6to ensayo nacional 10 agosto 2013-matemática

1

SOLUCIONARIO

ENSAYO N° 2 USM - 2013 MATEMÁTICA

1. La alternativa correcta es E

1 1 1 1 24 = = = = = -24

1 1 1 1 1 3 8 9 -1 1 9 13 3 3 8 243 3 3

−− − −

−−


Si a es un número impar, entonces 3a es impar, esto implica que 3a + 1 es par. El sucesor par de un número par se obtiene sumando dos unidades: 3a + 1 + 2 = 3a + 3.

3. La alternativa correcta es B

Al completar la secuencia:

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° X 2x – 1 3x + 1 4x – 2 5x + 2 6x – 3 7x + 3 8x – 4

Entonces, 7x + 3 + 8x – 4 = 15x - 1


Con respecto al número mixto -213, es correcto afirmar

I) Falso. -213 = -2 –

13

II) Verdadero. El número mixto -213 representa la fracción -

73, con el

numerador mayor, en valor absoluto, que el denominador, por lo tanto es una fracción impropia.

III) Verdadero. -213 = -2 –

13 = -

73.

2


Se trata de comparar las fracciones:

María > Raquel > Laura, ya que 3 3 3 > >

4 5 10, entonces

I) Verdadero. 3 3 >

4 5;

3 3 >

4 10

II) Verdadero. 310

es la menor de las fracciones.

III) Verdadero. Laura y Raquel implica 3 3 6 + 3 9

+ = = 10 5 10 10

;

comparado con lo que gasta María que es 34 :

9 3

10 4 para

comparar las fracciones igualamos los numeradores 9 3 3

· 10 4 3

9 9

10 12, entonces

9 9 >

10 12

6. La alternativa correcta es A

4 -1 -3

-2 -3 -2

320.000 · 0,4 · 0,003 32 · 10 · 4 · 10 · 3 · 10 =

0,008 · 10 8 · 10 · 10

32=

44 -1 -3 · 4 · 3 · 10 · 10 · 10

1

8 -3

1 · 10 -2

1 · 10

= 48 · 104 – 1 + 2

= 48 · 105 48 · 105 escrito en notación científica es 4,8 · 106.

3


Las proporciones a : 2b : c = 5 : 3 : 2, se puede reescribir como a 2b c = =

5 3 2.

I) Falso. La proporción que relaciona a con b es a 2b =

5 3,

reemplazamos el valor de a:

102

51

2b = 2

3⇒

2 =

b 3 = b

3⇒

II) Verdadero. Por propiedades de las proporciones:

a 2b c a + c a + c = = = =

5 3 2 5 + 2 7 ⇒

a + c 2b =

7 3 ⇒

21 2b =

7 3 ⇒

2b3 =

3 ⇒ 4,5 = b

III) Falso. Reemplazando el valor de b = 3 en a 2b c = =

5 3 2 se

tiene

a 2b =

5 3

2b c =

3 2

a 2 · 3 =

5 3 2 · 3

3c

= 2

a = 10 4 = c

Entonces, a – c = 10 – 4 = 6

8. La alternativa correcta es D

Kilos de comida y Cantidad de personas: Variables directamente proporcionales.

Cantidad de personas finales = 8 + 14 · 8 = 8 + 2 = 10

12 kilos8 personas

x =

10 personas

120

kilos = x8

15 kilos = x

4


Cf = C · 19 101 + · 1

100 100

−

.

Cf = C · 119 90 ·

100 100

Cf = C · 1,19 · 0,9


Si a # b = aba y c ♦ d = d – c, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Verdadero, 2 # 3 = 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 9 = 18 II) Verdadero, 1 # 3 = 1 ⋅ 31 = 1 ⋅ 3 = 3; 5 ♦ 8 = 8 – 5 = 3 III) Verdadero, c ♦ d = d – c = - (c – d) = - (d ♦ c)


x – y(x – y) = 2 – (-2)(2-(-2)) = 2 – (-2)4 = 2 – 16 = -14

12. La alternativa correcta es C

(1.150 + 50)2 – (11502 – 502) = 1.2002 – (1.150 – 50) · (1.150 + 50) = 1.2002 – 1.100 · 1.200 = 1.200 (1.200 – 1.100) = 1.200 · 100 = 120.000


2

3 2

p 2p 8 p 1 :

p 16p p + 3p 4

− − −

− −

2

(p 1)(p 4)(p + 2) :

p(p 16)

−−

− (p + 4)(p 1)−

(p 4)− (p + 2)

p(p 4)− (p + 4) · (p + 4)

p + 2p

5


a · b2 : b3 · a2 = 2

2 1 + 2 2 3 3 -1

3

a · b · a = a · b = a · b

b

−


2n 2nn 1 2 -1x xn = = x = x2x x

−


7k – 1 · 5k + 2 = xy 7k · 7-1 · 5k · 52 = xy

7k · 5k · 17 · 52 = xy

(7 · 5)k = 7xy25

35k = 7xy25


( ) ( ) ( )2 2 2

t t 2 = t 2 · t · t 2 + t 2− − − − −

= ( )t 2 · t t 2 + t 2− − −

= ( )22t 2 · t 2t 2− − −

= ( )22 t t 2t 1

− − −

18. La alternativa correcta es D 5(1 – x)+ 2x = 3(x – 2) 5 – 5x + 2x = 3x – 6 5 – 3x = 3x – 6 5 + 6 = 3x + 3x 11 = 6x

11

= x6

6


3 < 2x 5

3−

≤ 5 / ·3

9 < 2x – 5 ≤ 15 / +5 14 < 2x ≤ 20 / :2 7 < x ≤ 10 Como intervalo el conjunto solución es ]7, 10]

20. La alternativa correcta es D La ecuación de la recta 5x + 2y – 3 = 0, escrita en la forma y = mx + n queda:

y = 5 3

- x + 2 2

, si es paralela a esta recta implica que tiene la misma

pendiente: -52.

Entonces, en la ecuación y = -52x + n se reemplaza el punto (2, -1).

y = -52x + n

-1 = - 52

· 2 + n

-1 + 5 = n 4 = n Por lo tanto,

y = -52x + 4 / ·2

2y = -5x + 8

5x + 2y – 8 = 0

7


5x + 1 – 5x – 1 + 5x = 725 5x (5 – 5-1 + 1) = 725

x 1

5 5 + 1 = 7255

−

x 25 1 + 55 = 725

5−

x 295 = 725

5

x 7255 =

25

· 5291

5x = 53

Entonces, x = 3


I) Verdadero. El dominio de la función se refiere a los valores que toma la variable x, y en este caso el intervalo es [-5, 6].

II) Falso. El recorrido de la función se refiere a los valores que toma la variable y, que en este caso corresponde a [-2, 1] U [2, 4].

III) Verdadero. f(x) es una función discontinua.


f(x + 2) = x2 – 3x – 10 = (x + 2) (x – 5) = (x + 2)((x + 2) – 7) Entonces, por analogía f(x) = x (x – 7) = x2 – 7x

24. La alternativa correcta es C 3x + 2 ≤ 8 + 5x 2 – 8 ≤ 5x – 3x -6 ≤ 2x / :2 -3 ≤ x Es decir, la solución son todos los x igual o mayores que -3:

-3

8


2 2ax by = a + b

ay bx = -2ab−

− ⇒

2 2ax by = a + b-bx + ay = -2ab

−

Por el método de reducción Factorizando y dividiendo por (a – b).

x(a – b) + y(a – b) = a2 – 2ab + b2 (x + y)(a – b) = (a – b)2

(x + y) = (a – b)

Por lo tanto 2x + 2y = 2 (x + y) = 2 (a – b)

26. La alternativa correcta es C La función f(x) = (x + 3)2 – 4, se puede rescribir como de la forma f(x) = (x – h)2 + k, donde (h, k) son las coordenadas del vértice. Entonces, f(x) = (x – (-3))2 – 4.

I) Falso. El vértice de la parábola es (-3, -4). II) Verdadero. La concavidad de la parábola está orientada hacia

arriba, ya que el término que acompaña al coeficiente cuadrático (x2) es 1, mayor que cero.

