4. Ángulo de una vuelta: b. por su posiciÓn: 1. Ángulos
TRANSCRIPT
Elementos:
Notación:
Medida:
CLASIFICACIÓN:
A. POR SU MEDIDA:
1. Ángulos Convexos:
Ángulo Agudo
Ángulo Recto
Ángulo Obtuso
2. Ángulo Llano:
3. Ángulo Cóncavo:
4. Ángulo de una vuelta:
B. POR SU POSICIÓN:
1. Ángulos Consecutivos:
2. Ángulos Opuestos por el Vértice:
3. Ángulos Adyacentes:
C. POR SU RELACIÓN:
1. Ángulos Complementarios:
Dos ángulos son complementarios, si la
suma de sus medidas es 90º.
Complemento de
2. Ángulos Suplementarios:
Dos ángulos son suplementarios, si la
suma de sus medidas es 180º.
Suplemento de
Si: 21 L//L es intersecada por la transversal
L .
Ángulos Alternos (iguales)
a) Internos:
b) Externos:
Ángulos correspondientes (iguales)
A
B O
1 2
7
3 4
6
8
5
L1
L2
L
Ángulos conjugados (suplementarios)
1. Internos:
2. Externos:
PROPIEDADES PARTICULARES:
1. Si: 21 L//L
Se cumple:
En general: ( 21 L//L )
Se cumple:
2. Si: 21 L//L
Se cumple:
3. Si: 21 L//L
4.
Se cumple:
EJERCICIOS
1. S: Suplemento:
C: Complemento
º89
º139º50
CCC
SSSC
A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5
2. En la figura mostrada calcular , si: m∢BON =
22º; es bisectriz del ∢A0X y es bisectriz
del ∢A0X.
A) 54° B) 56° C) 55° D) 53° E) 52°
3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,
BOC, COD y DOE.
Si mAOC + mBOD + mCOE = 270° y
además mAOE = 180°, calcula la mDOB. A) 90° B) 80° C) 40° D) 30° E) 20°
4. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y
BOC. Si mBOC = 80°, halla el ángulo que
forman las bisectrices de los ángulos AOB y
AOC.
A) 50° B) 30° C) 40° D) 45° E) 60°
5. En la figura, halla la mCOG, si OC es
bisectriz del ángulo AOF.
A) 60° B) 30° C) 90° D) 45° E) 100°
6. En la figura mostrada, calcule “x”, si:m–n=20°.
A) 45° B) 35° C) 55° D) 20° E) 40°
7. La diferencia entre el suplemento y el
complemento de un ángulo es igual al quíntuplo del suplemento del suplemento del complemento del complemento del ángulo. Hallar dicho ángulo. a) 18° b) 36° c) 9° d) 12° e) 24°
L1
L2
x
L2
L1
L1
L2
x
L1
L2
A
B
C D
E F
G
H O
45°
mº
nº
xº
8. En la figura, = 9 y L1 // L2. Hallar el ángulo
x̂ .
A) 20° B) 36° C) 24° D) 30° E) 18°
9. En la figura mostrada, L1 // L2 y el triángulo
ABC es equilátero, hallar x.
A) 140° B) 180° C) 110° D) 120° E) 300°
10. Si L1 // L2 // L3, calcular “x” si el rayo L4 es
bisectriz del ángulo en el vértice A.
A) 77° B) 26° C) 52° D) 78° E) 42°
11. Hallar el valor de x si 21 // LL
A) 85° B) 75° C) 60° D) 55° E) 50°
12. En la figura, calcule “x”
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
13. Si: // y + = 66º. Calcular el valor de “y”
A) 133° B) 114° C)166° D)11° E) 100°
14. En el gráfico, . Calcule .
A) 300 B) 450 C) 600 D) 250 E) 500
15. Según el grafico, . Calcule x.
A) 450 B) 600 C) 300 D) 360 E) 370
16. En el gráfico, calcule x si la bisectriz del
ángulo ABC es paralela a .
