金融高频时间序列分析

李胜歌

一、金融计量学

二、金融高频时间序列分析

三、基于高频数据的金融波动率

一、金融计量学

（一）金融定量分析

金融计量学，是经济计量学的一个重要分支，主要是研究如何将经济计量学的基本原理与方法运用于金融领域，针对金融数据的特殊性，构造相应模型，以便实证检验金融理论和假设或者提提供金融预测。

（二）金融数据 1、低频数据 二十世纪九十年代以前，人们对金融时间序列的研究都是针对日、

周、月、季度或者年度数据进行的，这种金融数据在金融计量学研究领域通常称为低频数据。

2、高频数据 近年来，随着计算工具和计算方法的发展，极大地降低了数据记录和

存储的成本，使得对更高频率的金融数据进行研究成为可能。 在金融市场中，高频率采集的数据可以分为两类：高频数据（ high fr

equency data ）和超高频数据（ ultra high frequency data ）。 高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。高频数据即日内

数据，是指在开盘时间和收盘时间之间进行抽样的交易数据，主要是以小时、分钟、甚至秒为抽样频率的、按时间顺序排列的时间序列。

3、超高频数据 超高频数据则是指交易过程中实时采集的数据。 高频数据和超高频数据两者之间的最大区别是：前者是等时间间隔的，

后者的时间间隔是时变的。 一般而言，金融市场上的信息是连续的影响证券市场价格运动过程的。

数据的离散采集必然会造成信息不同程度的缺失。采集数据频率越高，信息丢失越少；反之，信息丢失越多。

二、金融高频时间序列分析 对金融高频数据统计特征的研究 基于金融高频时间序列的波动性研究 微观结构噪声研究 最优抽样频率研究 基于高频数据的金融管理方面的应用研究

三、基于高频数据的金融波动率（一）“已实现”波动（ Realized Volatility ， R

V ）

（二）“已实现”双幂次变差（ Realized Bipower Variation ， RBV ）

（三） RV与 RBV的比较研究

（一）“已实现”波动（ Realized Volatility ， RV ）

1、“已实现”波动的定义 2、“已实现”波动的理论基础 3、“已实现”波动的性质 4、“已实现”波动的应用 5、“已实现”波动估计量形式的改进及扩展

1 、 RV 的定义

Andersen 和 Bollerslev 提出 “已实现”波动（ RV ）的定义为：

M

j tjt yRV1

2, t=1,2,…,T

2、“已实现”波动的理论基础

基本条件就是金融市场中不存在风险套利的机会，这样金融资产的对数收益率就是一个特殊半鞅过程。

由特殊半鞅的性质，又可以将其进一步分解为可料有限变差过程和局部鞅过程，从经济意义上来讲，可料有限变差过程和局部鞅过程分别代表均值过程（ Mean Process ）和新息过程（ Innovation Process ）。

由二次变差的性质，收益率平方和的极限为金融资产对数价格收益的二次变差；

再由伊藤定理，可以得到二次变差与积分波动（ Integrated Volatility, IV ）的对应关系。

“ 已实现”波动就是收益率的平方和，这样就可以得出“已实现”波动的概率极限为积分波动。

3、“已实现”波动的性质 根据 Andersen 和 Bollerslev 等（ 2000 ， 2001 ， 2001 ， 2003 ）对西

方国家发达金融市场的高频金融时间序列的研究，“已实现”波动通常具有下列性质：

（ 1 ）由于日内高频收益率之间存在序列相关和异方差性，所以“已实现”方差（ Realized Variance ）与“已实现”标准差（ Realized Standard Deviation ）的无条件分布都是极端右偏，而且具有极高的峰度。但是“已实现”标准差的偏度要比“已实现”方差的低；

（ 2 ）虽然“已实现”标准差的无条件分布都是极端右偏，而且具有极高的峰度，但是“已实现”标准差取对数后的无条件分布却很近似正态分布；

（ 3 ）虽然日间收益率的无条件分布并非正态分布，具有明显的“高峰厚尾”性，但是日间收益率除以“已实现”标准差后的条件分布却近似是正态分布；

（ 4 ）以上三条性质都是针对每日的“已实现”波动而言的，然而对“已实现”波动的时间聚合性质的研究，即对每周，每两周，每三周及每月的“已实现”波动的研究中发现：在时间聚合下，“已实现”波动的方差按

的尺度增长，其中表示时间跨度， d是常数； （ 5 ）“已实现”波动的自相关系数按双曲线的速率缓慢下降； （ 6 ）“已实现”波动取对数后的无条件分布是正态分布，具有显著的分

数维单整的性质。

12 dh

4、“已实现”波动的应用

“ 已实现”波动无模型、计算方便、并且是金融波动率的一致估计量，“已实现”波动在多变量的情形下还可以扩展为“已实现”协方差矩阵（ Realized Covariance Matrix ， RCM ），它不仅包括各变量自身的“已实现”波动率，也包括变量之间的“已实现”协方差。因此，“已实现”波动近年来被广泛应用于金融高频数据的应用研究中。

如： VaR 的计算；资产定价研究；运用“已实现”波动理论构建“已实现” Beta并对“已实现” Beta 的持续性和预测进行研究；进行动态投资组合研究等。

5、“已实现”波动估计量形式的改进及扩展

赋权偏差校正

（二）“已实现”双幂次变差（ Realized Bipower Variation ， RBV ）

1、“已实现”双幂次变差的概念

2、“已实现”双幂次变差的概率极限

3、“已实现”双幂次变差统计性质的实证研究

1、“已实现”双幂次变差的概念

Barndorff-Nielsen 和 Neil Shephard 提出“已实现”双幂次变差（ RBV ）的定义为：

s

tj

rM

j tj

srsr

t yyM

hRBV ,1

1

1 ,

21,

0, sr

2、“已实现”双幂次变差的概率极限

Barndorff-Nielsen 和 Neil Shephard 指出在不存在跳跃和存在有限次跳跃的条件下，当 s=2-r 时，都有下式成立 ：

ht

th urr

trrM

duRBV)1(

22,12

1lim )2,0(r

)2

1(

))1(2

1(

2 2

rr

r )( p 表示伽玛函数

3、“已实现”双幂次变差统计性质的实证研究 本节使用深证成指和上证综指两个市场的金融高频

数据来构建“已实现”双幂次变差，然后对该估计量的特性进行实证研究。该高频数据是从 2005.4.14 至 2006.4.14深证成指和上证综指的 1 分钟间隔时段内的收盘价，这期间共有 243 个交易日，共有241×243=58563 个数据。

“ 已实现”双幂次变差的参数 r 、 s 的取值只要满足 r+s=2 ，那么估计量的概率极限即为积分波动。因此，不失一般性的，本文选取了 r=s=1 、 r=1/2且 s=3/2 、 r=7/4且 s=1/4 时的“已实现”双幂次变差来研究估计量的统计特性。

图 3-1 r=s=1 时的深证成指的 1分钟

“ 已实现”双幂次变差的自相关函数图

图 3-2 r=s=1 时的深证成指的 5分钟

“ 已实现”双幂次变差的自相关函数图

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

滞后阶数

AC

F

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

滞后阶数

AC

F

当 r=s=1 时，从图 3-1 至 3-5 和图 3-6 至 3-10 中可以看到，深证成指和上证综指在抽样频率分别为 1 分钟、 5 分钟、 10 分钟、 30 分钟和 60 分钟的“已实现”双幂次变差时间序列的 150阶自相关函数，都是随着滞后阶数的增大而缓慢下降。当 r=1/2且 s=3/2 时，从图 3-11 至 3-15 和图 3-16 至3-20 中，以及当 r=7/4且 s=1/4 时，从图 21-25 和图 26-30中，可以看到深证成指和上证综指在抽样频率分别为 1 分钟、5 分钟、 10 分钟、 30 分钟和 60 分钟的“已实现”双幂次变差时间序列的自相关函数，也都是随着滞后阶数的增大而缓慢下降的。

