capítulo 4 cd
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.4 Medidas de dispersión, de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones deformación y apuntamiento. Actualizado en diciembre de 2007
4 Medidas de dispersión,
de deformación y apuntamiento
Varianza y desviación típica o estándar
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Solución:
xM == 04,31 26,42 =M (Media cuadrática)
nx
M i∑=2
2 ⇒ 1476,1826,42
2 == ∑nxi
22
2 xn
xiS −= ∑ ⇒ 22 04,31476,18 −=S
906,82 =S 906,82416,91476,182 =−=S
984,2906,82 ==+= SS
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2. Solución:
nfX
X iiΣ= n
nyy ii∑=
400120 ii nyΣ
=
ii nyΣ=000.48 ii fXΣ=000.48
233245.44000.48 y+= 33367400 =−=n
233245.44000.48 y=−
78,11333755.3
2 == y 78,113=X
a)
245.44 ii nyΣ=245.44
367=n
140135105
78,113
120 se encuentra dentro del recorrido, por lo tanto si puede ser posible.
b)
iy in
105 - 110 37 115 90 120 95 125 85 130 60 135 - 140 - Σ 400
iX if
iy in ii ny
105 - - 110 37 4.070 115 90 10.350 120 95 11.400 125 85 10.625 130 60 7.800 135 - - 140 - -
− 400 48.000
iX if ii fX
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nnZ iiS
22 Σ
= n
fdS ii
22 Σ
=
ii nZnS 22 Σ= ii fdnS 22 Σ=
( ) 000.1025400 ==
075.14000.10 < (No puede ser posible)
3. Solución:
[ ] [ ] [ ] [ ]88/188/1 VVVV XXy −⇒= −
[ ] [ ] ( ) 164648
641
641 2 ==== xy VV
12 =yS
4. Solución:
( ) ( )284/1 −= xy 424
5,0242
48
2 ==
=−=−=
x
x
S
S
xSiendoxxy
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5,02;5,75,085,02 VVVyMM xyxy −===−=−=
[ ] [ ] ( ) ⇒=→= 16444 Xy VV ⇒= 162yS 4=yS
5. Solución:
( ) ( )5,121
10030125701202211 =+=
+=
nnxnx
x
( ) ( )n
nxxnxxn
nn SSS 2
221
212
221
212 −+−
++
=
iy in iZ ii nZ ii nZ 2 105 - -15 - - 110 37 -10 -370 3.700 115 90 -5 -450 2.250 120 95 0 0 0 125 85 5 425 2.125 130 60 10 600 6.000 135 - 15 - - 140 - 20 - -
Σ 400 - - 14.075
iX if id ii fd ii fd 2
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( ) ( ) ( ) ( )
100305,121125705,121120
10030257036 22
2 −+−+
+=S
( ) ( )
95,3725,570,32100
3025,127025,2100270.32 =+=
++=S 16,695,37 ==S
6. Solución: Siendo: 400.142 =AS 120=AS 600.32 =BS 60=BS AB SS < 12060< Hubo mayor estabilidad en B, porque la varianza o la desviación estándar es menor que la de A. 7. Solución:
221 xx
x+
= ( ) ( )
2
22
212 xxxx
S−+−
=
212 xxx += ( ) ( )2
2
2
122 xxxxS −+−=
( ) 2182 xx += ( ) ( ) ( )2
22
1 8812 −+−= xx
2116 xx += 641664162 2221
21 +−++−= xxxx
21 16 xx −= 01261616 2221
21 =+−+− xxxx
Reemplazamos 21 16 xx −= en 1x : ( ) ( ) 012616161616 2
222
22 =+−+−−− xxxx
0126161625632256 2
222
222 =+−++−+− xxxxx
0126322 2
22 =+− xx
( ) 063162 2
22 =+− xx ⇒ 92 =x y 71 =x
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8. Solución:
22
2 xnxiS −= ∑
2
1026025
−=
nn
−=2
10026025n
nn
nn 10026025 −=
10026025 2 −= nn
20525 2 −= nn
044,102 =+− nn ⇒ n será igual a 10, siendo:
aacbb
n2
42 −±−=
21616,1084,10 −±
=n 102
6,94,10 =±=n
9. Solución:
3=x 10=n 1002 =∑ ix
1910310100 22
22 =−=−=−= ∑
xn
xiS 12 =S 11 ==S
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10. Solución:
6,4523
1 ==Σ
=n
xx i
( )
6,8543
54
2 ==+Σ
= ixx
21 xx ≠ 6,86,4 ≠
( )24,86,8
54114 22
2
222 =−=−
+Σ= x
n
xiS 24,86,45
147 221
212
1 =−=−Σ
= xnx
S
22
21 SS = 24,824,8 =
11. Solución:
?=S 2=n 9=x 2,7=gM
221 xx
x+
= → 1821 =+ xx
21 xxM g = → 212,7 xx= → 2184,51 xx= → 2
184,51
xx =
1884,51
22
=+ xx
→ 222 1884,51 xx =+ → 084,5118 2
22 =+− xx
4,141 =x y 6,32 =x
16,298116,110812
32,2209
26,34,14 2
222 ⇒−⇒−⇒−
+=S 4,5=S
ix 4+ix 2ix ( )24+ix
2 6 4 36 6 10 36 100 5 9 25 81 9 13 81 169 1 5 1 25
23 43 147 411
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12. Solución:
( ) ( ) ( )70
158925783071 ++=x
35,7770415.5
70335.1950.1130.2
==++
=x
( ) ( ) ( )
321
32
322
212
1
321
3232
221
212
nnnnxxnxxnxx
nnnnnn SSS
S++
−+−+−+
++++
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )70
1535,77892535,77783035,777170
154925643081 2222 −+−+−+++=S
58,11451,4607,6870
96,255.370765.42 =+=+=S
58,1142 =S
70,10=S
Si se considera que todos los cursos tienen el mismo número de estudiantes, los estadígrafos serían:
33,793
897871 =++=x
( ) ( ) ( )3
33,798933,797833,79713
496481222
2 −+−+−+++=S
( ) ( ) ( )
+++=+−+−
+=3
50,9376,138,6966,64
367,933,133,8
3194
2222S
54,11988,5466,643
64,16466,642 =+=+=S
93,10=S
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13. Solución:
''1 ii yy −− iy in ii ny ''
iZ ii nZ '' ii nZ 2'' 0 – 10 5 640 3.200 -4 -2.560 10.240 10,1 – 20 15 684 10.260 -3 -2.052 6.156 20,1 – 30 25 863 21.575 -2 -1.726 3.452 30,1 – 40 35 876 30.660 -1 -876 876 40,1 – 50 45 753 33.885 0 0 0 50,1 – 60 55 663 36.465 1 663 663 60,1 – 70 65 414 26.910 2 828 1.656 70,1 – 80 75 154 11.550 3 462 1.386 80,1 – 90 85 13 1.105 4 52 208
Σ - 5.060 175.610 - -5.209 24.637 ''
1 ii XX −− iX if ii fX 'id ii fd ' ii fd 2'
a) 70,34060.5610.175 ==y 70,34=X 3752 =S
{ } 37506,181,4100060.5209.5
060.5637.24100
22 =−=
−−=S 36,19=S
%79,555579,070,3436,19 ===CV
b) [ ] 70,491570,3415 =+=+=+ xM kx
[ ] [ ] [ ] 375037515 =+=+=+ VVV xkx
36,19=S
%95,383895,070,4936,19 ===CV
Dos distribuciones con diferentes medias aritméticas y con igual varianza o desviación típica, presentan coeficientes de variación diferentes.
