本章小结
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本章小结. 一、二重积分，三重积分的定义 二、二重积分，三重积分的计算 三、重积分的应用. 重点：二重积分，三重积分的计算. 二重积分的计算：. 根据积分区域和被积函数的特点选择： 合适的坐标系； 恰当的积分次序，从而正确地确定积分限 。. 三重积分的计算：. 根据积分区域和被积函数的特点选择： 合适的坐标系：直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系； 在各种坐标系系下相应的穿针法与截面法； 恰当的积分次序，从而正确地确定积分限；. *1计算的难点：各种坐标系下积分限的确定. *2在掌握基本运算的基础上，还应了解如何根据对称性及轮换对 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
一、二重积分，三重积分的定义
二、二重积分，三重积分的计算
三、重积分的应用
重点：二重积分，三重积分的计算
本章小结
三重积分的计算：根据积分区域和被积函数的特点选择：合适的坐标系：直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系；在各种坐标系系下相应的穿针法与截面法；恰当的积分次序，从而正确地确定积分限；
二重积分的计算：根据积分区域和被积函数的特点选择：合适的坐标系；恰当的积分次序，从而正确地确定积分限。
*2 在掌握基本运算的基础上，还应了解如何根据对称性及轮换对称性等方法来计算重积分 . 此外 , 还要会用对称性 , 交换积分次序 , 变量代换以及重积分性质来解决一些较难的问题 ( 计算题及证明题 ).
*1 计算的难点：各种坐标系下积分限的确定
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
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xy
xy
b
aD
dyyxfdxdyxf
dxdyyxfb
a
xy
xy )(
)(2
2),(
是偶函数关于 ),(
)(
)(2
2
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xy
xy )(
02 ),(2
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证 （ 1 ）积分区域如图：
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,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
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)(2
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是偶函数关于 ),(
)(
)(2
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xy
xy )(
02 ),(2
xydyyxf
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
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xy
xy
b
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dyyxfdxdyxf
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)(2
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)(2
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于是，
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),( dxdyyxfb
a
xy
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)(2
2),(
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a
xy
)(
02 ),( 2
dyxfD
),(2 1
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
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b
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)(2
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是偶函数关于 ),(
)(
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2
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xy
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02 ),(2
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证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
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)(
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b
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是偶函数关于 ),(
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于是，
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),( dxdyyxfb
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)(2
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)(
02 ),( 2
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),(2 1
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
证 （ 2 ）积分区域如图：
).()(
,:
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bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
)(2
1),( ),(
xy
xy
b
aD
dyyxfdxdyxf
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
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设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
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b
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是偶函数关于 ),(
)(
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xy
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证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
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xy
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b
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于是，
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),( dxdyyxfb
a
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)(2
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)(
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),(2 1
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
证 （ 2 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
)(2
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b
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o x
y
a b)(1 xyy
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是奇函数关于 ),(
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)(2
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由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
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xy
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（ 2 ）积分区域如图：
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,:
21 xyyxy
bxaD
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
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由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
o x
y
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xy
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证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
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由积分区域 D 关于 x 轴对称).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
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xy
xy
b
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是偶函数关于 ),(
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于是，
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),(2 1
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
证 （ 2 ）积分区域如图：
).()(
,:
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bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
)(2
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xy
xy
b
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o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
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是奇函数关于 ),(
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证
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
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（ 2 ）积分区域如图：
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o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
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)(
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dxdyyxfb
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是奇函数关于 ),(
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于是，
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),( dxdyyxfb
a
xy
xy )(
)(2
2),(
dxb
a 0 2
0.
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
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bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
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aD
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)(2
2),(
是偶函数关于 ),(
)(
)(2
2
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xy
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证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
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xy
xy
b
aD
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dxdyyxfb
a
xy
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)(2
2),(
是偶函数关于 ),(
)(
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于是，
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),( dxdyyxfb
a
xy
xy )(
)(2
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dxdyyxfb
a
xy
)(
02 ),( 2
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),(2 1
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
证 （ 2 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
)(2
1),( ),(
xy
xy
b
aD
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o x
y
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)(2 xyy
1D
dxdyyxfb
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)(2
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是奇函数关于 ),(
)(
)(2
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xy
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证
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
)(2
1),( ),(
xy
xy
b
aD
dyyxfdxdyxf
（ 2 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
1),( ),(
xy
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b
aD
dyyxfdxdyxf
dxdyyxfb
a
xy
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)(2
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是奇函数关于 ),(
)(
)(2
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xy
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于是，
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),( dxdyyxfb
a
xy
xy )(
)(2
2),(
dxb
a 0 2
0.
