第一节 二阶与三阶行列式
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第一节 二阶与三阶行列式. 线性代数. 扬州大学数学科学学院. 一、二阶行列式的引入. 用消元法解二元线性方程组. 方程组的解为. 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表. 定义. 即. 二阶行列式的计算. 对角线法则. 主对角线. 副对角线. 对于二元线性方程组. 若记. 系数行列式. 则二元线性方程组的解为. 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例 1. 解. 二、三阶行列式. 定义. 记. ( 6 )式称为数表( 5 )所确定的 三阶行列式. . 列标. 行标. 三阶行列式的计算. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第一节 二阶与三阶行列式第一节 二阶与三阶行列式
扬州大学数学科学学院
用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa 1
2
:1 22a ,2212221212211 abxaaxaa
:2 12a ,1222221212112 abxaaxaa
,得两式相减消去 2x
一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入
;212221121122211 baabxaaaa )(
,得类似地,消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa )(
时,当 021122211 aaaa 方程组的解为
,21122211
2122211 aaaa
baabx
)(3.21122211
2112112 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定 .
由四个数排成二行二列(横排称行、竖排
称列)的数表
)4(2221
1211
aa
aa
定义定义
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式,并记作
)所确定的二阶称为数表(表达式
即 .211222112221
1211 aaaaaa
aaD
11a 12a
22a12a
主对角线
副对角线
对角线法则对角线法则
2211aa12 21.a a
二阶行列式的计算
若记 ,2221
1211
aa
aaD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa对于二元线性方程组
系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
2221
1211
aa
aaD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,222
1211 ab
abD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,2221
1211
aa
aaD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,222
1211 ab
abD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.221
1112 ba
baD
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
11
aa
aaab
ab
DD
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式 .
.
2221
1211
221
111
22
aa
aaba
ba
DD
x
例例 11
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组
解12
23 D )4(3 ,07
11
2121
D ,14
12
1232 D ,21
DD
x 11 ,2
714
DD
x 22 .3
721
二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有
记记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
( 6 )式称为数表( 5 )所确定的三阶行列式三阶行列式 .
3231
2221
1211
aa
aa
aa
.312213332112322311 aaaaaaaaa
(1) 沙路法
三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaa D
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D . 列标行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa.322311 aaa
(2)(2) 对角线法则对角线法则
注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号.
说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
322113 aaa312312 aaa
312213 aaa 332112 aaa
如果三元线性方程组
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ,0
利用三阶行列式求解三元线性方程组
2. 三阶行列式包括 3! 项 , 每一项都是位于不同行 ,不同列的三个元素的乘积 , 其中三项为正 , 三项为负 .
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D 若记
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D 或
1
2
1
b
b
b
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D 记
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D 即
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D 得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D 得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D .
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D
则三元线性方程组的解为 :
,11 D
Dx ,2
2 DD
x .33 D
Dx
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D
2-43-
122-
4-21
D 计算三阶行列式例2例2
解解 按对角线法则,有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
.0
94
32
111
2
x
x求解方程例例 33
解解 方程左端12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 052 xx
3.2 xx 或
例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D 111 132
121 111 122 131 5 ,0
同理可得
110
311
122
1
D ,5
101
312
121
2
D ,10
011
112
221
3
D ,5
故方程组的解为 :
,111
DD
x ,222
DD
x .133
DD
x
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 .
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.211222112221
1211 aaaaaa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三、小结三、小结
思考题思考题 使求一个二次多项式 ,xf
.283,32,01 fff
思考题解答思考题解答解 设所求的二次多项式为
,2 cbxaxxf
由题意得 ,01 cbaf
,3242 cbaf ,28393 cbaf
得一个关于未知数 的线性方程组 ,cba ,,
又 ,020 D .20,60,40 321 DDD
得 ,21 DDa ,32 DDb 13 DDc
故所求多项式为
.132 2 xxxf
第二节 全排列、逆序数第二节 全排列、逆序数
扬州大学数学科学学院
一、概念的引入一、概念的引入引例 用 1 、 2 、 3 三个数字,可以组成多少
个没有重复数字的三位数?
解 1 2 3
1 2 3百位 3 种放法
十位 1 2 31
个位 1 2 3
2 种放法
1 种放法
种放法 .共有 6123
二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数
同的排法?,共有几种不个不同的元素排成一列把 n问题
定义 把 个不同的元素排成一列,叫做这 个元素的全排列(或排列) .
n n
个不同的元素的所有排列的种数,通常用 表示 .
nnP
由引例 1233 P .6
nPn )1( n )2( n 123 !.n同理
在一个排列 中,若数 则称这两个数组成一个逆序 .
nst iiiii 21
st ii
例如 排列 32514 中,
定义
我们规定各元素之间有一个标准次序 , n 个不同的自然数,规定由小到大为标准次序 .
排列的逆序数
3 2 5 1 4
逆序
逆序
逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 .
例如 排列 32514 中,
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
计算排列逆序数的方法方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数 .
n,n,,, 121 n,n,,, 121 n
逆序数为奇数的排列称为奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为偶排列 .
