64.08 - tp4 - zapata rigida

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FIUBA - 2007 64.08 - Mecánica de Suelos Affonso Esteban (78.209)

La siguiente memoria, propone una forma para determinar la distribución de tensiones bajo una zapata rectangular rígida, a

una cierta profundidad "z", a partir de la Matríz de Flexibilidad.

Las flexibilidades quedan definidas teniendo en cuenta la fórmula de Boussinesq para la determinación de los esfuerzos

normales y aplicando la Ley de Hooke, tal lo planteado en la página 72 del libro Mecánica de Suelos Tomo 2 -

J.Badillo-R.Rodriguez.

En todo los casos, la propuesta cuenta con las limitaciones de las hipótesis de los modelos componentes.

Desarrollo

B1

B 2

i

j

Dada una zapata aislada, de lados B1, B2

B1 2.5m:= B2 2.5m:=

que en principio la consideramos flexible y discretizada en n1 x n2 partes,

donde:

n1 24:= n2 n1:=

Se quiere determinar en un principio, el desplazamiento de la parte "j",

debido a la aplicación de una fuerza unitaria en "j". (aplicación delmétodo

de la fuerzas para la determinación de magnitudes cinemáticas)i 0 n1..:= j 0 n2..:=

El asentamiento elástico en "j", debido a una carga en "i" (no considarando la consolidación) está dado

por

dδσz x y, z,( )

E z( )dz⋅=

con σz(x,y,z), determinado por Boussinesq, para una carga concentrada unitaria "p0", a una

profundada z0.

z0 25cm:= σz x y, z,( )3 p0⋅

2 π⋅

z3

x2

y2

+ z2

+( )5

⋅=

si variamos luego la posición de la carga y para cada posición determinamos las tensiones que por ella se ponen de

manifiesto y luego, aplicamos superposición de efectos. Lo determinado es la sobrepresión en la cota z0, producto de haber

cargado la zapata con carga unitarias concentradas en las areas discretizadas. (dependiendo del grado de discretización, se

asemeja a tener una carga distribuida unitaria en toda la zapata.

σzi j,

0

n1

x 0

n2

y

3 1⋅ kg

2 π⋅

z03

B1 i x−( )⋅

n1

⎡

⎣

⎤

⎦

2B2 j y−( )⋅

n2

⎡

⎣

⎤

⎦

2

+ z02

+⎡

⎣

⎤

⎦

5⋅

⎡

⎢⎢

⎣

⎤

⎥⎥

⎦

∑=

∑=

:=

teniendo en cuenta esto, las presiones que se observarían a la profundidad z0 son.

σz

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Según lo visto al principio, si una vez determinadas las presiones, aplicamos la Ley de Hooke, podemos determinar el

asentamiento debido a estas presiones.

En el caso de tener una carga unitaria ubicada en la posición (x0; y0)...

x0 0m:= y0 0m:= pi j,

1kg:=

E z( ) 10000 z⋅ton

m3⋅:= <=== Defino una ley de variación de la rigidez del suelo

σzi j,

3 px0 y0,

⋅

2 π⋅

z03

B1 i x0−( )⋅

n1

⎡⎣

⎤⎦

2B2 j y0−( )⋅

n2

⎡⎣

⎤⎦

2

+ z02

+⎡

⎣

⎤

⎦

5⋅:=

zbase 0.05m:= zΦ 25m:=

δi j,

zbase

zΦ

z

3 px0 y0,⋅

2 π⋅ E z( )⋅

z3

B1 i x0−( )⋅

n1

⎡⎣

⎤⎦

2B2 j y0−( )⋅

n2

⎡⎣

⎤⎦

2

+ z2

+⎡

⎣

⎤

⎦

5⋅

⌠ ⎮⎮⎮⎮⎮⌡

d:=

δ

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Generación de la Matriz de Flexibilidad

Si ahora hacemos variar la posición de la carga unitaria y para cada posición, determinamos un vector cuyas

componentes son los asentamientos en cada area discretizada, producto de la ubicación de esta carga. Y si luego a

cada vector así obtenido lo ordenamos en una matriz por columnas, obtenemos la matriz de flexibilidad para el modelo

de una zapata flexible.

a 0:=

M x y,( )

cola 0,

zbase

zΦ

z3

2 π⋅ E z( )⋅

z3

B1 i x−( )⋅

n1

⎡⎣

⎤⎦

2B2 j y−( )⋅

n2

⎡⎣

⎤⎦

2

+ z2

+⎡

⎣

⎤

⎦

5⋅

⌠ ⎮⎮⎮⎮⎮⌡

d←

a a 1+←

i 0 n1..∈for

j 0 n2..∈for

col

:=

b 0:=

Para armar la matriz Flex, vario la

posición de la carga y calculo los

asentamientos para las diferentes

posiciones a través de la matriz M.

Cada posición de carga, me

determina una columna de la matriz

de Flexibilidad

Flex

Flexb⟨ ⟩

M x y,( )←

b b 1+←

x 0 n1..∈for

y 0 n2..∈for

Flex

:=

Hasta ahora lo que logramos es que, si tengo una configuración de carga determinada, puedo hallar el

asentamiento que sufre cada unidad de area, suponiendo que la base es flexible. Es decir...

Δδ

→Flex ΔP

→⋅=

Lo que haremos ahora es imponer el mismo asentamiento a todas las unidades de área (hip. dezapata rígida)

y de esta forma hallar la distribución de la carga que genera el asentamiento impuesto..

ΔP

→Flex

1−Δδ

→

⋅=

Vunit

Vunitl 0,

1←

l 0 n1 1+( ) n2 1+( )⋅ 1−..∈for

Vunit

:=

δo 5cm:= <===== impongo un desplazamiento cualquiera

Δδ δo Vunit⋅:=

ΔP Flex 1− Δδ⋅:=

Lo que necesitamos ahora es transformar el vector de fuerzas obtenido en una matriz que asigne los elementos del vetor a

los

elementos de área de nuestra zapata.

La matriz M, determina para

cada posición de la carga

unitaria, los asentamientos

generados y los guarda en una

de sus columnas.

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w 0:=

P

pt s, ΔP

w←

w w 1+←

s 0 n1..∈for

t 0 n2..∈for

p

:=

cols P( ) 25= rows P( ) 25=

La distribución de la carga, para que se de el asentamiento impuesto es de la forma...

P

P

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Como verificación, impondremos este vector de distribución de cargas sobre la zapata lo que debiera darnos un asentamiento

constante e igual al impuesto.

Δrig Flex ΔP⋅:=

r 0:=Δzrig

Δdt s, Δrig

r←

r r 1+←

s 0 n1..∈for

t 0 n2..∈for

Δd

:=

Δzrig

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