同时，表 3-1 与表 3-2 中深证成指和上证综指分维数 d 的估计值也都显著不为零。这说明“已实现”双幂次变差时间序列为长记忆时间序列，并且具有分数维特性。

表 3-3 至 3-5 分别给出了当 r=s=1 时，当 r=1/2且 s=3/2 时，以及当 r=7/4且 s=1/4 时，深证成指在 1分钟、 5 分钟、 10 分钟、 30 分钟和 60 分钟的抽样时间间隔下，“已实现”双幂次变差 RBV 、标准差、标准差取对数以及用标准差将收益率标准化后的各个统计量的偏度、峰度和 J-B 统计量。

表 3-6 至 3-8 则分别给出了当 r=s=1 时，当 r=1/2且 s=3/2 时，以及当 r=7/4且 s=1/4 时，上证综指在 1 分钟、 5 分钟、 10 分钟、 30 分钟和 60 分钟的抽样时间间隔下，“已实现”双幂次变差 RBV 、标准差、标准差取对数以及用标准差将收益率标准化后的各个统计量的偏度、峰度和 J-B 统计量。

RBV RBV RBVr=s=1 RBV

偏度 5.3672 2.66520.9957

7-

0.0397

1分钟 峰度 42.942 14.504 4.7518 2.4683

J-B统计量 17022 1596.5 69.367 3.1482

偏度 5.7225 2.39830.5005

8 -0.001

5分钟 峰度 49.585 13.334 3.7223 2.4955

J-B统计量 22900 1288.6 14.868 2.7909

偏度 3.4994 1.60670.2666

9-

0.1021

10分钟 峰度 21.033 7.2891 3.1843 2.6063

J-B统计量 3719.7 284.36 3.0983 2.162

偏度 4.3444 1.5312 -0.1571 -0.165

30分钟 峰度 31.562 7.9326 3.395 2.3623

J-B统计量 8865.5 333.68 2.3514 5.461

偏度 2.8838 1.33860.0056

9 -0.129

J-B统计量 1399.9 116.76 2.5718 3.3542

ln yt/

表 3-3 r=s=1 时深证成指在各个抽样频率下的统计量特征

从表 3-3 至 3-8 中可以看出，无论 r 、 s取何值，都可以得出“已实现”双幂次变差具有如下的统计特性：

（ 1 ）“已实现”双幂次变差与标准差的无条件分布都是极端右偏，而且具有极高的峰度，但是标准差的偏度要比“已实现”双幂次变差的低；

（ 2 ）虽然“已实现”双幂次变差的标准差的无条件分布都是极端右偏，而且具有极高的峰度，但是“已实现”标准差取对数后的无条件分布在抽样频率不是很高时（ 10 分钟以上），却为正态分布；

（ 3 ）虽然国内外的实证研究表明日间收益率的无条件分布并非正态分布，具有明显的“高峰厚尾”性，但是日间收益率除以“已实现”双幂次变差的标准差后的条件分布却近似是正态分布（由 J-B 统计量）。

通过对中国股市的深证成指和上证综指的高频金融时间序列的研究，从图 3-1 至 3-30 和表 3-1 至 3-8 中得到的“已实现”双幂次变差的统计性质，同 Andersen 和 Bollerslev 等对西方国家发达金融市场的高频金融时间序列的研究得到的“已实现”波动的性质是基本一致的。

（三） RV与 RBV的比较研究 “ 已实现”波动（ Realized Volatility ， RV ）是 Anderson 和 Bollersle

v 等人基于金融高频时间序列提出的一种全新的波动率度量方法，该方法由于具有无模型、计算方便、并且在一定条件下是波动率的一致估计量等优点，近年来已被广泛应用于高频金融数据的研究中。“已实现”波动的概念和方法，近年来也获得不断的改进和发展。“已实现”双幂次变差（ Realized Bipower Variation ， RBV ）是 Barndorff-Nielsen 和Neil Shephard 提出的另一类似于“已实现”波动的波动率度量方法，该估计量同样是波动率的一致估计量。

