12 1. Algebraické výrazy a jejich úpravy 1. Operace s mnohočleny 13

4) (-5x2 + 4xy - 3y2)(2x - y) - x[xy - 10(x2 + y2)]

1pro x = -6; y = 3; [ 1) 2a2 + b; 2) x + 2xy + y; 3) 5x + 2; 4) a2 + 2a + 5;

5) -1+3c2d2; 6) -3+5x2y2; 7) 2mn2 +4; 8) 2p2q2 -3pq;9) 3a2 + 4ax + x2; 10) 3x2 - 2ax - 5a2. ]5) (3k - 2n)(3n2 + 2kn + 7k2) - k[5(n2 + 4k2) + k2]

pro k = -2,5; n = -2;6) (a2 - 3ab + 4b2)(2a - 3b) - 6b2(3a - 2b) - ab2

1 1pro a = 2; b = - 9;

1.15 Dělte mnoho člen dvojčlenem:

1) (a2 - 8a + 7) : (a - 7);2) (m2 - 2m - 15) : (m - 5);3) (x2 + 8x + 15) : (x + 3);4) (6a3 + a2 - 29a + 21) : (2a - 3);5) (z2 + 7z + 12) : (z + 4);6) (xy - 7x + 2y - 14) : (x + 2);7) (15 - 9a + 5a2 - 3a3) : (5 - 3a);8) (m4 - m3n + m2n2 - mn3) : (m2 + n2).

7) (2z2 - 5yz - 3y2)(Z + 2y) - [2x3 - y2z - yz(z + 12y)]

1 1pro z = -"3; y = - 6·

1[ 1) 3,5; 2) -49; 3) 6; 4) 82; 5) 148; 6) O; 7) - 27. ]

1.13 Dělte: [ 1) a-I; 2) m + 3; 3) x + 5; 4) 3a2 + 5a - 7; 5) z + 3;

6) y - 7; 7) 3 + a2; 8) m2 - mn. ]1) (-12pqr): 6p;3) d10 : (-dB);5) -9ab2 : 3ab;7) 20m4n3 : 5m2n3;

2) (-4xyz): (-4xz);4) 8a2b: 2ab;6) 16x3y2 : 4x2y;8) -6a3b2c: (-2a2bc). 1) (4a4 - 14a3b - 24a2b2 - 54b4) : (a2 - 3ab - 9b2);

2) (15m4 - m3 - m2 + 41m - 70) : (3m2 - 2m + 7);3) (28x5y - 26x3y3 - 13x4y2 + 15x2y4) : (2x2y2 + 7x3y - 5xy3);4) (17x2 - 6x4 + 5x.3 - 23x + 7) : (7 - 3x2 - 2x);5) (13x2y3 + 9x5 - 21xy4 + 6y5 - 15x4y - 8x3y2) :

: (2x2y + 3y3 + 3x3);6) (a5 - 2a4b - 4a3b2 - 5a2b3 - 23ab4 - 7b5) : (3ab2 + a3 + b3);7) (2x7 + 3x6 + 14x5 + lOx4 - 7x3 - 32x2 + 15x - 5) :

: (x4 + 7x2 - 3x + 1);8) (12z6 - 7z4 + 32z3 - 13z2 - 24z) : (8z3 + 4z2 - 12z).

1.16 Dělte mnohočlen mnohočlenem:

[1) -2qr; 2) y; 3) _d2; 4) 4a; 5) -3b; 6) 4xy; 7) 4m2;8) 3ab.]

1.14 Dělte mnohočlen jednočlenem:

1) (4a2 + 2b) : 2;2) (3x + 6xy + 3y) : 3;3) (5x2 + 2x) : x;4) (5a3 + 10a2 + 25a) : 5a;5) (4c2d - 12c4d3) : (-4c2d);6) (9xy2 - 15x3y4) : (-3xy2);7) (10m3n5 + 20m2n3) : 5m2n3;8) (18p4q3 - 27p3q2) : 9p2q;9) (18a4x3 + 24a3x4 + 6a2x5) : 6a2x3;

[ 1) 4a2 - 2ab + 6b2; 2) 5m2 + 3m - 10; 3) 4x2 - 3xy;4) 2x2 - 3x + 1; 5) 3x2 - 7xy + 2y2; 6) a2 - 2ab - 7b2;

3377) 2x3 + 3x2 - 5; 8) 2z3 - 4z2 + 4z + 2. ]

2. Rozklady mnohočlenů 2.4 Rozložte:

2. Rozklady mnohočlenů 1918 I. Algebraické výrazy a jejich úpravy

2) 15ru - 6us - 5rv + 2sv;4) 2ab - bx + 4ay - 2xy.