排列的奇偶性
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 .
方法 2
例 1 求排列 32514 的逆序数 .
解 在排列 32514 中 ,
3 排在首位 , 逆序数为 0;
2 的前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1;
3 2 5 1 40 1 0 3 1
于是排列 32514 的逆序数为
13010 t .5
5 的前面没有比 5 大的数 , 其逆序数为 0;
1 的前面比 1 大的数有 3 个 , 故逆序数为 3;
4 的前面比 4 大的数有 1 个 , 故逆序数为 1;
例 2 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 .
2179863541
解 453689712
544310010
t
18
此排列为偶排列 .
5 4 0100134
321212 nnn
解
12
,
21
nn
当 时为偶排列;14,4 kkn
当 时为奇排列 .34,24 kkn
1 nt 2 n
32121 nnn 1n
2n
kkkkkk 132322212123
解
0t
k
kk
21112
,2k
当 为偶数时,排列为偶排列,k
当 为奇数时,排列为奇排列 .k
1 1 2 kkk 112
kkkkkk 13232221212 0
1
1
2
2
k
2 排列具有奇偶性 .
3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种 .
1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n
三、小结三、小结
思考题思考题分别用两种方法求排列 16352487 的逆序数 .
思考题解答解 用方法 1
1 6 3 5 2 4 8 7
用方法 2
01012130 t 8
由前向后求每个数的逆序数 .
.810231100 t
第三节 第三节 nn 阶行列式定义阶行列式定义
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一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D 322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
说明( 1 )三阶行列式共有 项,即 项.6 !3
( 2 )每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.
( 3 )每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列.
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
,211312 t
322311 aaa 列标排列的逆序数为 ,101132 t
偶排列
奇排列
正号
,负号
.)1(321 321
333231
232221
131211
pppt aaa
aaa
aaa
aaa
二、二、 nn 阶行列式的定义阶行列式的定义
nnnn
n
n
npppt
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(21
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义
).det( ija简记作 的元素.称为行列式数 )det( ijij aa
为这个排列的逆序数.的一个排列,,,,为自然数其中
t
nppp n 2121
n
n
n
npppppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
2 、 阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3 、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;
nn
4 、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa
5 、 的符号为nnppp aaa 21 21 .1 t
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41 p若 ,011 pa
从而这个项为零,
所以 只能等于 , 1p 4
同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4321 t .24
即行列式中不为零的项为 .aaaa 41322314
例 2 计算上三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0 222
11211
分析
展开式中项的一般形式是 .21 21 nnppp aaa
,npn ,11 npn ,1,2,3 123 ppnpn
所以不为零的项只有 .2211 nnaaa
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0 222
11211
nn
nt aaa
2211
121
.2211 nnaaa
解
例 3 ?
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD .1608541
同理可得下三角行列式
nnnnn aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
.1 2121
n
nn
;21 n
n
2
1
例 4 证明对角行列式
n
2
1
11,21
2111 nnnnnt aaa
.1 2121
n
nn
证明 第一式是显然的 , 下面证第二式 .
若记 ,1, inii a 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕
例 5 设
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
1
nnn
nn
n
nn
nn
ababa
baaba
babaa
D
22
11
222221
11
11211
2
证明 .21 DD
证 由行列式定义有
n
n
n
npppppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1 1
nnn
nn
n
nn
nn
ababa
baaba
babaa
D
22
11
222221
11
11211
2
n
n
n
n pppnnppp
ppp
pppt baaa
21
21
21
21 21211
由于 ,2121 nppp n
所以
.1 2211 21
21
21 DaaaDn
n
n
npppppp
pppt
n
n
n
n pppnnppp
ppp
pppt baaaD
21
21
21
21 21212 1
n
n
n
npppppp
pppt aaa
21
21
21
211
故
1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 .
2 、 阶行列式共有 项,每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积 , 正负号由下标排列的逆序数决定 .
nn
!n
三、小结三、小结
思考题思考题
已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3的系数求 x
思考题解答解 含 的项有两项 , 即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
43342211
12341 aaaat 443322111 aaaat
,1 344332211 xaaaat
343342211
1234 21 xaaaat
.13 的系数为故 x
第三节 第三节 nn 阶行列式定义阶行列式定义
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一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D 322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
说明( 1 )三阶行列式共有 项,即 项.6 !3
( 2 )每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.
( 3 )每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列.
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
,211312 t
322311 aaa 列标排列的逆序数为 ,101132 t
偶排列
奇排列
正号
,负号
.)1(321 321
333231
232221
131211
pppt aaa
aaa
aaa
aaa
二、二、 nn 阶行列式的定义阶行列式的定义
nnnn
n
n
npppt
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(21
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义
).det( ija简记作 的元素.称为行列式数 )det( ijij aa
为这个排列的逆序数.的一个排列,,,,为自然数其中
t
nppp n 2121
n
n
n
npppppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
2 、 阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3 、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;
nn
4 、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa
5 、 的符号为nnppp aaa 21 21 .1 t
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41 p若 ,011 pa
从而这个项为零,
所以 只能等于 , 1p 4
同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4321 t .24
即行列式中不为零的项为 .aaaa 41322314
例 2 计算上三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0 222
11211
分析
展开式中项的一般形式是 .21 21 nnppp aaa
,npn ,11 npn ,1,2,3 123 ppnpn
所以不为零的项只有 .2211 nnaaa
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0 222
11211
nn
nt aaa
2211
121
.2211 nnaaa
解
例 3 ?