针对这两种文献中常被提及和讨论的有代表性的波动率估计方法，本节在定义形式、估计量的稳健性、有效性等方面对这两个估计量进行了比较，发现“已实现”双幂次变差的定义形式更广泛，除了具有稳健性，本节还证明了“已实现”双幂次变差比“已实现”波动更有效。

通过对深证成指和上证综指的实证研究，我们可以看出“已实现”双幂次变差的稳健性，同时也证实了“已实现”双幂次变差能更准确的估计金融股市收益率的波动。

1 、定义形式 Barndorff-Nielsen 和 Neil Shephard 提出“已实现”双幂次变

差（ RBV ）的定义为：

s

tj

rM

j tj

srsr

t yyM

hRBV ,1

1

1 ,

21,

0, sr

Andersen 和 Bollerslev 提出 “已实现”波动（ RV ）的定义为：

M

j tjt yRV1

2, t=1,2,…,T

当 r=0 ， s=2 或者 r=2 ， s=0 时， RBV 即为 RV,因此从定义形式上看， RV 是 RBV当参数取特定值时的特殊形式。

2 、稳健性Barndorff-Nielsen 和 Neil Shephard 指出在不存在跳跃和存在有

限次跳跃的条件下，当 s=2-r 时，都有下式成立 ：

ht

th urr

trrM

duRBV)1(

22,12

1lim )2,0(r

)2

1(

))1(2

1(

2 2

rr

r )( p 表示伽玛函数

当不存在跳跃时，“已实现”波动的极限收敛到积分波动：

th

ht utM

duRV)1(

2lim

th

ht

N

Nkk

h h

uuhtuhtt cdwduy)1(

0 0 )1()1(

此时，“已实现”波动的收敛结果为：

假设加入跳跃后金融资产对数价格的日收益为：

th

ht

N

Nkk

th

ht utM

cduRV)1(

2

)1(

2lim

在有限区间上发生有限次跳跃后，若波动率估计量的估计结果不变，则认为该估计量具有稳健性。

在加入有限次的跳跃后，“已实现”波动与“已实现”双幂次变差的收敛结果不再相同，“已实现”波动的收敛结果中除积分波动以外，还包含了跳跃带来的对波动的影响，而“已实现”双幂次变差仍收敛到积分波动。同没有加入跳跃时相比，“已实现”波动的收敛结果发生了改变，而“已实现”双幂次变差则没有发生变化。

因此同“已实现”波动相比，“已实现”双幂次变差对波动特性的估计具有更好的稳健性。

3 、有效性

在一定条件下，“已实现”双幂次变差与“已实现”波动都是积分波动的一致估计量，那么“已实现”双幂次变差与“已实现”波动哪个更有效呢？本节给出三个定理：定理 3-3 证明了在每一点的波动相等的前提条件下，当 )2,0(r

入引理 3-1 后，定理 3-4 证明了当 r=1 时，“已实现”双幂次变差的方差小于“ 已实现”波动的方差；在证明了引理 3-2 后，定理 3-5 证明了当

时“已实现”双幂次变差的方差小于“已实现”波动的方差；在引

)2,0(r

并且 r+s=2 时，“已实现”双幂次变差的方差小于“已实现”波动的方差，而且当 r=1 时，“已实现”双幂次变差的方差最小。

RV 与 RBV 的有效性对比：

4 、实证研究

本节实证研究采用的高频金融时间序列的原始数据是 2005.4.14-2006.4.14深证成指和上证综指的 1 分钟间隔时段内的收盘价，这期间共有 243 个交易日，共有 241×243=58563个数据。

在深证成指 1 分钟间隔的对数价格序列中，找出相邻两个时间点差值绝对值最大的时间点分别为第 31149 个（ t1 ）和第 31331 个（ t2) 时间点， t1 与 t1+1 时刻的对数价格差的绝对值为 0.0066 ， t2与 t2+1 时刻的对数价格差的绝对值为 0.0065 。可以将 t1 与 t2看作对数价格序列中的跳跃点， t1 与 t2 分别对应于第 129天的第 60 个日内对数价格收益和第130天的第 1 个日内对数价格收益。

图 3-33画出了 [31100 ， 31350] 区间上的对数价格收益路径，从图中可以看到时间点为 31149 （ t1 ）和 31331 （ t2 ）处发生了跳跃。

图 3-34画出了 [125 ， 135] 区间上的“已实现”波动（ RV ）和“已实现”双幂次变差（ RBV ），可以看出在第 130天和第 131天的位置上“已实现”波动（ RV ）明显的大于“已实现”双幂次变差（ RBV ），这正是由于“已实现”波动（ RV ）此时还包含跳跃带来的波动，而“已实现”双幂次变差（ RBV ）描述的仅仅是积分波动。

图 3-33 深证成指 1 分钟数据在 [31100 ， 31350] 上的对数价格路径图

在深证成指 1 分钟间隔的对数价格序列中，找出相邻两个时间点差值绝对值最大的时间点分别为第 31149 个（ t1 ）和第 31331 个（ t2) 时间点， t1 与 t1+1 时刻的对数价格差的绝对值为 0.0066 ， t2与 t2+1 时刻的对数价格差的绝对值为 0.0065 。可以将 t1 与 t2看作对数价格序列中的跳跃点， t1 与 t2 分别对应于第 129天的第 60 个日内对数价格收益和第130天的第 1 个日内对数价格收益。图3-33画出了 [31100 ， 31350] 区间上的对数价格收益路径，从图中可以看到时间点为 31149 （ t1 ）和 31331 （ t2 ）处发生了跳跃。

图 3-34画出了 [125 ， 135] 区间上的“已实现”波动（ RV ）和“已实现”双幂次变差（ RBV ），可以看出在第 130天和第 131天的位置上“已实现”波动（ RV ）明显的大于“已实现”双幂次变差（ RBV ），这正是由于“已实现”波动（ RV ）此时还包含跳跃带来的波动，而“已实现”双幂次变差（ RBV ）描述的仅仅是积分波动。

图 3-34 深证成指在时间区间 [125 ， 135] 上的 RV 与 RBV

图 3-35画出了 [18701 ， 18800] 区间上的对数价格收益路径，从图中可以看到时间点为 18771处发生了跳跃。图 3-36画出了 [71 ， 80] 区间上的“已实现”波动（ RV ）和“已实现”双幂次变差（ RBV ），可以看出在第 78天的位置上“已实现”波动（ RV ）明显的大于“已实现”双幂次变差（ RBV ）。

图 3-35 上证综指 1 分钟数据在[18701 ， 18800] 上的对数价

格路径图

图 3-36 上证综指在时间区间[71 ， 80] 上的 RV 与 RBV

为了说明定理 3-5 （有效性），分别求出“已实现”波动和 r=s=1 时的“已实现”双幂次变差，再任取 r≠1 时的“已实现”双幂次变差，不妨取 r=1/2,s=3/2 。

表 3-7 各种收益率序列的分布特征 　 10 分钟数据 YRVt YRBVt YRBV1t

均值 0.1 0.1 0.1

标准差 1.15 1.3 1.28

深证成指 偏度 -0.1 -0.1 -0.1

峰度 2.46 2.61 2.57

　 J-B统计量 3.08 1.99 2.48

均值 0.12 0.14 0.14

标准差 1.04 1.17 1.16

上证综指 偏度 -0.1 -0.2 -0.2

峰度 2.43 2.56 2.51

　 J-B统计量 4.04 3.06 3.73

从表 3-7 中可以看出， r=s=1 时的 YRBVt 的J-B 统计量最小，其次是 YRBV1t 的 J-B 统计量， YRVt 的 J-B 统计量最大。这说明用 r=s=1 时的“已实现”双幂次变差的标准差标准化后的日收益率的正态化程度最高，从而说明 r=s=1 时的“已实现”双幂次变差对真实波动率的度量更准确。对深证成指和上证综指两个市场的实证结果与定理 3-5 的结论相一致。

谢谢大家！