[1) (3a+b)(x+y); 2) (5r-2s)(3u-v); 3) (c-3d)(5m-n);4) (2a - x)(b + 2y). )

2) a6b6 - c2;

4) (x2 + y2)2 _ 4x2y2;6) (3a - 2b)2 - (a + b)2;8) (2m - n)2 - (m + n)2;

10) 4(a - b)2 - (a + b)2;12) 9(a- b)2 - 4(x _y)2;14) 4x2 - (3x - 2y)2;16) (b + 5C)2 - 9(b - C)2;18) 16(x - y)2 - 25(x + y)2;20) 4(3p + 5q)2 - 16(2p _ q)2.

2) 0,04a2 + 0,16ab + 0,16b2;4) 100x2 - 0,2xy + 0,0001y2;

)2 0,046 1,21a - 0,44 + -2 ;

a

[1) (9ab - 1)(9ab + 1); 2) (a3b3 - c)(a3b3 + c);

3) (x - y - xy)(x - y + xy); 4) (x + y)2(x _ y)2;5) (x+4)(3x+2); 6) (2a-3b)(4a-b); 7) (5p+q)(5p+5q);8) (m-2n)3m; 9) (2m+4n)(4m+2n); 10) (a-3b)(3a-b);11) (4a + 4b - 3x - 3y)(4a + 4b + 3x + 3y);12) (3a - 3b - 2x + 2y)(3a - 3b + 2x - 2y);13) (4a - b)(6a + b); 14) (-x + 2y)(5x - 2y);15) (-p - 4q)3p; 16) (-2b + 8c)(4b + 2c);17) (-a+5b)(5a-b); 18) (-x-9y)(9x+y);19) (11m - 24n)(17m -18n); 20) (-2p + 14q)(14p + 6q).)

2.1 Rozložte:1) 3ax + bx + 3ay + by;3) 5em - cn - 15dm + 3dn;

1) 4a + 2b;3) 5xy - 10x2;5) a3b2 + a2b3

;

7) 6a2x + 12ax3;

9) 4x3y3 - 8x2y2;

2) 2a + 3ab;4) x2y - xy2;6) a2x2 - ax3;

8) 9a3 - 6a2b;10) affi + am+1. 2.5 Rozložte:

[ 1) 2(2a + b); 2) a(2 + 3b); 3) 5x(y - 2x); 4) xy(x - y);

5) a2b2(a + b); 6) ax2(a - x); 7) 6ax(a + 2x2);

8) 3a2(3a - 2b); 9) 4x2y2(xy - 2); 10)aTn(1 + a).)

1) 81a2b2 - 1;3) (x - y)2 _ x2y2;5) (2x + 3)2 - (x - 1)2;7) (5p + 3q)2 - 4q2;9) 9(m + n)2 - (m - n)2;

l l ) 16(a + b)2 - 9(x + y)2;13) 25a2 - (a + b)2;15) (p - 2q)2 - 4(p + q)2;17) 4(a + b)2 - 9(a - b)2;19) 49(2m - 3n)2 - 9(m + n)2;

2.2 Rozložte:

1) 15x3y2 + lOx2y - 20X2y3;

3) 3ab3 + 6ab2 - 18ab;5) -4x3y + 6x2y2 - 8x4y3;

7) 10a4b3 - 15a4b2 + 20a3b4;

2) 4ax - 8ax2 + 12ax3;

4) 40m2n - 25mn2 + 30mn;6) -3m4n2 - 6m3n3 + 9m2n4;8) _8x4y3 - 12x2y4 - 16x5y2.

[ 1) 5x2y(3xy + 2 - 4y2); 2) 4ax(1 - 2x + 3x2);

3) 3ab(b2 + 2b - 6); 4) 5mn(8m - 5n + 6);5) -2x2y(2x - 3y + 4x2y2); 6) _3m2n2(m2 + 2mn - 3n2);

7) 5a3b2(2ab - 3a + 4b2); 8) _4x2y2(2x2y + 3y2 + 4x3). )

2.3 Rozložte:

1) (-5 + 2x)(x - 1) + (2x - 5)(3 - x) - (2x - 5)(2x - 3);2) (4 + x)(2x - 3) - (2x - 3)2 - 5(2x - 3)(x + 1);3) (x-7)(2-x)-5(x-7)-(7-x)2;4) 8(x - 4) + (x - 4) + 3x - 12;5) (4x - l)(x + 2) - (12x2 - 3x) + (7 - x)(4x - 1);6) 3(2x - 1) - (1 - 2X)2 - (1 - 2x)(3 + 5x).

2.6 Rozložte:

1) 9 - 12x + 4x2;3) a6 - 4a3b2 + 4b4;[ 1) -(2x - 5)2; 2) 2(2x - 3)(1 - 3x); 3) 2(x - 7)(2 - x);

4) 12(x - 4); 5) 3(4x - 1)(3 - x); 6) (2x - 1)(7 + 3x). )

24 I. Algebraické výrazy a jejich úpravy

3. Racionální lomené výrazy

3.1 Určete definiční obory výrazů:

5 2)x2 + X + 1 3)

3-x1) ; x + i 'a x

5 - x35)

3x+ 7 6)x+1

4) 2x+6;-- x2 - x;8

5 8)u 9)

m7)

4a2 - i ' r-s, k2 _ p2'

10)3 ll) 5x + 3

x2 - 7x + 12' 6x2 - x - 2

[ 1) a i= O; 2) x i= O; 3) x i= -1; 4) x i= -3; 5) x E R;1 1

6) x i= O /\ x i= 1; 7) a i= 2 /\ a i= - 2; 8) T i= s;1 2

9)ki=±p; 10)xi=3 /\ xi=4; 11)xi=-2 /\ xi="3.]

3.2 Zkraťte dané zlomky a udejte podmínky, kdy mají zlomky smysl:

1)72abx 2)

4a2b 3)12xy3

84aby; 8ab2 ' 16yz2;

5u2v35)

39x3y46)

6a2b24) -- , 65x4y3; 8a3b4 ;lOuv

7)16p4q3

8)12x2yz ) 14a(a-b)

32p6q, 18x2y3z

, 9 7b(a-b);

10)3a(x + y)2 . ll)

10a2b(x _ y)2 .12)

7x3y5(a + b) .

9a2(x + y)' 15a4b(x - y)3' 21x2y3(a + b)3'

13) 3(a - b)(a - C)26(a - b)(a - c)

6x a 3xy2 uv2 3y 3 q2[1) -: 2) 2b; 3) 4z2 ; 4) 2; 5) 5x; 6) 4ab2; 7) 2p2;

2 2a x + y 2 xy28) 3y2; 9) b; 10) ~; 11) 3a2(x _ y); 12) 3(a + b)2;

a-c13)-2-·]

3. Racionální lomené výrazy 25

3.3 Zkraťte dané zlomky a udejte podmínky, kdy mají zlomky smysl:

1)ac - bc

2)a2 - ab 2xy + y2

___ o 3)ac + bc' a2 + ab' y2

4)a2 - ab 5)

m2+m 2a2 - 4abb2 - ob' mn+n

, 6)3ab - 6b2'

7)4x2 - 4xy

8)2x2y + 2xy2 - 2xyz

9)a2 + 3ab

2y2 - 2xy, 3yz2 - 3y2 Z - 3xyz ' a2b + 3ab2'

10)x2 - 2xy ll) 2ac - 4bc

12)x3 - 2x2

xy - 2y2' 5a3c - 20ab2c' 2x3y2 - x4y·

a - b a - b 2x + y a m 2a[ 1) -; 2) -; 3) --; 4) --; 5) _. 6) _.a + b a + b y b n ' 3b '

2x 2x 1 x 27) --; 8) --; 9) -; 10) -; 11) .

y 3z b y 5a( a + 2b) ,

12) x - 2 .]xy(2y - x)

