56a4%d9%e8%c1%d7%cd%a4%b3… · ตอนที่ 5 (5/6) หัวข้อย่อย 1....

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 56

จ านวนจรง

แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 5)

โดย

ดร.ณหทย ฤกษฤทยรตน

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 19 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหดตอนท 1 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 1) - แบบฝกหดขนพนฐาน - แบบฝกหดขนสง - แบบทดสอบ







3

17. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 18. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 19. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง เซต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง จ านวนจรง หมวด แบบฝกหด ตอนท 5 (5/6) หวขอยอย 1. แบบฝกหดขนพนฐาน 2. แบบฝกหดขนสง 3. แบบทดสอบ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจขนตอนวธการหาค าตอบและสามารถหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวนได 2. เขาใจขนตอนวธการหาค าตอบและสามารถหาค าตอบของอสมการโดยใชเทคนคการยก

ก าลงสองได 3. เขาใจขนตอนวธการหาค าตอบและสามารถหาค าตอบของอสมการโดยใชเทคนคการแทน

คาได 4. เหนความเกยวของของอสมการกบปญหาในชวตประจ าวนและสามารถหาค าตอบของ

ปญหานนได


5

1. แบบฝกหดขนพนฐาน

แบบฝกหดขนพนฐาน ใชเพอวดความรความสามารถขนพนฐานของผเรยน ประกอบดวยขอ

ค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดยผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนไดมากถง 103 แบบ


6

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวน จดประสงคของโจทยขอ 1 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการทอย

ในรปเศษสวนของพหนามโดยการแยกตวประกอบไดหรอไม

1.1 เซตค ำตอบของอสมกำร 2 3 2

01

x x

x

ตรงกบขอใดตอไปน

1. ( ,2] 2. [2, )

3. ( ,1) (1,2] 4. (1,2) (2, )

เฉลย 3

จากอสมการ 2 3 2

01

x x

x

จะได ( 2)( 1)0

1

x x

x

2 0x ; 1x 2x ; 1x วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการได ดงรป

ดงนน เซตค าตอบของอสมการ 2 3 2

01

x x

x

คอ ( ,1) (1,2]

1.2 เซตค ำตอบของอสมกำร 2 5 6

02

x x

x


1. ( ,2) (2,3] 2. (2,3) (3, ) 3. ( ,3] 4. [3, )

เฉลย 1


02

x x

x

จะได ( 2)( 3)0

2

x x

x

3 0x ; 2x 3x ; 2x

2 1


7

วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการได ดงรป

ดงนน เซตค าตอบของอสมการ 2 5 6

02

x x

x

คอ ( ,2) (2,3]

1.3 เซตค ำตอบของอสมกำร 2 2

02

x x

x


1. ( ,1] 2. [1, ) 3. ( 2,1) (1, ) 4. ( , 2) ( 2,1]

เฉลย 4

จากอสมการ 2 2

02

x x

x

จะได ( 2)( 1)0

2

x x

x

1 0x ; 2x 1x ; 2x วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการได ดงรป

ดงนน เซตค าตอบของอสมการ 2 2

02

x x

x

คอ ( , 2) ( 2,1]

3 2

1 -2


8

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวน

จดประสงคของโจทยขอ 2 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการทอย ในรปเศษสวนของพหนามทมพจนก าลงสองสมบรณไดหรอไม

2.1 เซตค ำตอบของอสมกำร 2( 15)

011

x

x


1. (11, ) 2. (11,15] 3. (15, ) 4. (11,15) (15, )

เฉลย 1 จากโจทยจะไดวา 11x

ถา 15x จะเหนไดชดวาอสมการ 2( 15)

011

x

x

เปนจรง

ดงนน 15 เปนค าตอบของอสมการ

ถา 15x แลว น า 2( 15)x หารตลอดทงอสมการ จะได 10

11x

จากนนน า 2( 11)x คณตลอดทงอสมการ จะได 11 0x แต 11x เพราะฉะนน 11x

ดงนน เซตค าตอบของอสมการ 2( 15)

011

x

x

เมอ 15x คอ (11,15) (15, )

จากทงสองกรณ สรปไดวา เซตค าตอบของอสมการ 2( 15)

011

x

x

คอ (11, )


04

x

x


1. (13, ) 2. ( 4,13] 3. ( 4, ) 4. ( 4,13) (13, )



04

x

x

เปนจรง



4x


9

จากนน น า 2( 4)x คณตลอดทงอสมการ จะได 4 0x แต 4x เพราะฉะนน 4x


04

x

x

เมอ 13x คอ ( 4,13) (13, )


04

x

x

คอ ( 4, )


010

x

x


1. ( 7, ) 2. ( 10, ) 3. ( 10, 7] 4. ( 10, 7) ( 7, )



010

x

x

เปนจรง



10x

จากนน น า 2( 10)x คณตลอดทงอสมการ จะได 10 0x แต 10x เพราะฉะนน 10x


010

x

x

เมอ 7x คอ ( 10, 7) ( 7, )


010

x

x

คอ ( 10, )


10


จดประสงคของโจทยขอ 3 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการทอย ในรปเศษสวนของพหนามไดหรอไม

3.1 เซตค ำตอบของอสมกำร 11

3x


1. ( , 3) 2. ( , 3) [ 2,1] 3. [ 2, ) 4. ( , 3) [ 2, )

เฉลย 4

จากอสมการ 11

3x

น า 2( 3)x คณตลอดทงอสมการจะได 23 ( 3)x x ; 3x

2( 3) ( 3) 0x x ; 3x ( 3)( 3 1) 0x x ; 3x ( 3)( 2) 0x x ; 3x


ดงนน เซตค าตอบของอสมการ 11

3x

คอ ( , 3) [ 2, )

3.2 เซตค ำตอบของอสมกำร 11

3x


1. ( ,3) 2. ( ,3) [4, ) 3. [4, ) 4. ( ,1] (3,4]

เฉลย 2


3x


2( 3) ( 3) 0x x ; 3x

-2 -3


11

( 3)( 3 1) 0x x ; 3x ( 3)( 4) 0x x ; 3x



3x

คอ ( ,3) [4, )

3.3 เซตค าตอบของอสมการ 11

5x


1. ( , 5) 2. [ 4, ) 3. ( , 5) [ 4, ) 4. ( , 5) [ 4,1]

เฉลย 3


5x


2( 5) ( 5) 0x x ; 5x ( 5)( 5 1) 0x x ; 5x ( 5)( 4) 0x x ; 5x



5x

คอ ( , 5) [ 4, )

4 3

-4 -5


12

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการยกก าลงสอง

จดประสงคของโจทยขอ 4 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการโดย ใชเทคนคการยกก าลงสองไดหรอไม