III) Falso. La función, al tener concavidad positiva, tiene un mínimo y no un máximo.

Se solicitan las alternativas Falsas, que serían I y III.

27. La alternativa correcta es E La función de la figura corresponde al opuesto del valor absoluto: -x, además el vértice se encuentra en el punto (4, 6), por lo tanto tendrá como ecuación base: -x – 4 + 6. Del gráfico se puede deducir la siguiente tabla de valores: Estos valores se dan para g(x) = -3x – 4 + 6.

X Y 2 0 6 0

9



f(x) = [x] (función parte entera de x), que tiene como valor x, si x es entero y cuando x es decimal, el valor es el mayor entero menor que x. f(a – 0,2) + f(a + 1,8) = (a – 1) + (a + 1) = 2a


Con respecto al dinero gastado, se tiene: 35.000 q + 40.000 f = 220.000 / :1.000 35 q + 40 f = 220 / :5 7 q + 8 f = 44 (1) Con respecto a las cantidades de los libros, se tiene: q + f = 6 despejando f f = 6 – q esta igualdad se reemplaza en (1) 7 q + 8 (6 – q) = 44 7 q + 48 – 8 q = 44 48 – 44 = 8 q – 7 q 4 = q

-6 -4 -2 2 4 6

2

4

6

8

-2

x

y

2x 2-x

[a – 0,2] [a + 1,8]

a + 1,8

a

a – 0,2

a – 1 a + 1 a + 2

10


Si f(x) = 2

x 2 , si x -6 tramo 1

x , si -6 < x 10 tramo 2 10 x, si x > 10 tramo 3

− ≤

≤ −

x = -5 pertenece al tramo 2, por tanto f(-5) = (-5)2 = 25 x = 0 pertenece al tramo 2, por tanto f(0) = 02 = 0 x = 12 pertenece al tramo 3, por tanto f(12) = 10 – 12 = -2

f(-5) + f(0) – f(12) = 25 + 0 – (-2) = 25 +2 = 27 32. La alternativa correcta es D

Para la recta L1, se observa que las intersecciones con los ejes son: eje x : 5; eje Y : 7. Utilizando la forma canónica de la recta:

x y + = 1

5 7 / ·35

7x + 5y = 35 La recta L2 pasa por los puntos (-7, 0) y (5, 6):

La pendiente de la recta se determina 2 1

2 1

y y 6 0 6 1m = = = =

x x 5 (-7) 12 2− −

− −

Con esto y = 12x + n, remplazando el punto (5, 6) en la ecuación anterior,

se tiene:

6 = 12 · 5 + n

6 – 52 = n

12 5

2−

= n

72 = n

Entonces, y = 12x +

72 / ·2

2y = x + 7 -x + 2y = 7 x – 2y = -7

Finalmente el sistema queda 7x + 5y = 35x 2y = -7−

.

L1

(5, 6)

L2

y

x

6

4 2 -2 -4 -6

4

2

8

7

-7

11



I) Falso. Para x = 0, g(x) = h(x) (0 = 0) II) Falso. Para x= 0, j(x) = h(x) (0 = 0) III) Verdadero. Para cualquier valor de x se cumple h(x) > f(x).


log x + 2 = 3 log x 2 = 3 log x – log x 2 = 2 log x / :2 1 = log x por definición de logaritmo

101 = x 10 = x

y

x

2

4

-6 -4 -2 4 2 6 8

6

8

10

-2

h(x) = 3 x + 4

g(x) = -3x + 6

y

x

1

-2 -1 1 2

2

-1

3 4

-2

h(x) = x

f(x) = log (x)

12

36. La alternativa correcta es C El punto medio entre (3, 6) y (-5, 8) es el promedio de las coordenadas:

xM = 3 + -5 -2

= = -12 2

⇒ punto medio: (-1, 7)

yM = 6 + 8 14

= = 72 2

La recta y – 3 = 0, es paralela al eje x. La recta perpendicular a y = 3, es paralela al eje y, y pasa por el punto (-1, 7), tiene por ecuación x = -1.


4 4

3 3f( 3) f(27) = log 3 log 27− −

= 14 3

3 3log 3 log 3−

= 3 3

1log 3 3log 3

4−

Como

alog a = 1, entonces

= 14 – 2

= 1 12

4−

= -114

x

y

(-1, 7)

y = 3

x = -1

2

4

6

8

-2 -4 -6 -8 -10 2

-2

-4

4

13


I) II) III)

“a” representa la concavidad de la parábola, si a > 0, las ramas de la parábola van hacia arriba; a < 0, las ramas de la parábola van hacia abajo. “c” representa el corte de la parábola del eje Y.


Dado que g(x + 3) = g(x) + 3, se analizan las alternativas para x = -2:

g(-2 + 3) = g(1) g(-2) + 3

A) g(x) = x – 3 1 – 3 = -2 (-2 - 3) + 3 = -5 + 3 = -2 Cumple

B) g(x) = x2 (1)2 = 1 (-2)2 + 3 = 4 + 3 = 7 No cumple

C) g(x) = log(x) log 1 = 0 log -2 (no está definido)+ 3 No cumple

D) g(x) = x 3+ 1 3 4 2+ = = ( ) ( )2 3 3 1 3 4− + + = + = No cumple

E) g(x) = x2 + 3 12 + 3 = 4 ((-2)2 + 3) + 3 = 10 No cumple


Si L1 // L2 y L3 // L4, entonces los ángulos pueden ser trasladados entre paralelas. Se tiene que: α = γ, por ser ángulos opuestos por el vértice; además δ = β + α, ya que δ es un ángulo externo al triángulo, igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes. Reemplazando α por γ, se obtiene: δ = β + γ

y

x

y

x

y

x

Verdadero a > 0, c = 0 ⇒ ac = 0

Verdadero a > 0, c > 0 ⇒ ac > 0

Falso a < 0, c > 0 ⇒ ac < 0

δ

L1

L2

L3 L4

β α

γ γ

β β α

14

41. La alternativa correcta es B Como L1 // L2 // L3, se puede aplicar el Teorema de Thales:

x 2 x + 2

= x x + 6−

(x – 2)(x + 6) = x(x + 2)

2x 2 + 4x 12 = x− + 2x

4x – 2x = 12

2x = 12 x = 6

42. La alternativa correcta es D Se colocan los datos dados en la figura 6: DB bisectriz del �ABC y

DE CB⊥ . 130° = α + 80° 50° = α ⇒ �BDE = 40°

x + �BDE + 80° = 180°

x + 40° + 80° = 180° x = 60°

L1

L2

L3

x – 2

x + 2

x + 6

x

130º

80º

x

A B

C

D E

α α

90º

90°

15

43. La alternativa correcta es E Al trazar el radio de la circunferencia AO, se forma un triángulo de ángulos 30° - 60° - 90°, cuyos lados están en la proporción que se muestra en la figura

Entonces, AO = a = 2 3 , por tanto AB2

= a 2 3 33 = = 3

2 2, con lo que

el lado del triángulo equilátero AB = 6.

A∆equilátero = 2 2lado 3 6 3 36 3

= = 4 4 4

A∆equilátero = 9 3

44. La alternativa correcta es E En el ∆ABC rectángulo en C con CD AB⊥ , se puede aplicar Pitágoras y los Teoremas de Euclides:

I) Verdadero, Pitágoras aplicado al ∆CDB se tiene que

a2 = h2 + q2 o 2 2 2

CB = CD + DB .

II) Verdadero. A partir de la ecuación, dado DB + AD CA =

CA AD y

aplicando teoremas de Euclides:

2

AD(DB + AD) = CA 2 2

AD · DB + AD = CA p · q + p2 = b2 h2 + p2 = b2

III) Verdadero. A partir de CD AD =

DB CD

2

CD = AD · DB h2 = p · q

AB2

2 3

30° 60°

A B

C

30°

60°

a

a2

a3

2

D B

C

A c

a b h

q p

16

45. La alternativa correcta es A Al trazar las tres transversales de gravedad en un triángulo, se generan 6 triángulos equivalentes, es decir 6 triángulos de áreas iguales. Si el área del ∆PQR es 57 cm2, el ∆PGR considera 2 de los triángulos generados:

Área∆PGR = 2 · 57

6 = 19 cm2


Si SP = 6 cm y PQ = 8 cm, entonces PR = 10.