3.4 Zkraťte zlomky:

1)ax + ay - bx - by

2)ac - bc + ad - bd

ax - ay - bx + by,

ac+bc+ad+bď

3)ab + ac + b2 + bc 4)

x3 - x2 - X + 1ax + ay + bx + by

; x4 - 2X2 + 1,

5)a2 + ab - a - b

6)xz + yz - xn - yn

a2 + ab - 2a - 2b' xz - yz - xn + yn

[1) x+y; 2) a-b;x-y a+b

6) x+y.]x-y

3) b+ c; 4) _1_. 5) a-I;x+y x+l' a-2

3.5 Zkraťte zlomky:

1) a2 + 2ab + b22)

a2 - 2ab + b2

2a + 2b a2 - b2

3)a3 - b3

4)a4 _ b4

a2 - b2'___ o

a2 + b2'

28 1. Algebraické výrazy a jejich úpravy3. Racionální lomené výrazy 29

1 1 - a 1 - a2 1 - a3 1 - a4

7) ~-~+~-~+~. 3) 3 +2x _ 2 - 3x +x(16 - x).2 - x 2 + X x2 - 4 '

[ 1) 45

X., ) 6a - ns 3) 29x. 4) a + b + 1.2 36' 24y' 2'

8b2 - 30ab - 15a2 38ab - 5ae - 30be5) 24ab j 6) 24abe j

a4 - a3 + a2 - a + 17) 5 .]

a

a + b a - b 2a4) (a _ b)2 + (a + b)2 - a2 _ b2 j

7 3 125) 2x _ 4 - x + 2 - x2 - 4 j

5 4 - 3x26) - 3·

2X2 + 6x x2 - 9 '

1 1 8a27) --+--+ .

x-2a x+2a 4a2x-x3'

4a2 - 3a + 5 1 - 2a 68) a3 _ 1 - a2 + a + 1 + 1 - aj

3 4 2x9) x + 2 - x - 2 + x2 + 4x + 4 j

3.10 Sečtěte:

1) _a_ -1.a - b '

a2 _ b23) a+b---

a

a2 _ b22) a- --j

a

a2 + b24) ---a-b.

a

[ 1) _b_, a # bj 2) b2, a # o, 3) b(a + b) , a # o,

a-b a a

4) b(b - a) , a # O. ]a

2a - 1 2a 110) ~ - 2a-1 - 2a-4a2'

3.11 Sečtěte zlomky:1 1 3x11) ---

6x - 4y 6x + 4y 4y2 - 9x2 '

3x + 2 6 3x - 212) x2 _ 2x + 1 - x2 - 1 - x2 + 2x + l'

4 12)

3a+ b 4b1) ----- ----- ,,

a-b b-ar-s s-r

5 34)

x x3) --- -----

2m-2n,

y-1 2 - 2ym-n

34513) a2 + 2ab + b2 - a2 - 2ab + b2 + a2 _ b2 j

1 3ab b - a14) a _ b - a3 - b3 - a2 + ab + b2 '

2 1 2 115) (x - 1)3 + (x - 1)2 + x-I - ~j

5 1 2416) 2(x + 1) lO(x - 1) 5(2x + 3) ,

7 5x - 9 2(2x + 1)1 ) + .(x - l)(x - 3) (x - l)(x + 2)'

1 118) (a - b)(b + x) + (b - a)(a + x) j

5 3a + 5b 7[1) -, r # s: 2) --b-' a # bj 3) 2 2' m # n ;

r-s a- m-n

4) 2(y3~ 1) , y # 1. ]

3.12 Sečtěte zlomky:

2x - y 1 11) -----

x2 +xy x+y,

x

2)2x 3y 2x2 +3y2.--+--- x2 _ y2 ,

x+y x-V

32 I. Algebraické výrazy a jejich úpravy

3) (1 - ~~) (y2 ~ x2 +1) ;

4) (a: 1 - a22: 1) (~ - 1) ;

5) (x - 1 x) ( 3X)x-2 - x-I x- x+1 ;

(a + 1 6 a + 3) 4a2 - 4

6) 2a _ 2 + 2a2 - 2 - 2a + 2 . 3 '

7) (x2 -1) (_1 1_ -1) ;x-I x+1

[3 1 6] x2 - 6x + 9

8) (x _ 3)2 + X - 3 - x2 - 9' 2 '

(_a a_) . x2 + 2ax + a2 .

9) x _ a x + a 2a2'

10) (1 + ~ + a2

) (1 _ ~). x3

;X x2 x a3 - x3

11) (~+~+ 10ax ) (_a_+_x __ 2ax ).a + x a - x a2 - x2 a + x a - x a2 - x2 '

(ba) a2b + ab2

12) a2 _ ab + b2 - ab . a2 - b2 .

m 1 x 20 2[1) I: 2) __ o 3) I: 4) _. 5) __ o 6) _. 7) 3 - x .

, n t , a ' x2 - 1 t 3 I I

x2 - 3x + 18 x + a a + b8) ( ); 9) --; 10) -1; 11) 5; 12) --.]2x+3 x-a a-b

3.17 Dělte:

1) E.. . p'. 2)1 1

3' , m2n3 : m3n2'r r

3)18z 8z 4) !~:(-:~);25y . 15y

,

5)18a2b2 6ab3

6) ( 2ax 3bX). 9b2

Z .---. 5e2d4' yz . -;;y . 8a2xy'5ed

3. Racionální lomené výrazy 33

24a3b4e5 3. 23a5b4c3

7) 32x5y7 z6 . 2. 33x6y7 z5'

1 m 27 9x2 3acd3 16a2x3[1) r2; 2) -;;; 3) 20; 4) - 25y2; 5) --b-; 6) 3byz2 ;

42 3b37) c2x; 8) _a _. ]

az m3.18 Dělte:

v-:«, q-p.1) p+q' q+p'

1 13) k2 _ k : k2 _ k3 '

c+d e2+ed5) e _ d : 2e2 - 2d2 ;

a2 - 25 a2 + 5a7) a2 _ 3a . a2 - 9 '

5 - 5a 10- lOa2

9) (1 + a)2' 3 + 3a

2a + 2b 6a + 6b11) 3a _ 3b : 5a - 5b;

3r 2r2) 2r _ 1 : r - 2 '

4) 4p2 - 9q2 . 2ap + 3aqp2q2 2pq

2x2 - 2xy . 4x2 - 4y26) ab2 6a2b

3m2 - 3n2 6m - 6n8) m2 + mp : m + p ;

10) (X+y)2 . [_ xy+y2].xy - y2' (x _ y)2 '

12) 12(n2 - v2). 18(n + v) .5(r + 8) 35(r2 - 82)'

x2 + xy . x2 - xy .13) 5x2 - 5y2 . 3x3 - 3y3 '

am2 - an2 am2 - 2amn + an2

15) m2 + 2mn + n2 . 3m + 3n

[1) -1' 2) 3r - 6. 3) -k' 4) 2(2p - 3q). ) 2(c + d)., 4 2" , 5 ,r - apq c

6)~' 7) (a+3)(a-5). 8) m+n. 9) 3 .b(x + y) , a2' 2m' 2(1 + a)2 '

10) _ x2 - y2. 11)~' 12) 14(n - v)(r - s).y2' 9' 3'

13) 3(x2 + xy + y2); 14) (a - x)(a + x)2; 15)_3_.]5(x - y) a2 + ax + x2 m - n

1. Algebraické výrazy a jejich úpravy

3.19 Proveďte:

1) (_a + 1):(1-~);a + 1 1- a2

2) (1 + _x_) . 1+ x.I-x 'l-x'

3) (a3 -b3): (a+ a~b);

(2m + 1 2m - 1) 4m

4) 2m - 1 - 2m + 1 : 10m - 5;

5) (a2! ab - a! b + b2: ab) : (~ - 2 + ~) ;

(3a 2a) 6a2 + 10a

6) 1 _ 3a + 3a + 1 : 1 - 6a + 9a2 ;

7) (x2+ JL) : (~- ~ + .!.) ;

y2 X y2 Y X

8) (_x __ a ): (x + a _ x - a) ;x-a x+a a x

9) [(a~b)2 + (a~b)2]: (a:b + a~b);

(2a 6a 8a) a - 4

10) a + 2 + 6 - 3a + a2 - 4 : a - 2;

(a2+b

2).[(~ ~).a3-b3]11) + b. 2 + b2 2 b2 .a a a +

1 - a 1 2 2 io 1[1) --i 2) --i 3)a -b; 4) - ; 5)-;1- 2a 1+ x 2m 1 a + b

1 - 3a ax (12 + b26) 2(1+ 3a); 7) x + u: 8) x2 _ a2; 9) a(a2 _ &2);10) O;

11) ab2 .J

a-b

3. Racionální lomené výrazy 35

3.20 Zjednodušte složené zlomky:

12r3

2) 3s2'

2p3q2

3) 8p4'

15q6

1y--

y

11) ~'

382

3ux4

8vy5

9u4y20v3x3

b1+-

a4) 5) 6)b

1- -a

1- + 1y

9)~+JL2 3x Y3 2

7) 8)

a b-+-b a

12)a bb a

1 1-+-11) x y

1 1x Y

x2a--

a

x1- -

10) -----"-;y,..-y2

x--X

1 1---x 2x1 1---x2 2x2

13) 14)

352 1 5q4 5v2x7 a + b[1) -3; 2)~; 3) -3; 4)~; 5) -; 6)y-1;

2r 6r s 4p 6u y a - b

~+~ ~+~ x7) -2-3-; 8) -2--2; 9) x + a; 10) --(--);

x- y x -y y x+y

y+x a2 + b2 x11) --i 12) -2--2; 13) x; 14) --.J

y-x a -b a

3.21 Zjednodušte složené zlomky:

2 + x2

1) 8 _ 2x43xy

3(a + b)5(a - b)

2)

36 I. Algebraické výrazy a jejich úpravy

x+1 x-I-----

4 53) x + 1 x-I

-----6 10

1 1--+--I-x l+x

1 1-----I-x l+x

a b--+--4)

a+b a-ba b-----

a-b a+bx x+1

-----6)

x-I xx x-I-----

x+1 x

x-V x+y--+--8)

x+y x-vx Y-+-Y x

10)x

1x-

xx---I-x

3. Racionální lomené výrazy 37

5)

a+ba-b

7) (a + b)2a2 - b2

19) 1+---1-

2+--1

3+-x

[1) 3xy ·2) 7 .3) 3(x+9). 4) 1· 5) .!..,2(2-x2)' 2(a-b)2' 4(x+4)' , x

x + 1 2xy 10x + 3 x36) x-I i 7) li 8) x2 _ y2 i 9) 7x + 2 i 10) x3 _ x + 1· 1

3.22 Proveďte a určete, kdy mají provedené úpravy smysl:

a2 +b2 a2 +b2---+2a 2b---

1)b a1 1 + 1 1-+- bb a a

1 1 1 1 1 1 1 1---- -+-- - -- ---x y+z Y x+z

3)x Y x2 y2

2)1 1 1 1 1 1 1 1 '-+-- ---- -+- -+-x y+z Y x+z x Y x2 y2

(1 1) ( b2 + c

2- a

2)- + -- 1+ --,-----

a b + c 2bc4) 1 1

----a b+ c

[ ) 2 2 2) z + y - x,1 a + b , a t= O, b t= O, a t= b, a t= -biz-y+x

y t= O, x t= O, y t= -z, x t= -z, x + z t= y, x + y + z t= Di

x2 +y2 (a+b+c)23) -( --)-2' x t= O, y t= O, x t= -V, x t= Yi 4) -'-------''-

x+y 2~a t= O, b t= O, c t= O, b t= -c, a t= b + c. 1

3.23 Určete hodnotu výrazu

[(3 3a a2 +ab +b2

) 2a +b ] 3a - b +a3 - b3 . a +b : a2 +2ab+b2 . a +b

pro a = 0,3, b = 0,003.

9 1000[ a _ b = 33' a t= -b, a t= b. 1

3.24 Dokažte, že pro přípustné hodnoty proměnných platí:

1) 1 ( 1 1 ) 2 (1 1) 1(x +y)2 x2 +y2 + (x +y)3 ;; +Y = x2y2;

2) a - c a3 - c3 ( c 1+ C) c(l + c) - aa2 +ac +c2 . a2b - bc2 1+a - c - -c-: bc =

1a+c;

(a-b+a+b)(a2+b2 +l)~_a+b.3) a + b a - b 2ab a2 + b2 - a - b'

x2 y2 z24) + + = 1·(x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) ,

a2(~ -~) +b2G -~) +c2G _~)5) a b c = a + b + c.

bc(c - b) + ca (a - c) + ab (b - a)