4.1 เซต 2 3x x ตรงกบขอใดตอไปน

1. 2. (7, ) 3. ( 2,7) (7, ) 4. ( 2, ) เฉลย 2 จาก 2 3x

จะได 2

22 3x

2 9x 7x

ดงนน 2 3 (7, )x x

หมายเหต 2x เปนจ านวนจรงเมอ 2 0x ซงรวมอยในเงอนไข 2 9x แลว


1. (20, ) 2. (4,20) (20, ) 3. (4, ) 4. เฉลย 1 จาก 4 4x

จะได 2

24 4x

4 16x 20x

ดงนน 4 4 (20, )x x

หมายเหต 4x เปนจ านวนจรงเมอ 4 0x ซงรวมอยในเงอนไข 4 16x แลว


1. (0,3) 2. (3,13) 3. [4,9) 4. [4,13)


13

เฉลย 4 จาก 4 3x

จะได 2

20 4 3x

0 4 9x 4 13x

ดงนน 4 2 [4,13)x x

หมายเหต 4x เปนจ านวนจรงเมอ 4 0x ซงรวมอยในเงอนไข 0 4 9x แลว


14


จดประสงคของโจทยขอ 5 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการ โดยใชเทคนคการยกก าลงสองไดหรอไม

5.1 ก าหนดให 1 4A x x แลวกรำฟของ A ตรงกบขอใดตอไปน

1. 2. 3. 4. เฉลย 4

จาก 1 4x จะได 2

20 1 4x และ 1 0x

0 1 16x และ 1x 1 17x และ 1x

ดงนน 1 17x นนคอ [1,17]A

5.2 ก ำหนดให 3 5A x x แลวกรำฟของ A ตรงกบขอใดตอไปน

1. 2. 3. 4. เฉลย 3


20 3 5x และ 3 0x

0 3 25x และ 3x 3 22x และ 3x

ดงนน 3 22x นนคอ [ 3,22]A

5 17

5 1 17 1

2 22

22 -3 2 -3


15

5.3 ก ำหนดให 2 5A x x แลวกรำฟของ A ตรงกบขอใดตอไปน

1. 2. 3. 4. เฉลย 1


22 5x และ 2 0x

2 25x และ 2x 27x และ 2x

ดงนน 27x นนคอ [27, )A

27 2 7 2

27 7


16

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวนและการหาค าตอบของอสมการโดยใชสมบตของจ านวนจรง จดประสงคของโจทยขอ 6 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวนโดยใชสมบตของจ านวนจรงไดหรอไม

6.1 ถำ 8 2A x x และ 2

1 0

6 8B x

x x

แลว B A ตรงกบขอใดตอไปน

1. 2. [ 8, 4) 3. ( , 8) 4. [ 4, 2]

เฉลย 3 พจารณา A เนองจาก 8 0x ส าหรบทก 8x จะได 8 2x ส าหรบทก 8x ดงนน [ 8, )A

พจารณา B เนองจาก 2

10

6 8x x

จะได 10

( 4)( 2)x x

น า 2 2( 4) ( 2)x x คณตลอดทงอสมการ จะได ( 4)( 2) 0x x ; 4, 2x เพราะฉะนน ( , 4) ( 2, )B วาดกราฟแสดงเซต A และ B ได ดงน

ดงนน ( , 8)B A

6.2 ถำ 8 2A x x และ 2

1 0

6 8B x

x x

แลว A B ตรงกบขอใดตอไปน

1. 2. [ 8, 4) ( 2, ) 3. ( , 4) ( 2, ) 4. [ 8, 4)

เฉลย 2

-8 -2 -4

B A


17

พจารณา A เนองจาก 8 0x ส าหรบทก 8x จะได 8 2x ส าหรบทก 8x ดงนน [ 8, )A


10

6 8x x

จะได 10

( 4)( 2)x x

น า 2 2( 4) ( 2)x x คณตลอดทงอสมการ จะได ( 4)( 2) 0x x ; 4, 2x เพราะฉะนน ( , 4) ( 2, )B วาดกราฟแสดงเซต A และ B ได ดงน

ดงนน [ 8, 4) ( 2, )A B

6.3 ถา 3 4A x x และ 2

1 0

9 20B x

x x

แลว A B ตรงกบขอใดตอไปน

1. 2. [3,4] 3. ( ,3) 4. [4,5]

เฉลย 4 พจารณา A เนองจาก 3 0x ส าหรบทก 3x จะได 3 4x ส าหรบทก 3x ดงนน [3, )A


10

9 20x x

จะได 10

( 5)( 4)x x

น า 2 2( 5) ( 4)x x คณตลอดทงอสมการ จะได ( 5)( 4) 0x x ; 4, 5x เพราะฉะนน ( ,4) (5, )B

-8 -2 -4

B A


18

วาดกราฟแสดงเซต A และ B ได ดงน ดงนน [4,5]A B

B

3 5 4

A


19

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการแทนคา จดประสงคของโจทยขอ 7 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการ

โดยใชเทคนคการแทนคาไดหรอไม

7.1 เซตค ำตอบของอสมกำร 2 3 0x x ตรงกบขอใดตอไปน

1. [0,3] 2. [0,9] 3. [3,9] 4. [9, )

เฉลย 2 ให y x ดงนน จากโจทยจะได 2 2 3 0y y

( 3)( 1) 0y y


จะได 1 3y เพราะฉะนน 1x และ 3x 0x และ 0 9x ดงนน 0 9x


1. [5, ) 2. (0,1) [5, ) 3. [25, ) 4. (0,1) [25, )


( 5)( 1) 0y y


3 -1

5 -1


20

จะได 1y หรอ 5y เพราะฉะนน 1x หรอ 5x เนองจากไมมจ านวนจรง x ใดทท าให 1x เราจงพจารณาเพยงเงอนไข 5x ซงจะได 25x


1. [0,1] 2. [0,49] 3. [1,49] 4. [1, )


( 1)( 7) 0y y


จะได 7 1y เพราะฉะนน 7x และ 1x 0x และ 0 1x ดงนน 0 1x

1 -7


21

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการแทนคา จดประสงคของโจทยขอ 8 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการ

โดยใชเทคนคการแทนคาไดหรอไม

8.1 เซตค ำตอบของอสมกำร 22 5 2 4 0x x ตรงกบขอใดตอไปน 1. [1,4] 2. [0,2] 3. [1,2] 4. [0,4] เฉลย 2 ให 2xy จากโจทย จะได 2 5 4 0y y

