4.cd tich phan_in
TRANSCRIPT
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Chuyên đề
TÍCH PHÂN I. ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến số dạng 2 2. Đổi biến số dạng 1 3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác 3.2. Dạng liên kết 3.3. Các kết quả cần nhớ
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức 2. Phương pháp giải toán
III. TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm số phân thức
2. Tích phân các hàm lượng giác
2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
3.Tích phân hàm vô tỉ
3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
3.2.Dạng 2: Biến đổi làm mất căn
4.Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối
4.1 .Dạng 1:
4.2. Dạng 2
4.3. Dạng 3 IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán
1. Dạng 1 2. Dạng 2 3. Dạng 3 4. Dạng 4 (tham khảo)
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong 2. Diện tích hình phẳng
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. 2. Trường hợp 2. 3. Trường hợp 3. 4. Trường hợp 4.
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
Trang 2
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp Nguyên hàm của những
hàm số hợp Cxdx
11
1
Cxdxx
0ln xCxx
dx
Cedxe xx
10ln
aCa
adxax
x
Cxxdx sincos
Cxxdx cossin
Cxdxx
tancos
12
Cxdxx
cotsin
12
Cbaxa
baxd 1
11
1 1
Cbax
adxbax
0ln1
xCbaxabax
dx
Cea
dxe baxbax 1
Cbaxa
dxbax sin1cos
Cbaxa
dxbax cos1sin
Cbax
adx
bax
tan1cos
12
Cbax
adx
bax
cot1sin
12
Cudu
11
1
Cuduu
0ln uCuudu
Cedue uu
10ln
aCa
adxau
u
Cuudu sincos
Cuudu cossin
Cuduu
tancos
12
Cuduu
cotsin
12
I. ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân b
/
a
f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) .
Bước 3. b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2e
e
dxI
x ln x .
Giải
Đặt dx
t ln x dtx
2x e t 1, x e t 2 2
21
1
dtI ln t ln 2
t .
Vậy I ln 2 .
Ví dụ 8. Tính tích phân 4
30
cos xI dx
(sin x cos x)
.
Hướng dẫn:
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
4 4
3 3 20 0
cos x 1 dxI dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
. Đặt t tan x 1
ĐS: 3
I8
.
Ví dụ 9. Tính tích phân 3
12
dxI
(1 x) 2x 3
.
Hướng dẫn: Đặt t 2x 3
ĐS: 3
I ln2
.
Ví dụ 10. Tính tích phân 1
0
3 xI dx
1 x
.
Hướng dẫn:
Đặt 3 2
2 21
3 x t dtt 8
1 x (t 1)
; đặt t tan u
ĐS: I 3 23
.
Chú ý:
Phân tích 1
0
3 xI dx
1 x
, rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )b
a
f x dx ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt . Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t .
Bước 3. /( ) [ ( )] ( ) ( )b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
12
20
1I dx
1 x
.
Giải
Đặt x sin t, t ; dx cos tdt2 2
1x 0 t 0, x t
2 6
6 6
20 0
cos t cos tI dt dt
cos t1 sin t
6
60
0
dt t 06 6
.
Vậy I6
.
Ví dụ 2. Tính tích phân 2
2
0
I 4 x dx .
Hướng dẫn:
Trang 4
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Đặt x 2 sin t ĐS: I .
Ví dụ 3. Tính tích phân 1
20
dxI
1 x
.
Giải
Đặt 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt2 2
x 0 t 0, x 1 t4
4 42
20 0
tan t 1I dt dt
41 tan t
.
Vậy I4
.
Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1
20
dxI
x 2x 2
.
Hướng dẫn: 3 1 3 1
2 20 0
dx dxI
x 2x 2 1 (x 1)
.
Đặt x 1 tan t
ĐS: I12
.
Ví dụ 5. Tính tích phân 2
20
dxI
4 x
.
ĐS: I2
.
Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1
20
dxI
x 2x 2
.
ĐS: I12
.
3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2
2 3
0
I cos x sin xdx
.
Hướng dẫn: Đặt t cos x
ĐS: 2
I15
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2
5
0
I cos xdx
.
Hướng dẫn: Đặt t sin x
ĐS: 8
I15
.
Trang 5
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2
4 2
0
I cos x sin xdx
.
Giải 2 2
4 2 2 2
0 0
1I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
2 2
2
0 0
1 1(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
2 22
0 0
1 1(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
3 2
0
x 1 sin 2xsin 4x
16 64 24 32
.
Vậy I32
.
Ví dụ 14. Tính tích phân 2
0
dxI
cos x sin x 1
.
Hướng dẫn:
Đặt x
t tan2
.
ĐS: I ln 2 .
Biểu diễn các hàm số LG theo tan2at :
2
2 2 22 1 2sin ; cos ; tan .
1 1 1t t ta a at t t
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân 0
xdxI
sin x 1
.
Giải Đặt x t dx dt
x 0 t , x t 0
0
0
( t)dt tI dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
0 0
dt dtI I
sin t 1 2 sin t 1
22
0 0
dt dttt t2 4 cossin cos 2 42 2
2 00
td
2 4 ttan
2 t 2 2 4cos
2 4
. Vậy I .
Tổng quát:
Trang 6
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx2
.
Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007
2007 20070
sin xI dx
sin x cos x
.
Giải
Đặt x t dx dt2
x 0 t , x t 02 2
20070
2007 2007
2
sin t2I dx
sin t cos t2 2
2 2007
2007 20070
cos tdx J
sin t cos t
(1).
Mặt khác 2
0
I J dx2
(2). Từ (1) và (2) suy ra I
4
.
Tổng quát: 2 2n n
n n n n0 0
sin x cos xdx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
.
Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2
0
sin xI dx
sin x 3 cos x
và
6 2
0
cos xJ dx
sin x 3 cos x
.
Giải I 3J 1 3 (1).
6 6
0 0
dx 1 dxI J dx
2sin x 3 cos x sin x3
Đặt t x dt dx3
1
I J ln 34
(2).
Từ (1) và (2)3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 316 4 16 4
.
Ví dụ 18. Tính tích phân 1
20
ln(1 x)I dx
1 x
.
Giải Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt
x 0 t 0, x 1 t4
4 4
2
20 0
ln(1 tan t)I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
.
Đặt t u dt du4
t 0 u , t u 04 4
Trang 7
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
04
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du4
4 4
0 0
1 tan u 2ln 1 du ln du
1 tan u 1 tan u
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln2 I4
.
Vậy I ln 28
.
Ví dụ 19. Tính tích phân 4
x
4
cos xI dx
2007 1
.
Hướng dẫn: Đặt x t
ĐS: 2
I2
.
Tổng quát:
Với a > 0 , 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì
x0
f(x)dx f(x)dx
a 1
.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f( x) 2f(x) cos x .Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
. GiảiĐặt 2
2
J f( x)dx
, x t dx dt
x t , x t2 2 2 2
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
2 2
02
cos xdx 2 cos xdx 2
.Vậy 2
I3
.
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a
a
f(x)dx 0
.
ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
.
Trang 8
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
/ / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv
b b b b
b ba a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu .
Công thức: b b
ba
a a
udv uv vdu (1).
Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b
b/ /a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx (2).
2. Phương pháp giải toán
Giả sử cần tính tích phân b
a
f(x)g(x)dx ta thực hiện
Cách 1. Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi
phân /du u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b
a
vdu phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt:
i/ Nếu gặp b b b
ax
a a a
P(x) sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt
u P(x) .
ii/ Nếu gặp b
a
P(x) ln xdx thì đặt u ln x .
Cách 2.
Viết lại tích phân b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2).
* Cách đặt u, dv
( )b
x
a
P x e dx ( )lnb
a
P x xdx ( )cosb
a
P x xdx cosb
x
a
e xdx
u P(x) lnx P(x) xe
dv xe dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Trang 9
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Ví dụ 1. Tính tích phân 1
x
0
I xe dx .
Giải
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
(chọn C 0 )
1 111x x x x
0 00 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1 .
Ví dụ 2. Tính tích phân e
1
I x ln xdx .
Giải
Đặt 2
dxduu ln x x
dv xdx xv
2
e ee2 2
11 1
x 1 e 1x ln xdx ln x xdx
2 2 4
.
Ví dụ 3. Tính tích phân 2
x
0
I e sin xdx
.
Giải
Đặt x x
u sin x du cos xdx
dv e dx v e
2 2x x x2 2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
.
Đặt x x
u cos x du sin xdx
dv e dx v e
2 2x x x2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
22
e 1I e ( 1 I) I
2
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
.
Hướng dẫn:
Đặt t x2
0
I 2 t cos tdt 2
.
Ví dụ 8. Tính tích phân e
1
I sin(ln x)dx . ĐS: (sin1 cos1)e 1
I2
.
Trang 10
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1. Dạng 1
Để chứng minh b
a
f(x)dx 0 (hoặc b
a
f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0 )
với x a; b .
Ví dụ 14. Chứng minh 1
3 6
0
1 x dx 0 .
Giải
Với 1
3 36 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0 .
2. Dạng 2
Để chứng minh b b
a a
f(x)dx g(x)dx ta chứng minh f(x) g(x) với x a; b .
Ví dụ 15. Chứng minh 2 2
10 110 0
dx dx1 sin x 1 sin x
.
Giải
Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x2
10 1110 11
1 11 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
.
Vậy 2 2
10 110 0
dx dx1 sin x 1 sin x
.
3. Dạng 3
Để chứng minh b
a
A f(x)dx B ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M .
Bước 2. Lấy tích phân b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B .
Ví dụ 16. Chứng minh 1
2
0
2 4 x dx 5 .
Giải Với 2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5 .
Vậy 1
2
0
2 4 x dx 5 .
Ví dụ 17. Chứng minh
34
2
4
dx4 23 2 sin x
.
Giải
Với 23 2 1x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
Trang 11
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
2
2
1 11 3 2 sin x 2 1
2 3 2 sin x
34
2
4
1 3 dx 31
2 4 4 4 43 2 sin x
.
Vậy
34
2
4
dx4 23 2 sin x
.
Ví dụ 18. Chứng minh 3
4
3 cotx 1dx
12 x 3
.
Giải
Xét hàm số cotx
f(x) , x ; x 4 3
ta có
2/
2
xcotx
sin xf (x) 0 x ; 4 3x
f f(x) f x ; 3 4 4 3
3 cotx 4 x ;
x 4 3
3
4
3 cotx 4dx
3 4 x 3 4
.
Vậy 3
4
3 cotx 1dx
12 x 3
.
4. Dạng 4
Để chứng minh b
a
A f(x)dx B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx Bg(x)dx B
.
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dxh(x)dx A
.
Ví dụ 19. Chứng minh
22
20070
2 dx2 41 x
.
Giải
Trang 12
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Với 2007 22 1
x 0; : 0 x x2 2
2 2007
2007 2
1 1 11 x 1 x 1 1
2 1 x 1 x
2 2 22 2 2
2007 20 0 0
dx dxdx
1 x 1 x
.
Đặt x sin t dx cos tdt 2
x 0 t 0, x t2 4
22 4
20 0
dx cos tdtcos t 41 x
.
Vậy
22
20070
2 dx2 41 x
.
Ví dụ 20. Chứng minh 1
20
3 1 xdx 2 14 2x 2 1
.
Giải Với 2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1
2
x x x3 1 2 1x 2 1
1 1 1
20 0 0
xdx xdx xdx3 1 2 1x 2 1
.
Vậy 1
20
3 1 xdx 2 14 2x 2 1
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
y f(x), x a, x b và trục hoành là b
a
S f(x) dx .
Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b
a
f(x) dx .
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e và Ox. Giải
Do ln x 0 x 1; e nên
e e
e1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1 .
Vậy S 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3 và Ox.
Trang 13
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Giải
Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx
1 33 32 2
0 1
x x 82x 3x 2x 3x
3 3 3
.
Vậy 8
S3
(đvdt).
2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x), x a, x b là b
a
S f(x) g(x) dx .
Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b
a
f(x) g(x) dx .
2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx
. Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất
của phương trình f(x) g(x) a b . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ; .
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx
.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x , x 0, x 2 .
Giải Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại). Bảng xét dấu
x 0 1 2 h(x) – 0 + 0
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx
1 24 2 4 23 3
0 1
x 11x x 11x 52x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
.
Vậy 5
S2
(đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x .
Trang 14
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Giải
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6 h(x) 0 x 1 x 2 x 3 .
Bảng xét dấu x 1 2 3
h(x) 0 + 0 – 0
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx
2 34 2 4 23 3
1 2
x 11x x 11x 12x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
. Vậy 1
S2
(đvdt).
Chú ý:Nếu trong đoạn ; phương trình f(x) g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể
dùng công thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
.
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x . Giải
Ta có 3x 4x x 2 x 0 x 2
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
0 24 4
2 2
2 0
x x2x 2x 8
4 4
.
Vậy S 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3 và trục hoành.
Giải Ta có
2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0 t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
1 33 32 2
0 1
x x 162 2x 3x 2x 3x
3 3 3
.
Vậy 16
S3
(đvdt).
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3 và y x 3 . Giải
Phương trình hoành độ giao điểm 2x 4x 3 x 3
2
2
x 3 0x 0
x 4x 3 x 3x 5
x 4x 3 x 3
.
Bảng xét dấu x 0 1 3 5
2x 4x 3 + 0 – 0 +
Trang 15
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx
1 3 53 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 1096x
3 2 3 2 3 2 6
.
Vậy 109
S6
(đvdt).
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5 . Giải
Phương trình hoành độ giao điểm 2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0
2
2
t x 0t x 0
t 1 t 5 x 3t 3
t 1 t 5
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
Bảng xét dấu
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx 1 33 2 3 2
0 1
x x x x 732 4x 6x
3 2 3 2 3
.Vậy 73
S3
(đvdt).
x 0 1 3 2x 1 – 0 +
Trang 16
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x a;b , y 0 ,
x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là b
2
a
V f (x)dx .
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2(C) : x y R quay quanh Ox. Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2x R x R . Phương trình 2 2 2 2 2 2(C) : x y R y R x
R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
R3 32
0
x 4 R2 R x
3 3
.
Vậy 34 R
V3
(đvtt).
2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) 0 y c;d , x 0 ,
y c và y d (c d) quay quanh trục Oy là d
2
c
V g (y)dy .
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse 2 2
2 2
x y(E) : 1
a b quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2
2
y1 y b
b .
Phương trình 2 2 2 2
2 22 2 2
x y a y(E) : 1 x a
a b b
b b2 2 2 22 2
2 2b 0
a y a yV a dy 2 a dy
b b
R2 3 22
20
a y 4 a b2 a y
33b
.
Vậy 24 a b
V3
(đvtt).
3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) , x a và
x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b ) quay quanh trục Ox là b
2 2
a
V f (x) g (x) dx .
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 2y x quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm 4
x 0 x 0
x 1x x
.
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx
Trang 17
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
1
5 2
0
1 1 3x x
5 2 10
. Vậy 3
V10
(đvtt).
4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y) , y c và
y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d ) quay quanh trục Oy là d
2 2
c
V f (y) g (y) dy .
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x y 5 , x 3 y quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm 2y 1
y 5 3 yy 2
.
2
2 22
1
V y 5 3 y dy
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
25 32
1
y 11y 1533y 16y
5 3 5
.
Vậy 153
V5
(đvtt).
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1. Tính I= 1
10
0
1 x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 1 2 1010 10 10
1 1 11 ...2 3 11
S C C C
2. Tính: 1
19
0
1I x x dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
0 1 2 18 1919 19 19 19 19
1 1 1 1 1...2 3 4 20 21
S C C C C C .
3. Chứng minh rằng:1
1 21 1 1 2 11 ...2 3 1 1
nn
n n nC C Cn n
Trang 18
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
KHỐI D D-2011
Giải
D-2010
Giải
D-2009
Giải
Trang 19
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
D-2008
Giải
D-2007
Giải
D-2006
Giải
D-2005
Giải
Trang 20
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
D-2004
Giải
D-2003
Giải
KHỐI B B-2011
Giải
B-2010
Trang 21
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Giải
B-2009
Giải
B-2008
Giải
B-2007
Giải
Trang 22
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
B-2006
Giải
B-2005
Giải
B-2004
Giải
B-2003
Trang 23
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Giải
B-2002
Giải
Cách 2:
Trang 24
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
KHỐI A A-2011
Giải:
A-2010
Giải:
A-2009
Giải:
Trang 25
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
A-2008
Giải:
A-2007
Giải:
A-2006
Giải:
A-2005
Trang 26
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]
Giải:
A-2004
Giải:
A-2003
A-2002
Giải: