6 análisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza

7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza

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Grupos adimensionales y semejanza


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Ley de homogeneidad dimensional

Cada grupo de trminos en una ecuacin debe tener lamisma representacin dimensional

Aplicaciones:

Establecer dimensiones de cantidades como densidad,viscosidad, etc.Cuando se conocen las variables que intervienen en un

fenmeno fsico, pero la relacin entre las variables sedesconoce


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Sistemas de dimensiones/unidades


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Anlisis dimensional

Proceso que permite formula o describir un fenmeno,como una relacin entre un conjunto de gruposadimensionales de las variables involucradas en elfenmeno.

El nmero de grupos adimensionales ser menor que elnmero de variables.


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Ej:Se desea estudiar la fuerza de arrastre F sobre la superficiede una esfera de dimetro D que se mueve a una velocidad va travs de un fluido de densidad y viscosidad

,,,vDfF

Determinar experimentalmente esta funcin f, es lento ya que

se requieren muchos experimentos

??????


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Por medio de la formulacin de grupos adimensionales, esposible describir el fenmeno y reducir el nmero deexperimentos

vD

DvF

22

Donde es una funcin desconocida, pero la relacin entreambos trminos se puede determinar experimentalmente


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vD

22Dv

F


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Cmo encontrar grupos adimensionales ????


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Teorema de Buckingham (Teorema )

Sea un problema fsico en que intervengan n magnitudes en las quehay j dimensiones fundamentalesLas n magnitudes pueden agruparse en (n-j) grupos adimensionales

Considerar A1, A2, A3, , An las magnitudes que intervienen en unfenmeno


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Todas ellas deben cumplir una relacin de la forma

0...,,.........,,

,.....,,,

,,

0,..........,.........,,

321

321

21

321

jn

n

n

f

AAAA

dealesadimensiongruposnrepresentaetcsi

AAAAF


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Mtodo de determinacin de grupos adimensionales

1. Fijar las variables dependientes que sern investigadas, y todaslas variables independientes (relevantes) que tengan efecto enlas variables dependientes

2. Fijar el nmero de dimensiones de todas las variables(dependientes + independientes)

3. Sealar el nmero total de variables (dependientes +

independientes) como n. Sealar el numero de dimensionesbsicas (M, L, T, ), que aparecen en el paso 2, por la letra j.Generalmente en problemas de fluidos incompresibles,j= 3

4. Elegir j magnitudes, con diferentes dimensiones, que contengan

entre ellas la j dimensiones, y usarlas como variables repetidastodas ellas junto con otra de las magnitudes restantes paraconstruir un grupo

5. El nmero de grupos adimensionales independientes, utilizados

para describir el fenmeno es igual a n-j


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Sean A1, A2, A3, que contienen M, L, T (cada una o en conjunto)entonces

n

zyx

jn

zyx

zyx

AAAA

AAAA

AAAA

jnjnjn

321

53212

43211

222

111


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Cmo determinar el nmero de dimensiones bsicas?

Ej:En el anlisis de esfuerzos, pueden existir dimensiones bsicas

(F,L) o (M,L,T), por lo tanto el clculo de j para el teorema deBuckingham puede llevar a errores

Se puede solucionar de la siguiente forma

Sean , , , , etc. y las dimensiones bsicas M,L,T, etc.


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M 1 0 3 0

L -1 -2 1 2

T 2 1 1 1

Potencia a la que debe elevarse la dimensin bsica en larepresentacin dimensional de la variable particular


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debe tener dimensiones (MT2

/L) debe tener dimensiones (T/L2)

Matriz dimensional del proceso:

11122121

0301


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11122121

0301

El rango de esta matriz es 3

El valor correcto de j en el teorema de Buckingham, puedeestablecerse como el rango de la matriz dimensional


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Ej: clculo de grupos adimensionales

Considerar una esfera lisa sumergida en un fluido viscoso que

circula lento

Las variables que intervienen son:F: fuerza sobre la esferaD: dimetro de la esfera

v: velocidad del fluido: densidad del fluido: viscosidad del fluido

,,,vDF


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F D v

M 1 0 1 0 1

L 1 1 -3 1 -1

T -2 0 0 -1 -1

3,5 jn

Elegir 3 variables a repetir, que contengan M, L, T

D (L), v (T) y se puede elegir (o ) para (M)


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Se establecen 2 grupos adimensionales independientes

suponer

vD

F1

Se debe satisfacer que la razn sea adimensional


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1

2

31

Mpara

Tpara

Lpara

221

vDF

1

2

2


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Para la otra variable que queda

suponer

vD

2

Se debe satisfacer que la razn sea adimensional


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Dv

2

1

1

1


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Por lo tanto

21

DvvD

F22


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Dimensiones bsicas


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Grupos adimensionales utilizados en mecnica de fluidos


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Nmero de Reynolds

Relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de

friccin, usualmente en funcin de parmetros geomtricosy de flujo convenientes.

Nmero de Mach

Relacin entre la raz cuadrada de las fuerzas inerciales y la raz

cuadrada de las fuerzas originadas por la compresibilidad delfluido.

Muy importante en flujos de alta velocidad, donde las variaciones

en la densidad debidas a la presin se vuelven importantes.

Nmero de FroudeRelacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de gravedad.

Si existe una superficie libre, como es el caso de un ro, el aspecto

de esta superficie al formarse ondas se ver directamente afectado

por la fuerza de gravedad, de manera que en este tipo de problemas

el numero de Froude es importante


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Nmero de Weber

Relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de tensin

superficial.Este nmero tambin requiere la presencia de una superficie

libre, pero si estn involucrados objetos grandes, como botes

en un fluido como el agua, este efecto es muy pequeo.

Nmero de Euler

Relacin de las fuerzas de presin y las fuerzas inerciales. En

ensayos prcticos suele utilizarse el coeficiente de presin p/(

V2),que es igual al doble del nmero de Euler.


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Traslacin de escala y principios de semejanza


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El diseo y determinacin de las condiciones de operacinptimas en un proceso industrial es un problema de altsima

complejidad

Recurrir a la experimentacin y extrapolar los resultadosobtenidos a escala laboratorio y piloto al diseo y operacindel equipo industrial

Modificar un proceso existente

Problema general de traslacin de escala


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Fenmenos involucrados en el proceso se ven afectados porel tamao

Variables como aireacin, agitacin, disipacin de calor, etc.cambian con el tamao

Variables como temperatura, pH, viscosidad, tamao de

gotas, tamao de burbujas, tamao de granos de arena, etc.permanecen constantes en las diversas escalas



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El problema de la traslacin de escala ha sido estudiadoextensamente en el campo de la Ingeniera, generalmente

para sistemas de materia inanimada, utilizando un enfoqueque consiste en la correlacin de las variables involucradasusando mtodos de anlisis dimensional, para luegodeterminar las nuevas condiciones mediante la aplicacin dediversos principios de similitud o semejanza



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Principios de semejanza

El comportamiento de dos sistemas es equivalente, si

entre ambos existe plena semejanza o similitud.

Constancia que existe entre razones de magnitudesfsicas y/o qumicas, en ambos sistemas.


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Semejanza geomtrica

Semejanza cinemtica

Semejanza dinmica



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Semejanza geomtrica: Las razones entrelongitudes correspondientes deben ser iguales en

ambos sistemas

Semejanza cinemtica: Las razones entrevelocidades en ambos sistemas, en puntosequivalentes, deben ser iguales

Semejanza dinmica: Las razones entre fuerzas,en puntos equivalentes, deben ser iguales



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Idealmente la total semejanza es resultante de la aplicacinsimultnea de todos los criterios enunciados

No es posible, ya que al intentar hacerlo se obtienen resultadoscontradictorios o fuera de rango

Optar por seleccionar (con base en la experiencia y literatura)algunos criterios que definan el sistema

La semejanza geomtrica es la que tiene un mayor rango, ya quees la nica definida de manera autnoma, la definicin de losotros criterios implican la existencia de semejanza geomtrica



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Ejemplo

Un disco de dimetro D inmerso en un fluido de densidad y viscosidad

tiene una velocidad rotacional constante de . La fuerza requerida

para mover el disco es de P.

a)Muestre que:

b)Un disco de 225mm de dimetro rodando a 144.5 rad/s (23 rev/s) en

agua requiere de una fuerza de torque de 1.1Nm. Calcule la velocidad

correspondiente y el torque requerido para rodar un disco similar de

675mm de dimetro girando en el aire (aire: =1.86E-5Pas;

=1.20kg/m3. Agua: =1.01E-3Pas; =1000kg/m3), de forma a

t l i l t l d R ld t t

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