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MATEMÁTICAS III
T E R C E R S E M E S T R E
GEOMETRÍA ANALÍTICA
F O R M A C I Ó N B Á S I C A
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA
Mtro. Víctor Mario Gamiño CasillasDIRECCIÓN GENERAL
Mtro. Martín Antonio Yépiz RoblesDIRECCIÓN ACADÉMICA
MATEMÁTICAS III Autores:Erik Morales MercadoLibrada Cárdenas EsquerMaría Elena Conde HernándezMartha Cecilia Palafox DuarteRaúl Amavisca Carlton
Revisión disciplinar:Adán Durazo Armenta
Corrección de estilo:Blanca Andrea Flores Escobedo
Coordinación general:Alfredo Rodríguez León
Supervisión académica:Héctor Manuel Acosta García
Coordinación técnica:Rubisela Morales Gispert
Desarrollo editorial: Grupo de Servicios Gráficos del Centro, S.A. de C.V.
Coordinación editorial: Daniela Carolina López SolisElizabeth Hidalgo MarroquínLuis Ricardo Sánchez Landín
Diseño: Yolanda Yajaira Carrasco Mendoza
Diseño de portada: Daniela Carolina López Solis
Banco de Imágenes: Shutterstock ©
Módulo de AprendizajeCopyright ©, 2020 por el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora.Todos los derechos reservados.Primera Edición 2020. Impreso en México.
DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN EDUCATIVABlvd. Agustín de Vildósa, Sector Sur.Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280.
Contenido: Colegio de Bachilleres del Estado de SonoraISBN: 978-607-730-060-1
Primera edición: 2020
Se terminó la impresión de esta obra en julio del 2020. En los talleres de Grupo de Servicios Gráficos del Centro, S.A. de C.V.Lambda No. 216 • Fraccionamiento Industrial Delta • C.P. 37545 León, Guanajuato, México.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro No. 3681
Diseñado en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de SonoraBlvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, MéxicoLa edición consta de 10,920 ejemplares.Impreso en México/Printed in Mexico
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CURRICULARUBICACIÓN
CAMPODISCIPLINAR:
MATEMÁTICAS
TIEMPOASIGNADO:
80 HRS.
HORAS A LASEMANA:
5CRÉDITOS:
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DATOS DEL ALUMNO
Nombre:
Plantel:
Grupo y turno:
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PRESENTACIÓN
El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, a través de sus docentes, reestructura la forma de sus contenidos curriculares y lo plasma en sus módulos de aprendizaje, para facilitar el desarrollo de competencias. En el caso del componente de Formación para el Trabajo, además de las competencias genéricas, fortalece el sentido de apreciación hacia procesos productivos, porque aunque el bachillerato que te encuentras cursando es general y te prepara para ir a la universidad, es importante el que aprendas un oficio y poseas una actitud positiva para desempeñarlo.
De tal forma que, este módulo de aprendizaje, es una herramienta valiosa porque con su contenido y estructura propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior.
El módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el COBACH te ofrece con la finalidad de garantizar la adecuada transmisión de saberes actualizados, acorde a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios local, nacional e internacional. En cuanto a su estructura, el módulo se encuentra organizado en bloques de aprendizaje y secuencias didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: inicio, desarrollo y cierre.
En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo. Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.
En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma individual, grupal o equipos.
Para el desarrollo de tus actividades deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de campo, etcétera; así como realizar actividades prácticas de forma individual o en equipo.
La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa cuando el docente lo indique, de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo.
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Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: conceptual, procedimental y actitudinal, con el propósito de que apoyado por tu maestro, mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje.
Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e integración del grupo.
Finalmente, se destaca que, en este modelo, tu principal contribución es que adoptes un rol activo y participativo para la construcción de tu propio conocimiento y el desarrollo de tus competencias, a través de lo que podrás dar la respuesta y la contextualización adecuadas para resolver los problemas del entorno a los que te enfrentes, ya sean personales o profesionales.
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ICONOGRAFÍA
Se trata de la evaluación que se realizará al inicio de cada secuencia didáctica y que te permitirá estar consciente de tus conocimientos acerca del tema que abordarás.
Con estos gráficos identificarás la Actividad dentro del texto, incluyendo la indicación y especificando si deben realizarse de manera individual, en equipo o grupal.
Individual
Equipo
Grupal
Las lecciones Construye-T son actividades didácticas diseñadas por la Secretaría de Educación Pública y el Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo especialmente para la Educación Media Superior, con el objetivo de desarrollar las habilidades socioemocionales de las y los estudiantes.
Te permitirá integrar y hacer activos los conocimientos, habilidades, destrezas, actitudes y valores desarrollados en diferentes áreas, así como de la experiencia recopilada, te ayudará a vincular el conocimiento del aula con la vida cotidiana, con lo cual fortalecerás tu aprendizaje.
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Son los criterios a considerarse como guía para saber qué debe contener un trabajo y lo que determinará la evaluación de los mismos.
En este espacio realizarás una evaluación de tu propio trabajo, misma que deberá ser honesta para que puedas identificar los conocimientos que has adquirido y las habilidades que has desarrollado, así como las áreas que necesitas reforzar.
Este tipo de evaluación se hace con uno o varios de tus compañeros, en ella, tú los evalúas y ellos a ti. Les permite, además de valorar sus aprendizajes, colaborar y aprender unos de otros.
Son las fuentes bibliográficas que utilizaron los docentes que elaboraron el módulo de aprendizaje, las páginas de internet de las cuales se tomó información, los vídeos y otras fuentes que nutrieron los contenidos. Te permite también ampliar la información que te proporcione tu profesor o la del módulo mismo.
Palabras que pudieras desconocer su significado. Te será de utilidad para conocer nuevos conceptos, ampliar tu vocabulario y comprender mejor las lecturas.
Durante el semestre, tu profesor te irá indicando qué evidencias (actividades) debes ir resguardando para integrarlos en un portafolio, mismos que le entregarás cuando te lo indique, a través del cual te evaluará.
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UBICACIÓN CURRICULAR .......................................................................................................................
PRESENTACIÓN ......................................................................................................................................
ICONOGRAFÍA ........................................................................................................................................
COMPETENCIAS GENÉRICAS ..................................................................................................................
APRENDIZAJE CLAVE ..............................................................................................................................
Secuencia didáctica 1. Lugar geométrico de líneas rectas y curvas ........................................................ Lugares geométricos .................................................................................................................
Secuencia didáctica 2. Algunas propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. .............................. Distancia entre dos puntos ........................................................................................................ Perímetro y área de polígonos .................................................................................................. Punto de división de un segmento de recta...............................................................................
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1625
34364144
14 Lugares geométricos en el plano....................................
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Secuencia didáctica 1. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta ...............................................
Secuencia didáctica 2. Definición, elementos y distintas ecuaciones de la recta..................................... Forma punto-pendiente ....................................................................................................................... Forma pendiente-ordenada al origen ....................................................................................... Forma simétrica .......................................................................................................................
Secuencia didáctica 3. Rectas paralelas y perpendiculares ......................................................
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76808385
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62Aplicas los elementos de una recta y sus distintas formas de ecuación..........................................................
ÍNDICE
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Secuencia didáctica 1. Lugar geométrico de la circunferencia ............................................................... Estudio de las cónicas ................................................................................................................ Ecuaciones de la circunferencia ................................................................................................ Secuencia didáctica 2. Forma ordinaria con centro en el origen y fuera de él........................................ Circunferencia con centro en el origen ...................................................................................... Circunferencia con centro fuera del origen ...............................................................................
Secuencia didáctica 3. Forma general de la ecuación de la circunferencia .............................................
108108112
116116118
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Secuencia didáctica 1. Lugar geométrico de la elipse ........................................................................... Aplicaciones de la elipse ...........................................................................................................
Secuencia didáctica 2. Ecuaciones de la elipse ..................................................................................... Ecuación canónica de la elipse .................................................................................................. Ecuación ordinaria de la elipse con centro fuera del origen ...................................................... Ecuación general de la elipse .....................................................................................................
Secuencia didáctica 1. Lugar geométrico de la parábola ....................................................................... Definición, elementos y trazado de la parábola ........................................................................ Los elementos de la parábola ....................................................................................................
Secuencia didáctica 2. Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en y fuera del origen........................................................................
Referencias.............................................................................................................................................
142148
152155164170
192195196
110
232
106
140
190
Circunferencia ................................................................
Elipse .............................................................................
La parábola ....................................................................
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GENÉRICASCOMPETENCIAS
Clave Competencias genéricas 1er Parcial
2do Parcial
3er Parcial
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CG1.1
Se auto determina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.
CG1.2 1.2 Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase.
CG1.3 1.3 Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida.
CG1.4 1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. CG1.5 1.5 Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.
CG1.6 1.6 Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas.
CG2.1 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.
CG2.2 2.2 Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad.
CG2.3 2.3 Participa en prácticas relacionadas con el arte.
CG3.1 3. Elige y practica estilos de vida saludables.
3.1 Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social.
CG3.2 3.2 Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo.
CG3.3 3.3 Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.
CG4.1
Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
X X X
CG4.2 4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.
CG4.3 4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.
CG4.4 4.4 Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas.
CG4.5 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. X
CG5.1
Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
X X X
CG5.2 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
CG5.3 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.
CG5.4 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
CG5.5 5.5 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas.
CG5.6 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. X
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Clave Competencias genéricas 1er Parcial
2do Parcial
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CG6.1 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
CG6.2 6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.
CG6.3 6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.
CG6.4 6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.
CG7.1 Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.
CG7.2 7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
CG7.3 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. X X
CG8.1 Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
X X
CG8.2 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. X X
CG8.3 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. X
CG9.1 Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
9.1 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.
CG9.2 9.2 Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad.
CG9.3 9.3 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos.
CG9.4 9.4 Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad.
CG9.5 9.5 Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado.
CG9.6 9.6 Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente.
CG10.1
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
10.1 Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación.
CG10.2 10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.
CG10.3 10.3 Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.
CG11.1 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
11.1 Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional.
CG11.2 11.2 Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente.
CG11.3 11.3 Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente.
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DISCIPLINARESBÁSICAS
COMPETENCIAS
Clave Competencias disciplinares básicas de Matemáticas 1er Parcial
2do Parcial
3er Parcial
CDBM 1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
X X X
CDBM 2 Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. . X X X
CDBM 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
CDBM 4 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
X X
CDBM 5 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
CDBM 6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. X X
CDBM 7 Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
CDBM 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. X X X
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CLAVEAPRENDIZAJE
EJE COMPONENTE CONTENIDO CENTRAL BLOQUE
Lugares geométricos y
sistemas de referencia. Del pensamiento
geométrico al analítico.
Sistema de referencia y localización: Elementos de Geometría analítica.
La Geometría analítica como método algebraico para la resolución de tareas geométricas.
I II III IV V
Conceptos básicos del sistema de coordenadas rectangulares, orientación y posición en el plano.
Reconocimiento y construcción de los lugares geométricos: recta, circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.Tratamiento visual y representaciones múltiples de los lugares geométricos: coordenadas rectangulares y paramétricas, puntos singulares, raíces y comportamiento asintótico.
Interdisciplinariedad Ejes Transversales
Biología IFísica I
Eje Trasversal Social. Eje Trasversal de la Salud.Eje Trasversal Ambiental.Eje Trasversal de Habilidades Lectoras.
Dosificación por parcial
Parcial I Parcial II Parcial III
Bloque I y Bloque II Bloque II, Bloque III y Bloque IV Bloques IV y V
BLOQUE I
Lugares geométricos en el plano
CONOCIMIENTOS ● Lugar geométrico de líneas rectas y curvas.
• Sistemas de coordenadas rectangulares. • Segmentosrectilíneos.• Distancia entre dos puntos. • División de un segmento en una razón dada.• Perímetrosyáreasdefigurasenelplano.
PROPÓSITO DEL BLOQUE ● Ejemplifica lugares geométricos a través de cálculo de perímetros y áreas dentro del plano,favoreciendo la comprensión y reflexión para interpretar su entorno espacial en situacionescotidianas.
HABILIDADES ● Identificalascaracterísticasdelosdiferenteslugaresgeométricosenelplano. ● Estimaladistanciaentredospuntosutilizandosegmentosrectilíneos. ● Representagráficamentelascoordenadasdelpuntomedioyunarazóndadasobreun segmentorectilíneo.
● Analiza diferentes estrategias para el cálculo de perímetros y áreas en el plano. Selecciona diferentes maneras para localizar puntos en el plano.
ACTITUDES ● Privilegia el diálogo para la construcción de nuevos conocimientos. ● Serelacionaconsussemejantesdeformacolaborativamostrandodisposiciónaltrabajometódico
y organizado. ● Aportaideasenlasolucióndeproblemaspromoviendosucreatividad.
APRENDIZAJES ESPERADOS ● UsalosconceptosbásicosdelaGeometríaAnalítica,promoviendoelpensamientoreflexivoylógicocomo una nueva forma de interpretar su entorno espacial; contribuyendo a la construcción denuevosconocimientosqueapliqueensuvidacotidiana.
● Emplea el cálculo de perímetros y áreas en el plano cartesiano para resolver creativamente,problemáticasdesucontexto.
Horas asignadas: 10 horas.
COMPETENCIA GENÉRICA
● CG4.1 ● CG5.1 ● CG5.6
● CG8.1 ● CG8.3
● CDBM1 ● CDBM2 ● CDBM8
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICASDE MATEMÁTICAS
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Secuencia didáctica 1 Lugar geométrico de líneas rectas y curvas
Lee detenidamente los planteamientos y reflexiona sobre el procedimiento que te permita obtener las soluciones. Haz tu mejor esfuerzo para responder y descubre aquellos aspectos que no conoces o dominas para enfocar tu estudio. Subraya la respuesta correcta, realiza tu trabajo con orden y limpieza.
1. Relaciona ambas columnas.
1. Es un número entero. a) √3
2. Es un número racional. b) 43. Es un número natural. c) 5
2
4. Es un número irracional. d) √9
A) 1b, 2d, 3c, 4aB) 1d, 2c, 3b, 4aC) 1b, 2a, 3d, 4cD) 1a, 2d, 3b, 4d
2. Efectúa la siguiente operación: 8 12 + 18 26=
A) 12B) 4C) 12D) 48
3. Determina el resultado de la diferencia: 512 7
16 =
A) 4148
B) 248
C) 148
D) 148
4. Realiza la siguiente operación: 5( 6) 6 ( 4)=A) 6B) 6C) 54D) 54
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5. Si x= 5 e y = 4, ¿qué valor tiene la expresión 2x2 5y + 22?A) 8B) 92C) 48D) 52
6. ¿Cuáles son los valores de x e y que satisfacen la ecuación 2x+3y=4?
A) x=3, y= 2B) x=5, y= 5C) x=5, y= 2D) x=4, y= 4
7. ¿Cuáles son las coordenadas que tiene el punto que se muestra en la figura?
A) ( 3,4)B) (3,4)C) ( 3, 4)D) (3, 4)
8. ¿Cómo varía y con respecto a x?
A) Cuando x disminuye 1, y disminuye -4.B) Cuando x aumenta 1, y disminuye 4.C) Cuando x disminuye 1, y aumenta 4.D) Cuando x aumenta 1, y aumenta 4.
9. Indica que tipo de triángulo es el que se forma con los puntos BEG
A) Equilátero.B) Isósceles.C) Rectángulo.D) Escaleno.
10.Ubicando los puntos del plano cartesiano del reactivo anterior, elige el enunciado que es verdadero.
A) Los puntos B, D y G están el primer cuadrante.B) Los puntos A, B y C están el segundo cuadrante.C) El punto F está en el segundo cuadrante.D) Los puntos B y C están en los ejes coordenados.
y
x
yy = 4x
x0
0-1
-1
-2
1
1
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2
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3
4
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yA
B
C
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F
G
D
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Probablemente alguna vez en tu vida habrás observado, o mejor aún, te habrás paseado en una rueda de la fortuna que, con toda seguridad hay en cualquiera de las ferias de la ciudad. Cuentan algunos que recibe su nombre “rueda de la fortuna” porque da vueltas y vueltas y no sabes dónde vas a quedar, al igual que la fortuna, no sabes con quién se queda o quién se la gana.
Más aún, si observas a tu alrededor te podrás dar cuenta que en tu vida cotidiana están presentes las figuras geométricas, como por ejemplo, al subir o bajar escaleras se podrá apreciar una recta, al asistir a una feria, en la trayectoria que sigue la rueda de la fortuna podrás visualizar una circunferencia, en un partido de basquetbol al lanzar el balón a la canasta se podría ver que la trayectoria modela una curva parabólica y que el recorrido del movimiento de los planetas en el sistema solar toma la forma de una elipse. Todos estos objetos matemáticos serán con los que estaremos trabajando en este módulo.
Por otra parte, una situación con la que nos enfrentamos en nuestra vida cotidiana es el de ubicarnos en el espacio, tan simple como cuando se desea asistir a una fiesta que se requiere de la dirección del lugar para encontrarlo, es decir, describir la ubicación en la que se encuentra un objeto en la tierra o en el espacio, su trayectoria o su dirección, entre otros ha sido un problema que se ha abordado de distintas formas de acuerdo con las condiciones en las que se encuentra el objeto. Por ejemplo, para guiarse durante el vuelo, las aeronaves disponen de sistemas electrónicos que ubican su posición con relación a un sistema de referencia basado en las coordenadas geográficas –latitud y longitud- velocidad y del sitio donde viajan. En los radares la posición del avión se representa en cada momento como un punto, y durante su movimiento, éste describe una línea, una curva o trayectoria en el espacio; por lo que en este contexto se está hablando de la necesidad de tener un sistema de referencia.
De tal manera, que si miras a tu alrededor, son muchas las cosas y sucesos que puedes observar y que en la mayoría de ellos se presentan patrones de comportamiento, y a través del tiempo esto siempre ha sido así. Los seres humanos en un intento por describir dicha realidad y poder interpretarla han utilizado distintas formas de modelarla, es decir, de representarla utilizando herramientas matemáticas.
Entonces, la idea básica de la Geometría Analítica consiste en analizar algebraicamente algunas figuras geométricas planas como: la recta, circunferencia, elipse y parábola; sus propiedades y elementos mediante un sistema de coordenadas, denominado sistema rectangular o cartesiano en honor a René Descartes (1596-1650) filósofo, matemático y físico francés autor del libro Discurso del Método, que en su última parte incluía a la Geometría Analítica.
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En tu cuaderno, proporcionar cinco ejemplos de tu entorno, contexto real o de tu vida cotidiana en donde se encuentren presentes la Línea Recta, Circunferencia, Elipse o Parábola. También describe cinco situaciones cotidianas o de contexto real donde hayas ocupado un sistema de referencia para ubicarte.
1
En matemáticas se utilizan distintos sistemas de referencia para ubicar puntos en el espacio o bien en el plano. Un ejemplo claro de éste último son los planos o mapas de pueblos, ciudades o estados, donde los referentes son indispensables para localizar un lugar, objeto o persona con cierta precisión. Algunos de estos sistemas son:
1. La rosa de los vientos: indica la dirección de los cuatro puntos cardinales. Por lo general el norte de la rosa de los vientos coincide con la orientación al norte de los mapas.
2. Escala: establece la proporción entre longitudes reales y las que se muestran en el mapa.
3. Orientación al Norte: por lo regular los mapas hacen coincidir el Norte con la parte superior de la página en la que se imprime. Este elemento está de más cuando la rosa de los vientos aparece indicando el norte del mapa.
4. Sistemas de coordenadas: se utilizan para ubicar puntos en el plano o espacio a través de parejas o ternas ordenadas.
Sistemas de coordenadas
Existen varios tipos de sistemas de coordenadas:
Sistema de coordenadas celestes Sistema de coordenadas geográficas Sistema de coordenadas polares
Sistema de coordenadas espaciales Sistema de coordenadas rectangulares
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Éste último, el sistema de coordenadas rectangulares llamado plano cartesiano es el que estudiaremos durante este curso. En nuestra realidad, se puede visualizar este sistema de referencia en la siguiente imagen.
El sistema de coordenadas rectangulares o plano cartesiano se conforma de dos rectas perpendiculares que se intersectan en un punto llamado origen, formando cuatro cuadrantes que se enlistan o enumeran en sentido contrario a las manecillas del reloj. A la recta horizontal se le conoce como eje x, también nombrado eje de las abscisas, los valores positivos de este eje se encuentran a la derecha del origen y los negativos a la izquierda. A la recta vertical se le conoce como eje y, también nombrado eje de las ordenadas, los valores positivos de este eje se encuentran arriba del origen, mientras que los valores negativos están hacia abajo del origen. De esta manera se establecen los signos en cada cuadrante como se observa en el siguiente gráfico.
Para ubicar un punto en el plano cartesiano se utilizan un par de números que llamaremos coordenadas las cuales están asignadas en un par ordenado P(x,y). La letra mayúscula P refiere al nombre del punto, el par de números se dice ordenado porque siempre se escribe primero el valor de la abscisa x seguido del valor de la ordenada y.
Para localizar un punto en el plano debemos considerar la pareja de números del par ordenado. En primer lugar se identifica el valor que representa la abscisa y se localiza en el eje x, luego se identifica el valor que representa la ordenada y se localiza en el eje y. Por cada uno de estos números se trazan líneas perpendiculares a los ejes; la intersección de estas rectas es el punto que se desea localizar.
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Por ejemplo para ubicar en el plano cartesiano el punto Q(-3,4) hacemos lo siguiente:
1. Ubicamos sobre el eje x el valor de -3.
2. Ubicamos sobre el eje y el valor de 4.
3. Traza segmentos de rectas auxiliares perpendiculares a los ejes de tal manera que éstos se crucen.
4. El punto de intersección de las rectas es el punto Q que se quiere ubicar.
Como ejemplo, localicemos entonces algunos puntos en el plano cartesiano sin necesidad de hacer evidente el uso de segmentos de rectas auxiliares, valiéndonos entonces de la cuadrícula del plano cartesiano.
00
-1
-1-2-3x
y1
1
00-1
-1-2-3
x
y
1
2
3
4
1
00-1
-1-2-3-4x
y
1
2
3
4
5
1
00-1
-1-2-3-4x
y
1
2
3
4
5
1
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00
-1
-2
-3
-1-2-3x
yQ = (-2,5)
U= (-1,.5)
T = (0.5,2) P= (3,2)
S = (2,0)
R = (0,-3)
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano.
a) P(3,2)
b) Q(-2,5)
c) R(0,-3)
d) S(2,0)
e) T( 12
, 2)
f) U(-1, 32
)
Sabías que...
Conocer las coordenadas en un plano cartesiano te permite trazar la trayectoria que existe desde tu ubicación hasta cierto lugar. Para posteriormente hacer el cálculo de distancias.
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De manera individual realiza en tu cuaderno la siguiente actividad.
1. Del plano cartesiano que se presenta escribe las coordenadas de cada uno de los puntos que se tiene para formar el gato.
2. Proporcionar los puntos que indican la ubicación en el mapa de los siguientes países:
2
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Gato
Australia:____________________________ Brasil: ______________________________Canadá: _____________________________ Estados Unidos: ______________________
México: _____________________________ Rusia: ______________________________Sudáfrica: ___________________________ India: ______________________________
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3. Dibuja en tu cuaderno un plano cartesiano con regla y describiendo en él perfectamente la escala a utilizar, etiqueta los ejes y ubica los siguientes puntos.
P(6, 2),Q( 5,3),R(0, 12 ),S( 8
3 ,4),T(π,0),U(1, 2 ),V(0,5),W( 2, 3)
4. En la siguiente tabla clasifica según su cuadrante o posición a los puntos que se presentan en el plano e indica el signo que tiene la abscisa y la ordenada de cada pareja coordenada. Por ejemplo el puto M(-5,7) está en el segundo cuadrante y el signo de x es – y el signo de y es +.
00
-1
-2
-3
-1-2-3-4x
y
D
B
H
F
J
A
E
G
C
I
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6
Ubicación PuntosSigno
x y
Cuadrante I
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante IV
Sin Cuadrante
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Lugares Geométricos
Cuando un objeto está en movimiento va describiendo una trayectoria, como en el caso del avión por ejemplo; la trayectoria puede ser descrita en el espacio (tres dimensiones o tercera dimensión) o en el plano (dos dimensiones). En matemáticas se utilizan distintos sistemas de referencia para ubicar puntos en el plano o en el espacio. Las trayectorias que dibujan los objetos en movimiento pueden ser descritas a través de curvas, figuras o superficies que describen al moverse bajo ciertas condiciones. A dichas curvas, figuras o superficies se les conocen como lugares geométricos. En otras palabras, son un conjunto de puntos en un sistema coordenado que presentan alguna característica o cumplen alguna propiedad.
Si por medio de algún simulador se tuviera la forma de dibujar dichas trayectorias algunas de ellas se verían de la siguiente manera:
Trayectoria parabólica Trayectoria elíptica
Trayectoria circular Trayectoria lineal
Cada una de las trayectorias dibujadas por los objetos en movimiento son lugares geométricos que pueden ser considerados en un plano cartesiano considerando el sistema de referencia del mismo dentro del plano, es decir, aclarando dónde se ubica el origen del plano dentro del lugar geométrico que describe la trayectoria del objeto. Todas esas curvas se componen de una infinidad de puntos que cumplen con ciertas condiciones o características en común para que dichos puntos estén sobre la curva.
Por ejemplo, si lanzamos una pelota sobre una barda, ésta describe la trayectoria que se muestra en el dibujo, sería equivalente a decir que existe como lugar geométrico, una recta paralela al eje x o eje de las abscisas que corta al eje y en la ordenada 3. ¿Qué puntos cumplen con tales condiciones?
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0
1
-1
2
3
4
5
x
y
6
0-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
Observa dónde está posicionado nuestro sistema de referencia, esto es, dónde está el origen del plano cartesiano; éste se encuentra en la base de la barda. A partir del origen son muchas las rectas que podemos trazar que cumplen con la condición de que sean paralelas al eje x. Pero sólo una de ellas va a cortar al eje y en el valor de 3, que es la altura a la que se encuentra la pelota sobre la barda, como se observa en la siguiente Figura.
Como te darás cuenta la recta paralela al eje x que corta al eje y en el valor de 3 es la recta azul. ¿Cuáles son las parejas de números que están sobre dicha recta? Una pareja de valores es (1,3), o (2,3),(3,3),(4,3),(5,3), pero también pueden ser aquellas parejas de valores con coordenadas con números decimales como (0.1,3),(0.2,3),(0.3,3),(1.1,3), etc. Si observas entonces son una cantidad infinita de parejas ordenadas que cumplen con las condiciones establecidas para estar sobre la recta en cuestión. ¿Qué tienen en común tales parejas ordenadas? Si observas bien, las parejas tienen en común la ordenada 3, es decir, que el valor de y es 3, mientras que el valor de x está cambiando. Esto quiere decir que todos los puntos que estén sobre dicha recta, que cumplen con las condiciones establecidas (paralela al eje x y que corte a y en 3) tienen precisamente la misma ordenada.
Cambiemos ahora las condiciones, ¿cuál es el lugar geométrico que describe una persona al bajar de un poste? (Como se observa en el dibujo).
De acuerdo al sistema de referencia presentado en el dibujo, el lugar geométrico descrito por la trayectoria de movimiento de la persona, es equivalente a una recta paralela al eje y que corta al eje x en 2.
Pensando de la misma manera que en el caso anterior, son muchas las rectas que son paralelas al eje y , pero sólo una corta al eje x en la abscisa de 2 como se puede ver en el siguiente gráfico.
0
1
-1
1
2
3
4
5
6yy
x0 1 2 3 4 5 6
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Nuevamente la recta que cumple con ambas condiciones es la recta azul. Recta paralela al eje y y que corta al eje x en -2; formada por todas las parejas ordenadas cuya abscisa está fija en -2 y el valor de y es el que está cambiando. Por ejemplo: (-2,1),(-2,2),(-2,3),(-2,4),(-2,0.1),(-2,0.2),(-2,1.1),(-2,1.2) son algunos de los puntos que están sobre la recta y que por tanto cumplen con las condiciones dadas.
Ahora, consideremos la trayectoria que dibuja un avión en su despegue durante los primeros 3 segundos, de tal manera que describe el lugar geométrico cuyos puntos satisfacen la condición de que la ordenada sea el doble del valor que tome la abscisa x.
Rápidamente grafiquemos un plano cartesiano y pensemos en qué parejas ordenadas cumplen con tal condición. Para ello, consideremos el valor de la abscisa igual a 1, es decir, x=1. Ya que la condición es que la ordenada sea el doble de la abscisa, entonces y=2, teniendo de esta manera la pareja ordenada (1,2). Otra pareja que cumple con la condición es aquella cuya abscisa es igual a 2, entonces la ordenada es 4, esto es, se tiene la pareja (2,4). De la misma manera la pareja ordenada (3,6) cumple con la condición, en otras palabras se observa que la ordenada siempre es el doble de la abscisa como puede constatarse en el gráfico.
1
-1
-2
2
3
4
5
x
y
6
00
-2 -1 1 2 3 4 5 6
Pero obviamente esta condición también se cumple para parejas ordenadas con números decimales o fracción como (1/2,1),(3/2,3),(1.8,3.6),(0.1,0.2),(0.9,1.8), etc. Todos ellos son puntos que cumplen con la condición establecida y que por tanto están sobre la recta. Nótese que sólo se están considerando valores positivos para x ya que representa el tiempo de los 3 segundos.
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Ahora considerar una rueda de la fortuna y observe que todas las canastas en cuyo interior viajan las personas se encuentran a la misma distancia de un punto fijo que se sitúa en el centro, tal como se muestra en la imagen.
Si situáramos la rueda de la fortuna en un plano cartesiano de tal manera que su centro coincida con el origen del plano se obtendrá la siguiente gráfica.
1-4 2-3 3-2 4-1 0
1
-4
2
-3
3
-2
4
-1
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De tal manera que se puede suponer que las canastas se encuentran a una distancia de 3 unidades del centro de la rueda de la fortuna y entonces estas se pueden colocar en los puntos (3,0),(-3,0),(0,3),(0,-3) que son los que se observa a simple vista, pero estos no son los únicos puntos ya que se pueden colocar en cualquier dirección entonces esto nos llevan a observar que al elevarlos al cuadrado sus sumas serán igual a 9 y otros parejas ordenadas que cumplen esta característica se obtienen al moverse una unidad hacia la derecha, izquierda, arriba y abajo, siendo (1, 8 ),(1, 8 ),( 1, 8 ),( 1, 8 ), también ( 8,1),( 8, 1),( 8,1),( 8, 1), entre otros.
En general, se puede decir que si ponemos condiciones o características para cierto comportamiento y estas las llevamos a un sistema coordenado (plano cartesiano), se estarán obteniendo puntos que se representan a través de parejas ordenadas las cuales nos estarán mostrando algún lugar geométrico.
Si se proporciona otra condición, característica o propiedad para que cumplan las parejas ordenadas, se va a obtener un lugar geométrico distinto cada vez que cambie esta condición y eso lo va a descubrir con la siguiente actividad donde se estarán presentando diferentes condiciones para descubrir el lugar geométrico que representan y de ser posible también su representación algebraica que es lenguaje de las matemáticas.
Es importante mencionar que lo que se busca es encontrar patrones en los pares ordenados y esto permita generalizar el comportamiento o propiedad de dichos lugares geométricos.
“Para saber más” puedes consultar el video
Lugar Geométrico
https://youtu.be/954jkmsM_78
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Realizar en su cuaderno de manera individual los siguientes cuestionamientos, haciendo para cada ejercicio un plano cartesiano con regla, escala adecuada y etiquetando los ejes coordenados.
A continuación se te proporcionarán condiciones o propiedades que cumplen ciertos puntos para identificar el lugar geométrico que se forma.
I. “El conjunto de los puntos donde la abscisa es igual a la ordenada”.
1. Proporciona 5 parejas coordenadas que satisfacen dicha condición.2. Ubicar en el plano cartesiano los mencionados puntos y unirlos.3. ¿Qué tienen en común tales puntos?4. Con respecto a las condiciones dadas, ¿qué puedes decir de los puntos
P ( 12 , 1
2 ), Q (π,π) y R (4,4)?5. ¿Qué lugar geométrico se forma con los puntos que cumplen la condición mencionada?6. ¿Cuál es la expresión algebraica que describe los puntos?
II. Grafique en un plano cartesiano cada uno de los siguientes puntos:A(1,1), B(-1,-5), C(2,4), D(0,-2), E(3,7)
1. Escribe otros cinco puntos que cumplan con la misma característica o condición. (Recuerden que también pueden ser puntos cuyas coordenadas sean con números decimales).
2. Trazarlos sobre el mismo plano y uniendo todos estos 10 puntos.3. Describan la característica o condición que tienen en común los puntos.4. Proporcionar una expresión algebraica de dichos puntos.
III. Indicar las coordenadas de tres puntos P, Q y R de tal manera que sean Colineales.
1. Ubicarlos en un plano cartesiano y trazar la recta.2. Proporciona la condición, característica o propiedad que cumplen.3. ¿Cuál es la expresión algebraica de este lugar geométrico?
3
Usando TIC’s
Haciendo uso de la hoja de cálculo Excel, elabora una tabla con valores para la variable "x", que calcule de manera automática los valores de "y", y elabore la gráfica correspondiente que describa el lugar geomé-trico descrito.
Sabías que...
Dos o más puntos se dicen ser Colineales si están sobre la misma recta.
1.- El lugar de donde eres.Página: 58
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En resumen, para ubicarte en el plano cartesiano tienes que tomar en cuenta todos y cada uno de los elementos que lo componen, así como las condiciones que rigen la escritura y ubicación de los puntos en el plano.
Recuerda que existen varios tipos de sistemas de coordenadas, y que en particular hoy estudiaste el sistema de coordenadas rectangulares. Para que practiques y refuerces tus conocimientos es preciso que midas tus logros con la siguiente actividad.
1. Responde a cada uno de los cuestionamientos que se plantean con base a la definición de plano cartesiano.
a) El eje horizontal o eje de las x recibe el nombre de _______________________________.b) El eje vertical o eje de las y recibe el nombre de _________________________________.c) Al punto cuyas coordenadas son (0,0) se le llama ________________________________.d) El primer valor en un par ordenado corresponde a la ________ y el segundo a la _______.e) El plano cartesiano tiene _____ cuadrantes que se enlistan o enumeran en sentido
__________________ a las manecillas del reloj.f) Las rectas que forman el plano cartesiano, ¿son paralelas o perpendiculares?
_________________________________ ¿Por qué? _______________________________.
2. Escribe las coordenadas de cada uno de los vértices de la siguiente flor.
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3. Sobre el siguiente plano dibuja un sistema de coordenadas rectangulares cuyo origen se encuentre sobre el cruce de las calles Mayo y Chihuahua.
a) Escribe qué lugares descritos en el mapa quedaron en el cuadrante I.b) ¿En qué cuadrante se sitúa el banco BBVA?c) A partir del punto de origen, describe la trayectoria para llegar al hotel Fiesta Inn. (Para ello utiliza
la rosa de los vientos).
Realizar en el cuaderno un plano cartesiano usando regla, escala adecuada y etiquetando los ejes para cada uno de los siguientes reactivos. Nótese que es un plano cartesiano por cada ejercicio.
4. Localiza en el sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos que se presentan: A(3,0), B( 4,2), C(3, 3), D(0, 1), E( 2, 4), F(5,3), G( 2,0) y H(0,4).
5. Clasifica en qué cuadrante está cada uno de los puntos del problema anterior y realiza una tabla con mencionada información.
6. En el plano cartesiano dibuja y escribe las coordenadas de por lo menos 5 puntos que estén sobre el eje y.
7. Traza sobre el plano anterior la recta que satisface la condición “de que todos los puntos estén sobre el eje y”. Explica qué característica tienen en común dichos puntos.
8. Traza sobre el plano cartesiano la recta que satisface la condición “de que todos los puntos estén sobre el eje x”, y explica qué característica tienen en común dichos puntos.
9. Sobre el plano cartesiano traza todos los puntos que están sobre una recta paralela al eje x y que corte al eje y en 1.
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10. Sobre el plano traza todos los puntos que cumplen con la condición de que la ordenada es el triple de la abscisa menos 1.
11. En el plano anterior y con otro color, traza todos los puntos que cumplen con la condición de que el valor de la abscisa es la mitad del que tiene la ordenada, aumentado en 2.
12. Igualmente en el plano anterior y con un nuevo color, traza todos los puntos que cumplen con la condición de que todos los puntos de la trayectoria están a una distancia de 3 unidades del origen.
13. Dibuja e identifica cada lugar geométrico a partir de las descripciones.
a) Los puntos del plano tales que x+y=0.
b) Los puntos del plano cuya ordenada es el cuádruple de la abscisa.
c) El conjunto de los puntos que se encuentran a 5 unidades de distancia.
d) El conjunto de puntos que satisfacen la ecuación x2+y2=4.
e) El conjunto de puntos cuya ordenada es el cuadrado de la abscisa más uno.
14. Describe con palabras y lenguaje algebraico, los lugares geométricos mostrados.
X0 1
1
2
-1
2
Y
X1 20
-1
1
-1-2
-2
2Y
a) b) c)
00
-1
2 3
1
2
3
1
Y
X
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Secuencia Didáctica 2Algunas propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Actualmente con el avance de la tecnología, resulta muy sencillo proporcionar tu ubicación en la superficie terrestre. Esto se logra con el Sistema de Posicionamiento Global, más conocido con las siglas GPS (Global Positioning System), que permite determinar la posición de un objeto, persona, vehículo o nave en cualquier parte del mundo, con un margen de error de pocos centímetros. Solamente es cuestión que desde un teléfono celular actives la ubicación e inmediatamente aparece un mapa de la región en la que se encuentra, marcando en rojo la ubicación del mismo. A pesar de que la ubicación que proporciona el GPS es en el globo terráqueo (en tres dimensiones) y en coordenadas geográficas (longitud, latitud), al compartir tu ubicación con alguien más, lo que proporciona es una sección del plano de la ubicación (dos dimensiones), como es el caso de la ubicación del Fiesta Inn en cd. Obregón que se sitúa en la calle Miguel Alemán # 845 norte.
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Utilizando el mapa anterior y considerando el cruce de las calles Mayo y Chihuahua, como sistema de referencia, esto es, el origen del plano cartesiano; responde a los siguientes cuestionamientos.
1. De acuerdo al sistema de referencia, ¿qué coordenadas tiene el punto de intersección de las calles Mayo y Miguel Alemán? _______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2. ¿Qué coordenadas tiene el punto donde está ubicado el hotel Fiesta Inn?_______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
3. Escribe una operación que determine la distancia horizontal de 210 m que aparece en el plano, utilizando para ello las coordenadas del punto de origen._______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
4. De la misma manera, escribe una operación que calcule la distancia vertical de 200 m que aparece en el plano, utilizando para ello las coordenadas del punto de origen._________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
5. Si se te pide dibujar la distancia más corta del origen al hotel, ¿cuál sería la trayectoria que considerarías?, Dibújala sobre el plano._________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
6. ¿Cuál es la distancia en metros de la trayectoria más corta que has dibujado?________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
7. ¿Qué herramienta utilizaste para determinar la distancia más corta?________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
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Distancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos en una sola dimensión
Como te habrás dado cuenta el plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
La distancia (en línea recta) a la que se hallan dos lugares en un plano, puede determinarse mediante la longitud del segmento que los une.
Tanto los mapas de zonas o regiones específicas del país, como los planos topográficos de terrenos o de minas y yacimientos que elaboran los ingenieros, hacen uso de ejes coordenados para la ubicación de los sitios y de una escala o equivalencia para las distancias reales.
El cálculo de estas distancias, así como la ubicación relativa de puntos intermedios entre dos sitios, puede obtenerse a partir de sus coordenadas.
Cuando los puntos se encuentran sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Retomando el plano de la actividad anterior, el cruce de las calles Mayo y Miguel Alemán, de acuerdo al sistema de referencia indicado, tiene como coordenadas la pareja de números (210,0); el otro punto de referencia es el origen cuyas coordenadas son (0,0).
Considerando que la distancia entre este par de puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas, esta diferencia se expresa de la siguiente manera:
|210 0|=|0 210|=210.
Se considera el valor absoluto porque es indistinto calcular la distancia del cruce del par de calles al origen o viceversa; la distancia es la misma.Consideremos ahora un par de puntos que se encuentren en un segmento de recta paralelo al eje x, como se muestra en la Figura 1.
00 1-1-2 2 3 4 5 6 7
1
2
3A = (-1,1) B = (6,1)
Figura 1.
Valor absoluto: El valor absoluto de un número real consiste en su valor, sin importar su signo. De esta manera, 5 es el valor absoluto de +5 o 5. Ya que es la distancia que hay del número al cero en la recta numérica.
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Ya que la distancia del punto A al punto B es la misma que de B a A, el cálculo se escribe de la siguiente manera: | 6 ( 1) | = | 6 + 1 | = 7.
Observa que se ha escrito primero la abscisa del punto B menos la abscisa del punto A, sólo por mera preferencia, considerando que el punto B está a la derecha del punto A.
Generalizando el cálculo de cualquier distancia horizontal entre dos puntos A(x1,y1) y B(x2,y2), la distancia queda expresada de la siguiente manera:
|x2 x1 |.
Donde x2 es la abscisa del punto B, x1 es la abscisa del punto A.
Cuando los puntos se encuentran sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Retomando el plano de la actividad anterior, el hotel Fiesta Inn que se encuentra sobre la calle Miguel Alemán, de acuerdo al sistema de referencia indicado, tendrá como coordenadas (210,200); el otro punto de referencia es el cruce de las calles Mayo y Miguel Alemán cuyas coordenadas son (210,0).
Por lo que la distancia entre dichos puntos se calcula bajo la siguiente diferencia de ordenadas:
|200 0|=|0 200|=200.
Nuevamente se considera el valor absoluto porque es indistinto calcular la distancia del cruce del par de calles al hotel Fiesta Inn o viceversa; la distancia es la misma.
De la misma manera, generalizando el cálculo de cualquier distancia vertical entre dos puntos A(x1,y1) y B(x2,y2), la distancia queda expresada de la siguiente manera:
|y2 y1 |.
Donde y2 es la ordenada del punto B, y 1 es la ordenada del punto A.
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Distancia entre dos punto en dos dimensiones
Ahora, si los puntos están en cualquier parte del sistema de coordenadas, como se muestra en la Figura 2, es decir, formando entre ellos un segmento de recta oblicuo; el cálculo de la distancia, que denotaremos como d, no es tan directo como en los casos anteriores.Es importante notar que dicha distancia es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que se ha formado con las distancias tanto horizontal (sobre el eje x) como la distancia vertical (recta paralela al eje y). Por lo que, para calcularla es necesario utilizar como herramienta matemática el tan socorrido “Teorema de Pitágoras”, de la siguiente manera:
c2=a2+b2
d2= (210 m)2+(200 m)2
d2=44,100 m2+40,000 m2
d2=84,100 m2
d= (84,100 m2 )=290 m
Por lo que la distancia más corta del punto de origen a la ubicación de dicho hotel es de 290 m.
De acuerdo a las coordenadas de los puntos que intervienen, tal como hemos hecho en el cálculo de las distancias con los valores absolutos, la distancia entre los puntos (0,0)=(x1,y1) y (210,200)=(x2,y2) queda expresada de la siguiente manera:
Figura 2.
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
Y
d
R
X
x2 - x1
x1
x2
y2 - y1
Figura 3.
Si observas bien, los valores absolutos que anteriormente se manejaron en el cálculo de las distancias, han sido sustituidos por los cuadrados con base en el teorema de Pitágoras. Situación que no modifica en lo absoluto el resultado que se obtiene de la diferencia entre abscisas u ordenadas, puesto que al elevar al cuadrado, ésta queda con signo positivo, lo mismo que garantiza el valor absoluto de un número al aplicarlo.
En la Figura 3 hemos localizado los puntos P1 y P2, así como la distancia d entre ellos. Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por el punto P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinando así un triángulo rectángulo y en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
d2= (210 0)2 + (200 0)2
Diferencia de abscisas Diferencia de ordenadas
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5
4
3
2
1
00 1 2 3 4 5
-1
-2
X
Q = (1,-2) (4,-2)
d
P = (4,6)
Generalizando, la expresión algebraica que calcula la distancia entre cualquier par de puntos en el plano cartesiano P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) queda determinada por:
c2 = a2 + b2
d2= (x2 x1)2 + (y2 y1 )
2
Diferencia de abscisas Diferencia de ordenadas
d = (x2 x1)2 + (y2 y1)
2 (1)
n la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo. Esto se debe a que las diferencias de abscisas y ordenadas están elevadas al cuadrado. Por lo que, el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2, no afecta el valor de la distancia.
Ejemplo:Determina la distancia entre los puntos P(4,6) y Q(1, 2).
Observa en el dibujo que se forma un triángulo rectángulo, donde la distancia entre los puntos es la hipotenusa del mismo. El punto de intersección de ambas rectas auxiliares a los puntos P y Q tiene coordenadas (4,-2). Contando la distancia que hay entre los puntos que forman los catetos horizontal y vertical, rápidamente puedes usar el teorema de Pitágoras para determinar la distancia en cuestión. Utilizando la fórmula (1) de la distancia, consideremos como (x2,y2) las coordenadas del punto P y Q será (x1,y1).
( (( (P4 16 -2yQx2 x1y2 y1
} }} }, ,
Sustituyendo los valores en la fórmula (1) tenemos:
d = (x2 x1)2 + (y2 y1 )
2
d = (4 1)2+(6-( 2))2
d = (3)2+(8)2
d = (9+64) = 73
Por lo que la distancia entre los puntos P y Q es 73 ≈ 8.54.
“Para saber más” Puede consultar los siguientes ejemplos: Distancia entre dos puntos ejemplo 1
https://youtu.be/kDzTTOvv5dc https://youtu.be/VA6WsOxJ40U
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Realizar en tu cuaderno de manera individual lo que se solicita.
1. Dados los siguientes puntos en el plano determina las distancias entre todas las posibles parejas de puntos. (Recuerda que la distancia del punto A al B es lo mismo que del punto B al punto A) .
En otras situaciones, la distancia entre dos puntos también se puede utilizar para obtener el perímetro de polígonos ubicados en el plano cartesiano.
2. Determina el perímetro del pentágono irregular formado por los puntos mostrados en el plano cartesiano del ejercicio anterior.
3. Los siguientes tres puntos A( 2,3), B(2,0) y C(3,2) forman un triángulo, utilizando la fórmula de distancia determina su perímetro.
Recuerda que los triángulos según la longitud de sus lados se clasifican en equilátero (3 lados iguales), isósceles (dos lados iguales), escaleno (3 lados diferentes). Estos dos últimos pueden ser además rectángulos, es decir, isósceles-rectángulo (2 lados iguales y sus longitudes cumplen con el teorema de Pitágoras), escaleno-rectángulo (3 lados diferentes que cumplen con el teorema de Pitágoras).
4. El triángulo del ejercicio 3 con base a la longitud de sus lados, ¿qué tipo de triángulo es? (Es importante basarse en las distancias calculadas con anterioridad para dar una respuesta confiable).
5. Utilizando la fórmula de distancia y el mapa del Estado de Sonora, encontrar la longitud de Hermosillo a cada una de las siguientes ciudades: Guaymas, Nogales y Puerto Peñasco. (Nótese que cada unidad representa 100 km).
00
-2
-2
-4
-4
-6
4
2
E
D
A
B
C2 4 6
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2
3
4
1
C
B
A
1 2 3
1
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Perímetro y área de polígonos
Como ya se vio en la actividad anterior, la distancia entre dos puntos en el plano se utiliza también para calcular el perímetro de un polígono ya que proporciona la longitud de cada lado y al final simplemente se suman cada uno de estos para obtener dicho perímetro. También se verá cómo se realiza el cálculo de área para polígonos desde el punto de vista de la Geometría Analítica.
Perímetro de un polígono Se iniciará trabajando con un polígono de cuatro lados a través del siguiente ejemplo.
Ejemplo.
Demuestra si el polígono, cuyos vértices son A(4,2), B(7,5), C(5,8) y D(2,5), es un paralelogramo.
Es poco confiable basarse exclusivamente en la gráfica, para proporcionar una respuesta a lo que se solicita. Puesto que se solicita demostrar, es preciso utilizar la herramienta matemática correcta que permitirá ser precisos.
Ya que se pide demostrar que el polígono es un paralelogramo, entonces la fórmula (1), distancia entre dos puntos en el plano, ayudará a determinar lo que se solicita. Por lo que, es preciso calcular cada una de las longitudes de los lados que conforman el polígono. Es muy importante basarnos en la gráfica de dicho polígono para asegurarnos de estar calculando los lados que lo conforman y no las diagonales, como (AC) por ejemplo, que no es parte del polígono.
00
1
2
3
4
5
6
7
D
A
B
CY
1 2 3 4 5 6 7
X
Observando que el polígono cuenta con dos pares de lados opuestos paralelos y congruentes (iguales), concluimos entonces que los cuatro puntos conforman un paralelogramo.
dAB = (7 4)2+(5 2)2
dAB = (3)2+(3)2
dAB = (9+9) = 18
dBC = (5 7) 2 + (8 5)2
dBC = ( 2)2 + (3)2
dBC = (4+9) = 13
dCD = (2 5)2 + (5 8)2
dCD = ( 3)2 + ( 3)2
dCD = (9+9) = 18
dAD = (2 4)2 + (5 2)2
dAD = ( 2)2 + (3)2
dAC = (4+9) = 13
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1
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5
6
7
D
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B
CY
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X
1 2
Área de un polígonoEs posible determinar el área de un polígono situado en el plano cartesiano aplicando un procedimiento sencillo. Éste se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo mediante el determinante de la regla de Sarrus, apellido de su creador, el matemático francés Pierre Fréderic Sarrus.
