57123345 kinematika i dinamika mehanizama 2009 2010 predavanja

2009

MehanizmiTeorija mehanizama

Prof. dr. sc. Mirko Husnjak

F A K U L T E T S T R O J A R S T V A I B R O D O G R A D N J E

M. Husnjak: Teorija mehanizama 1

Prof. dr. sc. Mirko Husnjak

TEORIJA MEHANIZAMA

Bilješke s predavanja

Zagreb, 2009/10

Sadržaj:

1 Uvod ........................................................................................................................................................... 2

2 Struktura i klasifikacija mehanizama ......................................................................................................... 3

2.1 Članovi mehanizama ........................................................................................................................ 3

2.2 Kinematički parovi ............................................................................................................................ 4

2.3 Svojstvo reverzibilnosti nižih kinematičkih parova ........................................................................... 6

2.4 Kinematički lanci ............................................................................................................................... 7

2.5 Stupanj pokretljivosti mehanizma .................................................................................................... 8

2.6 Mehanizmi s pasivnim vezama ....................................................................................................... 10

2.7 Mehanizmi s unutrašnjim ili lažnim stupnjem slobode gibanja ..................................................... 12

2.8 Kinematička i strukturna shema mehanizma ................................................................................. 13

2.9 Strukturna analiza mehanizama ..................................................................................................... 14

3 Metode oblikovanja mehanizama ........................................................................................................... 18

3.1 Zamjena viših kinematičkih parova nižima ..................................................................................... 18

3.2 Ekspanzija rotoida .......................................................................................................................... 19

4 Osnovni tipovi mehanizama..................................................................................................................... 19

4.1 Ravninski mehanizmi s nižim kinematičkim parovima. .................................................................. 19

4.2 Prostorni mehanizmi s nižim kinematičkim parovima ................................................................... 22

5 Kinematička analiza mehanizama ............................................................................................................ 22

5.1 Kinematika pogonskih i radnih članova mehanizama. ................................................................... 22

5.2 Metode kinematičke analize .......................................................................................................... 25

5.2.1 Trenutni polovi brzina ........................................................................................................... 25

5.2.2 Kennedy‐Aronholdov teorem ............................................................................................... 25

5.2.3 Metoda plana brzina i ubrzanja ............................................................................................ 31

5.3 Analitičko određivanje položaja, brzina i ubrzanja ......................................................................... 34

5.3.1 Analiza položaja zglobnog četverokuta................................................................................. 34

6 Krivuljni mehanizmi ................................................................................................................................. 43

6.1 Osnovni tipovi krivuljnih mehanizama ........................................................................................... 43


6.2 Kinematičke karakteristike zakona gibanja .................................................................................... 45

6.3 Grafičke metode određivanja profila grebena ............................................................................... 49

6.4 Analitičke metode određivanja profila grebena ............................................................................. 50

6.4.1 Tanjurasti podizač sa zadanim zakonom gibanja ( )s s j= . ................................................. 50

6.4.2 Oscilirajući ravni podizač ...................................................................................................... 51

6.4.3 Kružni podizač s translatornim gibanjem bez ekscentriciteta. ............................................. 52

6.4.4 Kružni podizač s translatornim gibanjem s ekscentricitetom ............................................... 52

6.4.5 Kružni podizač s oscilirajućim gibanjem pomicaljke ............................................................. 53

6.5 Određivanje osnovnih dimenzija krivuljnih mehanizama .............................................................. 55

6.6 Ovisnost polumjera temeljne kružnice o kutu pritiska ................................................................... 56

7 Epiciklički zupčanički prijenosnici ............................................................................................................. 61

7.1 Zupčanički prijenosnici s nepomičnim osovinama ......................................................................... 62

7.2 Planetarni zupčanički prijenosnici .................................................................................................. 64

7.3 Willisov princip ............................................................................................................................... 65

7.4 Diferencijal automobila .................................................................................................................. 71

8 Sinteza mehanizama ................................................................................................................................ 72

8.1 Grashoffovo pravilo ........................................................................................................................ 72

8.2 Određivanje graničnih i mrtvih položaja zglobnog četverokuta ..................................................... 76

8.3 Krajnji položaji klipno‐koljenčastog mehanizma ............................................................................ 77

8.4 Kut prijenosa kod zglobnog četverokuta ........................................................................................ 78

8.5 Kut prijenosa kod klipno‐koljenčastog mehanizma ........................................................................ 79

8.6 Određivanje dimenzija zglobnog četverokuta sa zadanim omjerom trajanja radnog i povratnog

hoda 81

8.7 Premještanje tijela iz jednog u drugi položaj.................................................................................. 83

2

UVOD

Teorija mehanizama i strojeva je primijenjena nauka koja se bavi geometrijom gibanja dijelova strojeva i

mehanizama (kinematika) i silama koje ostvaruju to gibanje (dinamika mehanizama).

Pojmovi mehanizmi i strojevi često se upotrebljavaju kao sinonimi za označavanje takvih tehničkih naprava

kod kojih se kao osnovna karakteristika javlja mehaničko gibanje.

Pod pojmom mehanizam podrazumijevamo sistem međusobno povezanih tijela koji služi za ostvarivanje

zadanog gibanja i prenošenja sila.

Pojam stroja usko je vezan s namjenom. Stroj je takva tehnička naprava koja služi za mehanizaciju bilo

kakvog procesa, pa tako u zavisnosti od vrste procesa razlikujemo energetske, tehnološke, transportne,

regulacione strojeve.

Strojeve možemo podijeliti na pogonske i radne. Kod pogonskog stroja se energija (mehanička, toplinska,

kemijska) pretvara u mehaničku energiju. Kod radnih se strojeva mehanička energija koristi za obavljanje

neke radne operacije. Sastavni dijelovi svih tih strojeva su mehanizmi koji omogućavaju pretvorbe energije.

POGONSKI STROJ RADNI STROJENERGIJAMEHANIČKAENERGIJA

OBAVLJANJERADNE

OPERACIJE

Slika 1. Pretvorbe energije kod pogonskih i radnih strojeva


1

2

3

a

A

B

O O2 42

3

1

4

B'

B''

A'

A''

b

Slika 2. Prikazi jednostavnih mehanizama a) krivuljni maehanizam, b) zglobni četverokut

ČLANOVI MEHANIZAMA

Tijela koja sačinjavaju mehanizam nazivamo članovima mehanizma. Pojednostavljeni presjek mehanizma

motora s unutrašnjim izgaranjem (Slika 3), primjer je jednostavnog mehanizma sa četiri člana. Nepokretni

član mehanizma nazivamo postoljem mehanizma, član koji rotira oko nepomične osi O nazivamo

koljenčastim vratilom, član koji se giba pravocrtno u cilindru nazivamo klipom (klizačem), dok član koji

povezuje koljenčastu osovinu i klip (sprežni član) nazivamo ojnicom. Kinematička shema motornog

mehanizma (Slika 3 b) pojednostavljeni je crtež članova mehanizma i njihovih međusobnih veza. Članovi

mehanizma su u ovom shematskom prikazu prikazani tako da su izostavljeni oni detalji koji su nevažni za

kinematičku analizu.

O

A

B

a

1

2 34

O

A

B

b

Slika 3. Motorni mehanizam (a) i njegova kinematička shema (b)

Tablica 1. Članovi mehanizma

4

Član s jednostrukom vezom

Članovi s dvostrukom vezom i njihove

modifikacije

Članovi s trostrukom vezom i njihove

modifikacije

Član s četverostrukom vezom

Članovi mehanizma mogu imati različite geometrijske oblike. U kinematičkim shemama prikazujemo samo

one pojedinosti koje su značajne za gibanje mehanizma, pa tako razlikujemo članove s jednostrukom,

dvostrukom, trostrukom, četverostrukom vezom (Tablica 1.). Broj veza jednog člana mehanizma može biti

po volji velik.

KINEMATIČKI PAROVI

Spoj dvaju članova mehanizma koji omogućava relativno gibanje među članovima nazivamo kinematičkim

parom. Kinematički par može imati najmanje 1, a najviše 5 stupnjeva slobode gibanja (slobodno kruto tijelo

u prostoru ima 6 stupnjeva slobode gibanja).

Kinematičke parove dijelimo na više i niže. Kod viših kinematičkih parova dodir dvaju članova mehanizma je

u točki ili liniji, dok se niži kinematički parovi dodiruju u plohi. Dijelove kinematičkih parova po kojima se

odvija dodir nazivamo elementima kinematičkog para. Radi ispravnog funkcioniranja kinematičkog para

potrebno je osigurati neprekidni dodir njihovih elemenata. To se ostvaruje zatvaranjem kinematičkog para

koje može biti geometrijsko ili kinematičko i dinamičko. Kinematičko zatvaranje postiže se konstrukcijskim

oblikom kinematičkog para, dok se dinamičko postiže silama (težina, sila elastičnog člana, sile inercije i

slično).

Važna je podjela kinematičkih parova prema stupnju slobode gibanja. Pod stupnjem slobode gibanja

kinematičkog para nazivamo broj međusobno nezavisnih gibanja koje može ostvariti pojedini član

mehanizma u odnosu na drugi. Budući da slobodno kruto tijelo u prostoru ima 6 stupnjeva slobode bit će

f=6‐p, gdje je p broj stupnjeva slobode kinematičkog para, a f broj kinematičkih veza.


Kinematičke parove označavat ćemo prema broju stupnjeva slobode sa p1, p2, p3, p4 i p5 tako da indeks

ujedno označava broj stupnjeva slobode gibanja.

Tablica 2. Prikaz nekih kinematičkih parova

Skica

Shem

atski prikaz

Naziv

Broj veza

Broj stupnjeva

slobode

x y

z

kugla‐ravnina 1 5

x

y

z

valjak‐ravnina 2 4

x y

z

Sferni zglob 3 3

xy

z

Kvadar‐ravnina 3 3

6

z

xy

Cilindrični spoj

4

2

x y

z

Sferni zglob s zatikom

4

2

Klizač (translatoid)

5

1

z

x

y

Rotacijski zglob (rotoid) 5 1

SVOJSTVO REVERZIBILNOSTI NIŽIH KINEMATIČKIH PAROVA

Niži kinematički parovi imaju svojstvo reverzibilnosti, što znači da su relativne putanje proizvoljne točke

jednog člana u odnosu na drugi član jednake krivulje. Promotrimo to na primjeru rotoida: zamislimo najprije

da je član 2 nepomičan, dok član 1 rotira. U tom će slučaju jedna točka člana 1 opisivati kružnicu u odnosu na

član 2. Promijenimo li gibanje tako da zamislimo da je član 1 nepomičan, a da član 2 rotira tada će

odgovarajuća točka člana 2 u odnosu na član 1 opisivati kružnicu.


A

Slika 4. Svojstvo reverzibilnosti nižih kinematičkih parova

Viši kinematički parovi nemaju svojstvo reverzibilnosti. Jedan takav kinematički par prikazan je na slici 8. Ako

pri tome zamislimo da ne postoji klizanje između članova 1 i 2 tada će u slučaju da je član 1 nepomičan

proizvoljna točka člana 2 opisivati cikloidu. Obrnuto, ako je član 2 nepomičan, tada će neka točka člana 1

opisivati evolventu.

1

2 cikloida

evolventa

Slika 5. Viši kinematički par

Primjeri viših kinematičkih parova u ravnini prikazani su na slici (Slika 6). Kod viših ravninskih kinematičkih

parova je broj stupnjeva slobode jednak 2. Naime, jedan član u odnosu na drugi može se gibati translatorno i

rotaciono. Pri tome valja imati na umu da kinematički par mora biti zatvoren, tj. da između tijela mora cijelo

vrijeme biti ostvaren dodir.

1

2

Slika 6. Viši kinematički parovi u ravnini

KINEMATIČKI LANCI

Kinematički lanac je sistem tijela međusobno povezanih kinematičkim parovima. Razlikujemo otvorene i

zatvorene kinematičke lance. Zatvorene kinematičke lance možemo podijeliti prema broju zatvorenih petlji

na lance s jednom, dvije ili više petlji.

8

Da bi iz kinematičkog lanca dobili mehanizam potrebno je jedan član kinematičkog lanca učiniti

nepomičnim (postolje).

i

jk

i

j

k

l

i

j

k

l

m

n

Slika 7. Primjeri kinematičkih lanaca

STUPANJ POKRETLJIVOSTI MEHANIZMA

Pod stupnjem pokretljivosti mehanizma odnosno kinematičkog lanca podrazumijevamo broj stupnjeva

slobode pokretnih članova mehanizma u odnosu na nepokretni član (postolje). Broj stupnjeva slobode

gibanja mehanizma zavisi o broju članova mehanizma, te o broju i stupnjevima slobode gibanja kinematičkih

parova.

Neka mehanizam ima ukupno n članova (uključujući i nepokretno postolje). Učvrstimo li jedan član bit će

broj pokretnih članova n‐1. Kod prostornih mehanizama kad bi svi pokretni članovi bili slobodni ukupni broj

stupnjeva slobode bio bi 6 (n‐1).

Članovi mehanizma su međusobno povezani kinematičkim parovima. Ako broj kinematičkih parova

označimo s k, a broj veza pojedinog kinematičkog para s fj, ukupni broj veza je

1

k

jj

v f=

=å (1)

Broj stupnjeva slobode prostornog mehanizma koji se sastoji od n međusobno povezanih članova je tada

1

6( 1)k

jj

w n f=

= - -å (2)

Ukupni broj veza u kinematičkim parovima možemo rasporediti po vrstama kinematičkih parova. Kinematički

parovi s jednim stupnjem slobode (p1) imaju 5 veza, oni s dva stupnja slobode (p2) imaju 4 veze itd. Ako

ukupni broj kinematičkih veza u mehanizmu s jednim stupnjem slobode označimo s p1, tada će broj veza koje

pripadaju tim kinematičkim parovima biti 5p1. Analogno će biti broj veza koje su sadržane u kinematičkim

parovima s dva stupnja slobode biti 4p2, gdje je p2 ukupni broj kinematičkih veza s dva stupnja slobode

gibanje. Prema tome je broj stupnjeva slobode prostornog mehanizma:

1 2 3 4 56( 1) 5 4 3 2w n p p p p p= - - - - - - (3)


5

1

6( 1) (6 ) ii

w n i p=

= - - -å (4)

gdje je n ukupni broj članova mehanizma, a pi broj kinematičkih parova s i stupnjeva slobode gibanja

Kod ravninskih mehanizama će svaki član i svaki kinematički par imati 3 vanjske veze, pa je

1 2(6 3)( 1) 5 3 (4 3)w n p p= - - - - - - (5)

dok kinematički parovi tipa p3, p4 i p5 ne mogu postojati kod ravninskih mehanizama. Broj stupnjeva slobode

ravninskih mehanizama je prema tome

1 23( 1) 2w n p p= - - - (6)

Kod ravninskih mehanizama mogu postojati samo kinematički parovi s jednim i dva stupnja slobode gibanja.

