5. fungsi dua peubah
DESCRIPTION
Kalkulus IITRANSCRIPT
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
1/86
Fungsi Dua Peubah
1Kalkulus2-Unpad
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
2/86
Kalkulus2-Unpad 2
Sistem Koordinat
y
x
P(x,y)
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV
y
x
y
z
x
P(x,y,z)
Oktan 1
R3(Ruang)R2(Bidang)
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
3/86
3Kalkulus2-Unpad
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
4/86
Kalkulus2-Unpad 4
Permukaan di Ruang (R3)
Ax By Cz D
Jejak di bidang XOY, z = 0
Jejak di bidang XOZ, y = 0
Jejak di bidang YOZ, x = 0
1. Bidang
Bentuk umum:
Cara menggambar permukaan: tentukan jejak(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)
Ax By D Ax Cz D
By Cz D
(garis lurus)(garis lurus)
(garis lurus)
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
5/86
Kalkulus2-Unpad 5
Gambar bidang 3 4 2 12x y z
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
6/86
Kalkulus2-Unpad 6
2 2 2 2 , 0x y z a a
2 2 2x y a Jejak di bidang XOY, z = 0
Jejak di bidang XOZ, y = 0
(lingkaran)
2 2 2x z a (lingkaran)
Jejak di bidang YOZ, x = 0
2 2 2
y z a (lingkaran)
2. Bola
Persamaan umum bola :
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
7/86
Kalkulus2-Unpad 7
Gambar Bola
Z
x
y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
8/86
Kalkulus2-Unpad 8
3. Elipsoida
2 2 2
2 2 2 1 , , , 0
x y za b c
a b c
2 2
2 2 1x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips
2 2
2 2 1
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Elips
2 2
2 2 1z y
c b Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Elips
Bentuk umum :
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
9/86
Kalkulus2-Unpad 9
Gambar Elipsoida
Z
x
y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
10/86
Kalkulus2-Unpad 10
2 2 2
2 2 2 1 , , , 0
x y za b c
a b c
2 2
2 2 1
x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips
2 2
2 2 1
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 2 1
y z
b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbola
4. Hiperboloida berdaun satu
Bentuk umum :
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
11/86
Kalkulus2-Unpad 11
Gambar Hiperboloida Berdaun Satu
Z
x
y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
12/86
Kalkulus2-Unpad 12
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c
2 2
2 2 1x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 2 1
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 2 1
y z
b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejak
Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a,berupa ellips
5. Hiperboloida Berdaun dua
Bentuk umum :
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
13/86
Kalkulus2-Unpad 13
Gambar Hiperboloida Berdaun Dua
Z
x
y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
14/86
Kalkulus2-Unpad 14
2
2
2
2
b
y
a
xz
2
2
2
2
b
y
a
xz
2 2 2
2 2 2 0x y za b c
6. Paraboloida Elips :
7. Paboloida Hiperbola :
8. Kerucut Elips :
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
15/86
Kalkulus2-Unpad 15
Gambar
Z
x
y
z
x
y
Z
x
y
Paraboloida Elips
Paraboloida Hiperbola
Kerucut Elips
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
16/86
Kalkulus2-Unpad 16
Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yangmengaitkan setiap pasangan (x,y) dengan tepat satu
z=f(x,y)
Notasi :f:AR
(x,y)
z=f(x,y)Contoh:
2 212. ( , ) 36 9 43
f x y x y
2
22
23. ( , )
2
y xf x y
x y
2( )A R
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
17/86
Kalkulus2-Unpad 17
Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)
2( , ) ( , )fD x y R f x y R
Contoh. Tentukan dan gambarkanDfdari
( , ) ( , )f fR f x y x y D
2 212. ( , ) 36 9 43
f x y x y
3. ( , ) (1 )f x y x y
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
Berupa daerah di bidang
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
18/86
Kalkulus2-Unpad 18
Jawab :
x
y
2.2 2 21( , ) 36 9 4
3fD x y R x y R
2 2
2( , ) 14 9
x yx y R
x
y
2
3
2 2 2
2
1. ( , ) | 3 2
( , )
fD x y R x y R
x y R
(seluruh daerah di bidang)
2 2 2( , ) 36 9 4 0x y R x y
2 2 2( , ) 9 4 36x y R x y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
19/86
Kalkulus2-Unpad 19
x
y
23. ( , ) (1 )fD x y R x y R
= {(x,y)R2|x0 dan (1y)0 ataux 0 dan (1y)0}
= {(x,y)R2|x0 dany1 ataux 0 dany1}
2( , ) (1 ) 0x y R x y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
20/86
Kalkulus2-Unpad 20
Latihan
2
22
21. ( , )
2
y xf x y
x y
ln( 1)5. ( , )
1
x yf x y
y x
2. ( , )1
xf x y
y
2 216
4. ( , ) ln( )
x y
f x y x y
3. ( , ) 2y
f x yx
Tentukan dan gambarkan domain dari fungsi berikut:
xy
xyyxf
2
),(.6
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
21/86
Kalkulus2-Unpad 21
Grafik Fungsi Dua Peubah
Grafiknya berupa permukaan di ruang
Z=f(x,y)
Df
x
y
z
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan
tepat satuz=f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbu zakan memotong grafik tepat di satu titik.