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD .1608541
同理可得下三角行列式
nnnnn aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
.1 2121
n
nn
;21 n
n
2
1
例 4 证明对角行列式
n
2
1
11,21
2111 nnnnnt aaa
.1 2121
n
nn
证明 第一式是显然的 , 下面证第二式 .
若记 ,1, inii a 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕
例 5 设
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
1
nnn
nn
n
nn
nn
ababa
baaba
babaa
D
22
11
222221
11
11211
2
证明 .21 DD
证 由行列式定义有
n
n
n
npppppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1 1
nnn
nn
n
nn
nn
ababa
baaba
babaa
D
22
11
222221
11
11211
2
n
n
n
n pppnnppp
ppp
pppt baaa
21
21
21
21 21211
由于 ,2121 nppp n
所以
.1 2211 21
21
21 DaaaDn
n
n
npppppp
pppt
n
n
n
n pppnnppp
ppp
pppt baaaD
21
21
21
21 21212 1
n
n
n
npppppp
pppt aaa
21
21
21
211
故
1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 .
2 、 阶行列式共有 项,每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积 , 正负号由下标排列的逆序数决定 .
nn
!n
三、小结三、小结
思考题思考题
已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3的系数求 x
思考题解答解 含 的项有两项 , 即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
43342211
12341 aaaat 443322111 aaaat
,1 344332211 xaaaat
343342211
1234 21 xaaaat
.13 的系数为故 x
第五节 行列式性质第五节 行列式性质
扬州大学数学科学学院
一、行列式的性质一、行列式的性质
性质性质 11 行列式与它的转置行列式相等 .
行列式 称为行列式 的转置行列式 . TD D
记
nna
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn aa
aD
2
121
n
n
a
aa
nn aa
a
21
12TD
nna
a
a
22
11
证明 的转置行列式记 ijaD det
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
T
bbb
bbb
bbb
D
,,,2,1, njiab ijij 即 按定义
.11 2121 2121 npppt
nppptT
nnaaabbbD
又因为行列式 D 可表示为 .1 21 21 nppp
t
naaaD
故 .TDD 证毕
性质性质 22 互换行列式的两行(列) , 行列式变号 .证明证明 设行列式
,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 .
是由行列式 变换 两行得到的 , ijaD det ji,
于是 nji npjpipp
t bbbbD 111 1
nji npjpipp
t aaaa 111
,111 nij npjpipp
t aaaa
,1 为自然排列其中 nji .1 的逆序数为排列 nji ppppt
,11 tpppp nji 的逆序数为设排列 则有
即当 时 ,jik , ;kpkp ab 当 时 ,jik ,
,, ipjpjpip abab
例如
推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零 .证明 互换相同的两行,有
.0 D,DD
,11 1tt
故 .11
1
11 DaaaaDnij npjpipp
t 证毕
,
571571
266853
.
8
2
5
8
2
5
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266853
性质性质 33 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 乘此行列式 .k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
21
21
11211
推论推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
21
21
21
11211
.0
性质 5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和 .
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
则 D 等于下列两个行列式之和:
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
1
2221
1111
1
2221
1111
例如
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去,行列式不变.
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如
例1
2101044
614753
12402
59733
13211
D
二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法:利用运算 把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.
ji krr
3
2101044
614753
12402
59733
13211
D
3
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3 12
rr
2101044
614753
14020
20100
13211
2101044
614753
12402
20100
13211
3 12
rr
2
3
12 2rr
4
42 rr
22200
20100
14020
35120
13211
22200
35120
14020
20100
13211
14 4rr 13 3rr
22200
01000
21100
35120
13211
34 rr
22200
20100
21100
35120
13211
23 rr
2
60000
01000
21100
35120
13211
612 45 4rr .12
64000
01000
21100
35120
13211
35 2rr
4
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
解
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
1
1
1
1
D
将第 都加到第一列得n,,3,2
abb
bab
bba
bbb
bna
1
1
1
1
)1(
ba
ba
ba
bbb
bna
1
)1( 0
0 .)()1( 1 nbabna
例 3
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
ccaa
aa
D
1
111
1
111
1
111
0
设
,)det(
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD
,)det(
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD
.21DDD 证明
证明
;
0
11
1
11
1 kk
kkk
pp
pp
p
D 设为
化为下三角形行列式,把作运算对 11 DkrrD ji
化为下三角形行列式把作运算对 22 , DkccD ji
.