PRIMJER 1. Odrediti broj stupnjeva slobode gibanja prostornog mehanizma prikazanog na skici.

Ukupni broj članova ovog mehanizma je n=4, dok je broj kinematičkih veza 1 2( )p R= , 2 1( )p C= ,

3 1( )p S= .

Broj stupnjeva slobode gibanja:

1 2 3 4 56( 1) 5 4 3 2 1w n p p p p p= - - - - - - =

R

SC

R

Slika 8. Prostorni četverokut s jednim stupnjem slobode gibanja

PRIMJER 2. Odrediti broj stupnjeva slobode gibanja prostornog mehanizma prikazanog na skici 13.

Ukupni broj pokretnih članova mehanizma n=4, a broj kinematičkih veza: 1 2( )p R= i 3 2( )p S= .

Broj stupnjeva slobode gibanja:

1 2 3 4 56( 1) 5 4 3 2

6 3 5 2 3 2 2

w n p p p p p

w

= - - - - - -= ⋅ - ⋅ - ⋅ =

10

R

S

S

R

Slika 9. Prostorni četverokut s dva stupnja slobode gibanja (jedan unutrašnji, jedan vanjski)

Ovaj mehanizam ima zapravo jedan unutrašnji stupanj slobode gibanja (rotacija člana 3 oko osi koja spaja

središta sfernih zglobova), tako da je stvarni vanjski stupanj slobode gibanja w=1. O unutrašnjim ili lažnim

stupnjevima slobode vidi kasnije.

MEHANIZMI S PASIVNIM VEZAMA

Promotrimo zglobni četverokut s jednakim nasuprotnim stranicama (zglobni paralelogram) prikazan na slici

(). Broj stupnjeva slobode gibanja tog ravninskog mehanizma je w=1.

Pri tome će zbog posebnog izbora duljine stranica mehanizam u bilo kojem položaju imati oblik

paralelograma. Spojimo li dvije točke E i H koje su jednako udaljene od točaka A i D članom EH duljine

EH=AD=BC dobit ćemo mehanizam prikazan na slici (Slika 10 b). Veza između članova 1 i 2 pomoću štapa 5

nije promijenila stupanj slobode gibanja mehanizma te takvu vezu nazivamo pasivnom vezom. U ovom smo

primjeru to mogli postići zbog posebno odabrane geometrije mehanizma i dodatnog člana.

Prema izrazu za broj stupnjeva slobode gibanja za mehanizam na slici (Slika 10 b) bit će međutim w=0, što bi

značilo da se ne radi o mehanizmu, nego o statički određenoj rešetkastoj konstrukciji. To bi bio ispravan

zaključak kada bi duljina štapa EH bila različita od duljina AD odnosno BC.

A A

B BC C

D D1 1

2 2

3 3

4 45E H

Slika 10. Zglobni paralelogram bez i s pasivnom vezom

Dodavanje pasivne veze može izvesti samo tako da se zadovolje sasvim određeni geometrijski uvjeti

(odabere li se da je EH AD¹ , umjesto mehanizma dobit ćemo konstrukciju s nultim stupnjem slobode

gibanja).


Kod proučavanja kinematičke strukture mehanizma ne vrši se analiza sila koje djeluju na mehanizam kao

ni analiza čvrstoće članova mehanizama, a lokalne pasivne veze vrlo su česte u mehanizmima kada je

potrebno vezu konstruirati tako da zadovolji uvjete čvrstoće ili druge konstrukcione uvjete.

A B C

Slika 11. Koljenasta osovina s tri ležaja

Tipičan primjer takve veze je koljenčasta osovina motora s unutrašnjim izgaranjem, kod koje je rotoid

izveden tako da se sastoji od nekoliko ležajeva, od kojih jedan ima funkciju aksijalno radijalnog ležaja, dok su

ostali radijalni ležajevi.

Očito je da je broj stupnjeva slobode koljenaste osovine w=1, iako je broj veza takav da bi se pomoću

jednadžbe za broj stupnjeva slobode mogao dobiti drugačiji rezultat. Takva izvedba koristi se zbog raspodjele

sila na osovinu te omogućavanja toplinskih dilatacija osovine kod promjene temperature. Sa stanovišta

statike takva je veza statički neodređena, ali kinematički gledano ona ima jednaku funkciju kao rotoid. I u

ovom primjeru je očito da je prilikom izvedbe ovakve veze potrebno zadovoljiti vrlo stroge geometrijske

uvjete (koaksijalnost svih ležajeva na osovini), kako umjesto mehanizma ne bismo dobili konstrukciju koja je

nepomična.

Broj stupnjeva slobode gibanja mehanizama s pasivnim vezama može se odrediti tako da se uzmu u obzir i

takve veze u mehanizmu.

Modificirana jednadžba kod prostornih mehanizama glasi:

1 2 3 4 5

5

1

6( 1) 5 4 3 2

6( 1) (6 ) ii

w n p p p p p q

w n i p q=

= - - - - - - +

= - - - +å (7)

gdje je q broj pasivnih veza, a n ukupni broj članova mehanizma.

U primjeru koljenčaste osovine bit će (pod uvjetom da ležajevi nisu podesivi, tj. da ne dozvoljavaju rotaciju

oko bilo koje druge osi osim aksijalne):

1 22; 1; 2; 8n p p q= = = =

te je:

6 1 5 1 4 2 8 1w= ⋅ - ⋅ - ⋅ + =

12

Ovu jednadžbu često koristimo za određivanje statičke neodređenosti neke veze q, jer je jednostavnije

odrediti broj stupnjeva slobode w:

5

1

6( 1) (6 ) ii

q w n i p=

= - - + -å (8)

Primjeri (Slika 12) prikazuju pokazuju izvedbe rotoida s različitim statičkim neodređenostima q, ali s istim

stupnjem slobode gibanja w=1.

q=0

q=5

q=2

q=0

1

1

1

1

2

2

2

2

Slika 12. Neke moguće izvedbe rotoida

1

23

Slika 13. Mehanizam Kardanskog zgloba

MEHANIZMI S UNUTRAŠNJIM ILI LAŽNIM STUPNJEM SLOBODE GIBANJA

Veze između članova mehanizma kao i broj članova mehanizma očito određuju njegovu kinematiku.

Međutim, postoje i takve slobode gibanja pojedinih članova mehanizma, koji neće utjecati na osnovni

stupanj slobode gibanja. Takve stupnjeve slobode gibanja nazivamo unutrašnjim ili lažnim stupnjevima

slobode gibanja mehanizma.


Primjer mehanizma s unutrašnjim stupnjem slobode gibanja gibanja prikazan je na slici (Slika 14 a). Ovaj

krivuljni mehanizam, čija je osnovna funkcija prenošenje rotacionog gibanja grebena 2 na podizač 4 koji se

giba translatorno, sastoji se od ukupno četiri tijela (postolja 1, grebena 2, kotačića podizača 3 i podizača 4).

Članovi mehanizma su međusobno povezani s tri kinematička para s jednim stupnjem slobode gibanja i

jednim kinematičkim parom s dva stupnja slobode gibanja. Prema tome je za ovaj mehanizam n=4, p1=3,

p2=1, pa je stupanj slobode gibanja w=2.

Ovaj prekobrojni stupanj slobode gibanja odnosi se na mogućnost rotacije valjčića 3 oko vlastite osi, a to

gibanje (u slučaju da je valjak kružni) ne može utjecati na gibanje člana 4. Mehanizam bez unutrašnjeg

stupnja slobode gibanja prikazan je na slici (Slika 14 b).

Također je potrebno istaknuti da će gibanje kotačića podizača ovisiti o silama koje na njega djeluju na mjestu

dodira s grebenom (sila trenja i normalna reakcija) i silama odnosno momentu trenja u zglobu O2.

1

2

3

4

1

2

3

a) b)

Slika 14. Mehanizam sa i bez prekobrojnog stupnja slobode gibanja

Drugi primjer mehanizma s prekobrojnim stupnjem slobode gibanja jest prostorni mehanizam (Slika 15).

Ovaj se stupanj slobode gibanja odnosi na mogućnost rotacije člana 3 oko uzdužne osi, što neće djelovati na

odnos gibanja članova 2 i 4.

R

S

S

R

Slika 15. Prostorni mehanizam s prekobrojnim stupnjem slobode gibanja

KINEMATIČKA I STRUKTURNA SHEMA MEHANIZMA

14

Pojmovi mehanizam i kinematički lanac su bliski. Pod mehanizmom podrazumijevamo takav kinematički

lanac koji omogućuje prijenos gibanja i sila i kod kojeg je obično jedan član nepomičan.

Mehanizam možemo prikazati pomoću detaljnog crteža, idejnom skicom, kinematičkom i strukturnom

shemom.

Pod kinematičkom shemom podrazumijevamo takav crtež koji sadrži samo one elemente mehanizma koji

imaju utjecaja na njegovo gibanje. Kinematička shema određenog mehanizma prikazuje se u određenom

mjerilu koje je potrebno za određivanje gibanja.

U kinematičkim shemama članovi mehanizama prikazuju se pojednostavljeno. Ona je ujedno i osnovni crtež

za proračun kinematike mehanizma.

Pri strukturnoj analizi mehanizama i pri izboru metode proračuna služimo se strukturnom shemom

mehanizma. U toj shemi simbolički prikazujemo članove mehanizma i kinematičke parove, ne vodeći računa

o njihovim dimenzijama.

O

A

B

a

1

2 34

O

A

B

b

1

2

3

4

AB

B'O

c

Slika 16. Polukonstruktivna (a), kinematička (b) i strukturna (c) shema mehanizma

Na slici (Slika 16) prikazana je polukonstruktivna, kinematička i strukturna shema mehanizma kompresora.

Ovakav mehanizam nazivamo klipno‐koljenčasti mehanizam koji primjenjujemo i kod motora s unutrašnjim

izgaranjem, u parnim strojevima, pumpama, tiskarskim prešama i u mnogim drugim strojevima.

STRUKTURNA ANALIZA MEHANIZAMA

Odnos broja članova mehanizma i broja kinematičkih parova kod ravninskih mehanizama s jednim stupnjem

slobode gibanja može se analizirati pomoću jednadžbe

1 23( 1) 2w n p p= - - -

gdje je:

n ukupni broj članova mehanizma

p1 broj kinematičkih parova s jednim stupnjem slobode gibanja


p2 broj kinematičkih parova s dva stupnja slobode gibanja

Kod mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja (w=1) je:

1 23( 1) 2 1 0n p p- - - - =

Ukoliko mehanizam sadrži samo kinematičke parove s jednim stupnjem slobode tj. p2=0, bit će:

13( 1) 2 1 0n p- - - =

ili

1

32

2p n= -

Budući da je broj kinematičkih parova cijeli broj slijedi da ukupni broj članova mehanizma koji sadrže samo

kinematičke parove s jednim stupnjem slobode gibanja mora biti paran.

Kod mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja, koji imaju samo jedan viši kinematički par (p2=1) bit će

broj kinematičkih parova prvog reda:

1

3 5

2

np

-=

te prema tome ukupni broj članova mehanizma (zajedno s postoljem) mora biti neparan.

Tablica 3. Ovisnost broja članova mehanizma i broja kinematičkih parova

Ukupni broj članova mehanizma n 3 4 5 6 7 8 9 10

Broj kinematičkih parova 1 reda p1 2 4 5 7 8 10 11 13

Broj kinematičkih parova 2 reda p2 1 0 1 0 1 0 1 0

1

2

3

4A

B

OA OB OA

A

1 1

3

4

2

Slika 17. Mogući tipovi mehanizama s nižim kinematičkim parovima i jednim stupnjem slobode gibanja

16

1

2

3

1

2

3

4

5

1

O

A

B

Slika 18. Tipovi mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja koji sadrže i jedan viši kinematički par

PRIMJER 1.

Zadan je šesteročlani Wattov kinematički lanac. Provesti sistematski pregled mogućih mehanizama iz ovog

kinematičkog lanca, tako da pogonski član ima rotaciono gibanje, a radni član translacijsko. Inverzije

mehanizama koje se zbog simetričnosti kinematičkog lanca ponavljaju izvesti samo jedanput. Svi kinematički

parovi osim kod radnog člana neka budu rotoidi.

12

3 4 5

6

Slika 19. Strukturna shema Wattovog mehanizma

1. rješenje:

1

2

3

56

4

Slika 20. Prva varijanta mehanizma na temelju Wattove kinematičke sheme

Za postolje odabran je član 1, pogonski član je član 2, a radni je član 6. Ako se za pogonski član odabere član

6, a za radni član 2 dobije se jednaki mehanizam. Zbog simetrije strukturne sheme jednaki se mehanizmi

dobiju izborom člana 4 za postolje, te članova 3 i 5 za pogonski odnosno radni.

2. rješenje


1

2

56

3

4

Slika 21. Druga varijanta mehanizma na temelju Wattove kinematičke sheme

Odaberemo li član 2 za postolje, član 3 kao pogonski, a član 1 kao radni dobije se mehanizam prikazan na

slici (Slika 21).

Ovaj mehanizam je zapravo motorni mehanizam s dodatnim mehanizmom koji se sastoji od članova 4, 5, 6 i

1 i takav mehanizam ne predstavlja rješenje. Izborom članova 3, 5 ili 6 za postolje dobivamo slične

mehanizme koji iz istog razloga nisu rješenje zadatka.

PRIMJER 2. Stephensonov mehanizam

Zadana je strukturna shema Stephensonovog mehanizma sa šest članova Provesti sistematski pregled

mogućih mehanizama iz ovog kinematičkog lanca, s tim da pogonski član ima rotaciono gibanje, a radni član

translacijsko. Inverzije mehanizama koje se zbog simetričnosti kinematičkog lanca ponavljaju izvesti samo

jedanput.

Svi kinematički parovi osim kod radnog člana neka budu rotoidi.

1

3

2 4

5

6

Slika 22. Strukturna shema Stephensonovog mehanizma

Rješenja:

18

3 1

2

4

5

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

6

2

4

53

1

2

Slika 23. Mogući oblici Stephensonovog mehanizma kod kojih je radni član translatoid

PRIMJER 3. Wattov mehanizam

Provesti analizu mogućih mehanizama iz Wattovog kinematičkog lanca (vidi primjer 1.), ako pogonski član

vrši rotacijsko gibanje, a radni translacijsko uz uvjet da u mehanizmu može biti još jedan translatoid pored

radnog člana.

Rješenje:

1

1

3

56

1

1

1

4

6

5

2

3

4

2

Slika 24. Wattov mehanizam s dva translatoida

Dobili smo dva identična mehanizma. Ostale mogućnosti daju zbog simetrije isto rješenje ili su dobiveni

mehanizmi nepodesni.