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
22/86
Kalkulus2-Unpad 22
Contoh
Paraboloida elips2 2
1 13 2
x yz
Z
x
y
Z
x
y
3
3
Gambarkan grafik
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
2 212. ( , ) 36 9 42
f x y x y
22 2 2
14 9 9
x y z
2 2 24 36 9 4z x y
elipsoida
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
23/86
Kalkulus2-Unpad 23
Latihan
1. x2 +y2 = 4
2. y = x2
3. 2x+ 2y+ 4z= 8 , di oktan 1
4. 9z2 + 9x2+ 4y2 = 36
5. z=4
Gambarkan grafik dari :
2 26. ( , ) 3f x y x y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
24/86
Kalkulus2-Unpad 24
Kurva Ketinggian
z=f(x,y)z = k adalah kurva ketinggian.
Jadi, kurva ketinggian adalah
proyeksi dari perpotongan grafikz=f(x,y)dengan bidangz =kpada bidangXOY.
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
25/86
25Kalkulus2-Unpad
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
26/86
Kalkulus2-Unpad 26
Contoh:
Untuk k= 0 titik (0, 0)
Untuk k= 1
elips
Untuk k= 2
elips
Untuk k= 4
elips
2 2
111
2
x y
22
12
xy
2 2
14 2
x y
.k=0
k=1
k=2
k=4
x
y
2 2( , ) 2 , 0,1, 2, 4f x y x y k
2 22 0x y
2 22 1x y
2 22 2x y
2 22 4x y
1. Gambar kurva ketinggian
Jawab:
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
27/86
Kalkulus2-Unpad 27
Untuk k= -2
parabola
Untuk k= 0
parabola
Untuk k= 2
parabola
Untuk k= 4
parabola
k=0
k=-2
k=2 k=4 x
y
22. ( , ) , 2, 0, 2, 4f x y x y k
22 x y 2 2x y
2x y
2
2x y
2 4x y
2
0 x y
22 x y
24 x y
Jawab:
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
28/86
Kalkulus2-Unpad 28
Latihan
Gambarkan kurva ketinggianz = k dari
2
1. ( , ) , 4, 1, 0,1, 4x
f x y ky
2 22. ( , ) , 0,1, 4,9f x y x y k
3. ( , ) , 4, 1, 0,1, 4f x y xy k
2 24. ( , ) , 1, 2, 3, 4f x y y x k
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
29/86
Kalkulus2-Unpad 29
Limit Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsif(x,y)mempunyai limitLuntuk (x,y)
mendekati (a,b) ditulis( , ) ( , )
lim ( , )x y a b
f x y L
berlaku 2 2
0 0 0 x a y b
( , )f x y L
x
y
z
(a,b)
Z =f(x,y)
L
L+
L
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
30/86
Kalkulus2-Unpad 30
Catatan
( , ) ( , )
lim ( , )x y a b
f x y L
ada jika( , ) ( , )
lim ( , )x y a b
f x y L
untuk sembarang kurva yang melalui (a,b)
Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2yang melalui
kurva, maka dikatakan( , ) ( , )
lim ( , )x y a b
f x y
berbeda untuk masing-masing( , ) ( , )
lim ( , )x y a b
f x y
(a,b) dengan nilai
tidak ada.
