4.5 Sustav od dviju obi�cnih diferencijalnih jed-nad�biPrirodno je sustav

F (x; y; z; y0; z0) = 0;

G(x; y; z; y0; z0) = 0

od dviju obi�cnih diferencijalnih jednad�bi prvoga reda,s dvjema nepoznatim funkcijama, poku�ati rije�iti posli�cnosti s odgovarajucim sustavom algebarskih jed-nad�aba, tj. poku�ati ga svesti na dvije jednad�bes po jednom nepoznanicom. Kao ishod takvogapostupka mogu se dobiti, ovisno o danom sustavu,diferencijalne jednad�be prvoga ili drugoga reda.

Primjer Promatrajmo sustav

y0 = x + z;

z0 = �x + y:

Deriviranjem prve jednad�be i uvr�tenjem z0 u drugudobivamo diferencijalnu jednad�bu drugoga reda

y00 � y0 = �x + 1Njezino rje�enje je

y = C1ex + C2e

�x + x� 1:

Iz prve jednad�be dobivamo tra�eni z = g(x)

y0 = x + z )�C1e

x + C2e�x + x� 1

�0= x + z )

z = C1ex � C2e�x + 1� x

Tra�imo li, nadalje, neko posebno rje�enje, primjericeono �to udovoljava po�cetnomu uvjetu

x = 0; y = 1; z = 1;

dobivamo linearni sustav

1 = C1 + C2 � 1;1 = C1 � C2 + 1;

rje�enje kojega je C1 = 1, C2 = 1, pa je tra�enoposebno rje�enje

y = x� 1 + ex + e�x z = �x + 1 + ex � e�x:

5. Numeri �cko (pribli�no) rje�evanje diferencijal-nih jednad�biPrimjer Treba naci numeri�cku aproksimaciju rje�enjadiferencijalne jednad�be, s po�cetnim uvjetom,

y0 = x + y; x0 = 0; y0 = 1:

na segmentu [0; 1].

To�cno rje�enje je f (x) = 2ex � x� 1.Postupak:

� Razdijelimo [0; 1] na dva jednaka dijela to�ckomx1 = 0:5;

� Po�cetni uvjet daje

y0 (0) = G(0; 1) = 0 + 1 = 1:

To zna�ci da je

y � y0 = y0 (0) (x� x0) =) y � 1 = 1(x� 0)

=) y = x + 1

tangenta krivulje y = 2ex � x� 1 u to�cki T0(0; 1): Zaprvu aproksimaciju to�cnog rje�enja mo�emo uzetilinearnu aproksimaciju

L0(x) = x + 1;

tj. graf to�cnog rje�enja f (x) = 2ex�x�1 aproksimi-ramo dijelom tangente u to�cki T0(0; 1) na taj graf zax 2 [0; 0:5] :

10.50

3

1

x

y

10.750.50.250

3

1

x

y

Slika 1.

� Pomaknimo se od to�cke x0 = 0 udesno u to�ckux1 = 0:5; tj. udesno za h = 0:5: U toj to�cki x1 = 0:5linearna aproksimacija daje

L0(x1) = 0:5 + 1 = 1:5

i vrijednost to�cnog rije�enja f (x1) aproksimirajmo sa

y1 = L0(x1) = 1:5:

Diferencijalna jednad�ba y0 = x + y za vrijednosti(x1; y1) daje

y0 (x1) = G(x1; y1) = 0:5 + 1:5 = 2:

Za aproksimaciju tra�enog rje�enja (za x 2 [0:5; 1])uzmimo linearnu funkciju

L1(x) = y1 + y0(x1)(x� x1) = 2x + 0:5;

tj. graf to�cnog rje�enja na segmentu [0:5; 1]aproksimiramo dijelom pravca y = 2x + 0:5 kojiprolazi to�ckom T1(0:5; 1:5):

� Dobivena poligonalna crta je aproksimacija grafato�cnog rje�enja na segmentu [0; 1] : U izra�cunu oveaproksimacije uzeli smo korak h = 0:5:

� Podjelimo li segment [0; 1] na �cetiri jednaka dijela,tj. uzmemo li za korak h = 0:25; imamo poligonalnucrtu koja bolje aproksimira graf to�cnog rje�enja.