METODE OBLIKOVANJA MEHANIZAMA

ZAMJENA VIŠIH KINEMATIČKIH PAROVA NIŽIMA


Ako mehanizam sadrži više kinematičke parove tada je za strukturnu analizu mehanizma i za njegovo

kinematičko opisivanje pogodnije zamijeniti više kinematičke parove nižima. Pri toj zamjeni dodaje se novi

član mehanizmu i pri tome je potrebno zadovoljiti slijedeće uvjete:

1. stupanj pokretljivosti mehanizma mora ostati jednak

2. relativno gibanje članova mehanizma mora biti jednako

A AOA OA

OB OB

B Br r

r r2 2

1 1

O2 O2

O4 O4

2

2

3

3

B4 4 45 5 5D D D

6 66

1 1

1

SS

B

1

O4

3B

2O2

Slika 25. Zamjena višeg kinematičkog para nižima

EKSPANZIJA ROTOIDA

Ekspanzija rotoida sastoji se u povećanju promjera zgloba do te mjere da se unutar zgloba može smjestiti

drugi član mehanizma. Pri tome se neće promijeniti kinamatika mehanizma ukoliko središta zglobova ostanu

na istom mjestu. Promjene oblika mehanizma ekspanzijom rotoida vrši se često zbog konstruktivnih zahtjeva

(zahtjevi čvrstoće). Nekoliko primjera ekspanzije rotoida prikazani su na slici 30.

OBOB

OAOA

BBB

AAOB

OA

A

Slika 26. Modifikacija mehanizma ekspanzijom rotoida

OSNOVNI TIPOVI MEHANIZAMA

RAVNINSKI MEHANIZMI S NIŽIM KINEMATIČKIM PAROVIMA.

20

Mehanizme sastavljene od međusobno povezanih čvrstih tijela možemo podijeliti na dvije grupe:

mehanizme s nižim kinematičkim parovima i mehanizme s višim kinematičkim parovima. Mehanizme s nižim

kinematičkim parovima nazivamo i štapnim mehanizmima. Najčešći mehanizam s nižim kinematičkim

parovima je zglobni četverokut (slika 21). Ovaj se mehanizam sastoji od 4 člana, pri čemu je član 1

nepomičan, članovi 2 i 4 rotiraju oko nepomične osi, dok član 3 povezuje članove 2 i 4 pa ga nazivamo

sprežnim članom. Članovi 2 i 4 mogu vršiti puni okret u odnosu na nepomični član (rotirajući član), ili pak

mogu rotirati samo za određeni kut (oscilirajući član). Zavisno od toga zglobni četverokut može biti s dva

rotirajuća člana, s jednim rotirajućim i jednim oscilirajućim članom i sa dva oscilirajuća člana.

A

A

B

B0 0

a

b

c

d

2

20

Slika 27. Zglobmi četverokut s dva rotirajuća člana

a

b c

d

A

B

A B0

00

0

A

A

B

B

d

g

d

g

20

0

0

T

T

d

g

Slika 28. Zglobni četverokut s jednim rotirajućim i jednim oscilirajućim članom

a

b

c

d

AB

BA 00

0

0

0

0

0

Slika 29. Zglobni četverokut s dva oscilirajuća člana

Zamjena jednog ili dva rotoida s translatoidima daje mehanizme prikazane na slici (Slika 30).


Zamijenimo li samo jedan rotoid translatoidom dobit ćemo dva tipa mehanizama. Ukoliko je nepomičan

član mehanizma onaj koji je povezan s translatoidom, tada takav translatoid nazivamo klipom, a u slučaju da

je nepomičan član mehanizma koji sadrži dva rotoida, tada translatoid nazivamo kulisom. Odgovarajuće

mehanizme nazivamo klipnim odnosno kulisnim mehanizmima.

Kod zamjene dva rotoida s dva translatoida dobiju se tri tipa mehanizama: mehanizam elipsografa, kod kojeg

su trajektorije točaka sprežnog člana elipse, dvokulisni mehanizam, i sinusni mehanizam kod kojeg se klip

giba proporcionalnu sinusu kuta zakreta rotirajućeg člana, ako je kut među osima članova koji se gibaju

jednak 90o.

Iz četveročlanog mehanizma s dva translatoida povezanih zglobom dobije se samo jedan mehanizam kojeg

nazivamo tangensnim mehanizmom zbog toga što je pomak klipa proporcionalan tangensu kuta rotirajućeg

člana.

11

2 34

4

23

1

1

24

3

31

2

4 1

24

3

1

3

42

Slika 30. Mehanizmi nastali iz zglobnog četverokuta zamjenom rotoida translatoidom

Konstruktivni oblici ovih mehanizama mogu biti vrlo različiti. Shematski prikazi nekih od tih mehanizama

vidljivi su na slikama (Slika 31 i Slika 32).

A

O O1 2O O1 2

1 2

3

Slika 31. Kulisni mehanizam s periodičkim djelovanjem (malteški križ) i njegova kinematička shema

22

A

C

B

a

a

bb

Slika 32. Mehanizam elipsografa

PROSTORNI MEHANIZMI S NIŽIM KINEMATIČKIM PAROVIMA

Kod prostornih mehanizama kod kojih su članovi spojeni samo rotoidima i kod kojih se osi rotacije rotoida

sijeku u jednoj točki trajektorije svih točaka ležat će na koncentričnim kuglama. Takve mehanizme nazivamo

sfernim mehanizmima. Strukturna svojstva tih mehanizama u mnogome su analogna ravninskim

mehanizmima. Na slici (Slika 33) prikazan je poseban slučaj takvog mehanizma kod kojeg osi rotacije rotoida

međusobno zatvaraju pravi kut. Takav mehanizam nazivamo Kardanskim mehanizmom (G. Cardano, 1501‐

1576), a ponekad i Hookeovim zglobom i služi za prijenos rotacije s jedne na drugu osovinu koje se sijeku

pod kutem. Detaljnija kinematička analiza pokazuje da će gonjena osovina rotirati promjenljivom kutnom

brzinom kod jednolike rotacije pogonske osovine.

Slika 33. Kardanski ili Hookeov zglob

Prostorni zglobni četverokut služi za prijenos rotacionog gibanja s jedne na drugu osovinu. U ovisnosti o

dimenzijama članova mehanizma možemo dobiti mehanizam s dva rotirajuća člana, s jednim rotirajućim i

drugim oscilirajućim članom te s dva oscilirajuća člana.

KINEMATIČKA ANALIZA MEHANIZAMA

KINEMATIKA POGONSKIH I RADNIH ČLANOVA MEHANIZAMA.


Broj stupnjeva slobode gibanja mehanizma zadane strukturne sheme i dimenzijama članova jednak je

broju nezavisnih kinematičkih parametara ili broju poopćenih koordinata koje je potrebno poznavati da bi

kinematika mehanizma bila u potpunosti određena. Član mehanizma kojemu je zadana jedna ili više

poopćenih koordinata nazivamo ulaznim ili pogonskim članom mehanizma. U najvećem broju slučajeva

pogonski član mehanizma izvodi jednostavno gibanje (rotacija oko nepomične osi ili pravocrtno gibanje) koje

možemo ostvariti pogonskim motorom, međutim u slučajevima kad je mehanizam koji promatramo

pogonjen nekim drugim mehanizmom gibanje pogonskog člana može biti vrlo složeno.

xy

z

Slika 34. Pogonski član sa sfernim zglobom

A

x

Slika 35. Rotacioni i translatorni pogonski član

Na slici (Slika 34) prikazan je pogonski član sa sfernim kinematičkim parom. Njegov položaj određen je s tri

koordinate (tri Eulerova kuta , i ), dok slika (Slika 35) prikazuje ulazne članove kod kojih je gibanje određeno samo jednom koordinatom (kut kod rotacionog ulaznog člana ili položaj x kod translacionog).

Osnovni zadatak svakog mehanizma je pretvorba gibanja pogonskog člana u gibanje radnog člana. Neke od

mogućih pretvorbi rotacionog gibanja pogonskog člana mehanizma s jednim stupnjem slobode gibanja u

rotaciono ili translatorno gibanje radnog člana prikazano je na slici (Slika 36). Pogonski član obično

označavamo brojem 1, dok je radni označen s brojem n. Kod mehanizma s više stupnjeva slobode gibanja

potrebno je više pogonskih članova čije gibanje mora biti poznato. Slika 37 prikazuje mehanizam s dva

stupnja slobode gibanja kod kojeg su pogonski članovi 1 i 2 dok je radni član n.

24

1 1

n

vn

Slika 36. Pretvorba gibanja ulaznog člana u gibanje izlaznog kod mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja

2

n1

Slika 37. Pretvorba gibanja ulaznog člana u gibanje izlaznog kod mehanizama s dva stupnja slobode gibanja

U mnogim slučajevima kod konstruiranja mehanizama zakon po kojem se poopćene koordinate mijenjaju u

funkciji vremena može se odrediti tek nakon dinamičke analize mehanizma pod utjecajem sila koje djeluju na

mehanizam te masa i momenata tromosti članova mehanizma. Tada se gibanje mehanizma određuje u dva

koraka: najprije se odrede funkcije položaja i prijenosne funkcije u ovisnosti o poopćenim koordinatama, a

naknadno se određuje zakon promjene poopćenih koordinata kao i ostalih kinematičkih parametara o

vremenu. Tako će npr. kod mehanizma s dva stupnja slobode gibanja najprije biti potrebno odrediti

prijenosnu funkciju koja određuje poopćenu koordinatu položaja radnog člana (n) u ovisnosti o poopćenim

koordinatama pogonskih članova (1 i 2):

1 2( , )n nj j j j= (9)

Brzinu radnog člana određujemo deriviranjem koordinate položaja po vremenu

( ) ( )1 2

1 1 2 2n

n n n

du u

dt

jw w w= = + (10)

gdje su 1, 2 i n kutne brzine članova 1, 2 i n, dok su ( )11nu i ( )2

2nu parcijalni prijenosni omjeri.

Kod mehanizma s jednim stupnjem slobode gibanja je

11 1

1

n nn n

d d du

dt d dt

j j jw w

j= = = (11)

gdje je

1

1 1

n nn

du

d

j wj w

= = (12)

omjer kutnih brzina radnog i pogonskog člana (prijenosni omjer).


METODE KINEMATIČKE ANALIZE

Određivanje položaja, brzina i ubrzanja mehanizama može se provesti grafičkim, analitičkim i numeričkim

metodama. Od mnogobrojnih grafičkih metoda spomenut ćemo samo metodu trenutnih polova brzina (za

određivanje brzina) i metodu plana brzina i ubrzanja koje su primjenjive za mehanizme koji se gibaju

ravninski.

TRENUTNI POLOVI BRZINA

Relativni trenutni pol brzina može se definirati kao trenutni položaj dviju koincidentnih točaka dvaju tijela

kojima su apsolutne brzine međusobno jednake. Iz toga automatski slijedi da je relativna brzina točke jednog

tijela u odnosu na koincidentnu točku drugog tijela jednaka je nuli. Analiza gibanja pomoću trenutnih polova

brzina svodi se na analizu rotacije jednog tijela u odnosu na drugo oko njihovog zajedničkog trenutnog pola

brzina.

Ukoliko promatramo gibanje tijela u odnosu prema nepomičnom članu (postolju) tada govorimo o

apsolutnom trenutnom polu brzina. Položaj apsolutnog trenutnog pola brzina u odnosu na nepomičnu

referentnu ravninu može se odrediti pomoću jednadžbe

222

APA

vr

ww´

=

(13)

ili u sjecištu okomica na vektore brzina dviju točaka tijela (Slika 38).

AA

P

P

v

v

A

B

rPA

v =0

v

P

A

1

1

2

2

B

Slika 38. Određivanje apsolutnog trenutnog pola brzina krutog tijela

Kod mehanizama koji ima n članova broj trenutnih polova brzina je

( 1)

2 2p

n n nn

æ ö -÷ç ÷= =ç ÷ç ÷è ø. (14)

KENNEDY‐ARONHOLDOV TEOREM

Tri trenutna pola brzina za tri kruta tijela koja se relativno gibaju (bez obzira da li su međusobno povezana

kinematičkim vezama), leže na jednom pravcu. Dokaz teorema može se lako provesti redukcijom ad

absurdum (Slika 39). Naime, pretpostavi li se da relativni trenutni pol brzina P tijela 2 i 3 ne leži na pravcu

koji spaja relativne polove brzina P12 i P13 tijela 2 i 3 u odnosu na referentnu ravninu 1 može se dokazati da

točka P može biti trenutni pol brzina jedino u slučaju da leži na pravcu koji spaja polove P12 i P13.

26

1

2 3P

P

12

13

P

v vP

P2

3n

t

Slika 39. Uz dokaz Kennedy‐Aronholdovog teorema

Ako su dva člana mehanizma j i k spojena zglobom očito je da trenutni pol brzina Pjk leži u osi zgloba za sve

moguće položaje tih članova, te je točka Pjk stalni i trenutni pol brzina. Kad se jedan član, npr. klizač, giba

pravocrtno po drugom tada trenutni pol brzina leži u beskonačnosti na normali na putanju klizača. Kod

dodira dvaju tijela trenutni pol brzina bit će u točki dodira tijela u slučaju kad nema klizanja na dodirnim

površinama, ali kad uz kotrljanje dolazi i do klizanja između tijela trenutni pol brzina bit će na zajedničkoj

normali u točki dodira tijela (Slika 40).

k

j

Pjk

k

j

Pjk

Pjkt

n

A

Pjk

t

n

A

translatoidrotoid kotrljanje bez klizanja kotrljanje s klizanjem

Slika 40. Trenutni polovi brzina između dva kinematički povezana tijela kod planarnih mehanizama

Pri određivanju trenutnih polova brzina kod mehanizama najprije pronalazimo sve trenutne polove koji

direktno zadovoljavaju njihovu definiciju, a zatim primjenom Kennedy‐Aronholdova teorema pronalazimo

preostale trenutne polove brzina.


2

3 3

4 4

11

2OO2

O4 O4

AA

BB

P

P1,3

2,4

P2,3

P3,4

P1,4P1,2

Slika 41. Trenutni polovi brzina zglobnog četverokuta

P P

P

12 23

23

1 2

t

21

v

1

3 A A2

A2

3

A3

v

v

v

2

3

A

A

P

P

13

13

Slika 42. Trenutni polovi brzina krivuljnog nehanizma

P PP

P

A

A

12 2

3

1323

23

2 A2

3

A3

12

3

1

nt

21

31

v

v v

v

A

A

Slika 43. Trenutni polovi brzina krivuljnog mehanizma s oscilirajućom radnim članom

28

Kod višečlanog mehanizma poželjno je voditi evidenciju o pronađenim polovima. Jednostavan način za to

je da članove mehanizma prikažemo točkama u ravnini. U tom će slučaju dužina koja povezuje dvije točke

predstavljeti trenutni pol, dok će pravac na kojem leže tri pola brzina prema Kennedy‐Aronholdovom

teoremu biti prikazan trokutom.