. (a,b)
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
31/86
Kalkulus2-Unpad 31
Contoh
2 2( , ) (0,0)limx y
xy
x y
Jawab :
2 2( , )
xyf x y
x y
terdefinisi di Df= R
2 {(0,0)}
*) Di sepanjang garis y=0, kecualix=0, maka
2 2( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0)
.0lim ( , 0) lim 0
0x x
xf x
x
tidak adaBuktikan bahwa
*) Di sepanjang garisy=x, maka
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
. 1lim ( , ) lim
2x x x x
x xf x x
x x
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
32/86
Kalkulus2-Unpad 32
Karena( ,0) (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , 0) lim ( , )x x x
f x f x x
maka
2 2( , ) (0,0)lim
x y
xy
x y tidak ada
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
33/86
Kalkulus2-Unpad 33
Latihan
2 2
2 2( , ) (0,0)1. lim
x y
x y
x y
2
4 2( , ) (0,0)2. lim
x y
x y
x y
Buktikan bahwa limit berikut tidak ada
3 4
2 6( , ) (0,0)3. lim
x y
x y
x y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
34/86
Kalkulus2-Unpad 34
Kekontinuan
Definisi: Fungsi dua buahf(x,y) kontinu dititik (a,b) jika
( , ) ( , )2. lim ( , )
x y a bf x y ada
( , ) ( , )3. lim ( , ) ( , )
x y a bf x y f a b
1. ( , ) adaf a b
Untuk memeriksa kekontinuan suatu fungsi disuatu titik sangat sulit, karena limit fungsi sulit dicari.
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
35/86
Kalkulus2-Unpad 35
Teorema:
1. Fungsi polinom m peubah kontinu
),(),(),(
yxqyxpyxf
mR
2. Fungsi rasional kontinu difD
asalkan ( , ) 0q x y
3. Jikag(x,y)fungsi dua peubah yang kontinu di (a,b) danffungsi satu peubah kontinu dig(a,b),
makafogkontinu di (a,b) dan (fog) (x,y) =f(g(x,y)).
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
36/86
Kalkulus2-Unpad 36
Contoh Kekontinuan
Selidiki kekontinuan fungsi berikut:
2
2 31. ( , )
( 4 )
x yf x y
y x
32. ( , ) cos( 2 )f x y x y fkontinu dimana-mana (R
2
) kecuali di parobolay2
=4x
Misal (Polinom) gkontinu dimana-
mana dan h(t) = cos tkontinu di setiap tdiR.Makaf(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang.
3( , ) 2g x y x y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
37/86
Kalkulus2-Unpad 37
Turunan Parsial
Definisi: Misalkanf(x,y)adalah fungsi dua peubah.
0( , ) ( , )( , ) limx
hf x h y f x yf x y
h
2. Turunan parsial pertamafterhadapy(xdianggap konstan):
0
( , ) ( , )( , ) limy h
f x y h f x yf x y h
1. Turunan parsial pertamafterhadapx(ydianggap konstan):
,xf z
fx x
yz
y
ffy
Notasi lain :
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
38/86
Kalkulus2-Unpad 38
Contoh:
4 21. ( , )f x y x y xy
Tentukan fx
dan fy
Jawab :
3 2 41. 4 ; 2x yf x y y f x xy
2 22. ( , ) cos( )f x y y x y
2 22. 2 sin( )xf xy x y
)sin(2)cos( 22222 yxyyxfy
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
39/86
Kalkulus2-Unpad 39
Latihan
31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy
cos2. ( , )y
t
xf x y e dt
Tentukan fxdan fy dari fungsi berikut:
33. ( , ) cos( ) sin(2 )f x y x x y y xy
4. ( , ) tan 2yf x y e x
3 2 35. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y
xyxyyxf 2)(tan),(.6 1
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
40/86
Kalkulus2-Unpad 40
Definisi: Misalkan f(x,y,z)adalah fungsi tiga peubah,
maka
0
( , , ) ( , , )limxh
f x h y z f x y zf
h
2. Turunan parsial pertamafterhadapy(x,z konstan):
0
( , , ) ( , , )limyh
f x y h z f x y zf
h
1. Turunan parsial pertamafterhadapx(y,zkonstan):
3. Turunan parsial pertamafterhadapz(x,ykonstan):
0
( , , ) ( , , )limzh
f x y z h f x y zf
h
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
41/86
Kalkulus2-Unpad 41
Latihan
21. ( , , ) 3f x y z xy y z xz
2. ( , , ) cos( ) 2f x y z x y z xy
Tentukan fx, fy dan fzdari fungsi berikut :
23. ( , , ) secyf x y z xe z
24. ( , , ) ln( )xyzf x y z e x y z
yzxz
xyzyxf 2),,(.5
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
42/86
Kalkulus2-Unpad 42
Turunan Parsial Kedua
2
2( , )xx
f ff x y
x x x
2
2( , )yy f ff x y y y y
2
( , )xyf f
f x yy x y x
2
( , )yxf f
f x yx y x y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
43/86
Kalkulus2-Unpad 43
Contoh
Tentukan
Jawab :
2 3 3
( , )f x y xy x y , , ,xx xy yx yyf f f f dari
2 2 33x
f y x y 36xx
f xy
3 22 3y
f xy x y
2 22 9xyf y x y
2 22 9yx
f y x y
32 6yyf x x y
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
44/86
Kalkulus2-Unpad 44
Latihan
Tentukan , , ,xx xy yx yyf f f f dari
31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy
2. ( , ) sin 3 cos 2f x y x y
2 23. ( , ) ln( )f x y x xy y
24. ( , ) x yf x yxy
2 25. ( , ) sin cosx yf x y e y e x
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
45/86
Kalkulus2-Unpad 45
Arti Geometris Turunan Parsial Pertama
z
x
y
(a, b)
s
),(
),(),(
lim0 yxfh
yxfyhxf
m xh
Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbuxpositif
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
46/86
Kalkulus2-Unpad 46
z
x
y(a, b)
s
0
( , ) ( , )
lim ( , )yh
f x y h f x y
m f x yh
Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbuypositif
Arti Geometris Turunan Parsial Pertama
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
47/86
Kalkulus2-Unpad 47
Vektor Gradien
Definisi:
Misalkan fungsi z=f(x,y) terdefinisi di DR2
Vektor gradien dari fungsi z=f(x,y) di (x,y) D
didefinisikan sebagai
( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y i f x y j adalah vektor satuan arah sumbux,ypositif
Notasi lain: gradf(x,y), delf(x,y)
,i j
DefinisiVektor gradien dari fungsi f(x,y,z)adalah
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k
adalah vektor satuan arah sumbux,y,zpositif. , ,i j k
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
48/86
Kalkulus2-Unpad 48
Contoh
Tentukan ( , )f x y dan ( 1, 1)f dari ( , ) xy
f x y x e
( , ) xy xyxf x y e xye
Jawab :
2( , ) xyyf x y x e
( 1, 1) 2xf e e e
( 1, 1)yf e
2 ( , ) xy xy xyf x y e xye i x e j
( 1, 1) 2f e i e j
Jadi:
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
49/86
Kalkulus2-Unpad 49
Latihan
A. Tentukan f dari2
1. ( , ) x y
f x yx y
2 22. ( , ) lnf x y x y
3 24. ( , ) sinf x y x y
5. ( , ) ln( )f x y xy x y
B. Tentukan f di titik yang diberikan
2 21. ( , )f x y x y xy
3 2 32. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y
2
3. ( , ) x
f x yy
di P (2,3)
di P (3, 3)
di P (2, 1)
23. ( , , ) x zf x y z x y e zxezyxf y sec),,(.6 2
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
50/86
Kalkulus2-Unpad 50
Aturan Rantai
Misalkanx =x(t)dany=y(t) terdeferensialkan di tdanz=f(x,y) terderensialkan di (x(t),y(t))
Makaz=f(x(t),y(t)) dapat dideferensialkan di tdan
didefinisikan sebagai
dz z dx z dydt x dt y dt
Misalkanx=x(s,t),y=y(s,t) danz=f(x,y), maka
i z z x z ys x s y s
ii z z x z yt x t y t
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
