5.1 运输模型 mathematical model of transportation problems 5.2 运输单纯形法

1

5.1 运输模型 Mathematical Model of Transportation Problems

5.2 运输单纯形法 Transportation Simplex Method

5.3 运输模型的应用 Aplication of Transportation Model

5.4 指派问题 Assignment problem

2

人们在从事生产活动中，不可避免地要进行物资调运工作。如某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区，根据各地的生产量和需要量及各地之间的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运输问题。

5.1 运输问题的数学模型

5.1.1 数学模型产地销地

A1

10

A2

8

A3

5

B4

3

B3

8

B2

7

B1

5

3

54

23

16

82

32

9

图 5.1

3

【例 5-1 】现有 A1 ， A2 ， A3 三个产粮区，可供应粮食分别为 10 ， 8 ， 5 （万吨），现将粮食运往 B1 ， B2 ，B3 ， B4 四个地区，其需要量分别为 5 ， 7 ， 8 ， 3

（万吨）。产粮地到需求地的运价（元 / 吨）如表 5-1所示，问如何安排一个运输计划，使总的运输费用最少。

需求地产粮区

B1 B2 B3 B4 产量

A1 3 2 6 3 10

A2 5 3 8 2 8

A3 4 1 2 9 5

需要量 5 7 8 3 23

运价表（元 /T ）表 5-1

5.1.1 数学模型

4

【解】设 xij (i=1,2,3 ； j=1,2,3,4) （单位：万吨）为第 i 个产粮地运往第 j 个需求地的运量，得到下列运输问题的数学模型：

343332312423222114131211 92428353623min xxxxxxxxxxxxZ

4,3,2,13,2,1,0

38

75

5

8

10

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

jix

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

ij ；

5.1.1 数学模型

供应约束

需求约束

5

【例 5-2 】有三台机床加工三种零件，计划第 i 台的生产任务为 ai (i=1,2,3) 个零件，第 j 种零件的需要量为 bj (j=1,2,3) ，第 i 台机床加工第 j 种零件需要的时间为 cij ，如表 5 － 2 所示。问如何安排生产任务使总的加工时间最少？

零件机床

B1 B2 B3 生产任务 ai

A1 5 2 3 50

A2 6 4 1 60

A3 7 3 4 40

需要量 bj 70 30 50 150

表 5 － 2

5.1.1 数学模型

6

【解】设 xi j (i=1,2,3 ； j=1,2,3,) 为第 i 台机床加工第 j 种零件的数量，则此问题的数学模型为

3,2,13,2,1,0

50

30

70

40

60

50

43746325min

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231232221131211

jix

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxxZ

ij ；

5.1.1 数学模型

7

运输问题的一般数学模型设有 m 个产地 A1 ， A2 ，… ,Am ，其产量分

别为 a1, a2, … ， am

有 n 个销地 B1 ， B2 ，…， Bn ，其需求量分

别为 b1, b2, … ， bn

从第 i 个产地到 j 个销地的单位运价为 cij

5.1.1 数学模型

供不应求

供过于求

供求平衡

模型的三种情况

8

5.1.1 数学模型

n

jj

m

ii ba

11供求平衡

n

jijij

m

i

xcz11

min

njmix

njbx

miax

ij

j

m

iij

n

jiij

,,1;,,1,0

,,1

,,1

1

1

9

供过于求

0

),,2,1(

),,2,1(

..

min

1

1

1 1

ij

m

ijij

n

jiij

m

i

n

jijij

x

njbx

miax

ts

xcz

供不应求

n

jj

m

ii ba

11

0

),,2,1(

),,2,1(

..

min

1

1

1 1

ij

m

ijij

n

jiij

m

i

n

jijij

x

njbx

miax

ts

xcz

n

jj

m

ii ba

11

5.1.1 数学模型

10

1. 存在可行解，也一定存在最优解。 2. 当供应量和需求量都是整数时，则一定存在整数最优解。3. 有 m+n 个约束， m×n 个变量。4. 有 m+n － 1 个基变量（定理 5.1 ）。

5.1.2 模型特征

n

iijij

m

i

xcz11

min

njmix

njbx

miax

ij

j

m

iij

n

jiij

,,1;,,1,0

,,1

,,1

1

1

11

5.1.2 模型特征

【定理 5.1 】设 m 有个产地 n 个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为 m+n-1 。【定理 5.3 】 m+n － 1 个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何闭回路。

x25 x23

B1 B2 B3 B4 B5

A1

A2

A3 x35

A4 x43

x11 x12

x31

x42

表 5 － 3

变量集合 {x11, x12, x42, x43,

x23, x25, x35, x31} 组成一个

闭回路。共有 8 个顶点。一条回路中的顶点数一定是偶数。

5.1.2 模型特征

),,,,,,(

,,,,,,

2121

132222111

互不相同；

称集合

ss

jijijijijiji

jjjiii

xxxxxxsss

为一个闭回路，集合中的变量称为闭回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。

13

x11 x12

x32 x33

x41

B1 B2 B3

A1

A2

A3

A4 x43

表 5 － 4

表 5 － 4 中闭回路是

123233434111 ,,,,, xxxxxx

5.1.2 模型特征

14

本节介绍了具有 m 个产地 n 个销地的平衡运输问题1. 具有 m+n － 1 个基变量2. 闭回路的概念3. 怎样判断 m+n － 1 个变量是否构成一组基变量

本节学习要点

5.1 运输问题的数学模型

15

平衡运输问题的数学模型为：

5.2 运输问题的表上作业法

n

iijij

m

i

xcz11

min

njmix

njbx

miax

ij

j

m

iij

n

jiij

,,1;,,1,0

,,1

,,1

1

1

16

表上作业法的步骤第一步：求初始基本可行解（初始调运方案）。常用的方法有最小元素法、元素差额法（ Vogel 近似法）、左上角法。

第三步：调整运量（即换基迭代）。选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基本可行解，转入第二步。


第二步：求检验数并判断是否得到最优解。常用求检验数的方法有闭回路法和位势法，当全部非基变量的检验数 λij≥0 时得到最优解，若存在检验数 λlk<0 ，说明还没有达到最优，转第三步。

17

5.2.1 求初始基本可行解

1. 最小元素法：最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价 cij 对应的变量 xij 优先赋值

然后再在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并满足约束，依次下去，直到最后得到一个初始基可行解。

jiij bax ,min

可以证明：用最小元素法得到的一组 xij 构成基本可行解。

18

【例 5-3 】求表 5 － 6 所示的运输问题的初始基本可行解。

表 5 － 6

销地产地 B1 B2 B3 B4 产量

A1

A2

A3

972

36

10

859

412

705020

销量 10 60 40 30 140


Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 产量

A1

9 3 8

470

A2

7 6 5

150

A3

2 10 9

220

销量 10 60 40 30 140

表 5 － 7 ～ 5－ 9

【解】

30

×

×10

×

× ×

1060

×

20

10


20

基可行解可用矩阵

60 10

20 30

10 10

X

表示。矩阵 X 中空白处对应的变量是非基变量，运量等于零，这组解就是初始调运方案。总运费为 Z=3×60+8×10+5×20+1×30+2×10+9×10=500


21

【例 5-4 】求表 5-10 给出的运输问题的初始基本可行解。

B1 B2 B3 B4 ai

A1 4 10 4 4 20

A2 7 7 3 8 15

A3 1 2 10 6 15

bj 5 10 25 10 50

表 5-10


22

表 5-11

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

4 10 4 4

20

A2

7 7 3 8

15

A3

1 2 10 6

15

bj 5 10 25 10 50

【解】

5

×

×

10 × ×

×

×0

15 ×

10 10


23

初始基本可行解可用下列矩阵表示

基变量恰好是 3+4 － 1=6 个，且不包含闭回路。


0 10 10

15

5 10

X=

35

求最小值的运输问题的最优判别准则：当 λij≥0 时运输方案最优

求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。1 ．闭回路法在基本可行解矩阵中，以非基变量为起点，以基变量为其它顶点，找一条闭回路，由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号 + 、 - 、 + 、 - 、…，以这些符号分别乘以相应的运价，其代数和就是这个非基变量的检验数。

5.2.2 求检验数

36

【解】用最小元素法求得初始调运方案【例 5-7 】用闭回路法求例 5-3 表 5-9 的检验数。

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 产量

A1

9 3 8 470

A2

7 6 5

150

A3

2 10 9

220

销量 10 60 40 30 140

30

×

×10

×

× ×

1060

×

20

10

5.2.2 求检验数

5.2.2 求检验数

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

9 3 8 470× 60 10 ×

A2

7 6 5 150× × 20 30

A3

2 10 9 22010 × 10 ×

bj 10 60 40 30

表中打“ ×” 的位置是非基变量，其余是基变量，这里只求非基变量的检验数。

求 λ11: 先找出 x11 的闭回路，

对应的运价为

31331311 ,,, xxxx

31331311 ,,, CCCC

829893133131111 CCCC

+

-

-

+

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

9 3 8 470× 60 10 ×

A2

7 6 5 150× × 20 30

A3

2 10 9 22010 × 10 ×

bj 10 60 40 30

39512

698310

63856

92957

08514

3323243434

3313123232

1213232222

3133232121

1323244114

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

这里 λ34<0 ，说明这组基本可行解不是最优解。

39

只要求得的基变量是正确的 , 且数目为 m

+n － 1 ，则每个非基变量的闭回路存在且唯一，因而检验数唯一。

5.2.2 求检验数

40

2 ．位势法位势法求检验数是根据对偶理论推导出来的一种方法。

5.2.2 求检验数

（ 1 ）列位势方程组：（基变量格） cij=ui+vj

ui 代表产地 Ai 的位势量（行位势）， vj 代表销地 Bj

的位势量（列位势）。

令 u1 =0 ，计算各行各列的位势量。

（ 2 ）计算非基变量检验数（基变量的检验数为 0 ）

（空格） λij = cij –(ui+vj )

【例 5-8 】用位势法求例 5-3表 5-9给出的初始基本可行解的检验数。

5.2.2 求检验数

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 行位势

A1

9 3 8

4u1

A2

7 6 5

1u2

A3

2 10 9

2u3

列位势 v1 v2 v3 v4

30

×

×10

×

× ×

1060

×

20

10

表 5-9

42

【解】第一步求位势量

9

2

1

5

8

3

33

13

42

32

31

21

vu

vu

vu

vu

vu

vu

1

3

0

3

2

1

u

u

u

4

8

3

1

4

3

2

1

v

v

v

v

5.2.2 求检验数

令 u1=0

第二步由公式求出检验数。)( jiijji vuc

Bj

Ai

B1 B2 B3

B4 行位势

A1

9 3 8

4u1=0

A2

7 6 5

1u2=-3

A3

2 10 9

2u3=1

列位势 v1=1 v2=3 v3=8 v4=4

30

×

×10

×

× ×

1060

×

20

10

表 5-9

11 11 1 1

14 14 1 4

21 21 2 1

22 22 2 2

32 32 3 2

34 34 3 4

( ) 9 (0 1) 8

( ) 4 (0 4) 0

( ) 7 ( 3 1) 9

( ) 6 ( 3 3) 6

( ) 10 (1 3) 6

( ) 2 (1 4) 3

C u v

C u v

C u v

C u v

C u v

C u v

44

当某个检验数 λlk<0 时，基可行解不是最优解，总运费还可以下降，这时需调整运输量，改进原运输方案，使总运费减少，改进运输方案的步骤是：第一步：确定进基变量进基，

， ikjijijiki x0min)(

第二步：确定出基变量在进基变量 xik 的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量 θ ， θ 对应的基变量为出基变量，并打上“ ×” 以示作为非基变量。第三步：调整运量在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量 θ ，标有负号的变量减去调整量 θ ，其余变量不变，得到一组新的基可行解。