22

1144

33

BB AA

CC

11

1

2

3

4

a) b)

22

1144

33

BB AA

CC

P

PP

PP

P

PP

P

P

24

1212

1414

P23

23

3434

34

13

11

1

2

3

4

P12

P23P34

P14

P13

1

2

3

4

P12

P23P34

P14

c) d)

2

14

3

BA

C

P

P

P

P

P

P

P

24

12

14

23

34

34

13

1

1

2

3

4

P12

P23P34

P14

P24

P13

e)

Slika 44. Postupak određivanja trenutnih polova brzina kod ravninskog mehanizma (Whitworthov brzo‐povratni mehanizam)

Postupak određivanja trenutnih polova brzina kod Whitworthovog brzo‐povratnog mehanizma uz

istovremeno vođenje evidencije o trenutnim polovima i pravcima koji zadovoljavaju Kennedy‐Aronholdov

teorem prikazan je na slikama (Slika 44).

Postupak određivanja trenutnih polova brzina:


1. Uz kinematičku shemu mehanizma nacrtamo onoliko točaka koliki je broj članova mehanizma.

Ove će nam točke poslužiti kao evidencija o pronađenim polovima brzina i pomoći kod primjene

Kennedy‐Aronholdova teorema (Slika 44 b).

2. Pronalazimo trenutne polove brzina koji direktno zadovoljavaju definiciju (relativni trenutni pol

dvaju članova mehanizma, koji se međusobno gibaju, predstavljen je kao položaj dviju

koincidentnih točaka tijela kojima su apsolutne brzine međusobno jednake). Na taj način (Slika 44

c), pronađeni su slijedeći polovi

P12 zglob koji povezuje član 1 i 2,

P23 zglob koji povezuje član 2 i klizač 3,

P14 zglob koji povezuje tijela 1 i 4,

P34 točka na normali na štap 4 u beskonačnoj udaljenosti

3. Evidenciju

4. Preostala dva trenutna pola brzina pronalazimo primjenom Kennedy‐Aronholdova teorema. Pri

tome

Kod višečlanog mehanizma poželjno je voditi evidenciju o pronađenim polovima. Jednostavan način za to je

da članove mehanizma prikažemo točkama u ravnini. U tom će slučaju dužina koja povezuje dvije točke

predstavljeti trenutni pol, dok će pravac na kojem leže tri pola brzina prema Kennedy‐Aronholdovom

teoremu biti prikazan trokutom (Slika 44 d).

P

P

P P

PP

P

PPP

P P

PP P

24

23

36 13

3534

45

1426

12

25 46

5615 16

1

6

1 51

2

34

1

2

3

4

5

6

Slika 45. Primjer određivanja trenutnih polova brzina šesteročlanog mehanizma

30

1

A

B

C

D

E

F G

b

h

4

2

3

5

6

1

16

12

23

36

E

45 56

b

h

4

2

3

5

6

24

26

13

25

46

14

35

15

34

1

2

3

4

5

6

Slika 46. Trenutni polovi brzina šesteročlanog štapnog mehanizma

S

n.p.

p.p.

P

vS

1

2

1,2

r

Slika 47. Kotrljanje valjka po ravnoj podlozi


O2 O4

A

B

A

A

AA

B

BB

B

1 1

2

2

3

3

4

4

1

2

3

4

p.p.

n.p.

Slika 48. Gibanje jednog tijela u odnosu na drugo može se prikazati kao kotrljanje pomične poloide po nepomičnoj

METODA PLANA BRZINA I UBRZANJA

Ova se metoda zasniva na grafičkom prikazu vektorskih jednadžbi koje opisuju vezu među brzina i

ubrzanjima dviju točaka A i B krutog tijela kod planarnog gibanja

B A BA A BAv v v v rw= + = + ´

(15)

( )

n tB A BA A BA BA

B A BA BA

a a a a a a

a a r rw w e

= + = + +

= + ´ ´ + ´

(16)

Kod mehanizama koji sadrže samo rotacione zglobove brzina i ubrzanje zgloba je jednaka bez obzira

promatramo li zglob kao dio jednog ili drugog tijela koje povezuje. Kod mehanizama koji osim zglobnih veza

sadrže i translacijske kinematičke parove potrebno je uzeti u obzir i Coriolisov teorem o relativnom gibanju

' 'Aa Ap Ar A AAv v v v v= + = +

(17)

' 'Aa Ap Ar cor A AA cora a a a a a a= + + = + +

(18)

2cor p Ara vw= ´

(19)

Primjer:

Kod zglobnog četverokuta prikazanog na slici zadano je OAA=0.2 m, AB=BC=OBB=0.5 m, OAOB=0.4 m, =60o, =2 rad/s.

32

Plan brzina

C

Plan položaja

Plan ubrzanja

A

B

BA OO

Pvb

c

a

Pa

a

b

c

aA

vA

vB

vC

vBA

vCB

aB

aC

aBA

aBA

aCA

t

aBAn

Slika 49. Plan položaja, brzina i ubrzanja jednostavnog zglobnog četverokuta

Rezultati iz planova brzina i ubrzanja

Točka Brzina Ubrzanje

m/s m/s2

A 0.400 0.800

B 0.213 1.192

C 0.148 2.175

Primjer:

Za brzopovratni mehanizam prikazan na skici potrebno je:

a) odrediti brzine i ubrzanje svih točaka mehanizma,

b) relativni trenutni pol brzina članova 1 i 5 i pomoću njega provjeriti brzinu točke C.

Zadano: =10 rad/s (kutna brzina člana 1 u smjeru gibanja kazaljke na satu).


O1

A

B

C

O3

0

2

3

4

5

1

h1

h2

O A=200 mm1

O B=800 mm3

h = 400 mm1

h = 900 mm2

BC= 600 mm

=45o

Slika 50. Brzopovratni šesteročlani mehanizam

O1

A

B

C

O3

1

2

3

4

5

h1

h2

vA

vC

vA'vB vCB

vr

a

a'

b

cPv

Slika 51. Plan brzina mehanizma iz primjera

34

O1

A

B

C

O3

1

2

3

4

5

P01

P03

P05

P23

P34

P45

P12

0

1

2

3

4

5

P13

P02

P35

P25

P15 P14

P24

P04

217

Slika 52. Trenutni polovi brzina mehanizma

Iz poznatog položaja trenutnog pola brzina P15 i definicije trenutnog pola brzina (točka koja pripada

članovima 1 i 5 i ima jednaku apsolutnu brzinu) može se jednostavno odrediti brzina klizača 5:

5 01 15 1 0.217 10 2.17m/sv P P w= ⋅ = ⋅ =

ANALITIČKO ODREĐIVANJE POLOŽAJA, BRZINA I UBRZANJA

ANALIZA POLOŽAJA ZGLOBNOG ČETVEROKUTA

Položaj pojedinih članova zglobnog četverokuta može se najjednostavnije odrediti grafički. Crtanjem

mehanizma u nekoliko njegovih položaja dobija se uvid u gibanje pojedinih njegovih članova. Točnost takvog

načina određivanja položaja zavisi o točnosti crtanja, mjerilu, točnosti mjerenja nacrtanih veličina i nije

ponekad dostatna. Ukoliko su zadane samo duljine pojedinih članova, tada se zglobni četverokut može

nacrtati u jednom od svoja dva moguća položaja.


A

B

OA OB

2

3

1

4

Slika 53. Zglobni četverokut s nepomičnim članom OAOB, pogonskim članom OAA i radnim članom OBB, kojemu su zadane duljine

pojedinih članova i položaj pogonskog člana.

Analitičko određivanje položaja može se izvesti na nekoliko načina. Ovdje je prikazan vektorski pristup

rješavanja.

r

r

r

r

r

r r

r1

2

2

3

3

4 4

1

22

3

3

4 4

11

r r

O O

O OA A

B B

A

B

Slika 54. Analiza položaja zglobnog četverokuta. Prikazana su dva različita položaja zglobnog četverokuta s jednakim duljinama

pojedinih članova i jednakim položajem pogonskog člana

Zadane su duljine pojedinih članova r1, r2, r3 i r4, te položaj pogonskog člana 1 dok je kut člana 4 jednak . Budući da je lanac zatvoren slijedi da je:

1 2 3 4 0r r r r+ + + =

(20)

Također je zatvoren i poligon koji čine vektori 1 4, ir r r

, te je prema tome

1 4 0r r r+ + = ili 1 4r r r i+ =

. Skalarnim množenjem vektora r

sa samim sobom dobit će se jednadžba

koja sadrži 1j :

2 2 24 1 4 1 4 1 4 1 1( ) ( ) 2 cos ,r r r r i r r i r r r r rj⋅ = = - ⋅ - = - +

(21)

odakle je veličina vektora r:

2 24 1 1 4 12 cosr r r r r j= + - (22)

Ova jednadžba je zapravo kosinusni poučak za planarne trokute.

Iznos vektorskog produkta vektora 1 4ir r

je

36

1 4 1 4 1 1 4 1sin( ) sin ,r r r r r rp j j´ = - =

(23)

a također je

1 4 4 4 4 4( ) ( ) sin( ) sin ,r r r i r r i rr rrp g g´ = - ´- = - =

(24)

pa prema tome slijedi

1 1sin sinr rg j= , (25)

što je zapravo sinusni poučak za ravninske trokute. Iz jednadžbe (25) slijedi

11arcsin sin

r

rg j

æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø (26)

Na taj je način moguće odrediti duljinu r i kut .

Za trokut koji zatvaraju vektori 2 3, ir r r

može se postaviti jednadžba:

2 3r r r+ =

(27)

te je

2 2 23 2 22 cosr r r rr a= + - (28)

odakle se može odrediti kut

2 2 2

2 3

2

arccos2

r r r

rra

æ ö+ - ÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø. (29)

Kod prve konfiguracije zglobnog četverokuta bit će 2j a g= - , dok je kod druge konfiguracije

2 2 .j p a g¢ = - -

Budući da su i poznati, mogu se odrediti i 2j i 2j¢ . U cilju određivanja kuta 3j ili 3j¢ , mora se odrediti

kut , i može se pokazati da je u oba slučaja

2 2 22 3 3

2 3

2 cos ,

sin sin ,

r r r rr

r r

ya y

= + -=

(30)

te da je:

2

3

arcsin sinr

ry a

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø. (31)

Za prvu konfiguraciju zglobnog četverokuta će biti 32 ,p j a g- = + a za drugu konfiguraciju 3j a g¢ = - .

Koordinate x i y pojedinih točaka zglobnog četverokuta su:


1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4

cos , sin

cos , sin

cos , sin

cos , sin

x r y r

x r y r

x r y r

x r y r

j jj jj jj j

= == =

= == =

(32)

Analiza brzina kod zglobnog četverokuta

Za zglobni četverokut koji je smješten u ravnini X,Y i koji je zadan vektorima 1 2 3 4, , ir r r r

u zatvorenom

poligonu (koji ne mora nužno biti planaran) činjenica da je poligon zatvoren zahtjeva da je

1 2 3 4 0r r r r+ + + =

(33)

Krutost članova mehanizma ogleda se u činjenici da su vektori 1 2 3 4, , ir r r r

vektori konstantnih veličina, što

pojednostavljuje njihovo deriviranje po vremenu.

1 2 3 4 0r r r r+ + + = , (34)

Budući da se prva derivacija vektora konstantnog iznosa po vremenu dobije vektorskim množenjem s lijeva

vektorom kutne brzine tog vektora, bit će

1 1 2 2 3 3 4 4 0r r r rW ´ +W ´ +W ´ +W ´ =

(35)

U ovoj jednadžbi su 1 2 3 4, , iW W W W

apsolutne kutne brzine odgovarajućih članova u odnosu na koordinatni

sustav XY. Ako je član 4 mehanizma nepokretan bit će:

1 1 2 2 3 3 0r r rw w w´ + ´ + ´ =

(36)

gdje su 1 2 3 4, , iw w w w

kutne brzine odgovarajućih članova u odnosu na koordinatni sustav xy.

U grafičkoj kinematici jednadžbu (36) rješavamo pomoću plana brzina. Kod planarnih mehanizama je

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

,

,

,

r x i y j k

r x i y j k

r x i y j k

w w

w w

w w

= + =

= + =

= + =

(37)

Uvrštavanje daje:

1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( ) 0k x i y j k x i y j k x i y jw w w´ + + ´ + + ´ + =

(38)

odnosno:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) 0y y y i x x x jw w w w w w- + + + + + =

(39)

iz čega slijede simultane skalarne jednadžbe:

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

0

0

y y y

x x x

w w ww w w

+ + =

+ + = (40)

Ako se pretpostavi da je poznata kutna brzina 1w tada će biti:

38

2 2 3 3 1 1

2 2 3 3 1 1

y y y

x x x

w w ww w w

+ =-

+ =- (41)

ili

1 1 3

1 1 3 3 1 1 32 1

2 2 2 3 3 2

3 3

x x

y y x y x y

x x x y x y

y y

ww

w w

-- -

= =-

(42)

2 1 1

2 1 1 1 2 2 13 1

2 2 2 3 3 2

3 3

x x

y y x y x y

x x x y x y

y y

ww

w w

-- -

= =-

(43)

Za dva zglobna četverokuta koji su geometrijski slični, tj. kod kojih je

1 1

2 2

3 3

4 4

,

,

,

R r

R r

R r

R r

l

l

l

l

=

=

=

=

(44)

omjeri kutnih brzina (prijenosne funkcije) jednake su i nezavisne od faktora . Svi će slični zglobni četverokuti imati jednake prijenosne funkcije. Ova se činjenica koristi kod sinteze mehanizama.

Kako je:

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

cos , sin

cos , sin

cos , sin

x r y r

x r y r

x r y r

j jj jj j

= == == =

(45)

mogu se jednostavno izraziti prijenosni funkcije pomoću kuteva

2 1 1 3

1 2 3 2

3 1 2 1

1 3 3 2

sin( )

sin( )

sin( )

sin( )

r

r

r

r

w j jw j jw j jw j j

-=

--

=-

(46)

Analizom rezultata za prijenosne omjere može se uočiti da oni ovise o geometriji zglobnog četverokuta te da

će samo kod posebnih odnosa dimenzija biti konstantni. Jedan od posebnih slučajeva je kada je

2 1 30,y y y= =- , kod kojeg će biti

3

1

1ww

= (47)

što se može realizirati paralelogramom (npr. sprežni mehanizam lokomotivskih kotača).