51/86
Kalkulus2-Unpad 51
Contoh
1. Misalkan w=x2y3denganx= t3dany= t2,
tentukandw
dt
Jawab:dw w dx w dy
dt x dt y dt
3 2 2 22 (3 ) 3 (2 )xy t x y t
3 2 3 2 3 2 2 22 ( ) (3 ) 3( ) ( ) (2 )t t t t t t
3 6 2 6 4 112 3 3 2 12t t t t t t t
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
52/86
Kalkulus2-Unpad 52
Contoh
2. Misalkanz= 3x2y2denganx= 2s+7tdany= 5st,
z
t
Jawab:
6 .7 2 .5z z x z y
x y st x t y t
tentukanz
s
dan
6 .2 2 .5
z z x z y
x y ts x s y s
242(2 7 ) 50z
s t s tt
2
12(2 7 ) 50
z
s t sts
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
53/86
Kalkulus2-Unpad 53
Latihan
1. Tentukan
dw
dt (dalam t)
2. Tentukanw
t
2 2
. ; sin , sinx yb w e x s t y t s
2 2. ln ; ,sa w x y x x y s t t
2 3 2. sin( ) ; , ,c w xyz x t y t z t
. sin sin ; 3 , 2x yb w e y e x x t y t
2 2. ; cos , sina w x y y x x t y t
dari fungsi berikut :
dari fungsi berikut :
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
54/86
Kalkulus2-Unpad 54
0..
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F F
dy xFdx
y
Fungsi Implisit
(i) Jika ( , ) 0F x y bentuk implisit dari ( )f x y maka
(ii) Jika ( , , ) 0F x y z bentuk implisit dari ( , )f x y z maka
0...
x
z
z
F
x
y
y
F
x
x
x
F Fz xF
x z
0...
y
z
z
F
y
y
y
F
y
x
x
F Fz yFy
z
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
55/86
Kalkulus2-Unpad 55
Contoh :
dx
dy1. Tentukan dari 3 2 410 0x x y y
2. Tentukan
z
x
dari
3
( , , ) sin( ) 0
y z
F x y z x e y x z
Jawab :2
2 3
(3 2 )1.
( 40 )
Fdy x xyx
Fdx x y
y
2
3
32.
( cos( ))
y z
y z
Fz x ex
Fx x e y x zz
Turunan Berarah
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
56/86
Kalkulus2-Unpad 56
Turunan Berarah
Misal1 2,u u u vektor satuan dengan pangkal diP0(x0,y0)
P0
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
57/86
Kalkulus2-Unpad 57
atau 0 0 1 2, ,x x y y s u u
0 1 1
dxx x su u
ds 0 2 2
dyy y su u
ds
Nilaizdi Qadalah 0 1 0 2( , ) ( , )z f x y f x su y su
maka1 2. .x y
dz f dx f dyf u f u
ds x ds y ds
Jika s0, maka diperoleh
0 0 0 0 1 0 0 2( ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y u f x y u
Jika jarak ke Padalah s, maka 0 .P P s uP0
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
58/86
Kalkulus2-Unpad 58
Definisi : Jikaf(x,y)mempunyai turunan parsial dan
1 2,u u u vektor satuan sebarang, maka turunan
berarah f di titik dalam arah adalah :u0 0( )x y
Perhatikan bahwa:
0 0 0 0 1 0 0 2( ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y u f x y u
0 0 0 0 1 0 0 2( ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y u f x y u
0 0
( , ).f x y u
|| || . || || cosf u
sudut antara f dan u
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
59/86
59
Contoh
Jawab:
21 )1,1()1,1()1,1( ufuffD yxu
yxyxf 34),( 1. Tentukan turunan berarah fungsi
4 3a i j di titik P(1,1) dalam arah vektor
5
3,
5
4
5
3
5
4
|| ji
a
au
4)1,1(4
12)1,1(12
3
2
yy
xx
fxf
fyxf
125
60
5
3.4
5
4.12
Sehingga turunan berarahfdi (1,1) adalah:
Kalkulus2-Unpad
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
60/86
4/27/2014 60
Contoh
Jawab:
20010000
),(),(),( uyxfuyxfyxfDyxu
2. Tentukan suatu vektor
53),( yxyxf
2
4
3 (2, 1) 12
5 (2, 1) 5
x x
y y
f x f
f y f
u
dalam arah mana fungsi
bertambah paling cepat di P(2,-1)
dan berapa laju perubahan dalam arah ini.
uyxf
.),( 00
0 0|| ( , ) ||. || || cosf x y u
Agar bertambah paling cepat 0 udanf
searah.
60Kalkulus2-Unpad
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
61/86
jiu 13
5
13
12
f
Karena u
searah maka vektor satuannya
Lajunya = || ||f 2 2(12) ( 5) 13
61Kalkulus2-Unpad
ih
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
62/86
Kalkulus2-Unpad 62
Latihan
1. Tentukan turunan berarah fungsif pada titik P yangdiberikan dalam vektor
a.f(x,y) = y2 lnx, P(1, 4),
b.f(x,y) = xeyyex, P(0, 0),
c.f(x,y) = e xy , P(1, 1),
d.f(x,y) = x/(x+y), di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)
e.f(x,y) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)
2. Tentukan suatu vektor satuan dalam arah manafbertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa
laju perubahan dalam arah inia.f(x,y) = ey sinx, P(5/6,0)
b.f(x,y) = 4x3y2, P(1,1)
c.f(x,y) = 1x2y2, P(1,2)
3 3a i j 5 2a i j
3a i j
a
u
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
63/86
Kalkulus2-Unpad 63
3. Misal ( , ) .y
f x yx y
Tentukan u
sehingga (2, 3) 0uD f
4. Jika0 0
( , ) 2f x y i j ,Tentukan u
sehingga
0 0( , ) 2uD f x y
5. Diketahui jika(1, 2) 5uD f
jika(1, 2) 10vD f
dan3 4
5 5
u i j
4 3
5 5v i j
a. Tentukanfx(1,2) danfy(1,2)
b. Tentukan turunan berarahfdi (1,2) dalam arah ke
titik asal.
Bidang Singgung
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
64/86
Kalkulus2-Unpad 64
Bidang Singgung
Definisi:Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan
F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Poadalah sebuah bidang yang melalui Podan tegak lurus pada
0 0 0( , , )f x y z
Teorema:
Untuk permukaanF(x,y,z) = k, persamaan bidangsinggung di titik adalah :0 0 0( , , )x y z
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z
Untuk permukaan ( , ) ( , , ) ( , )z f x y atau F x y z f x y z
Persamaan bidang singgung di0 0 0( , , )x y z adalah :
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y
0 0 0( , , )x y z
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
65/86
Kalkulus2-Unpad 65
Definisi :
Garis normal permukaan S di Po adalah garis yangmelalui 0 0 0( , , )x y z dan searah vektor normal bidang singgung
pada S di Poyaitu :
0 0 0 0( ) ( , , )X r t t F x y z
atau
0 0 0 0( , , )xx x tF x y z
0 0 0 0( , , )
yy y tF x y z
0 0 0 0( , , )zz z tF x y z
h
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
66/86
Kalkulus2-Unpad 66
Contoh
1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaanx2 +y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)
Jawab: Misalkan
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah
2(x1) + 4(y+ 2) + 12 (z2) = 0
2x+ 4y+ 12z= 46
2 2 2( , , )F x y z x y z
kzjyixzyxF
422),,(
kjiF
1242)3,2,1(
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
67/86
Kalkulus2-Unpad 67
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x= 1+2t,y= 2 + 4t, z= 3 + 12t
2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
Permukaan di (1, 2, -5)
Jawab:
2( , ) 2 2 3xf x y x y y
( , ) 2 6y
f x y x xy
(1, 2) 2 4 12 6xf
(1, 2) 2 12 10y
f
2 2( , ) 2 3 2f x y x xy xy
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
68/86
Kalkulus2-Unpad 68
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah
5 (1, 2)( 1) (1, 2)( 2)x yz f x f y
5 6( 1) 10( 2)z x y
6 10 21x y z
1 6 , 2 10 , 5x t y t z t
h
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
69/86
Kalkulus2-Unpad 69
Latihan
1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan
a.x2+ y23z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y= excoszdi titik (1, e, 0)c.x1/2+ y1/2+z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d.z= 2e3ycos 2xdi titik (/3, 0, -1)
2. Tentukan semua titik pada permukaanz=x22xyy28x+4ydimana bidang singgungnya mendatar
3. Perlihatkan bahwa permukaanx2+4y+z2=0 danx2+y2+z2 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2).
(yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama).
4. Tentukan sebuah titik pada permukaanx2+2y2+3z2=12di mana bidang singgungnya tegak lurus terhadap garisdengan persamaan parameter:x=1+2t, y=3+8t,z=2 6t
Nilai Ekstrim
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
70/86
Kalkulus2-Unpad 70
Nilai Ekstrim
Fungsi Dua Peubah
Definisi:
MisalkanfDyx ),( 00
jika
),()( 00 yxfi disebut nilai maksimum global darifpadaDf,
, maka:
fDyxyxfyxf ),(),(),( 00
),()( 00 yxfii disebut nilai minimum global darifpadaDf,
jika fDyxyxfyxf ),(),(),( 00),()( 00 yxfiii disebut nilai ekstrim global darifpadaDf,
jika ia merupakan nilai maksimum global atauminimum global.
Jika (i) dan (ii) hanya berlaku untuk bola buka yang berpusat
di (x0,y0), maka nilai yang diperoleh disebut maksimum lokal
atau minimum lokal.
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
71/86
71Kalkulus2-Unpad
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
72/86
Kalkulus2-Unpad 72
Di mana nilai ekstrim muncul?
Titik di mana kemungkinan terjadinya nilaiekstrim disebut titik kritis
Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batasDf
Titik Stasioner
Titik Singular
0),(0),(0),(),( 00000000 yxfdanyxfyxfyx yx
)adatidak),(( 00 yxf
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
73/86
Kalkulus2-Unpad 73
Uji Nilai Ekstrim Lokal
Untuk menguji apakah di titik stasioner terjadinilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsialkedua, yaitu:
Misalkan f(x,y)mempunyai turunan parsial keduayang kontinu di sekitar (x
0
,y0
),
dan
0),(00 yxf
maka
200000000 ),(),(.),(),( yxfyxfyxfyxDD xyyyxx
1.f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxfxx
2. f(x0,y0)nilai minimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxfxx
3. f(x0,y0)bukan nilai ekstrim jika D
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
74/86
Kalkulus2-Unpad 74
Contoh
1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya, dari
Jawab :
fx(x,y)= 8x32x fy(x,y) = 6y
fxx(x,y) = 24x
2
2 fyy(x,y) = 6fxy(x,y) = 0
Titik kritis (stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan
persamaanfx(x,y) = 0danfy(x,y)=0, yaitu
8x3
2x=0 2x (4x21)=0 x=0 ,x= 6y=0 y= 0
Jadi titik-titik kritisnya (titik stasioner) adalah(0, 0), (, 0) dan (-,0)
224 32),( yxxyxf
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
75/86
Kalkulus2-Unpad75
Titikstasioner
fxx fyy fxy D Keterangan
(0,0) 2 6 0 12 f(0,0) bukan nilai ekstrim
(, 0) 4 6 0 24 f(1/2,0) nilai minimum lokal
(-, 0) 4 6 0 24 f(-1/2,0) nilai minimum lokal
Uji nilai ekstrim lokal dengan D :
Jadi nilai minimum lokal8
1)0,
2
1( f dan
8
1)0,
2
1( f
Titik (0,0) merupakan titik pelana.
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
76/86
Kalkulus2-Unpad76
2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, dari
f(x,y) =x2y2+1pada S = {(x,y)|x2 +y21}
Jawab :
fx(x,y) = 2x fy(x,y) =2y
fxx(x,y) = 2fyy(x,y) =
2fxy(x,y) = 0
Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan
persamaanfx(x,y) = 0danfy(x,y)=0, didapat (0,0)
Perhatikan bahwa titik kritis (0, 0) terletak di dalam S,
danD(0,0)
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
77/86
Selanjutnya tentukan titik-titik batasnya.
Untuk mencari maksimum/minimum darif(x,y)pada S,
selesaikan ekstrim fungsif(t)sebagai fungsi satu peubah.
1|),( 22 yxyxS Lingkaran satuan.