5.2.3 调整运量

45

【例 5-9 】求例 5-3 的最优解【解】 1 、初始调运方案为

5.2.3 调整运量

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 产量

A1

9 3 8

470

A2

7 6 5

150

A3

2 10 9

220

销量 10 60 40 30 140

30

×

×10

×

× ×

1060

×

20

10

46

2 、检验： λ34=-3<0 ，这组基本可行解不是最优解。3 、调整：

5.2.3 调整运量

+-

-+

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 产量

A1

9 3 8

470

A2

7 6 5

150

A3

2 10 9

220

销量 10 60 40 30 140

30

×

×10

×

× ×

1060

×

20

10

调整量 θ=10

11 11 1 1

14 14 1 4

21 21 2 1

22 22 2 2

32 32 3 2

34 34 3 4

( ) 9 (0 1) 8

( ) 4 (0 4) 0

( ) 7 ( 3 1) 9

( ) 6 ( 3 3) 6

( ) 10 (1 3) 6

( ) 2 (1 4) 3

C u v

C u v

C u v

C u v

C u v

C u v

47

5.2.3 调整运量

4 、再检验： λ11=5,λ14=0,λ21=6,λ22=6,λ32=9,λ33=3

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 产量

A1

9 3 8

470

A2

7 6 5

150

A3

2 10 9

220

销量 10 60 40 30 140

20

×

×10

×

× ×

1060

×

30

10

最优解为

100010

203000

010600

X

最优值 Z=470

48

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

5 8 9 270

× 40 × 30

A2

3 6 4 780

45 × 35 ×

A3

10 12 14 540

× 25 15 ×

bj 45 65 50 30 190

【例 5-10 】求下列运输问题的最优解

表 5-17

【解】（ 1）用最小元素法求初始基本可行解

5.2.3 调整运量

（ 2）检验：求非基变量的检验数

11 11 21 23 33 32 12

13 13 12 32 33

22 22 32 33 23

24 24 23 33 32 12 14

31 31 33 23 21

34 34 14 12

5 3 4 14 12 8

9 8 12 14 1

6 12 14 4 4

7 4 14 12 8 2 11

10 14 4 3 3

4C C C C C C

C C C C

C C C C

C C C C C C

C C C C

C C C C

32 5 2 8 12 1

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

5 8 9 270

× 40 × 30

A2

3 6 4 780

45 × 35 ×

A3

10 12 14 540

× 25 15 ×

bj45 65 50 30 190

4}1,3,1,4{},,min{ 343113,1111 －＝非基变量 x11 进基 .

x33 最小， x33 是出基量，即： x11 进基 , x33 出基。

1545,15,40min,min 2133,12 xxx调整量

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

5 8 9 270

× 40 × 30

A2

3 6 4 780

45 × 35 ×

A3

10 12 14 540

× 25 15 ×

bj 45 65 50 30 190

x11 的闭回路

（ 3 ）调整运量

-

-

-

51

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

5 8 9 270

15 25 × 30

A2

3 6 4 780

30 × 50 ×

A3

10 12 14 540

× 40 × ×

bj 45 65 50 30 190

5.2.3 调整运量

Z2=1105=Z1-60=1165-60

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

5 8 9 270

15 25 × 30

A2

3 6 4 780

30 × 50 ×

A3

10 12 14 540

× 40 × ×

bj 45 65 50 30 190

（ 4）再检验：求所有非基变量的检验数λ13=3 ， λ22=0 ， λ24=7 ， λ31=1 ， λ33=4 ， λ34= － 1

λ34= － 1<0, 说明还没有得到最优解， x34 进基。（ 5）再调整： 3040,30min,min 3214 xx＝

54

Bj

Ai

B1 B2 B3 B4 ai

A1

5 8 9 270

15 55 × ×

A2

3 6 4 780

30 × 50 ×

A3

10 12 14 540

× 10 × 30

bj 45 65 50 30 190

调整运量得到：

再求非基变量的检验数：λ13=3 ， λ14=1 ， λ22=0 ， λ24=8 ， λ31=1 ， λ33=4

5.2.3 调整运量

55

所有检验数 λij ≥0, 因而得到最优解

300100

050030

005515

X

最小运费

3

1

4

1

10753051012504303558155i j

ijij xCZ ＋

5.2.3 调整运量

注意：还可选取 λ22=0 为主元素再调整，得另一最优方案。一般地，若某个非基变量的检验数 =0，表明该运输问题有多个最优解。

300100

050300

002545

X

【例 5-11 】有四项工作指派给甲、乙两人完成，每人完成两项工作。两人完成各项工作的时间（小时）见表 5-18 ，怎样安排工作使总时间最少。

A B C D

甲 15 20 9 10

乙 12 16 10 12

表 5-18

【解】设 xij(i=1,2 ； j=1,2,3,4) 为第 i 人完成第 j项工作的状态1

1,2 1,2,3,40

ij

i jx i j

i j

安排第人做第项工作；

不安排第人做第项工作

4,3,2,1;2,110

1

1

1

1

2

2

12102015min

2414

2313

2212

2111

24232221

14131211

24231211

jix

xx

xx

xx

xx

xxxx

xxxx

xxxxZ

ij ，或

57

A B C D 产量甲 15 20 9 10 2

乙 12 16 10 12 2

销量 1 1 1 1

A B C D 产量甲 0 0 1 1 2

乙 1 1 0 0 2

销量 1 1 1 1

表 5-19 表 5-20

最优的工作分配方案是：甲完成工作 C 和 D ，乙完成工作 A 和 B

总时间 Z＝ 47 （小时）

5.2.3 调整运量

58

设数学模型为

m

i

n

jijij xCZ

1 1

max

njmix

njbx

miax

ij

m

ijij

n

jiij

,,2,1;,2,10

,,2,1

,,2,1

1

1

，

5.2.4 最大值问题

59

设极大化问题的运价表为 C= （ cij ） m×n ，用

一个较大的数 M （ M≥max{cij} ）去减每一个 cij 得到矩

阵 C′=(c′ij)m×n ，其中 c/ij=M － cij≥0, 将 C/ 作为极小化

问题的运价矩阵，用表上作业法求出最优解，目标函数值为


m

i

n

jijij xcZ

1 1

min

第二种方法 : 求初始运输方案可采用最大元素法，所有非基变量的检验数 λij≤0 时最优。

第一种方法：将极大化问题转化为极小化问题。

【补充例】作物布局问题某农场有土地 900亩。这些土地因土壤的肥沃程度和水源条件不同，可以分成三类。现在农场要在这三类土地上计划种植三种作物；各类土地亩数、计划播种面积，以及各种作物在各类土地上的亩产量（单位：公斤）如下表。如何因地制宜安排作物布局，才能使作物总产量最多？

土地类别作物种类

B1 B2 B3 播种面积

A1700

500 480 100

A2 850 700 600 400

A3 400 300 500 400

土地亩数 300 200 400 900

61


B1 B2 B3播种面积

A1

700 500 480100

A2

850 700 600400

A3

400 300 500400

土地亩数 300 200 400 900

【解法 1 】用最大元素法作初始方案

300 100

100

4000


×

××

×

×



A1

700×

500100

480×

100

A2

850 300

700 100

600×

400

A3

400×

300 0

500 400

400

土地亩数 300 200 400 900

最优解判别准则若检验数 λij≤0，则方案为最优方案。



A1

700 100

500 480

100

A2

850 200

700 200

600 400

A3

400 300 0

500 400

400

土地亩数 300 200 400 900最大总产量 Z=580000(公斤 )

调整一次，得最优布局方案

63


【解法 2 】化为最小化问题取 M=max{cij}=850, cij′=850-cij


B1 B2 B3

播种面积

A1150

350 370 100

A2 0 150 250 400

A3 450 550 350 400

土地亩数 300 200 400 900

64

当总产量与总销量不相等时，称为不平衡运输问题。这类运输问题在实际中常常碰到，它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。

5.2.5 不平衡运输问题

65

B1 B2 B3 B4 ai

A1 5 9 2 3 60

A2 -- 4 7 8 40

A3 3 6 4 2 30

A4 4 8 10 11 50

bj 20 60 35 45180

160

【例 5-12 】求下列表中极小化运输问题的最优解。表 5-25


66

【解】这是一个供过于求的问题设置一个销量为 b5=180 － 160=20 的虚拟销地 B5 ， ci5=0 （ i=1,2,3,4 ）。表的右边增添一列表中 A2 不可达 B1 ，用一个很大的正数 M 表示运价 c

21B1 B2 B3 B4 B5 ai

A1 5 9 2 3 0 60

A2 M 4 7 8 0 40

A3 3 6 4 2 0 30

A4 4 8 10 11 0 50

bj 20 60 35 45 20 180


B1 B2 B3 B4 B5 ai

A1 35 25 60

A2 40 40

A3 10 20 30

A4 20 10 20 50

bj 20 60 35 45 20 180

下表为计算结果。可看出：产地 A4 还有 20 个单位没有运出。

最小总运费 Z=565说明：用元素差额法求初始方案便是最优方案。用最小元素法求初始方案时， B5 列可以优先安排，也可以最后安排。

68

【例 5-13 】在例 5-12 中，假定 B1 的需要量是 2

0 到 60 之间， B2 的需要量是 50 到 70 ，试求极小化问题的最优解。

B1 B2 B3 B4 ai

A1 5 9 2 3 60

A2 -- 4 7 8 40

A3 3 6 4 2 30

A4 4 8 10 11 50

bj 20 ～ 60 50 ～ 70 35 45180

150 ～ 210

5.2.6 需求量不确定的运输问题

69

（ 4 ）将 B1与 B2 各分成两部分的需求量是 20 ，的需求量是 40 ，的需求量分别是50与 20 ，因此必须由 A1 ，…， A4 供应，可由 A1 、…、 A5 供应。

，、及、 22

12

21

11 BBBB

21B 2

212 BB 与

12

11 BB、 2

221 BB 、

11B

分析：（ 1 ）总产量为 180 ， B1 ，…， B4 的最低需求量是 20+50+35+45=150 ，这时属供过于求（ 2 ） B1 ，…， B4 的最高需求是 60+70+35+45=210 ，这时属供不应求

（ 3 ）虚设一个产地 A5 ，产量是 210 － 180=30 ， A5

的产量只能供应 B1或 B2 。


（ 5 ）上述 A5 不能供应某需求地的运价用大M 表示，A5

到的运价为零。

22

21 BB 、

B3 B4 ai

A1 5 5 9 9 2 3 60

A2 M M 4 4 7 8 40

A3 3 3 6 6 4 2 30

A4 4 4 8 8 10 11 50

A5 30

bj 20 40 50 20 35 45 210

11B 2

1B 12B 2

2B

得到这样的平衡表后，计算得到最优方案表 5-23 。

表 5-22


M 0 M 0 M M

71

B3 B4 ai

A1 35 25 60

A2 40 40

A3 0 10 20 30

A4 20 30 50

A5 10 20 30

bj 20 40 50 20 35 45 210

11B 2

1B 12B 2

2B

表中 x131=0 是基变量 , 说明这组解是退化基本可行

解 , 空格处的变量是非基变量。 B1 ， B2 ， B3 ， B4实际收到产品数量分别是 50 ， 50 ， 35 和 45 个单位。

表 5-23


74

本节讲解了平衡运输问题的求解方法：表上作业法1. 求初始运输方案，用最小元素法、元素差额法（ Vogel 近似法）2. 求检验数，用闭回路法和位势法3. 调整运量，用闭回路法4. 极大值问题的求解方法、不平衡问题、需求量不确定问题


本节学习要点

75

【例 5-13 】 DF公司在接下来的三个月内每月都要按照销售合同生产出两种产品。表 5-24 中给出了在正常时间（ Regular Time ，缩写为 RT ）和加班时间（ Over Time ，缩写为 OT ）内能够生产这两种产品的总数。

5.3 运输模型的应用

76

（ 1 ）对这个问题进行分析，描述成一个运输问题的产销平衡表，使之可用表上作业法求解。（ 2 ）建立总成本最小的数学模型并求出最优解。

表 5-30

月最大生产总量

产品 1/ 产品 2

销售产品 1/ 产品

2

单位生产成本(1000 元 / 件 )

单位储存成本

（ 1000 元 /件）RT OT RT OT

123

108

10

323

5/33/54/4

15/1617/1519/17

18/2020/1822/22

1/22/1


【解】（ 1 ）变量设置如表所示，表中括号内的数据为产品序号 , 可看成一个供过于求的运输问题

表 5-31

i↓

j→ 1 2 3 4 5 6生产能力

ai

1月(1)

1月(2)

2月(1)

2月(2)

3月(1)

3月(2)

11月 R

Tx11 x12 x13 x14 x15 x16 10

21月 O

Tx21 x22 x23 x24 x25 x26 3

32月 R

Tx33 x34 x35 x36 8

42月 O

Tx43 x44 x45 x46 2

53月 R

Tx55 x56 10

63月 O

Tx65 x66 3

需要量 bj 5 3 3 5 4 436

24

表 5-32 平衡运输表

i↓

j→ 1 2 3 4 5 6剩余能力

生产能力1月

(1)1月(2)

2(1) 2(2) 3(1) 3(2)

11月 R

T15 16 16 18 18 19 0 10

21月 O

T18 20 19 22 21 23 0 3

32月 R

TM M 17 15 19 16 0 8

42月 O

TM M 20 18 22 19 0 2

53月 R

TM M M M 19 17 0 10

63月 O

TM M M M 22 22 0 3

需要量 5 3 3 5 4 4 12 36

例如 x35 表示第 2月正常时间内生产的产品 1 用于第 3月交货的数量，第 1 种单位产品的成本是 17 （千元），在第 3月交货单位产品的储存成本是 2 （千元），因此单位产品总成本 c35 等于 19 （千元），

79

6,,1,0

6,,1

6,,1

min

6

1

6

1

6

1

6

1

jix

jbx

iax

xCZ

ij

ii

ij

ij

ij

i jijij

（ 2 ）数学模型为：


最优生产计划是：第 1 个月正常时间内生产第 1 种产品 7 件，当月交货 5 件，第 2

个月交货 2 件；生产第 2 种产品 3 件，当月交货，总产量 10 件，不加班。

第 2 个月正常时间内生产第 1 种产品 1 件，当月交货 1 件；生产第 2 种产品 7 件，当月交货 5 件，第 3 个月交货 2 件，总产量 8 件，不加班。