Área de un triánguloEl área de un triángulo con vértices P1 (x1,y1 ), P2 (x2,y2 ), P3 (x3,y3 ), es igual al valor absoluto de:
A= _12
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
A= _12
4 2 5 8 2 5 4 2
Observa que el determinante está conformado por las coordenadas de cada uno de los vértices que componen el triángulo, repitiendo el primer renglón conformado.
Ejemplo:Determina el área del paralelogramo anterior cuyos vértices son A(4,2), B(7,5), C(5,8) y D(2,5).
Si bien es cierto el polígono al que se le quiere calcular el área no es un triángulo; éste se puede dividir en dos triángulos, para luego poder usar la expresión del área de un triángulo expresada con anterioridad, y determinar así el área total del paralelogramo mediante la suma de las áreas de los triángulos que se formaron.
Así, el área del triángulo 1, A1 con vértices A(4,2), C(5,8), D(2,5). es igual al valor absoluto de:
Para resolver el determinante hacemos el siguiente procedimiento:
A=12
4 2 5 8 2 5 4 2
En cada diagonal se multiplican los dos números existentes, siendo positivos los de orden descendiente y restando el producto de las diagonales ascendentes, como se muestra a continuación:
|[(4)(8)+(5)(5)+(2)(2)] [(4)(5)+(2)(8)+(5)(2)]|
= 12
|[32+25+4] [20+16+10]| = 12
|61-46|= 12
|15|= 152
=7.5 u2.A= =
12
12
4 2 5 8 2 5 4 2
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Por lo tanto, el área del paralelogramo ABCD es la suma de las áreas de ambos triángulos 7.5+7.5=15 u2.
-3
-2-2
-1-1
-1-1
-2-2
-3-3-4
00
00
11
2
2
3
3
4
5 YY
A B
CD
a
d
c
b
11
22
33
44
55
XX
6
A
B C
D
E
F
G
H
I
Ya que el polígono es un paralelogramo, al dividirlo en dos triángulos, éstos resultan congruentes, por lo que el área del triángulo 2 resulta ser también 7.5 u2 . Pero, para reforzar el uso de la regla de Sarrus, el determinante del área del triángulo 2, A2 con vértices A(4,2), B(7,5), C(5,8) queda:
|86 71| = 12
|15|= 152 =7.5 u2A2= = 1
212
4 2 5 8 2 5 4 2
Realizar en su cuaderno de manera individual los siguientes ejercicios.
1. Escribe las coordenadas de cada uno de los vértices que se presenta en las figuras geométricas.
2. Determina el perímetro y área de cada uno de estos.
“Para saber más” Puedes consultar la siguiente información: Área de polígonos
https://youtu.be/dgxbTA9tLPc
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En la imagen se observa que se forman dos triángulos semejantes, por lo que se puede establecer la siguiente relación:
y1 + ry2y = 1 + r
y1 + ry2P = , 1 + rx1 + rx2
1 + r
P 1 +2 + ( )8 2 + 5 + ( )( 1) 5
1 +
13
83
13
13
143 14 7 714
143
13
13
43
43
43
4 2 (3.5 , 3.5)2443
Punto de división de un segmento de recta
Uno de los conceptos en la Geometría Analítica es aquel en el que un punto P(x,y) divide a un segmento
de recta, que es una parte de esta limitada por dos extremos A(x1,y1) y B(x2,y2), en una razón dada APPBr =
x - x1
y - y1
x2 - x
y2 - y
A
P
B
x1 + rx2x =1 + r
AP x x1r = =PB x2 xr(x2 x)=x x1
rx2 rx=x x1
x(1+r)=x1+rx2
Análogamente,
De tal manera que el punto de división es:
Ejemplo:
Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento A(2,5) y B(8,-1) en la razón r = 13.
Se observa que x1 = 2, y1 = 5 y x2=8, y2= 1, entonces al sustituir estos valores en la fórmula del punto de división, se tiene que:
“Para saber más” Punto de división de un segmento de una razón
https://youtu.be/P7yZ65c9oXo
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Un punto muy relevante el punto medio de un segmento de recta, el cual se encuentra localizado exactamente a la mitad de los dos puntos extremos. De tal manera que en esta situación, la razón siempre será r=1 y al sustituirla en la fórmula del punto de división de un segmento se tiene:
Por ejemplo, el segmento de línea con los extremos (-3, 4) y (5, 4) es horizontal.
y1 + y2Pm = ,x1 + x2
2 2
6
5
4
3
2
1
0
-1
0-1-2-3 1 2 3 4 5 6
Si observas a detalle el dibujo, éste te permite determinar de manera gráfica la posición del punto medio del segmento de recta horizontal. Contando la distancia de un extremo a otro, notamos que son ocho las unidades entre un punto y otro. Por lo que, la posición del punto medio es exactamente a las cuatro unidades de cualquiera de los extremos que componen el segmento de recta horizontal. Se deduce entonces que las coordenadas del punto medio es el punto (1,4).
De la misma manera, el segmento de recta vertical formado por los puntos extremos (2, 0) y (2, 3) mide 3 unidades. Puedes llegar a este número contando los espacios que hay entre un punto y el otro o utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos.
0-10
1
2
3
4
5
-1
1 2 3 4 5
Haciendo lo mismo que en el caso anterior, el punto medio del segmento vertical tiene por coordenadas el punto (2, 1.5).
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Ejemplo:Para este ejemplo queremos encontrar el punto medio del segmento formado por los puntos M (5,4) y N (3, 4). Tenemos que x1 = 5, y1 = 4 y x2 = 3, y2 = 4 .
0-10
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5 6 7
Ahora que conoces las coordenadas de los puntos extremos, puedes colocarlos en la fórmula. Así es como se hace:
Por lo que las coordenadas del punto medio entre los puntos M (5,4) y N (3, 4) es el punto (4,0).
Ejemplo:Encuentra las coordenadas del punto B, sabiendo que Pm (2, 2) es el punto medio del segmento AB y el otro extremo tiene coordenadas A( 3,1).
En este ejemplo es importante notar que las coordenadas del punto medio ya están dadas, es decir, las coordenadas (2, 2) fueron calculadas con la expresión
Es decir, xm = 2 = y ym = -2 =
Asimismo se conocen las coordenadas de uno de los extremos, el punto A(-3,1) que podemos considerar como punto de inicio del segmento de recta. Esto es, x1 = 3 y y1 = 1, sustituyendo esta información en la fórmula del punto medio, tenemos:
3 + x2 1 + y2
x1 + x2 y1 + y2
2x1 + x2 y1 + y2
2
2 2 2 = 2 = y
2 2
25 + 3 8 0 4 + ( 4)
2 2 2 = = (4,0) Pm=
Pm=
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En las expresiones anteriores, observamos que para cada coordenada del punto medio, sólo aparecen x2 y y2 como incógnitas, que son las coordenadas del extremo B, que es precisamente lo que se quiere conocer.
Despejando x2 y y2 de cada una de las fórmulas obtenemos: 3 + x2 1 + y2
2 2 2 =
2(2) = 3 + x2
4 = 3 + x2
4 + 3 = x2
7 = x2
2(2) = 1 + y2
-4 = 1 + y2
4 1 = y2
5 = y2
2 = y
y
y
y y
“Para saber más” Mirar el siguiente video
Punto Medio
https://youtu.be/qzRxsVoUaMo
Por lo que, las coordenadas del extremo B del segmento de recta AB es el punto (7,-5).
En binas, resuelvan en el cuaderno los siguientes planteamientos.
0-10
1
2A
B
3
4
5
-1
1 2 3 4 5
1. Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento de recta cuyos extremos son A(-4,-1) y B(2,4) en una razón de r = 32
2. Del segmento de recta que se muestra en el gráfico, determinen las coordenadas del punto medio.
3
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3. Del mapa que se presenta, considerando que aproximadamente cada unidad en el plano cartesiano representa 1500 m.
a. Determinen la distancia en km entre el palacio de gobierno (punto G) y el centro comercial (punto H), ambos en cd. Obregón.
b. Determinen las coordenadas del punto medio entre dichos puntos.
c. ¿Cuál es la distancia que hay entre el punto medio y el centro comercial?
4. Una mediana es el segmento de recta que va del vértice de un triángulo al punto medio del lado opuesto de éste. Determinen la longitud de la mediana del vértice A del triángulo A( 2,3),B(2,0) y C(3,2).
5. Una mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento de recta dado. Determinen las coordenadas del punto por donde pasa la mediatriz del segmento de recta dado por A( 2,5) y B(6,-4).
6. Determinen las coordenadas del centro de la circunferencia cuyo diámetro está dado por el segmento de recta A(2, 4) y B(5,8).
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Es momento de poner en práctica lo aprendido en esta secuencia, distancia entre dos puntos, área de un polígono mediante la regla de Sarrus y punto de división de un segmento de recta.De manera individual resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. Anotar los procesos en forma limpia, clara y ordenada. También trazar el plano cartesiano con regla, escala adecuada y etiquetando los ejes coordenados.
0-1
0
1
2
A
B
3
4
-1
-2
1 2 3 4
4
1. Mediante la fórmula de distancia determinar el tipo de triángulo que se forma con los puntos A( 4,2), B(2,0) y C( 2, 3).
2. Si la distancia entre el punto A(x,5) y B(2, 3) es de 10 unidades, obtener la coordenada faltante. (Sugerencia: Sustituye todos los datos en la fórmula de distancia y despeja la coordenada faltante).
3. Usando la regla de Sarrus calcula el área del polígono establecido en el problema 1.
4. Del triángulo del ejercicio 1, determina los puntos de trisección del lado AC.
5. Calcula la longitud de cada una de las medianas del triángulo del ejercicio 1.
6. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (4,3). Hallar las coordenadas del otro extremo.
7. Determinar las coordenadas del punto de trisección del segmento cuyos extremos son A(1,2) y B(4,6).
8. Demuestra que los vértices de la figura formada por los puntos A(1,4), B(-3,1) y C(5,1) pertenecen a un triángulo isósceles.
9. Calcula el área del rombo que se presenta en la siguiente figura.
10. Determina las coordenadas del centro del rombo del ejercicio anterior.
2.- La empatía para resolver conflictos.Página: 60
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De manera individual realiza lo que se te solicita. Subraya la respuesta correcta, escribiendo el procedimiento que te llevó a la misma, donde sea necesario.
1. Usando el concepto de distancia, ¿Cuál de los siguientes puntos son Colineales?
A) A( 1, 7), B(3,1) y C(5,5)
B) A( 12 , 4), B(7, 72
) y C(4,5)
C) A( 5,3), B(3,2) y C( 1, 4)
D) A(2, 1), B(3,7) y C(6,5)
2. Se tienen los puntos ( 1, 5),(0, 3),(1, 1),(2,1),(3,3). Es la expresión algebraica que describe la característica o condición que tienen en común dichos puntos.
A) y= 2x 3B) y= 2x 3C) y= 2x +3D) y= 2x +3
3. Se tiene la siguiente condición y = 3x 4, ¿cuál de los siguientes lugares geométricos representa dicha condición?
7 7
-1 -10
0 0
00
-5 -5
01
-4 -4
1
2
-3 -3
2
3
-2 -2
3
4
-1 -1
4
5
-1 -1
5
6
0 0
6
1 1
1
1 1
12
2 2
23
3 3
3
3
A)
C) D)
B)
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4. ¿Qué tipo de triángulo es el que forman los puntos A(0,-3),B(-2,1),C(2,1)?A) Equilátero.B) Isósceles.C) Escaleno.D) Rectángulo.
5. ¿Qué tipo de triángulo es el que forman los puntos A(1,0),B(2,-5) y C(-1,-3)? A) Equilátero.B) Escaleno-rectángulo.C) Isósceles-rectángulo.D) Rectángulo.
6. Considerando que cada unidad de medida equivale a un kilómetro en el plano que muestra. ¿Cuál es el área que determinan los hoteles A,C y D?
A) 11 km2
B) 14 km2
C) 29 km2
D) 53 km2
7. ¿Cuál es la distancia del hotel más cercano a la central de autobuses?A) d= (8) km B) d= (4) km C) d=8 km D) d=4 km
8. Por cuestiones de seguridad, el responsable de la policía municipal quiere establecer un radio de vigilancia al servicio del turismo en la zona hotelera alrededor de la central de autobuses. ¿Cuál es el máximo radio de vigilancia que la estación de policía puede considerar?A) d= 13 kmB) d=89 km C) d= 89 km D) d=13 km
9. Es el área del polígono que determina la zona hotelera alrededor de la central de autobuses.A) 68.5 km2
B) 44.5 km2
C) 29.5 km2
D) 26.5 km2
10. El responsable de seguridad pública quiere colocar una estación de apoyo al turismo, de tal manera que equidiste de los hoteles más alejados entre sí. ¿Cuáles son las coordenadas de dicha estación?A) (4,0.5)B) (0.5,0)C) (-1,4)D) (-3,1.5)
Y
X
HOTELA(6,3)
B(2, 2)HOTEL
D( 8,5)HOTEL
HOTELD( 5, 3)
Central de
Autobuses
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Se sugiere se incorpore la coevaluación al portafolio de evidencias.
1. Para cada una de las siguientes condiciones que describen un lugar geométrico, escribe tres parejas ordenadas que cumplan con cada una de ellas.a) y = 2x + 3.b) 4x + 2y = 20.
a) (5,7) = (5, 7)_________b) (0,0) = (3×0, 0 )_________c) ( 1
2 , 2) = ( 5,( -42
)_________d) ( 1
3 , 1) = ( 26 ,-1)_________
e) ( 9 , 4) = ( 3,4)_________
3. Determina si son iguales las siguientes parejas ordenadas de números., escribiendo el símbolo de igualdad = o desigualdad≠.
(1 2, 16 ) ( 1, 4)
(5 8, 9 ) ( 3, 3)
( 4 x 0, 43 ) (0, 8
6 )
(23, 255 ) ( 16
2 , 25 )
(5 6,0.5) (1, 12 )
4. ¿Cuáles valores de x y y, hacen que sean iguales las siguientes parejas ordenadas?(3,7) = (x,y + 5) x=_____y=_____(x 2,y2) = (5,16) x=_____y=_____(3x,y) = (2x 5, 8) x=_____y=_____(4,2x) = (2x,x 4) x=_____y=_____(4x 2, 2y) = (x + 7,y + 4) x=_____y=_____
5. Con una flecha asocia cada pareja con la descripción que corresponde a la relación entre sus dos elementos.
( 5, 25) El segundo elemento es el cuadrado del primero.
(6,2) El segundo elemento es el cubo del primero.
(1,1) El segundo elemento es un tercio del primero.
(2,8) El segundo elemento es la raíz cuadrada del primero.
6. Explica en términos de abscisas y ordenadas, por qué:a) Las coordenadas del origen son (0,0).b) Los puntos sobre el eje x tienen la forma (x,0).c) Los puntos sobre el eje y tienen la forma (0,y).
2. Dos parejas ordenadas de números son iguales, si tienen las mismas componentes. Clasifica cada igualdad de parejas como falsa o verdadera.
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7. A partir de los datos proporcionados, halla las coordenadas de los vértices del paralelogramo. (Sugerencia: haz uso de razones trigonométricas).
α = 45°, AD = 2 2 , O es el punto medio de AB.
8. La ecuación 4x + 2y = 1,100, describe la ruta seguida por un aerolito. ¿Impactará a un satélite geoestacionario cuyas coordenadas de localización son (120, 300)?
y
xa = 45A
D C
B
2√ 2
9. La trayectoria circular de un avión de papel que gira atado a un hilo, puede describirse en un plano cartesiano mediante la ecuación x2 + y2 =100, con x y y en decímetros.
a. ¿Pasa el avioncito por el punto (8,-6)? (Argumenta tu respuesta).
b. Si uno de los puntos de su trayectoria tiene abscisa 6, ¿cuánto mide su ordenada?
c. Ubica algunos puntos de la trayectoria del avioncito en un plano coordenado. Argumenta matemáticamente por qué las coordenadas de estos puntos están relacionadas mediante la ecuación dada.
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10. Describe con palabras y con lenguaje matemático cada uno de los siguientes lugares geométricos.
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
Y
Y
Y
Y
X
X
X
X
A)
C)
B)
D)
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
34
4
4
4
5
5
5
5
11. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(-3,0) y B(3,0). ¿Cuáles son las coordenadas del tercer vértice del triángulo?
12. Determina el tipo de triángulo que forman los puntos P(-5,3), Q(6,6) y R(-3,1).
13. Calcula el perímetro del triángulo formado por los puntos del problema anterior.
14. Calcula el área del triángulo P(-5,7), Q(1,8) y R(6,-3).
15. La distancia entre los puntos A(1,4) y B(-3,y) es de √52. Calcula la coordenada faltante.
16. De la siguiente figura. Determina las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son P(5,7), Q(1,3) y R(9,1).
17. Determina el Perímetro de triángulo formado por los puntos medios de cada lado.
18. Determina el área sombreada formada por ambos triángulos, como se muestra en la gráfica.
00
2
4
6
Y
X
8
2 4 6 8 10
Q
P
R
C
55
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Si de la actividad anterior respondiste correctamente todos los reactivos considera tu nivel de conocimientos EXCELENTE, si fueron 9 reactivos correctos tu nivel se considera como MUY BUENO, si fueron de 8 BUENO, de 6 a 7 REGULAR y menos de 6 MUY BÁSICO, lo que exige refuerces tus conocimientos previos
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos en función de las respuestas correctas que tuviste? Señala con una según sea el número de reactivos correctamente contestados.
¾ C.G. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
¾ C.D. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y/o geométricos.
Estas competencias serán alcanzadas si obtuviste un desempeño BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE.
EXCELENTE
MUY BUENO
BUENO
REGULAR
MUY BÁSICO
Si tu resultado fue BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE te felicitamos y te motivamos a que sigas esforzándote como lo has hecho y, obviamente, que corrijas aquello que no te permitió alcanzar la excelencia; si tu desempeño fue REGULAR O MUY BÁSICO, refuerza tus conocimientos consultando de nuevo el contenido del bloque si lo consideras necesario. Además te invitamos a que te acerques a tu maestro o tus compañeros para que le solicites el apoyo para reforzar los temas en los que fallaste, asimismo, que acudas a asesorías en donde se te apoyará para que mejores tu desempeño y puedas obtener mejores resultados.
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“Cónicas en los deportes”
Primer Parcial. Identificando lugares geométricosUna cancha de fútbol soccer puede tener las siguientes medidas como se indica en la imagen.
En equipo de cinco integrantes realizar en hojas blancas, los siguientes puntos:1. Seleccionar las medidas de la cancha de fútbol de tú escuela y en caso de no contar tomar las medidas de la
cancha de algún equipo de su elección.2. A escala ubicar la cancha de fútbol en un plano cartesiano y realizar el gráfico.3. Proporcionar las coordenadas de los puntos en el plano cartesiano de la gráfica presentada.
4. Enlistar algunos lugares geométricos que observa en la cancha de fútbol.5. Si la escala es 1:1000 cm, calcular el perímetro y el área de la cancha.
Eje Salud En Matemáticas III, se realizará un proyecto acerca de las “Cónicas en los Deportes” durante todo el semestre, el cual se encontrará seccionado y se estará presentando un avance del mismo, en cada uno de los tres parciales. Este consiste en agruparse en equipos de cinco integrantes, los cuales van a tomar las medidas de las canchas deportivas de sus planteles o de la localidad donde se encuentren y el docente los irá guiando sobre la manera que deben de aplicar los aprendizajes escolares de la geometría analítica para dar sistemas de referencia a estas y poder desarrollar las cónicas. Asimismo, está motivado a que los estudiantes trabajen de manera colaborativa, que se involucren en realizar actividades físicas y se interesen por practicar algún deporte en caso de no realizarlo, también, para que observen que a su alrededor las matemáticas siempre están presentes.
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LISTA DE COTEJO
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Actividad:
Materia:
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Fecha de entrega:
Señala con una palomita el rubro que lograste realizar.
Estructura
1. La lista de cotejo presenta los datos de identificación del elaborador.
Estructura interna (Selecciona una de las 3 opciones).
2. Tiene el 100% de los cuestionamientos solicitados en la actividad.
3. Tiene del 70 al 90% de los cuestionamientos solicitados en la actividad.
4. Tiene el 50% de los cuestionamientos solicitados en la actividad.
Contenido
5. Cada cuestionamiento cuenta con los argumentos lógicos y coherentes que llevan a la respuesta del problema o ejercicio.
6. El alumno utiliza herramienta algebraica para dar con la respuesta del problema.
Aportaciones propias
7. Realiza la comprobación de su respuesta.
Total
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El lugar de donde eres
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La empatía para resolver conflictos
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BLOQUE II
Aplicas los elementos de una recta y sus distintas formas de ecuación
CONOCIMIENTOS ● LíneaRecta.Definiciónyelementos. ● Ángulo de inclinación y pendiente de una recta. ● Diferentes formas de la ecuación de la recta. ● Criterios de paralelismo y perpendicularidad.
HABILIDADES ● Identificalascaracterísticasopropiedadesdelarectaenelplano,asícomosuselementos. ● Estimalapendienteyángulodeinclinaciónentredospuntosutilizandosegmentosrectilíneos. ● Representagráficamente loselementosdeunarectacomounarazóndadaapartirdeunpunto
coordenado. ● Analizadiferenteslasdiferentesformasdelasrectasylasrepresentagráficamente.
ACTITUDES ● Privilegia el diálogo para la construcción de nuevos conocimientos. ● Serelacionaconsussemejantesdeformacolaborativamostrandodisposiciónaltrabajometódico
y organizado. ● Aportaideasenlasolucióndeproblemaspromoviendosucreatividad.
APRENDIZAJES ESPERADOS ● Reconoce la recta como lugar geométrico. ● Reconoce la relación entre ángulo de inclinación y pendiente de una recta. ● Aplicaloselementosdeunarectacomolugargeométricoenlasolucióndeproblemasencontextos,realesohipotéticos.
Horas asignadas: 15 horas.
COMPETENCIA GENÉRICA
● CG4.1 ● CG5.1 ● CG5.6
● CG8.1 ● CG8.3
● CDBM1 ● CDBM 2 ● CDBM8
PROPÓSITO DEL BLOQUE ● Identificar lascaracterísticasypropiedadesquedefinenal lugargeométricode larecta,conelloconocersudefinición,elementosylasdistintasformasdelaecuaciónenlasquesepresenta.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICASDE MATEMÁTICAS
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Lee cuidadosamente cada uno de los reactivos, subrayando la opción correcta. Escribe con letra clara y legible cada uno de los procedimientos, simplificando al máximo el resultado.
1. Simplifica la fracción
2. El punto medio del segmento formado al unir los puntos (-4,1) y (3,2) es:
3. La renta mensual del teléfono celular de Sofía es de $100; la cual se incrementa con el costo de cada llamada que es $0.75, ¿cuál es la representación gráfica de la relación entre la cantidad de llamadas con el costo total?
a) b)
Secuencia Didáctica 1Ángulo de inclinación y pendiente de una recta
Recordarás que en tu curso de Matemáticas I, se abordaron las ecuaciones de primer grado o también llamadas ecuaciones lineales. Para la siguiente actividad se trata de recordar el conocimiento adquirido con respecto a este tema.
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c) d)
4. Del problema anterior, ¿cuál es la razón de cambio que se presenta en esta situación?
5. ¿Cuál es la representación algebraica que expresa el contexto en el problema del reactivo 3?
6. Con base a la siguiente gráfica determina los puntos de intersección de la recta con los ejes en el plano
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7. ¿Cuál es la expresión equivalente que se obtiene al despejar y de la ecuación 6x - 2y + 3 = 0?
8. ¿Qué representa el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2?
a) Rectas paralelas.b) Rectas oblicuas.c) Rectas perpendiculares.d) La misma recta.
9. ¿Cuál de los siguientes enunciados corresponde a la definición de la recta mediatriz en un triángulo?
a) Recta que pasa por el punto medio del lado de un triángulo y el vértice opuesto del mismo.b) Recta que divide al ángulo de un triángulo en dos partes iguales.c) Recta perpendicular a un lado del triángulo y pasa por el vértice opuesto.d) Recta perpendicular al lado de un triángulo y que pasa por el punto medio de este.
10. ¿Qué expresión representa a la tangente del ángulo A en el siguiente triángulo?