( 4)( 1) 0y y

วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการได ดงรป ดงนน 1 4y

นนคอ 1 2 4x

0 22 2 2x

เพราะฉะนน 0 2x

8.2 เซตค ำตอบของอสมกำร 23 28 3 27 0x x ตรงกบขอใดตอไปน

1. [0,3] 2. [0,27] 3. [1,3] 4. [1,27]

เฉลย 1 ให 3xy จากโจทย จะได 2 28 27 0y y

( 1)( 27) 0y y


4 1

27 1


22

ดงนน 1 27y นนคอ 1 3 27x

0 33 3 3x


8.3 เซตค ำตอบของอสมกำร 22 33 2 32 0x x ตรงกบขอใดตอไปน

1. [1,25] 2. [1,32] 3. [0,5] 4. [0,32]

เฉลย 3 ให 2xy จากโจทย จะได 2 33 32 0y y

( 1)( 32) 0y y

วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการได ดงรป ดงนน 1 32y

นนคอ 1 2 32x

0 52 2 2x


32 1


23


จดประสงคของโจทยขอ 9 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการโดย ใชเทคนคการยกก าลงสองไดหรอไม

9.1 ก ำหนดให 1 2A x

x

ขอใดตอไปนเปนจรง

1. (0,2) A 2. ( 2,7) (0,7)A 3. (2,3)A A 4. (5, ) (1,5)A

เฉลย 3

จาก

12

x จะได 1

2x นนคอ 1

4x ดงนน 1

,4

A

พจารณาตวเลอกจากโจทย จะได

0,2 ,A 1( 2,7) ,7 ,

4A

(2,3)A A และ (5, ) 5,A

เพราะฉะนน ตวเลอก 3 ถก


x


1. (0,1) A 2. (2, ) (1,2)A 3. (0,3)A A 4. (2,7) (2,7)A

เฉลย 4

จาก

13

x จะได 1

3x นนคอ 1

9x ดงนน 1

,9

A


0,1 ,A 1(2, ) ,2 ,

9A

(0,3) (0, )A และ (2,7) (2,7)A



x


1. (0,3) A 2. (0,4) [4, )A 3. (0,5)A A 4. (0,6) (0,6)A


24

เฉลย 2

จาก

15

x จะได 1

5x นนคอ 1

25x ดงนน 1

,25

A


(0,3) ,A (0,4) [4, ),A (0,5) (0, )A และ 1(0,6) ,6

25A



25

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : อสมการกบปญหาในชวตประจ าวน

จดประสงคโจทยขอ 10 คอ ตองการทดสอบวานกเรยนสามารถแปลงปญหาในชวตประจ าวน ใหอยในรปอสมการและแกปญหานนไดหรอไม

10.1 จ ำนวนเตมบวกสองจ ำนวนมคำตำงกนอย 22 ถำผลคณของสองจ ำนวนนมคำนอยกวำ 840 แลวจ ำนวน เตมบวกทมคำนอยเปนไปไดทงหมดกจ ำนวน

1. 19 2. 20 3. 21 4. 22 เฉลย 1 ให x แทนจ านวนเตมบวกทมคานอย จากโจทยจะได ( 22) 840x x

2 22 840 0x x

( 42)( 20) 0x x

42 20x

ดงนน 1, 2, , 18, 19x



2 18 360 0x x

( 30)( 12) 0x x

30 12x

ดงนน 1, 2, , 10, 11x


26



2 35 750 0x x

( 50)( 15) 0x x

50 15x

ดงนน 1, 2, , 13, 14x


27

2. แบบฝกหดขนสง

แบบฝกหดขนสง ใชเพอวดความรความสามารถขนสงของผเรยน ครอบคลมตามจดประสงคการ

เรยนรทก าหนด ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 12 ขอ พรอมเฉลยทผใชสอ

สามารถเลอกดค าอธบายไดจากสอการสอน


28

จดประสงคหลกของโจทยขอ 1 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนสามารถแกอสมการทอยในรปเศษสวนของพหนามโดยการแยกตวประกอบไดหรอไม โดยมจดทตองระวงคอการน าพหนามคณตลอดทงสมการอาจจะสงผลกบเครองหมายอสมการ และจ านวนจรงทท าใหตวสวนเปนศนยไมเปนค าตอบของอสมการ

นอกจากนในการพจารณาตวเลอก ก และ ข จ าเปนตองอาศยความรเรองเซตเขามาชวยดวย


29

จดประสงคหลกของโจทยขอ 2 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวนของพหนามไดหรอไม โดยตองการใหผเรยนหนวาหลกการคณไขวทใชในการหาค าตอบของสมการทอยในรปเศษสวนไมสามารถน ามาใชในการแกอสมการทตวสวนตดตวแปรได เพราะเราไมทราบวาตวสวนนนเปนจ านวนจรงบวกหรอจ านวนจรงลบ และตองการใหผเรยนใหความส าคญกบขอบเขตของสมาชกในเซตซงอาจไมใชเซตของจ านวนจรง


30

จดประสงคหลกของโจทยขอ 3 คอ ตองการทดสอบความเขาใจในการหาค าตอบของอสมการโดยใชอสมการทเกยวของกบพหนาม โดยใชความรทวา 2 8x มคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ และ

2 8x จะเปนจ านวนจรงเมอ 2 8x มคามากกวาหรอเทากบศนย ซงหลกการพจารณานสามารถน าไปใชกบรากท n ของจ านวนจรง เมอ n เปนจ านวนจ านวนเตมบวกคดวย


31

จดประสงคหลกของโจทยขอ 4 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการยกก าลงสองไดหรอไม กอนทผเรยนจะใชเทคนคนผเรยนจะตองทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท ถา 0, 0 a b และ a b แลว 2 2a b

ส าหรบโจทยขอนเราทราบวา 12 3 1

x

x

เพราะฉะนนคาของ x จะตองมากกวาศนย


32

จดประสงคหลกของโจทยขอ 5 คอ ตองการทดสอบความเขาใจในการหาค าตอบของอสมการโดย

ใชเทคนคการยกก าลงสอง จากทฤษฎบทในตวอยางขอ 4 ท าใหไดวา การยกก าลงสองทงสองขางท าไดเมอจ านวนจรงทงสองขางของอสมการมคามากกวาหรอเทากบศนย ในการหาค าตอบของอสมการนจงตองพจารณาเปน 2 กรณ คอ

กรณท 1 5 16 0x และ 2 0x

กรณท 2 5 16 0x และ 2 0x จากนนจงหาค าตอบของแตละกรณ ดงทไดแสดงไวในสอการสอน


33

จดประสงคหลกของโจทยขอ 6 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนสามารถหาค าตอบของอสมการโดย

