4_lezione_infernza statistica_stima dei parametri_intervallo di confidenza_2°anno

8/8/2019 4_LEZIONE_Infernza statistica_STIMA DEI PARAMETRI_intervallo di confidenza_2anno

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I Facolt di Medicina e Chirurgia

CORSO DI STATISTICA 2Dott.sa Laura Perrotta

- Lezione 7 - Inferenza statistica: gli intervalli di confidenza -

A.A. 2006/2007


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POPOLAZIONE E UNITA STATISTICHE Perpopolazione o universo si intende linsieme di tutti

gli elementi che hanno in comune il carattere che deveessereesaminato.

Leunit statistiche sono i singoli elementi, checostituiscono la popolazione, deputati a fornire le

informazioni grezze.

La scelta di una popolazione statistica oggetto di studioviene definita dallo sperimentatore seguendo un criteriooggettivo per assegnare o meno un elemento allapopolazione di interesse (popolazione bersaglio).

Esempio: linsieme di soggetti di et superiore a 60 anniappartenenti al comprensorio sanitario di una ASL; i tempi disopravvivenza dopo il trapianto di midollo; ecc.

Moltericerche indagano su un ridotto numero diosservazione (il campione)e successivamentegiungono a conclusioni generalizzabili.


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POPOLAZIONI FINITE ED INFINITE

Una popolazione si definiscefinita se costituita da unnumero finito di unit, cio si in grado di identificaretutte le unit.

Un popolazione definita infinita se costituita da unnumero illimitato di unit, cio non si in grado diidentificare tutte le unit che costituiscono lapopolazione.

Difficilmente una popolazione statistica coincide con lapopolazione anagrafica: a causa di problemiorganizzativi, economici e di tempo diventa dispendiosofarriferimento alla totalit delle unit di una popolazione.


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LINFERENZA STATISTICA

Linferenza statistica il procedimento induttivo, cheavvalendosi del calcolo delle probabilit, consente diestendere allintera popolazione le informazioni fornite dauna campione

Lericerche in campo biomedico vengono sviluppateattraverso indagini campionarie. Per la scelta delcampione devono essererispettati i criteri di casualit erappresentativit

Concettualmente si definisceerrore campionario ladifferenza esistente tra le caratteristiche del campioneequellevere della popolazione bersaglio

Esistono tecniche di campionamento in grado di prevedere

e controllare lerroremigliorando la bont del campione


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POPOLAZIONE

PARAMETRI DELLA

POPOLAZIONE

STIMECAMPIONARIE

CAMPIONE

Tecniche

campionarie

Inferenzastatistica

Rilevamento ed

elaborazione dati

Schema logico di un indagine statistica campionaria

Media

Deviazione standard

Media m

Deviazione standard s


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Il processo inferenziale, nel caso pi

semplice, indirizzato a stimare i

parametri della popolazione attraverso

le stime campionarie della tendenza

centralee della dispersione.


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SIMBOLOGIA DEI

PARAMETRI

Parametri della

popolazione

Parametri del

campioneMedia (mu) m =

Deviazione

standard (sigma) s

VALORI NOTEVOLI DELLA DISTRIBUZIONE Z

Z Area compresa

nellintervallo (-z; +z)

Area esterna allintervallo

(-z; +z) (code della distribuzione)

1 0,68 68% 0,32 32%

1,96 0,95 95% 0,05 5%

2,58 0,99 99% 0,01 1%

x

Numerosit N n


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Esempio 1

La variabile altezza di una popolazione segue ladistribuzione normale, un individuo scelto a caso dadetta popolazione avr, con il 95% di probabilit,unaltezza compresa tra lintervallo

2 e + 2Se i parametri della variabile altezza sono noti:

= 174 cm = 11 cm

si pu dire, con una probabilit circa del 95%, che unindividuo avr unaltezza localizzata tra 152 e 196 cm

)(%95 WQWQ zxzP !

)196152(%95 ! xP


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Perconoscere laltezza dei giovani di una certaet, si misura la statura solo di un campione di

individui e se ne calcola la media aritmetica

Presumibilmente il valorerilevato si scosta dallamedia vera della popolazione;ed intuitivo che

la media campionaria tender ad avvicinarsi

alla media vera con laumentare della

numerosit del campione, fino a coincidere ilnumero di unit rilevate al numero delle unit

che costituiscono la popolazione.

x


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La differenza tra la media stimata e quella vera

rappresenta lerrore campionario (quanto pinumeroso sar il campione tanto pi piccolo lerrore

campionario che si commette).

Se da una stessa popolazionevengono estratti infiniti

campioni e perogni campionevengono calcolate le

stime della media, secondo il teorema del limite

centrale, le medie campionarie si distribuiscono

come una normale con media coincidente con

quella della popolazione e deviazione standarddella media uguale a

Con n che indica la numerosit del campione.

x

nx

WW !


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STIMA INTERVALLARE DI UNA MEDIA

Sfruttando le propriet della distribuzione normale

standardizzata Z, si pu facilmente supporre che la

media della popolazione sia compresa con la

probabilit del 95% nellintervallo definito dai valori

e nel 99% dei casi nellintervallo

Nx

Nx

WQ

W96,196,1

Nx

Nx

WQ

W58,258,2


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Purtroppo la deviazione standard della popolazione quasi sempre ignota, percui occorre farriferimentola stima campionaria s.

Ne consegue che la media della popolazione compresa nellintervallo:

a seconda della fiducia probabilistica prescelta.

n

sx

n

sx 96,196,1 Q

n

sx

n

sx 58,258,2 Q


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INTERVALLO DI CONFIDENZASi parla di intervalli di confidenza IC perdefinire

entro quali valori localizzata la media vera in base

alle stime campionarie

1 - = 95%

1 - = 99% livello di confidenza

n

sxIC 96,1%95 s!

n

sxI 58,299 s!


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Quando non nota la deviazione standard , si

stima il valore s del campione.

Nel caso di campioni molto grandi (N > 120 unit)

per il calcolo degli intervalli di confidenza pu essere

presa in considerazione la distribuzione normaleperch solo perN molto grande la media campionaria

si distribuisce come una normale.

Nel caso di piccoli campioni (N > 30 unit)per il calcolo degli intervalli di confidenza si fa

riferimento ad una famiglia di distribuzioni definita:

Distribuzione della t di Student.


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DISTRIBUZIONE

DELLA T-Student

Le distribuzioni della t di student

differiscono tra loro per i gradi di

libert (N 1). Igradi di libert corrispondono

ad N (la numerosit del

campione)meno il numero dei

parametri stimati percampione.

La distribuzione t unadistribuzione di probabilit

teorica, della qualeesistono

tabelle predisposte con i valori

critici.


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Esempio 2

In un campione di 14 misure a carattere quantitativo siottiene = 41 e s = 7 con 13 gradi di libert. Qual la media della popolazione al livello di confidenza del99%?

Poich il campione inferiore alle 30 unit necessario fare riferimento alla distribuzione della t-student,

per cui la media della popolazione al 99% diprobabilit localizzata nellintervallo (35 < < 41).

x

6,541147012.34199,0 s!s!s!

N

stxQ


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STIMA INTERVALLARE DI UNA

FREQUENZA PERCENTUALEAnche la stima campionaria di una frequenza relativa(o percentuale)viene utilizzata a scopo inferenziale percalcolare gli intervalli di confidenza della frequenza delfenomeno nella popolazione

Con P che indica la frequenza relativa della popolazionee P la deviazione standard

Lintervallo di confidenza al 95%

Lintervallo di confidenza al 99%

NPPPIC )1(96,1%95 s!

N

PPPIC

)1(58,2

%99

s!


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Esempio 3

Ne

llarev

isione

di unarivista a ca

ratt

erebio

medico siriscontra che in un campione di 147 articoli, 64 presentano

conclusioni statistiche non compatibili con i dati presentati.Quale percentuale di articoli pubblicati si presume abbia,al 95% di probabilit, una statistica corretta?

La frequenza percentuale di articoli contenenti elaborazioni statistichecorrette risulta:

Tale stima campionaria si utilizza a scopo inferenziale per calcolarelintervallo di confidenza della percentuale di articoli corretti:

Possiamo ipotizzare con un livello di confidenza del 95%, che lapercentuale vera complessiva di articoli con elaborazioni statistichecorrette sia compresa tra il 52,4% e il 60,6%.

%6.56565,0147

64147}!

1,45,56147

)5,56100(5,5696,15,56

)100(95,0%95 s!

s!

s!

N

PPzPIC


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ESERCIZIO - 1

In un campione di 139 individui il tempo medio di

assorbimento di un farmaco antinfiammatorio di 19

minuti con una deviazione standard di 7 minuti.

Calcolare lintervallo si confidenza della media della

popolazione al 95% e 99%.

N = 139; X = 19 minuti; S = 7 minuti;

Z95% = 1,96; Z99% = 2,58;

17,2082,17139

796,119 959595 eeps!s! QI

n

szxI

54,2045,17

139

758,219 %99%99%99 eeps!s! QIC

n

szxIC


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VERIFICA DELLEIPOT

ESISi vogliono confrontare, ad esempio, i risultatiche si ottengono somministrando due diversifarmaci a due gruppi di pazienti affetti da una

determinata malattia, nellipotesi di omogeneitdei pazienti peret, sesso, stato di saluteecc..

Possiamo accettare lipotesi, detta nulla o dibase, che il farmaco A migliore del farmaco B?

Secondo la statistica inferenziale si partedallipotesi di base, tramite un test statistico,fissato il livello di probabilit, si accetter o sirifiuter lipotesi di base


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Due sono le principali aree dellinferenza statistica:

La stima dei parametri

Esempio: si vuole stimare il tempo medio di recupero dalleffetto

dellanestesia tra i pazienti operati di appendicite

La verifica delle ipotesi

Esempio: si vuole determinare se un nuovo prodotto farmaceutico

pi efficace nel trattamento di una certa affezione rispetto ad unprodotto tradizionale.

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