Analiza ubrzanja kod zglobnog četverokuta


Deriviranje jednadžbe za brzine po vremenu daje:

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 0r r r r r rw w w w w w´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ = (48)

Budući su vektori 1 2 3,r r i r

konstantnog iznosa bit će:

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) 0r r r r r rw w w w w w w w w´ + ´ ´ + ´ + ´ ´ + ´ + ´ ´ = (49)

Ova jednadžba je jednadžba kutnih ubrzanja za prostorne zglobne četverokute i ona povezuje geometriju

kinematičkog lanca u proizvoljnom trenutku s kutnim brzinama i ubrzanjima u odnosu na nepomični član.

Ravninski četveročlani mehanizam puno je značajniji za praksu. Ako se mehanizam nalazi u ravnini xy, bit će

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

, ,

, ,

, ,

r x i y j k k

r x i y j k k

r x i y j k k

w w e w w

w w e w w

w w e w w

= + = = =

= + = = =

= + = = =

(50)

Nakon uvrštavanja u jednadžbu (50) slijedi:

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

k x i y j k k x i y j



w w w

w w w

w w w

é ù´ + + ´ ´ + +ê úë ûé ù+ ´ + + ´ ´ + +ê úë ûé ù+ ´ + + ´ ´ + =ê úë û

(51)

te je nakon sređivanja:

2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 0

y x y x y x i

x y x y x y j

e w e w e w

e w e w e w

é ù- + + + + + +ë ûé ù+ - + - + - =ë û

(52)

što daje dvije skalarne jednadžbe:

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

0

0

y x y x y x

x x x y y y

e w e w e w

e e e w w w

+ + + + + =

+ + - - - = (53)

Uz pretpostavku da su poznati položaji članova mehanizma 1 2 3 1 2 3, , , , ,x x x y y y , te njihov kutne brzine

1 2 3, ,w w w i kutno ubrzanje pogonskog člana 1 1e mogu se gornje jednadžbe zapisati u obliku:

2 2 2

2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3

2 2 22 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3

y y y x x x A

x x x y y y B

e e e w w w

e e e w w w

+ =- - - - =

- =- + + + = (54)

te je:

3

3 3 32

2 3 3 2 2 3

2 3

,

A y

B x Ax By

y y x y x y

x x

e-

= =-

(55)

40

2

2 2 23

2 3 3 2 2 3

2 3

.

y A

x B By Ax

y y x y x y

x x

e-

= =-

(56)

Kao i kod kutnih (56) brzina svi će slični zglobni četverokuti imati jednaka kutna ubrzanja, jer faktor

geometrijskog mjerila .

PRIMJER: Zadan je zglobni četverokut sa slijedećim duljinama pojedinih članova:

OAA=r1=1.5 m, AB=r2=3.5 m, OBB=r3=3 m, OAOB=r4=1 m. Kutna brzina pogonskog člana je konstantna i iznosi

1=10 rad/s, dok je kut koji pogonski član zatvara s osi x =120o.

Potrebno je odrediti položaj mehanizma, kutne brzine članova 2 i 3 te njihova kutna ubrzanja.

A

B

OA OB

2

3

1

4

Slika 55. Oznake uz primjer

Projekcije vektora koji određuju kinematički lanac bit će:

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4

cos 0.750 sin 1.299

cos 3.250 sin 1.299

cos 1.500 sin 2.598

cos 1.000 sin 0.000

x r m y r m

x r m y r m

x r m y r m

x r m y r m

j jj jj jj j

= =- = == = = == =- = =-= =- = =

a kutne brzine:

1 1 3

1 1 3 3 1 1 32 1

2 2 2 3 3 2

3 3

rad0.600

s

x x

y y x y x y

x x x y x y

y y

ww

w w

-- -

= = =-

2 1 1

2 1 1 1 2 2 13 1

2 2 2 3 3 2

3 3

rad0.800

s

x x

y y x y x y

x x x y x y

y y

ww

w w

-- -

= = =-

Kutna ubrzanja određuju se pomoću jednadžbi:


2 2 2

2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3

2 2 22 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3

y y y x x x A

x x x y y y B

e e e w w w

e e e w w w

+ =- - - - =

- =- + + + =

3

3 3 32 2

2 3 3 2 2 3

2 3

rad1.811 ,

s

A y

B x Ax By

y y x y x y

x x

e-

= = =-

2

2 2 23 2

2 3 3 2 2 3

2 3

rad1.637 .

s

y A

x B By Ax

y y x y x y

x x

e-

= = =-

Primjer: Za Whitworthov brzopovratni mehanizam potrebno je analitički odrediti gibanje radnog (6) člana u

ovisnosti o kutu zakreta pogonskog člana (2), ako su zadane dimenzije r, l i h (Slika 56).

6

5 B

2 A3r

1

4

O

O

2

4

h

l

x

Slika 56. Geometrija Whitworthovog brzopovratnog mehanizma

42

6

5 B

2

A3

1 4

O

O

2

4

h

H

l

x

rr

r

1 3

2

2

4

6

5 B

2

A3

1

4

4

O

O

2

4

h

H

l

x

rr

r

5

6

2

4

Slika 57. Uvjeti zatvorenosti kod Whitworthovog brzopovratnog mehanizma

0,4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

1

3

2/2 3 /2

0.50.0

-0.5-1.0-1.5

1

2/2 3 /2

1

3 3

12

33

Slika 58. Dijagrami kuta zakreta, kutne brzine i kutnog ubrzanja radnog člana zglobnog četverokuta u ovisnosti o kutu pogonskog

člana

va

x

6

5 B

2A

3r

1

4

O

O

1

4

h

l

x

Slika 59. Kinematika Whitworthovog brzopovratnog mehanizma


KRIVULJNI MEHANIZMI

Krivuljni mehanizmi vrlo su važni sastavni dijelovi strojeva, posebno motora s unutarnjim izgaranjem, alatnih

strojeva, instrumenata i sl. Kod automatskih strojeva s električnim, hidrauličnim ili pneumatskim vezama

krivuljni mehanizmi se često koriste za upravljanje.

Krivuljni mehanizmi u svom kinematičkom lancu sadrže pogonski član u obliku grebena koji prenosi gibanje

na radni član mehanizma direktnim kontaktom pomoću višeg kinematičkog para. Greben krivuljnog

mehanizma kao pogonski član može vršiti rotaciono, translatorno ili planarno gibanje, a može biti i

nepomičan, dok vođeni član krivuljnog mehanizma pomicaljka (podizač) vrši rotaciono ili translatorno

gibanje.

Profil grebena određuje zakon gibanja vođenog člana mehanizma i on može biti konstruiran na dva načina:

a) za zadani zakon gibanja vođenog člana može se odrediti profil grebena koji će ostvariti zadano gibanje,

b) za zadani oblik grebena mogu se odrediti kinematičke i dinamičke karakteristike gibanja vođenog člana.

Prvi način konstruiranja grebena je tipični primjer sinteze mehanizama, tj. projektiranja mehanizma koji će

izvršiti zadano gibanje. Taj se zadatak može gotovo uvijek riješiti. Međutim, zbog poteškoća u izradi često se

primjenjuju druge metode konstruiranja koje uzimaju u obzir tehnološku izvedivost profila grebena kao i

ekonomiönost takve izvedbe (simetrični profili s kružnim ili ravnim dijelovima konture). Ovakvi tipovi

grebena primjenjuju se kod automobilskih motora kod kojih greben mora biti izveden točno i ekonomično.

Prednosti krivuljnih mehanizama sastoje se u tome da imaju mali broj članova, zauzimaju malo prostora,

jednostavna je njihova sinteza i izrada, a među nedostatke spada smanjena mogućnost opterećenja višeg

kinematičkog para (kontaktni pritisci, trenje, habanje). Kod povećanih opterećenja potrebno je upotrebiti

kvalitetnije materijale za izradu grebena uz primjenu toplinskih obrada te konstruktivno smanjiti trenje i

habanje primjenom pomicaljke s kotačićem.

OSNOVNI TIPOVI KRIVULJNIH MEHANIZAMA

Krivuljni mehanizmi mogu biti izvedeni na vrlo različite načine. Pri tome ih također možemo i klasificirati na

nekoliko načina: prema obliku grebena i pomicaljke, njihovom načinu gibanja, ostvarivanju stalnog kontakta

između grebena i podizača i sl.

Pri izboru oblika pomicaljke nastojimo odabrati geometrijski jednostavne oblike, a zadano gibanje postižemo

ispravnim profiliranjem grebena u skladu s izabranim oblikom pomicaljke. To međutim ne mora uvijek biti

tako, pa se u primjerima inverznih krivuljnih mehanizama mogu vidjeti izlazni članovi složenih geometrijskih

oblika.

44

y

y

x

a b c

y

Slika 60. Krivuljni mehanizami s različitim oblicima grebena: (a) pločasti greben, (b) klinasti greben, (c) valjkasti greben

y y

Slika 61. Krivuljni mehanizmi s različitim oblicima podizača

Drugi način podjele krivuljnih mehanizama može se izvršiti prema relativnom gibanju između podizača i

nepomične podloge. Tako kod nekih krivuljnih mehanizama nalazimo pomicaljke koje se gibaju translatorno,

dok kod drugih je izlazno gibanje pomicaljke oscilatorno.

U svim krivuljnim mehanizmima potrebno je osigurati stalni dodir između grebena i pomicaljke (zatvaranje

kinematičkog para). Ovaj dodir može se ostvariti djelovanjem sila (težina, sila opruge ili odgovarajućim

kinematičkim vezama).


greben

opruga

podizač

greben

opruga

podizač

a) b)

c) d)

Slika 62. Ostvarivanje stalnog dodira između grebena i pomicaljke (a) i (b) dinamičko zatvaranje pomoću opruge (c) greben

konstantne širine (kinematičko zatvaranje), (d) konjugirani grebeni

KINEMATIČKE KARAKTERISTIKE ZAKONA GIBANJA

Kod određivanja profila grebena i njegovih osnovnih dimenzija potrebno je uzeti u obzir različite, često i

kontradiktorne zahtjeve kao npr:

1. maksimalnu brzinu pomicaljke

2. maksimalno ubrzanje podizača

3. koeficjent dinamičnosti opterećenja

4. karakteristiku opruge

5. maksimalni zakretni moment na vratilu grebena

6. maksimalni pritisak između grebena i podizača

Navedeni zahtjevi nisu očito svi koje postavljamo kod oblikovanja profila grebena i konstruiranja krivuljnog

mehanizma. Npr. kod krivuljnih mehanizama motora s unutrašnjim izgaranjem izbor zakona gibanja podizača

ovisit će i o promjeni zračnosti između grebena i podizača do koje dolazi kod zagrijavanja mehanizma i o

konstruktivnom rješenju otklanjanje te zračnosti.

Krivuljni mehanizmi imaju jedan stupanj slobode i najčešće pogonski član (greben) rotira konstantnom

kutnom brzinom i tako dovodi u gibanje pomicaljku prema zadanoj jednadžbi gibanja. Pri tome ćemo kut

zakreta pogonskog člana označiti s (t), a pomak pomicaljke sa y(t). Pri tome će y biti linearni pomak kod

translatorne pomicaljke, dok će kod oscilirajuće pomicaljke to biti kut zakreta. Tokom rotacije grebena

46

pomicaljka će se periodički podizati i spuštati i za svaki okret grebena izvršit će jedan ciklus gibanja.

Grafički prikaz tog gibanja u dijagramu kod kojeg je na apscisi nanesen kut zakreta grebena, a na ordinati

pomak pomicaljke, prikazan je na slici (Slika 63). Jedan ciklus gibanja pomicaljke sastoji se od njenog

pomicanja za iznos h, mirovanja u gornjem položaju, spuštanja na početnu visinu i mirovanja u donjem

položaju.

podizanje

mirovanje ugornjem položaju

spuštanje

mirovanje u donjem položaju

y

2

h

Slika 63. Dijagram pomaka pomicaljke krivuljnog mehanizma

Važne karakteristike gibanja pomicaljke, kao npr. visina podizanja h, trajanje podizanja i mirovanja, trajanje

spuštanja i sl. zadani su zahtjevima primjene krivuljnog mehanizma. Međutim postoji mnogo mogućih načina

gibanja pomicaljke kojima možemo ostvariti jednako podizanje odnosno spuštanje. Najvažniji zadatak pri

konstruiranju grebena je izbor načina gibanja pomicaljke y=y(). Kada je jednom izabran način gibanja

određen je time i profil grebena kao i sve ostale kinematičke karakteristike gibanja krivuljnog mehanizma.

Uz pretpostavku da je kutna brzina grebena =konst. brzina i ubrzanje pomicaljke može se odrediti pomoću

jednadžbi

dy dy d dy

vdt d dt d

jw

j j= = = (57)

2

2

2

dv dv d d ya

dt d dt d

jw

j j= = = (58)

Supstitucijom j

zb

= uvodimo bezdimenzionalnu funkciju pomaka pomicaljke:

( ) 1( )f y

hz z= . (59)

Funkcija f() i njene derivacije po jednostavnije se prikazuju zbog njihovog bezdimenzionalnog oblika, a

položaj, brzinu i ubrzanje pomicaljke tada računamo pomoću jednadžbi

( ) ( )y h fz z= ⋅ , (60)

( )

( ) ( )df

v h h fd

w z wz z

b z b¢= = i (61)


2 22

2

( )( ) ( )

d fa h h f

d

w z wz z

b z b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç ¢¢= =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø. (62)

. Pregled nekoliko jednostavnih zakona gibanja pomicaljke

Naziv DIJAGRAMI

Jednadžbe gibanja

Gibanje po

zakonu parabole

v

h yh

-4

-2

2

4

0.5 1.0 ( )

2

2

( ) 2

( ) 4 0 0.5

( ) 4

( ) 1 2(1 )

( ) 4 1 0.5 1

( ) 4

f

f

f

f

f

f

z zz z zz

z zz z zz

üï= ïïï¢ = £ £ýïï¢¢ = ïïþüï= - - ïïï¢ = - £ £ýïï¢¢ =- ïïþ

Cikloidno gibanje

a

2h

v

hyh

-8

-4

4

8

0.5 1.0

1( ) sin2

2

( ) 1 cos2

( ) 2 sin2

f

f

f

z z pzp

z pz

z p pz

= -

¢ = -¢¢ =

Harmonijsko

gibanje

a

2h

v

hyh

-5.0

-2.5

2.5

5.0

0.5 1.0 2

1( ) (1 cos )

2

( ) sin2

( ) cos2

f

f

f

z pz

pz pz

pz pz

= -

¢ =

¢¢ =

48

Dvostruko

harmonijsko

gibanje

a

2h

v

hyh

0.5 1.0

6

-10

4

2

-2-4

-6-8

0

2

1( ) (1 cos )

21(1 cos2 )

8

( ) sin sin22 4

( ) (cos cos2 )2

f

f

f

z pz

pz

p pz pz pz

pz pz pz

= - -

- -

¢ = -

¢¢ = -

Gibanje po

zakonu kubne

parabole

tip 1

a

2h

v

hyh

0.5 1.0

15

10

5

0

-5

-10

-15

3

2

3

2

( ) 4

( ) 12 0 0.5

( ) 24

( ) 1 4(1 )

( ) 12(1 ) 0.5 1

( ) 24(1 )

f

f

f

f

f

f

z zz z zz z

z zz z zz z

üï= ïïï¢ = £ £ýïï¢¢ = ïïþüï= - - ïïï¢ = - £ £ýïï¢¢ =- - ïïþ

Gibanje po

zakonu kubne

parabole

tip 2

a

2h v

h yh

0.5 1.0

6

4

2

0

-2

-4

-6

2( ) (3 2 )

( ) 6 (1 )

( ) 6(1 2 )

f

f

f

z z z

z z z

z z

= -

¢ = -¢¢ = -

Gibanje po

polinomnom

zakonu

(3‐4‐5)

a

2h v

h yh

0.5 1.0

6

4

2

0

-2

-4

-6

3 4 5

2 3 4

2 3

( ) 10 15 6

( ) 30 60 30

( ) 60 180 120

f

f

f

z z z z

z z z z

z z z z

= - +

¢ = - +

¢¢ = - +


Gibanje po

polinomnom

zakonu

(3‐5‐6‐7‐8)

a

2h

v

h yh

0.5 1.0

6

4

2

0

-2

-4

-6

( ) 3 5

6 7

8

6.09755 20.78040

26.73155 13.60965

2.56095

f z z z

z z

z

= - +

+ - +

+

GRAFIČKE METODE ODREĐIVANJA PROFILA GREBENA

Kod grafičkog određivanja profila grebena primjenjujemo metodu kinematičke inverzije, zamišljajući da je

greben krivuljnog mehanizma nepomičan, a da se pomicaljka zakreće u suprotnom smjeru od rotacije

grabena. Istovremeno se pomicaljka podiže u skladu s zadanim zakonom gibanja. Profil grebena određujemo

tako da crtamo anvelopu tako određenih položaja pomicaljke kao što je to prikazano na slikama (Slika 64 i

Slika 65).

