1

平均值不等式

2 ,

( )

a b a b ab 2 2对于 , R,有 +

当且仅当 时，等号成立。

a b1. 重要不等式：

2. 基本不等式： 2( )

a bab

如果 ，那么

当且仅当 时，等号成立。

0, 0a b a b

一、回顾复习

语言表述： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .

1．定理 3

对任意的三个正数 a，b，c，有 a3＋b3＋c3≥ 3abc，

当且仅当___________时，等号成立.

2．定理 4

对任意的三个正数 a，b，c，有a＋b＋c

3≥

3abc，

当且仅当___________时，等号成立，用文字语言可叙述

为：三个正数的 ___不小于它们的 ___ ．

a＝ b＝ c

算术平均数 几何平均数a＝ b＝ c

题型一：利用平均值不等式证明不等式

.9≥))((

,,1

abccabcabcba

cba

++++

都是正数，求证：：已知例

例 某农场要用 36 m 的篱笆围成一个矩形 菜园，怎样设计才能使菜园的面积最大？

X

结论 1 ：两个正数和为定值，则积有最大值

题型二：利用平均值不等式求最值

例 某农场主想用篱笆围成一个 100 平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？

结论 2 ：两个正数积为定值，则和有最小值

X

题型二：利用平均值不等式求最值

最值定理：若 x、 y皆为正数，则（ 1）当 x+y的值是常数 S时，当且仅当 x=y时， xy

有最 大值 _______；（ 2）当 xy的值是常数 P时，当且仅当 x=y时， x+y有最 小值 _______.

注意：①各项皆为正数； ② 和为定值或积为定值； ③ 注意等号成立的条件 .

214S

2 P

一“正”二“定”三“相等”

和定积最大，积定和最小注：应用基本不等式关键是配凑和一定或积一定

1.m ， n 都是正数，且 2m+n=3 ，求mn 的最大值 .

2. 设 x ， y 为正数，且 2x+5y=20 ，求 u=lgx+lgy 的最大值 .

题型二：和定积最大

题型二：和定积最大

最大值是多少？的值最大？－取什么值时，当）已知（

最大值是多少？的值最大？－取什么值时，当）已知（

)29(,5.405

)3(,204

2 xxxx

xxxx

<<

<<

？的最小值为？此时则若 =+=> xx

xxfx12

3)(,0)1(

.3

1,3)3( 的最小值求函数若

x

xyx

？的最大值为？此时则若 xx

xxfx1

)(,0)2(

题型二：利用平均值不等式求最值