Formalizirajmo ovaj postupak poznat pod imenomEulerova metoda: za diferencijalnu jednad�bu spo�cetnim uvjetom

y0 = G(x; y); x = x0; y = y0;

aproksimacija to�cnog rje�enja na segmentu [x0; b] skorakom h je poligonalna crta odredena sa to�ckama(postupak je vidljiv na Slici 2.):

x0 y0x1 = x0 + h y1 = y0 + hG(x0; y0)x2 = x1 + h y2 = y1 + hG(x1; y1)� � � � � �xn = xn�1 + h yn = yn�1 + hG(xn�1; yn�1)

0

hG(x0,y0)h

h

hG(x1,y1)

y0

y1

y2

x0 x1 x2

y

x

T0

T1

T2

Slika 2.Jasno je da ce poligonalna crta bolje aproksimirati

to�cno rje�enje ukoliko je korak h manji. Uo�cimo istotako da, �to se vi�e udaljavamo od to�cke x0; to jeaproksimacija lo�ija.

3. FUNKCIJE VI�E VARIJABLI

3.1 Koordinatni sustavi u ravnini i prostoru

Ravninski koordinatni sustavi

� Zadamo li u ravnini � pravokutni (Kartezijev)koordinatni sustav (O;

�!i ;�!j ) � (O;x; y) :

T 2 � ! T � (x; y) x; y 2 R;

� Polarni koordinatni sustav:

N Neka je p 2 � pravac i neka je na njemu zadankoordinatni sustav (O;

�!i ) � (O;x);

N Neka je T 2 � to�cka, T 6= O;

' = ]��!i ;�!OT�;

(' mjerimo u pozitivnom smjeru);

N Neka je � = d(O; T ) udaljenost od O do T ;

N T = O =) 'def:= ]

��!i ;�!OO

�= 0;

NT 2 � ! T � ('; �); ' 2 [0; 2�) ; � 2 [0;1) ;

N To�cku O = (0; 0) nazivamo ishodi�tem (ili polom),a zraku odredenu s O i

�!i - polarnom osi po-

larnoga koordinatnog sustava pod oznakom(O;'; �)

� Veza: Zadamo li u ravnini � i pravokutni koordinatnisustav (O;

�!i ;�!j ) � (O;x; y) tako da se pozitivna

x- os podudara s polarnom osi

x

yT=(ϕ,ρ)

ϕ

ρ

x

y

O0 1

onda je veza izmedu Kartezijevih (x; y) i polarnihkoordinata ('; �) bilo koje to�cke T 2 � :�

x = � cos'y = � sin'

;

(tg' =

y

x� =

px2 + y2

:

Pri odredivanju ' iz tg' =y

xtreba voditi ra�cuna o

predznaku x, y.

Prostorni koordinatni sustavi

� Zadamo li u prostoru E pravokutni (Kartezijev)koordinatni sustav (O;

�!i ;�!j; ~k) � (O;x; y; z) :

T 2 E ! T � (x; y; z) x; y ; z 2 R;

� Cilindri�cni koordinatni sustav:

N Neka je � 2 E ravnina i neka je na njoj zadanpolarni sustav (O;'; �);

N Neka je q pravac koji prolazi to�ckom O okomit naravninu � i neka je na q dan koordinatni sustav(O;�!k ) � (O; z) (q pravac - z-os);

N Time je u prostoru de�niran cilindri�cni koordinatnisustav (O;'; �; z) ;

NT 2 E ! T � ('; �; z);

' 2 [0; 2�) ; � 2 [0;1) ; z 2R;

gdje su ' i � polarne koordinate, u sustavu

(O;'; �), okomite projekcije T 0 to�cke T na ravninu�, a z je koordinata, u sustavu (O; z), okomiteprojekcije T 00 to�cke T na pravac q:

x

y

T=(ϕ,ρ,z)

ϕ ρ

x

O

1

zz T''

T'=(ϕ,ρ)

Π

y

� Veza pravokutnih i cilindri �cnih koordinata :

T �('; �; z) �!

8<: x = � cos'y = � sin'z = z

9=; �! T �(x; y; z)

T �(x; y; z) �!