ST es la altura del ∆PSR, según Euclides: a · b

h = c

SP · SRST =

PR

6 · 8ST =

10

ST = 4,8 cm

TR es la proyección del cateto SR sobre la hipotenusa PR , según Euclides SR2 = TR · PR 82 = TR · 10 6,4 = TR

Por tanto el perímetro del rectángulo STRU es 2 · 4,8 + 2 · 6,4 = 22,4 cm. 47. La alternativa correcta es C

Si AC = 8 2 , entonces el lado del cuadrado mide 8 cm, por tanto el radio

de cada semicircunferencia es 4 cm.

Perímetro de la región achurada corresponde a 3 semicircunferencias y un

lado del cuadrado:

P = 8 + 3 2 r2π

P = 8 + 3 · π · 4 P = 8 + 12π

P Q

R S

T

U

10 6

8

8

17

48. La alternativa correcta es D En el rectángulo ABCD, DB : BC = 5 : 3 . Si DB = 5k, BC = 3k, entonces el otro lado, por Pitágoras, AB = 4k. Si el perímetro del rectángulo mide 168 cm, Entonces, 3k + 3k + 4k + 4k = 168 cm 14 k = 168 k = 12 Por lo tanto, los lados del rectángulo miden 36 y 48 cm, con lo que su área mide: A = 36 · 48 A = 1.728 cm2

49. La alternativa correcta es D El ∆PWU ∼ ∆UTR, entonces:

4 x x

= x 6 x−

−

24 – 10x + 2x = 2x

24 = 10x

2,4 = x El perímetro del cuadrado QTUW = 4 · 2,4 = 9,6 cm

A B

C D

5k

4k

3k

6

x

6 – x x P Q

R S

T U

W

4 – x

4

18

50. La alternativa correcta es E Completamos las dimensiones utilizando dos esquemas geométricos básicos: el triángulo equilátero y el cuadrado: El Área del trapecio está definida como el producto entre su altura y la semisuma de las bases:

Atrapecio = ON + LMOP ·

2

Atrapecio = 8 + 2 3 + 8 + 66 ·

2

Atrapecio = 3 · (22 + 2 3)

Atrapecio = 6(11 + 3)

51. La alternativa correcta es C Por proporcionalidad en la circunferencia:

CE · ED = AE · EF (r + x) · (r – x) = 8 · 2 r2 – x2 = 16 (1)

Aplicando Pitágoras al ∆AOE: AO2 + EO2 = AE2 r2 + x2 = 82 r2 + x2 = 64 (2) Con las ecuaciones (1) y (2) se hace un sistema:

2 2

2 2

r x = 16

r + x = 64

−

2r2 = 80 r2 = 40 Entonces, el área del círculo es = r2π = 40π

L M

N O

P Q

8

4 3

60º 45º

8

6 6

2 3 6

30°

60°

a

a2

a3

2

a 45°

45°

a a 2

A

B

C

D F

E

O r

r

x

8

r – x 2

19

52. La alternativa correcta es A Teorema ángulo interior en la circunferencia:

�DEC = � �AB + CD

2

60º = 80° + x

2

120º = 80º + x 40 = x

53. La alternativa correcta es A Teorema ángulo exterior en la circunferencia:

�ACD = � �DA BD

2−

25º = 160°

2− α

50º = 160º – α α = 110º x + α + 160° = 360° x + 110 + 160° = 360° x = 360° – 270° x = 90° Entonces, el ∆AOB es rectángulo e isósceles, ya que es un ángulo del centro que describe un arco de 90° y AO = OB = r.

54. La alternativa correcta es D Aplicando Pitágoras al ∆ABC se tiene que BC mide 3a.

I) Falso. cat opuesto 3a

tg = 3cat adyacente a

α = =

II) Verdadero.

cat op 3a 3sen = = =

hipotenusa a 10 10α

cat adyacente 3a 3cos = = =

hipotenusa a 10 10β

III) Verdadero. cat opuesto a 1 10 10

sen = = = = hipotenusa a 10 10 10 10

β

A B

C D

E

O

80°

120°

60°

x

160°

α

A

B

C

D

O

25°

x

3a

a 10

a A

B

C α

β

20

Eje de las abcisas

y = 5

y = x + 5 y = x – 5

x

y

5

-5 5

h

b

55. La alternativa correcta es C Para facilitar la determinación del área del paralelogramo, se grafican las rectas señaladas. Se reescriben las ecuaciones de las rectas como ecuaciones principales: y = 5; y = x – 5; y = x + 5 El área del paralelogramo = b · h = 5 · 10 = 50 u2

56. La alternativa correcta es C En el esquema se tiene un paralelepípedo con sus aristas en la razón 12: 3 : 4, siendo la diagonal D1 la diagonal de una cara y D2 es la diagonal central que mide 26 cm. Como las aristas están en 90° es posible aplicar Pitágoras: D12 = (3k)2 + (4k)2 (1) D22 = D12 + (12k)2 (2) Reemplazando (1) en (2) D22 = (3k)2 + (4k)2 + (12k)2 D22 = 9k2 + 16k2 + 144k2 262 = 169k2 4 = k2 2 = k Entonces, las dimensiones de las aristas son: 24 cm; 6 cm y 8 cm, por tanto la superficie del paralelogramo se determina según: Superficie = 2 (ab + bc + ca) con a, b y c las dimensiones de las aristas Superficie = 2 (8 · 6 + 8 · 24 + 6 · 24) cm2 Superficie = 2 (48 + 192 + 144) cm2 Superficie = 2 · 384 cm2 Superficie = 768 cm2

D1

D2 12k

3k

4k

21

57. La alternativa correcta es B Volumen cubo = a3

Según la figura 17, la altura y radio de los conos es a2.

Vresultante = Vcubo – 2Vconos

Vresultante = a3 – 213

πr2h

Vresultante = a3 – 2 13

32a a

2 2

Vresultante = a3 – 22a a ·

4 2

Vresultante = a3 – 3a4

Vresultante = 33a

4

58. La alternativa correcta es D Teselar o embaldosar es recubrir el plano con la misma figura, de modo que al unirlas no queda espacios al interior, entonces: I) II) III)

Falso Queda espacio sin poder cubrir con la misma figura

Verdadero Se puede cubrir toda la superficie con la misma figura

Verdadero Se puede cubrir toda la superficie con la misma figura

22


El punto a obtener es (2, 7):

I) Verdadero. Si al punto A(-2,7) se aplica una traslación según el vector T(4,0), se obtiene A”(2,7).

II) Verdadero. Si al punto A(-2,7) se le aplica una simetría axial con respecto al eje de las ordenadas, eje Y, se obtiene A”(2,7).

III) Verdadero. Si al punto A(-2,7) se le aplica una simetría axial con respecto al eje de las abcisas, eje x, se obtiene (-2,-7) y al aplicarle una simetría central con respecto al origen se obtiene A”(2,7).


Según los datos entregados, se puede elaborar la siguiente tabla:

Comentarios:

A) Sólo un 36% de las personas ocupan esos medios de locomoción. B) Correcto. C) 660 personas ocupan transporte público. D) Caminando se movilizan 740 personas. E) 800 personas se movilizan caminando o en bicicleta.

-5 -7 -6 -4

y

x 1 2 3 4 5 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

-2 -3 -4 -5 -6 -7

A : (-2,7)

A’ : (2,-7)

A” : (2,7)

Tipo de movilización (%) Cantidad

Caminata 37 740 Transporte Privado 22 440 Transporte Público 33 660 Bicicleta 3 60 Otros 5 100 Total 2.000

23

61. La alternativa correcta es C 360° corresponde a 1500 elementos, entonces 360 60

= 1500 x

x = 60 · 1.500

360

x = 1.500

6

x = 250 elementos


2 + 4 + 6 + 7 + 2 + 3 + 4 + 6 + 2x =

9

36x =

9

x = 4


I) Falso. La moda es la nota 4, que tiene una frecuencia de 12. II) Verdadero. El curso tiene 30 alumnos III) Verdadero. La mediana corresponde al promedio de los datos

centrales (lugares 15 y 16), y en este caso ambos corresponden a la nota 4, según evidencia la frecuencia acumulada.