เทคนคการแทนคาและการหาค าตอบของอสมการไดหรอไม ส าหรบโจทยขอนการใชเทคนคการแทนคาจะชวยจดรปอสมการทโจทยก าหนดใหอยในรป

อสมการพหนาม ท าใหแกอสมการไดสะดวกขน


34

จดประสงคหลกของโจทยขอ 7 คอ ตองการทดสอบความเขาใจในการหาค าตอบของอสมการโดย

เทคนคการแทนคา อสมการทโจทยก าหนดมพจนทอยในรปของเลขยกก าลงทมฐานเปนจ านวนเตมและมเลขชก าลงเปนตวแปร การใชเทคนคการแทนคาจะชวยจดรปอสมการทโจทยก าหนดใหอยในรปอสมการพหนาม ท าใหแกอสมการไดสะดวกขน


35

จดประสงคหลกของโจทยขอ 8 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนสามารถแกปญหาในชวตประจ าวน

โดยใชอสมการไดหรอไม

ในการแกโจทยปญหานผเรยนจะตองสรางสมการสองตวแปรของเสนรอบรปของสามเหลยมหนา

จว จากนนจงใชอสมการในการบอกขอบเขตของความสงของสามเหลยมเพอหาขอบเขตของความยาวฐาน

ของสามเหลยม


36

จดประสงคหลกของโจทยขอ 9 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนสามารถแกปญหาในชวตประจ าวน

โดยใชอสมการทเกยวของกบพหนามดกรสองไดหรอไม โจทยปญหาขอนแกไดโดยการแปลงโจทยใหเปนอสมการทอยในรปพหนามดกรสอง จากนนจงใช

หลกการแกอสมการหาค าตอบ


37

จดประสงคหลกของโจทยขอ 10 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนเขาใจและหาค าตอบของอสมการ

โดยเทคนคการยกก าลงสองและการหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวนไดหรอไม

ในการหาเซต A ผเรยนตองใชความรเกยวกบการแกอสมการเอกซโพเนนเชยลซงผบรรยายได

กลาวไวแลวในสอการสอน ผเรยนสามารถศกษาเพมเตมไดจากสอการสอนเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

สวนการหาเซต B ท าไดโดยใชหลกการหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวน


38

จดประสงคหลกของโจทยขอ 11 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนเขาใจและหาค าตอบของอสมการท

อยในรปเศษสวนและใชเทคนคการแทนคาไดหรอไม

โจทยลกษณะนผเรยนจะตองมความเขาใจในเรองนน ๆ อยางถองแทเนองจากตวเลอก 1, 2, 3 และ

4 มโอกาสทจะเปนค าตอบเทา ๆ กน การหาเซต A ท าไดโดยใชหลกการหาค าตอบของอสมการทอยในรป

เศษสวน และการหาเซต B ท าไดโดยการแทนคา 2xy


39

จดประสงคหลกของโจทยขอ 12 คอ ตองการทดสอบวาผเรยนเขาใจและหาค าตอบของอสมการท

เกยวของกบพหนามดกรสองและหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการยกก าลงสองไดหรอไม

การแกโจทยขอนผเรยนจะตองจดอสมการใหอยในรปก าลงสองสมบรณ จากนนจงพจารณาเปน 2

กรณ คอ 9k และ 9k


40

3. แบบทดสอบ

แบบทดสอบ ใชเพอทดสอบความรความสามารถขนสงของผเรยน ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดยผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนไดมากถง 103 แบบ


41


1.1 ก าหนดให 2 7 5A x x x และ 6 1B x x ขอใดตอไปนถกตอง

1. 4,10A 2. A B A

3.

7,

2A B

4. [5,6)A B

เฉลย 3 พจำรณำเซต A สงเกตวา 2 7x เปนจ านวนจรงเมอ 2 7 0x

กรณ 5 0x จะได 2 2

2 7 5x x และ 2 7 0x

22 7 10 25x x x และ 7

2x

2 12 32 0x x และ 7

2x

8 4 0x x และ 7

2x

4 8x และ 7

2x

เซตค าตอบในกรณน คอ 7

, 5, 4,8 5,82

กรณ 5 0x จะได 2

2 7 0x และ 5x

2 7 0x และ 5x

7

2x และ 5x

เซตค าตอบในกรณน คอ 7,5

2

จากทงสองกรณจะได 7,8

2A

พจารณาเซต B เนองจาก 6x เปนจ านวนจรงเมอ 6x และจากสมบตของจ านวนจรง เราทราบวา 6 0x ดงนน [6, )B พจารณาตวเลอกจากโจทย จะได

4,10 ,A 6,8 ,A B A 7

, ,2

A B

7

,62

A B



42


1. 3,10A 2. 3,7A B 3.

3,A B 4. [ 3,6) 7,B A เฉลย 2 พจำรณำเซต A สงเกตวา 2 15x เปนจ านวนจรงเมอ 2 15 0x


2 15 6x x และ 2 15 0x

22 15 12 36x x x และ 15

2x

2 10 21 0x x และ 15

2x

7 3 0x x และ 15

2x

3 7x และ 15

2x

เซตค าตอบในกรณนคอ 15

, 6, 3,7 6,72


2 15 0x และ 6x

2 15 0x และ 6x

15

2x และ 6x

เซตค าตอบในกรณนคอ ,6 จากทงสองกรณจะได ,7A พจารณาเซต B เนองจาก 3x เปนจ านวนจรงเมอ 3x และจากสมบตของจ านวนจรง เราทราบวา 3 0x ดงนน [ 3, )B พจารณาตวเลอกจากโจทย จะได

3,10 ,A 3,7 ,A B ,A B , 3A B



43


1. 2,10A 2. ,3A B

3.

2,3A B 4. 9,5

B A

เฉลย 4 พจำรณำเซต A สงเกตวา 5 9x เปนจ านวนจรงเมอ 5 9 0x


5 9 3x x และ 5 9 0x

25 9 6 9x x x และ 9

5x

2 11 18 0x x และ 9

5x

9 2 0x x และ 9

5x

2 9x และ 9

5x

เซตค าตอบในกรณนคอ 9

, 3, 2,9 3,95


5 9 0x และ 3x

5 9 0x และ 3x

9

5x และ 3x

เซตค าตอบในกรณนคอ 9,3

5

จากทงสองกรณจะได 9,9

5A

พจารณาเซต B เนองจาก 3 x เปนจ านวนจรงเมอ 3x และจากสมบตของจ านวนจรง เราทราบวา 3 0x ดงนน ,3B พจารณาตวเลอกจากโจทย จะได

2,10 ,A ,9 ,A B 9

,3 ,5

A B

9,5

B A



44

1 2

3

-2

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการยกก าลงสองและการหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวน

2.1 ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 1

3 2

x

x x

แลวจ านวนเตมทเปนสมาชกของเซต

6,A มทงหมดกจ านวน 1. 4 จ ำนวน 2. 5 จ ำนวน 3. 6 จ ำนวน 4. 7 จ ำนวน

เฉลย 2


3 2

x

x x

จะไดวา 3 2 0x และ 0x นนคอ 2

3x

ดงนน 2 1

3 2

x

x x

เนองจาก 3 2 0x และ 0x จะได 3 3 2x x

3 3 2 0x x

21 2 0x x

ถา 1x แลวอสมการ 2

1 2 0x x เปนเทจ

นนคอ 1 ไมเปนค าตอบของอสมการ 1

3 2

x

x x

ถา 1x แลว 2 0x นนคอ 2x

วาดกราฟแสดงเงอนไขของค าตอบของอสมการ 1

3 2

x

x x

ไดดงน

ดงนน 2

,1 1,3

A

เพราะฉะนน จ านวนเตมทเปนสมาชกของเซต 6,A มทงหมด 5 จ านวน คอ 2, 3, 4, 5 และ 6


45

2 4

3

-4


12 16

x

x x


0,25A มทงหมดกจ านวน 1. 23 จ ำนวน 2. 24 จ ำนวน 3. 25 จ ำนวน 4. 26 จ ำนวน

เฉลย 1


12 16

x

x x

จะไดวา 12 16 0x และ 0x นนคอ 4

3x

ดงนน 2 1

12 16

x

x x


3 12 16 0x x

22 4 0x x




12 16

x

x x



12 16

x

x x

ไดดงน

ดงนน 4

,2 2,3

A

เพราะฉะนน จ านวนเตมทเปนสมาชกของเซต 0,25A มทงหมด 23 จ านวน คอ 3, 4, 5, , 25


3 2

x

x x


1, A มทงหมดกจ านวน 1. 2 จ ำนวน 2. 3 จ ำนวน 3. 4 จ ำนวน 4. 5 จ ำนวน

เฉลย 3


46


3 2

x

x x

จะไดวา 3 2 0x และ 0x นนคอ 0x

ดงนน 2 1

3 2

x

x x


3 3 2 0x x

21 2 0x x




3 2

x

x x



3 2

x

x x

ไดดงน

ดงนน 2,A เพราะฉะนน จ านวนเตมทเปนสมาชกของเซต 1, A มทงหมด 4 จ านวน คอ 1, 0, 1 และ 2

0 2


47


3.1 ขอใดตอไปนเปนสบเซตของเซตค าตอบของอสมการ 2

3 8 72

1 1

x

x x

1. 5, 3 2. 3, 1 3. 1,1 4. 1,3

เฉลย 3


3 8 72

1 1

x

x x

จะได

23( 1) 2( 1) 8 70

1 1

x x x

x x

23 3 2 2 8 70

1 1

x x x

x x

22 5 120

1 1

x x

x x

22 5 120

1 1

x x

x x

2 3 40

1 1

x x

x x

น า 2 2

1 1x x คณตลอดทงอสมการจะได

2 3 4 1 1 0x x x x และ 1, 1x วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการไดดงน


3 8 72

1 1

x

x x

คอ

3, 4 1,1 ,

2


4 9 223

2 4

x

x x

1. , 2 2. 1,0 3. 1,2 4. 3,

-1 -4 1 3

2


48

เฉลย 4


4 9 223

2 4

x

x x

จะได

24( 2) 3( 4) 9 220

2 2

x x x

x x

24 8 3 12 9 220

2 2

x x x

x x

23 5 20

2 2

x x

x x

23 5 20

2 2

x x

x x

น า 2 2




4 9 223

2 4

x

x x

คอ

2, 2 1, 2,

3


2 232

3 9

x

x x

1. 2, 1 2. 0,2 3. 3,5 4. 7,9

เฉลย 1


2 232

3 9

x

x x

จะได

22( 3) 2( 9) 230

3 3

x x x

x x

22 6 2 18 230

3 3

x x x

x x

-1 -2 2 2

3


49

22 10

3 3

x x

x x

22 10

3 3

x x

x x

น า 2 2




2 232

3 9

x

x x

คอ

13, 1,3

2

1 -3 3 1

2


50


4.1 ก าหนดให 2 2 7

13

x xA x

x

และ

4 2

2

22

2

x xB x

x

ถา a เปนสมาชกทมคานอยทสดของ A และ b เปนสมาชกทมคามากทสดของ B แลว 2 3a b มคาเทากบเทาใด 1. 5 2. 1 3. 1 4. 5 เฉลย 1 พจำรณำเซต A


13

x x

x

จะได 2 3 4

03

x x

x

( 1)( 4)

03

x x

x

น า 2

3x คณตลอดทงอสมการจะได ( 1)( 4)( 3) 0x x x และ 3x

วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการไดดงน

ดงนน 4, 3 1,A นนคอ 4a พจำรณำเซต B


2

22

2

x x

x

จะได 4 2

2

3 20

2

x x

x

2 2

2

2 10

2

x x

x

( 1)( 1) 0x x และ 2, 2x

-3 -4 1


51


ดงนน 1,1B นนคอ 1b เพราะฉะนน 2 3 8 3 5a b

4.2 ก าหนดให 2 3 16

25

x xA x

x

และ

4 2

2

9 181

6

x xB x

x

ถา a และ b เปนสมาชกทมคานอยทสดของ A และ B ตามล าดบ แลว 2 3a b มคาเทากบเทาใด 1. 0 2. 4 3. 10 4. 16

เฉลย 3 พจำรณำเซต A


25

x x

x

จะได 2 6

05

x x

x

( 3)( 2)0

5

x x

x

น า 2



ดงนน 2,3 5,A นนคอ 2a พจำรณำเซต B


2

9 181

6

x x

x

-1 1

3 -2 5


52

จะได 4 2

2

10 240

6

x x

x

2 2

2

6 40

6

x x

x

( 2)( 2) 0x x และ 6, 6x


ดงนน 2,2B นนคอ 2b

เพราะฉะนน 2 3 4 6 10a b

4.3 ก าหนดให 2 14

42

x xA x

x

และ

4 2

2

20 1001

10

x xB x

x

ถา a เปนสมาชกทมคามากทสดของ A และ b เปนสมาชกทมคานอยทสดของ B แลว 2 3a b มคาเทากบเทาใด