A) 300 B) 150 C) 750 D) 600 E) 900
L1
L2
x
L1
L2
A
B
C
x
100°
L1
L2
L3
L4
A
x
124°
98°
L1
L2
40º
30º x
20º
40º
50º
10º100º
xº
Notación:
ABC se lee: triángulo ABC Elementos: Vértices: Lados: Longitud de sus lados:
m∢ internos:
m∢ externos:
Perímetro :
Semiperímetro :
Clasificación I. Por la Medida de sus Lados
Equilátero Isósceles Escaleno
3 lados 2 lados 3 lado
II. Por la Medida de sus Ángulos
Acutángulo Obtusángulo Es aquel que tiene sus Es aquel que tiene un 3 ángulos internos agudos. ángulo interno obtuso.
(0 < n < 90) (90 < < 180)
PROPIEDADES BÁSICAS
1. Relación de existencia:
2.
3.
4.
Propiedades Particulares
5.
6.
Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo interno recto
a y b : catetos
c: hipotenusa
7.
8.
9. Si: AB = BC El triángulo ABC es equilátero
10. Trazo auxiliar
EJERCICIOS
1. Según el grafico, calcule si los ángulos ACE y BFD son suplementarios.
A) 200 B) 100 C) 150 D) 250 E) 120
2. A partir del gráfico, calcule x.
A) 250 B) 150 C) 100 D) 200 E) 350
3. Calcule x si .
A) 160 B) 180 C) 200 D) 210 E) 250
4. En el gráfico, halle .
A) 100 B) 120 C) 140 D) 150 E) 180
5. Del gráfico, calcule .
A) 500 B) 600 C) 800 D) 1000 E) 700
6. En el gráfico, calcule si .
A) 500 B) 550 C) 600 D) 650 E) 700
7. En el gráfico, . Calcule x.
A) 550 B) 600 C) 700 D) 650 E) 500
8. En el gráfico, el triángulo ABC es
equilátero. Calcule x.
A) 900 B) 1000 C) 1100 D) 1200 E) 1500
9. Calcule x si en el gráfico.
A) 1200 B) 1300 C) 1400 D) 1500 E) 1000
10. Según el grafico, el triángulo ABC es
isósceles de base AC. Calcule x.
A) 260 B) 130 C) 150 D) 140 E) 520
11. A partir del gráfico, calcule 4x si .
A) 1200 B) 1350 C) 1500 D) 900 E) 1000
12. Según el grafico, . Calcule x.
A) 1100 B) 1500 C) 1200 D) 900 E) 1000
13. Según el grafico,
Calcule .
A) 3 B) C) 1,5
D) E)
14. Según el grafico, y . Calcule sí .
A) 220 B) 440 C) 480 D) 600 E) 450
15. Calcule x si en el gráfico.
A) 1200 B) 1300 C) 1400 D) 1500 E) 1000
1. CEVIANA
Es el segmento que une un vértice con cualquier
punto del lado opuesto o de su prolongación.
En el triángulo ABC
BN : ceviana interior relativa a AC
BM : ceviana exterior relativa a AC
BL : ceviana exterior relativa a AC
2. MEDIANA
Es la ceviana que biseca al lado relativo.
En el triángulo ABC
BM : mediana relativa a
AC
Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa:
La mediana relativa a la hipotenusa en un triángulo
rectángulo mide la mitad de dicha hipotenusa.
ABC : BM : mediana relativa a la hipotenusa
Entonces: BM = 2
AC
BARICENTRO:
G : baricentro de la región triangular ABC.
Propiedad: BG = 2(GM) ; AG = 2(GF) ; CG = 2(G
3. BISECTRIZ
Es la ceviana que biseca al ángulo interior o
exterior.
3.1. Bisectriz interior.
En el triángulo ABC
AL : bisectriz interior relativa a BC
INCENTRO:
I : incentro del ABC
Propiedad de la Bisectriz:
Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados de dicho ángulo.
En la figura. OM : bisectriz del AOB
SI: P OM
Entonces: PQ = PR OQ = OR
* Lo recíproco de este problema es cierto.
3.2. Bisectriz exterior.
En el triángulo MQN
QL : bisectriz exterior relativa a MN
Observación: n > m
A
B
C M N L
A
B
C M
A
B
C
L
M N L
Q
T
n m
A
B
C M
A
B
C
I
A
B
M
R
Q
Q
O
a
a
P
m
m
A
B
C
E G
F
a
a
b b
c
c
M
EXCENTRO:
Ea :ex–centro relativo a BC
4. ALTURA
Es la ceviana perpendicular al lado relativo.
En el triángulo ABC
BH : altura relativa a
AC
En el triángulo PQT
QM : altura relativa a
5. RECTA MEDIATRIZ
Es la recta que biseca perpendicularmente a un lado.
En el triángulo ABC
L : recta mediatriz relativa a AC
Propiedad de la Mediatriz:
Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos del segmento.
CIRCUNCENTRO:
321 L,L,L :
mediatrices
O : circuncentro del
ABC
R : circunradio
OBSERVACIONES
1. En un triángulo isósceles se cumple:
- Altura
- Mediana
- Bisectriz
- Mediatriz
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CON LAS
LÍNEAS NOTABLES
1.
2.
3.
4.
A
B
C H
M P T
Q
A
B
C M
L
A B
P
Q
Mediatriz
AP = PB
AQ = QB
A
B
C H
BH
x
A
B
C
x
A
B
C
A
B
C
Ea
A
B
C
R R
R
O L1
L2
L3
Circunferencia circunscrita
EJERCICIOS
1. Del gráfico, calcule x.
A) 120 B) 150 C) 180 D) 210 E) 160
2. Del gráfico, calcule x.
A) 100 B) 300 C) 350 D) 250 E) 150
3. Del gráfico, calcule .
A) 200 B) 300 C) 350 D) 400 E) 450
4. Calcule el valor de x si y
en el gráfico.
A) 1200 B) 1500 C) 1000 D) 1400 E) 1350
5. Calcule el valor de x si
trisecan el ángulo ABE; además; es bisectriz exterior en el triángulo ABC.
A) 150 B) 200 C) 300 D) 450 E) 500
6. Del gráfico, calcule .
A) 300 B) 200 C) 400 D) 100 E) 150
7. Del gráfico, calcule x.
A) 1200 B) 1250 C) 1450 D) 1100 E) 1300
8. Del gráfico, calcule .
A) 2000 B) 1800 C) 1200 D) 1600 E) 1500
9. Según el grafico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule el valor de x.
A) 200 B) 150 C) 100 D) 120 E) 140
10. Del gráfico, calcule x.
A) 100 B) 200 C) 250 D) 400 E) 350
11. En el gráfico, . Calcule x.
A) 200 B) 250 C) 350 D) 300 E) 600
12. Del gráfico, calcule x.
A) 1000 B) 800 C) 900 D) 600 E) 700
13. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior AD y la ceviana interior BE que interseca a dicha bisectriz en P, tal que
. Calcule la medida del ángulo exterior en el vértice B si . A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 800
DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tiene igual forma e igual tamaño. Es decir sus ángulos interiores de igual medida y sus lados opuestos de igual longitud respectivamente.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA
1. A. L. A. (Angulo – Lado – Angulo): Dos triángulos son congruentes cuando tienen un lado de igual medida y sus ángulos adyacentes a dicho lado son iguales.
3. L. A. L. (Lado – Angulo – Lado): Dos
triángulos son congruentes cuando tiene dos lados de igual medida y el ángulo formado por dichos lados son iguales.
3. L. L. L. (Lado – Lado – Lado): Dos
triángulos son congruentes cuando tienen sus lados respectivamente iguales.
APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. TEOREMA DE LA BISECTRIZ: Todo punto situado en la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.
Se cumple: OBPBPA OAy
Problema Aplicativo:
En un triángulo recto en ""B se traza la
bisectriz interior AE tal que: BEEC 53 .
Hallar: Cm .
A) 37º B) 38º C) 39º D) 40º E) 41º 2. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ: Todo punto
situado en la mediatriz de un segmento, equidista de sus extremos.
Se cumple: BCMCAM ABy
Problema Aplicativo:
En la figura, calcular el valor de "" .
A) 20º B) 36º C) 40º D) 30º E) 18º 3.
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS: En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su medida es igual a su mitad.
Se cumple: DEACDE 2ACy //
O
A
P
B
A
B
C M
A
B
C D
E
F
A
D
B
E
C
A
B
C D
E
F
D E A
B
C
3
A
B
C D
E
F
4. TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA DE UN TRIÁNGULO RECTANGULO: En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa.
Se cumple: DBCmCmy 2
AC
BD
TRIÁNGULOS NOTABLES
EJERCICIOS
1. En el gráfico, y los triángulos ABN y BCM son congruentes. Calcule
A) 1000 B) 1200 C) 1800 D) 1500 E) 1350
2. Según el grafico, calcule x.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 6
3. En la figura, AB=BD. Si , calcule x.
A) 600 B) 1000 C) 1200 D) 1400 E) 1100
4. Según el grafico, las regiones sombreadas son congruentes y BC=DE. Calcule x.
A) 600 B) 650 C) 450 D) 550 E) 500
A
B
D C
5. Según el grafico, AE=DC, BC=AD y AM=MC. Calcule x.
A) 100 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350
6. En el gráfico, . Halle la distancia de C a .
A) 13 B) 26 C) 10,5 D) 21 E) 11 7. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si BP=6, calcule AP.
A) 6 B) 12 C)
D) E) 6
8. En el gráfico, . Calcule .
A) 180 B) 300 C) 360 D) 400 E) 150
9. Del gráfico, AM=MC y AN=BC. Calcule .
A) 300 B) 450 C) 600 D) 370 E) 530
10. En el gráfico, AP=PC y BM=MD. Si AC=16, calcule MN.
A) 8 B) 4 C) 12 D) 2 E) 6
11. En el gráfico, . Calcule x.
A) 150 B) 160 C) 53/20 D) 37/20 E) 530
12. En el gráfico, AM=MB, BN=NC y AC=2(QN)=8. Calcule NH.
A) 2 B) C) 3
D) 2 E) 3 13. En la figura, si AB=CD, calcule la medida del ángulo CBD.
A)35° B)10° C)15° D) 20° E) 30°
14. En la gráfica AB = BC = AP. Hallar el valor de x.
a)36° b)37° c)32° d)35° e)38° 15. En la figura: Si AB = BC, AD=CE, m⊀BDE = m⊀BED, entonces la medida del ángulo BAC, es:
a)40° b) 60° c) 55° d)65° e) 70°
DEFINICIÓN: Es un polígono de 4 lados.
Clasificación General
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos
1. Trapezoide Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos
2. Trapecios Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos
Propiedad del Trapecio - Mediana de un trapecio
- Segmento que une los puntos medios de las diagonales
3. Paralelogramos
Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.
EJERCICIOS
1. Del gráfico, calcule x.
A) 850 B) 150 C) 950 D) 300 E) 160
2. En el gráfico, y MBCD es un trapezoide simétrico (MB=BC). Calcule x.
A) 700 B) 500 C) 350 D) 250 E) 600
3. En el trapecio ABCD , BC=4, AB=8, CD=10 y AD=20. Si BP=PM y CQ=QN, calcule PQ.
A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5
4. Si ABCD es un rombo, calcule x.
A) 700 B) 800 C) 600 D) 550 E) 650 5. En el paralelogramo ABCD, BP=3. Calcule AQ.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. En el paralelogramo ABCD, AB=PD. Calcule x.
A) 700 B) 800 C) 600 D) 650 E) 550
7. En el gráfico, ADEF es un romboide y . Si , calcule FP.
A) 16 B) 20 C) 32 D) 25 E) 14
8. En el gráfico, . Halle EF.
A) 7 B) 8 C) 11 D) 13 E) 5
9. En la figura, ABCD es un cuadrilátero convexo, tal que AB = 6cm, BC = 17cm y CD = 21cm. La medida de en cm es:
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
10. En la figura mostrada,
hallar (+++++). a) 720º b) 540º c) 180º d) 270º e) 360º
11. Del gráfico ABCD es un cuadrado,
CD = DE. Calcular 2 A) 10º
B) 30º
C) 45º
D) 50º
E) 60º
12. Del gráfico, calcular x. A) 300 B) 360 C)400 D) 320 E) 660
13. En el trapecio ABCD, calcule el valor
de “x”A
B C
D
4
6
x
A) 16 B) 12 C) 14
D) 15 E) 8
A D
CB
E
3
3
4xx
14. Siendo: ABCD un rectángulo AP = 8u y CT = 5u. Hallar BQ
a) 12u b)9 c)11
d) 13 e) 14
15. Hallar xº. Si: ABCD es un cuadrado y
AMD es equilátero.
a)36º b)30º c)40º
d) 45º e)20º
DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
o
M
H
Q
BA
R
P
TLt
Ls
Elementos: Centro : Radio : Cuerda : Diámetro : Recta secante : Recta tangente : Arco : Flecha o sagita : Teoremas Fundamentales TEOREMA I TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE: Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
T TEOREMA II TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior son congruentes.
L
T O
A
B
P
O
A
Bb
a
C
D
R
S
c
d
Q
P
TEOREMA IV: “TEOREMA DE PONCELET” “ En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos es
igual a la hipotenusa más el doble del radio de la circunferencia inscrita.
a
b
r
TEOREMA V: “TEOREMA DE PITOT” “ En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
se cumple que 2 lados opuestos suman igual que los otros 2”
ca
b
d
TEOREMA VI: “TEOREMA DE STEINER” TEOREMAS SOBRE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1) Ángulo Central
2) Ángulo Inscrito Corolario I: Todos los ángulos inscritos en un mismo
arco tiene igual medida. Corolario II.- Todo ángulo inscrito en una
semicircunferencia es ángulo recto. 3) Ángulo Semi – Inscrito
4) Ángulo Ex-inscrito
5) Ángulo Interior
6) Ángulo Exterior
O
P
T
C
A
T
CASO PARTICULAR TEOREMA DEL ÁNGULO CIRCUNSCRITO Además cumple: Consecuencia : Son iguales
O
O
EJERCICIOS
1. En el gráfico, Calcule x si
.
A) 100 B) 200 C) 80 D) 150 E) 120 2. En el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x.
A) 300 B) 350 C) 250 D) 450 E) 150
3. En el gráfico, A es punto de tangencia.
Si y
calcule
A) 360 B) 380 C) 570 D) 370 E) 450
4. Del gráfico, ABCD es un rombo y es
mediatriz de . Calcule ME.
A) 6 B) 6 C) D) 12 E) 18 5. Según el grafico, A y B son puntos de tangencia, CD=DE y AC=6. Calcule DH.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12
A
B
P
6. En el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x.
A) B) /5 C) /4 D) /2 E) /3 7. En el gráfico, calcule x.
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6 8. En el gráfico, PM=6. Halle NQ.
A) 3 B) 4 C) 12 D) 6 E) 9
9. Según el grafico,
y AB=5. Calcule
A) 370 B) 740 C) 530 D) 1060 E) 900
10. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Calcule x si .
A) 360 B) 350 C) 400 D) 450 E) 500
11. Según el grafico, T es punto de tangencia. Calcule x.
A) B) C) D) E)
12. En el grafico A y B son puntos de tangencia. Calcule x/y.
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 2/3 E) 3/2
13. Según el grafico, calcule .
A) 150 B) 100 C) 300 D) 190 E) 200
14. Según el grafico, T es punto de
tangencia y Calcule x.
A) 300 B) 400 C) 450 D) 350 E) 500
15. En el gráfico, L, M, N, P y Q son puntos
de tangencia y Calcule
A) 1500 B) 2000 C) 2400
D) 2200 E) 3000