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Slika 64. Grafičko određivanje profila grebena krivuljnog mehanizma s pravocrtnim gibanjem pomicaljke

50

0

1

23

4

5

6

7

8

9

10

11

Slika 65. Grafičko određivanje profila grebena krivuljnog mehanizma s oscilirajućom pomicaljkom

ANALITIČKE METODE ODREĐIVANJA PROFILA GREBENA

Analitičko određivanje profila grebena posebno je važno kod krivuljnih mehanizama velikih brzina zbog

potrebe za velikom točnošću izrade grebena. Primjenom numerički upravljanih strojeva mogu se postići vrlo

velike točnosti izrade što povećava potrebu za točnim analitičkim određivanjem konture grebena.

Analitička metoda određivanja profila grebena se zasniva na određivanju jednadžbe anvelope porodice

krivulja koje opisuju geometriju pomicaljke u proizvoljnom položaju u odnosu na greben.

Postupak se može podijeliti na slijedeće faze:

1. Izbor podobnog koordinatnog sistema (pravokutni ili polarni).

2. Postavljanje jednadžbe izvodnice anvelope s jednim promjenljivim parametrom u obliku:

( , , ) 0F x y j = (63)

3. Određivanje parcijalne derivacije funkcije ( ), ,F x y j po parametru i izjednačavanje derivacije s

nulom.

( , , )

0F x y¶ j¶j

= (64)

4. Ove dvije jednadžbe zajedno predstavljaju jednadžbu anvelope. Ukoliko je moguće eliminirati

parametar iz jednadžbi možemo zapisati njenu jednadžbu u obliku F(x,y)=0, a ako to nije moguće

dobit ćemo parametarski zapis jednadžbe anvelope

( ) i ( )x x y yj j= = (65)

TANJURASTI PODIZAČ SA ZADANIM ZAKONOM GIBANJA ( )s s j= .


D

OR0

R0

0P

s

P

p

x

y

Slika 66. Krivuljni mehanizam s tanjurastim podizačem

Koordinate profila grebena (anvelope pravaca) u ovisnosti o parametru mogu se odrediti iz jednadžbi:

[ ]

[ ]

( )( ) cos sin

( )( ) sin cos

o

o

dsx R s

d

dsy R s

d

jj j j

jj

j j jj

üïï= + - ïïïýïï= + + ïïïþ

(66)

OSCILIRAJUĆI RAVNI PODIZAČ

p

P

P0

R0

b

R0

y

x

O

Slika 67. Oscilirajući ravni podizač

Iz geometrijskih odnosa na slici.

arcsin

( )

oR

bb

J j b y j

æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø= - -

(67)

Jednadžbe profila grebena (anvelope kružnica) glase:

52

cos( )cos( )

cos1

x bd

d

j b y y bj y

j

ì üï ïï ïï ï- - +ï ïï ï= -í ýï ïï ï-ï ïï ïï ïî þ

(68)

sin( )cos( )

sin1

y bd

d

j b y y bj y

j

ì üï ïï ïï ï- - +ï ïï ï= -í ýï ïï ï-ï ïï ïï ïî þ

(69)

KRUŽNI PODIZAČ S TRANSLATORNIM GIBANJEM BEZ EKSCENTRICITETA.

O x

y

k

R0

P

P's( )

rk

P0

Slika 68. Centrični kružni podizač s translatornim gibanjem

Iz geometrijskih odnosa na slici (Slika 68)

( )o kr R r s j= + + (70)

a jednadžbe profila grebena glase:

2

2

( )cos sin

cos( )

k

dsr

dx r r

dsr

d

jj jjjjj

+=

é ùê ú+ê úë û

(71)

2

2

( )sin cos

sin( )

k

dsr

dy r r

dsr

d

jj jjjjj

-=

é ùê ú+ê úë û

(72)

KRUŽNI PODIZAČ S TRANSLATORNIM GIBANJEM S EKSCENTRICITETOM


e

rk x

y

P'

O

R0

k

s( )

e A

P0

P

Slika 69. Ekscentrični kružni podizač s translatornim gibanjem

Iz geometrije zadatka:

( )2 2, , ( ) ( )o k o kOP R r OA e AP AP s R r e sj j¢ ¢= + = = + = + - + (73)

Uz oznaku:

( )2 2 ( )o kr R r e s j= + - + (74)

jednadžbe profila grebena glase:

2

2

( )cos sin

cos sin( )

k

dsr e

dx r e r

dsr e

d

jj jj

j jjj

é ùê ú+ +ê úë û= + é ùê ú+ +ê úë û

(75)

2

2

( )sin cos

sin cos( )

k

dsr e

dy r e r

dsr e

d

jj jj

j jjj

é ùê ú+ +ê úë û= - é ùê ú+ +ê úë û

(76)

KRUŽNI PODIZAČ S OSCILIRAJUĆIM GIBANJEM POMICALJKE

54

Slika 70. Podizač kružnog oblika s oscilirajućim gibanjem

Iz geometrije zadatka:

2 2 2( )

arccos2

o kl b R r

lbb

+ + += (77)

( )j y bJ= - + (78)

Iz ovih jednadžbi slijedi:

2

2 2

cos 1 cos

cos cos

1

k

db l

dx b l r

db l

d

yjj

jyj

æ ö÷ç- - J÷ç ÷ç ÷è ø= - J

æ ö÷ç+ - ÷ç ÷ç ÷è ø

(79)

2

2 2

sin 1 sin

sin sin

1

k

db l

dy b l r

db l

d

yjj

jyj

æ ö÷ç- - J÷ç ÷ç ÷è ø= - J

æ ö÷ç+ - ÷ç ÷ç ÷è ø

(80)

PRIMJER: Određivanje oblika grebena krivuljnog mehanizma kod kojeg se podizanje pomicaljke vrši po

dvostruko‐harmonijskoj jednadžbi gibanja na visinu h=50 mm za vrijeme dok se greben zakrene za kut =. Po jednakom se zakonu vrši spuštanje pomicaljke. Polumjer temeljnog kruga grebena je Ro=50 mm.

Sintezu provesti analitičkom metodom određivanjem jednadžbe anvelope za dva oblika pomicaljke:

a) tanjurasta pomicaljka

b) pomicaljka s kotačićem polumjera r=10 mm.


0 1 2 3 4 5 6 7-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

kut zakreta grebena

DVOSTRUKO HARMONIJSKO GIBANJE

pomak

brzina

ubrzanje

Slika 71. Dijagrami pomaka, brzina i ubrzanja pomicaljke u ovisnost o kutu zakreta grebena

Slika 72. Analitički određeni oblici grebena za dvostruko‐harmonijsko podizanje i spuštanje i za dva različita oblika pomicaljke

ODREĐIVANJE OSNOVNIH DIMENZIJA KRIVULJNIH MEHANIZAMA

Kod sinteze krivuljnih mehanizama najprije je odreiti osnovne dimenzije mehanizma (minimalni polumjer

grebena, duljina oscilirajućeg člana i sl.), a tek se nakon toga određuje profil grebena. Pri tome se za

ostvarenje jednakog gibanja pomicaljke mogu odabrati različiti polumjeri temeljnog kruga grebena. Vrlo su

česti konstrukcioni zahtjevi koji teže k minimalizaciji dimenzija grebena, međutim postoje i ograničavajući

faktori, među kojima je najvažniji kut pritiska (kut između smjera djelovanja kontaktne sile između grebena i

pomicaljke i smjera gibanja pomicaljke), koji se povećava sa smanjenjem polumjera temeljnog kruga.

Utjecaj kuta pritiska na silu podizanja pomicaljke. Radijalni greben s pomicaljkom koja se giba translatorno

prikazan je na slici. Točka O je središte rotacije grebena, a osnovne dimenzije podizača označene su sa b, c i

d. Sila kojom greben djeluje na podizač je u smjeru normale na krivulju grebena pod kutem pritiska u odnosu na smjer gibanja podizača.

56

Slika 73. Sile kod krivuljnog mehanizma

Iz jednadžbi ravnoteže sila na podizač, uz zanemarenje promjera podizača, može se jednostavno izračunati

sila podizanja nF (uz pretpostavku da je promjer podizača zanemarivo mali):

( )

2cos sin sign

on

F c y myF

c by

b

d

a m a

+ + +=

æ ö+ ÷ç- ÷ç ÷çè ø

(81)

Iz rezultata je očito da sila podizanja nF ¥ u graničnom slučaju kada izraz u nazivniku jednadžbe za silu

pritiska teži k nuli, tj.

2

1 tg sign 0c b

yb

m aæ ö+ ÷ç- ÷ç ÷çè ø (82)

ili

ako ctgsign (2 )

n k

bF ar

y c ba a

m¥ =

+ (83)

Ovaj kritični kut pritiska k, kod kojeg je potrebna beskonačna sila za podizanje pomicaljke, bit će tim veći što

je manji koeficjent trenja te što je dulja vodilica podizača c i kraća slobodna duljina podizača b. Za miran rad

brzohodnih krivuljnih mehanizama prihvatljiva je maksimalna vrijednost kuta pritiska p=30o. Kod

sporohodnih krivuljnih mehanizama s dobro konstruiranim vođenjem pomicaljke mogu se odabrati i veći

kutevi pritiska, dok se kod lošijih izvedbi vođenja pomicaljke, kod kojih između pomicaljke i vodilice postoji

veća zračnost, moraju odabrati manji dozvoljeni kutevi pritiska.

OVISNOST POLUMJERA TEMELJNE KRUŽNICE O KUTU PRITISKA


P

Fn

n

t

O

R0

e

Y0

y( ) y( )

y

dyd

dyd

dyd

Slika 74. Određivanje kuta pritiska kod krivuljnog mehanizma

Iz geometrijskih odnosa veličina prikazanih na slici bit će

2 2o oY R e= - (84)

2 2

tgo

dye

d

y R e

ja-

=+ -

. (85)

Iz izraza za kut pritiska vidljivo je da on ovisi o načinu gibanja pomicaljke y=y(), ekscentricitetu e i o polumjeru temeljne kružnice R0. Kod zadanog načina gibanja pomicaljke y=y() možemo na veličinu

maksimalnog kuta utjecati izborom odgovarajućih veličina polumjera temeljnog kruga R0 i ekscentriciteta

e. Evidentno je da će se kut pritiska smanjivati izborom većeg polumjera temeljnog kruga, pri čemu će

najmanji dozvoljeni polumjer temeljnog kruga biti onaj za koji će maksimalna veličina kuta pritiska biti manja

od kritične veličine tog kuta ( max ka a< ). Kod spuštanja pomicaljke često se dozvoljava veći kut pritiska nego

kod podizanja. Grafička konstrukcija za određivanje minimalnog polumjera temeljnog kruga prikazana je na

slici (Slika 75).

58

max maxp p s si

e

dyd

dyd

y

R0

spuštanjepodizanje

PS

područje u kojem jezadovoljen uvjet

max maxp p s si

Slika 75. Grafičko određivanje najmanjeg polumjera temeljnog kruga

Primjer: Odrediti najmanji polomjer temeljne kružnice ako se točkastt podizač giba u skladu sa slijedećim

jednadžbama:

1

1

1 2

2 1 1 2 1 2 3

3

1 cos 02

( )

1 cos ( )2

ht

y h

h

pj b

b

j b j b

pj b b b b j b b b

b

ì é ùï æ öï ÷çê ú÷ï - £ £ç ÷ï ê úç ÷çï è øê úë ûïïï= £ £íïï é ùï æ öï ÷çê úï ÷+ - - + £ £ + +ç ÷ï ê úç ÷çï è øê úë ûïî

(86)

gdje je h=40 mm, 1=60o, 2=180o , a najveći kut pritiska kod podizanja i spuštanja podizača je max=30

o.

Na temelju zadanih jednadžbi gibanja nacrtani je dijagram položaja podizača (Slika 76).

0 90 180 270 3600

20

40

y

mm

mm

Slika 76. Dijagram podizanja pomicaljke kao funkcija kuta zekreta grebena

Deriviranjem jednadžbi koje određuju položaj dobivamo slijedeće jednadžbe za brzine podizača:


1

1 1

1 2

2 1 1 2 1 2 3

3 3

sin 02

0

sin ( )2

h

dy

dh

p pj j b

b b

b j bj

p pj b b b b j b b b

b b

ì æ öï ÷ï ç ÷ £ £ï ç ÷ï ç ÷çè øïïïï= £ £íïï æ öïï ÷ç ÷- - + £ £ + +ï ç ÷ï ç ÷çè øïïî

(87)

dy

d

0 90 180 270 360 0

20

40

-20

60

dy

d mm

Slika 77. Dijagram brzine pomicaljke kao funkcija kuta zekreta grebena

Ponovnim deriviranjem određeno je i ubrzanje.