8<: � =px2+y2

tg ' =yxz = z

9=; �! T �('; �; z)

� Koordinatne ravnine

N U Kartezijevom koordinatnom sustavu (O;x; y; z)se to�cka T0 = (x0; y0; z0) dobiva kao presjekkoordinatnih ravnina x = x0; y = y0 i z = z0:

N U cilindri�cnom koordinatnom sustavu (O;'; �; z)to�cka T0 = ('0; �0; z0) dobiva se kao presjek"koordinatnih ravina":

� ' = '0 (poluravnina odredena sa z-osi i to�ckomT0);

� � = �0 (to je cilindar, tj. sve to�cke u prostoru zakoje je udaljenost od z- osi jednaka �0),

� z = z0 (ravnina)

zT0=(ϕ0,ρ0,z0)

ϕ0x

y

z

T0'

T''0

ρ0

ρ =ρ0

z0=z0

ϕ =ϕ0

z0

poluravnina

ravnina

cilindar

� Sferni koordinatni sustav:

N Neka je � 2 E ravnina i neka je na njoj zadanpolarni sustav (O;'; �);

N Neka je q pravac koji prolazi to�ckom O okomit naravninu � i neka je na q dan koordinatni sustav(O;�!k ) � (O; z);

N Neka je T 0 okomita projekciju na ravninu � to�ckeT 2 E, T 6= O;

N Neka je:� r = d(O; T ) > 0;

� # 2 [0; �] - kut izmedu radijus-vektora �!OT i �!k ;

� ' 2 [0; 2�) - kut izmedu �!i i radijus-vektora��!OT 0:

N Time je u prostoru de�niran sferni koordinatnisustav (O;'; #; r) ;

NT 2 E ! T � ('; #; r);

' 2 [0; 2�) ; # 2 [0; �]; r 2 [0;1) :

x

y

T=(ϕ,θ,r)

ϕρ

x

O

1

zz T''

T'=(ϕ,ρ)

Π

y

θ

i

kr

Ako je T na pozitivnoj zraci z-osi onda sujoj sferne koordinate (0; 0; r), a na negativnoj -(0; �; r). Ishodi�tu O se pridijeljuju sferne koordi-nate (0; 0; 0)).

� Koordinatne ravnine

N U sfernom koordinatnom sustavu (O;'; #; r)to�cka T0('0; #0; r0) dobiva se kao presjek "koordi-natnih ravina":

� ' = '0 (poluravnina odredena sa z-osi i to�ckomT0);

� # = #0 - sto�ac s vrhom u ishodi�tu O,

� r = r0 - sfera sa sredi�tem u ishodi�tu O iradijusa r0.

x y

z ϕ = ϕ0

θ0

θ =θ0

ϕ0

r = r0

T0

poluravnina

sto ac

sfera

� Veza pravokutnih i sfernih koordinata :

Zadamo li u prostoru pravokutni koordinatni sus-tav (O;x; y; z) i sferni sustav (O;'; #; r) tako da sepozitivna x -os podudara s polarnom osi, te da imse podudaraju z-osi, mo�emo odrediti veze izmedupravokutnih (x; y; z) i sfernih ('; #; r) koordinata bilokoje to�cke T :

T � ('; #; r) �!

8<: x = r cos' sin#y = r sin' sin#z = r cos#

�! T �(x; y; z);

T �(x; y; z) �!

8>>><>>>:tg' =

y

x# =arccos

zpx2+y2+z2

r =px2+y2+z2

�! T �('; #; r):

Pri odredivanju kuta ' iz tg' =y

xtreba voditi

ra�cuna o predznaku tih koordinata.

Primjer To�cka T1 =�0; 2p3;�2

�zadana u pra-

vokutnom koordinatnom sustavu ima u sfernomkoordinatnom sustavu prikaz

T1 =

��

2;2�

3; 4

�jer je

tg' =y1x1=2p3

0) '1 =

�

2;

#1 = arccosz1p

x21 + y21 + z

21

= arccos

��12

�=2�

3;

r1 =qx21 + y

21 + z

21 =

r02 +

�2p3�2+ (�2)2 = 4:

3.2 Neke plohe

Ravnina u prostoru

Ponoviti - sami:

� vektorska jednad�be ravnine �

~n � (~r � ~r1) = 0;

� jednad�ba ravnine � kroz tri to�cke������x� x1 y � y1 z � z1x2 � x1 y2 � y1 z2 � z1x3 � x1 y3 � y1 z3 � z1

������ = 0;� jednad�ba ravnine � jednom to�ckom T1 =(x1; y1; z1) :

A(x� x1) +B(y � y1) + C(z � z1) = 0;

� opci oblik jednad�be ravnine � :Ax +By + Cz +D = 0;

ili (vektorski):�!n � �!r +D = 0:

gdje je �!n = fA;B;Cg normala te ravnine, aT1 = (x1; y1; z1) 2 � i T = (x; y; z) 2 �; tj.�!r 1 = fx1; y1; z1g i �!r = fx; y; zg

xy

z

T1

Tr1

rO

n0

� segmentni oblik jednad�be ravnine �x

a+y

b+z

c= 1:

Plohe drugog redaNeka je u prostoru zadan pravokutni koordinatnisustav (O;x; y; z). Pod plohom drugoga reda (ilikvadrikom) podrazumijevamo skup svih to�cakaT = (x; y; z) u prostoru �cije koordinate zadovoljavajujednad�bu drugoga stupnja

Ax2+By2+Cz2+Dxy + Exz + Fyz+

+Gx +Hy + Jz +K = 0;

s realnim koe�cijentima A, B, C, D, E, F , G, H, J iK, pod uvjetom da je barem jedan od A, B, C, D, Eili F razli�cit od nule. Posebno ce nas zanimati samoneke kvadrike.

� Jednad�ba

(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2 = R2

predstavlja kuglinu plohu (ili sferu) sa sredi�temS = (x0; y0; z0) i polumjerom (ili radijusom) R > 0.

� Neprazni presjek ove plohe ravninom paralelnoms koordinatnom ravninom jest ili kru�nica ili to�cka,�to povla�ci da se kru�nica u prostoru mo�e zadatii kao presjek sfere i ravnine.

xy

z

Sl. 1.

� Za dane realne ne nul-konstante a, b i c, jednad�ba

(x� x0)2a2

+(y � y0)2b2

+(z � z0)2c2

= 1

odreduje plohu koju nazivamo elipsoidom. Nje-gove su osi usporedne s koordinatnim osima, aduljine su im redom 2jaj, 2jbj i 2jcj.

� Neprazni elipsoidovi presjeci ravninama uspored-nim s koordinatnim osima jesu ili kru�nice ilielipse ili to�cke. Primijetimo da u slu�caju a = b = celipsoid postaje sferom.

� Nadalje, jednad�ba

x2

a2+y2

b2� z

2

c2= 1

opisuje jednokrilni elipti �cni hiperboloid (Sl 2.(a)).

� Njegovi neprazni presjeci ravninama usporednimasa z-osi jesu ili hiperbole ili to�cke, dok su mupresjeci ravninama usporednim s xy-ravninomelipse.

� Cikli�ckim zamjenama

x y; y z; z x i a b; b c; c a

dobivamo jednad�bu "iste" plohe u drugompolo�aju (y-os je "povla�tena"):

z2

c2+x2

a2� y

2

b2= 1;

a jo� jednom takvom zamjenom dobivamo jed-

nad�bu ("povla�tena" je x-os):

y2

b2+z2

c2� x

2

a2= 1:

x y

z

x y

z

(a) (b)

Sl. 2.

� Jednad�ba

�x2

a2� y

2

b2+z2

c2= 1

opisuje dvokrilni elipti �cni hiperboloid (Sl 2. (b)).

� Njegov neprazni presjek ravninom usporednomsa z-osi jest hiperbola, dok mu je neprazni presjekravninom usporednom s xy-ravninom ili elipsa ilito�cka.

� Cikli�cki izmijenjujuci koordinate (varijable) x; y; z,kao i pripadne konstante a; b; c, dobivamo jed-nad�be "iste" plohe u razli�citim polo�ajima:

�z2

c2� x

2

a2+y2

b2= 1; � y

2

b2� z

2

c2+x2

a2= 1:

x y

z

x y

z

(a) (b)

Sl. 3.

� Jednad�ba

x2

a2+y2

b2= 2z

opisuje plohu koju nazivamo elipti �cnim paraboloidom(Sl 3. (a)). Faktor 2 u monomu 2z nije bitan, ali jetehni�cki (algebarski) pogodan.

� Karakteristi�cni presjeci ove plohe prikladnim ravn-inama koje su paralelne koordinatnim ravninamajesu elipse ili parabole.

� Odgovarajucim cikli�ckim izmjenama dobivamo jo�

dvije jednad�be "iste" plohe u razli�citim polo�a-jima.

� Jednad�ba

y2

b2� x

2

a2= 2z

odreduje hiperboli �cni paraboloid (Sl 3.(b)).Analogni komentari (o cikli�ckim zamjenama) vrijedei za ove plohe.

� Jednad�ba

x2

a2+y2

b2=z2

c2

opisuje sto�astu (ili konusnu) plohu (Sl 4.). Opetsu moguce jo� dvije (cikli�cke) varijante.

xy

z

Sl. 4.Nadalje, jednad�be

x2

a2+y2

b2= 1

x2

a2� z

2

c2= 1

z = 2ay2

opisuju redom elipti �cne, hiperboli �cne i paraboli �cnevalj �caste (ili cilindri �cne) plohe (Sl 5.). Dakako dasu i u ovim jednad�bama moguce prije spominjanecikli�cke izmjene. Ove valj�caste plohe su samo vrloposebni primjeri (opce) valj�caste plohe

xy

z

xy

z

xy

z

Sl. 5.

De�nicija Neka je u ravnini � dana krivulja K; teneka je p pravac koji probada �. Promatrajmo skupsvih pravaca u prostoru koji sijeku krivulju K i us-poredni su s pravcem p. Tretirajuci svaki pravacto�ckovnim skupom, pripadnu ( to�ckovnu) uniju nazi-vamo valj �castom ( ili cilindri �cnom) plohom. Pritomgovorimo da je pravac p izvodnica ( ili generatrisa),a krivljaK ravnalica ( ili direktrisa) te valj�caste plohe.

Primjerice, elipti�cnoj valj�castoj plohi

x2

a2+y2

b2= 1

jedna izvodnica jest z-os, a ravnalica joj je elipsa

x2

a2+y2

b2= 1; z = 0:

Primijetimo da je svaka ravnina (trivijalna) valj�castaploha (za krivulju K treba uzeti odgovarajuci pravack).

Napomenimo i to da se prostorna krivulja �cestozadaju presjekom dviju ploha.

Primjer Skicirati tijelo V omedeno plohama

z � 2 = �x2 � y2; z =px2 + y2

i opisati ga u pravokutnom i cilindri�cnom koordinat-nom sustavu.

Tijelo V odredeno je plohama z � 2 = �x2 � y2(paraboloid) i z =

px2 + y2 (sto�asta ploha).

x

y

zz=2­x2­y2

z= x2+y2

Odredimo projekciju Vxy tijela V na xy-ravninu:

� Odredimo projekciju krivulje koja se nalazi u pres-jeku promatranih ploha. Eliminacijom izraza x2 + y2iz z � 2 = �x2 � y2 i z =

px2 + y2 dobivamo

z2 + z � 2 = 0 =) z1 = 1; z2 = �2:

� Dakle, mora biti z = 1, pa je x2 + y2 = 1: Drugimrije�cima, presje�cna krivulja je kru�nica

x2 + y2 = 1; z = 1;

i projekcija presje�cne krivulje na xy-ravninu jekru�nica x2 + y2 = 1.

� Tra�ena projekcija Vxy je krug

D =�(x; y) j x2 + y2 � 1

:

� Ukoliko to�cka T = (x; y; z) pripada tijelu V; tadanjena projekcija T 0 = (x; y; 0) na xy-ravninu morapripadati krugu D; a to zna�ci da za njezine koordi-nate vrijedi �1 � x � 1 i �

p1� x2 � y �

p1� x2:

� Kona�cno, za z- koordinatu to�cke T = (x; y; z) 2 Vvrijedi

px2 + y2 � z (to�cka T le�i iznad sto�aste

plohe) i z � 2 � x2 � y2 (to�cka T le�i ispod ploheparaboloida). Dakle,

V =n(x; y; z) j �1 � x � 1; �

p1� x2� y �

p1� x2;

px2 + y2 � z � 2� x2 � y2

o:

� U cilindri�cnom koordinatnom sustavu koordinateprojekcije T 0 = ('; r; 0) to�cke T = ('; r; z) 2 Vmora le�ati u krugu D; dakle za njezine koordinatevrijedi 0 � ' � 2�; 0 � � � 1: Uvjet za z-kordinatupx2 + y2 � z � 2�x2�y2 prelazi u � � z � 2��2:

Dakle,

V =n('; �; z)j 0 � ' � 2�; 0 � � � 1; � � z � 2� �2

o: