4. prekidaČka algebra. kanonične forme...Др Милован Миливојевић дипл....

1 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme1

4.1. Postulati i teoreme Postulati:

0 11 0

x za xx za x= ≠= ≠

0 1

1 00 0 01 1 1

=

=⋅ =+ =

1 1 10 0 01 0 00 1 1

⋅ =+ =⋅ =+ =

08.05.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

br. jednačina shema jednačina shema

1. x x x+ =

1’. x x x⋅ =

2. 0x x+ =

2’. 1x x⋅ =

3. 1 1x + =

3’. 0 0x ⋅ =

4. 1x x+ =

4’. 0x x⋅ =


1. Teorema o idempotentnosti

x x xx x x+ =⋅ =

...... n

x x x n x xx x x x x+ + + = ⋅ =

⋅ ⋅ = =

2. Teorema o identitetu

01

x xx x+ =⋅ =

3. Teorema o nula-elementima

1 10 0

xx+ =⋅ =

1 2

1 2

... 1 10 0

x xx x+ + + =⋅ ⋅⋅⋅ =

4. Teorema o komplementu

1

0

x x

x x

+ =

⋅ =

5. Teorema o involuciji

x x=

6. Teorema o komutativnosti

1 2 2 1

1 2 2 1

x x x xx x x x+ = +⋅ = ⋅

4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme

08.05.17


7. Teorema o asocijativnosti

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x+ + = + + = + +⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

8. Teorema o distributivnosti

1 2 1 3 1 2 3

1 2 2 3 1 2 3

( )( ) ( )x x x x x x xx x x x x x x⋅ + ⋅ = ⋅ ++ ⋅ + = + ⋅

9. Teorema o apsorbciji

1 1 2 1

1 1 2 1 3 1 1... n

x x x xx x x x x x x x+ ⋅ =+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

10. Teorema o potpunom sažimanju

21 2 1 1x x x x x⋅ + ⋅ =

11. Teorema o nepotpunom sažimanju

2 21 2 1 1 1 2 1x x x x x x x x x⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅


08.05.17



08.05.17

12. De-Morganova teorema

Po ovoj teoremi inverzija funkcije ravna je funkciji inverziranih promenljivih, pri čemu su sve sume zamenjene proizvodima a proizvodi sumama ili rečima algebre logike: disjunkcija se zamenjuje konjukcijom sa inverziranim promenljivim i obrnuto.

1 2 31 2 31 ( ... ) nny x x x x x x x x= + + + + = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

1 2 31 2 32 ( ... ) ... nny x x x x x x x x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + +

o Dokaz ovog pravila daje se za primer dve logičke varijable:

1 21 2( )x x x x+ = ⋅

1x 1x 2x 2x 1 2x x+ 1 2x x+ 1 2x x⋅ 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0


13. Teorema o ekspanziji (razvijanju, proširenju)

Po ovoj teoremi svaka logička funkcija od n logičkih promenjivih se može razviti i napisati na sledeći način:

11 2 3 1 2 3 2 3

11 2 3 1 2 3 2 3

( , , ,..., ) (1, , ,..., ) (0, , ,..., )

( , , ,..., ) [ (0, , ,..., )][ (1, , ,..., )]n n n

n n n

y f x x x x x f x x x x f x x x

f x x x x x f x x x x f x x x

= = ⋅ +

= = + +


08.05.17



08.05.17



08.05.17

• MINTERMOVI za funkcije jedne, dve i tri promenljive su:

1n = 2n = 3n = i ip i ip i ip

0 1x 0 1x 2x 0 1x 2x 3x 1 1x 1 1x 2x 1 1x 2x 3x

2 1x 2x 2 1x 2x 3x

3 1x 2x 3 1x 2x 3x

4 1x 2x 3x

5 1x 2x 3x

6 1x 2x 3x 7 1x 2x 3x


• Pošto je logička funkcija u razvijenom obliku ima izgled:

2 1

0 0 1 1 2 1... n n

f p f p f p f−−

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ , ona predstavlja sumu (DISJUNKCIJU) proizvoda

(KONJUKCIJA), jer se vrednosti za if ne ispisuju ako su 1, a ne uzimaju u jednačini ako

su 0.

• Ovo omogućuje da se logička funkcija zadata tabelarno, prikaže u analitičkoj formi:

o Vrste u kombinacionoj tablici odgovaraju MINTERMOVIMA

o Vrednosti funkcije u kombinacionoj tablici odgovaraju koeficijentima if

• Sledi da će se u analitičkom obliku logičke funkcije naći samo mintermovi za koje je 1if =


08.05.17


• Prema izloženom sledi postupak:

o Jednačina funkcije zadate tabelarno, formira se tako, što se prvo obrazuju proizvodi (konjukcije) svih binarnih promenljivih u onim vrstama kombinacione tablice za koje je 1if = a zatim se obrazuje

suma (disjunkcija) tih proizvoda. Promenljiva čija je vrednost 1, zapisuje se u afirmaciji ( ix ), a promenljiva čija je vrednost 0, zapisuje

se u negaciji ( ix )

• Dobijeni izraz predstavlja sumu proizvoda ( iy p=∑ ) i naziva se SAVRŠENA

DISJUNKTIVNA NORMALNA FORMA (SDNF) logičke funkcije

1 2 3( , , ,..., )ny f x x x x= .


08.05.17



08.05.17


• Svaka logička funkcija može imati više normalnih formi ali samo jednu SAVRŠENU NORMALNU FORMU

• Svaka funkcija u obliku DNF može se prevesti u SDNF dopunom nepotpunog proizvoda do punog proizvoda (minterma) (nepotpuni proizvod se množi sa (

iix x+ ))


08.05.17


Postupak:

1 3 22 3

1 3 1 2 1 3 2 1 22 1 3 2 1 3 3

1 2 1 3 23 2 1 3

( )

y x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x SDNF

= ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

• SDNF logičke funkcije može se zapisati i u decimalnoj notaciji

o Primer:

1 2 1 3 23 2 1 3

001 010 1011 2 5

y x x x x x x x x x SDNF= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ →

3

(1, 2,5)y =∑


08.05.17


• Na osnovu decimalne notacije logičke funkcije u obliku SDNF može se inverznim postupkom generisati KOMBINACIONA tablica

o Primer: Za funkciju 3

(1, 2,5)y = ∑ , KOMBINACIONA tablica je

i x1 x2 x3 f1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0


08.05.17


• Logička funkcija se može izraziti i u vidu PROIZVODA suma (DISJUNKCIJA) i takav oblik se naziva SAVRŠENA KONJUKTIVNA NORMALNA FORMA (SKNF).

o i iy p f= ⋅∑

o i iy p f= ⋅∑ , primenom De-Morganove teoreme

o ( )i i iiy p f p f= ⋅ = +∑ ∏

o Kako minterm predstavlja puni proizvod onda je

1 2 31 2 3 ... ... nn ipi x x x x x x x x s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + + =

o is se naziva MAKSTERM

o Kako je 1 1is + = i 0i is s+ = , u proizvod ∏ ulaze samo MAKSTERMI

za koje je 0if = , s tim što će one promenljive iz KOMBINACIONE tablice

koje su imale vrednost 0 biti u afirmaciji a one koje su imale vrednost 1 u negaciji.


08.05.17


o Primer: Za funkciju 3

(1, 2,5)y =∑ , zadatu preko SDNF,

KOMBINACIONA tablica je:

i x1 x2 x3 f1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0

Funkcija se može izraziti u SKNF:

2 3 1 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x x x x x x x x x x x x x x x= + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +

o SKNF može se zapisati u decimalnoj notaciji: 3

(0,3, 4,6,7)y ==∏


08.05.17


• Dobijena jednačina je identična sa ranije dobijenom SDNF, iz čega proizilazi da se na osnovu Kombinacione tablice, logička funkcija može izraziti pomoću SDNF ili SKNF, a odabraće se ona jednačina koja sadrži manji broj članova (suma ili proizvoda)

• Isto kao i kod SDNF, pored SKNF postoji KONJUKTIVNA NORMALNA FORMA (KNF), izražena u formi proizvoda suma, pri čemu neka od suma ne sadrži sve nezavisne varijable.

• Neka logička funkcija može imati više KNF a da ne promeni svoju vrednost ali samo jednu SKNF.


08.05.17


4.3. Primeri nekih logičkih funkcija u NORMALNOJ formi

Primer 1. Sabiranje po modulu 2 (EKSKLUZIVNA DISJUNKCIJA): 1 2y x x= ⊕

i x1 x2 f1 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0

Prema pravilima SDNF sledi:

2 11 2 1 2y x x x x x x= ⊕ = ⋅ + ⋅


08.05.17


Primer 2. Funkcija NILI (Pierce, NOR): 1 2y x x= ↓

i x1 x2 f1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0


1 21 2y x x x x= ↓ = ⋅

Primer 3. Funkcija NI (Sheffer, NAND): 1 2/y x x=

i x1 x2 f1 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0

Prema pravilima SKNF sledi:

1 21 2 1 2/y x x x x De Morgan x x= = + = − → ⋅


08.05.17


Primer 2. Funkcija NILI (Pierce, NOR): 1 2y x x= ↓

i x1 x2 f1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0


1 21 2y x x x x= ↓ = ⋅


08.05.17


Korisne adrese:

http://www.williamson-labs.com/480_logic.htm#pos-neg-logic


08.05.17



08.05.17


Korisne adrese:

http://www.vivaxsolutions.com/physics/allogicgates.aspx


08.05.17



08.05.17



08.05.17

Reference

[1] Drndarevic D., Upravljanje procesima – priručnik, Visoka poslovno-tehnička škola, Užice 2015.

[2] Zarić S., Automatizacija proizvodnje, Mašinski fakultet, Beograd, 1987.

[3] http://www.williamson-labs.com/480_logic.htm#pos-neg-logic

[4] http://www.vivaxsolutions.com/physics/allogicgates.aspx


Hvala na PAŽNJI!!!


08.05.17

4. prekidaČka algebra. kanonične forme...Др Милован Миливојевић дипл....

Documents