0
11
1
11
2 nn
nkn
pq
q
D 设为
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
q
cc
ccpp
p
D
化为下三角形行列式把算
列作运,再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,
nnkk qqppD 1111 故 .21DD
( 行列式中行与列具有同等的地位 , 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).
计算行列式常用方法: (1) 利用定义 ;(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.
三、小结三、小结
行列式的 6 个性质
思考题阶行列式计算4
111
111
111
111
22
22
22
22
dd
dd
cc
cc
bb
bb
aa
aa
D
1abcd已知
思考题解答解
11
11
11
11
2
2
2
2
ddd
ccc
bbb
aaa
D
111
111
111
111
2
2
2
2
dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
ddd
ccc
bbb
aaa
abcd
111
111
111
111
2
2
2
2
ddd
ccc
bbb
aaa
111
111
111
111
1
2
2
2
2
3
.0
第六节 行列式按行第六节 行列式按行 (( 列列 )) 展展开开
扬州大学数学科学学院
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
例如
3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa
3331
232113
3331
232112
3332
232211 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式
在 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第 列划去后,留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式,记作
n ija i j1n
ija.M ij
,记 ijji
ij MA 1 叫做元素 的代数余子式.ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D 444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M
2332
23 1 MA .23M
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M
1221
12 1 MA .12M
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M .1 444444
44 MMA
.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别
引理 一个 阶行列式,如果其中第 行所有元素除 外都为零,那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即 . ijij AaD
n iija ija
44434241
33
24232221
14131211
000
aaaa
a
aaaa
aaaa
D
.1
444241
242221
141211
3333
aaa
aaa
aaa
a
例如
证 当 位于第一行第一列时 ,ija
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
21
22221
11 00
即有 .1111MaD
又 1111
11 1 MA ,11M
从而 .1111 AaD
在证一般情形 , 此时
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
1
1111
00
,1,2,1 行对调第行第行行依次与第的第把 iiiD
得
nnnjn
nijii
ij
i
aaa
aaa
a
D
1
,1,11,11
00
1
ija
ija
,
1,2,1
对调列第列第列列依次与第的第再把 jjjD
得
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
1,
,11,1,111
00
11
ija
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
1,
,11,1,12
00
1
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
1,
,11,1,1
00
1
ija
ija
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
1
1111
00 中的余子式 .ijM
在余子式仍然是
中的在行列式元素
ij
nnjnnj
nijiji
ij
ij
a
aaa
aaa
a
a
1,
,11,1,1
00
ija
ija
故得
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
1,
,11,1,1
00
1
.1 ijij
ji Ma
于是有
nnjnnj
nijiji
ij
aaa
aaa
a
1,
,11,1,1
00
,ijij Ma
ija
ija
定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
ininiiii AaAaAaD 2211 ni ,,2,1
证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
21
21
11211
000000
二、行列式按行(列)展开法则二、行列式按行(列)展开法则
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
1
11211
00
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
2
11211
00
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
21
11211
00 ininiiii AaAaAa 2211
ni ,,2,1
例 1
3351
1102
4315
2113
D
0355
0100
13111
1115
31 2 cc
34 cc
055
1111
115
)1( 33
055
026
115
55
26)1( 31
50
28
.40
12 rr
证 用数学归纳法
212
11
xxD 12 xx ,)(
12
ji
ji xx
)式成立.时(当 12 n
例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde) 行列式
1
112
11
222
21
21
).(
111
jinji
nn
nn
n
n
n xx
xxx
xxx
xxx
D
)1(
,阶范德蒙德行列式成立)对于假设( 11 n
)()()(0
)()()(0
0
1111
12
132
3122
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
D
nnn
nn
nn
n
n
就有提出,因子列展开,并把每列的公按第 )(1 1xxi
)()())((2
11312 jjin
inn xxxxxxxxD
).(1
jjin
i xx
223
22
3211312
111
)())((
nn
nn
nn
xxx
xxxxxxxxx
n-1 阶范德蒙德行列式
推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 .ji,AaAaAa jninjiji 02211
,
1
1
1
111
11
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
证 行展开,有按第把行列式 jaD ij )det(
,
1
1
1
111
11
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk
行第 j
行第 i
,时当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
相同
关于代数余子式的重要性质
;,0
,,
1 ji
jiDDAa ij
n
kkjki 当
当
;,0
,,
1 ji
jiDDAa ij
n
kjkik 当
当
.,0
,1
ji
jiij 当
,当其中
例3 计算行列式277
010
353
D
解
27
013
D
.27
按第一行展开,得
27
005
77
103
05320
04140
01320
25271
02135
D例4 计算行列式
解
05320
04140
01320
25271
02135
D
660
270
132
10
66
27210
.1080124220
532
414
132
52
5320
4140
1320
2135
21 52
13 rr
12 2 rr
1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 .