Se piden las alternativas Falsas, que es sólo I.

Notas frecuencia Frecuencia acumulada

1 3 3 2 1 4 3 2 6 4 12 18 5 6 22 6 4 26 7 2 30

Total 30

24

64. La alternativa correcta es B Para determinar el promedio, es necesario trabajar con las marcas de clases (xM) que es el promedio de los dos extremos de las clases, los que se multiplican por su frecuencia.

· Mx f 1.062x = = = 29,5

f 36∑

∑

65. La alternativa correcta es A Que ambas bolitas extraídas sean del mismo color implica: Rojas y Rojas o Azul y Azul o Amarillo y Amarillo, donde la preposición “y” implica una multiplicación, y la preposición “o” implica una adición. Que se extraigan “simultáneamente” es equivalente a que se extraigan “sin reposición”, es decir no se devuelve la bolita extraída en primer lugar. Entonces se tiene:

5 4 3 2 4 3 · + · + ·

12 11 12 11 12 11

66. La alternativa correcta es A Que salga un número primo corresponde a que salgan los números {2, 3, 5}. Por tanto se deben sumar las frecuencias de esos números. Probabilidad número primo = 15 + 25 + 20 = 60%. Que es equivalente al porcentaje, ya que la base de cálculo son 100 tiros.

Intervalo de Puntajes

frecuencia Marca de Clases xM

xM · f

10 – 19 10 14,5 145

20 – 29 6 24,5 147

30 - 39 12 34,5 414

40 - 49 8 44,5 356

36 1062

25

67. La alternativa correcta es D En base a los datos entregados se tiene:

P(mujer) = 1040

P(pelo oscuro) = 2540

P(mujer y pelo oscuro) = 540

P(mujer) + P(pelo oscuro) – P(mujer y pelo oscuro) = 10 25 5 30

+ = 40 40 40 40

−

68. La alternativa correcta es C Se tienen 3 camisas blancas y 2 azules, se tienen dos casos:


2 2 2

2 2 3 2

a + b a + b a + b = =

a ab + ab b a(a b) + b (a b)− − − − 2(a + b )

1 =

(a b)(a b) −−

(1) Es suficiente saber que a – b = 3

(2) a = 8

Sólo con la información (1) es suficiente.

Hombres Mujeres Total

Pelo Claro 10 5 15

Pelo Oscuro 20 5 25

Total 30 10 40

1era extracción 2da extracción

Blanco y azul 35

24 =

620

Azul y Blanco 25

34 =

620

6 6 12 3 + = =

20 20 20 5

= 24

26

70. La alternativa correcta es E Si f(x) = ax2 + bx + c, se puede determinar f(5) si: (1) x1= 6 y x2 = 10 son raíces de la ecuación. Infinitas funciones

cuadráticas pasan por estas dos raíces.

(2) El eje de simetría es x = 8. Infinitas funciones cuadráticas tienen este eje de simetría. Se requiere información adicional.

71. La alternativa correcta es E Se desconoce si las líneas que delimitan la superficie achurada son paralelas a los lados del rectángulo.

72. La alternativa correcta es C La razón de los perímetros de dos triángulos al cuadrado representa la razón entre las áreas de dos triángulos, siempre y cuando éstos sean semejantes. Ambas informaciones juntas.

73. La alternativa correcta es B El parámetro estadístico que da información con respecto a la dispersión de los datos es la desviación estándar.

74. La alternativa correcta es C (1) Si cada respuesta tiene cinco alternativas, implica que la probabilidad

de contestar correctamente es una entre cinco: 15

(2) La prueba consta de 30 preguntas. No incide en la probabilidad por pregunta.

27


Al ser una cantidad impar de números enteros consecutivos, el promedio es igual al valor central, es decir la mediana. Se necesitan ambas informaciones.

6to ensayo nacional 10 agosto 2013-matemática

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