Materi 4 Peubah Acak dan Sebaran Peluang

STK 211 Metode statistika

1

Pendahuluan

Soal ujian masuk PT diselenggarakan dengan sistem pilihan

berganda. Jika jawaban benar diberi nilai 4, salah dikurangi 1

dan tidak menjawab diberi nilai nol. Bagaimana jika pada satu

soal kita tidak tahu jawaban atau tahu ada 2 pilihan yang salah,

apakah perlu dijawab?

Suatu permainan menebak 4 angka dengan tepat akan

mendapatkan uang sebanyak Rp. 5jt, jika kalah harus

membayar sebanyak Rp. 10rb, dan jika tidak ikut tidak dapat

apa-apa. Keuntungan jika menang adalah 500 x lipatnya.

Apakah anda akan tertarik?

2

Pendahuluan Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai percobaan,

yang pada dasarnya adalah suatu proses yang menghasilkandata.

Namun seringkali kita tidak tertarik dengan keterangan rincihasil percobaan tersebut melainkan keterangan numeriknya.

Sebagai teladan perhatikan percobaan melempar mata uanglogam setimbang sebanyak tiga kali.

Berikut adalah semua kemungkinan hasil pelemparan:

AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG,

yang masing-masing memiliki peluang yang sama untukmuncul atau sebesar 1/8.

3

Pendahuluan Misalkan didefinisikan suatu peubah X di mana X adalah banyaknya

sisi Angka yang muncul pada ketiga lemparan, maka peubah X ini

mungkin bernilai 0, 1, 2, 3. Perhatikan tabel di bawah

4

Pendahuluan Perhatikan bahwa peubah X memetakan setiap titik contoh ke

suatu nilai tertentu.

Peubah X tersebut selanjutnya disebut sebagai PEUBAH ACAK

Setiap nilai yang mungkin diambil oleh P.A X ini memiliki peluang tertentu untuk muncul yang dapat diringkas dalam suatu fungsi yang disebut FUNGSI PELUANG atau SEBARAN PELUANG

5

Konsep Peubah Acak Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang

kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayahfungsi).

Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalamstatistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam.

Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakansetiap kejadian dengan tepat ke satu bilangan riil.

6

Sebagai teladan dalam percobaan pelemparan sebuah

dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang kejadiannya

dapat disenaraikan sebagai berikut:

R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1}

7

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsi Wilayah fungsi

S1 .

S2 .

S3 .

S4 .

S5 .

S6.

X(ei)

. 0

. 1

8

Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluangkejadiannya.

Sehingga sebaran peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut:

p(X=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6

p(X=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang muncul

Kejadian

S1 S2 S3 S4 S5 S6

Peluang

kejadian

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

X 0 1 0 1 0 1

9

Latihan

Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Jika masing-masing

memiliki sisi yang seimbang, senaraikanlah ruang kejadiannya.

Jika kita ingin melihat munculnya sisi ganjil pada kedua dadu,

maka definisikan peubah acak tersebut. Lengkapi dengan

sebaran peluang dari peubah acak tersebut.

10

Berdasarkan nilai yang mungkin diambil, peubah acak dibagimenjadi dua, yaitu P.A Diskret dan P.A Kontinu

P.A DISKRET, yaitu apabila nilai yang mungkin diambil berupabilangan bulat

P.A KONTINU, yaitu apabila nilai yang mungkin diambil berupabilangan real pada suatu selang nilai tertentu.

Beberapa P.A yang tergolong diskret diantaranya sebaranBernoulli, Binom, Hipergeometrik, Poisson, Geometrik, seragamdiskret, dll.

Sedangkan P.A yang tergolong kontinu misalkan sebaran normal, lognormal, seragam kontinu, t, F, dll.

11

Nilai Harapan Peubah Acak

Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari

nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara

berulang-ulang sampai tak berhingga kali.

Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai

berikut:

kontinu p.a X jika ,)(

diskret p.a X jika ),(

)(1

dxxfx

xpx

X

ii

n

i

ii

12

Sifat-sifat nilai harapan:

Jika c konstanta maka E(c ) = c

Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c

E(X)

Jika X dan Y peubah acak maka E(XY) = E(X) E(Y)

13

Teladan:

Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X sepertitabel di bawah

Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6

E(3X) = 3 E(X) = 45/6

Nilai peubah Acak X

x 0 1 2 3 4 5

P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

14

Ragam Peubah Acak

Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

V(X) = E(X-E(X))2

= E(X2) - E2(X)

Sifat-sifat dari ragam Jika c konstanta makaV(c ) = 0

Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c2 V(X)

Jika X dan Y peubah acak maka,

V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y)

Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y salingbebas maka Cov(X,Y) = 0

15

Teladan (lanjutan dari sebelumnya)

V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2

= 55/6 - 225/36 = 105/36

16

17

Bagaimana dengan persoalan apakah perlu

menjawab ujian soal masuk PT dan menebak

angka?

Sebaran Peluang PA

Sebaran Peluang PA Diskret

Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak yang nilai-nilainya

diperoleh dengan cara mencacah (counting)

Beberapa sebaran peluang PA diskret, antara lain:

Bernoulli

Binomial

Poisson

18

Sebaran Peluang PA Kontinu

Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak yang nilai-nilainyadiperoleh dengan menggunakan alat ukur

Beberapa sebaran yang tergolong dalam sebaran peubah acakkontinu antara lain: Normal

Weibull

Gamma

Beta

19

Sebaran Peluang PA Diskret BernoulliKejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu

sukses atau gagal

Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan0 jika kejadian gagal

Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsipeluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:P(X=x) = pxq(1-x), x=0,1

Fungsi peluang tersebut tergantung oleh besarnyaparameter p, sehingga peubah acak X yang menyebarBernoulli dituliskan X Bernoulli (p)

20

Binomial Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas

Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n

Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:

P(X=x) = C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n

dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!

Fungsi peluang ini dipengaruhi oleh dua parameter, yaitu n dan p. Sehingga peubah acak X yang menyebar binom dituliskan X Binom (n,p)

21

Teladan

Dari suatu hasil survei diketahui bahwa suatu produk minumansuplemen digunakan oleh 6 dari 10 orang. Dari 15 orang konsumen yang kita temui, berapakah peluang paling sedikit 10 orang diantaranya menggunakan produk tersebut

ada 3 sampai 8 orang yang menggunakan produk tersebut

tepat 5 orang yang mengunakan produk tersebut.

22

23

Poisson

Kejadian binom pada selang waktu atau luasan tertentu

Jika rataan banyaknya kejadian sukses dalam selang tersebut

adalah µ, maka:

P(X=x) =

x = {0,1,2,…,∞} , e=2.71828….

Jika X peubah acak menyebar poisson maka ditulis X ~

Poisson(µ)

24

Teladan

Rata-rata kecelakaan di jalan tol diketahui terjadi 4 kali dalam

sebulan. Berapa peluang bahwa terjadi kecelakaan sebanyak 6

kali dalam suatu bulan.?

P(X=6) = = 0.1042

Sebaran Peluang PA Kontinu

Sebaran Normal

Bentuk sebaran simetrik

Mean, median dan modus berada dalam

satu titik

Peluang merupakan luasan dibawah

kurva kepekatan normal

2

2

1

2

2

1),,(

x

exf

25

Merupakan P.A kontinu yang menjadi dasar bagi sebagian

besar inferensia statistika

Persamaan matematis bagi sebaran ini dipengaruhi oleh

dua parameter, yaitu dan , yang masing-masing

merupakan rataan dan simpangan bakunya.

Sehingga peubah acak X yang menyebar normal

dituliskan

X Normal (,2)

26

Beberapa Sebaran Normal

27

Setiap P.A Normal memiliki karakteristik yang berbeda-beda

perhitungan peluang akan sulit

Lakukan transformasi dari X N( , 2) menjadi peubah acak

normal baku Z N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi

transformasi

Distribusi peluang dari peubah acak normal baku

Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal

baku

XZ

28

Cara penggunaan tabel normal baku

Nilai z, disajikan pada kolom

pertama (nilai z sampai desimal

pertama) dan baris pertama

(nilai z desimal kedua)

Nilai peluang didalam tabel

normal baku adalah peluang

peubah acak Z kurang dari nilai k

(P(Z<k)).

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03

-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004

-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006

-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

P(Z<-2.42)=0.008

29

Teladan:

Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2. Hitunglah:

1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?

2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm?

3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?

30

Teladan

Untuk sebaran normal dengan = 300 dan = 50, hitunglah

peluang bahwa peubah acak X mengambil suatu nilai yang lebih

besar dari 362.

Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang

umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan

simpangan baku 40 jam.

Hitunglah peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan

mencapai umur antara 778 dan 834 jam.

Jika ada 10% bohlam yang tidak layak jual karena umurnya

terlalu pendek, berapa batas umur bohlam layak jual?

31

32

Pendekatan Normal terhadap Peubah Binomial

Untuk ulangan n yang besar dan peluang sukses p sekitar 0.5

µ = np dan σ = √ np(1-p)

Untuk menghitung peluang digunakan angka koreksi

kekontinuan sebesar 0.5

Contoh : P(X > x) = P(Z>[(x+0.5)-np]/ √np(1-p))

33

Teladan:

Dalam suatu populasi lalat buah diketahui 25% diantaranya

memiliki mata merah. Jika dipilih secara acak 500 ekor lalat

buah, berapakah peluang didapatnya lalat buah yang bermata

merah:

Kurang dari 100 ekor?

Lebih dari 150 ekor?

Kurang dari 150 tetapi lebih dari 100?

34

Selesai