6. analyse postoptimale. analyse postoptimale mesurer linfluence sur la solution optimale de...
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6. Analyse postoptimale
Analyse postoptimale
• Mesurer l’influence sur la solution optimale de modifier certains coefficients du problème
• Indiquer à l’utilisateur où mettre son énergie pour estimer avec plus de précision les coefficients les plus critiques
• 6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
• 6.2 Modification des termes de droite
• 6.3 Modification des contraintes
• 6.4 Introduction d’une nouvelle variable
• 6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
a) Le coût cj d’une variable hors base est modifié
Seul le coût relatif de la variable xj est influencé dans le tableau optimal du simplexe.
En effet B et cB n’étant pas modifiés, n’est pas modifié, et les coûts relatifs des autres variables restent donc identiques.
Le coût relatif de la variable xj devient
La solution demeure optimale si
ou
jjjj cccc ~devient
1 BcTB
T
jjjjT
jjT
jjj cccacaccc )()(~
0~ jjj ccc jj cc
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
b) Le coût de la variable de base dans la ligne r est modifié
Alors le coût relatif de toutes les variables est modifié comme suit.
Le vecteur des multiplicateurs est modifié:
rjc
]...,,...,,,[~devient21 mrr jjjjj
TB
TB ccccccc
11 ]0,...,....,,0,0[ BcBcrj
TB
1]0,...,....,,0,0[ Bcrj
T
1~~Alors Bc TB
T
rrrr jjjj cccc ~devient
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
1]0,...,....,,0,0[~ Bcrj
TT
jT
jj
r
acc
jj
~~,pourAinsi
jjjT
j aBcacr
1]0,...,....,,0,0[
jjj accr
]0,...,....,,0,0[
rrrrrr jjjT
jjj
r
aBcaccc
j
1]0,...,....,,0,0[)(~Pour
rrrrr jjjjT
j aBccac
1]0,...,....,,0,0[)(
0)( rrr jjj ccc
rjjj accr
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
rrjjjj jjnjacccr
;,...,2,10~sioptimaledemeureactuellesolutionla,conséquentPar
rj
jj
rjjjrjjjj
rjr
a
cc
accaccc
ajj
r
rr
0~0quetelMais
rj
j
rj
jj
jrjjrjjjj
rjr
a
c
a
cc
cacaccc
ajj
r
rr
0~0quetel,similairefaçonDe
.0:min0:max
sioptimaledemeuresolutionlasomme,En
,...,2,1,...,2,1
rj
rj
j
jjnj
jrjrj
j
jjnj
aa
cca
a
c
r
r
r
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
.0:min0:max
sioptimaledemeuresolutionlasomme,En
,...,2,1,...,2,1
rj
rj
j
jjnj
jrjrj
j
jjnj
aa
cca
a
c
r
r
r
rjjTB
TB
TB
bczbcbcbc
bcz
rr
*]0,...,....,,0,0[~devientmodifiéproblèmeduoptimalevaleurlaalors
original,problèmeduoptimalevaleurladénote*Si
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
simplexe.dualgorithmel'avecmodifiéproblèmedu
résolutionlaspoursuivonnousalorsvérifiée,pasestn'
0:min0:max
conditionlaSi
,...,2,1,...,2,1
rj
rj
j
jjnj
jrjrj
j
jjnj
aa
cca
a
c
r
r
r
6.2 Modifications des termes de droite
rrr bbb devenirpourmodifiéestdroitedetermeleSi
121
2
1
2
1
11
2
1
1
decolonnelaest,...,,...,,où
0
0
0
0
0
0
deviennentoptimaltableaududroitedetermesLes
Br
b
b
b
b
b
bBbB
b
b
b
b
b
B
Tmrrrrr
r
rm
rr
r
r
m
rrr
m
r
121
2
1
2
1
11
2
1
1
decolonnelaest,...,,...,,où
0
0
0
0
0
0
deviennentoptimaltableaududroitedetermesLes
Br
b
b
b
b
b
bBbB
b
b
b
b
b
B
Tmrrrrr
r
rm
rr
r
r
m
rrr
m
r
.0:min0:max
direàestc'
,...,2,10
siréalisabledemeureactuellebasedesolutionlaAinsi
,...,2,1,...,2,1
ir
ir
i
mirir
ir
i
mi
riri
bb
b
mibb
6.2 Modifications des termes de droite
Si la solution n’est plus réalisable sous l’effet du changement, nous déterminons une nouvelle solution réalisable pour le problème modifié avec l’algorithme dual du simplexe.
.0:min0:max
direàestc'
,...,2,10
siréalisabledemeureactuellebasedesolutionlaAinsi
,...,2,1,...,2,1
ir
ir
i
mirir
ir
i
mi
riri
bb
b
mibb
6.3 Modification des contraintes
• Nous limitons notre étude au cas où les coefficients des variables hors base peuvent être modifiés
,devenirpour
modifiéestbasehorsvariableuned'tcoefficienleSi
ijij
ij
aa
a
.~direàestc'
0
0
0
0
~
devientbasehorsvariableladerelatifcoûtlealors
ijijj
ijT
jT
jijjT
jj
j
acc
aacaacc
x
6.3 Modification des contraintes
Si la solution n’est plus optimale, nous poursuivons la résolution du problème modifié avec l’algorithme du simplexe.