1. 21 2. 3 3. 7 4. 11 เฉลย 2 พจำรณำเซต A


42

x x

x

จะได 2 5 6

02

x x

x

( 6)( 1)0

2

x x

x

น า 2



-2 2

2 -1 6


53

ดงนน , 1 2,6A นนคอ 6a พจำรณำเซต B


2

20 1001

10

x x

x

จะได 4 2

2

19 900

10

x x

x

2 2

2

10 90

10

x x

x

( 3)( 3) 0x x และ 10, 10x


ดงนน 3,3B นนคอ 3b เพราะฉะนน 2 3 12 9 3a b

-3 3


54


5.1 ก าหนดให 4

5

( 6)( 3)( 4)0

( 1) ( 3)

x x xA x

x x

พจารณาขอความตอไปน

ก. 7, 2 , 1 3,A ข. 1, 3,A ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ขอ ก. ถก และ ขอ ข. ถก 2. ขอ ก. ถก และ ขอ ข. ผด 3. ขอ ก. ผด และ ขอ ข. ถก 4. ขอ ก. ผด และ ขอ ข. ผด

เฉลย 1


5

( 6)( 3)( 4)0

( 1) ( 3)

x x x

x x

เปนจรง

ดงนน 4 เปนค าตอบของอสมการ พจารณากรณท 4x


5

( 6)( 3)( 4)0

( 1) ( 3)

x x x

x x

จะได 5

( 6)( 3)0

( 1) ( 3)

x x

x x

น า 6 2( 1) ( 3)x x คณตลอดทงอสมการ จะได ( 6)( 3)( 1)( 3) 0x x x x และ 1,3,4x จากทงสองกรณวาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการไดดงน

นนคอ , 6 3, 1 3,A พจารณาตวเลอกจากโจทย จะได

7, 2 , 1 3,A และ 1, 3,A เพราะฉะนน ขอ ก และขอ ข ถก

-3 -6 -1 3


55


3

( 2)( 5)( 3)0

( 3) ( 1)

x x xA x

x x


ก. 3,1 2,1A ข. 4, 2,1 1,A ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ขอ ก. ถก และ ขอ ข. ถก 2. ขอ ก. ถก และ ขอ ข. ผด 3. ขอ ก. ผด และ ขอ ข. ถก 4. ขอ ก. ผด และ ขอ ข. ผด

เฉลย 4


3

( 2)( 5)( 3)0

( 3) ( 1)

x x x

x x

เปนจรง



3

( 2)( 5)( 3)0

( 3) ( 1)

x x x

x x

จะได 3

( 2)( 5)0

( 3) ( 1)

x x

x x

น า 4 2( 3) ( 1)x x คณตลอดทงอสมการ จะได ( 2)( 5)( 3)( 1) 0x x x x และ 3,1,3x จากทงสองกรณวาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการไดดงน

นนคอ 3, 2 1,5A พจารณาตวเลอกจากโจทย จะได

3,1 3, 2A และ 4, 3, 2 1,A เพราะฉะนน ขอ ก และขอ ข ผด

-2 -3 1 5


56


7

( 4)( 1)( 3)0

( 2) ( 2)

x x xA x

x x


ก. 2,5 2,1 4,5A ข. 3,2 ,2 4,A ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ขอ ก. ถก และ ขอ ข. ถก 2. ขอ ก. ถก และ ขอ ข. ผด 3. ขอ ก. ผด และ ขอ ข. ถก 4. ขอ ก. ผด และ ขอ ข. ผด

เฉลย 3


7

( 4)( 1)( 3)0

( 2) ( 2)

x x x

x x

เปนจรง



7

( 4)( 1)( 3)0

( 2) ( 2)

x x x

x x

จะได 7

( 4)( 1)0

( 2) ( 2)

x x

x x

น า 8 2( 2) ( 2)x x คณตลอดทงอสมการ จะได ( 4)( 1)( 2)( 2) 0x x x x และ 3, 2,2x จากทงสองกรณวาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการไดดงน

นนคอ , 2 1,2 4,A พจารณาตวเลอกจากโจทย จะได

2,5 1,2 4,5A และ 3,2 ,2 4,A เพราะฉะนน ขอ ก ผด และ ขอ ข ถก

1 -2 2 4


57

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการแทนคาและการหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการยกก าลงสอง

6.1 เซต 212 8 16 7 4 8 x x x x เทากบเซตในขอใดตอไปน

1. 1,3 4,8 2. 3,5 8,12 3. 4,3 4,60 4. 4,5 12,60

เฉลย 4 จาก 212 8 16 7 4 8x x x

จะได 2

12 4 7 4 8x x เพราะฉะนน 4 0x นนคอ 4x ให 4y x ดงนน 0y และ 212 7 8y y นนคอ 2 7 12 0y y และ 2 7 8 0y y 4 3 0y y และ 8 1 0y y วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน จากรป จะได 1 3y หรอ 4 8y แตเนองจาก 4y x และ 0y ดงนน 0 3y หรอ 4 8y

0 4 3x หรอ 4 4 8x 0 4 9x หรอ 16 4 64x 4 5x หรอ 12 60x

เพราะฉะนน 212 8 16 7 4 8 4,5 12,60x x x x

6.2 เซต 24 10 25 5 5 24x x x x เทากบเซตในขอใดตอไปน

1. 5, 4 11,59 2. 4,4 8,24 3. 5,0 1,64 4. 3,1 4,8

3 -1 4 8


58

เฉลย 1

จาก 24 10 25 5 5 24x x x

จะได 2

4 5 5 5 24x x เพราะฉะนน 5 0x นนคอ 5x ให 5y x ดงนน 0y และ 24 5 24y y นนคอ 2 5 24 0y y และ 2 5 4 0y y 8 3 0y y และ 4 1 0y y วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน จากรป จะได 3 1y หรอ 4 8y แตเนองจาก 5y x และ 0y ดงนน 0 1y หรอ 4 8y

0 5 1x หรอ 4 5 8x 0 5 1x หรอ 16 5 64x 5 4x หรอ 11 59x

เพราะฉะนน 24 10 25 5 5 24 5, 4 11,59x x x x

6.3 เซต 214 12 36 9 6 10x x x x เทากบเซตในขอใดตอไปน

1. 1,2 7,10 2. 5,0 55,106 3. 6, 2 43,94 4. 0,4 49,100

เฉลย 3

จาก 214 12 36 9 6 10x x x

จะได 2

14 6 9 6 10x x เพราะฉะนน 6 0x นนคอ 6x ให 6y x ดงนน 0y และ 214 9 10y y

1 -3 4 8


59

นนคอ 2 9 10 0y y และ 2 9 14 0y y 10 1 0y y และ 7 2 0y y

วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน จากรป จะได 1 2y หรอ 7 10y แตเนองจาก 6y x และ 0y ดงนน 0 2y หรอ 7 10y 0 6 2x หรอ 7 6 10x 0 6 4x หรอ 49 6 100x 6 2x หรอ 43 94x