Misal tytx sin,cos
0cossin2cossin2)('
tttttf
1sincos)( 22 tttf
02sin2
t
2t= 0, , 2, 3 t= 0, /2, , 3/2
t=0 x= 1, y= 0 f(1,0)=2 (nilai maksimum global)
t=/2
x= 0,
y= 1 f(0,1)=0 (nilai minimum global)
t= x= -1 ,y = 0 f(-1,0)=2 (nilai maksimum global)
t=3/2 x= 0, y =-1 f(0,-1)=0 (nilai minimum global)
77Kalkulus2-Unpad
L ih
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
78/86
Kalkulus2-Unpad78
Latihan
1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, daria.f(x,y) =x3+y3-6xy
b.f(x,y) =xy26x26y2
c.f(x,y) =x2+4y22x+8y1
d.f(x,y) = 3x3
+y2
9x + 4y
yxxyyxfe
42),(.
)4( 22),(. yyxeyxff
2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, dari
f(x,y) =x26x+y28y+7pada S={(x,y)|x2 +y2 1}
M d L
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
79/86
Kalkulus2-Unpad79
Metoda Lagrange
Metoda Lagrange digunakan untuk mencari nilai ekstrimterkendala.
Misalkanz =f(x,y)dengan kendalag(x,y)=0.
Akan dicari nilai ekstrim fterhadap kendalag.
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
80/86
Untuk memaksimumkanfthd kendalag(x,y)=0 Cari
perpotongan kurva ketinggianf(x,y)=kdengan fungsi
kendalag(x,y)=0sehingga diperoleh kterbesar.
Karena kurva ketinggian dan kurva kendala salingmenyinggung garis tegak lurusnya sama.
),(),( yxgyxf
f
Karena kurva ketinggian , kurva kendala g
maka
80Kalkulus2-Unpad
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
81/86
Kalkulus2-Unpad81
Metoda Lagrange
0),(),(),( 000000 yxgdanyxgyxf
dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange
),(),(),( 000000 yxhyxgyxf
dengan (x0,y0) titik kritis, , pengali langrange
g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0
Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0)terhadap kendalag(x0,y0)=0, selesaikan sistem persamaan:
Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0)
terhadap kendalag(x0,y0)=0 dan h(x0,y0) selesaikan sistempersamaan:
Contoh
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
82/86
Kalkulus2-Unpad82
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai
maksimun dan minimun dari
1.f(x,y)=x2y2 + 1 pada lingkaranx2+y2=1
Jawab:
Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange :
),(),( yxgyxf
0),( yxgdan
yaitu:
2x= 2x.(1)
2y= 2y.(2)
x2+y2 = 1..(3)
jyixyxf 22),(
jyixyxg 22),(
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
83/86
Kalkulus2-Unpad83
Dari persamaan (3), nilaixdan ytidak mungkin sama-sama nol, sehingga
Untukx0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2)
di dapaty= 0, dan dari (3) di dapatx2=1 x= 1
Untuky0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1)
di dapatx= 0, dan dari (3) di dapaty2=1 y= 1
Jadi titik-titik kritisnya : (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)
f(1, 0) = 2,
f(-1, 0) = 2
f(0, 1) = 0,
f(0,-1) = 0
maka titik kritis : (1,0) dan (-1,0)
maka titik kritis : (0,1) dan (0,-1)
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
84/86
2. Tentukan nilai minimum global dari
Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1)
dan (0,-1)
Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),
523),,( zyxzyxf
terhadap kendala 049),,( 22 zyxzyxg
Jawab:
kjigkjif 818;23
),(),( yxgyxf
0),( yxg
049
1
82
183
22
zyx
y
x
(1)
(3)
(2)
(4)
Kalkulus2-Unpad84
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
85/86
Substitusi ke (4), didapat
4
1,
6
11 yxKarena
2
1z
Sehingga nilai minimumnya adalah:
2
1,
4
1,
6
1Jadi titik kritis :
2
14
2
1,
4
1,
6
1
f
Kalkulus2-Unpad85
Latihan
-
5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah
86/86
Latihan
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilaimaksimun dan minimun dari
1.f(x,y) =x2 +y2pada kendalag(x,y)=xy3 = 0
2.f(x,y) =xypada lingkaranx
2
+y
2
= 13.f(x,y) = 4x24xy+y2pada kendalax2+y2 = 1
4.f(x,y,z) =x2+y2+z2 pada kendalax+ 3y2z= 12