.0lorsque
0lorsque
0lorsque
sidireàestc'
0~sioptimaledemeuresolutionLa
iij
ii
jij
ii
jij
ijijj
quelconquea
ca
ca
acc
6.4 Introduction d’une nouvelle variable
Considérons le cas où nous voulons introduire une nouvelle variable xn+1
dont le coût unitaire est cn+1 et dont la colonne des coefficients est . 1na
.
derelatifcoûtlesDéterminon
111
1
nT
nn
n
acc
x
modifié.problèmelepouroptimaleest0avecactuellesolutionla
,0Si
1
111
n
nT
nn
x
acc
6.4 Introduction d’une nouvelle variable
Considérons le cas où nous voulons introduire une nouvelle variable xn+1
dont le coût unitaire est cn+1 et dont la colonne des coefficients est . 1na
.
derelatifcoûtlesDéterminon
111
1
nT
nn
n
acc
x
.
calculerdevonsnoussortie,decritèrele
exécuterpouretentrée,d'variabledevientvariableLa
simplexe.dualgorithmel'
avecmodifiéproblèmedurésolutionlaspoursuivonnousalors
,0Si
11
1
1
111
nn
n
nT
nn
aBa
x
acc
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
a)
.
standardcontraintelarendrepourécartd'variableunensIntroduiso
.
typeducontrainteuned'ajoutl'sConsidéron
1111
1
111
n
jmnjjm
n
n
jmjjm
bxxa
x
bxa
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
Le tableau associé à la solution optimale avant l’ajout de la nouvelle contraint
est modifié en introduisant la nouvelle contrainte dans la ligne (m+1) du tableau.
.tableaudu1ligneladansbasedevariableladevientvariableLa 1 mxn
r
r
jm
j
a
r
x
1parmultipliée
lignelasoustrairedesuffitiltableau,auajoutonsnous
queligneladans0àégaledetcoefficienlerendrePour
rjma 1
rjma 1
m
r
rjmmm
m
r
rjjmjmjm
j
babb
aaaa
x
r
r
1111
1111
.
devientdroitedetermeleet
devientdetcoefficienle
base,devariablechaquepouropérationmêmelaRépétant
Le tableau ainsi modifié devient
modifié.problemeduoptimalesolutionuneest
avecactuellesolutionlaalors
0Si
11
1111
mm
m
r
rjmmm
bx
babbr
Le tableau ainsi modifié devient
simplexe.dudualalgorithmel'avecmodifié
problèmedurésolutionlaspoursuivonNousnégative.est
actuellesolutionladansbasedevariablelaalors
,0Si
1
1111
m
m
r
rjmmm
x
babbr
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
b)
.
standardcontraintelarendrepourécartd'variableunensIntroduiso
.
typeducontrainteuned'ajoutl'sConsidéron
1111
1
111
n
jmnjjm
n
n
jmjjm
bxxa
x
bxa
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
Le tableau associé à la solution optimale avant l’ajout de la nouvelle contraint
est modifié en introduisant la nouvelle contrainte dans la ligne (m+1) du tableau.
r
r
jm
j
a
r
x
1parmultipliée
lignelasoustrairedesuffitiltableau,auajoutonsnous
queligneladans0àégaledetcoefficienlerendrePour
rjma 1
rjma 1
m
r
rjmmm
m
r
rjjmjmjm
j
babb
aaaa
x
r
r
1111
1111
.
devientdroitedetermeleet
devientdetcoefficienle
base,devariablechaquepouropérationmêmelaRépétant
Multiplions la dernière ligne du tableau par –1 pour que xn+1 devienne variable de base dans cette ligne
modifié.problemeduoptimalesolutionuneest
avecactuellesolutionlaalors
0Si
11
1111
mm
m
r
rjmmm
bx
babbr
Multiplions la dernière ligne du tableau par –1 pour que xn+1 devienne variable de base dans cette ligne
simplexe.dudualalgorithmel'avecmodifié
problèmedurésolutionlaspoursuivonNousnégative.est
actuellesolutionladansbasedevariablelaalors
,0Si
1
1111
m
m
r
rjmmm
x
babbr
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
c)
.
typeducontrainteuned'ajoutl'sConsidéron
111
n
jmjjm bxa
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
Le tableau associé à la solution optimale avant l’ajout de la nouvelle contraint
est modifié en introduisant la nouvelle contrainte dans la ligne (m+1) du tableau.
r
r
jm
j
a
r
x
1parmultipliée
lignelasoustrairedesuffitiltableau,auajoutonsnous
queligneladans0àégaledetcoefficienlerendrePour
rjma 1
rjma 1
m
r
rjmmm
m
r
rjjmjmjm
j
babb
aaaa
x
r
r
1111
1111
.
devientdroitedetermeleet
devientdetcoefficienle
base,devariablechaquepouropérationmêmelaRépétant
Le tableau ainsi modifié devient
pivot.uncomplétonsnouslequelsur
lignedernièreladansnégatifélémentunschoisisson
modifié,problèmedubasedesolutionuneidentifierPour
.0que Supposons 1 mb
Le tableau ainsi modifié devient
0:max
:simplexedudualalgorithmel'danscommepivotde
élémentl'schoisissonnousrelatifs,coûtsdesnégativiténon lapréserverPour
1111
1
jmjm
j
njsm
s
sm
aa
c
a
c
a
Le tableau ainsi modifié devient
.négatifdroitedetermeunretrouverpour1par)1(lignela
multipliéavoiraprèsfaçonmêmeladeonsnousprocéd,0S
1
1
m
m
bm
bi
Le tableau résultant est comme suit
1~
,...,2,1~
estmodifiéproblèmeduoptimalesolutionunealors
,1,...,2,10~
Si
ms
rj
i
bx
mrbx
mib
r
simplexe.dudualalgorithmel'avecmodifié
problèmedurésolutionlaspoursuivonnousAutrement