;,0
,,.2
1 ji
jiDDAa ij
n
kkjki 当
当
;,0
,,
1 ji
jiDDAa ij
n
kjkik 当
当
.,0
,1
ji
jiij 当
,当其中
三、小结三、小结
思考题阶行列式设n
n
n
Dn
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和.11211 nAAA
思考题解答解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
nAAA 11211
n
001
0301
0021
1111
.1
1!2
n
j jn
第七节 克莱姆法则第七节 克莱姆法则
扬州大学数学科学学院
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,, 21 不全为零若常数项 nbbb 则称此方程组为非
齐次线性方程组 ; ,,,, 21 全为零若常数项 nbbb
此时称方程组为齐次线性方程组 .
非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念
一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组
)1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零,即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
0
.DD
x,,DD
x,DD
x,DD
x nn 2
32
21
1
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,即
jD D jn
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
111
11111111
那么线性方程组 有解,并且解是唯一的,解可以表为
1
证明
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
2211
2222222121
1111212111
得个方程的依次乘方程组
列元素的代数余子式中第用
,1
,,, 21
n
AAAjD njjj
在把 个方程依次相加,得n
,1
111
11
n
kkjk
n
n
kkjknj
n
kkjkj
n
kkjk
Ab
xAaxAaxAa
由代数余子式的性质可知 ,
.,,2,1 njDDx jj
.DD
x,,DD
x,DD
x,DD
x nn 2
32
21
1
,Dx j的系数等于上式中
;0的系数均为而其余 jixi .jD又等式右端为
于是 2
当 时 , 方程组 有唯一的一个解0D 2
由于方程组 与方程组 等价 , 2 1 故
.DD
x,,DD
x,DD
x,DD
x nn 2
32
21
1
也是方程组的 解 . 1
二、重要定理二、重要定理定理 1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解 ,且解是唯一的 .
1 1
,0D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零 .
1
齐次线性方程组的相关定理
2
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解 .0D
2 2
定理 如果齐次线性方程组
2 有非零解 , 则它的系数行列式必为零 .
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
有非零解 .
系数行列式 0D
例 1 用克拉默则解方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
D21 2rr
24 rr
12770
2120
6031
13570
1277
212
1357
21 2cc
23 2cc 277
010
353
27
33
,27
6740
2125
6039
1518
1
D
,81
6701
2150
6091
1582
2
D
,108
6041
2520
6931
1812
3
D
,27
0741
5120
9031
8512
4
D
,27
,327811
1 DD
x ,4271082
2
DD
x
,127273
3
DD
x .127274
4 DD
x
例 2 用克拉默法则解方程组
.6523
,611
,443
,3253
4321
4321
42
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
解
2311
1111
4030
1253
D 67 ,0
23165
111611
4034
1253
1
D ,3
67
23651
116111
4040
1233
2
D ,0
26511
161111
4430
1353
3
D ,2
67
65311
611111
4030
3253
4
D ,67
,DD
x31
673
671
1 ,DD
x 06702
2
,DD
x21
672
673
3 .167674
4 DD
x
例 3 问 取何值时,齐次方程组
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解?
解
111
132
421
D
101
112
431
3121431 3
3121 23
齐次方程组有非零解,则 0D
所以 或 时齐次方程组有非零解 .20 , 3
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件(1) 方程个数等于未知量个数 ;(2) 系数行列式不等于零 .
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系 . 它主要适用于理论推导 .
三、小结三、小结
思考题当线性方程组的系数行列式为零时 , 能否用克拉默法则解方程组 ? 为什么 ? 此时方程组的解为何 ?
思考题解答不能 , 此时方程组的解为无解或有无穷多解 .
第一章 习题课第一章 习题课
扬州大学数学科学学院
把 个不同的元素排成一列,叫做这 个元素的全排列(或排列).
n n
个不同的元素的所有排列的种数用 表示,且 .
nnP
!nPn
1 全排列1 全排列
逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.
在一个排列 中,若数 ,则称这两个数组成一个逆序.
nst iiiii 21 st ii
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
2 逆序数2 逆序数
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
方法 2
方法 1 分别计算出排在 前面比它大的数码之和,即分别算出 这 个元素的逆序数,这 个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
n,n,,, 121 n,n,,, 121 n
n
3 计算排列逆序数的方法3 计算排列逆序数的方法
定义 在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,称为一次对换.将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.
定理 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
4 对 换4 对 换
npppppp
t
nnnn
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
22221
11211
2121
1
5 5 nn 阶行列式的定义阶行列式的定义
.
,,2,1;
;,,2,1
21
21
列取和
的所有排表示对个排列的逆序数
为这的一个排列为自然数其中
n
tnppp
ppp
n
n
.
,)1(
21
21 2121
的逆序数为行标排列其中
亦可定义为阶行列式
pppt
aaaD
Dn
n
npppppp
t
nn
. ,
)()4
.
,)()3
.),()2
.DD,1) T
乘此行列式等于用数一数
中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零
则此行列式完全相同列如果行列式有两行
行列式变号列互换行列式的两行
即式相等行列式与它的转置行列
kk
6 6 nn 阶行列式的性质阶行列式的性质
., )(
, )( )8
.
, )( )7
.
, )( )6
.
