E E E

k r rE

E E e e

Pogoj za maksimum (svetle interferenne proge):

1 21 2

2, 0, 1, 2

2

k r r nn r r n

k

zaslon

D

d

1r

2r

188

VALOVNA FUNKCIJA ZA DELEC (funkcija stanja)

o Fotoni :

P k 2

k

W c

0

i kx tE E e

povpreje ni odvisno od frekvence

2 2

0 0 0

1

2j wc E c E c

o Delci: po zgledu fotonov poskusimo zapisati valovno funkcijo za curek delcev z doloeno gibalno koliino (P) v smeri x:

, i kx tp x t e

2 2B

B

P mv P h hP k k k

h P mv

kin pot

WW W W W

torej:

,P W

i x ti px Wt

P x t e e

Z uporabo ,p x t lahko opiemo interferenni poskus z elektroni:

o curek elektronov iz oddaljenega izvira z doloeno gibalno koliino razdelimo na dva delna curka z isto gibalno koliino p in energijo W.

189

verjetnostna gostota elektronov na zaslonu * (po analogiji z EM

valovanjem kjer je *j E E ):

curek1: 11W

i tipx

p x e e

curek 2: 22W

i tipx

p x e e

skupno: 1 2p px x

*

1 2 1 2

2

2 1 2 1

12 1 cos 4cos

2

p p p px x x x

x x p x x p

o pogoj za maksimum (ojaanje):

2 1 2 11 2

, 0,1,2,...2

nx x p n x x n

p

190

Uklon curka elektronov na dveh reah

dele elektronov v pasu

med 1

d2

x x in 1

d2

x x je:

d

Ndx

N

a,b,c: raunalnika simulacija (Higgins, 1968)

Interferenni vzorec elektronov pri prehodu

skozi dve rei.

1

2

verjetnostna gostota,ebi bila rea 2zaprta

verjetnostna gostota,ebi bila rea1zaprta

verjetnostna gostota,esta obe reiodprti

a

b

po 28 elektronih

po 1000 elektronih

c

po 10 000 elektronih

fotografija interferennega vzorca

uklona elektronov na dveh reah

(C. Jnsson, Zeitschrift fr Physik,

161:454, 1961)

d

d:

izvor elektronov

x

1 2

1 2

x

1 2