第 3 个月正常时间内生产第 1 种产品 4 件，当月交货；生产第 2种产品 2 件，当月交货，总产量 6 件，不加班．期末无库存。

总成本为 Z=389 （千元）

1月(1)

1月(2)

2月(1)

2月(2)

3月(1)

3月(2)

剩余能力

生产能力

1月 RT 5 3 2 10

1月 OT 3 3

2月 RT 1 5 2 8

2月 OT 2 2

3月 RT 4 2 4 10

3月 OT 3 3

需要量 5 3 3 5 4 4 12 36

81

将生产计划问题转化为运输问题求解


本节学习要点

82

5.4 指派问题

【例 5-15 】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩（百分制）如表 5-28 所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。

表 5-28

工作人员 A B C D

甲 85 92 73 90

乙 95 87 78 95

丙 82 83 79 90

丁 86 90 80 88

5.1.1 指派问题的数学模型

83

5.4 指派问题

【解】设

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

x x x x

x x x xX

x x x x

x x x x

)4,3,2,1,(0

1

jiji

jixij

项工作人做第不分配第

项工作人做第分配第

84

44434241

343332312423

222114131211

88809086

907983829578

879590739285max

xxxx

xxxxxx

xxxxxxZ

1

1

1

1

44434241

34333231

24232221

14131211

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

1

1

1

1

44342414

43332313

42322212

41312111

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

4,3,2,110 jixij 、，或


每人做一项工作

每项工作只能安排一个人做

85

mjix

mjx

mix

xcZ

ij

m

iij

m

jij

m

i

m

jijij

,1,10

,,11

,,11

min(max)

1

1

1 1

或

指派问题的一般模型假设 m 个人恰好做 m项工作，第 i 个人做第 j项工作的效率为 cij≥0 ，效率矩阵为 [cij] , 如何分配工作使效率最佳（ min或max ）的数学模型为


mnmm

n

n

ccc

ccc

ccc

21

22221

11211

C效率矩阵

86

5.4.2 解指派问题的匈牙利法

【定理 5.4 】如果从分配问题效率矩阵 [cij] 的每一行元素中分别减去（或加上）一个常数 ui （被称为该行的位势），从每一列分别减去（或加上）一个常数vj （称为该列的位势），得到一个新的效率矩阵 [bij] ，其中 bij=cij － ui － vj, 则 [bij] 的最优解等价于 [cij] 的最优解，这里 cij 、 bij均非负．

【定理 5.5 】若矩阵 A 的元素可分成“ 0”与非“ 0” 两部分，则覆盖“ 0” 元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“ 0” 元素（称为独立元素）的最大个数。

87

如果覆盖“ 0” 元素的最少直线数等于 m ，则存在 m 个独立的“ 0” 元素，令这些零元素对应的xij 等于 1 ，其余变量等于 0 ，这时目标函数值等于零，得到最优解。


匈牙利法的条件： 1 、问题是求最小值 2 、人数与工作数相等，即 m=n

3 、效率非负，即 cij≥0 。

88

【例 5-15 】某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四个工厂的单位产品成本（元 /件）如表 5-29 所示。求最优生产配置方案。

表 5-29

产品 1 产品 2 产品 3 产品 4

工厂 1 58 69 180 260

工厂 2 75 50 150 230

工厂 3 65 70 170 250

工厂 4 82 55 200 280


89

225145027

18510550

180100025

202122110


55

65

50

58

2802005582

2501707065

2301505075

2601806958

min

C=

【解】问题为求最小值。第一步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中减去最小元素，有

90

第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有


4545027

5550

00025

2222110

225145027

18510550

180100025

202122110

min 0 0 100 180

=C′

91

第三步：用最少的直线覆盖所有“ 0” 。这里直线数等于 3 （等于 4 时可得最优解 , 停止运算）。

0 11 22 22

25 0 0 0

0 5 5 5

27 0 45 45

第四步：从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小数 k并且减去 k ，矩阵中 k＝ 5 。直线相交处的元素加上 k ，被直线覆盖而没有相交的元素不变，得到矩阵 C″


C′=

4545032

0000

00030

171760

C

92

4545032

0000

00030

171760

第五步：覆盖所有零最少需要 4 条直线，表明矩阵中存在 4 个不同行不同列的零元素。第六步：找出独立的零元素

4545032

0000

00030

171760

( )

( )

( )

( ) 或

4545032

0000

00030

171760

( )

( )

( )

( )


C″=

93

得到两个最优解

第一种方案：第一个工厂加工产品 1 ，第二工厂加工产品 3 ，第三个工厂加工产品 4 ，第四个工厂加工产品 2 ；

第二种方案：第一个工厂加工产品 1 ，第二工厂加工产品 4 ，第三个工厂加工产品 3 ，第四个工厂加工产品 2 ；

单件产品总成本 Z＝ 58＋ 150＋ 250＋ 55＝ 513


0010

0100

1000

0001

0010

1000

0100

0001

)2()1( XX

94

C

cC ij

04320

40500

12320

37710

811030

31

04630

40810

12630

371020

811340

6

6

6

7

4

6101296

1061476

781296

10141797

1215784

)(


【补充】求解下面指派问题

95


10000

01000

00001

00010

00100

ijxX

最少总费用 z=34 万元

96

最大化指派问题应转化为最小化问题求解。效益矩阵 C=(cij) ，其中最大元素为 m 。令矩阵 B=(bij)

= (m-cij) ，则以 B 为效益矩阵的最小化指派问题和以 C 为效益矩阵的原最大化指派问题有相同最优解。

人数和事数不等的指派问题，可添加虚拟的人或事，其系数取 0 ，化为平衡指派问题。

一个人可做几件事的指派问题，可将一个人视为相同的几个人，化为平衡指派问题。

某事一定不能由某人做的指派问题，可将某人做某事所用的时间设为充分大的正数 M 。

5.4.3 其它变异问题

97


【例 5-17 】求例5-15 的最优分配方案

【解】 M max 95ijc 令＝

95 0ij ijb c

71559

5161213

01780

522310

B

表 5-30

工作人员 A B C D

甲 85 92 73 90

乙 95 87 78 95

丙 82 83 79 90

丁 86 90 80 88

71559

5161213

01780

522310

21004

01178

01780

21907

2)0(04

)0(178

078)0(

29)0(7

最优分配方案是：甲分配到 B岗位；乙分配到 A岗位；丙分配到 D岗位；丁分配到 C岗位；总成绩为 357

【例 5-18 】某商业集团计划在市内四个点投资四个专业超市，考虑的商品有电器、服装、食品、家俱及计算机 5 个类别。通过评估，家具超市不能放在第 3 个点，计算机超市不能放在第 4 个点，不同类别的商品投资到各点的年利润（万元）预测值见表 5-31 。该商业集团如何作出投资决策使年利润最大。

地点商品 1 2 3 4

电器 120 300 360 400

服装 80 350 420 260

食品 150 160 380 300

家具 90 200 － 180

计算机 220 260 270 －

100

表 5-36

地点商品 1 2 3 4

电器 120 300 360 400

服装 80 350 420 260

食品 150 160 380 300

家具 90 200 － 180

计算机 220 260 270 －

【解】这是求最大值、人数与任务数不相等、不可接受的配置的一个综合指派问题，分别对表 5-36 进行转换。

（ 1 ）令 c43=c54=0

（ 2 ）转换成求最小值问题，令M＝ 420 ，得到效率表

（机会损失表）（ 3 ）虚拟一个地点 5


0

0

地点商品 1 2 3 4 5

电器 300 120 60 20 0

服装 340 70 0 160 0

食品 270 260 40 120 0

家俱 330 220 420 240 0

计算机 200 160 150 420 0

地点商品 1 2 3 4

电器 120 300 360 400

服装 80 350 420 260

食品 150 160 380 300

家具 90 200 0 180

计算机 220 260 270 0

102

00001

10000

00100

00010

01000

X Z=1350

最优投资方案：地点 1投资建设计算机超市，地点 2投资建设服装超市，地点 3投资建设食品超市，地点 4投资建设电器超市，不建家具超市。年利润总额预测值为 1350 万元


最优解

103

1 ．指派模型的特征2．匈牙利法求解指派问题的条件3 ．匈牙利法的两个基本定理4 ．指派问题也是一个特殊的运输问题 . 5 ．将指派（分配）问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变 .

5.4 指派问题

本节学习要点

5.1 运输模型 mathematical model of transportation problems 5.2 运输单纯形法

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