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c) SZY ± SZX ± c1) ( )36,195,170,34 ± c2) ( )36,195,270,34 ±
===±
i
S
LL
66,574,63
04,2970,34
=−==±
i
s
LL
70,1310,83
40,4870,34
14. Solución:
360.12 =Σ ix 222 xnxnS i −Σ=
40=Σ ix 2
40360.1280.1
−=
nn
280.12 =Sn n600.1360.1280.1 −=
22
2 xnxiS −
Σ= 600.1360.1280.1 −= nn
n80600.1 =
2080600.1 ==n
15. Solución:
170=x 4,72 =S cms2
[ ] 1619170 =−=−=− KxM KX cms [ ] [ ]24,7 cmsVV XKX ==−
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16. Solución:
1,8,2,3:x nx
x iΣ= 5,3
4
14 ==x
22
2 xnxiS −
Σ= 25,725,125,195,3
478 22 =−=−=xS 25,72 =xS
52 += xy [ ] [ ] 52 += XY MM [ ] ( ) 1255,32 =+=YM 12=y
[ ] 4=YV [ ] 0+XV [ ] ( ) 2925,74 ==YV
( ) 2925,744 22 === XY SS 17. Solución: a) Cierto b) Falso c) Cierto 18. Solución: No es cierto, dado que el peso promedio está dado en kilos, mientras que su desviación típica se da en centímetros. 19. Solución: Como están dadas en las mismas unidades de medida, se pueden comparar sus varianzas o sus desviaciones típicas. En este caso ( )162522 >⇒> AB SS . 20. Solución: No se puede contestar en cuanto a la variabilidad absoluta. Se puede utilizar, en este caso,
el coeficiente de variación = 100xS
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21. Solución:
[ ] ( ) ( ) 400.144600.3460222 ==⇒= XKX SKV minutos2
400.142 =S
22. Solución:
( ) ( )n
nxxnxxn
nn iSSS 2
22
212
221
212 −+−
++
=
( ) ( ) ( ) ( )50
302,109202,101250
306,14202,28 222 −+−++=S
( ) ( )
2,1050
30920122211 =+
=+
=n
nxnxx
2,2216,204,2050
10804,202 =+=+=S
71,42,22 ==S
23. Solución: No es posible. La variabilidad se está elevando al cuadrado, por lo tanto cualquier valor negativo, pasa a ser positivo. 24. Solución:
nnxnx
x 2211 +=
( ) ( )40
23050
4020302050
=+
=+
=x
10=S %2525,04010 ===CV
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25. Solución:
iy in iH ih ''iZ ii nZ '' ii nZ 2''
10 6 0,12 0,12 -2 -12 24 20 10 0,32 0,20 -1 -10 10 30 18 0,68 0,36 0 0 0 40 10 0,88 0,20 1 10 10 50 6 1,00 0,12 2 12 24 Σ 50 - 1,00 - 0 68
iX if n
Fi nf i 'id ii fd '
ii fd 2'
==nn
h ii n
f i ==nn
h 11 n
f1 5012,06
1
1 ===hn
n
( ) ( ) 1020,05022 === hnn
nnZ
cOy iit
''Σ+=
Σ+=
nfd
iAX ii'
( ) 3001030 =+=y 30=Y
iy in iH
10 6 0,12 20 - 0,32 30 - - 40 - - 50 - - Σ - -
iX if n
Fi
iy in yyi −
2)( yyi −
ii nyy 2)( −
10 6 -20 400 2.400 20 10 -10 100 1.000 30 18 0 0 0 40 10 10 100 1.000 50 6 20 400 2.400 Σ 50 - - 6.800
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13
Σ−
Σ=
2'2''22
nnZ
nnZ
c iiiiS
Σ−Σ=2'2'
22
nfd
nfd
iS iiii
( ) ( ) 13636,1100050
681002 ==
−=S
nnyy
S ii∑ −=2
2 )(136
50800.6 2 === S
66,11136 ==S
66,11=S
3886,03066,11 ===
yCV S %86,38=CV
26. Solución:
1021 =+ xx 52
21 =+
=xx
x 421 == xxM g
21 10 xx −= → 214 xx= → 2116 xx= →
21
16x
x = → 22
1016 xx
−= → 2221016 xx −= →
01610 2
22 =+− xx 81 =x 22 =x
92526825
2464
52
28 222
2 =−=−+
=−+
=S 92 =S 3=S
%606,053 ===CV
27. Solución:
( ) ( )5,121
1003012570120
=+
=x
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100
305,121125705,121120100
3097036 222 −+−
++
=S
15,3325,590,27100525
100790.22 =+=+=S
15,332 =S
76,5=S
%74,40474,05,121
76,5 ===CV
28. Solución: Siendo: 10=x 3=XS 92 =XS
[ ] [ ] [ ]24 MMM XY += → [ ] ( )42
2104
=−+=YM
[ ] yM Y == 42
[ ] [ ] [ ]216 VVV XY += → [ ] ( ) 144916 ==YV 1442 =Ys 12=Ys
%57,282857,04212 ==== XX dCV
yCV YS
=
29. Solución:
iy in iN ''iZ ii nZ '' ii nZ 2'' iy in 2
iy in
30 4 4 -1 -4 4 120 3.600 50 16 20 0 0 0 800 40.000 70 25 45 1 25 25 1.750 122.500 90 5 50 2 10 20 450 40.500 Σ 50 - - 31 49 3.120 206.600
iX if iF 'id ii fd ' ii fd 2' iX if 2
iX if
Σ+=
nnZ
COy iit
''
n
fdiAX ii
'Σ+= 4,6250120.3 ==y
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15
5031504,62 C+= n
ynnY iiS∑ −=
222
C62,0504,62 =− n
S2
2 )4,62(50600.206 −=
C62,04,12 = 24,2382 =S
44,15=S
2062,04,12 ==C 20=i
Σ−
Σ=
2''2''22
nnZ
nnZ
C iiiiS
Σ−Σ=2'2'
22
nfd
nfd
iS iiii
( ){ } 24,23862,098,04005031
504920 2
222 =−=
−=S
44,1524,238 ==S
%74,242474,04,62
44,15 ===CV CV = 24,74%
30. Solución: a) 000.96=AS 000.97=BS AB SS > 97.000 > 96.000
b) %32,101032,0000.930000.96 ====
A
AA x
CVS
%51,90951,000.020.1
000.97 ====B
BB x
CVS
%51,9%32,10 > BA CVCV > 31. Solución:
[ ] $753.1740.113 demillonesxKM xk =+=+=+ [ ] [ ]2$ de millones 100.8==+ xxk VV
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16
90100.8 ==S %13,50513,0753.190 ====
xCV S
32. Solución:
[ ] [ ] 2,11444 === xMM Xx [ ]22
2 xMX
S −=
8,242,11 ==x 22 8,205,15 −=S
[ ] [ ] [ ] [ ] 25,304422 44
22 =++== +++ XXXXX MMMM 84,705,152 −=S
[ ] ( ) 25,3048,2405,1522 =++=+XM 21,72 =S
[ ] 05,152,11425,302 =−−=X
M 69,221,7 ==S
9607,080,269,2 ==CV
%07,96=CV
33. Solución: Como las dos variables están dadas en unidades diferentes (hectáreas y pesos), se debe usar el coeficiente de variación.
xCV S=
%60,545460,040,3533,19 ===ACV %90,70790,0
750.945708.74 ===BCV
BA CVCV > 34. Solución:
a) El tipo A tiene mayor variabilidad absoluta. 22BA SS > 400.5800.7 >
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En cuanto a la variabilidad tenemos que:
%04,111104,0800
31,88 ====A
AA x
CVS
%30,111130,0650
48,73 ====B
BB x
CVS
AB CVCV > %04,11%30,11 >
b) 27,048,73
650630
13,131,88
800700
2
1
−=−=
−=−=
Z
Z
12 ZZ > -1,130,27- >
c) 21
2211
ww
wxwxx
++=
horasx 7252
650800 =+=
Suponiendo las mismas cantidades 1n y 2n
2
)725650()725800(
2
5400800.7 222 −+−++=s
57,110
225.12625.5600.62
==+=
s
s ; %25,15100
725
57,110 ==CV
35. Solución:
280.2333
1321
321 ==××=
ini
i
nnn yyyy π 6011
3
1332211 =Σ=++
=nynynyny
i
Como la distribución es Simétrica 1n = 3n
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18
1315321 ++==++ nnn 5321 =++ fff
Además siendo: 12560 ==
Σ=
nny
y ii n
fXX iiΣ=
6036 31 =++ yy 6036 31 =++ XX 24366031 =−=+ yy 280.233321 =yyy ( ) 280.233728.1 31 =yy
135728.1280.233
31 ==yy 13531 =yy
iy in ii ny iniy
1 12 3 36 1.728 1
Σ 5 60 233.280
iX if ii fX ifiX
Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas
13531 =yy 2431 =+ yy
31
135y
y = 3
1135X
X =
241353
3
=+ yy
323 24135 yy =+
013524 3
23 =+− yy
iy in ii ny ii ny2
9 1 9 81 12 3 36 432 15 1 15 225 Σ 5 60 738
iX if ii fX ii fX 2
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19
== 91y 1X
== 153y 3X
22
2 Xn
fXS ii −Σ=
6,3125
738 222
2 =−=−Σ
= yn
ny iiS
9,16,3 ==S
%83,151583,012
9,1 ====y
CV S
36. Solución: a) ( ) 000.30010,0000.000.3 = y le queda $ 2.700.000 (Cientos de $)
[ ] ==−22XKX SS no cambia, por lo tanto 2000.302 =S (Cientos de $)g
b) Utilidad = ingresos – gastos 000.550$000.450.2000.000.3 =−= (Cientos de pesos) [ ] ==−
22XKX SS no cambia, por lo tanto $000.30 decientosS =
%45,5000.550000.30100 ===
xCV S
37. Solución:
iy in ii ny ii ny2 JN ei My − iei nMy −
2 6 12 24 6 4 24 4 18 72 288 24 2 36 6 16 96 576 40 0 0 8 12 96 768 52 2 24
10 8 80 800 60 4 32 Σ 60 356 2.456 - 116
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20
iX if ii fX ii fX 2 JF ei MX − iei fMX −
nny
y iiΣ=
nfX
X iiΣ=
93,560
356==y cuartos por habitación
nynny ii
S
222 −Σ
= n
XnfXS ii
222 −Σ=
( )7328,5
6093,560456.2 2
2 =−=S
3943,27328,5 ==S
302
60
2==n
241 =−JN 40=JN
241 =−JF 40=JF 6== Je yM
n
nMyD iei
e
−Σ=
n
fMXD iei
e
−Σ= 93,1
60
116 ==⇒ eD
La desviación mediana debe ser menor que la desviación típica
17,293,1 <⇒< SeD queda comprobado
%30,4010093,539,2100 ==⇒= CV
XSCV
38. Solución: [ ] [ ] [ ] [ ]750.1013,1750,1013,1 MMMM XXY i
+== +
a) [ ] ( ) 750.10000.12013,1750.1013,1 +=⇒+== yxyM Y
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21
350.146$750.10600.135 =+=y Semanal
b) ( ) 600.45$38,0000.120000.120
38,0 ==⇒= SS
[ ] [ ] [ ] ( ) ==⇒=+
22
13,1750.1013,1600.4513,122 XXY VVV
( ) ( ) semanalespesosSY 528.51600.4513,1600.4513,1 22 ===
%21,35100350.146
528.51 ==CV
39. Solución:
15100500.1 ==y
( )175
10015100000.40 2
2 =−
=S a) 23,13175 ==S
b) %2,8810015
23,13 ==CV
c) 68,023,13
1524 =−=−=S
xXZ
40A. NOTA: Hay en el libro dos (2) ejercicios diferentes con el mismo consecutivo
[ ] kxM kx +=+ 41x 41536 ==+=x
[ ] [ ]Xkx VV =+ 642 =xs 8=xs
100xsVC =
)%(22%51,19 %51,19100418 cambia≠=
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22
40B. Solución:
11,7964
1 ==x 13678
2 ==x
( )56,10
911,79550 2
21 =−=S
( )67,19
6136132.1 2
22 =
−=S
25,31 =S 44,42 =S
b) 27,025,3
11,781 =−=Z 45,0
44,4
13152 =
−=Z
12 ZZ > 27,045,0 >
c) ( ) ( )
47,915
786415
136911,7=
+=
+=x
( ) ( ) ( ) ( )
15647,913947,911,7
15667,19956,10 22
2 −+−++=S
53,223261,8204,142 =+=S 75,4=S
%16,5010047,975,4 ==CV
41. Solución:
''1 ii yy −− in iy ii ny
ii ny2 8,1 – 16 3 12 36 432
16,1 – 24 6 20 120 2.400 24,1 – 32 10 28 280 7.840 32,1 – 40 15 36 540 19.440 40,1 – 48 4 44 176 7.744 48,1 – 56 2 52 104 5.408
Σ 40 - 1.256 43.264 ''
1 ii XX −− if iX ii fX ii fX 2
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23
b) 375,298
2352 ==x (Datos sin agrupar)
( )
48,4238
375,298291.10 222 =−=S 58,202 =S
a) 40,3140256.1
1 ==x (Datos agrupados)
( )
64,9540
4,3140264.43 221 =−=S 78,964,95 1
21 =⇒= SS
1) 22
21 SS < 2) %15,31100
40,3178,9
1 ==CV 3) 16,078,9
40,31331 =−=Z
48,42364,95 <
%06,70100375,2958,20
2 ==CV 18,058,20
38,29332 =−=Z
Hay una mayor
Variabilidad 21 CVCV < 12 ZZ > en la segunda %06,70%15,31 < 16,018,0 > 42. Solución:
a) ( ) ( )
14,857.29$70
000.3240000.2730 =+=x Salario diario promedio para los 70 primeros
b) 14,857.29
35,0 S= ⇒ ( ) 00,450.10$999,449.1014,857.2935,0 ===S
500.202.1092 =S 43. Solución:
22
2 xnxiS −
Σ=
51,167,510490 22 =−=S
06,4=S
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24
%23,711007,506,4 ==CV es el coeficiente de variación.
EJERCICIOS DE PUNTAJE TÍPICO, COEFICIENTES DE DESVIA CIÓN MEDIA, DESVIACIÓN MEDIANA 44. Solución:
''1 ii yy −− iy in iN ii ny ii ny2
2,75 – 4,25 3,5 4 4 14,00 49,00 4,25 – 5,75 5,0 16 20 80,00 400,00 5,75 – 7,25 6,5 25 45 162,50 1.056,25 7,25 – 8,75 8,0 5 50 40,00 320,00
Σ - 50 - 296,50 1.825,25 ''
1 ii XX −− iX if iF ii fX ii fX 2
1'
21 yCyo =+ '
4' 4 yCyo =+
Reemplazando tenemos: 5,35,0' =+ Cyo 5,84' =+ Cyo Si eliminamos a '
oy se obtendrá el valor de C 75,84' =+ Cyo
50,321' −=−− Cyo 50,1
50,3
25,5 ==C
25,55,3 =C a) Coeficiente de variación
93,550
50,296 ==Σ
=n
nyy ii
nfX
X iiΣ=
22
2 yn
ny iiS −Σ
= 22
2 Xn
fXS ii −Σ=
35,116,3551,3693,550
25,825.1 22 =−=−=S 35,116,1 ==S
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25
y
CV S= %56,191956,093,5
16,1 ===CV
b) Desviación media
iy ( )yyi − yyi − ii nyy − in
3,5 -2,43 2,43 9,72 4 5,0 -0,93 0,93 14,88 16 6,5 0,57 0,57 14,25 25 8,0 2,07 2,07 10,35 5
Σ - - 49,20 50
iX id id ii fd if
98,050
20,49 ==−Σ
=n
nyyD ii
a n
fdD ii
a
Σ=
c) Desviación mediana
n
nMyD iei
e
−Σ=
n
fMXD iei
e
−Σ=
87,050
5,43 ==eD
5,6== Je yM
21nN j <− 25
250
2==n
iy in iN ei My − iei nMy −
3,5 4 4 3,0 12,0 5,0 16 20 1−→ JN 1,5 24,0
6,5 25 45 jN→ 0 -
8,0 5 50 1,5 7,5 − 50 - - 43,5
iX if iF ei MX − iei fMX −
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26
45. Solución:
6,2850
430.1 ==y
a) 32,7696,81728,89450430.1
50714.44
22 =−=
−=S ; 736,8=S
b) Desviación media
6,28=y
44,750372 ==
Σ=
n
nZD ii
a
n
fdD ii
a
Σ=
c) Desviación mediana
n
nMyD iei
e
−Σ=
n
fMXD iei
e
−Σ=
44,750372 ==eD
35;25;25250
2 1 ==== − JJ NNn
''1 ii yy −− iy iN in ii ny ii ny2
10,1 – 16 13 4 4 52 676 16,1 – 22 19 12 8 152 2.888 22,1 – 28 25 25 13 325 8.125 28,1 – 34 31 35 10 310 9.610 34,1 – 40 37 44 9 333 12.321 40,1 – 46 43 50 6 258 11.094
Σ - - 50 1.430 44.714 ''
1 ii XX −− iX iF if ii fX ii fX 2
iZ iZ in ii nZ iN
-15,6 15,6 4 62,4 4 -9,6 9,6 8 76,8 12 -3,6 3,6 13 46,8 25 2,4 2,4 10 24,0 35 8,4 8,4 9 75,6 44
14,4 14,4 6 86,4 50 Σ - 50 372,0 -
id id if ii fd iF
in ei My − ei My − iei nMy −
4 -15 15 60 8 -9 9 72
13 -3 3 39 10 3 3 30 9 9 9 81 6 15 15 90
50 - - 372
if ei MX − ei MX − iei fMX −
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27
21 jj
e
yyM
+= −
28256
23125 ==+=eM 28'
1 == −je yM
(marcas de clase) (variable continua)
d) %5,30305,06,28
736,8 ====x
CV S
46. Solución:
ii hyy Σ== 4,29
Σ==nf
XX ii4,29
214,84,293322 =−=+ hyhy 4,84,5 0,3 ; 4,29
====∑
sumahy
hyhy
ii
iiii
68,032,0132 =−=+ hh 32 68,0 hh −= 213322 =+ hyhy
( ) 213568,025 33 =+− hh 21352517 33 =+− hh
410 3 =h 4,03 =h 28,02 =hnf2=
''1 ii yy −− ih iy ii hy
10 – 20 0,20 15 3,0 20 – 30 0,28 25 7,0 30 – 40 0,40 35 14,0 40 – 50 0,12 45 5,4
Σ 1,00 - 29,4
''1 ii XX −−
nf i / iX
nf
X ii
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28
21nH j <−
n
nMyD iei
e
−Σ=
n
fMXD iei
e
−Σ=
35== Je yM
nfMX i
ei −Σ=eD ⇒ 8De =−Σ= iei hMy
47. Solución:
iy in iN ei My − iei nMy − iy ii ny ii ny2 130 3 3 90 270 260 780 202.800 148 6 9 72 432 296 1.776 525.696 160 5 14 60 300 320 1.600 512.000 220 3 17 0 0 440 1.320 580.800 280 2 19 60 120 560 1.120 627.200 320 4 23 100 400 640 2.560 1.638.400 400 7 70 180 1.260 800 5.600 4.480.000 Σ 30 - - 2.782 - 14.756 8.566.896
iX if iF ei MX − iei fMX −
iX ii fX ii fX 2
a) 15230
2==n
141 =−JN ; 17=JN 220== Je yM
iy ih iH ei My − ei My − iei hMy −
15 0,20 0,20 -20 20 4,0 25 0,28 0,48 -10 10 2,8 35 0,40 0,88 0 0 0 45 0,12 1,00 10 10 1,2 Σ 1,00 - - - 8,0
iX nf i / n
Fi ei MX − ei MX −
−nf
MX iei
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29
73,9230782.2 ==eD
b) %15,42100220
73,92100 ===
e
ee M
DCD
c) 87,49130756.14 ==y
( )
10,627.4330
87,49130896.566.8 22 =−=S
La nueva varianza es de 10,627.43 y la 87,208=S
El coeficiente de variación es: %46,4210087,49187,208 ==CV
48. Solución:
''1 ii yy −− in iy yyi − ii nyy −
8,1 – 16 3 12 19,4 58,2 16,1 – 24 6 20 11,4 68,4 24,1 – 32 10 28 3,4 34,0 32,1 – 40 15 36 4,6 69,0 40,1 – 48 4 44 12,6 50,4 48,1 – 56 2 52 20,6 41,2
Σ 40 321,2 ''
1 ii XX −− if iX XX i − ii fXX −
Nota: de acuerdo al ejercicio No. 41, se obtuvo:
=y 1X 40,31= 64,9521 =S 78,91 =S
2x 38,29= 48,42322 =S 58,202 =S
401 =n 82 =n
a) ( ) ( )
06,3148
838,294040,31 =+=x
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.4 Medidas de dispersión, de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones deformación y apuntamiento. Actualizado en diciembre de 2007
30
( ) ( ) ( ) ( )
48806,3138,294006,314,31
48848,4234064,95 22
2 −+−+
+=S
85,15057,028,1502 =+=S 28,12=S
%54,3910006,3128,12 ==CV
b) 03,840
2,321 ==−Σ
=n
nyyD ii
a
iy in iN ei My − iei nMy −
12 3 3 24 72 20 6 9 16 96 28 10 19 8 80 36 15 34 0 0 44 4 38 8 32 52 2 40 16 32 Σ 40 - - 312
iX if iF ei MX − iei fMX −
e) 20240
2==n 191 =−JN 34=JN 36== Je yM
n
fMXD iei
e
−Σ= 8,7
40312 ==
−Σ=
n
nMyD iei
e
d) 78,9=S 03,8=aD 8,7=eD 78,903,88,7 << Se cumple la relación: Sae DD <<
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.4 Medidas de dispersión, de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones deformación y apuntamiento. Actualizado en diciembre de 2007
31
49. Solución:
4,9547 ==x
8=eM
28,55
4,26 ==−Σ
=n
xxD i
a
0,5525 ==
−Σ=
n
MxD ei
e
04,394,95
637 222
2 =−⇒−Σ
= xnxiS
25,604,39 ==S
6,25 > 5,28 > 5,0 ea DDS >> Se cumple la relación 50. Coeficiente de desviación media:
100x
DCD a
X=
Resultados con los datos de los ejercicios 47, 48, 49.
93,24530378.7)47( ==y
ix xxi − ei Mx −
2ix
2 7,4 6 4 5 4,4 3 25 8 1,4 0 64
12 2,6 4 144 20 10,6 12 400
47 26,4 25 637
iy in ii ny yyi − ii nyy −
130 3 390 115,93 347,79 148 6 888 97,93 587,59 160 5 800 85,93 429,65 220 3 660 25,93 77,79 280 2 560 34,07 68,14 320 4 1.280 74,07 296,28 400 7 2.800 154,07 1.078,49
Σ 30 7.378 - 2.885,73
iX if ii fX XX i − ii fXX −
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32
191,9630
73,885.2 ==Da
%11,3910093,245
191,96 ==CDa
%57,2510040,3103,8
)48( ==CD
17,5610040,928,5)49( ==CD
51. Solución: Cálculo de los coeficientes de desviación mediana con los datos de los ejercicios 47, 48, 49.
%15,42100220
73,92)47( ==eCD
%67,2110036
8,7)48( ==eCD
%50,621000,80,5
)49( ==eCD
52. Solución: a) CIERTO: con estos datos se calcula la varianza y ésta deberá ser mayor o igual a 0. b) CIERTO: es fácil la justificación c) FALSO: no hay confirmación alguna respecto a esta relación d) CIERTO: [ ]
2222 8 XXKX SSKV ==
e) FALSO: Las mismas unidades pero elevadas al cuadrado.
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33
53. Solución: a) FALSO: se expresa en términos relativos o porcentuales b) FALSO: debe ser dividida por la media aritmética (relativo) o el resultado multiplicado por 100 (porcentual). c) CIERTO: en una distribución normal, ocurre la aplicación del teorema d) FALSO: esa es la virtud de esta medida 54. Solución:
( ) ( )13,0
50,217.1672.9725.933
=−
=−
=S
MxA e
S Ligeramente asimétrica positiva
55. Solución: a)
iy in ii ny iN yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3−
5 3 15 3 -3,6 38,88 -139,968 7 39 273 42 -1,6 99,84 -159,744 9 10 90 52 0,4 1,60 0,640
11 8 88 60 2,4 46,08 110,592 13 7 91 67 4,4 135,52 596,288 15 3 45 70 6,4 122,88 786,432 Σ 70 602 - - 444,80 1.194,24
iX if ii fX iF id ii fd 2 ii fd3
=y X 6,870
602 ==
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34
nnyy
m ii3
3
)( −Σ=
nfd
m ii3
3
Σ= (momento de orden tres)
06,1770
24,194.13 ==m
35,670
8,4442 ==S → 52,2=S
35270
2==n 31 =−JN 42=JN 7=dM 7=eM
(1) 07,152,2
06,1733
3 ===S
mAS
(2) 63,052,2
76,8 =−=SA
(3) ( )
90,152,2
76,83 =−=SA
Hay una asimetría positiva b)
iy in ii ny iN yyi − ( ) inyy 2− ( ) ii nyy 3−
5 3 15 3 -6,17 114,2067 -704,6553 7 7 49 10 -4,17 121,7223 -507,5820 9 8 72 18 -2,17 37,6712 -81,7465
11 9 99 27 -0,17 0,2601 -0,0442 13 30 390 57 1,83 100,4670 183,8546 15 3 45 60 3,83 44,0067 168,5457 Σ 60 670 - - 418,3340 -941,6277
iX if ii fX iF id ii fd 2 ii fd3
=y X 17,1160
670 ==
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35
69,1560
6277,9413 −=−=m (momento de orden tres)
97,660
334,4182 ==S → 64,2=S
13=dM 13=eM 30260
2==n 271 =−JN 57=JN
(1) 85,064,2
69,153
−=−=SA
(2) 69,064,2
1317,11 −=−=SA 13=dM
(3) ( )
07,264,2
1317,113 −=−=SA 13=eM
Asimetría negativa c)
=y X 1070
700 ==
03 =m
iy in ii ny iN yyi −
( ) ii nyy 2−
( ) ii nyy 3−
5 5 25 5 -5 125 -625 7 10 70 15 -3 90 -270 9 20 180 35 -1 20 -20
11 20 220 55 1 20 20 13 10 130 65 3 90 270 15 5 75 70 5 125 625 Σ 70 700 0 470 0
iX if ii fX iF id ii fd 2 ii fd3
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71,6704702 ==S
(1) 0=SA (simétrico) 11=dM 9=dM 102119 =+=eM
Promedio = 10 NOTA: Los histogramas se dejan para ser elaborados por usted.
35270
2==n 351 =−JN 55=JN
(2) 0=SA (3) 0=SA Es simétrica 56. Solución:
a) 20=n 9,4720958 ==x
( )
09,23720
9,4720630.50 22 =
−=S → 40,15=S
• Desviación típica → S = 15,40
• Coeficiente de variación → 15,3210090,4740,15
100 ===x
CV S
• Mediana:
25 28 28 32 34 36 38 40 40 4642 51 56 58 62 64 64 68 70 76
442
4642 =+=eM
• Desviación mediana: +++++++++=−Σ 44681012161619ei Mx
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2723226242020181412722 =++++++++++
6,1320272 ==
−Σ=
n
MxDM ei
e
b) 512576 =−=Rango 9651 ≅==
mRango
C
=y X 3,4720
946 ==
( )20
3,4720379.49 22 −
=S
66,2312 =S
22,15=S
%18,3210030,4722,15 ==CV
57. Solución: a) 362
1 =S ; 66,23122 =S ⇒ 2
122 SS >
3666,231 > Mayor variabilidad en el segundo caso
b) %58,151005,38
61 ==CV
%18,322 =CV 12 CVCV >
''1 ii yy −− in iy ii ny
ii ny2 23,1 – 32 4 27,5 110,0 3.025,00 32,1 – 41 5 36,5 182,5 6.661,25 41,1 – 50 2 45,5 91,0 4.140,50 50,1 – 59 3 54,5 163,5 8.910,75 59,1 – 68 4 63,5 254,0 16.129,00 68,1 – 77 2 72,5 145,0 10.512,50
Σ 20 - 946,0 49.379,00 ''
1 ii XX −− if iX ii fX ii fX 2
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%58,15%18,32 > Mayor variabilidad relativa en la
segunda distribución
c) 58,16
5,38481 =−=Z
18,022,15
3,47502 =−=Z 21 ZZ > ⇒ 18,058,1 >
58. Solución:
''1 ii yy −− iy in ii ny yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3− ( ) ii nyy 4−
23,1 – 32 27,5 4 110,0 -19,8 1.568,16 -31.049,568 614.781,4464 32,1 – 41 36,5 5 182,5 -10,8 583,20 -6.298,560 68.024,4480 41,1 – 50 45,5 2 91,0 -1,8 6,48 -11,664 20,9952 50,1 – 59 54,5 3 163,5 7,2 155,52 1.119,744 8.062,1568 59,1 – 68 63,5 4 254,0 16,2 1.049,76 17.006,112 275.499,1440 68,1 – 77 72,5 2 145,0 25,2 1.270,08 32.006,016 806.551,6032
Σ - 20 946,0 4.633,20 12.772,08 1.772.939,7936 ''
1 ii XX −− iX if ii fX XXi − ( ) ii fXX 2− ( ) ii fXX 3− ( ) ii fXX 4−
=y X 3,4720
946 ==
66,23120
20,633.42 ==S → 22,15=S
604,63820
08,772.123 ==m (momento de orden tres)
99,646.8820
7936,939.772.14 ==m (momento de orden cuatro)
a) Se trata de una distribución asimétrica positiva 18,022,15
604,6383
3
3===
S
mAS
Ligeramente asimétrica, casi normal.
b) 65,122,15
99,646.884
4
4===
S
mAp ⇒ 0,365,1 < Es achatada
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59. Solución:
654321 nnnnnnn +++++=
( ) 1111 530305150 nnnn +++++++= 704150 1 +=⇒ n
84 1 =n ⇒ 201 =n ; 252 =n ; 303 =n ; 304 =n ; 255 =n ; 206 =n
Σ+=
nnZ
COy iit
''
Σ+=n
fdiAX ii
'
4115022550 =
−+= Cy
C5,15041 −=−
65,1
9 =−−=C
yyi −
( ) ii nyy 2−
( ) ii nyy 3−
( ) ii nyy 4−
ii nyy −
iei nMy −
iN
-15 4.500 -67.500 1.012.500 300 300 20 -9 2.025 -18.225 164.025 225 225 45 -3 270 -810 2.430 90 90 75 3 270 810 2.430 90 90 105 9 2.025 18.225 164.025 225 225 130
15 4.500 67.500 1.012.500 300 300 150 0 13.590 0 2.357.910 1.230 1.230 -
id ii fd2 ii fd3 ii fd4 ii fd iei fMX −
iF
iy in ''iZ ii nZ ''
26 20 -4 -80 32 25 -3 -75 38 30 -2 -60 44 30 -1 -30 50 25 0 0 56 20 1 20 Σ 150 -9 -225
iX if 'id ii fd '
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40
a) =y x 41=
6,90150
590.132 ==S 52,9=S
6,902 =S S=52,9 %22,231004152,9 ==CV
b) 033 ==
S
mAS 41=eM
( )0
52,941413 =−=SA
052,9
4141 =−=−
=S
diS
MMA La distribución es simétrica
c) 4,719.15150
910.357.24 ==m 392,1
6,904,719.15
2<==pA Achatada
60. Solución: a)
24,2750362.1 ==y
a) varianza 0824,13050
12,504.6S 2 ==⇒
b) 41,110824,130 ==S
iy ii ny yyi − ii nyy − ei My − iei nMy − ii nyy 2−
9,0 27 18,24 54,72 19,75 59,25 998,0928 13,5 135 13,74 137,40 15,25 152,50 1.887,8760 17,5 105 9,74 58,44 11,25 67,50 569,2056 24,0 96 3,24 12,96 4,75 19,00 41,9904 32,0 256 4,76 38,08 3,25 26,00 181,2608 38,0 608 10,76 172,16 9,25 148,00 1.852,4416 45,0 135 17,76 53,28 16,25 48,75 946,2528
1.362 Σ 527,04 - 520,50 6.504,1200
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41
c) %89,4110024,2741,11 ==CV
d) Desviación media 54,1050
04,527 ==aD
e) Desviación mediana 41,1050
5,520 ==eD
Mediana 25250
2==⇒ nM e 231 =−IN ; 31=IN
75,2875,0288
2325628 =+=
−+=eM
Sae DD <≤ 54,1041,10 ≤⇔ < 11,41 61. Solución: a) Asimetría
17,062,474.148,244
33 −=−==
S
mAs (Ligera asimetría negativa)
( )
48,24450
22,224.123
3 −=−=−= ∑n
nyym ii (Momento de orden tres)
( )
99,115.2650
88,799.305.14
4 ==−= ∑n
nyym ii (Momento de orden cuatro)
b) Apuntamiento
55,161,780.1699,115.26
)( 224
44 ====
SS
mmAp
Achatada (platicúrtica) 355,1 <⇒ 62. Solución: 1)
''1 ii yy −− in iy
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42
6,9=Ay 1210120==x
64,322 =AS 99,442 =BS 71,5=AS 71,6=BS
a) AB SS > 22
AB SS > 71,571,6 > 62,3299,44 >
b) %48,591006,9
71,5 ==ACV ; %92,5510012
71,6 ==BCV AB CVCV <
%48,59%92,55 <
c) Puntaje típico: 47,171,7
6,918 =−=AZ 89,071,6
1218 =−=BZ BA ZZ >
2) 1210120 ==Bx
( )
99,4410
1210890.1 22 =−=BS
71,6=BS 63. Solución:
nnxnx
x 2211 +=
( ) ( )
94,970
1012606,9 =+=x
( ) ( ) ( ) ( )=+=−+−++= 7,040,34
701094,9126094,96,9
701099,446064,32 22
2S
92,510,352 =⇒= SS
2,1 – 6 22 4 6,1 – 10 14 8 10,1 – 14 10 12 14,1 – 18 8 16 18,1 – 22 4 20 22,1 – 26 2 24
Σ 60 - ''
1 ii XX −− if iX
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%59,5910094,992,5
100 ===x
CV S
a) ( ) 486,95 ==x ( ) 81664,32522 ==S 57,28816 ==S
%52,5910048
57,28 ==CV
Anteriormente nos había dado 59,56% ahora nos da casi igual: 59,52%, diferencia sin importancia por los decimales. Se puede concluir que no cambia. b) 6,196,910 =+=x [ ]XKVS +=2
64,322 =S 71,5=S
%13,2910060,19
71,5 ==CV Cambia el resultado
64. Solución:
Asimetría:
98,071,5
46,91 =−=−
=S
dS
MMA
( ) ( )
69,071,5
29,86,933 1 =−=−
=S
eS
MMA
302
60 =
''1 ii yy −− iy in iN
2,1 – 6 4 22 22 6,1 – 10 8 14 36 10,1 – 14 12 10 46 14,1 – 18 16 8 54 18,1 – 22 20 4 58 22,1 – 26 24 2 60
Σ 60 - ''
1 ii XX −− iX if iF
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29,829,2614
22304646,9 =+=
−+=== ed MMy
Hay una ligera asimetría positiva
34,14860
61,900.83 ==m
80,017,186
34,148
71,5
34,1483 ===sA
Asimétrico positivo
53,804.260
87,271.1684 ==m
63,237,065.1
53,084.2
64,32
53,804.22 ===pA
Como 00,363,2 < se dice que la curva es achatada. 65. Solución: a) 600.962600.851 < ⇒ Hay una mayor variabilidad absoluta en el turno II
b) %094,000094,0100000.97882,922
100100000.978600.851
1
1 =====x
CVS
I
%082,000082,0100500.203.112,981
100100500.203.1600.962
2
2 =====x
CVS
II
21 CVCV > Hay mayor variabilidad relativa en el primer turno.
( ) ii nyy3
− ( ) ii nyy4
− -3.863,55 21.635,89
57,34 91,75 138,24 331,78
2.097,15 13.421,77 4.499,46 46.794,34 5.971,97 85.996,34 8.900,61 168.271,87
3)( XX i − if 4)( XX i − if
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c) 000.000.1$000.22000.9781 =+=+ Kx %092,0100000.000.1
82,9221 ==CV
745.287.1$245.84500.203.12 =+=+ Kx %076,0100745.287.112,981
2 ==CV
21 CVCV > %076,0%092,0 > 66. Solución:
''1 ii yy −− iy in ii ny yyi − ( )2yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3− ( ) ii nyy 4−
2,1 – 6 4 3 12 -8,87 78,6769 236,0307 -2.093,5923 18.570,1638 6,1 – 10 8 12 96 -4,87 23,7169 284,6028 -1386,0156 6.749,8961 10,1 – 14 12 25 300 -0,87 0,7569 18,9225 -16,4626 14,3224 14,1 – 18 16 11 176 3,13 9,7969 107,7669 337,3073 1.055,7717 18,1 – 22 20 7 140 7,13 50,8369 355,8583 2.537,2697 18.090,7328 22,1 – 26 24 2 48 11,13 123,8769 247,7538 2.757,4998 30.690,9727
Σ - 60 772 - - 1.250,9350 2.136,0063 75.171,8595 ''
1 ii XX −− iX if ii fX id 2
id ii fd 2 ii fd 3 ii fd 4
87,1260
772 ==y 85,2060
935,250.12 ==S 57,485,20 ==S
Asimetría: 37,057,4
60,3533
3 ===S
mAS 60,35
600063,136.23
3 === ∑n
nZm ii
Hay poca asimetría y es positiva
Apuntamiento: ( ) ( )88,2
85,20
86,252.1222
4 ===S
mAp 86,252.1
6086,171.754
4 === ∑n
nZm ii
388,2 < Luego se concluye que es ligeramente achatada
a) %51,3510087,1257,4
100 ===y
CV S
b) 12,057,4
87,1212 −=−=−
=S
yyZ i
c)
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56,360
40,213 ==−
=∑
n
nyyD ii
a (Desviación media)
4,1225
1530410 =−+=Mediana
302
=n 151 =−JN 40=JN
Variable continua: 41,360
0,204 ==−
= ∑n
nMyD iei
e
67. Solución:
( ) 020.852000.8042,0000.810000.810)( =+×+=+ kxx aritméticamedianueva020.852$000.8020.34000.810 =++=x
( ) 2,727.306$36,0020.852020.852
36,0100 ==⇒=⇒= SSS
xCV
a) 22 2,727.306=S y su desviación será pesos2,727.306$ b) La varianza no cambia, cuando utilizamos la propiedad que dice:
iy in yyi − ii nyy − iN
4 3 8,87 26,61 3 8 12 4,87 58,44 15 1−← JN
12 25 0,87 21,75 40 JN←
16 11 3,13 34,43 51 20 7 7,13 49,91 58 24 2 11,13 22,26 60 Σ 60 - 213,40 -
iX if id ii fd iF
ei My − iei nMy −
8,4 25,20 4,4 52,80 0,4 10,00 3,6 39,60 7,6 53,20
11,6 23,20 - 204,00
- iei fMX −
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[ ] [ ] [ ]
2XKXKX SVVV =+=+
68. Solución:
Mediana: 2 4 6 8 10 eM
a) 4,25
12 ==aD n
xxD i
a
∑ −=
b) 4,25
12 ==eD n
xD ei
e
∑ −=
M
c) 85402 ==S 83,28 ==S
d) SaDDe <≤ 83,24,24,2 <=
e) %17,471006
83,2 ==CV 6530==x
100xSCV =
69. Solución:
ix xxi − ( )2xxi − xxi − ei Mx −
6 0 0 0 0 4 -2 4 2 2 8 2 4 2 2 2 -4 16 4 4 10 4 16 4 4 Σ 0 40 12 12
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[ ]
+
=896
896 YX MM ⇒ [ ] [ ]1212 += YX MM
1212 += yx
( ) 7212512 =+=x 72=x
[ ] 40,0==y
CV YY
S ⇒ ( ) 2540,0 == YS
[ ] [ ] [ ] ( ) 5764144144 2121212 ===== + YYYX SVVV
245765762 ==⇒= Xx SS
%33,331007224 ==XCV 100
xS
CV x=
70. Solución:
xy 106 −=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]XXXY VVVVV 1000 10106 =+=−=
( ) 80081002 ==yS
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 80012816 2244 ==−=−=− y
Sx
SYXYXYX VVVVV
( ) 800128800816 −=−
[ ] [ ] 800128≠< YX VV
Podemos concluir que hay una diferencia entre las dos varianzas de 672. 71. Solución: Debido a que de MMM ==1 ; por lo tanto la diferencia entre dos de ellos es cero.
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72. Solución: a) El más regular en el desarrollo de su trabajo es B dado que, tiene la menor dispersión; sería totalmente parejo si 02 =S b) El más rápido en terminar el trabajo es B, ya que tiene el mayor promedio. 73. Solución: a) Observemos de mayor a menor las calificaciones Derecho > Economía > Inglés > Matemáticas 3,36,30,42,4 >>> Se nota fortaleza en las dos primeras y debilidades especialmente en las matemáticas. b) Si calculamos los puntajes típicos observemos
5,06,0
3,44 −=−=EcoZ 67,075,0
8,23,3 =−=MatZ
4,08,0
2,36,3 =−=IngZ 67,06,0
6,42,4 −=−=DerZ
Matemáticas > Inglés > Economía > Derecho 67,05,04,067,0 −>−>>⇒Z La conclusión con respecto al grupo es todo lo contrario, al resultado obtenido en el punto a.
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74. Solución:
a) =y X 57,160
94 ==
Casi en promedio dos reclamaciones en los últimos años.
b) ( )
47,360
57,160356 22 =−=S
86,147,3 ==S
c) %47,11810057,186,1
100 ===x
CV S
Estos resultados nos indican que el promedio de 1,57 es poco representativo, para aceptar la afirmación que en promedio 1,57 sea el número de reclamaciones por usuario.
iy in ii ny ii ny2 0 26 0 0 1 10 10 10 2 8 16 32 3 6 18 54 4 4 16 64 5 3 15 75 6 2 12 72 7 1 7 49 Σ 60 94 356
iX if ii fX ii fX 2