简化行阶梯形Reduced Row Echelon Form

RREF

RREF -- Reduced Row Echelon Form

简化行阶梯形

1 所有零行位于矩阵的下端；

2 非零行第一个非零元素（主元）为 1 ；

3 每个主元在前一行主元的右侧；

4 主元所在列除主元外全为零。

00000

11000

10100

20021

主元主元

主元

RREF

所有零行位于矩阵的下端

每个主元在前一行主元的右侧

主元所在列除主元外全为零

任意矩阵经过矩阵的行初等变换总可以化成简化行阶梯形

求向量的线性相关关系

应用 1

例 1

1952

4021

4440

5131

1111110

1110

1110

5131

0000

0000

1110

5131

0000

0000

1110

2201

0000

0000

1110

2201321

简化行阶梯形

213 2 212

1952

4021

4440

5131321

原理

321

321

简化行阶梯形

32112PPPs 321

321P 321

PPPP 332211

PPPP 321 321

初等行变换

332211 kkk若

332211 PkPkPkP 即

)( 332211 kkkPP

332211 kkk

213 2

212

)2(2 32121 k 常数k

213 2

212

例 2

研究向量组中向量和向量之间相互的线性表出关系 .

，，，，

，，，，，，，，

，，，，，，，，

T

TT

TT

3352

12311121

11100011

5

43

21

31110

32110

53211

21101

31110

32110

32110

21101

63000

00000

32110

21101

00000

21000

10110

00101

213

425 2

互相不能线性表出，， 421

00000

21000

10110

00101

00000

21000

10110

0010154321

00000

21000

10110

0001154231

00000

21000

10110

1010154231

00000

21000

10110

1010154231

互相不能线性表出，， 431

312

4315 2

应用 2

求向量组的极大线性无关组

例 3

2183

1052

7221

1201

1780

1450

6420

1201

232300

141400

3210

1201

0000

1100

3210

1201

0000

1100

1010

3001

0000

1100

1010

3001

.321 是一个极大线性无关组，，

3214 3

求向量组的极大线性无关组的步骤

1. 将向量按列写成一个矩阵

2. 对矩阵作初等行变换，化作 简化行阶梯形

3. 主元所在列向量即是一个极大线性无关组

原理

321

321

简化行阶梯形

32112PPPs 321

321P 321

PPPP 332211

PPPP 321 321

初等行变换

321 ，，设主元所在列为

.321

321

线性表出，，可以由且线性无关，，，显然，

.321 是一个极大线性无关组，，按定义，

PPPP 332211又

31

321

21

1 ,, PPP

.

,

321

321

线性无关，，只需证明是极大线性无关组，，要证明

0332211 xxx设

031

321

211

1 PxPxPx

03322111 ）（ xxxP

0332211 xxx

线性无关，，，由 321

0321 xxx.321 线性无关，，所以

例 4

求向量组的一个极大线性无关组，

并将其余向量由极大线性无关组

线性表出 . T

TT

TT

1462

12311121

11100011

5

43

21

，，，

，，，，，，，，

，，，，，，，，

11110

42110

63211

21101

11110

42110

42110

21101

00000

33000

42110

21101

00000

11000

20110

10101

.,, 421 是一个极大线性无关组

213

4215 2

00000

11000

20110

10101

11110

42110

63211

21101

11110

42110

63121

21011

11110

42110

42110

21011

00000

33000

42110

21011

00000

11000

42110

21101

00000

11000

20110

10101

.,, 431 是一个极大线性无关组

312

4315 2