2

1

1 12

1 22

2

2 1 1 2 1 2 3

3 3

cos 02

0

cos ( )2

h

d y

dh

p pj j b

b b

b j bj

p pj b b b b j b b b

b b

ìï æ ö æ öï ÷ ÷ç çï ÷ ÷ £ £ç çï ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çï è ø è øïïï= £ £íïïï æ ö æ öï ÷ ÷ç çï ÷ ÷- - + £ £ + +ç çï ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çï è ø è øïî

(88)

2

2

d y

d

0 90 180 270 360

-200

0

200

2

2

d y

d mm

Slika 78. Dijagram ubrzanja pomicaljke kao funkcija kuta zekreta grebena

Na temelju izračunatih veličina za brzinu podizača konstruiran je dijagram funkcije:

( )dy

f ydj

=

60

dy

d

h

dy

d

y

PP

0 10

e

R0

0 10

Slika 79. Grafičko određivanje najmanjeg polumjera temeljne kružnice

y0 10

e

Y0R0

Slika 80. Dimenzije najmanje temeljne kružnice i položaj pomicaljke


y

O

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6 7

8

9

10

11

0 12

e

Y0R0

Slika 81. Konstrukcija grebena sa najmanjim polumjerom temeljne kružnice i točkastim podizačem

O

1

2

3

4

43

21

h

h

h

h

Slika 82. Usporedba grebena s jednakim zakonom podizanja i različitim polumjerima temeljne kružnice

EPICIKLIČKI ZUPČANIČKI PRIJENOSNICI

62

ZUPČANIČKI PRIJENOSNICI S NEPOMIČNIM OSOVINAMA

Kod zupčaničkih prijenosnika kod kojih su diobene krivulje kružnice omjer ulazne i izlazne kutne brzine je

konstantan.

D 1D 2

z2

z1

m, t

t

t1

2

Slika 83. Par čelnih zupčanika u zahvatu koji rotiraju oko nepomičnih osi

Općenito je taj prijenosni omjer za jedan par zupčanika određen izrazom:

1 2 212

2 1 1

( 1) ( 1)k kr zi

r z

ww

= = - = - (89)

gdje je k=1 ukoliko je ozubljenje oba zupčanika vanjsko, a k=0 za unutarnje ozubljenje.

1

2

121

12

2

Slika 84. Zupčanički par zupčanika s vanjskim ozubljenjem i par kod kojeg je jedan zupčanik s vanjskim, a drugi s unutrašnjim

ozubljenjem

Kod višestrukog prijenosnika (Slika 85) bit će:

31 4 414

4 1 1

( 1)r z

ir z

ww

= = - =- (90)


1 2 3 4

1 2 3 4

Slika 85. Jednostavni zupčanički prijenosnik

Kod kaskadnih zupčastih prijenosnika (Slika 86) bit će

116 12 34 56

6

i i i iww

= = (91)

gdje su

212

1

zi

z=- , 4

34

3

zi

z=- , 6

56

5

zi

z= , (92)

te je ukupni prijenosni omjer

1 2 4 616

6 1 3 5

z z zi

z z z

ww

= = . (93)

1

23

4

56

1

6

Slika 86. Složeni kaskadni zupčanički prijenosnik

64

1

2 2´

3 2 2´13

2 2´

1

3

Slika 87. Zupčanički prijenosnici s nepomičnim osovinama

Prijenosni omjeri zupčaničkih prijenosnika prikazanih na slici (Slika 87) iznose:

Prijenosnik a)

1 212

2 1

zi

z

ww

= =- (94)

2 32'3

3 2'

zi

z

ww

= =- (95)

1 2 313 12 2'3

3 1 2'

z zi i i

z z

ww

= = ⋅ = (96)

Prijenosnik b)

1 212

2 1

;z

iz

ww

= = (97)

2 32'3

3 2'

zi

z

ww

= = (98)

1 2 313 12 2'3

3 1 2'

z zi i i

z z

ww

= = ⋅ = (99)

Prijenosnik c)

1 212

2 1

zi

z

ww

= =- (100)

2 32'3

3 2'

zi

z

ww

= = (101)

1 2 313 12 2'3

3 1 2'

z zi i i

z z

ww

= = ⋅ =- (102)

PLANETARNI ZUPČANIČKI PRIJENOSNICI


Najjednostavniji epiciklički ili planetarni zupčanički prijenosnik sastoji se iz centralnog zupčanika 1 (sunčani

zupčanik), planetarnog zupčanika 2 i vodilice v koja povezuje osovine zupčanika. Kutne brzine zupčanika su

1w i 2w dok kutnu brzinu vodilice označavamo s vw . Ovaj prijenosnik ima dva stupnja slobode gibanja. Kod

mehanizma na slici 4 ukupni broj članova mehanizma je n =4, broj kinematičkih veza s jednim stupnjem

slobode gibanja 1 3p = , dok je broj viših kinematičkih veza s dva stupnja slobode gibanja 2 1p = , te je

prema tome broj stupnjeva slobode gibanja

1 23( 1) 2 2w n p p= - - - =

Općenito epicikličke prijenosnike s više od jednog stupnja slobode nazivamo diferencijalnim prijenosnicima

ili kraće diferencijalima, dok epicikličke prijenosnike s jednim stupnjem slobode gibanja nazivamo

planetarnim prijenosnicima.

WILLISOV PRINCIP

Willisov princip pojednostavljuje postavljanje jednadžbi za određivanje prijenosnih omjera planetarnih

zupčaničkih prijenosnika, dakle takvih prijenosnika kod kojih su osi rotacije pomične. Ovaj je princip također

poznat i kao princip relativnih kutnih brzina. Njegova primjena kod ravninskih mehanizama vrlo je

jednostavna, jer su kutne brzine tijela kod ravninskog gibanja okomite na referentnu ravninu u kojoj

promatramo gibanje te ih možemo možemo opisati algebarski. Kod prostornih zupčaničkih prijenosnika

potrebno je kutne brzine promatrati kao vektore što donekle otežava postavljanje jednadžbi.

1

1

2 2

v v

p

p

a b

2

2

v

v

11

v

Slika 88. Elementarni epiciklički zupčanički par s prikazanim apsolutnim kutnim brzinama (a) i relativnim kutnim brzinama (b) u

odnosu na podlogu

Elementarni epiciklički zupčanički par (Slika 88) sastoji se iz centralnog zupčanika (sunčanog zupčanika) 1,

koji rotira oko nepomične osi kutnom brzinom 1, satelitskog zupčanika 2 i vodilice v. Vodilica rotira oko

nepomične osi zupčanika 1 kutnom krzinom v. Zupčanik 2, čiji su zubi u zahvatu sa zupčanikom 1, ima

apsolutnu kutnu brzinu 2, ali osovina tog zupčanika rotira oko osi zupčanika 1 kutnom brzinom koju

određuje vodilica (v).

Ovaj se mehanizam sastoji od n=4 tijela (podloga, dva zupčanika i vodilica) tako da je broj pokretnih tijela 3,

a kinematički su ova tijela povezana s 3 rotaciona kinematička para s jednim stupnjem slobode (p1=3)

(rotacija zupčanika 1 u odnosu na nepomičnu podlogu, rotacija vodilice u odnosu na podlogu i rotacija

66

zupčanika 2 u odnosu na vodilicu) i jednog kinematičkog para s dva stupnja slobode gibanja (p2=1), tako da

je broj stupnjeva slobode gibanja:

1 23( 1) 2w n p p= - - - ,

što za ovaj planetarni mehanizam daje w=2 stupnja slobode gibanja.

Odrediti prijenosni omjer, dakle omjer kutnih brzina zupčanika i vodilice zahtjeva analizu složenog gibanja

zupčanika 2. Willis je međutim predložio pojednostavljeno postavljanje jednadžbi za određivanje prijenosnog

omjera. Prema Willisu gibanje se promatra tako da se kutnim brzinama svih tijela doda kutna brzina ‐v.

Time se ne mijenja relativno gibanje zupčanika, ali na taj se način zapravo promatramo relativno gibanje

zupčanika u odnosu na vodilicu. Sada je, naime, kutna brzina vodilice jednaka 0v vw w- = . Kutne brzine

zupčanika 1 i 2 su sada 1 vw w- odnosno 2 vw w- (Slika 89), a omjer tih kutnih brzina možemo postaviti na

isti način kako ih postavljamo za zupčanike s nepomičnim osovinama:

1

2

v

1 v-

2 v-

Slika 89. Relativne kutne brzine zupčanika u odnosu na vodilicu.

1 2

2 1

v

v

z

z

w ww w

-=-

-, (103)

gdje negativni predznak dolazi zbog toga što su oba zupčanika s vanjskim ozubljenjem, pa su im kutne brzine

suprotnog smjera. Kod zupčanika kod kojih je jedan s unutrašnjim ozubljenjem kutne će brzine imati isti

smjer (Slika 90) te je predznak pozitivan. Ova jednadžba izražava Willisov princip relativnih kutnih brzina.

1 v

2 v

1 v

2 v

v

1

2

Slika 90. Zupčanički par kod kojih je zupčanik 2 s unutrašnjim ozubljenjem


Slika 91. Epiciklički zupčanički prijenosnik. Satelitskih zupčanika može biti više, ali oni ne mijenjaju kinematiku prijenosnika

2 2´

1

3

v v

Slika 92. Epiciklički zupčanički prijenosnik s dva stupnja slobode gibanja (diferencijalni prijenosnik)

Kod složenijih epicikličkih prijenosnika (Slika 92) bit će potrebno postaviti onoliko izraza za prijenosne

omjere koliko ima zupčanika u zahvatu. Tako će za ovaj prijenosnik biti

2 1

1 2

v

v

z

z

w ww w

-=-

- (104)

3 2'

2 3

v

v

z

z

w ww w

-=

- (105)

Množenje jednadžbi (104) i (105) daje:

( ) 3 1 2'31

1 2 3

v v

v

z zi

z z

w ww w

-= =-

- (106)

Ovaj prijenosnik ima dva stupnja slobode gibanja. Da bi dobili planetarni zupčanički prijenosnik potrebno je

jedan od zupčanika (1 ili 3) učiniti nepomičnim. Na slici (Slika 93) prikazan je planetarni prijenosnik kod kojeg

je nepomičan zupčanik 3. Prijenosni omjer takvog planetarnog prijenosnika možemo izračunati pomoću

jednadžbe (4) uz 3 0w = .

68

2 2´

1

3

v v

Slika 93. Jednostavni planetarni prijenosnik

( ) 1 2'31

1 2 3

0v v

v

z zi

z z

ww w-

= =--

(107)

Sređivanjem dobivamo

2 31

1 2'

1v

z z

z zw w

æ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø, (108)

dok je prijenosni omjer takvog planetarnog prijenosnika

(3) ( ) 1 2 31 1 13

1 2'

1 1vv v

v

z zi i i

z z

ww

= = - = = + (109)

2

1

3

v v

4

1

2

3

4

v

Slika 94. Planetarni prijenosnik s dva planetna zupčanika

Za planetarni prijenosnik prema slici (Slika 94) možemo postaviti slijedeće jednadžbe:

2 1

1 2

v

v

z

z

w ww w

-=-

- (110)

3 2

2 3

v

v

z

z

w ww w

-=-

- (111)

4 3

3 4

v

v

z

z

w ww w

-=+

- (112)


4 0w = (113)

što nakon sređivanja daje:

1 11

4

1v

v

zi

z

ww

= = - (114)

Primjer1. Davidov planetarni prijenosnik

1

2

3v

2'

Slika 95. Shematski prikaz Davidova planetarnog prijenosnika

Kod Davidovog planetarnog prijenosnika potrebno je izračunati prijenosni omjer između vodilice v i

zupčanika 1, v1

1

viww

= , ako su poznati brojevi zubi zupčanika: z1=100, z2=99, z2'=100, z3=101.

Prema Willisovom principu bit će

1 2

2 1

v

v

z

z

w ww w

-=-

- (115)

2 3

3 2'

v

v

z

z

w ww w

-=-

- (116)

pri čemu je zupčanik 3 nepomičan te je:

3 0w = (117)

Množenje jednadžbi (115) i (116) daje:

1 2 3

1 2'

v

v

z z

z z

w ww-

=-

,

a nakon sređivanja može se jednostavno izvesti traženi prijenosni omjer:

12 31

1 2'

1

1

vvi z z

z z

ww

= =-

(118)

Uvrštavanje zadanih brojeva zubi zupčanika daje:

v1 10000i = .

70

Konični zupčanički par s nepomičnim osovinama

1

2

21

r2

r1

Slika 96. Konični zupčanici s prikazanim trenutnim osima rotacije

1

2

1

1

2

2

21

21

121

2

Slika 97. Konični zupčanički par s prikazanim kutnim brzinama

Konični zupčanički par s pomičnim osovinama


21

21

2p

2

1

p

1 1

p

p2p

1

2

21

2 p2p= -

-

Slika 98. Konični zupčanički par s pomičnim osovinama

DIFERENCIJAL AUTOMOBILA

M

12

D

L

3

1

ML D

M

Slika 99. Diferencijal pogona automobila

2D

2L

LD

21

2

1

D 1-

D- L

L 1-

21

2

1

-=

D- L

Slika 100. Plan kutnih brzina diferencijala s prikazom apsolutnih kutnih brzina i relativnih kutnih brzina u odnosu na vodilicu

satelitskih zupčanika

72

2D

2L

LD

2D

21

21

2

22L1

1 LD

D- L D

- L

Slika 101. Plan kutnih brzina diferencijala za dvije različite razlike kutnih brzina desnog i lijevog kotača

SINTEZA MEHANIZAMA

GRASHOFFOVO PRAVILO

Zglobni četverokut se sastoji od četiri člana: pogonskog ili ulaznog člana OAA duljine r1, sprežnog AB duljine

r2, radnog ili izlaznog člana OBB duljine r3 i postolja OAOB duljine r4. Različiti načini gibanja članova zglobnog

četverokuta ovise o omjeru duljina njegovih članova. Postoje tri osnovna načina gibanja članova zglobnog

četverokuta.

A

B

OA OB

A´

A˝

B´

B˝

r1

r4

r2

r3

Slika 102. Karakteristični položaji zglobnog četverokuta

Zglobni četverokut s jednim rotirajućim i jednim oscilirajućim članom

Zglobni četverokut kod kojeg su omjeri duljina članova odabrani tako da je pogonskom članu omogućena

potpuna rotacija za 360o dok se radni član može gibati između dva krajnja položaja (mrtve točke), tako da je

njegov kut zakretanja ograničen ( 3 30 j j£ £D ) prikazan je na slici (Slika 103).


A

B

OA OB

A´

A˝

B´

B˝

20

T´

T˝

r1

r4

r2

r3

Slika 103. Zglobni četverokut s jednim rotirajućim i jednim oscilirajućim članom

Zglobni četverokut s dva oscilirajuća člana

Drugačijim odabirom dimenzija članova zglobnog četverokuta može se postići gibanje koje je ilustrirano na

primjeru zglobnog četverokuta (Slika 104). Kod ovog je mehanizma gibanje pogonskog i radnog člana

ograničeno ( 1 10 j j£ £D i 3 30 j j£ £D ), tako da se oba člana mogu gibati oscilatorno.

r2

r3

r4

r1

AB

OBOA

0

Slika 104. Zglobni četverokut s dva oscilirajuća člana

Zglobni četverokut s dva rotirajuća člana

A

B

2

20

OA OB

r1

r2

r3

r4 A0

B0

Slika 105. Zglobni četverokut s dva rotirajuća člana

74

Zglobni četverokut kod kojeg je omjer duljina članova takav da omogućuje potpunu rotaciju pogonskog i

radnog člana prikazan je na slici (Slika 105).

Da bi se odredio način gibanja članova zglobnog četverokuta koristi se Grashoffovo pravilo. Njega možemo

izraziti na slijedeći način:

1. Zglobni četverokut kod kojeg je zbroj duljina najkraćeg i najduljeg člana manji ili jednak zbroju

duljina preostala dva člana pripada prvom razredu. Za zglobne četverokute koji pripadaju ovoj

razredu način gibanja može se odrediti na slijedeći način:

Ako je najkraći član mehanizma pogonski član tada će mehanizam imati jedan rotirajući i

jedan oscilirajući član (Slika 103).

Ako je najkraći član mehanizma nepomični član mehanizam će imati dva rotirajuća člana

(Slika 105).

U svim ostalim slučajevima mehanizama prve klase dobije se mehanizam s dva oscilirajuća

člana.

2. Zglobni četverokut pripada drugom razredu ako je zbroj duljina najkraćeg i najduljeg člana veći od

zbroja duljina preostala dva člana. Svi mehanizmi drugog razreda imaju dva oscilirajuća člana.

Dokaz Grashoffova pravila može se jednostavno izvesti promotrimo li mehanizam u njegovim

karakterističnim položajima. Slika 106 prikazuje zglobni četverokut kod kojeg su dimenzije odabrane tako da

pogonski član može izvesti punu rotaciju za 360o.

d

d

d

d

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

a) b)

c) d)

Slika 106. Karakteristični položaji zglobnog četverokuta

Primijenimo li nejednadžbu trokuta za položaje mehanizma prikazane na slikama (Slika 106 a do c) bit će:


a d b c+ < + (119)

a b c d+ < + (120)

d a b c- < + (121)

c b a d< - + (122)

Jednadžba (122) može se preurediti tako da je:

a c b d+ < + (123)

Zbrojimo li nejednadžbe (119) i (123) bit će:

2 2a c d b c d+ + < + + (124)

odnosno nakon sređivanja:

a b< (125)

Zbrajanje nejednadžbi (119) i (120) daje:

a c< (126)

dok zbrajanje nejednadžbi (120) i (123) daje novu nejednadžbu:

a d< (127)

Iz nejednadžbi (119), (120) i (123) može se zaključiti da zbroj duljine pogonskog člana i bilo kojeg drugog

ćlana mora biti manji od zbroja duljina preostala dva člana dok se iz nejednadžbi (125), (126) i (127) može se

zaključiti da pogonski član mora biti najkraći član mehanizma, ako želimo postići da izvodi punu rotaciju.

Učvrstimo li najkraći član a dobit će se novi mehanizam kod kojeg članovi b i d mogu potpuno rotirati, dok

inverzija zglobnog četverokuta kod kojeg je nepomičan član c daje mehanizam s dva oscilirajuća člana.

Kod primjene zglobnog četverokuta najviše se primijenjuje inverzija kod kojeg pogonski član izvodi potpunu

rotaciju dok radni član oscilira.

A0

A B

B0

C

Slika 107. Primjer zglobnog četverokuta s rotirajućim pogonskim članom. Prikazana je i putanja točke C sprežnog člana

76

A0

A

B

B0

Slika 108. Zglobni četverokut s dva rotirajuća člana

ODREĐIVANJE GRANIČNIH I MRTVIH POLOŽAJA ZGLOBNOG ČETVEROKUTA

Kod sinteze zglobnog četverokuta potrebno je provjeriti granične (krajnje) i mrtve položaje mehanizma.

A

B

1

2 3

4

O1 O2

r1

r2

r3

r4

Slika 109. Zglobni četverokut s rotirajućim pogonskim članom i oscilirajućim radnim članom

B˝

B´

A´

A˝

1

12

2

3

3

4 4

O1 O1O2 O2

r +r1

2

r3

r4

r -r2

1

r3

r4

3´ 3˝

Slika 110. Krajnji položaji radnog člana zglobnog četverokuta

Za zadani zglobni četverokut krajnji položaji su definirani kao oni položaji mehanizma u kojima radni član

dolazi do krajnjeg položaja (Slika 111) odnosno položaji kod kojih je kut koji zatvara pogonski i sprežni član

jednak 180o ili 360o. Prema tome u trenutku kada se mehanizam nalazi u graničnom položaju nepomični

zglob O1 , te točke A i B sprežnog člana leže na pravcu. Zglobni četverokut ima dva granična položaja.


Kut za koji se može zakretati radni član zglobnog četverokuta određen je sa:

3 3 3j j j¢ ¢¢D = - (128)

B´

A´

A˝

1

12

2

3

34 4

O1 O1O2 O2

r +r2

3

r4

r -r23

r4

r1r1 B˝1´ 1˝

Slika 111. Mrtvi položaji radnog člana zglobnog četverokuta

Mrtvi položaji radnog člana zglobnog četverokuta mogu se definirati kao položaji kod kojih je kut između

sprežnog člana i radnog člana jednak 180o ili 360o. Prema tome, u trenutku kada se mehanizam nalazi u

mrtvom položaju bit će točke O2, A i B na pravcu (Slika 111).

Grafičko i analitičko određivanje krajnjih i mrtvih položaja svodi se na rješavanje trokuta (vidi Slika 110 i Slika

111).

KRAJNJI POLOŽAJI KLIPNO‐KOLJENČASTOG MEHANIZMA

Slična analiza koja je provedena za zglobni četverokut može se provesti kod analize krajnjih i mrtvih položaja

klipno‐koljenčastog mehanizma. Ako je pogonski član OA (kod mehanizma klipne pumpe ili kompresora)

tada možemo govoriti o krajnjim položajima radnog člana (klizača B), kako je to prikazano na slici (Slika 112).

Kod ovog mehanizma krajnji se položaji klipa mogu definirati kao položaji kod kojih je kut između koljena i

ojnice jednak 180o ili 360o, kao što je to prikazano na slici. Grafičko i analitičko određivanje krajnjih položaja

se svodi na rješavanje pravokutnog trokuta, a ukupni hod klipa se može odrediti prema jednadžbi:

max mins s sD = - (129)

gdje je:

2 2max 1 2( )s r r e= + - (130)

2 2min 2 1( )s r r e= - - (131)

U posebnom slučaju kada se radi o centričnom klipno‐koljenčastom mehanizmu (e=0) bit će:

12s rD = (132)

78

O

12

B

B˝

B´

A

A˝

A´e

r -r21

r +r2 1r1

r2

smin

smax

Slika 112. Krajnji položaji klipno‐koljenčastog mehanizma

KUT PRIJENOSA KOD ZGLOBNOG ČETVEROKUTA

Kut prijenosa kod zglobnog četverokuta može se definirati kao kut između vektora brzine točke B radnog

člana ( Bv) i relativne brzine točke B oko točke A sprežnog člana ( BAv

). Jednostavnom analizom kuteva s

međusobno okomitim kracima može se pokazati da je to ujedno kut koji zatvara sprežni i radni član, a na slici

(Slika 113) označen je sa .

A

B

OA OB

A´

A˝

B´

B˝

r1

r2

r3

r4

min

A

B

OA OB

r1

r2

r3

r4

vBA

vB

Slika 113. Kut prijenosa kod zglobnog čeverokuta

A

OA OB

r1

r2

r3

r4

r1

Slika 114. Uz određivanje ekstremnih veličina kuta prijenosa

Gibanje zglobnog četverokuta znatno ovisi o kutu prijenosa jer će sila koja se sa sprežnog člana prenosi na

ojnicu djelovati približno pod tim kutem. Zbog toga je poželjno da ovaj kut bude približno jednak 90o za

vrijeme gibanja zglobnog četverokuta. Ovaj kut ovisi međutim o položaju mehanizma i tokom gibanja se

mijenja.


Radi određivanja ekstremnih vrijednosti kuta prijenosa kod zglobnog četverokuta potrebno je analitički

odrediti funkciju promjene kuta prijenosa u ovisnosti o položaju pogonskog člana. To se može

najjednostavnije izvesti ako se u četverokut uvede pomoćna duljina r (Slika 114). Iz kosinusnog poučka

primijenjenog na trokute OAAOB i ABOB slijedi:

2 2 41 4 1 4 12 cosr r r r r j= + - (133)

2 2 22 3 2 32 cosr r r r r g= + - (134)

Izjednačenje ovih izraza daje:

2 4 2 21 4 1 4 1 2 3 2 32 cos 2 cosr r r r r r r rj g+ - = + - (135)

a nakon deriviranja po varijabli 2 slijedi

1 4 2

2 2 3

sin

sin

d r r

d r r

g jj g

= (136)

Derivacija će biti jednaka nuli uz uvjet:

2sin 0j = (137)

a to može biti ispunjeno za 2 0 kj p= + (2=0o odnosno 2=180

o).

OA OB

B

r1

r2

r3

r4

min

A

B

OA OB

r1

r2 r3

r4

Slika 115. Položaji mehanizma u kojima kut prijenosa poprima ekstremne vrijednosti

KUT PRIJENOSA KOD KLIPNO‐KOLJENČASTOG MEHANIZMA

Kao i kod zglobnog četverokuta kut prijenosa se kod klipno‐koljenčastog mehanizma može definirati kao kut

između brzine točke B i relativne brzine točke B oko točke A sprežnog člana. To je ujedno kut koji zatvara

okomica na pravac gibanja točke B i sprežnog člana. Na slici (Slika 116) ovaj je kut označen s .

O

12

B

A

e

r1

r2

vBA

vB

Slika 116. Definicija kuta prijenosa kod klipno‐koljenčastog mehanizma

80

Tokom gibanja mehanizma ovaj se kut mijenja. Da bismo odredili ekstremne vrijednosti kuta prijenosa

potrebno je odrediti funkciju promjene tog kuta u ovisnosti o položaju mehanizma (kut 1).

O

12

B

A

e

r1

r2

yA

90 -o

Slika 117. Uz izvod jednadžbe za kut prijenosa kod klipno‐koljenčastog mehanizma

Iz prikaza na slci (Slika 117) ordinata točke A bit će:

1 1sinAy r j= (138)

odnosno:

2 sin(90 )oAy r eg= - - (139)

Izjednačenje ovih izraza daje:

1 1 2sin cosr r ej g= - (140)

Deriviranjem po 1 dobivamo:

1 1 2

1

cos sind

r rd

gj g

j=- (141)

odnosno:

1 1

1 2

cos

sin

d r

d r

g jj g

=- (142)

Za ekstremne vrijednosti kuta prijenosa mora biti:

1

0d

d

gj

= (143)

Rješenje je očito:

1 90oj = i 1 270oj = ,

a ekstremne veličine kuta prijenosa bit će:

1min

2

cose r

rg

+= (144)

1max

2

cose r

rg

-= (145)


O O

1

1

2

2

B B

A

A

e e

r1

r1

r2

r2

min

Slika 118. Najmanji i najveći kut prijenosa kod klipno‐koljenčastog mehanizma

Za pravilan rad mehanizma poželjno je da je kut približno jednak 90o, jer je u slučaju velikog odstupanja prijenos sila sa sprežnog člana na klizač nepovoljan.

U položaju klipno koljenčastog mehanizma kod kojeg je kut prijenosa 90o mehanizam se nalazi u mrtvoj točki,

te je prijenos gibanja s ojnice na klizač nemoguć.

O

12

B

A

e

r1

r2

Slika 119. Mrtvi položaj klipno‐koljenčastog mehanizma

ODREĐIVANJE DIMENZIJA ZGLOBNOG ČETVEROKUTA SA ZADANIM OMJEROM

TRAJANJA RADNOG I POVRATNOG HODA

Uz pretpostavku da je kutna brzina pogonskog člana 1 konstantna bit će vremena potrebna da radni član

zakrene iz vanjskog krajnjeg položaja u unutarnji proporcionalna odgovarajućim kutevima zakreta pogonskog

člana (Slika 120).

radni hodpovratni hod

A

B

OA OB

A´

A˝

B´

B˝

20

T´

T˝

r1 r4

r2

r3

Slika 120. Radni i povratni hod zglobnog četverokuta

82

Na slici je vidljivo da je kut koji treba prevaliti pogonski član iz položaja A´ u položaj A˝ jednak , dok je kut u povratnom hodu od položaja A˝ do položaja A´ jednak . Omjer odgovarajućih vremena potrebnih

da se pogonski zakrene za ove kuteve bit će:

p a

tp a+

=-

(146)

Ovaj vremenski omjer pokazuje kako se brzo obavlja povratni hod. Ako je 1t> radi se o brzo povratnom

mehanizmu, dok je za 1t< to mehanizam s kraćim radnim hodom od povratnog.

Određivanje dimenzija zglobnog četverokuta sa zadanim jednim krajnjim položajem i vremenskim omjerom

radnog i povratnog hoda vrlo je jednostavno i objašnjeno je na slijedećem primjeru.

Primjer: Za zglobni četverokut zadan je krajnji položaj radnog člana (Slika 121) i vremenski omjer radnog i

povratnog hoda =1.5. Potrebno je odrediti ostale dimenzije zglobnog četverokuta.

B˝

OA

OB

r3

40 mm

600

50 m

m

Slika 121. Skica uz primjer

Iz zadanog vremenskog omjera radnog i povratnog hoda p a

tp a+

=-

može se jednostavno izračunati da je

kut jednak 1

1

ta p

t-

=+

, što za zadane podatke daje 1.5 1

361.5 1 5

opa p

-= = =

+

2r1

B˝

B´

A˝

A´

OA

OB

=36 0

r3r2

r2

r1

r1

r3

40 mm

600

Slika 122. Rješenje primjera sinteze zglobnog četverokuta sa zadanim omjerom radnog i povratnog hoda i krajnjim položajem radnog

člana


PREMJEŠTANJE TIJELA IZ JEDNOG U DRUGI POLOŽAJ

A1

B1

A2

B2

P12

OA OB

sAsB

P12

A1

B1

B2

A2

57123345 kinematika i dinamika mehanizama 2009 2010 predavanja

Documents