)( )5
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列
然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列
则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零
则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面
以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
1)余子式与代数余子式
.
,)1(
1
的代数余子式叫做元素
;记的余子式,记作
阶行列式叫做元素列划去后,留下来的
行和第所在的第阶行列式中,把元素在
aA
MA
M
anj
ian
ijij
ijji
ij
ij
ij
ij
7 行列式按行(列)展开7 行列式按行(列)展开
2)关于代数余子式的重要性质
.,0
;,1
.,0
;,
.,0
;,
1
1
ji
ji
ji
jiDDAa
ji
jiDDAa
ij
ijjk
n
kik
ijki
n
kki
当当
其中
当当
或当当
8 克拉默法则8 克拉默法则
.,
,,2,1
.,,2,1,
,0
.
,
,
1
2211
22222121
11212111
所得到的行列式,换成常数项
列中第)是把系数行列式(其中
那么它有唯一解的系数行列式
如果线性方程组
2 bbb
jDnjD
njDD
x
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
n
j
jj
nnnnnn
nn
nn
克拉默法则的理论价值
.,0
.
,
,
2211
22222121
11212111
唯一那么它一定有解,且解的系数行列式
如果线性方程组
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
.
必为零解,则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理
定理
.,0
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
那么它没有非零解的系数行列式
如果齐次线性方程组
D
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnnn
nn
nn
.
它的系数行列式必为零组有非零解,则如果上述齐次线性方程
定理
定理
一、计算排列的逆序数
二、计算(证明)行列式
三、克拉默法则
典 型 例 题典 型 例 题
分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和,即算出排列中每个元素的逆序数.
., 1
3232221212
并讨论奇偶性的逆序数
求排列
kk
kkkk
解
例1
一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数
;0,2 故逆序数为排在首位k
;1),2(11 故逆序数为大的数有一个的前面比 k
;1
),2()12()12(
逆序数为故大的数有一个的前面比 kkk
;2
),12,2(22
数为故逆序大的数有两个的前面比 kk
;2),1
2,2(2222
故逆序数为大的数有两个的前面比 kkkk
;1),2,
,12,2(111
kk
kkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比
;1),2,
,12,2(111
kk
kkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比
;
),1,,12,2(
k
kkkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比
kkkt 1122110
k
kk
21112
2k
当 为偶数时,排列为偶排列,k
当 为奇数时,排列为奇排列.k
于是排列的逆序数为
1 用定义计算(证明)例2 用行列式定义计算
000
000
000
5352
4342
3534333231
2524232221
1312
5
aa
aa
aaaaa
aaaaa
aa
D
二、计算(证明)行列式二、计算(证明)行列式
的非零元素分别得到
行可能中第那么,由
行的元素分别为中第设
5,4,3,2,1,,,
,,5,4,3,2,1
5543
215
543
21
Daaa
aaD
ppp
pp解
.3,2;3,2;5,4,3,2,1
;5,4,3,2,1;3,2
543
21
ppp
pp
.0
5
,,,,,
5
54321
D
ppppp
故元排列也不能组成,一个
在上述可能取的代码中因为
评注 本例是从一般项入手,将行标按标准顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般方法.
.
2 于零还多,则此行列式必等
素比阶行列式中等于零的元如果一个
nn
n
注意
例3 设
,
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
,
22
11
222221
11
11211
2
ababa
baaba
babaa
D
nnn
nn
n
nn
nn
.2DD 1证明:
证明 由行列式的定义有
.
,)1(
21
211 21
的逆序数是排列其中 pppt
aaaD
n
pnppt
n
.
,)1(
)())(()1(
21
)()21(21
22
112
21
21
2
2
1
1
的逆序数是排列其中 pppt
baaa
bababaD
n
pppnpnpp
t
pnpn
pp
pp
t
n
n
n
n
,212 nppp n 1而
.)1( 121221
DaaaD ppp nn
t 所以
评注 本题证明两个行列式相等,即证明两点,一是两个行列式有完全相同的项,二是每一项所带的符号相同.这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法.
2 利用范德蒙行列式计算
例4 计算
利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。
.333
222
111
2
2
2
nnn
D
n
n
n
n
,于是得到增至幂次数便从则方若提取各行的公因子,递升至而是由变到序排列,但不是从次数自左至右按递升次
方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个
10
.1,1
0
,
n
nn
Dn解
.
1
3331
2221
1111
!
12
12
12
nnn
nD
n
n
n
n
上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式,由范德蒙行列式知
!.1!2)!2()!1(!
)]1([)2()24)(23(
)1()13)(12(!
)(!1
nnn
nnn
nn
xxnDjin
jin
评注 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.
3 用化三角形行列式计算
例5 计算
.
4321
321
321
321
1
xaaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D n
n
n
n
解 列都加到第一列,得将第 1,,3,2 n
xaaax
axaax
aaxax
aaaax
D
n
ii
n
n
ii
n
n
ii
n
n
ii
n
321
21
21
211
1
提取第一列的公因子,得
.
1
1
1
1
)(
32
2
2
21
11
xaa
axa
aaxaaa
axD n
n
n
n
iin
后一列,得倍加到最列的将第列,倍加到第
列的列,将第倍加到第列的将第
2 )(1,3)(
12)(1 1
aa
a
n
.)()(11
n
ii
n
ii axax
axaaaa
axaa
ax
axD
n
n
iin
2312
212
1
11
1
01
001
0001
)(
评注 本题利用行列式的性质,采用“化零”的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式.化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为 1 ;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的.
,得提取公因子
行中行,并从第行都加到第、、的第将
dcba
D
114324
4 用降阶法计算
例6 计算
.4
abcd
badc
cdab
dcba
D
解
,
1111
)(4
abcd
badc
cdabdcbaD
列,得列都减去第、、再将第 1432
,
0001
)(4
dadbdcd
cbcacdc
bcbdbabdcbaD
行展开,得按第1
.)(4
dadbdc
cbcacd
bcbdba
dcbaD
,得中提取公因子
行行,再从第行加到第把上面右端行列式第
dcba
112
,
011
))((
dadbdc
cbcacd
dcbadcbaD
4
列,得列减去第再将第 12
行展开,得按第1
])()([))(( 22 cbdadcbadcba
))((
))((
dcbadcba
dcbadcba
,
001
))((4
dacbdc
cbdacd
dcbadcbaD
dacb
cbdadcbadcbaD
))((4
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数可降低 1 阶,如此继续进行,直到行列式能直接计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.
5 用拆成行列式之和(积)计算例7 证明
.0
2sin)sin()sin(
)sin(2sin)sin(
)sin()sin(2sin
证
.0
000
sinsinsin
coscoscos
0cossin
0cossin
0cossin
左边
6 用递推法计算例8 计算
.2
1
xaaa
axaa
aaxa
D
n
n
解 拆成两个行列式之和列把依第 Dn n
aaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
D
n
n
1
2
1
.
0
0
0
1
2
1
xaaa
xaaa
axaa
aaxa
n
n
.1121 DxaxxxD nnnn 从而
得列展开第右端的第二个行列式按列加到第
倍分别列的将第右端的第一个行列式
,
,1,,2,1
)1(,
nn
n
,
000
00
00
00
1
1
2
1
Dx
a
ax
ax
ax
D nn
n
n
由此递推,得
.
,
21
22121
212211
Dxx
xaxxxaxxxD
DxaxxxD
nnn
nnnn
nnnn
1
于是
如此继续下去,可得
Dxxxxxaxx
xaxxxaxxxD
nnn
nnnn
231421
22121
1
)( 212131
421
22121
xxxaxaxxx
xxaxx
xaxxxaxxx
nn
n
nnn
1
).
(
3231
12121
xxxxxx
xxxaxxx
nn
nn
时,还可改写成当 021 xxx n
)].111
(1[21
21xxx
axxxDn
nn
评注
.
1 1
.1
,1
1
的递推关系列式更低阶行列式之间阶行,建立比阶更低阶的行列式表示比
用同样形式的阶行列式时,还可以把给定的有之间的递推关系阶行列式与建立了
阶行列式表示出来用同样形式的行列式
阶质把所给的本题是利用行列式的性
nn
Dn
DnD
nD
n
n
nn
n
7 用数学归纳法例9 证明
.cos
cos21000
1000
00cos210
001cos21
0001cos
n
Dn
证 对阶数 n 用数学归纳法
.,2,1,
,2cos1cos22cos1
1cos
,cos
22
1
结论成立时当所以
因为
nn
D
D
得展开按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于
下证对的行列式结论成立假设对阶数小于
,
.
,
Dn
n
n
.cos2 21 DDD nnn
,)2cos(
,)1cos( ,
2
1
nD
nD
n
n由归纳假设
;cos
)2cos(])2cos([cos
)2cos()1cos(cos2
n
nnn
nnDn
.结论成立所以对一切自然数n
评注
.
,)1(1
,)(,
,
2
1
同型的行列式是与不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第
不能展开列或第行本例必须按第表示
展开成能用其同型的为了将
D
nnD
DD
n
n
nn
.
,,.
,
,,
其猜想结果成立然后用数学归纳法证明也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的
而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲
计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列式在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变换后,再考察它是否能用常用的几种方法.
小结
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时,可用克莱姆法则.为了避免在计算中出现分数,可对有的方程乘以适当整数,把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解.
三、克拉默法则三、克拉默法则
.28)3(,3)2(,0)1(
),(
fff
xf 使求一个二次多项式10例
解 设所求的二次多项式为
,)( 2 cbxxaxf
由题意得
,2839)3(
,324)2(
,0)1(
cbaf
cbaf
cbaf
.,, 的线性方程组数这是一个关于三个未知 cba
.20,60
,40,020
32
1
DD
DD
由克莱姆法则,得
.1,3,2 321 DDc
DDb
DDa
于是,所求的多项式为
.132)( 2 xxxf
证
..