เพราะฉะนน 214 12 36 9 6 10 6, 2 43,94x x x x

2 -1 7 10


60

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : การหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการแทนคาและการหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการยกก าลงสอง

7.1 จ านวนเตมทไมเปนค าตอบของอสมการ 2 49 38 175x x มทงหมดกจ ำนวน 1. 1 จ ำนวน 2. 3 จ ำนวน 3. 5 จ ำนวน 4. 7 จ ำนวน

เฉลย 2

จาก 2 49 38 175x x

จะได 4 49 38 175 0x x

8 49 38 175 0x x

ให 4y x จะได 29 38 175 0y y

9 25 7 0y y นนคอ 4 49 25 7 0x x

49 25 0x

2 23 5 3 5 0x x

23 5 0x

3 5 3 5 0x x

วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการได ดงน

เพราะฉะนน จ านวนเตมทไมเปนค าตอบของอสมการ 2 49 38 175x x มทงหมด 3 จ านวน คอ 1, 0 และ 1

7.2 จ านวนเตมทไมเปนค าตอบของอสมการ 2 44 3 1701x x มทงหมดกจ ำนวน 1. 1 จ ำนวน 2. 3 จ ำนวน 3. 5 จ ำนวน 4. 7 จ ำนวน

เฉลย 3

5

3

5

3


61

จาก 2 44 3 1701x x

จะได 4 44 3 1701 0x x

8 44 3 1701 0x x

ให 4y x จะได 24 3 1701 0y y

4 81 21 0y y นนคอ 4 44 81 21 0x x

44 81 0x

2 22 9 2 9 0x x

22 9 0x

2 3 2 3 0x x


เพราะฉะนน จ านวนเตมทไมเปนค าตอบของอสมการ 2 44 3 1701x x มทงหมด 5 จ านวน คอ 2, 1, 0, 1 และ 2

7.3 จ านวนเตมทไมเปนค าตอบของอสมการ 2 49 113 52x x มทงหมดกจ ำนวน 1. 1 จ ำนวน 2. 3 จ ำนวน 3. 5 จ ำนวน 4. 7 จ ำนวน เฉลย 1

จาก 2 49 113 52x x

จะได 4 49 113 52 0x x

8 49 113 52 0x x

ให 4y x จะได 29 113 52 0y y

9 4 13 0y y นนคอ 4 49 4 13 0x x

3

2

3

2


62

49 4 0x

2 23 2 3 2 0x x

23 2 0x

3 2 3 2 0x x


เพราะฉะนน จ านวนเตมทไมเปนค าตอบของอสมการ 2 49 113 52x x มทงหมด 1 จ านวน คอ 0

2

3

2

3


63


8.1 คา k ในชวงใดตอไปนท าใหเซตค าตอบของอสมการ 2 5 0x x k ไมใชเซตวำงและเปนสบเซตของชวง 1,4 1. 3,5 2. 5,6 3. 6,8 4. 8,9

เฉลย 2 จาก 2 5 0x x k

จะได 2 2

2 5 55 0

2 2x x k

2

5 250

2 4x k

ถา 25

4k แลว อสมการ

25 25

02 4

x k

เปนเทจ

ดงนนพจารณา 25

4k และ

225 25 4

02 2

kx

25

4k และ 5 25 4 5 25 4

02 2 2 2

k kx x

วาดกราฟแสดงค าตอบของอสมการ 5 25 4 5 25 40

2 2 2 2

k kx x

ได ดงน

เซตค าตอบของอสมการ 2 5 0x x k คอ 5 25 4 5 25 4,

2 2

k k

เมอ 25

4k

เนองจากตองการ k ทท าใหเซตค าตอบของอสมการ 2 5 0x x k ไมใชเซตวางและเปนสบเซต ของชวง 1,4

ดงนน 5 25 41

2

k และ 5 25 4

42

k และ 25

4k

3 25 4k และ 25 4 3k และ 25

4k

5 25 4

2 2

k

5 25 4

2 2

k


64

9 25 4k และ 25 4 9k และ 25

4k

4 16k และ 16 4k และ 25

4k

4k และ 4k และ 25

4k

เพราะฉะนน 254

4k

8.2 คา k ในชวงใดตอไปนท าใหเซตค าตอบของอสมการ 2 7 0x x k ไมใชเซตวำงและเปนสบเซตของชวง 2,6 1. 10,12 2. 12,13 3. 13,15 4. 15,16


จะได 2 2

2 7 77 0

2 2x x k

2

7 490

2 4x k

ถา 49


27 49

02 4

x k

เปนเทจ


4k และ

227 49 4

02 2

kx

49

4k และ 7 49 4 7 49 4

02 2 2 2

k kx x


2 2 2 2

k kx x

ได ดงน


2 2

k k

เมอ 49

4k

7 49 4

2 2

k 7 49 4

2 2

k


65

เนองจากตองการ k ทท าใหเซตค าตอบของอสมการ 2 7 0x x k ไมใชเซตวางและเปนสบเซต ของชวง 2,6

ดงนน 7 49 42

2

k และ 7 49 4

62

k และ 49

4k

3 49 4k และ 49 4 5k และ 49

4k

9 49 4k และ 49 4 25k และ 49

4k

4 40k และ 24 4k และ 49

4k


4k

เพราะฉะนน 4910

4k

8.3 คา k ในชวงใดตอไปนท าใหเซตค าตอบของอสมการ 2 3 0x x k ไมใชเซตวำงและเปนสบเซต

ของชวง

1,3

2

1. 32,

2

2. 3,0

2

3. 3

0,2

4. 3,2

2


จะได 2 2

2 3 33 0

2 2x x k

2

3 90

2 4x k

ถา 9


23 9

02 4

x k

เปนเทจ


4k และ

223 9 4

02 2

kx

9

4k และ 3 9 4 3 9 4

02 2 2 2

k kx x


66


2 2 2 2

k kx x

ได ดงน


2 2

k k

เมอ 9

4k

เนองจากตองการ k ทท าใหเซตค าตอบของอสมการ 2 3 0x x k ไมใชเซตวางและเปนสบเซต

ของชวง 1,3

2

ดงนน 3 9 4 1

2 2

k และ 3 9 4

32

k และ 9

4k

2 9 4k และ 9 4 3k และ 9

4k

4 9 4k และ 9 4 9k และ 9

4k

4 5k และ 4 0k และ 9

4k

5


4k

เพราะฉะนน 5 9

4 4k

3 9 4

2 2

k 3 9 4

2 2

k


67


9.1 ความยาวฐานของสามเหลยมรปหนงยาวกวาสวนสง 3 เซนตเมตร ถาพนทของรปสามเหลยมรปนมคา อยระหวาง 27 กบ 44 ตำรำงเซนตเมตร แลวควำมยำวฐำนตรงกบขอใดตอไปน

1. อยระหวาง 3 กบ 4 2. อยระหวาง 6 กบ 8 3. อยระหวาง 9 กบ 11 4. อยระหวาง 12 กบ 14

เฉลย 3 ใหฐานของรปสามเหลยมยาว x เซนตเมตร จากโจทยจะไดวาสวนสงของสามเหลยมเทากบ 3x เซนตเมตร

พนทของรปสามเหลยมเทากบ 1 ( 3)2

x x ตารางเซนตเมตร และ 127 ( 3) 44

2x x

นนคอ 254 3 88x x ดงนน

2 3 54 0x x และ 2 3 88 0x x

6 9 0x x และ 8 11 0x x วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน เนองจาก 0x เพราะฉะนน 9 11x 9.2 ความยาวฐานของสามเหลยมรปหนงสนกวาสวนสง 4 เซนตเมตร ถาพนทของรปสามเหลยมรปนมคา อยระหวาง 48 กบ 70 ตำรำงเซนตเมตร แลวควำมยำวฐำนตรงกบขอใดตอไปน 1. อยระหวำง 6 กบ 7 2. อยระหวำง 4 กบ 5 3. อยระหวำง 12 กบ 14 4. อยระหวำง 8 กบ 10 เฉลย 4 ใหฐานของรปสามเหลยมยาว x เซนตเมตร จากโจทยจะไดวาสวนสงของสามเหลยมเทากบ 4x เซนตเมตร



2x x


2 4 96 0x x และ 2 4 140 0x x

-6 -8 9 11


68

12 8 0x x และ 14 10 0x x วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน เนองจาก 0x เพราะฉะนน 8 10x

9.3 ความยาวฐานของสามเหลยมรปหนงยาวกวาสวนสง 6 เซนตเมตร ถาพนทของรปสามเหลยมรปนมคา อยระหวาง 8 กบ 56 ตำรำงเซนตเมตร แลวควำมยำวของสวนสงตรงกบขอใดตอไปน 1. อยระหวำง 1 กบ 4 2. อยระหวำง 2 กบ 8 3. อยระหวำง 4 กบ 16 4. อยระหวำง 8 กบ 14 เฉลย 2 ใหฐานของรปสามเหลยมยาว x เซนตเมตร จากโจทยจะไดวาสวนสงของสามเหลยมเทากบ 6x เซนตเมตร



2x x


2 6 16 0x x และ 2 6 112 0x x

8 2 0x x และ 14 8 0x x วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน เนองจาก 0x เพราะฉะนน 8 14x ท าใหไดวา 2 6 8x

-12 -14 8 10

-2 -8 8 14


69


10.1 กระดาษรปสเหลยมจตรสแผนหนงถกน ามาสรางกลองทไมมฝาปด โดยการตดมมทงสออกเปนรปสเหลยมจตรส ยาวดานละ 2 เซนตเมตร แลวพบขนไปทงสดาน ถาปรมาตรของกลองใบนมคาอยระหวาง 72 กบ 200 ลกบำศกเซนตเมตร แลวควำมยำวของกระดำษแผนนควรอยในชวงใดตอไปน

1. 7,9 2. 4,14 3. 2,10 4. 10,14 เฉลย 4 ใหความยาวของกระดาษเทากบ x เซนตเมตร จากโจทยจะไดวาความยาวแตละดานของฐานกลองเทากบ 4x เซนตเมตร ปรมาตรกลองเทากบ

22 4x ลกบาศกเซนตเมตร

และ 2

72 2 4 200x นนคอ

236 8 16 100x x ดงนน

2 8 20 0x x และ 2 8 84 0x x

10 2 0x x และ 14 6 0x x วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน เนองจาก 0x เพราะฉะนน 10 14x 10.2 กระดาษรปสเหลยมจตรสแผนหนงถกน ามาสรางกลองทไมมฝาปด โดยการตดมมทงสออกเปนรป

สเหลยมจตรส ยาวดานละ 3 เซนตเมตร แลวพบขนไปทงสดาน ถาปรมาตรของกลองใบนมคาอยระหวาง 243 กบ 300 ลกบำศกเซนตเมตร แลวควำมยำวของกระดำษแผนนควรอยในชวงใดตอไปน 1. 4,16 2. 15,16 3. 3,15 4. 9,10

เฉลย 2 ใหความยาวของกระดาษเทากบ x เซนตเมตร จากโจทยจะไดวาความยาวแตละดานของฐานกลองเทากบ 6x เซนตเมตร ปรมาตรกลองเทากบ


-2 -6 10 14


70

และ 2

243 3 6 300x นนคอ

281 12 36 100x x ดงนน

2 12 45 0x x และ 2 12 64 0x x

15 3 0x x และ 16 4 0x x วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน เนองจาก 0x เพราะฉะนน 15 16x 10.3 กระดาษรปสเหลยมจตรสแผนหนงถกน ามาสรางกลองทไมมฝาปด โดยการตดมมทงสออกเปนรป

สเหลยมจตรส ยาวดานละ 4 เซนตเมตร แลวพบขนไปทงสดาน ถาปรมาตรของกลองใบนมคาอยระหวาง 324 กบ 576 ลกบำศกเซนตเมตร แลวควำมยำวของกระดำษแผนนควรอยในชวงใดตอไปน 1. 8,13 2. 1,17 3. 17,20 4. 6,20

เฉลย 3 ใหความยาวของกระดาษเทากบ x เซนตเมตร จากโจทยจะไดวาความยาวแตละดานของฐานกลองเทากบ 8x เซนตเมตร ปรมาตรกลองเทากบ


และ 2

324 4 8 576x นนคอ

281 16 64 144x x ดงนน

2 16 17 0x x และ 2 16 80 0x x

17 1 0x x และ 20 4 0x x วาดกราฟแสดงค าตอบของทงสองอสมการได ดงน เนองจาก 0x เพราะฉะนน 17 20x

-3 -4 15 16

-1 -4 17 20

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ผ-1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555


ผ-2

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน


ผ-3

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 3)



แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต


ผ-4

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 4)


ผ-5


ปงบประมาณ 2554-2555


ผ-6


คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย


ผ-7

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน


ผ-8

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร

56a4%d9%e8%c1%d7%cd%a4%b3… · ตอนที่ 5 (5/6) หัวข้อย่อย 1....

Documents