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Tema 5 Estática de Fluidos

1) Introducción2) Presión de un fluido3) Fuerza sobre una superficie sumergida4) Principio de Arquímedes 5) Problemas propuestos

Manuel Domingo Beltrán

2

Estados de agregación de los sistemas materiales:

Sólido: las moléculas o átomos están dispuestos en posiciones fijas y ordenadas, constituyendo una estructura regular. Tienen volumen y forma fijos.

Líquido: formados por moléculas o paquetes de moléculas en contacto unos con otros, adaptándose a la forma del recipiente que los contiene, pero con volumen fijo (el cual puede variar con la temperatura). Son prácticamente incompresibles, y no resisten esfuerzos mecánicos tangenciales.

Gas: no tiene ni volumen ni forma propios. Ocupa todo el espacio disponible y las distancias intermoleculares son unas mil veces el tamaño de ellas.

1) Introducción

3

Densidad: masa/volumen (kg/m3)

Peso específico:

∀= mρ

∀=d

dmρ

Homogéneo:

No homogéneo:

g·ργ = (N/m3)

agua

relativa ρρρ =

Cantidad de sustancia y densidad

Volumen específico: ρ1=v

Cantidad de sustancia:Masa m (kg)

Nº de moles M

mn =

4

Viscosidad

Determina la resistencia de un fluido ante esfuerzos tangenciales. Tiene su origen en las interacciones entre las moléculas del fluido

Placa móvil

Fluido viscoso

Placa fija

Una placa de superficie S descansa sobre un fluido con profundidad h. Se estira la placa con una fuerza F y se mide la velocidad de la placa: V. Las sucesivas láminas del fluido se irán moviendo con una velocidad inferior, hasta anularse para la más profunda

Experimentalmente se aprecia la proporcionalidad:

dy

duS

h

SVF =∝

dy

du

S

F ∝=τdy

duµτ =

5

Unidades:

Dimensiones: [ ] [ ] 11222 ······ −−−−− === TLMLTTLMLTFµ

SI: N·s/m2

CGS: dina·s/cm2 (Poise)

dy

duµτ = µ :Viscosidad

ρµυ = Viscosidad cinemática

[ ] [ ] 12311131 ······ −−−−− === TLLMTLMLMµυ

Unidades:

Dimensiones:

SI: m2/s

CGS: cm2/s (Stoke)

6

7

8

Unidades:

Dimensiones:

SI: N·m-2 (Pascal)

CGS: dina·cm-2 (bar)

⊥∆Fr

Sr

∆

Concepto de presión:Dado un punto en el seno de un fluido, consideramos un elemento de superficie dS en torno a él, orientado arbitrariamente. La fuerza que ejerce el fluido sobre la cara superior serádF, en dirección perpendicular a dicha superficie (ya que si no el fluido fluiría)

dS

dF

S

FP S

⊥⊥→∆ =

∆∆= 0lim

2) Presión de un fluido

[ ] [ ][ ]

2122 ····· −−−− === TLMLTLMS

FP

9

0sin32 =− αdzdsPdydzP

032 =− dzdyPdydzP 32 PP =

Eje x:

Eje y:

02

1cos31 =−− gdxdydzdzdsPdxdzP ρα

02

131 =−− gdzPP ρ

dx

dy

31 PP =

321 PPP ==

Equilibrio de fuerzas de presión sobre un elemento de fluido

La presión en cualquier punto de un fluido en reposo es la misma en todas las direcciones

Por tanto:

10

3fr

1fr

5fr

6fr

2fr4f

r

X

Y

Z

kPdSfrr

=5kdSdPPfrr

)(6 +−=

0654321 =++++++=∑ gdmffffffFi

rrrrrrrrFluido en reposo, sometido únicamente al campo gravitatorio:

0·)( =∀++− dgdSdPPPdS ρ

∀= dgdPdS ·ρ

gdxdydzdPdxdy ρ= gdzdP ρ=

21 ffrr

=43 ffrr

= kgdgdmrr ∀= ·· ρ

Ecuación fundamental de la hidrostática

gdmr

11

Importante: por tanto, todos los puntos de igual profundidad tienen igual presión, y ésta aumenta linealmente con la profundidad. Los puntos de igual presión pertenecen a planos horizontales.

∫∫ =zzP

P

gdzdP0

)(

0

ρ

gzPzP ρ=− 0)(

gzPzP ρ+= 0)(

Tomamos como origen de coordenadas la superficie libre del líquido. Suponemos densidad constante.

La presión en un punto de profundidad z es igual a la presión P0 que se ejerce sobre la superficie libre del líquido más el producto del peso específico por la profundidad.

Ecuación fundamental de la hidrostática.

3fr

1fr

5fr

6fr

2fr4f

r

X

Y

Z

gdmr

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Vasos comunicantes: Como los puntos de igual presión deben estar en planos horizontales, y la superficie libre está sometida únicamente a la presión atmosférica, el líquido debe tener la misma altura en cada rama.

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1S 2S

“La presión ejercida en un punto de un líquido en equilibrio se transmite íntegramente en todas direcciones”

1

11

S

FP =

2

22

S

FP =

gzPzP ρ+= 0)(

21 PP =2

2

1

1

S

F

S

F = 1

1

212 FS

SFF >=

Se deduce de la ecuación fundamental de la hidrostática, despreciando en el caso de la prensa hidráulica el peso de la diferencia de alturas de columnas de fluido

Principio de Pascal

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1S 2S

111 lS=∀

222 lS=∀

21 ∀=∀ 1

2

2

1

l

l

S

S =

2

1

1

2

F

F

l

l = 2211 lFlF =Los trabajos realizados por las fuerzas son iguales

2

1

2

1

F

F

S

S =

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gasP

A B

Agas PP = BA PP =

ghPP atmB ρ+=

ghPP atmgas ρ+=

Medición de presiones: barómetros y manómetros

Definición de la unidad atmósfera: Presión que sobre su base ejerce una columna de mercurio, de 76 cm de altura y densidad ρ=13.5951 g/cm3 bajo una aceleración de la gravedad de 980.665 cm/s2:

ghghPPatm ρρ =+= 0

Pa 133.3 atm 760

1 Hg mm 1 torr1 ===

bar 013.1Pa 10·013.1)76.0)·(80665.9)·(10·5951.13(atmósfera 1 53 ===

abarometricatm PP ≡amanometricaatmosfericabsoluta PPP +=

aatmosfericabsolutaamanometric PPP −=

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3) Fuerza sobre una superficie sumergida

Acción de un fluido sobre una superficie sumergida

Fuerza total

Punto de aplicación: intersección del eje central con la superficie. Centro de presiones (cdp)

Casos posibles

Superficie plana

Superficie alabeada

Horizontal

Inclinada

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PSdSPPdSF === ∫∫

∫== yPdSPSyFy PPS

ydSyP

∫=

∫== xPdSPSxFx PP

S

xdSxP

∫=

GP xx =GP yy =

Superficie plana horizontal

Centro de presiones:

X

Y

Y

Z

h

hghP γρ ==

FPdSdF =

dS

Superficie libre

Fluido

y

x

cdg

cdp

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Superficie plana inclinada

dSyhdSghdSdF θγγρ sin===

SPSyydSF GG === ∫ θγθγ sinsinθsinFFh =θcosFFv =

dS

X

Y

),( yxh

FPdSdF =

Gh

cdg

0

0

Y

?¿cdp

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∫= xPdSFxP

∫= dSyxSxy PG θγθγ sinsin

G

G

yx

G

GGyx

P xSy

I

Sy

ySxIx GGGG +=

+=

Si uno de los ejes paralelos a los coordenados pasando por el cdg es principal de inercia (al ser de simetría por ej.), el pdi respecto a ellos es 0 y xp=xG. Como el pdi puede ser >0 o <0, el cdp puede estar a un lado u otro del dg de la superficie

dS

X

Y

),( yxh

FPdSdF =

Gh

cdg

0

0

Y

cdp

G

xy

G

PSy

IxydS

Syx == ∫

1

x

px

pdi respecto a los planos x=0 e y=0 del sistema de referencia XYZ

pdi respecto a los planos x=0 e y=0 del sistema de referencia XGYGZG

Centro de presiones:

20

∫= yPdSFyP

∫= dSyySyy PG θγθγ sinsin

G

X

G

Y

G

PSy

J

Sy

IdSy

Syy === ∫

21

G

G

X

G

G

Y

G

GY

P ySy

Jy

Sy

I

Sy

SyIy GGG +=+=

+=

2

Como el mdi siempre es >0, yp>yG, y el cdp siempre estará por debajo del dg de la superficie

dS

X

Y

),( yxh

FPdSdF =

Gh

cdg

0

0

Y

cdp

y

py

Centro de presiones:

mdi de la superficie respecto al planoy=0 del sistema de referencia XYZ, que al ser una figura plana coincide con su mdi respecto al eje X

mdi de la superficie respecto al planoy=0 del sistema de referencia XGYGZG, que coincide con su mdirespecto al eje XG

21

Prisma de presionesEs otra forma de calcular el módulo y la línea de acción de la fuerza resultante sobre la superficie plana. Sólo es operativo en superficies rectangulares o cuadradas

2

2

00

gLHhdhgghLdhPdSF

HH ρρρ ==== ∫∫∫

gHP ρ=3

H

2

L

Fr

22

∀=== dhdSghdSdF γρ ∫∫ ∀= ddF

∫ ∀∀

= xdxP1

∫ ∀∀

= ydyP1

El cdg del prisma de presiones coincidirá con el centro de presiones

En general, la fuerza total del fluido será:

presiones de Prisma∀=F

El volumen del prisma de presiones (formado por la superficie sumergida y la presión en cada punto, que hace de altura del prisma), es igual al módulo de la resultante de la fuerza del líquido sobre la superficie

23

2h

h

F

ghP ρ=

22 ghP ρ=

11 ghP ρ=

F1F

2F

1h F

L2

L3

L

24

Superficie alabeadaSi la superficie sumergida es alabeada, las fuerzas elementales sobre diferentes elementos diferenciales ya no serán paralelas entre sí. Por tanto, la presión no producirá un sistema de vectores paralelos como en el caso de las planas.

XY

Z

xS

zS

yS

dF

dSxdS

zdS

ydS

z

25

zdSPdSdF γ==

zz

yy

xx

zdSzdSdFdF

zdSzdSdFdF

zdSzdSdFdF

γαγαγαγα

γαγα

===

======

33

22

11

coscos

coscos

coscos

XY

Z

xS

zS

yS

dF

dSxdS

zdS

ydS

z

26

yzxxxx PyzdSzdSyyPdSyF γγγ ==== ∫∫∫1xG

yz

xG

yz

Sz

I

Sz

Iy

11

1 ==γγ

zxxxx IdSzzdSzzPdSzF γγγ ==== ∫∫∫2

1xG

z

xG

z

Sz

I

Sz

Iz

11

1 ==γ

γ

xGxxxx SzzdSzdSdFF1

γγγ ==== ∫∫∫x

x

GS

zdSz

∫=1

Coordenada correspondiente del cdgdel área plana Sx, proyección de S sobre el plano X=0

El resultado obtenido del valor de Fx y su punto de aplicación, es el mismo que se obtendría sobre una superficie real Sx, proyección de S sobre X=0

Lo mismo se podría calcular para el plano Y=0. Como el nombre de los ejes es arbitrario, se obtendría el mismo resultado.

Como conclusión, la componente Fx en una dirección horizontal cualquiera de la acción de un líquido sobre una superficie alabeada S es idéntica (resultante y línea de acción) a la resultante de la acción del líquido sobre la proyección Sx de la superficie S sobre un plano vertical YZ perpendicular a la dirección horizontal considerada

Componente horizontal

27

∀==== ∫∫∫ γγγ zzzz zdSzdSdFF

Componente vertical

La componente vertical Fz de la acción de un fluido sobre una superficie alabeada S, es igual al peso del líquido situado verticalmente por encima de la superficie S hasta la superficie libre del líquido. La línea de acción de Fz

pasa por el dg del volumen .∀

28

“Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja. Esta fuerza actúa desde un punto que corresponde al centro de gravedad del fluido desplazado (centro de carena)”

Y

Z

Consideremos una porción de fluido en reposo.Al estar en equilibrio se cumplirá:

kmg

kFF

kFF

g

rr

rr

rr

=

−=

=

ω22

11

kmgFF g

rrrr−=−=+ ω21

021 =++ FF g

rrrω

kmgkFkFrrr

−=− 21

21 FF g

rrr−=+ ω

Empuje que experimenta la porción de fluido

4) Principio de Arquímedes

gωr

29

kFV

rr

1)1( ∀= γ

kkkFFE cuerpo

rrrrrr∀−=∀−∀=+= ∀∀ γγγ 21)2()1(

kFV

rr

2)2( ∀−= γ

Z

O

Empuje sobre un cuerpo totalmente sumergido

30

kE s

rr∀−= γ

Volumen sumergido s∀

Estabilidad de los cuerpos en flotación:

Er

Z

O

Empuje sobre un cuerpo parcialmente sumergido

31

32

5) Problemas propuestos

P.- Se utiliza un elevador hidráulico para levantar un automóvil de 1500 kg de masa. El radio del eje del elevador es de 8 cm, y el del pistón es de 1 cm. ¿Cuánta fuerza deberá aplicarse al pistón para levantar el automóvil?Sol.: 230 N

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2012 06 04

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2013 05 31

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La compuerta de la figura tiene la forma de un cuarto de superficie cilíndrica de radio R=2m. La altura DB es de 4m. Determinar la magnitud y la línea de acción de la fuerza resultante ejercida por el agua, por unidad de longitud de la compuerta.

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2012 06 18

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2013 06 17

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2014 06 02

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2014 06 16