0
,0
,0
1,,
),,(
00
00
从而有系数行列式的非零解
可视为齐次线性方程组则
点设所给三条直线交于一必要性
bzaycx
azcybx
czbyax
zyyxx
yxM
.0
0,0,0
cba
baycxacybxcbyax
条件是相交于一点的充分必要
直线证明平面上三条不同的 11例
.0])()()([
))(2
1(
222
accbba
cba
bac
acb
cba
(1)
baycx
acybx
cbyax
,
,
.0,
,,,
cba
cba
故同也不全相所以因为三条直线互不相同
将方程组如果充分性 ,0 cba
.
.00
,
,
唯一解下证此方程组(2)有
(2)
到第三个方程,得的第一、二两个方程加
acybx
cbyax
.00)(
2)]([)(
00
22
222
22
accaac
cacacaaccab
bacbaccb
ba
,从而有
,于是得
。由,则如果
.)1(
.)2(
.0
.0
0.0,0 2
直线交于一点有唯一解,即三条不同方程组
从而知有唯一解组由克莱姆法则知,方程
故,与题设矛盾得
再由得由不妨设
cb
ba
c
cbabacba
例 12 有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千克含氮 70克,磷 8克,钾 2克;乙种化肥每千克含氮 64克,磷 10克,钾 0.6克;丙种化肥每千克含氮70克,磷 5克,钾 1.4克.若把此三种化肥混合,要求总重量 23千克且含磷 149克,钾 30克,问三种化肥各需多少千克?
解
题意得方程组
依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥 32 ,1 xxx
.304.16.02
,1495108
,23
321
321
321
xxx
xxx
xxx
,5
27D此方程组的系数行列式
81275
81 321 DDD ,,又
.15,5,3 32 xxx1
组有唯一解由克莱姆法则,此方程
.15
,5,3
千克千克千克各需即甲、乙、丙三种化肥
).(40,15
52.1355.1357.1360.133020100
:
.)(
00
0000
33
2210
准确到小数两位时水银密度求
由实验测得以下数据
的关系为与温度设水银密度
t
h
t
tatataath
th例 13
)1(
.52.132700090030
,55.13800040020
,57.13100010010
,6.13
),(
3210
3210
3210
0
aaaa
aaaa
aaaa
a
th 得方程组将测得的数据分别代入解
)2(
.008.02700903
,005.0800402
,003.010010
,60.13
321
321
321
0
aaa
aaa
aaa
a 得方程组分别代入其余三个方程将
,12000D此方程组的系数行列式
.0000033.0
,00015.0
,0042.0
)2(,
3
2
1
a
a
a
的唯一解得方程组由克莱姆法则
,04.0,8.1,50 321 DDD又
得将以上四个数代入又 ),(,60.130 tha
由此得
.0000033.0
00015.00042.060.13)(3
2
t
ttth
.46.13,56.13,40,15, 00 水银密度分别为时当所以 t
.46.13)40(,56.13)15( hh
第一章 测试题第一章 测试题一、填空题 ( 每小题 4 分,共 40分 )
ijijn aDaaD 则若 , .1
132
213
321
3321 ,0,, .2
xxx
xxx
xxx
qpxxxxx
列式
则行的三个根是方程设
行列式 .3
10000
00001998
00019970
00200
01000
D
44
33
22
11
00
00
00
00
.4
ab
ab
ba
ba
四阶行列式
44342414
4 , .5
AAAA
cdba
acbd
adbc
dcba
D
则
设四阶行列式
的符号为在五阶行列式中 3524415312 .6 aaaaa
的系数是中在函数 3
21
112
.7 x
x
xxx
x
xf
abcd
badc
cdab
dcba
四阶行列式 .8
,,, .9 时且则当为实数若 baba
0
101
0
0
ab
ba
二、计算下列行列式 ( 每小题 9分,共 18分 ) .
01122
10321
01132
22113
13211
.1 5
D
.
.10
121
121
iiii
iiii
nn
nn
次对换后变为排列可经排列
xzzz
yxzz
yyxz
yyyx
Dn
.2
齐次方程组取何值问 ,,
02
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解?
三、解答题 (9分 ) .
四、证明 ( 每小题 8分,共 24 分 ) .
;0
321
321
321
321
.1
2222
2222
2222
2222
dddd
cccc
bbbb
aaaa
cos21
1cos21
1
1
1cos21
1cos2
.2
nD
;
sin
1sin
n
用数学归纳法证明 .3
nn
nnn
nn
nnn
n
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
D
321
223
22
21
223
22
21
321
1111
2,1
21
nxxxxx jinij
n
五、 (9分 ) 设 行列式n
n
n
Dn
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和.11211 nAAA
.2
1 .10 ;0,0 .9
; .8 ;2 .7 ;.6
;0 .5 ; .4
;!1998 .3 ;0 .2 ;1 .1
22222
41413232
nn
dcba
bbaabbaa
an
一、
. .2 ;170 .1
zy
yxzzxy nn
二、
.00 或三、 .1
1!2
n
j jn五、
测试题答案测试题答案