积分区域 D 关于 y 轴对称， D1 是 D 中对应于 x ≥0
的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( xyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( xyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
利用对称性计算二重积分
设积分区域 D 关于 x 轴对称， D1 是 D 中对应于
y ≥0 的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( yyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
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)(
)(2
1),( ),(
xy
xy
b
aD
dyyxfdxdyxf
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a
xy
xy )(
)(2
2),(
是偶函数关于 ),(
)(
)(2
2
yfdyyxf
xy
xy )(
02 ),(2
xydyyxf
证 （ 1 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称).()( 21 xyxy
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
1),( ),(
xy
xy
b
aD
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xy
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)(2
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是偶函数关于 ),(
)(
)(2
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xy
xy )(
02 ),(2
xydyyxf
于是，
dyxfD
),( dxdyyxfb
a
xy
xy )(
)(2
2),(
dxdyyxfb
a
xy
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02 ),( 2
dyxfD
),(2 1
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( yyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
证 （ 2 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
)(2
1),( ),(
xy
xy
b
aD
dyyxfdxdyxf
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
dxdyyxfb
a
xy
xy )(
)(2
2),(
是奇函数关于 ),(
)(
)(2
2
yfdyyxf
xy
xy .0
证
由积分区域 D 关于 x 轴对称性).()( 21 xyxy
)(
)(2
1),( ),(
xy
xy
b
aD
dyyxfdxdyxf
（ 2 ）积分区域如图：
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
o x
y
a b)(1 xyy
)(2 xyy
1D
)(
)(2
1),( ),(
xy
xy
b
aD
dyyxfdxdyxf
dxdyyxfb
a
xy
xy )(
)(2
2),(
是奇函数关于 ),(
)(
)(2
2
yfdyyxf
xy
xy .0
于是，
dyxfD
),( dxdyyxfb
a
xy
xy )(
)(2
2),(
dxb
a 0 2
0.
积分区域 D 关于 y 轴对称， D1 是 D 中对应于 x ≥0
的部分，则：
是偶函数，即关于若被积函数 ),( )1( xyxf
).,(),( yxfyxf
. ),(2 ),( 1
dyxfdyxfDD 则
是奇函数，即关于若被积函数 ),( )2( xyxf
).,(),( yxfyxf
.0 ),( dyxfD
则
积分区域 D 关于 直线 y=x 对称，即若 (x,y)D, 则(y,x)D.
二重积分的轮换对称性：
有 .),(),( dxdyxyfdxdyyxfDD
D1 ， D2 分别是 D 中关于 直线 y=x 对称的两部分，则：
.),(),(21
dxdyxyfdxdyyxfDD
y=x
x
y
o
D1
D2
利用对称性计算三重积分1. 关于积分区域的对称性 :
2. 关于函数 f(x,y,z) 的奇偶性
),,(,),,(),,,(),,( zyxzyxzyxfzyxf 若
则称 f(x,y,z) 在上是关于 z 的奇或偶函数
* 类似地可定义 f(x,y,z) 在上是关于 z 的奇或偶函数 .
若 (x,y,z), 有 (x,y,z), 则关于 xoy 坐标面对称。* 类似地可定义关于 yoz,zox 坐标面的对称性。
ⅰ
ⅱ ),,(,),,(),,,(),,( zyxzyxzyxfzyxf 若
则称 f(x,y,z) 在上是关于 y,z 的奇或偶函数 .
* 类似地可定义其他 .
),,(,),,(),,,(),,( zyxzyxzyxfzyxf 若则称 f(x,y,z) 在上是关于 x,y,z 的奇或偶函数
ⅲ
4. 利用对称性计算三重积分的有关结论 :
若关于 xoy 坐标面对称 , f(x,y,z) 在上是关于 z 的奇或偶函数 ,
1
),,(2
0),,( 的偶函数为
的奇函数为
zfdvzyxf
zfdvzyxf
ⅰ.
* 类似地可表示其他一些结果 .
3. 积分区域 , 被积函数 f(x,y,z) 的轮换对称性 :将积分区域的边界曲面方程 ( 或被积函数 f(x,y,z) ) 中 ,变量 x,y,z 依此轮换 , 方程 ( 或函数 f(x,y,z)) 的形式不变
若关于三坐标面都对称 , f(x,y,z) 在上是同时关于 x,y,z 的奇或偶函数 , 则
3
,,),,(8
,,0),,( 的偶函数同时为
的奇函数同时为
zyxfdvzyxf
zyxfdvzyxf
ⅲ.
若关于 yoz,zox 坐标面都对称 , f(x,y,z) 在上是同时关于 x,y 的奇或偶函数 , 则
1
,),,(4
,0),,( 的偶函数同时为
的奇函数同时为
yxfdvzyxf
yxfdvzyxf
ⅱ.
* 类似地可表示其他一些结果 .
,)](1[ 22 dyxyfxID
例 1 D 由下列曲线所围 :
1,1,3 xyxy
D3
3xy
1y
1x
o
x
y
D
D1D2
D4
3xy
解 :由积分区域 D 与被积函数特点 , 构造“对称性”
43
2
)(1[
)(1[
22
22
DD
DD
dyxyfx
dyxyfxI
0043
DD
xd
2
5
dvyx
eI
z
22 2,1,22 zzyxz例 2 由 所围成 .
o
x
y
z
2
1
解 1:
D
考虑截面法DZ
222
22
2
1
: zyxD
dxdyyx
edzI
Z
D
z
Z
20,0:
,12
1
zrD
rdrdr
dzeI
r
D
z
r
22
0 0
2
12 edrddzeI
zz
解 2:
的投影区域 D:
o
x
y
z
2
1
D
考虑用柱坐标
422 yx
即 20,20: rDr
2
22
0
1
0
2
1
2
0
1
0
22
121
2
21
e
dzedrddzedrd
rdzr
edrdrdz
r
edrdIII
r
zz
Dr
z
D
z
“ 穿针法”
例 3
2222
,0,0,0:)(
Rzyx
zyxdvzyx
DZ
x
y
z
o
R
R
R
解 1 ：
zdvydvxdv
与的特点（？）
zdvdvzyx 3)(
2222
0:3 zRyxDdxdyzdz
ZD
Z
R
422
0 16
3)(
4
13 RZRz
R
zdvdvzyx 3)(
4
0
2
0 0
0
16
3
3
3
22
22
R
zdzrdrd
zdzrdrd
ZRR
D
ZR
r
x
解 2 ：
y
z
o
R
R
R
D
x
y
z
o
R
R
R
D
解 3:
zdvdvzyx 3)(
4
2
0 0
22
0
22
0
16
3
sincos3
sincos3
R
drrdd
drrd
R
D
例 4 设 f(x) 在 [a,b] 上连续且恒大于零 , 则
b
a
b
aabdx
xfdxxf 2)(
)(
1)(
分析：
)1()( 2 D
dxdyab
欲证式左右两边特点
右
“ 升维法”，以利用积分不等式
左（？）
)2()(
)(
)(
1)(
)(
1)(
D
b
a
b
a
b
a
b
a
dxdyyf
xf
dyyf
dxxfdxxf
dxxf
比较 (1),(2) ，进一步：
)3()(
)(
)(
1)(
D
b
a
b
adxdy
xf
yfdx
xfdxxf
2)(
)(
)(
)(2
)(
)(
)(
)(
xf
yf
yf
xf
xf
yf
yf
xf
DD
b
a
b
adxdydxdy
xf
yf
xf
yfdx
xfdxxf 2
2
1)
)(
)(
)(
)((
2
1
)(
1)(
b
a
b
aabdx
xfdxxf 2)(
)(
1)(故
分析 2 ：利用柯西不等式 : （微积分（上） P224 6 （ 1 ））
设 f(x) ， g(x) 均在 [a,b] 上连续，则
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a )()(])()([ 222
* 本题所用方法前面用过吗？又，考虑柯西不等式的证明？
2222 tzyx
dvzyxftt
)(1 222
40
lim
例 设 f(u) 可微， f(0)=0,t>0,:
求
分析： 实质：求一元函数极限
)(1
40
lim tFtt
求 F(t):
)0(0)(4sin)(
sin)()()(
0
2
0
2
0
2
0
2222
tdrrrfdrrrfdd
ddrdrrfdvzyxftF
tt
)0()(4)(4)(4
limlimlim0
3
2
04
0
2
0
ft
tf
t
ttf
t
drrrf
tt
t
t