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1. Proporciona en tu cuaderno cinco ejemplos de expresiones matemáticas las cuales consideras representan rectas.
2. Escribe en tu cuaderno las características que observas de las siguientes rectas (creciente, decreciente, puntos de corte con los ejes coordenados, ángulos de inclinación, pendiente, entre otros).
a)
c)
e)
b)
d)
f)
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En nuestra vida cotidiana es común encontrarnos con situaciones que presentan inclinación como al subir o bajar escaleras, en los resbaladeros, al escalar una montaña o como la torre de Pisa, que es uno de los grandes errores de la arquitectura y una de las mayores atracciones turísticas.
Por situaciones como las anteriores y otras más, como en las finanzas, la arquitectura, el diseño y construcción de carreteras, y en muchos ámbitos más, es importante el estudio de los lugares geométricos.Podemos reflexionar acerca de ¿cuánta inclinación tienen las rampas, carreteras, escaleras, resbaladeros, montañas, entre otros?, ¿qué tan empinada está la cuesta?, ¿qué tanto esfuerzo se realizará al subir o bajar una escalera o una montaña?
En un contexto real pudiera plantearse la siguiente situación: el maestro José lleva a sus alumnos de la carrera de Geología al cerro de las Conchas, al llegar al lugar les cuestiona ¿por qué parte del cerro podemos subir?, a lo cual un alumno responde por el lado que este menos inclinado. Entonces aquí podemos plantearnos la pregunta: ¿cómo saber cuál es el lado del cerro con menor inclinación?. Situaciones similares se presentan en peraltes de carreteras, en los techos de viviendas, entre otros. Al tratar de dar solución a estas situaciones, permiten introducir los siguientes conceptos geométricos: ángulo de inclinación y pendiente.
En la siguiente imagen se puede ver lo que se desea introducir. Por el caso del resbaladero, podemos representarlo geométricamente como se muestra a continuación:
Sabías que...
La causa de la inclinación en la torre de Pisa se debe a la falta de basamentos. La torre tiene 55 metros de altura pero sus cimientos sólo tienen 3 metros de profundidad, esto sucedió en 1173.
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Asimismo, esta situación se puede esquematizar en un plano cartesiano, quedando de la siguiente manera:
Entonces si se desea conocer cómo llegar del punto B al punto A, se puede desplazar verticalmente, moviéndose del punto B al punto C; y después a partir de este punto se desplaza horizontalmente, es decir del punto C al punto A. Dichos desplazamientos se pueden calcular con las distancias respectivas en cada sistema coordenado lineal, es decir, en el desplazamiento horizontal la coordenada de la ordenada permanece fija y sólo se mueve en el eje X o bien eje de las abscisas; de manera similar sucede con el desplazamiento vertical ya que la que queda fija ahora es la abscisa y el movimiento se da para el eje de las Y. En resumen:
A la razón entre el desplazamiento vertical con respecto al desplazamiento horizontal, le llamaremos pendiente del segmento de recta que los une, en este caso:
Ahora, para expresar el ángulo de inclinación se puede comparar el desplazamiento vertical (cateto opuesto al ángulo) y el desplazamiento horizontal (el cateto adyacente al ángulo). En matemáticas 2 trabajaste con razones trigonométricas y se conoce que la tangente del ángulo es la que relaciona al cateto opuesto con el cateto adyacente, así:
Despejando el ángulo de inclinación α aplicando la inversa de la tangente (Tan-1):
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A fin de generar una expresión algebraica que permita generalizar los conceptos citados, se tratará de manera general esta situación. Considerar los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x2, y1) como se muestra en la imagen.
Entonces como en el ejemplo particular la pendiente es la razón entre el desplazamiento vertical respecto al desplazamiento horizontal, sólo que ahora la pendiente se representará con la letra m, así:
Lo cual permite proporcionar la siguiente definición de pendiente.
Se define la pendiente (m) del segmento de recta que une a dos puntos A(x1,y1 ) y B(x2,y2) como la razón de cambio que existe entre un desplazamiento vertical con respecto a un desplazamiento horizontal,
Ahora, para el caso del ángulo de inclinación α se conoce de la razón trigonométrica y que en lo general se expresa:
Se define el ángulo de inclinación α como
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.2. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-1,-2) y
B(4,8).
Nuevamente, se sustituye los datos en las definiciones y se tiene:
Ejemplos:1. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos P(1,5) y
Q(4,8).
Con anterioridad, se presenta la definición de pendiente , por lo que sustituyendo los datos en la expresión se tiene que:
Ahora, el ángulo de inclinación es:
Por lo que
De lo anterior, se puede concluir que existe una relación entre la pendiente m y el ángulo de inclinación α a través de la tangente.
Recuerda que la función tan-1 se encuentra en la calculadora tecleando SHIFT tan y que si se va a trabajar con grados la función debe estar en modo DEG y en caso de trabajar con radianes debe estar en modo RAD.
Recordando del curso de Matemáticas 2, las medidas de los ángulos pueden ser en grados o radianes y algunas equivalencias son:
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https://youtu.be/MarxlS1l0fc https://youtu.be/xeZElTAyMOk
“Para saber más” puedes consultar:
Pendiente y ángulo de inclinación
2
Para el desarrollo de la actividad se sugiere que se realice primero de manera individual, después de manera colectiva y finalmente de manera grupal retroalimentando con el apoyo del docente.
1. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento de recta que une a cada pareja de puntos, trazar el gráfico en cada caso y utilizar transportador para confirmar o corregir resultados.
PUNTOS PENDIENTE ÁNGULO DE INCLINACIÓN
Ahora considerar los puntos R(-5,6) y S(3,-2), entonces la pendiente sería:
y el ángulo de inclinación α = tan-1 (-1) = -45°, pero no se admiten ángulos negativos de tal manera que se le deben sumar 180° tal como lo hacían en su curso de matemáticas 2, obteniendo:
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2. En una escuela se desea construir una rampa para sillas de ruedas la cual genere un menor esfuerzo al subirla y sea más segura al bajarla. Se presentan los siguientes diseños:
Realiza una inspección visual de las rampas anteriores y responde en tu cuaderno a los siguientes cuestionamientos de manera intuitiva.
a) ¿Cuál es la rampa que consideras tiene menor inclinación?
b) ¿Cuál es la rampa que consideras tiene la inclinación más pronunciada?
c) ¿Cuáles son los conceptos matemáticos que pudieran dar respuesta al problema?
d) Realiza el cálculo de la pendiente y ángulo de inclinación de cada rampa.
e) Ahora ya con los cálculos realizados, ¿cuál es la rampa con la inclinación más pronunciada? ¿cuál es la rampa que tiene la inclinación menos pronunciada? ¿Coinciden estos resultados con tus respuestas iniciales?
f) ¿Dedujiste el modelo de rampa más adecuado?
g) Investiga si existe una normatividad para la construcción de rampas y cuáles son las dimensiones que se recomiendan, también al momento de construir escaleras cuáles son las normativas recomendadas para la huella y el peralte.
En resumen, se puede decir que al tener dos puntos en el plano cartesiano se puede trazar un segmento de recta que los una y al extenderlo, se genera una línea recta, por lo que la pendiente y el ángulo de inclinación que se encuentran son precisamente de esta recta.
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Pendiente m Ángulo de inclinación α Ejemplo gráfico
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3
Ahora, con la siguiente actividad pondrás en práctica los aprendizajes adquiridos en esta secuencia didáctica.
Se recomienda que la actividad se realice de manera individual y después de forma grupal con apoyo del docente para la retroalimentación.
Realiza la siguiente actividad en su cuaderno, hacer un plano cartesiano para cada reactivo y los cálculos para verificar que esto sea correcto, se puede utilizar el software GeoGebra como apoyo didáctico.
1. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación para cada una de las parejas A(5,2) y B(9,6), (5 , 2) y Q( 3,6). Realizar la respectiva recta en el plano cartesiano.
2. Proporciona dos puntos del plano cartesiano de tal manera que la pendiente del segmento que los une sea igual a cero, m = 0.
3. Proporciona dos puntos del plano, tales que cuyo el ángulo de inclinación, del segmento que los une, sea α = 90o.
4. Proporcionar dos puntos en el plano cartesiano con la condición de que, el segmento que los une, resulte con pendiente positiva, m > 0.
5. Proporcionar dos puntos en el plano cartesiano con el requisito de que, el segmento que los une, presente pendiente negativa, m < 0.
6. A partir de un punto y de la pendiente dada, en cada inciso, proporcionar las coordenadas de otros tres puntos que pertenezcan a la misma recta:
7. Ahora vamos a considerar una escalera como la imagen y suponemos que la escalera proyecta 2 metros de sombra y la huella de cada uno de sus escalones mide 25 centímetros, ¿cuántos escalones tiene dicha escalera?
8. Si la altura de una escalera es de 2.7 metros y tiene un total de 18 escalones ¿cuál es la medida del peralte de cada uno de los escalones?
9. Se tienen dos escaleras con la misma altura y longitud de proyección de sombra, pero distinto número de escalones ¿una está más inclinada que la otra? Justifica tu respuesta.
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Realiza la siguiente actividad de manera individual en tu cuaderno para después hacer la conclusión grupal guiado por el docente.
1. Dibuja un plano cartesiano utilizando una regla, escala adecuada y etiquetando los ejes coordenados, para ubicar los puntos A(-2,-4), B(-1,-1) y C(1,5) y unirlos con segmentos de recta, con el apoyo de la regla.
2. ¿Cuál es la figura que se observa?
3. Calcula la pendiente entre cada pareja de puntos, es decir mAB,mBC y mCA.
4. ¿Cómo son las pendientes entre sí?
5. Ahora calcular el punto medio entre cada pareja de puntos, esto es los cuales se pueden etiquetar como D, E y F respectivamente. Recuerda que en el primer bloque se vio el concepto de punto medio cuya fórmula es
6. Traza un plano cartesiano y ubica los seis puntos (A, B, C, D, E y F ); Además con el apoyo de una regla dibuja los segmentos de recta que los unen.
7. ¿Qué imagen se observa en la gráfica?
8. Con estos nuevos puntos calcula todas las pendientes posibles entre cada pareja de puntos.
9. ¿Cómo resultaron los valores de estas pendientes?
10. Ahora, considera el punto A como el extremo de un segmento y que el punto M sea el punto medio de ese segmento, ¿cuáles son las coordenadas del punto B que representa al otro extremo? Sugerencia: Usar la fórmula de punto medio.
11. Calcular la pendiente entre el punto A y el extremo B encontrado. También, calcular pendiente entre el punto M y el extremo B.
12. ¿Cómo resultaron los valores de las pendientes entre sí?
13. Enunciar la característica qué observas de este lugar geométrico.
Secuencia Didáctica 2Definición, elementos y distintas ecuaciones de la recta
En el Bloque I de este módulo de aprendizaje se trabajó con los lugares geométricos y se observó que estos son un conjunto de puntos que satisfacen cierta condición o propiedad, y que pueden representarse mostrando imágenes en el plano cartesiano.
Con la siguiente actividad vamos a rescatar el trabajo realizado previamente para observar que lugar geométrico nos muestran.
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https://youtu.be/oYERdQpmey8 https://youtu.be/Zm9oAt4UBKY
“Para saber más” puedes consultar:
Introducción de la Recta
Como ya nos dimos cuenta en nuestro alrededor podemos observar diferentes lugares geométricos. En este bloque, se va abordar uno muy relevante como lo es la Línea Recta.Entonces a partir de la reflexión anterior en la actividad 1 de inicio, se puede proporcionar la definición de este lugar geométrico.
Definición de Línea Recta:
Es el lugar geométrico o conjunto de puntos tales que, para cualquier pareja, su pendiente m siempre es constante.
Ahora veamos en lenguaje matemático como se puede representar a este lugar geométrico, es decir proporcionar su expresión algebraica. Sean dos puntos con coordenadas conocidas, A(x1,y1) y B(x2,y2) y considerar un punto P(x,y) cualesquiera sobre la recta que une estos puntos como se muestra en la siguiente imagen:
Entonces se puede calcular la pendiente entre cada pareja de puntos, obteniendo así:
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Como los puntos forman parte de una línea recta, entonces satisfacen la condición o propiedad de tener la misma pendiente, de esta manera:
A esta última expresión algebraica se le conoce como la forma cartesiana de una línea recta.
Ejemplo:1. Considerar los puntos A(-2,1) y B(3,5) y encontrar la ecuación de la recta en su forma cartesiana.
Está solicitando la ecuación de la línea recta en la forma cartesiana y su expresión algebraica es:
De esta manera, sustituyendo los valores de los puntos A y B en la ecuación, se tiene:
Ahora, realizando aritmética obtenemos la forma cartesiana:
Más aún, se puede encontrar la ecuación general de esta recta haciendo realizando los cálculos necesarios correspondientes a una proporción.
Transponiendo todos los términos de un lado de la igualdad, se tiene:
Multiplicando
Obteniendo,
Siendo esta la ecuación general de la recta.
https://youtu.be/bo3JsAc9CbE
“Para saber más” puedes consultar:
Recta que pasa por dos puntos ejercicio 1
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Uno de los objetivos generales que tiene la Geometría Analítica es encontrar la expresión algebraica de los lugares geométricos a partir del conocimiento de sus elementos y viceversa, dada la expresión matemática encontrar su representación gráfica. De esta manera, tenemos la ecuación general de la recta pero hace falta tener su representación gráfica, entonces cuando los elementos que proporcionan son dos puntosA (x1,y1 ) y B(x2,y2 ), se ubican en un plano cartesiano y se unen para formar la línea recta.
En el caso del ejemplo 1, los puntos son A(-2,1) y B(3,5), se encuentran ubicados en el plano cartesiano de la siguiente manera:
y uniendo estos dos puntos se muestra la imagen de la recta, cuya ecuación es 4x - 5y + 13 = 0.
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Realiza en tu cuaderno, los procesos y haz un plano cartesiano para cada reactivo. Con apoyo del docente se sugiere retroalimentación al finalizar.
Trazar un plano cartesiano y ubicar los puntos A(3,2), B(1, 4) y C( 5, 6) con el apoyo de una regla, dibuja los segmentos de recta que los une.
Para el triángulo con vértices en los puntos A(3,2), B(1,-4) y C(-5,-6). Encontrar:
a) Obtener la ecuación de cada uno de sus lados.
b) Deducir las coordenadas de los puntos medios de cada lado. d) Las ecuaciones de las medianas para cada uno de los tres lados. Recuerda que las medianas son segmentos de recta que unen el vértice de un triángulo, con el punto medio de su lado opuesto.
Por otra parte, se tiene que la expresión matemática o la fórmula de la pendiente es , la cual se encuentra en la parte derecha de la igualdad. Así sustituyendo la pendiente m en la parte derecha de esta expresión cartesiana, se tiene:
Nombrando a esta última expresión como forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 3) y cuya pendiente es m = 2.
Como están proporcionando un punto y una pendiente entonces se debe utilizar la forma punto-pendiente de la recta:
Sustituyendo los datos en la ecuación, se tiene:
Luego pasando todo para un lado de la igualdad,
Así,
Luego,
Obteniendo,
Forma punto-pendiente
La expresión algebraica que hasta el momento se conoce es la forma cartesiana de la recta, la cual se presenta a continuación:
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Es importante hacer notar que si pasamos el término y + 3 del otro lado de la igualdad quedaría:
Lo cual representa la misma recta. Es decir, las dos expresiones pero con signo diferente representan la misma recta en el plano cartesiano.
Ahora enlistemos los pasos para hacer la gráfica; se tiene el punto A(4,-3) y la pendiente m = -2. Primero se ubica el punto A en el plano cartesiano como se aprecia en la siguiente imagen:
Después a partir de este punto A, se desplaza según lo indica la pendiente para encontrar uno o más puntos; en este caso la pendiente por lo que a partir del punto A se desplaza dos unidades hacia abajo y una a la derecha y se obtiene el punto C, o bien dos unidades hacia arriba y uno a la izquierda, obteniéndose el punto B, como se muestra en el plano previo. Es relevante mencionar que con dos puntos es suficiente para realizar la gráfica de una línea recta, sin embargo aquí se encontraron tres para mostrar cómo podemos hallar más de un punto a partir de la pendiente y el rol tan indispensable que ésta juega en éste lugar geométrico.
Finalmente, una vez ubicados dos o más puntos en el plano cartesiano se unen y se obtiene la recta 2x + y -5 = 0.
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Realizar en el cuaderno de manera individual, haciendo los cálculos y trazando la gráfica en un plano cartesiano para cada recta. Al finalizar, se sugiere retroalimentación grupal con apoyo del docente.
I. Deducir el punto y la pendiente que se tiene en cada una de las siguientes ecuaciones de la recta. Además dibuja su gráfica correspondiente.
II. Encontrar la ecuación de la recta en cada caso, a partir de la que cumple con las siguientes condiciones.
III. Proporcionar la expresión algebraica de las siguientes rectas:
https://youtu.be/9gBzlbr8_LU
“Para saber más” puedes consultar:
Graficación de la recta que pasa por un punto y pendiente
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Forma pendiente-ordenada al origen
Considerar que se tiene un punto con coordenadas de la forma (0,b) y una pendiente cualquiera m, entonces sustituyendo esto en la forma punto-pendiente, se tiene:
Despejando y de la anterior ecuación, se obtiene:
A esta última expresión se le conoce como forma pendiente-ordenada al origen.
Es relevante mencionar que la ordenada al origen se denota con la letra b y representa el punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas, es decir es el punto en donde toca al eje y cuya abscisa es cero.
Ejemplo:
Ahora pasando el 4 hacia el lado izquierdo . Después se multiplica por 3 ambos lados de la igualdad.
Entonces pasando todo para un lado se obtiene la ecuación general:
https://youtu.be/VV6ST2c9gaM https://youtu.be/KEENQd0B5dI
“Para saber más” puedes consultar:
Forma Pendiente-ordenada al origen
1. Sea una recta cuya pendiente es y su ordenada al origen es b=4, entonces para determinar su ecuación se utilizará la forma pendiente-ordenada al origen y=mx+b puesto que son los elementos con los que se cuenta. Así, sustituyendo los datos en esta forma se tiene:
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Realizar en el cuaderno de manera individual, graficando cada una de las rectas en un plano cartesiano y al finalizar se sugiere retroalimentación grupal con apoyo del docente.
I. Inspecciona y deduce la pendiente y la ordenada al origen en cada una de las siguientes ecuaciones:
Para realizar la gráfica de esta línea recta, se ubica la ordenada al origen en un plano cartesiano y luego, a partir de ese punto (ordenada al origen), se desplaza según la pendiente lo indica para obtener otro punto y unirlo al punto inicial de la ordenada al origen.
https://youtu.be/9Gwpz1EPzqc
“Para saber más” puedes consultar:
Graficación de la recta pendiente-ordenada al origen
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II. Encontrar la ecuación de la recta con los elementos que se indican.
Forma simétrica
Sean los puntos A(a,0) y B(0,b), entonces la pendiente entre los puntos es:
Así, considerando la ordenada al origen b del punto B y la pendiente, se puede utilizar la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b.
De esta manera, sustituyendo los valores se tiene:
Ahora multiplicando ambos lados de la ecuación por a se obtiene:
Dividiendo por b ambos lados de la igualdad:
Pasando primero el -x del lado izquierdo y luego dividiendo por a, queda:
A esta última expresión se le conoce como forma simétrica de la recta. La cual se va a utilizar cuando se conozcan los cortes de la recta con los ejes coordenados, es decir a representa la abscisa al origen y b representa la ordenada al origen.
Ejemplo:
1. Para encontrar la ecuación de la recta si conocemos que la abscisa al origen es 4 y cuya ordenada al origen es 3 pues se tiene que utilizar cualquiera de las formas que se han proporcionado pero la más directa es la forma simétrica de la recta:
Donde se sustituyen los valores en la ecuación:
1. Pendiente igual a 8 y ordenada al origen 3.
2. Pendiente igual a y ordenada al origen 4.
3. Pendiente igual a y ordenada al origen 6.
4. Pasa por los puntos ( 3,0) y (0,2).
5. Intersecciones con los ejes coordenados en 5 y 8 respectivamente.
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Entonces resolviendo la suma de fracciones se tiene:
Se pasa el 12 multiplicando al otro lado de la igualdad y queda:
Obteniendo la ecuación general:
Para dibujar la gráfica se ubican en el plano cartesiano, tanto la abscisa al origen como la ordenada al origen, es decir los puntos (4,0) y (0,3) para después unirlos con una recta, la cual se muestra a continuación:
https://youtu.be/qdjPfCeqrfk
“Para saber más” puedes consultar:Forma Simétrica
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Realiza de manera individual los procesos y las gráficas de cada una de las rectas. Al finalizar se sugiere retroalimentación grupal con apoyo del docente.
1. Completar la siguiente tabla
2. Proporcionar la ecuación de la recta en forma simétrica a partir de la gráfica.
¿Es la misma recta?
¿Cuáles son sus semejanzas y/o diferencias?
Forma Simétrica Abscisa al origen Ordenada al origen Ecuación general
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Podemos resumir las diferentes formas de la ecuación de la recta de la siguiente manera:
Es importante enfatizar que cada forma de las ecuaciones de las rectas indican con su nombre los elementos que se ocupan para manejarla. Incluso, que de cada una de las formas de la recta se puede llegar a la ecuación general, viceversa y entre sí. Es decir, se puede pasar de una a otra forma de la ecuación de la recta según se desee o lo soliciten.
¿Cuál forma de la ecuación de la recta que consideras sea la más conveniente para trazar su gráfica?
La más común es la forma pendiente-ordenada al origen, la cual dada la ecuación general de la recta, se despeja la variable y para después encontrar los elementos de ésta, la ordenada al origen b y la pendiente m para graficarla, quedando:
Entonces se llega a la forma pendiente-ordenada al origen, teniendo así que la pendiente y la ordenada al origen . Para graficarla se ubica la ordenada al origen en el plano cartesiano y a partir de éste se desplaza según lo indica la pendiente.
Por ejemplo si se tiene la ecuación de la recta 2x + 3y 12 = 0 para graficarla se pasa de la ecuación general a la forma pendiente-ordenada al origen, despejando la variable y se obtiene:
Forma de la Recta Ecuación
Cartesiana (dos puntos)
Punto-Pendiente
Pendiente-Ordenada al origen
Simétrica
General
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Observando que la y que la ordenada al origen es b = 4. De tal manera que primero se ubica la ordenada al origen en el plano cartesiano, quedando en el punto (0,4) y a partir de éste se desplaza 2 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la derecha, como lo indica la pendiente ya que esta es una razón de cambio entre un desplazamiento vertical respecto a un desplazamiento horizontal, se encuentra el otro punto (3,6) y se traza la línea recta entre los dos puntos como se muestra en la siguiente imagen.
Otra forma es aplicando las fórmulas directas, que se presentaron previamente, de la pendiente y la ordenada al origen como se muestra a continuación.
Así de la recta 2x + 3y -12 = 0 se observa que A = -2, B = 3 y C = -12 por lo que sustituyendo se obtiene:
Ya teniendo los dos elementos se grafica la recta como se mencionó con anterioridad.
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Ahora se pondrá en práctica lo visto en esta secuencia didáctica 2 referente a la línea recta, elementos, diferentes formas de su ecuación y la graficación.
De manera individual realiza los procesos de la siguiente actividad, puedes verificar los resultados con apoyo de software GeoGebra. Una vez revisada, agrega la actividad a tu Portafolio de Evidencias.
2. Realiza la gráfica de cada una de las rectas, dibujando un plano cartesiano para cada una de éstas, usando escala adecuada y etiquetando los ejes. Puedes usar su cuaderno cuadriculado o como lo solicite su docente.
https://youtu.be/5bC_ZVLSG-Q https://youtu.be/wzz_tLUepf4
“Para saber más” puedes consultar:
Formas de las Ecuaciones de la Recta. Graficación de la recta a partir de su ecuación.
1. Realiza en tu cuaderno una tabla y complementa con la siguiente información.
Ecuación de la recta Punto-Pendiente
Pendiente-ordenada al
origenForma Simétrica Forma General Parámetros
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Secuencia Didáctica 3Rectas paralelas y perpendiculares
Recordarás que en el curso de Matemáticas II se abordaron ecuaciones lineales, más aún, se proporcionaba una explicación de cómo graficarlas; situación que también se presenta en la secuencia didáctica anterior de este módulo. Además, se trabajó con sistemas de ecuaciones lineales 2X2, es decir dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, pero el interés en aquella ocasión era identificar si el sistema tenía o no solución y en caso de tener solución, saber si esta es única o múltiple. Ahora al trabajar con dos ecuaciones lineales, el interés es identificar si estas rectas son paralelas o perpendiculares.
Realiza de manera individual las gráficas que se solicitan y al finalizar se sugiere retroalimentación grupal con apoyo del docente.
II. En su cuaderno realizar una tabla donde se puede hacer el resumen de las características que se observan de las rectas anteriores, tal como se muestra el ejemplo en el primer renglón.
I. Graficar en su cuaderno cada pareja de rectas en un plano cartesiano.
1. La recta l1 pasa por los puntos A(-1,1) y B(2,4), y la rectal2 pasa por el mismo punto B(2,4) y C(6,0).
Ecuaciones de la Rectas Pendientes Ordenadas al origen ¿Cómo son entre sí las rectas?
Se intersectan, parecen perpendiculares.
2.
3.
4.
5.
6.
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a. Al observar gráficamente rectas paralelas, ¿cómo es la pendiente entre cada pareja de rectas?
b. Al observar rectas paralelas, ¿cómo son las ordenadas al origen de estas rectas?
c. Describe con tus palabras las propiedades que cumplen las rectas paralelas.
d. Al momento de graficar las rectas y observar que son perpendiculares, ¿cómo son las pendientes de cada pareja de este tipo de rectas?
e. Enuncia la característica que tienen las rectas perpendiculares.
En la actividad de inicio se realizaron las gráficas de cada pareja de rectas que se proporcionaron y se observaba gráficamente que estas rectas pueden intersectarse o no. En caso de que las rectas se intersecten estas pueden ser perpendiculares y si las rectas no se intersectan se le conoce como paralelas. Asimismo, se observó que cuando las rectas son paralelas éstas tienen la misma pendiente pero diferente ordenada al origen, lo que permite enunciar el siguiente criterio.
Por otra parte, cuando las dos rectas se intersectaban en un punto, estas pueden ser perpendiculares y esto sucederá cuando se cumpla el siguiente criterio.
Criterio de Paralelismo
Sean l1 y l2 dos rectas, entonces son paralelas l1// l2 si se cumple
Criterio de Perpendicularidad
Sean l1 y l2 dos rectas, entonces son perpendiculares l1 l2 si
O bien
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Ejemplo:
1. Si la recta l1 pasa por los puntos A(5,13) y B(-1,1), y la recta l2 pasa por los puntos P(-2,4) y Q(2,2). Verificar si son paralelas o perpendiculares.
De manera general, para comprobar si son paralelas o perpendiculares se calcula la pendiente de cada una de las rectas y luego se verifica el criterio que permite identificar la situación.Se empieza calculando la pendiente de la recta l1
Ahora, calcular la pendiente de la recta l2:
Al observar la m1 y m2 se tiene que son inversas y de signo contrario lo que nos indica que las rectas son perpendiculares pues cumplen con el criterio:
2. Determinar si los puntos A(1,1), B(3,6), C(8,8) y D(6,3) forman un paralelogramo como se muestra en la imagen a continuación.
Recordar que un paralelogramo tiene la característica de que sus lados opuestos son paralelos y al observar la imagen el lado AB es paralelo a CD, de manera similar, AD con BC. Esto es lo que se va a mostrar a continuación a través de la pendiente:
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Al aplicar el criterio de paralelismo, se tiene que estos lados si son paralelos como se ve en el gráfico.
De manera análoga, se calcula la pendiente de los lados AD y BC para comprobar si son paralelos con el criterio:
Entonces se puede observar que estos lados también son paralelos entre sí y haciendo el análisis de manera general se puede resumir que estos puntos A,B,C y D si forman un paralelogramo.
En ocasiones la pendiente se debe rescatar de una recta, como se muestra en el siguiente ejemplo:
3. Proporcionar la ecuación de la recta cuya ordenada al origen es 3 y perpendicular a la recta x + 2y -1 = 0.
Para encontrar la ecuación tenemos la ordenada al origen por lo que hace falta la pendiente para usar la ecuación de la recta pendiente-ordenada al origen que se vio en la secuencia anterior.
Por lo que de la recta x + 2y -1 = 0 se puede despejar y para obtener la pendiente, quedando y = . Ahora, para encontrar la recta perpendicular se va utilizar la ecuación de la recta pendiente-
ordenada al origen y = mx + b y se van a sustituir los valores , teniendo: y=2x+3. Así, 2x-y+3=0.De esta manera ya se presentó como aplicar los criterios de paralelismo y perpendicularidad, así como la importancia que tiene el uso de estos.
Ahora, se presenta una actividad donde deberás mostrar las habilidades y conocimientos referente a lo visto en clases y trabajado en este tema.
“Para saber más” puedes consultar:
Rectas paralelas y perpendiculares https://youtu.be/OvhqMbDaK4Q
Rectas Paralelas https://youtu.be/23jDZ0sTIFk
Ecuación de la recta que pasa por un punto y paralela https://youtu.be/OxBg_0di558
Rectas perpendiculares https://youtu.be/IP8HI9gAdoE
Primero se calculará la pendiente a los lados AB con CD y con el criterio de paralelismo m1 = m2 se va a verificar que estos son paralelos.
Ecuación de la recta que pasa por un punto y perpendicular https://youtu.be/_ZlV6IBa-OA
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1
2
Realiza de manera individual, haciendo los cálculos y gráficas en tu cuaderno, posteriormente lleva acabo una retroalimentación grupal con apoyo del docente.
1. Comprobar con el concepto de pendiente que los puntos A(-1,-7), B(3,1) y C(5,5) son Colineales.
2. La recta l1 pasa por los puntos A(-4,2) y B(4,-1), mientras que la recta l2 pasa por los puntos P(6,-5) y Q(-3,-29). Determinar si las rectas l1 y l2 son paralelas o perpendiculares.
3. La recta l1 pasa por los puntos A(-2,-11) y B(1,-5), mientras que la recta l2 pasa por los puntos P(4,3) y Q(-1,13). Determinar si las rectas l1 y l2 son paralelas o perpendiculares.
4. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,7) y que es paralela a la recta 3x-5y+6=0.
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y que es perpendicular a la recta 7x + 6y + 8 = 0.
Realiza los siguientes reactivos, anotando el desarrollo en cada uno de estos.
1. Proporcionar la ecuación de la recta cuya ordenada al origen es 3 y es paralela a la recta 6x - 7y + 11=0.2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(3,3) y es paralela a la recta 3. Encontrar la ecuación que pasa por el punto P(-2,5) y es perpendicular a la recta 3y = 9x + 12.4. Determinar la ecuación de la mediatriz del segmento de recta de los puntos A(2,-6) y B(8,2).5. Proporcionar una recta paralela y perpendicular a cada una de las siguientes rectas.
Ecuación Paralela Perpendicular
3.- Plan para propiciar relaciones constructivas.Página: 103
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Subraya la respuesta correcta en cada uno de los reactivos. Se recomienda hacer en tu cuaderno los procesos que te llevaron a esa solución.
1. Si el ángulo de inclinación de la recta es α=45° y pasa por los puntos A(x,1) y B(1,4) ¿Cuál es el valor de la coordenada faltante?
A) x = 4 B)x = 1 C)x = 1 D)x = 2
2. Encontrar el ángulo de inclinación de la recta y=-x+6. A) 40° B)45° C)135° D)150°
3. La pendiente y ordenada al origen de la recta que se presenta a continuación es
4. La ecuación de la mediatriz del segmento de recta cuyos puntos extremos son A(-1,-4) y B(7,6) es:
A)
A)
B)
B)
C)
C)
D)
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La siguiente gráfica forma parte de un reporte sobre la tala inmoderada de árboles en una región. El estudio alerta sobre el riesgo de devastación ecológica si la tala continúa al mismo ritmo y no se toma urgentemente medidas eficaces para reforestar la zona.
5. ¿Cuántos árboles hay al iniciar el estudio (en miles)?
A) 50 árboles. B) 100 árboles. C)150 árboles. D) 200 árboles.
6. ¿En qué año se extinguirán por completo los árboles?
A) 1990 B) 2000 C) 2050 D) 2,090
7. ¿A qué ritmo disminuyen los árboles cada año?
A) Cada año se pierden 2,000 árboles.B) Cada año se pierden 200 árboles.C) Cada año se pierden 20 árboles.D) Cada año se pierden 2 árboles.
8. ¿Cuál es la expresión algebraica para describir la situación de la población de árboles?
A) x + 2y - 200 = 0B) 2x + y - 200 = 0C) x - 2y + 200 = 0D) 2x - y + 200 = 0
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9. Seleccionar la gráfica de la recta paralela a 4x - 6y + 12 = 0 y cuya ordenada al origen es -3
10. ¿Cuál de las siguientes parejas representan rectas perpendiculares?
A) B)
C) D)
A)
B)
C)
D)
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Si de la autoevaluación anterior respondiste correctamente todos los reactivos considera tu nivel de conocimientos EXCELENTE, si fueron nueve correctos tu nivel se considera como MUY BUENO, ocho reactivos correctos tu desempeño es BUENO. Se considera un desempeño REGULAR, si obtuviste de seis a siete reactivos buenos. Si fueron menos de cinco tu desempeño es MUY BÁSICO, lo que exige refuerces tus conocimientos previos.
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos en función de las respuestas correctas que tuviste? Señala con una según sea el número de reactivos correctamente contestados.
¾ C.G. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
¾ C.D. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y/o geométricos.
Estas competencias serán alcanzadas si obtuviste un desempeño BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE.
EXCELENTE
MUY BUENO
BUENO
REGULAR
MUY BÁSICO
Si tu resultado fue BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE te felicitamos y te motivamos a que sigas esforzándote como lo has hecho y, obviamente, que corrijas aquello que no te permitió alcanzar la excelencia; si tu desempeño fue REGULAR O MUY BÁSICO, refuerza tus conocimientos consultando de nuevo el contenido del bloque si lo consideras necesario. Además te invitamos a que te acerques a tu maestro o tus compañeros para que le solicites el apoyo para reforzar los temas en los que fallaste, asimismo, que acudas a asesorías en donde se te apoyará para que mejores tu desempeño y puedas obtener mejores resultados.
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Realizar en parejas la siguiente actividad. Utilizar letra clara y legible, realizando los procesos en cada uno de los reactivos y presentando el trabajo como lo solicite el docente. Una vez revisada añadirla al Portafolio de Evidencias.
I. Encontrar la pendiente, ángulo de inclinación y proporcionar la gráfica de la recta. Pueden usar cuaderno cuadriculado o como lo solicite el docente.a. b. c. d. e.
II. Sean los puntos A(3,6),B(-2,-9) y C(5,-3). Realiza lo que a continuación se solicita.
1. Encontrar las ecuaciones de las rectas que se forman con cada lado del triángulo que se forma con los tres puntos dados.
2. Encontrar las ecuaciones de las tres medianas del triángulo que se forma con los puntos proporcionados.
3. Proporcionar las ecuaciones rectas de las tres mediatrices que se obtienen del triángulo que se forman con los puntos que se dieron al inicio de esta actividad.
III. Responder a los siguientes cuestionamientos del problema en contexto.
4. El valor comercial de un automóvil que tiene 8 años de uso es de $56,000, pero hace 3 años era de $80,000. Si dicho valor varía linealmente con el tiempo.
a. ¿Cuál es el valor de la pendiente?
b. ¿Cuál es la ecuación que expresa el valor del automóvil en términos del tiempo de uso?
c. ¿Cuál era el valor del carro cuando era nuevo?
d. ¿A los cuántos años de uso, el carro ya no tendrá valor comercial?
e. Proporciona un gráfico que muestre el contexto del problema.
5. Un sistema de computación tiene 10 años de uso y su valor actual es de $23,000. Si el valor del sistema varía linealmente con el tiempo y hace cuatro años su valor era de $41,400.
a. Proporciona la ecuación que expresa el valor del sistema en términos del tiempo transcurrido.
b. ¿Cuánto se devalúa el valor del sistema por año?
c. ¿Cuál será el valor del sistema a los 12 años de uso?
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6. En un consultorio dental se considera que el equipo adquirido tendrá una depreciación constantemente cada año y que perderá todo el valor al cabo de cierto tiempo. Dicha situación se presenta en la siguiente gráfica.
Cada unidad de los años representa $10,000 y en el tiempo 10 años
¿Cuál es el precio inicial del equipo?
¿En cuánto tiempo su valor inicial será igual a cero?
¿Cuál es la razón de cambio del valor del equipo respecto al tiempo?
¿Cuánto valdrá el equipo al término de 8 años?
7. El contador de una compañía constructora estima que la maquinaria adquirida para asfaltar carreteras se deprecia de manera constante en la razón de $35,000 por año. Si el valor de desecho de dicho equipo está contemplado en $1,200 al cabo de 25 años, ¿cuál fue el valor inicial del equipo?
8. Viajando de Hermosillo a Puerto Peñasco observas que a las 10 de la mañana has recorrido en tu automóvil 5 Km, desde que saliste de la ciudad. Durante el viaje cambias con frecuencia la velocidad, según las condiciones de la carretera. A las 13 horas observas que llevas recorridos 200 Km. ¿A qué velocidad promedio has manejado entre estos dos puntos?
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LISTA DE COTEJONombre:Actividad:Materia:Grupo:Fecha de entrega:
Señala con una palomita el rubro que lograste realizarEstructura
1. La lista de cotejo presenta los datos de identificación del elaborador.
Estructura interna (selecciona una de las 3 opciones).2. Tiene el 100% de los cuestionamientos solicitados en la actividad.
3. Tiene del 70 al 90% de los cuestionamientos solicitados en la actividad.
4. Tiene el 50% de los cuestionamientos solicitados en la actividad.
Contenido5. Cada cuestionamiento cuenta con los argumentos lógicos y coherentes que llevan a la
respuesta del problema o ejercicio.
6. El alumno utiliza herramienta algebraica para dar con la respuesta del problema.
Aportaciones propias1. Realiza la comprobación de su respuesta.
Total
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3CONSTRUYE T
Plan para propiciar relacionesconstructivas
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Con
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Activ
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BLOQUE III
CircunferenciaHoras asignadas: 12 horas.
COMPETENCIA GENÉRICA
● CG7.3 ● CG8.1 ● CG8.2
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICASDE MATEMÁTICAS
● CDBM1 ● CDBM2 ● CDBM4
● CDBM6 ● CDBM8
● Lugar geométrico de la circunferencia. ● Ecuación de la circunferencia. ● Forma ordinaria con centro en el origen y fuera de él. ● Forma general. ● Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos.
● Identificaloselementosdelacircunferencia. ● Infierelaecuaciónquerepresentalacircunferencia,segúnloselementosdados. ● Representagráficamentelacircunferenciaysuselementos. ● Distingueentrelasformasdelaecuacióndelacircunferencia.
● Privilegia el diálogo para la construcción de nuevos conocimientos. ● Externaunpensamientocríticoyreflexivo. ● Serelacionaconsussemejantesdeformacolaborativamostrandodisposiciónaltrabajometódico
y organizado.
● Aplicalosconocimientossobrelacircunferenciaysuselementos,externandounpensamientocríticoyreflexivoparasolucionardiferentesproblemáticasdesuentorno.
● Utiliza diferentes circunferencias presentes en su contexto, mostrando disposición al trabajometódicoyorganizado,con lafinalidaddemodelar laecuaciónordinariaytransformarlaasuforma general.
Aplicaelpensamientocríticoyreflexivoanalizandoelconceptodecircunferenciaysuselementosendiferentessituacionesdesucontexto,favoreciendolacomprensióntantoaproblemáticashipotéticascomo a situaciones reales.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
ACTITUDES
APRENDIZAJES ESPERADOS
PROPÓSITO DEL BLOQUE
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Cuerda
Radio Centro
Diámetro
Semicircunferencia
Arco
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Secuencia didáctica 1 Lugar geométrico de la circunferencia
Estudio de las cónicas
Hemos estudiado los sistemas de coordenadas y la recta como lugar geométrico presentándoles en sus diferentes tipos de ecuaciones, continuaremos el estudio, de los lugares geométricos, en particular con líneas curvas.
Las figuras que se van a estudiar son: circunferencia, elipse y parábola, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas, según el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso. Ver figura 1.
Si bien no disponían de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.
La importancia de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales:
• Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
• La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el sol.
• La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este y en los siguientes bloques.
En este video explica la circunferencia como lugar geométrico. https://youtu.be/LIEmHsa00II
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Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y entrégaselos a tu profesor para que sean revisados.
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.
I. Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado.
1) 5x + 3y - 4xy - 7x + 9y + 2xy =
2) 3x2 + 5x - 6x2 -9x + 3x3 -6x3 =
3) 2(x + 6) - 5(x + 2) + 3x + 4 =
II. Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado.
1) (x + 4)2 =
2) (2x + 5)2 =
3) (-7x - 3y)2 =
4)
III. Añadeacadaunosiguientesbinomios,eltérminoqueloconvierteatrinomiocuadradoperfecto.
1) x2 - 10x +
2) x2 - 12x +
3)
IV. Factoriza los siguientes trinomios:
1) x2 + 6x + 9 =
2) x2 -14x + 49 =
3)
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Es común ver en nuestro contexto real imágenes referentes a la circunferencia, por mencionar algunos: la rueda de la fortuna, en la ruleta, en un tiro al blanco, en las canchas de basquetbol, fútbol, entre otros. Este será nuestro objeto matemático a estudiar en este bloque.
En el bloque I de este módulo se vio el lugar geométrico como un conjunto de puntos que cumplen con ciertas condiciones. El lugar geométrico que describe una circunferencia es el conjunto de puntos que cumple con la condición de que cada uno de ellos se encuentra a la misma distancia de un punto fijo al que llamaremos Centro. Esta es la definición que se estableció en el módulo de matemáticas 2 y tendrás la oportunidad de tener una mejor comprensión de la misma.
Para comprender el concepto de circunferencia primero realizaremos la siguiente actividad.
Realiza la actividad en forma individual siguiendo las instrucciones del maestro.
Para hacer la actividad se va a ocupar el siguiente material:
● Un cartón tamaño carta (o de alguna dimensión que se pueda traer en la mochila). ● Un trozo de estambre, listón o cordón. ● Una crayola del color de tu preferencia. ● Una regla graduada, como sugerencia para la medición de distancias.
Una vez que tenga todo el material sigue los siguientes pasos:
1) Realiza un orificio pequeño en el centro del cartón por donde se va a pasar el estambre o cordón (ya sea con un lápiz o con tu pluma).
2) Corta el estambre de tal manera que no sobrepase las dimensiones del cartón.
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3) Inserta el estambre o cordón por el orificio que hiciste, de tal manera que quede fijo al cartón. 4) Sujete la crayola al final del estambre o cordón.5) Gire sobre el cartón y así la crayola irá marcando su color sobre el cartón dejando una imagen.
Como se observa en la siguiente fotografía.
Posteriormente contesta las siguientes preguntas:
1) ¿Qué imagen se obtuvo?2) ¿Qué características o propiedades cumplen estos puntos?3) Elige dos puntos cualesquiera de la figura y con ayuda de la regla, calcula la distancia de cada uno
al centro, ¿son iguales? ¿A qué lo atribuyes?
Proporcionaunaposibledefiniciónparaestecomportamiento.
Posteriormenteparticipaenunadiscusióngrupalguiadaporeldocenteparaconstruirladefinicióndeestelugar geométrico.
Comosepuedeobservarenlaactividadanterior,lafiguraqueseformaesunacircunferenciaendondeelorificioquesujetaelestambreocordóndóndeestáfijo,eselcentroyeltamañodelestambreocordónfungecomoelradio,detalmaneraqueyasepuedeformalizarelconceptodeestelugargeométricoyesloquesepresentaacontinuación:
La Circunferencia es el lugar geométrico o el conjunto de puntos tales que, la distancia a un punto fijo es constante, a este punto fijo se le conoce como el centro (C) y al segmento que une al centro con cualquier punto se le llama radio (r).
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Ecuaciones de la circunferencia
Realizar la actividad de forma individual en tu cuaderno siguiendo las siguientes instrucciones.
A continuación se tratará de representar algebraicamente (representación analítica), la trayectoria que se sigue al trazar una circunferencia, es decir, una ecuación que nos ayude por representar el conjunto de puntos que forman parte de la circunferencia. Para el trazo de la circunferencia, se ha abierto el compás 5cm, tal como se muestra en la siguiente figura:
Para poder encontrar una ecuación que represente la trayectoria seguida por el compás al dibujar la circunferencia, es necesario realizar el trazo en un plano cartesiano y dependerá de quien la esté trazando en qué punto ubica la parte fija del compás, el cual puede estar en el origen o fuera de él.
A continuación se ha decidido primeramente poner la parte fija del compás en el origen del plano cartesiano y radio igual a 5cm.
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En la siguiente figura se pueden visualizar los puntos que pertenecen a la circunferencia.
Responde las siguientes cuestiones:
1. ¿Qué necesitamos para trazar una circunferencia en el plano?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. ¿Cómo se le llama al punto donde se colocó la parte fija del compás y qué relación tiene con la circunferencia?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. ¿Qué representa la abertura del compás?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. ¿Cómo se le llama a la distancia que existe desde el punto fijo a cualquier punto de la circunferencia? Esta distancia ¿varía o es constante?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Al observar la circunferencia trazada, ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos por donde de seguro pasa dicha circunferencia? Menciona al menos cuatro de ellos.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. ¿Cómo podría encontrar otros puntos por donde pasa la circunferencia? Para responder a esta pregunta, prueben las dos alternativas que se muestran a continuación:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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b) Realiza la siguiente actividad a fin de deducir la ecuación de la Circunferencia, en particular para el caso general.
Instrucciones: Procuren generalizar los resultados de la siguiente tabla, con el propósito de encontrar la expresión algebraica que representa la trayectoria que se sigue al trazar la circunferencia en el plano cartesiano.
Coordenadas de cada punto
Puntos Abscisa x Ordenada y Gráfica Radio de 5 cm Operaciones
B 4
a) Apliquen los conocimientos de geometría plana, vista en el módulo de matemáticas 2, específicamente el teorema de Pitágoras. Apóyense en la siguiente figura, donde se han trazado triángulos rectángulos para llenar la tabla del inciso b.
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D 3
F 1
Generalizando: expresiónalgebraica para encontrar laordenada “y” de cualquierpunto, conociendo el valorde “x” y el radio “r” de lacircunferencia.
Ya para terminar esta actividad igualen a cero la expresión algebraica generalizada obtenida y acomoden en orden alfabético los términos, a esta ecuación se le denomina ecuación general de la circunferencia.
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Secuencia didáctica 2 Forma ordinaria con centro en el origen y fuera de él
Circunferencia con centro en el origen
Hay un caso particular, de circunferencia que tiene centro en el origen. La ecuación que la define se llama ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia.
Una manera directa de llegar a la ecuación canónica que representa una circunferencia, es aplicando los conocimientos adquiridos en el bloque 1 de este Módulo, específicamente la fórmula de la distancia entre dos puntos (que se deduce utilizando el Teorema de Pitágoras), donde el punto P1 es el origen y el punto P2 es cualquier punto que pertenece a la circunferencia, tal como se muestra en la siguiente figura:
Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1. Anota la fórmula que se usa para calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.
______________________________________________________
2. Calcula la distancia entre los puntos A(-4,3) y B(6,7).
3. Encuentra el punto medio de los puntos: A(-6,-3) y B(8,7).
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AplicandolafórmuladeladistanciaentredospuntosparaencontrarladistanciaentreelpuntoP1yP2(esta distancia es el radio de la circunferencia) y encuentren la expresión algebraica que representa lacircunferencia:
Por lo tanto la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia es:
Donde:Las coordenadas del centro son en el origen es decir: C(0,0)
Ecuación 1
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = ( 8 )2
x2 + y2 = 8
Y la longitud de su radio está representada como: r
Esta es la ecuación de la circunferencia que se solicita.
Ejemplos de cómo usar la fórmula de la ecuación canónica de la circunferencia: 1) Encuentra la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro en el origen y que su radio mide
6cm. Datos: sustituyendo en la fórmula queda:
2) Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el origen y radio igual √8. Datos: sustituyendo en la fórmula queda:
La circuferencia con centro en el origen y deradio la unidad, es llamada circuferencia gonio métrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
c(0,0)
x2 + y2= r2
x2 + y2 = 62
x2 + y2 = 36
c(0,0)r = 6
r = 8
Podrás ver más explicaciones en el siguiente link: https://youtu.be/LIEmHsa00II
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Quedando así la ecuación:
Circunferencia con centro fuera del origen
La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen se deduce a partir de su definición, utilizando la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos. Es decir, si P(x, y) representa cualquier punto de la circunferencia y C (h, k) es el centro de la misma, la distancia entre estas coordenadas, que será el radio (r) de la circunferencia, está dada por:
Donde: C(h,k) P(x,y) al sustituir en la formula distancia entre dos puntos tenemos:
Silepareceañadir:pordefiniciónd(P,C)=r
Ecuación 2
La ecuación (x-h)2+ (y-k)2= r2 se conoce como la ecuación ordinaria o forma ordinaria de una circunferencia. En general designaremos como forma ordinaria aquella ecuación de una curva que nos permite obtener más rápida y fácilmente sus características importantes. Así, por ejemplo, en el caso de la ecuación 2 podemos obtener, inmediatamente, las coordenadas del centro y el radio.
Ejemplos. 1) Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa el punto A(3,-4) y las
coordenadas de su centro C(2,5).
C(2,5)
Fórmula a utilizar (x-h)2 + (y - k)2 = r2
C(h,k)A(3,-4)
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Paso1. Calcular la longuitud del radio.
Paso 2. Sustituir en la ecuación ordinaria las coordenadas del centro y la longitud del radio.
Por ultimo esta es la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria.
h
Se recomienda que mires los siguientes videos, los cuales abordan el tema de la circunferencia.https://youtu.be/jk9V5OkJlAg
Se trata de la deducción de la ecuación ordinaria de la Circunferencia.En estos videos aprenderás, cómo encontrar la ecuación de la circunferencia conociendo las coordenadas del centro y que sea tangente a una recta.https://youtu.be/wx5HpakQpjo https://youtu.be/yXzVqE3rH1g
Resuelve de forma individual los siguientes problemas en tu cuaderno y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1) Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el origen y la longitud de su radio es12.
2) Halla la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el origen y que pasa por el punto A(-2,6).3) Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene centro en C(-1,4) y que pasa por el punto A(4,6).4) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene centro en C(3,4) y es tangente a la recta x-2y+3=0.5) La ecuación de la circunferencia es (x+6)2+ (y-3)2= 36. ¿Cuáles son las coordenadas del centro y la
longitud de su radio?6) Calcula la ecuación ordinaria de la circunferencia que tiene centro C(-1,4) y es tangente al eje de
ordenadas.
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La forma general de la circunferencia se obtiene de la siguiente manera:
Primero desarrollamos los binomios al cuadrado de la ecuación ordinaria:(x-h)2 + (y-k)2=r2
x2- 2xh + h2 + y2 - 2ky + k2 = r2
Posteriormente igualamos a cero:
Secuencia didáctica 3 Forma general de la ecuación de la circunferencia
x2- 2xh + h2 + y2 - 2ky + k2 - r2 = 0
x2 + y2 - 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 = 0
D = -2hE = -2k
F = h2 + k2 - r2
Acomodamos de la siguiente manera:
Intercambiando variables:
La ecuación general es: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.I. Añade a cada uno de los siguientes binomios, el término que lo convierte a trinomio cuadrado perfecto.
1.
2.
3.
II. Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
III. Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
1.
2.
3.
1.
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x2 + y2 - 14x - 10y + 49 = 0
D= -14, E=-10 y F=49
El centro y radio de una circunferencia se podrían obtener de manera directa mediante las siguientes fórmulas:
Debido a que:
Por lo tanto las coordenadas del centro se obtienen:
D = -2h Entonces h = - y como E = - 2k entonces K = -
Y la medida del radio:
Ejemplo 1. Dadalaecuacióngeneraldelacircunferencia,encuentralascoordenadasdelcentroylamedidadesu radio.
Sustituyendoestosvaloresenlasfórmulasanteriores,seobtiene:
Coordenadas del centro:
C(7,5)
Medida del radio:
Como encontrar la ecuación general de la circunferencia con centro fuera del origen y un determinado radio: https://youtu.be/vQg3OSrR_Mw
Encontrar el centro y radio de la circunferencia conociendo la ecuación general.https://youtu.be/uBynci-W0NA
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Para aprender más te sugerimos ver los siguientes videos:
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Ejemplo 2. Dada la circunferencia de ecuación x2+y2-2x + 4y + 4 = 0 hallar el centro y el radio.
Primeroconvertiremoslaecuacióngeneralalaformaordinaria;(x-h)2+ (y-k)2= r2 para ello seguimos los siguientes pasos:
1. Reescribimoslaecuaciónordenandolasx e y completamos los trinomios cuadrados perfectos.
2. Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos en x y en y.
Resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1. Dada la ecuación general de la circunferencia x2+y2+10x-8y+37=0;obtenerlaecuaciónordinaria,sucentroyradioyconstruirsugráfica.
Nota:Obténlascoordenadasdelcentroycalculaelradioconlosdosprocedimientosdescritosenlaactividad,resultadosquedebencoincidir.
2. IthalyAlejandraesunadiseñadoradetrabajosdeherreríaquelaboracomoapoyoenuntallerdeherrería.Selehasolicitadounarejaparaunapuertaparecidaaladelafotografíaqueapareceacontinuación:
(x - 1)2 + (y + 2)2 =1
C(1,-2) son las cordenadas del centro.
r = 1 son las cordenadas del centro.
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La reja solicitada consta de los siguientes requerimientos: una parte rectangular cuyas dimensiones son de 2mdelargopor1.5mdeancho,unarcosemicircularcuyoradiomide1my19barrasconunaseparaciónentreellasde10cm.Sequiereconocerlasmedidasdecadabarra.Lasiguientefiguramuestraeldiseñode la reja solicitada.
Ithaly,consugranexperiencia,concibelasiguienteestrategiadeacción:
a) Considerandosusistemadereferenciacomoelpunto(0,0),Ithalytrazaeldibujoenunplanocartesianotalcomosemuestraenlasiguientefigura.
b) Observandoqueelcentrodelacircunferenciaeselpunto(1,0),obtienelaecuacióndelamisma.c) Despeja“y”delaecuaciónobtenidaenincisoanterior.d) Empieza a sustituir los valores de “x” (que representa las posiciones de cada barra) en la ecuación
anterior(0.1m,0.2m,0.3m,0.4m,etc.),conlafinalidaddeobtenerlosvaloresde“y”correspondientesacadavalorde“x”.
e) Acadavalorde“y”,queeslamedidadecadabarraenlasemicircunferencia,lesumalapartedebarracorrespondientealrectángulo,esdecir1.5myasíobtienelamedidadecadabarra.(verfiguraanterior).
f) DesarrollalaestrategiaparasaberaquéresultadosllegóIthalyyorganizainformaciónenunatabla.g) Unavezqueobtuvolamedidadecadabarra,llegósucompañeroOscarErnesto,quientambién,apoya
enel taller, y ledicequeél llegóa losmismos resultadosperodeunamaneramás rápida ymenoslaboriosa.Oscarconsiderósusistemadereferencia,esdecir,elorigendelplanocartesianoenelcentrode la circunferencia:
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Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos. A(2,0),B(2,3),C(1,3)
Pararesolverelsiguienteproblemaserealizanlossiguientespasosaseguir.
Paso 1. Considerando la ecuación general de una circunferencia como x2+y2+Dx+Ey+F= 0,sustituimoslospuntos dados y construimos un sistema de ecuaciones:
Moviendoloscoeficientesnuméricoshacialaderechadelaigualdadresulta:
Paso 2. Resolvemoselsistemadeecuacionesysustituimosenlaformageneralconsiderada:
Encontramos que: D=-3, E= -3 y F=2ParaconcluirelproblemasustituimoslosvaloresdeD,EyFenlaecuacióngeneralyresulta:
En este video podrás ver cómo encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos.
Esta es la ecuación de la circunferencia.
1.CalculenlamedidadecadabarraconlaestrategiaquesiguióOscar.2.Organicenlainformaciónenunatabla.3.¿ConcuerdanlasmedidasqueobtuvoOscarconlasdeIthaly.
4.- Perspectiva y cultura. Página: 138
https://youtu.be/MLLjKsmHaHQ https://youtu.be/kjybNqZeG7
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Realiza la siguiente actividad en hojas blancas y entrégaselos a tu profesor para su revisión y posteriormente guárdala en tu portafolio de evidencias.
1. Completa la siguiente tabla según lo solicitado en el encabezado de cada columna, para cada uno de los ejercicios de las circunferencias correspondientes. Realice los procedimientos necesarios.
Nota: Cuando se da la ecuación general como dato, obtén el centro y radio con los dos procedimientos descritos para ello.
Número del
ejercicio
Coordenadas del centro
Medida del
radio
Ecuación ordinaria o canónica
Ecuación general Gráfica
1 (0,0) 4
2 x2 + y2 =100
3 16x2 + 16y2 -9 =0
REACTIVOS DE CIERRE
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4 (6, -3) 7
5
6 x2 +y2-4x -10y +20 = 0
7 (x+4)2+(y-5)2 = 16
8 23
12 )( ,
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Resuelve los siguientes problemas:
1. Encontrar la ecuación ordinaria, ecuación general, coordenadas del centro y construir la gráfica de la circunferencia cuyo radio mide 9 unidades y es concéntrica a otra circunferencia cuya ecuación general es x2+y2-2x+2y-2=0.
2. Encontrar la ecuación general de la circunferencia que tiene su centro en (3,3) y es tangente a la recta cuya ecuación es x+y-10=0.
3. Encontrar la ecuación ordinaria, la ecuación general, radio y construir la gráfica de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (-7, - 4) y pasa por el punto A (-3, 1).
4. Obtener la ecuación ordinaria, ecuación general, centro, radio y construir la gráfica de la circunferencia cuyos puntos extremos de uno de sus diámetros son y
5. Encontrar la ecuación ordinaria, ecuación general, coordenadas del centro y construir la gráfica de la circunferencia cuyo radio mide 2 unidades y es concéntrica a otra circunferencia cuya ecuación general es x2+y2+10x-8y-8=0.
6. Encontrar la ecuación general, coordenadas del centro, medida del radio y construir la gráfica de la circunferencia que pasa por el origen y es concéntrica a la circunferencia cuya ecuación general es x2+y2-2x-14y+14=0.
7. Encontrar la ecuación general de la circunferencia que tiene un radio de √10 cm y su centro es el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son:
2x+y=-4
-4x+y=-4
8. ¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje de las ordenadas y que además para por los puntos y ?
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Video donde se explica cómo encontrar la ecuación de la circunferencia inscrita en un triángulo, conociendo los vértices. https://youtu.be/8xNR4vLn1sE
Video donde se explica cómo encontrar la ecuación de la circunferencia circunscrita en un triángulo, formado por tres puntos. https://youtu.be/yXud0UYI0jc
9. Encontrar las coordenadas del centro, radio y las ecuaciones, ordinaria y general, de la circunferencia que pasa por los puntos A (-6,0), B (-4,5) y C (1,6).
10. Encontrarlaecuacióngeneraldelacircunferenciaquetienesucentroenelpunto(7,2) y es tangente a la recta cuya ecuación es 7x-4y+24=0.
11. Encontrar la ecuación general de la circunferencia quetiene su centro en la intersecciónde lasrectas cuyas ecuaciones son: -2x+y=11 y x+3y=5; y que además es tangente a la recta 4x- 3y= -100.
12. Dadas las rectas x=6 y y=-3,encuentralaecuacióndelacircunferenciaderadio4cmyqueseatangenteaambasrectas.Propónunaestrategiadesoluciónydesarróllalaasícomoen loscasosdescritosenestasecuenciadidáctica.
13. Hallar laecuacióndelacircunferenciacircunscritaaltriángulocuyosvérticestiene:A(0,0),B(3,1) y C(5,7)considerandoquelosvérticesdeltriángulosonpuntospordondepasalacircunferencia.
Video que muestra cómo encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por un punto y es concéntrica con otra circunferencia. https://youtu.be/pfjzrzxmnFU
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4.¿Cuáldelassiguientesecuacionesrepresentalagráficadelacircunferenciamostrada?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Selecciona la opción correcta en cada uno de los siguientes planteamientos:
1. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto (3,3), es:a) x2+y2=9b) x2-y2=18c) x2+y2=18d) x2-y2=9
2. La ecuación general de la circunferencia que tiene como centro el punto (2,3) y su radio mide 13 unidades, es:
a) (x-2)2 + (y-3)2=169b) (x+2)2+(y+3)2=169c) (x-2)2 + (y-3)2= 13d) (x+2)2 + (y+3)2=13
3. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la gráfica de la circunferencia mostrada?
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5. Es el radio de la circunferencia cuya ecuación general es x2 + y2 + 6x +8y = 0
a) 5b) 6c) 25d) 36
6. Es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos A(-3,4), B(6,4), C(-3,-2):
7. Es el centro y radio de la circunferencia cuya ecuación es x2+y2+4x+6y-23=0:
8. Eslaecuacióndelacircunferenciaquetienesucentroenlainterseccióndelasrectas x+8y-35=0 y 5x- 9y-28=0; y además es tangente a la recta cuya ecuación es y-7=0:
a) c(2,3);r=6b) c(-2,-3);r=6c) c(2,-3);r=6d) c(-2,3);r=6
a) x2+y2+22x-6y+114= 0b) x2+ y2 - 22x + 6y + 114 = 0c) x2+y2 + 22x + 6y + 114 = 0a) x2+y2 - 22x - 6y + 114 = 0
a) (x + 4)2 + (y - 5)2 = 98b) (x - 4)2 + (y - 5)2 = 98c) (x + 4)2 + (y + 5)2 = 98d) (x - 4)2 + (y + 5)2 = 98
9. La ecuación ordinaria de la circunferencia que tiene su centro en el punto (4,-5) y es tangente a la recta cuya ecuación es x+7y=39.
10. Es el radio de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje de las abscisas y que además para por los puntos A (0,-4) y B(-10,6):
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
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Si de la autoevaluación anterior respondiste correctamente todos los reactivos considera tu nivel de conocimientos EXCELENTE, si fueron nueve correctos tu nivel se considera como MUY BUENO, ocho reactivos correctos tu desempeño es BUENO. Se considera un desempeño REGULAR, si obtuviste de seis a siete reactivos buenos. Si fueron menos de cinco tu desempeño es MUY BÁSICO, lo que exige refuerces tus conocimientos previos.
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos en función de las respuestas correctas que tuviste? Señala con una según sea el número de reactivos correctamente contestados.
¾ C.G. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
¾ C.D. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y/o geométricos.
Estas competencias serán alcanzadas si obtuviste un desempeño BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE.
EXCELENTE
MUY BUENO
BUENO
REGULAR
MUY BÁSICO
Si tu resultado fue BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE te felicitamos y te motivamos a que sigas esforzándote como lo has hecho y, obviamente, que corrijas aquello que no te permitió alcanzar la excelencia; si tu desempeño fue REGULAR O MUY BÁSICO, refuerza tus conocimientos consultando de nuevo el contenido del bloque si lo consideras necesario. Además te invitamos a que te acerques a tu maestro o tus compañeros para que le solicites el apoyo para reforzar los temas en los que fallaste, asimismo, que acudas a asesorías en donde se te apoyará para que mejores tu desempeño y puedas obtener mejores resultados.
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Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y compara tus resultados y procedimientos con tres de tus compañeros.
1. Enlasolimpiadas,eltiroconarcoconsisteenunadianaoblancocuyodiámetromide122cmycontiene10 zonas que son circunferencias concéntricas. La circunferencia del centro (menor de ellas) tiene undiámetrode12.2cmylasbandassubsecuentes(coronascirculares)tienenunanchode6.1cm.Eltiradorseposicionaaunadistanciade70metrospararealizareltiro.Elblancoseinstalasobreunosapoyosdeesparto,enunángulode15o.
El sistema de puntuación es el siguiente:
a) Silaflechatocadoscoloresdelaslíneasdivisorias,setomaelvalormásalto.b) Silaflecharebotaenladianaoconotraflecha,sesumaríanlospuntossólosihayunamarcaen
elblanco.c) Silaflechadisparadaseclavaenotraflecha,sedalamismapuntuaciónquetuvieraésta.
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Responde:
a)Sisecolocaelorigendelplanocartesianoenelcentrodeladiana,encuentralaecuaciónquedescribecadacircunferenciaconcéntrica,apartirdelcentrohaciaafuerayllenenlasiguientetabla.
b) Un jugador, en su entrenamiento realiza 10 tiros. Las coordenadas donde pega la flecha seespecificanenlatablasiguiente,¿Quépuntajelecorrespondeacadatiroycuáleselpuntajetotal?
Circunferencia Radio Ecuación12345
6789
10
Circunferencia Radio Ecuación1 (-15,15)2 (5,0)3 (20,20)4 (-40,30)5 (-25,15)6 (15,0)7 (-36.6,0)8 (0,42.7)9 (-50,40)
10 (0,)Puntaje total
2.Enlasiguientefigurasemuestralasdimensionesdeuncampodefútbol.
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Siseconsiderauncampocuyasdimensionesson120mdelargoy90mdeancho,ysisecolocaelorigendelplanocartesianoenelcentrodelacircunferenciacentraldelcampo,talcomosemuestraenlasiguientefigura.
Interesa obtener las ecuaciones de:
a) La circunferencia central, que es de donde se efectúa el saque inicial.b) El arco de las dos circunferencias que tiene como centro el punto de penal, que es de donde se realiza un
tiro cuando se comete una falta en el área penal. Esta circunferencia además tiene un radio de 9.15 m.c) Las ecuaciones de las circunferencias formadas por los cuadrantes en cada esquina, que es de donde
se realiza un tiro de esquina cuando la pelota sale por la línea de fondo. Estas circunferencias tienen su centro en las esquinas del campo y sus radios miden 55 cm.
d) Las circunferencias cuando se comete una falta en los puntos marcados con color rojo. El árbitro marca 9 pasos desde donde se cometió la falta y dibuja una circunferencia imaginaria (cuyo radio debería de ser también de 9.15 m) y los jugadores deben estar fuera de esa circunferencia.
3.¿En qué sitio debe ubicarse una tienda de autoservicio para que esté a igual distancia de tres fraccionamientos situados en A (1,1) y B(2,2) y C(-6,8)? Las coordenadas están dadas en kilómetros
Ángulo central de una circunferencia: El ángulo central de unacircunferenciaeselquetienesuvérticeenelcentrodelacircunferenciaysuladoinicialyfinalsondosradiosde la misma. Arco: Es una parte de la circunferencia.Circuncentro: Es el punto de intersección de las tres mediatrices que se pueden trazar en un triángulo cualquiera.Circunferencia: Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de otro puntofijollamadocentro(C).Circunferencias concéntricas: Circunferenciasquetienenel mismo centro.Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia.
Diámetro: Es la cuerdamayor de una circunferencia, esdecir,eselsegmentoderectaqueuneadospuntosdelacircunferenciaycontienealcentro.Eldiámetromidedosveces el radio. Punto de tangencia: Es el punto donde una recta tangente toca a una circunferencia.Radio de una circunferencia: Es la distancia del centro a cualquierpuntoquepertenecealacircunferencia,siendoesta distancia siempre la misma.Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. A este punto se le conoce como punto de tangencia. Larectatangentetienelapropiedaddeserperpendicularal radio formado por el centro y el punto de tangencia.
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Segundo Parcial. Circunferencia
En equipo de cinco integrantes realizar en hojas blancas, los siguientes puntos:
1. Buscar las imágenes y medidas de las canchas en los diferentes deportes (fútbol, basquetbol, beisbol, voleibol, tenis, entre otros).
2. En listar todos los lugares geométricos que se observan en cada una de las canchas y resaltar con algún color estas.
3. Colocar en un plano cartesiano cada una de las canchas de los diferentes deportes.4. Proporcionar las ecuaciones de los lugares geométricos.
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Secuencia didáctica 1, Actividad de cierre
Primeroobténtucalificacióndemaneraindividual:colocaunaXenlapuntuaciónquereflejatudesempeñoencadaindicadorysúmalasparaconocereltotal.Despuésreúnetecontuscompañerospararealizarunpromedioyobtenersucalificacióncomoequipo.
Desempeño
Núm
ero Indicador Excelente
oBueno
(2)
Regular(1)
Insuficiente(0)
1 Propusimos la manera de solucionar y desarrollamos la tarea en equipo, asumiendo responsabilidad compartida.
2 Establecimos las relaciones entre los elementos de la circunferencia proporcionados para obtener la ecuación de la con centro en el origen.
3 Identificamos lo que sabemos y lo que nos falta aprender.Calificación:
Paraevaluarellogrodelascompetenciasgenéricaydisciplinar(mismasqueseenuncianaliniciodelbloqueyenlasección“deentrada”delasecuenciadidáctica3.1,respectivamente),utilizaelsiguientecuadro de semaforización, marcando el logro de dichas competencias con una palomita en el color correspondiente.
Competencia genérica
5.1
No sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, ni comprende cómo cada uno de los pasos para deducir y aplicar las ecuaciones (canónica, ordinaria y general) que representan a una circunferencia cuando se conocen centro y radio, contribuyen en la solución de problemas.Presenta dificultades para seguir instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, así como para comprender cómo cada uno de los pasos para deducir y aplicar las ecuaciones (canónica, ordinaria y general) que representan a una circunferencia cuando se conocen centro y radio, contribuyen en la solución de problemas.Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva para dar solución a problemas que involucran ecuaciones (canónica, ordinaria y general) de una circunferencia cuando se conocen centro y radio, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de ese objetivo.
Competencia disciplinar
1
No construye ni interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales que involucran las ecuaciones de una circunferencia cuando se conocen centro y radio.Presenta dificultades para construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales que involucran las ecuaciones de una circunferencia cuando se conocen centro y radio. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales que involucran las ecuaciones de una circunferencia cuando se conocen centro y radio.
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Secuencia didáctica 3, Actividad 1
Desempeño
Núm
ero Indicador Excelente
oBueno
(2)
Regular(1)
Insuficiente(0)
1 Propusimos la manera de solucionar y desarrollamos la tarea en equipo, asumiendo responsabilidad compartida.
2 Establecimos las relaciones entre los elementos de la circunferencia dada su ecuación general.
3 Establecimos las relaciones entre la ecuación y los elementos de la circunferencia y su aplicación del problema.
4 Resolvimos problemas con la forma ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen
5 Identificamos lo que sabemos y lo que nos falta aprender.Calificación:
Primeroobténtucalificacióndemaneraindividual:colocaunaXenlapuntuaciónquereflejatudesempeñoencadaindicadorysúmalasparaconocereltotal.Despuésreúnetecontuscompañerospararealizarunpromedioyobtenersucalificacióncomoequipo.
Secuencia didáctica 2, Actividad de cierre
Seleccionaelpuntajequealcanzasteencadarubro.
Nombre: _____________________________________________________________________________
Actividad: ____________________________________________________________________________
Materia: _____________________________________________________________________________
Grupo: _______________________________________________________________________________
FechadeEntrega:______________________________________________________________________
Puntos Puntaje Estructura1 1. Cuenta con la lista de cotejo impresa anexa a la actividad de cierre.1 2. La lista de cotejo presenta los datos de identificación del elaborador.
Estructura interna (selecciona sólo un punto 3, 4 o 5) .4 3. Tiene el 100% de los puntos contestados.2 4. Tiene del 60% al 80% de los reactivos contestados0 5. Tiene menos del 60% de los reactivos contestados.
Contenido2 6. El alumno presenta un trabajo limpio y de calidad.
Aportaciones propias2 7. Realiza los gráficos mediante el uso de algún software.
10 Total de puntos
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4 Perspectiva y culturaCONSTRUYE T
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Para tu vida diaria CONCEPTO CLAVE
GLOSARIO
¿Quieres saber más?
Escribe en un minutoqué te llevas de la lección
Activ
idad
Con
stru
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Elipse
CONOCIMIENTOS ● Lugar geométrico de la elipse.
• Definicióndeelementosytrazadodelaelipse. ● Ecuación de la elipse.
• Ecuaciónordinariadeelipseshorizontalesyverticalesconcentroenyfueradelorigen. ● Ecuación general de la elipse.
HABILIDADES ● Reconoce la elipse y sus elementos. ● Analiza la ecuación que representa la elipse, según los elementos conocidos. Representagráficamentelaelipsedeacuerdoasuselementos.
● Infierelagráficadelaelipseapartirdelasformasdelaecuación.
ACTITUDES ● Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad. ● Privilegia el diálogo para la construcción de nuevos conocimientos. ● Externaunpensamientocríticoyreflexivodemanerasolidaria. ● Serelacionaconsussemejantesdeformacolaborativamostrandodisposiciónaltrabajometódico
y organizado.
APRENDIZAJES ESPERADOS ● Emplea la elipse y sus elementos para solucionar colaborativamente problemáticas en su vidacotidiana.
● Usamodeloselípticosdemanerareflexiva,paraobtenerlaecuaciónordinariaytransformarlaalageneral,ensituacionesdesucontexto.
Horas asignadas: 15 horas.
COMPETENCIA GENÉRICA
● CG7.3 ● CG8.1 ● CG8.2
● CDBM1 ● CDBM 2 ● CDBM4
● CDBM6 ● CDBM8
PROPÓSITO DEL BLOQUE ● Aplicalosconocimientosdelaelipseysuselementos,parafavorecerelpensamientometódicoylógicoenlasolucióndeproblemasdesuentorno.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICASDE MATEMÁTICAS
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La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol; de hecho tarda en promedio, 75 años en recorrer la trayectoria.
Una elipse es una curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Para fortalecer aprendizaje, te recomiendo consultar el siguiente video cuya liga de acceso es: https://www.youtube.com/watch?v=TN6mudrIdbk
Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
La elipse es la curva plana, simple y cerrada.
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Para comprender mejor esta definición haremos las siguientes actividades.
Secuencia didáctica 1
Lugar geométrico de la elipse
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Lee cuidadosamente y responde cada uno de los cuestionamientos. Escribe con letra clara y legible cada uno de los procedimientos, simplificando al máximo.
1. ¿Qué tipo de órbita tienen los planetas?
2. ¿En qué punto se encuentra el sol dentro de la órbita de los planetas?
3. Desarrolla e iguala a cero la ecuación
4. Expresa las siguientes ecuaciones utilizando binomios al cuadrado (en caso de que la ecuación no sea
un trinomio cuadrado perfecto, completarlos):
a) x2 + 8x + 16 = 0b) 4x2 - 8x + 5 = 0c) 16x2 - 32x + 16 = 0
5. Selecciona las imágenes que describen elipses:
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Definición de los elementos y trazado de la elipsePara empezar con el tema y comprender mejor la definición de la elipse realiza las siguientes actividades.
Traza un segmento de línea que divida tu cartón en dos partes iguales, sobre esta línea realiza dos puntos y pasa el listón por estos agujeros y fijalo con un nudo por debajo del cartón, de tal manera que al estirar el listón, éste no salga del cartón.
Ahora coloca una pluma de tal manera que marques la trayectoria al momento de estirar el listón y dar la vuelta al cartón.
Contesta la siguiente pregunta:1. ¿Qué figura se forma con esta técnica?
De manera individual, realiza lo que se te indica.
Para esta actividad requieres del siguiente material: ¾ Un cartón de 30 x 20 centímetros. ¾ Un listón 50 centímetros. ¾ Un lápiz. ¾ Una regla graduada.
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Para aprender más puedes ver el siguiente video:Introducción al concepto de la elipsehttps://youtu.be/P-PhOy9F7Sg
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I. En la actividad 1 construiste una elipse, ahora sobre esta elipse, coloca un punto P en diferentes posiciones sobre ella, mide la distancia 1 (d1) y la distancia 2 (d2) y llena la tabla.
2
II. A partir de los datos obtenidos en las gráficas anteriores llena la siguiente tabla:
Distancia 1 (d1) Distancia 2 (d2) Suma d1 + d2
1. ¿Cómo son los resultados obtenidos de la suma de las distancias?2. ¿Cómo asocias estos resultados con la construcción de la elipse?
III. Conclusión:
De manera individual, realiza lo que se te solicita en cada punto.
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ElipseEs el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es igual a una constante.
Elementos de la elipse:
Los focos son F1 y F2. El centro es C. Los vértices son V1 y V2. El eje mayor es el segmento de recta comprendido entre V1 y V2 y su longitud es 2a. El eje menor es el segmento de recta comprendido entre B1 y B2 y su longitud es 2b. El eje focal es el segmento de recta comprendido entre F1 y F2 y su longitud es 2c. El Lado Recto es el segmento perpendicular, al eje mayor que tiene como extremos dos puntos de
la elipse y pasa por los focos. a = dCV: semieje mayor. b = dCB: semieje menor. c = dCF: semieje focal.
Como lo pudiste corroborar en la ACTIVIDAD 2, la suma de las distancias de los focos a cualquier punto P de la elipse P = (x,y) es constante y su valor es 2a.
Si colocamos el punto P = (x,y)en el punto B1, se forman dos triángulos rectángulos, por lo que se puede aplicar el teorema de Pitágoras.
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Para fortalecer tu aprendizaje de la Elipse, puedes consultar el video en el siguiente link:https://www.youtube.com/watch?v=jVTZITljKUE
La relación que define que tan redonda o alargada es la elipse, y que su valor está comprendido entre 0 y 1 se define como excentricidad y está representado por:
O bien:
Y la longitud del lado recto está dado por la fórmula: LLR = 2b2
a
a2 = b2 + c2
Foco: Punto fijo que se utiliza en la generación de cónicas.Vértice: Punto de una curva en la que la curvatura tiene un máximo o un mínimo.
Excentricidad: Es la relación que define que tan redonda o alargada es la elipse.
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Aplicaciones de la elipse
En la física es muy utilizado el movimiento elíptico, ya que permite convertir el movimiento giratorio continuo de un eje en uno lineal y viceversa.
La cabeza de la biela tiene un movimiento elíptico, mientras que el pie de la biela sigue una trayectoria lineal.
"Todos los planetas se desplazan alrededor del sol describiendo órbitas elípticas. El sol se encuentra en uno de los focos de la elipse".
Primera ley de Kepler:
Las máquinas con poleas elípticas en gimnasios que sirve para transmitir una fuerza, actuando como resistencia en uno de sus extremos y como potencia en el otro.
Las máquinas con poleas elípticas en gimnasios que sirve para transmitir una fuerza, actuando como resistencia en uno de sus extremos y como potencia en el otro.
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Sabías que...
Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), figura clave en la revolución científica, astrónomo y matemático alemán; conocido fundamentalmente por sus leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II.
Ya para concluir como vimos en esta secuencia didáctica la definición de elipse es: el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Es decir:
Donde:d(P,F1 ) Significa: la distancia del punto P al foco 1.d(P,F2) Significa: la distancia del punto P al foco 2.P(x,y) Son las coordenadas de un punto. 2a Es la suma de las distancias, igual a la longitud del eje mayor.
Ver la figura:
En donde quiera que esté el punto P(x,y) la suma de las distancias siempre serán la misma.
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Sigue las instrucciones y responde lo que se te pide.
Poniendo el centro de la elipse en el origen y un punto P(x,y) en uno de los vértices, los focos quedarían en las coordenadas F1 (-c,0) y F2 (c,0) y tomando en cuenta que la suma de las distancias de cada uno de ellos al punto P(x,y) es igual a 2a. Determina los pasos a seguir para determinar su ecuación:
Donde las coordenadas de los focos son: F1 (-c,0) y F2(c,0) y las coordenadas del punto son: P(x,y)
Sustituimos en la fórmula de distancia entre dos puntos:
Obtenemos:
Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos:
Al desarrollar los binomios al cuadrado obtenemos:
Tenemos:
REACTIVOS DE CIERRE
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Eliminando términos semejantes:
Eliminando términos semejantes:
Dividiendo para igualar a 1, obtenemos:
Eliminando los iguales, obtenemos:
Multiplicando por -1
Dividiendo entre 4:
Pasando a2 para la parte izquierda y después elevar al cuadrado en ambos lados obtenemos:
Desarrollando el binomio al cuadrado en la parte derecha de la igualdad, tenemos:
Y como en la elipse se usa la fórmula: c2 = a2 -b2 la sustituimos en la ecuación y obtenemos:
Esto es:
Términos semejantes:
La cual es la fórmula de la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y con focos F1(-c,0) y F2 (c,0) y su eje mayor está horizontalmente.
Siguiendo el mismo procedimiento pero si las coordenadas de los focos son: F1(0,-c), F2(0,c) y el centro en el origen, ¿Cómo quedaría la ecuación de esta elipse?
Para saber más puedes consultar el siguiente video:https://youtu.be/LKlsOtKtl_4 demostración de la ecuación horizontal de la elipse con centro en origen.
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Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en y fuera del origen
Veamos un ejemplo de cómo se usan los conceptos y fórmulas de la elipse vistas en la secuencia didáctica 1.
Ejemplo 1.Obtén la ecuación y la gráfica de la elipse cuyo centro se encuentra en el origen, uno de sus focos está en las coordenadas (0,3) y uno de sus vértices en (0,5).
Paso 1. Colocamos las coordenadas del centro, foco y vértice.
Secuencia didáctica 2
Ecuaciones de la elipse
En la siguiente figura señala los elementos de la elipse. Utiliza un color diferente para cada elemento.
Elementos de la elipse:
• Los focos son F₁ y F₂ ( ya están de color rojo).• El centro es C.• Los vértices son V₁ y V₂.• El eje mayor.• El eje menor. • El eje focal.• El Lado Recto.
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Paso 2. Determinamos los parámetros a, b y c, a partir de los datos iniciales.
a=5, ya que es la distancia del centro al vértice (semieje mayor)c=3, es la distancia del centro al foco (semieje focal)y b lo determinamos con el teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2, quedando:
Sustituyendo valores:
b = 4 Siendo esté el semieje menor.
Paso 3. Obtenemos los elementos faltantes:Centro = (0,0)Focos: F1 = (-3,0) y F2 = (3,0)Vértices: V1 = (-5,0) y V2 = (5,0)Eje mayor: 2a = 10
Eje menor: 2b = 8Eje Focal: 2c = 6La longitud del lado recto es: LLR= Como los focos son: F1 = (-3,0) y F2=(3,0) y la longitud del lado recto se dividen entre dos, quedarían las coordenadas de los extremos del lado recto, de la siguiente manera:
Excentricidad:
Paso 4. Ahora graficamos la elipse:
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1. Centro en las coordenadas (2,3), Eje mayor de 12 unidades, uno de los focos se encuentra en las coordenadas (-2,3).
2. Sus vértices son las coordenadas V1 = (2,8) y V2 = (2,-4) y uno de sus focos en las coordenadas F2 = (2,4).
3. Su centro en el origen, eje menor de 6 unidades, eje focal de 10 unidades y está sobre el eje de las abscisas.
4. Su eje focal es el segmento de recta comprendido entre los puntos (-2,-2) y (-2,9) y su excentricidad es de .
5. La longitud del lado recto es de 9 unidades, su centro se encuentra en el origen, su eje mayor mide 16 unidades y se encuentra en el eje de las ordenadas.
1
Gráfica en tu cuaderno las elipses que cumplen con las siguientes condiciones:
Graficando la elipse
Para realizar la gráfica de la elipse, debemos conocer: Eje mayor. Eje menor. Coordenadas del centro. Coordenadas de los focos. Coordenadas de los vértices. Coordenadas de los extremos del lado recto.
Sustituyendo los valores del semi-eje mayor (a) y semi-eje menor (b) obtenemos:
Por lo tanto esta es la ecuación canónica de la elipse.
Por lo tanto la ecuación la obtenemos utilizando la fórmula:
Sabias que...
La Ecuación Canónica de la elipse se refiere a aquella que tiene su centro en el origen (0,0).
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Ecuación canónica de la elipse
Para aprender más, puedes consultar los siguientes videos.
Ecuación canónica de la elipse
Fórmulas de la elipse con centro en el origen
Gráfica
Horizontal Vertical
Ecuación Canónica
Focos
Vértices
Ladorecto
https://youtu.be/ZZtG_9k6UeAhttps://youtu.be/6zxhe7QT6dw?list=PLeySRPnY35dGeN2p7_sJ_v_mhoIZtO5kV
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Para obtener la ecuación de la elipse a partir de sus elementos debes determinar: a) Las coordenadas del centro.
b) Las longitudes del semieje mayor.
c) La longitud del semieje menor.
Recuerda que cuando la ecuación de la elipse es horizontal el parámetro a2 es el denominador de la x2 y cuando es vertical el parámetro a2 es denominador de y2.
Ejemplo 1. Encuentra la ecuación canónica de la elipse si uno de sus focos está en las coordenadas (0,3) y uno de sus vértices en (0,5).
Paso 1. Analizamos los datos que tenemos:Centro = (0,0)Foco = (0,3)Vértice = (0,5)
Paso 2. Dado que la longitud del eje focal es 2c, podemos decir que del centro al foco la distancia es c.Dado que la longitud del eje mayor es 2a, podemos decir que del centro al vértice la distancia es a.Teniendo estos datos podemos determinar con el teorema de Pitágoras la longitud del semieje menor b.
a2 = b2 + c2
a = 5b = 3
Despejando b:
Donde:
Sustituyendo valores:
Paso 3. A partir de estos datos podemos obtener los elementos de la elipse, obtener su gráfica.Centro (0,0)Focos (0,-3) y (0,3)Vértices (0,-5) y (0,5)Eje mayor: 2a = 10Eje menor: 2b =8Eje Focal: 2c = 6
Longitud del lado recto: LLR=
Excentricidad:
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Paso 4. La gráfica es la siguiente:
Paso 5. Determinamos la ecuación canónica a partir de los parámetros a y b, como es una elipse vertical, quedaría de la forma:
Sustituyendo valores obtenemos la ecuación canónica de la elipse:
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La ecuación canónica de la elipse.
Paso 4. Obtener los elementos de la elipse.
En el denominador mayor “9” se encuentra justo debajo de la “y”, esta ecuación corresponde a una elipse vertical.
Al tratarse de una elipse vertical, podemos asumir que:a2=9b2=4
Esto es porque a > b , de ahí podemos obtener:a=3b=2
Para obtener el valor de c, utilizamos la fórmula: a2 = b2 + c2
Despejando c obtenemos: c2 = a2 - b2
Sustituyendo los valores de a y b, obtendremos:
Ejemplo 2. Determina los elementos y gráfica de la elipse, cuya ecuación es 9x2 + 4y2 - 36 = 0
Solución:
Paso 1. Vamos a mover el -36 a la parte derecha de la igualdad.
9x2 + 4y2 = 36
Paso 2. Dividimos todo en 36.
Esto nos daría:
Paso 3. Simplificando obtenemos:
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Excentricidad:
Gráfica de la elipse vertical:
Es el valor de c.Obteniendo las coordenadas de los vértices:
V1 = (0,a) y V2 = (0,-a)V1 = (0,3) y V2 = (0,-3)
Obteniendo las coordenadas de los focos: F1 = (0,c) y F2 = (0,-c)
F1 = (0,√5) y F2 = (0,-√5)
Los extremos del eje menor: B1 = (-2,0) y B2 = (2,0)
La longitud del lado recto:
Para aprender más, puedes consultar los siguientes videos.
De cómo graficar y encontrar los elementos de la elipse conociendo su ecuación con centro en el origen
https://youtu.be/Q_9D6uuQgsA https://youtu.be/bxv6gmYa7JE
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Ejemplo 3. Hallar los elementos y la ecuación canónica de la elipse que tiene como coordenadas de sus focos (-3,0) y (3,0) y su eje mayor mide 10. Ver la gráfica.
Solución:
Como el eje mayor mide 10, entonces a = 5
El eje focal 2c =2 (3)= 6, debido a que c=3
c2 = a2 - b2
Despejando b, obtenemos:
b2 = a2 - c2
Sustituyendo a y c:
b2 = (5)2 - (3)2
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Por lo tanto el eje menor mide:
Eje menor 2b = 2(4) = 8
La longitud del lado recto es:
El valor de la excentricidad es:
Dado a que la elipse es horizontal, debemos usar la fórmula para encontrar la ecuación:
Sustituyendo los valores del semieje mayor y el semi eje menor obtenemos:
Y esta es la ecuación canónica de la elipse.
Para saber más sobre este ejemplo puedes consultar en el siguiente video:https://youtu.be/iW5r6vj9HxQ
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Encuentra la ecuación de la elipse que cumpla con las siguientes condiciones:
1. Vértices en (-6,0) y (6,0), focos en (-4,0) y (4,0).2. Con centro en el origen, semieje mayor de 6 unidades y eje menor de 10 unidades y se encuentra
sobre el eje de las abscisas.3. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto ( 2
7 , 3 ), tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje x y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor.
4. Con centro en el origen, focos en ty su excentricidad igual a 12 .
5. Con centro en el origen, a=7, c=4 y eje mayor sobre el eje de las ordenadas.6. Con centro en el origen, eje mayor sobre el eje x, longitud del lado recto igual a 12 y excentricidad
de 13
.7. Determina los elementos y gráfica de la elipse, cuya ecuación es: 16x2 + 25y2 - 400 = 08. Dada la gráfica de la elipse:
De manera individual realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno y determina sus gráficas (te puedes apoyar con software GeoGebra):
2
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Obtener:a) Longitud del eje mayor.b) Excentricidad.c) Longitud del lado recto.d) Ecuación canónica de la elipse.
9. Dada la gráfica de la elipse encuentra sus elementos y la ecuación canónica.
Para saber más puedes ver este video:Ecuación canónica de la elipse conociendo la gráfica
https://youtu.be/iW5r6vj9HxQ?list=PLeySRPnY35dGeN2p7_sJ_v_mhoIZtO5kV https://youtu.be/6zxhe7QT6dw
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En las actividades anteriores obtuviste la ecuación de la elipse con centro en el origen, ahora la determinaremos para elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen.
Ecuación ordinaria de la elipse con centro fuera del origen
Fórmulas de la elipse con centro en el origen
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Horizontal Vertical
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Ecuación Canónica
Focos
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Ejemplo 1. Hallar la ecuación ordinaria de la elipse, si se sabe que su C (-4, -6), su F (-4, -3) y su V (-4, -1).
Paso 1. Primero graficamos esos puntos para saber si la elipse es horizontal o vertical.
Paso 2. Como podemos ver la elipse es vertical y las fórmulas que vamos a utilizar son las siguientes.
F1 = (h,k - c) y F2 = (h,k + c)V1 = (h,k - a) y V2 = (h,k + a)
Paso 3. Señalar las coordenadas del centro es C(-4,-6) por lo tanto h= -4 y k= -6.
Paso 4. Encontrar el valor del semi-ejefocal y las coordenadas del segundo foco.F1= (h,k-c) y F2= (h,k+c)
Sustituyendo h = -4 y k = -6 y como las coordenadas del foco que te proporcionan es F(-4,-3)Tenemos: F2 = (h,k+c)
k + c = -3-6 + c = -3
Despejando se obtiene: c = -3 + 6
c = 3
Entonces las coordenadas del segundo foco son: F1 = (h,k - c) F1 = (-4, -6 -3)
F1 = (-4, -9)
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Paso 5. Hacer lo mismo que el paso anterior para encontrar las coordenadas del segundo vértice.Las coordenadas del centro son C(-4, -6) por lo tanto h = -4 y k =-6.
Fórmulas de los vértices para una elipse vertical.V1 = (h,k - a) y V2= (h,k + a)
Las coordenadas de un vértice que te proporcionan son: V (-4, -1)Entonces: k + a = -1Sustituyendo el valor de: k = -6 tenemos:
-6 + a = -1
Despejando a = -1 + 6a = 5 Que es el valor del semi-eje mayor Las coordenadas del otro vértice son:
V1 = (h,k-a) V1 = (-4,-6-5)V1 = (-4,-11)
Paso 6. Para encontrar el valor de b, el semi-eje menor sabemos que:
a2 = b2 + c2
Despejando b y sustituyendo los valores de a y c obtenemos:
Paso 7. Sustituir en la fórmula de la ecuación los valores encontrados.
Esta es la ecuación ordinaria de la elipse encontrada.
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Ejemplo 2. Los vértices de una elipse tienen por coordenadas (-3,7) y (-3,-1), y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, las coordenadas de sus focos y la excentricidad.
Solución: primero graficamos los vértices y concluimos que el eje mayor es igual a 8.Por lo tanto:
2a=8a=4
Paso 2. Encontramos las coordenadas del centro.
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Paso 3. Como la longitud del lado recto es igual a 2 y el valor de a=4, podemos encontrar b y la longitud del eje menor.
Sustituyendo los valores y después despejamos b
8 = 2b2
4 = b2
b = 2
Por lo tanto el eje menor vale 4.
Paso 4. Encontrar las coordenadas de los focos.
F1 = (h,k -c) y F2 = (h,k + c)
Para encontrar el valor de c, usaremos la fórmula:
a2 = b2 + c2
c2 = a2 - b2
Sustituyendo a y bc2 = 42 - 22
c2 = 16 - 4
Como las coordenadas del centro son C(-3,3) , entonces las coordenadas de los focos son:
F1 = (h,k -c) y F2 = (h,k + c)F1 = (-3, 3- 2√3) y F2 = (-3,3 + 2√3)
F1 = (-3, -0.46) y F2 = (-3,6.46)
Paso 5. Encontrar la excentricidad.
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Paso 6. Hallar la ecuación, como es una elipse horizontal se usa la fórmula.
Se sustituyen los valores de las coordenadas del centro y de los semiejes mayor y menor.
Esta es la ecuación de la elipse.Ver la gráfica.
Encuentra la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones y realiza su gráfica:
1. Tiene centro en el punto (1,4), uno de sus focos es el punto (3,4) y uno de sus vértices es (4,4).2. Los Focos de una elipse son (2,-2) y (2,4) y el eje menor mide 6 unidades.3. Con centro en (1,2) el eje menor es paralelo al eje x y mide 8 unidades, además los focos distan del
centro en 4 unidades.4. La longitud del eje mayor es de 12 unidades, la del eje menor es de 8 unidades y es vertical.5. Con vértices en (-2,3) y (5,3), focos (0,3) y (3,3).6. Con centro en (-2,0), el eje mayor tiene una longitud de 6 unidades y es paralelos al eje Y, y el eje
menor tiene una longitud de 4 unidades.7. Los focos se encuentran en las coordenadas (-7,1) y (2,1) y su eje menor es de 6 unidades.
Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.
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Ecuación general de la elipse
La ecuación general de la elipse se muestra de la siguiente manera:Para la elipse con centro en el origen:
Ax2 + By2 + F = 0
Para la elipse con centro fuera del origen:
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Con A≠B, ambos con el mismo signo y:A>B la Elipse es vertical
A<B la Elipse es horizontalA=B es una circunferencia
Ejemplo 1. Obtener la ecuación general de la elipse a partir de su ecuación canónica.
Paso 1. Primero multiplicamos la ecuación por 25 para eliminar el denominador de x2:
Paso 2. Realizamos el mismo procedimiento para eliminar el denominador de y2.
Paso 3. Igualamos a cero y obtenemos la ecuación general.
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Encuentra la ecuación general de la elipse, a partir de su ecuación canónica.
Ejemplo 2. Encuentra la ecuación general de la elipse cuya ecuación ordinaria es
Paso 1. Primero desarrollamos los binomios al cuadrado, recordando el producto notable:
Paso 2. Multiplicamos la ecuación por 16 para eliminar el denominador de x2.
Paso 3. Ahora multiplicamos la ecuación por 25 para eliminar el denominador de y2.
Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.
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Paso 4. Igualamos a cero para obtener la ecuación general de la elipse.
Para aprender más consulta estos videos:Como pasar de la ecuación canónica a la general (con centro en el origen)https://youtu.be/WAfyfwYoWsI?list=PLeySRPnY35dGeN2p7_sJ_v_mhoIZtO5kV
Determina la ecuación general de la elipse con centro fuera de la elipse, partir de su ecuación ordinaria.
Gráfica y elementos de la elipse a partir de su ecuación general
Para convertir la ecuación general de la elipse a su forma ordinaria, se completan los trinomios cuadrados perfectos, con la finalidad de obtener sus elementos y poder realizar la gráfica.
Ejemplo 1. De la ecuación general de la elipse con centro en el origen 16x2 + 25y2 - 400 = 0, obtener su gráfica.
Paso 1. Sumamos 400 en cada lado de la igualdad para dejar las variables del lado izquierdo.
16x2 + 25y2 = 400
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Paso 2. Dividimos ambos lados de la ecuación entre 16 para que el coeficiente de x2 sea 1 y no se pierda la igualdad.
Paso 3. Realizamos la división entre 25 para que el coeficiente de y2 sea 1.
Con este procedimiento obtenemos la ecuación ordinaria de la elipse.
Paso 4. Ahora determinamos los parámetros a, b y c, para obtener los elementos y la gráfica de la elipse.La ecuación es horizontal, ya que esta de la forma:
a2=25a=5
El valor del eje mayor es igual a 2a, es decir igual a 10
b2 = 16b = 4
El valor del eje menor es igual a 2b, es decir igual a 8
c2 = 25 - 16 = 9c = 3
El valor del eje focal es igual a 2c , es decir igual a 6
Por lo tanto las coordenadas del centro son:
C = (0,0)
Las coordenadas de los focos:
F1 = (-c,0) y F2 = (c,0)F1 = (-3,0) y F2 = (3,0)
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Las coordenadas de los vértices:
V1 = (-a,0) y V2 = (a,0)V1 = (-5,0) y V2 = (5,0)
El semieje menor es b = 4 tenemos las coordenadas: B1 (0,4) y B2 (0,-4).
Extremos del lado rectos
Paso 5. Ahora podemos graficar, te puedes apoyar con software GeoGebra:
Para aprender más puedes ver el siguiente video:Como pasar de la ecuación general a la canónica (con centro en el origen).https://youtu.be/FGGwh8-6--A?list=PLeySRPnY35dGeN2p7_sJ_v_mhoIZtO5kV
Ejemplo 2. Obtener la ecuación ordinaria de la elipse a partir de la ecuación general, así como todos sus elementos.
25x2 + 16y2 + 100x - 64y - 236 = 0
Paso 1. Agrupamos las variables y sumamos 236 de cada lado de la igualdad.
(25x2 + 100x) + (16y2 - 64y) = 236
Paso 2. Factorizamos de tal manera que los coeficientes de los términos cuadráticos sean igual a 1.
25(x2 + 4x) + 16(y2 - 4y) = 236
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Paso 3. Completamos los trinomios cuadrados perfectos para cada variable y realizamos la misma suma del otro lado de la igualdad.
25(x2 + 4x + 4) + 16(y2 - 4y + 4) = 236 + 25(4) + 16(4)25(x2 + 4x + 4) + 16(y2 - 4y + 4) = 236 + 100 + 64
Paso 4. Transformamos los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado.
25(x + 2)2 + 16(y - 2)2 = 400
Paso 5. Dividimos entre 25 para que el coeficiente del binomio 25(x+2)2 sea 1.
Paso 6. Hacemos la división entre 16, ahora para que el exponente del binomio 16(y - 2)2, también sea 1.
Así obtenemos la ecuación ordinaria de la elipse.
Paso 7. Teniendo la ecuación ordinaria de la elipse (en este caso vertical), podemos determinar sus parámetros a, b y c, para obtener sus elementos y gráfica (te puedes apoyar con software GeoGebra.
a2 = 25
a = 5 Y el eje mayor mide 10b2 = 16
b = 4 Y el eje menor mide 8c2 = 25 - 16 = 9
c = 3 Y el eje focal mide 6
Las coordenadas del centro C = (-2,2)Las coordenadas de los focos se obtienen sustituyendo h,k y c en la fórmula:
F1= (h,k - c) y F2 = (h,k + c)
F1= (-2,2 - 3) y F2= (-2,2 + 3)
F1= (-2, -1) y F2= (-2,5)
Las coordenadas de los vértices se obtienen sustituyendo h,k y a en la fórmula:
V1 = (h,k - a) y V2 = (h,k + a)
V1 = (-2,2-5) y V2 = (-2,2 + 5)V1 = (-2,-3) y V2 = (-2,7)
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Por último la gráfica es:
El semieje menor es b = 4, entonces las coordenadas son:
B1 (-6,2) y B2 (2,2)
Paso 8. Encontrar la longitud del lado recto y excentricidad.
Y el valor de la excentricidad:
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Para aprender más puedes consultar los siguientes videos.Dada la ecuación de la elipse encontrara su gráfica y elementos (fuera del origen)https://youtu.be/wZZ7dp3AVlI
Ecuación general de la elipse a la ordinaria
https://youtu.be/849ryoz3LaU
https://youtu.be/PRKT7RQi5Pg
https://youtu.be/FwDHJoY7yXU
Determina la ecuación ordinaria de la elipse, dada su ecuación general.
1. 36x2 + 64y2 - 2304 = 0
2. 7x2 + 9y2 + 14x - 18y - 47 = 0
3. 5x2 + 3y2 - 30x - 30y + 105 = 0
4. 10x2 + 15y2 + 40x - 30y - 95 = 0
5. 36x2 + 20y2 - 720 = 0
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5.- Comparando perspectivas.Página: 188
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REACTIVOS DE CIERRE
De manera individual realiza los siguientes ejercicios, realiza las gráficas (Te puedes apoyar con software GeoGebra):
1. Dada la ecuación 4x2 + 9y2 - 8x - 18y - 23 = 0, encuentra.b) Las coordenadas del centro.c) Las coordenadas de los focos.d) Las coordenadas de los vértices.e) Su gráfica.
2. Determina la ecuación general de la elipse cuyos focos están en las coordenadas (2,1) y (10,1) y su eje mayor es de 16 unidades.
3. Dada la ecuación de la elipse 169x2 + 144y2 - 338x - 864y - 22871 = 0, halla:
a) Coordenadas del centro.b) Coordenadas de los focos.c) Excentricidad.d) Longitud del lado recto.e) Su gráfica.
4. Halla la ecuación general de la elipse con vértices en V₁(10,0) y V₂(-10,0) y la longitud del lado recto es de 12.8.
5. Dada la ecuación de la elipse 300x2 + 200y2 - 60000 = 0, encuentra:
a) Coordenadas del centro.b) Coordenadas de los focos.c) Excentricidad.d) Longitud del lado recto.e) Su gráfica.
6. La base del arco semielíptico de la figura tiene una longitud de 58 pies y una altura máxima de 21 pies. Calcula la altura del arco a 20 pies del centro.
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6. La distancia media de la tierra al sol es de 93 000 000 millas. Esta distancia es la longitud del semieje mayor de la elipse que describe la tierra alrededor del sol. Si la excentricidad de dicha elipse es de 0.0167, resuelve lo planteado.
a) La distancia mínima de la tierra al sol (Perihelio).b) La distancia máxima entre la tierra y el sol (Afelio).c) La ecuación de la elipse que describe la trayectoria de la tierra alrededor del sol.
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Subraya la respuesta correcta en cada uno de los reactivos.
1. Un puente tiene forma semielíptica. Si su ancho es de 30m y su altura máxima es de 12m, calcula su altura a 13m del centro (redondeando al entero más próximo).
a) 10 metros.b) 6 metros.c) 8 metros.d) 4 metros.
2. Determina la ecuación canónica de la elipse, tal que uno de sus focos se encuentra en las coordenadas (0,-4) y uno de sus vértices en (0,7).
3. Determina el centro de la elipse cuya ecuación general es:16x2 + 49y2 + 64x - 98y + 112 = 0
a) (2,-1).b) (1,2).c) (-2,1).d) (-2,-1).
5. Determina la longitud del eje mayor, si la ecuación ordinaria de la elipse es: a) 162 unidades.b) 50 unidades.c) 10 unidades.d) 18 unidades.e)
5. La elipse con ecuación 7x2 + 16y2 = 1. Determina las coordenadas de su centro y si es horizontal o vertical.
a) centro en (0,0) y es horizontal.b) centro en (7,4) y es vertical.c) centro en (3.5,4) y es horizontal.d) centro en (0,0) y es vertical.
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6. Determina los vértices y los focos si la ecuación general de la elipse es: 100x2+64y2+600x-512y-4476=0.
a) Focos: (-9,4) y (3,4), Vértices: (-13,4) y (7,4).b) Focos: (-3,-2) y (-3,10), Vértices: (-3,-6) y (-3,14).c) Focos: (9,4) y (-3,4), Vértices: (13,4) y (-7,4).d) Focos: (3,-2) y (3,10), Vértices: (3,6) y (3,14).
7. Determina la ecuación general de la elipse cuya gráfica es:
a) 4x2 + 20y2 - 40x - 80y + 179 = 0b) 4x2 + 20y2 + 40x + 80y + 179 = 0c) 4x2 + 20y2 - 40x - 80y + 100 = 0d) 4x2 + 20y2 + 40x + 80y + 100 = 0
8. Determina la ecuación ordinaria de la elipse vertical cuyo centro es el origen, la longitud de su eje mayor es de 16 unidades y el semieje menor es de 4 unidades.
9. Determina el centro de la elipse cuya ecuación es
a) (0,0)b) (0,-2)c) (-2,0)d) (2,0)
10. La excentricidad de la elipse con ecuación 4x2 + 20y2 - 40x - 80y + 179 = 0 es:
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Si de la autoevaluación anterior respondiste correctamente todos los reactivos considera tu nivel de conocimientos EXCELENTE, si fueron nueve correctos tu nivel se considera como MUY BUENO, ocho reactivos correctos tu desempeño es BUENO. Se considera un desempeño REGULAR, si obtuviste de seis a siete reactivos buenos. Si fueron menos de cinco tu desempeño es MUY BÁSICO, lo que exige refuerces tus conocimientos previos.
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos en función de las respuestas correctas que tuviste? Señala con una según sea el número de reactivos correctamente contestados.
¾ C.G. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
¾ C.D. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y/o geométricos.
Estas competencias serán alcanzadas si obtuviste un desempeño BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE.
EXCELENTE
MUY BUENO
BUENO
REGULAR
MUY BÁSICO
Si tu resultado fue BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE te felicitamos y te motivamos a que sigas esforzándote como lo has hecho y, obviamente, que corrijas aquello que no te permitió alcanzar la excelencia; si tu desempeño fue REGULAR O MUY BÁSICO, refuerza tus conocimientos consultando de nuevo el contenido del bloque si lo consideras necesario. Además te invitamos a que te acerques a tu maestro o tus compañeros para que le solicites el apoyo para reforzar los temas en los que fallaste, asimismo, que acudas a asesorías en donde se te apoyará para que mejores tu desempeño y puedas obtener mejores resultados.
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INSTRUCCIONES:
1) Reúnete con dos de tus compañeros y respondan de manera individual cada uno de los siguientes reactivos.2) Ya que hayan contestado los reactivos, intercambien sus módulos para la revisión del trabajo que realizaron (Es importante que nadie se quede con su propio módulo).3) De la manera más honesta evalúa al compañero que te toco.4) Completa la Rúbrica que viene al final y entrega el módulo a tu compañero. Responde lo que se pide:
1. La luna gira alrededor de la tierra según una órbita elíptica, con la tierra en uno de sus focos. Si las longitudes de los ejes mayor y menor son 406 000 y 356 000 km, respectivamente, ¿Cuáles son las distancias máximas y mínimas entre los centros de la tierra y la luna?
2. Cuál sería la altura máxima de un camión que tiene de ancho 4 metros, para pasar por un puente de forma semielíptica cuyo ancho es de 6 metros y su altura es de 5 metros.
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4. Determina la ecuación general de la elipse, si su eje focal mide 7 unidades y es perpendicular al eje de las ordenadas, su eje mayor mide 12 unidades.
5. Para cada ecuación obtén: centro, focos, longitud de lado recto y gráfica:a) x2 + 3y2 - 5 = 0b) x2 - 3y2 - 6x + 6y = 0c) 7x2 + 16y2 - 28x + 128y + 172 = 0d) 25x2 + 9y2 - 18x - 216 = 0e) 3x2 + y2 - 24x + 39 = 0
3. La ecuación de la elipse es determina la longitud del lado recto:
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Señala con una palomita el rubro que alcanzaste
Nombre: _____________________________________________________________________________
Actividad: ____________________________________________________________________________
Materia: _____________________________________________________________________________
Grupo: ______________________________________________________________________________
Fecha de Entrega: _____________________________________________________________________
Estructura
1. Cuenta con la lista de cotejo impresa anexa a la actividad de cierre.
2. La lista de cotejo presenta los datos de identificación del elaborador.
Estructura interna
3. Tiene el 100% de los puntos contestados, incluyendo gráficos en algún software.
4. Tiene menos del 100% de los reactivos contestado, pero incluye gráficos en algún software.
5. Tiene menos del 100% de los reactivos contestados y no incluye gráficos en algún software.
Contenido
6. El alumno presenta un trabajo limpio y de calidad.
Aportaciones propias
7. Realiza los gráficos mediante el uso de algún software.
Total de desempeños
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Selecciona el puntaje que alcanzaste en cada rubro
Nombre: __________________________________________________________________________
Actividad: _________________________________________________________________________
Materia: __________________________________________________________________________
Grupo: ____________________________________________________________________________
Fecha de Entrega: ___________________________________________________________________
Puntos Puntaje Estructura1 1. Cuenta con la lista de cotejo impresa anexa a la actividad de cierre.1 2. La lista de cotejo presenta los datos de identificación del elaborador.
Estructura interna (selecciona sólo un punto 3, 4 o 5) .4 3. Tiene el 100% de los puntos contestados.2 4. Tiene del 60% al 80% de los reactivos contestados0 5. Tiene menos del 60% de los reactivos contestados.
Contenido2 6. El alumno presenta un trabajo limpio y de calidad.
Aportaciones propias2 7. Realiza los gráficos mediante el uso de algún software.
10 Total de puntos
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Selecciona el puntaje que alcanzaste en cada rubro
Nombre: _____________________________________________________________________________
Actividad: ____________________________________________________________________________
Materia: _____________________________________________________________________________
Grupo: ______________________________________________________________________________
Fecha de Entrega: _____________________________________________________________________
Secuencia didáctica 2, Actividad 2
Puntos Puntaje Estructura1 1. Cuenta con la lista de cotejo impresa anexa a la actividad de cierre.1 2. La lista de cotejo presenta los datos de identificación del elaborador.
Estructura interna (selecciona sólo un punto 3, 4 o 5) .4 3. Tiene el 100% de los puntos contestados.2 4. Tiene del 60% al 80% de los reactivos contestados0 5. Tiene menos del 60% de los reactivos contestados.
Contenido2 6. El alumno presenta un trabajo limpio y de calidad.
Aportaciones propias2 7. Realiza los gráficos mediante el uso de algún software.
10 Total de puntos
Desempeño
Número IndicadorBueno y
Excelente verde
RegularAmarillo
NoSuficiente
Rojo
1 ¿Determinaste los elementos de la elipse?
2 ¿Determinaste los parámetros a, b y c para determinar la ecuación de la elipse?
3 ¿Puedes definir si la elipse es horizontal o vertical en cada ejercicio?
4 Identificamos lo que sabemos y lo que nos falta aprender.
Secuencia didáctica 2, Actividad 1
Coloca una palomita en el recuadro que refleja tu desempeño en cada indicador.
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5 Comparando perspectivasCONSTRUYE T
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Para tu vida diaria CONCEPTO CLAVE
GLOSARIO
¿Quieres saber más?
Escribe en un minutoqué te llevas de la lección
BLOQUE V
La parábola
CONOCIMIENTOS ● Lugargeométricodelaparábola.
• Definición,elementosytrazadodelaparábola.Ecuacióndelaparábola. ● Ecuaciónordinariadeparábolasverticalesyhorizontalesconvérticeenyfueradelorigen.
• Ecuacióngeneraldelaparábola.
HABILIDADES ● Distingueloselementosycaracterísticasdelaparábola. ● Analizalaecuaciónquerepresentalaparábola,segúnloselementosconocidos. ● Explicamediantelarepresentacióngráficalaparábolaysuselementos. ● Representagráficamentelaparábolautilizandosuselementos. ● Discriminaelusodelasformasdelaecuacióndelaparábola.
ACTITUDES ● Privilegia el diálogo para la construcción de nuevos conocimientos. ● Externaunpensamientocríticoyreflexivodemanerasolidaria. ● Serelacionaconsussemejantesdeformacolaborativamostrandodisposiciónaltrabajometódico
y organizado. ● Aportaideasenlasolucióndeproblemaspromoviendosucreatividad.
APRENDIZAJES ESPERADOS ● Construyemediante laparábolaysuselementossolucionescreativasaproblemáticasdelmedio
que lo rodea. ● Conviertede laecuaciónordinariaa lageneral,demaneracríticay reflexivapara representarytrazarparábolaspresentesensucontexto.
Horas asignadas: 15 horas.
COMPETENCIA GENÉRICA
● CG4.1 ● CG5.1 ● CG7.3
● CG8.2 ● CDBM1 ● CDBM 2 ● CDBM4
● CDBM6 ● CDBM8
PROPÓSITO DEL BLOQUE ● Proponesolucionescreativasmedianteelanálisisdelaparábolaysuselementos;aplicándolasasituacionescotidianasdesuentorno.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICASDE MATEMÁTICAS
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Lee detenidamente los siguientes planteamientos y reflexiona sobre el procedimiento que te permita obtener las soluciones. Realiza tu trabajo en orden y limpieza.
1. De manera individual observa las siguientes figuras y contesta las preguntas relacionadas con ellas.
a) ¿Qué figura forma la luz de la lámpara?b) Matemáticamente ¿qué nombre recibe dicha figura?c) ¿Qué figura forma el arcoíris?d) ¿A qué crees que se deba la forma que adopta la sombra de la luz de la lámpara?
2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) x2 + 3x + 2 = 0b) 6x2 + 2x - 20 = 0c) x2 + 8x + 12 = 0
3. ¿Qué representan las soluciones de una ecuación cuadrática?
4. Desarrolla el siguiente binomio (a+b)2 resulta:
5. Completa cada uno de los siguientes binomios para convertirlos a trinomios cuadrados perfectos, y en seguida, realiza su factorización:
a) x2 - 12x = (x )2 b) 4x2 + 12x = (x )2 c) 25x2 - 40x = (x )2
d) x2 + 14x = (x )2
Atiende las observaciones que tu profesor puede sugerir.
Secuencia didáctica 1
Lugar geométrico de la parábola
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De la misma manera como se trazó la circunferencia y la elipse, trazaremos con regla y compás la parábola, para ello necesitarás el siguiente material:
¾ Un cartón de 30 x 20 centímetros. ¾ Un compás. ¾ Un lápiz. ¾ Una regla. ¾ Regla escuadra.
Instrucciones:
1. En el cartón u hoja de papel traza un línea horizontal y la llamaremos eje.2. Elige un punto sobre la recta horizontal y nómbralo “O” y traza una recta perpendicular al eje que
pase por ese punto, con tu escuadra. Y a esa recta le llamaremos directriz. 3. Señala un punto a la derecha de la directriz y nómbralo “F”.4. Traza un punto medio entre F y O, de la siguiente manera: Se abre el compás con una distancia de
F a O. y con centro en F se traza un arco y se hace lo mismo con centro en O, de tal manera que los dos arcos se cruzan en dos puntos. Con la regla une esos dos puntos haciendo una recta paralela a la directriz.
De manera individual, realiza lo que se te indica.
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
Lugar Geométrico significa “la figura que se forma con todos los puntos del plano que cumplen con la(s) condición(es) dada (s), o sea, la gráfica que se forma con los puntos que se definen al hablar del lugar Geométrico.
Para comprender mejor este tema, primero realiza la siguiente actividad.
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5. Señala el punto de intersección de la recta paralela a la directriz, que se llamara V. (vértice).6. Señala otro punto a la derecha de F y nómbralo A. por ese punto A traza una perpendicular al eje.7. Abre el compás a la medida de la distancia de A hasta O, posteriormente con centro en F y traza un
arco que corte a la perpendicular que pasa por A, el punto donde el arco cruza a la perpendicular le llamaremos A´.
5. Señala otro punto sobre el eje y nómbralo B, por ese punto B traza una recta perpendicular al eje. Posteriormente de la misma manera que en el punto anterior, abre el compás de B hasta O y traza un arco con centro en F de tal manera que cruce a la recta perpendicular que pasa por B, el punto de cruce del arco con la recta perpendicular se llamará B´.
6. Y así sucesivamente con otro punto C sobre el eje realizar lo mismo.
Responde las siguientes preguntas:
1. ¿Qué se obtiene al unir los puntos A´, B´, C´, etc. donde cruzan los arcos a las perpendiculares con el vértice?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Al trazar una línea desde F hasta A ‘y una perpendicular a la directriz que pase por A´, ¿Qué concluyes?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. ¿Cómo son? ¿Las distancias de O a V y de V a F?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
En este vídeo verás la construcción de la parábola con regla y compás. https://youtu.be/KsGnbWdu8QU
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Definición, elementos y trazado de la parábola
Definición:La parábola es el lugar geométrico o conjuntos de puntos tales que, la distancia a una recta fija, llamada directriz, y a un punto fijo, llamado foco, es constante. Es decir d1 = d2. Lo anterior puede observarse en la siguiente gráfica:
Para aprender más puedes ver los siguientes videos.La parábola como lugar geométrico. Ecuación de la parábola con vértice en el origen https://youtu.be/fSRQYYjjM_M
Tomando en cuenta la definición, podemos decir que la distancia del vértice al foco es la misma que del vértice a la directriz. A esta distancia se le asigna por lo general la letra p.
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Los elementos de la parábola
1) Lado recto: Es el segmento de recta, perpendicular al Eje Focal, que une dos puntos de la parábola y que pasa por el foco.
La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia del vértice al foco (distancia focal).
L.L.R = 4p
Donde:
p es la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz.4p Es el valor absoluto de 4p.
Para reforzar tus aprendizajes puedes consultar el siguiente link.Concepto de parábola y sus elementos.https://youtu.be/ZotsxMGf_ds
2) Parámetro “p”: Distancia del vértice al foco.
3) Directriz: recta fija representada por “d”, es paralela al lado recto y se encuentra a una distancia “p” del vértice.
4) Foco: es un punto fijo representada por F.
5) Eje: Recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola. También llamado eje focal.
6) Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola., se representa con V.
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Organízate con tus compañeros y formen un equipo de dos integrantes.
1. Ubicar con distintos colores los elementos (vértice con color rojo, foco de color verde, directriz amarillo, lado recto color café y eje focal de color rosa) de las siguientes parábolas.
2. Trazar las directrices que hacen falta y posteriormente, de cada parábola elige dos puntos, utilizando la regla, verifiquen la igualdad de distancias entre cada uno de los puntos, al foco y a la directriz.
REACTIVOS DE CIERRE
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La secuencia didáctica 1 nos permitió iniciar el estudio de la Parábola, incorporamos su definición y elementos que involucra, la siguiente gráfica muestra estos componentes: vimos la definición de parábola y sus elementos y concluimos en esto:
Para deducir las ecuaciones de la parábola con vértice en el origen, nos apoyaremos en el gráfico. Partimos de ahí.
Primero señalamos en el plano cartesiano el vértice en el origen y la directriz como se muestra en la siguiente figura:
Secuencia didáctica 2
Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en y fuera del origen
Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.I. Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado.
II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.
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Según la definición de la parábola d1 = d2 y utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos: obtenemos lo siguiente:
Primero: Para obtener la d1 tomamos las coordenadas del foco F(P,0) y el punto por donde pasa la parábola P(X,Y) y sustituimos en la fórmula:
Y la d2 como se puede ver en la gráfica anterior es:
Segundo: Igualamos las dos distancias
Desarrollando los binomios obtenemos:
De tal manera que despejando Y2 resulta:
Esta es la ecuación que vamos a utilizar cuando tengamos una parábola horizontal con vértice en el origen.
De la misma manera se pueden demostrar las ecuaciones de la parábola con vértice en el origen.
La ecuación de la parábola depende de si el eje focal es vertical u horizontal.
Para aprender más puedes ver los siguientes videos.Demostración de la ecuación de la parábola con vértice en el origenhttps://youtu.be/9gaU5JnHaPM
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Eje focal vertical(Ramas hacia arriba o hacia abajo)
Ecuación canónica de la parábola vertical
Parábola vertical con vértice en el origen v(0,0)
Gráfica
Abre hacia arriba Abre hacia abajo
Ecuación Canónica
Foco
Vértices
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Las expresiones mostradas en las tablas anteriores nos permiten determinar los elementos que integran una parábola con vértice en el origen.
Recuerda que:
● Siempre la parábola va abrir hacia donde está el foco. ● Las variables x, y en una ecuación, son las coordenadas de cualquier punto de la curva que
corresponde a la ecuación. ● Es importante decir que “p” es un parámetro que indica la distancia que hay entre el vértice y el
foco, así como también la distancia entre el vértice y la directriz. ● La longitud del lado recto es 4p.
Eje focal horizontal (Ramas hacia la derecha o izquierda)
Ecuación canónica de la parábola horizontal
Parábola horizontal con vértice en el origen v(0,0)
Gráfica
Abre hacia la derecha Abre hacia la izquierda
Ecuación Canónica
Foco
Directriz
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Problemas resueltos para estudiar
Ejemplo 1. La ecuación usando el vértice y el foco.
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco con coordenadas: F (0,2). Realiza la gráfica.
Paso 1. Debido a que las coordenadas del foco son: F (0,2). Entonces se refiere a la parábola vertical y que abre hacia el eje de las “y” positivas.
Paso 2. La fórmula para encontrar la ecuación de la parábola es: x2 = 4py
Paso 3. Como las coordenadas del foco son: F(0,2) y comparándola con la fórmula.F(0,p) Entonces el parámetro es: p = 2.
Paso 4. Sustituir el valor de p en la fórmula, resulta: x2 = 4py
x2 = 4(2)yx2 = 8y
x2 - 8y = 0 Esta es la ecuación general de la parábola buscada.
Conclusión:
x2 - 8y = 0 Ecuación de la parábola.
F (0,2) coordenadas del foco.
V(0,0) Coordenadas del vértice.
Directriz: y = -2
Lado recto: L.L.R = 4(2) = 8 unidades
Y la gráfica quedaría:
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Para aprender más puedes consultar:Ecuación de la parábola con vértice en el origen y con coordenadas del foco.
Ejemplo 2. Usando la directriz.
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, deduce todos sus elementos, si su directriz es la recta dada por la ecuación: y - 5 = 0
La directriz corta al eje “y” en 5, por lo tanto, es una parábola donde su eje focal coincide con el eje “y”, es decir el eje focal es vertical. La distancia que hay entre la directriz y el vértice es p, entonces p=5 y las coordenadas del foco son: F(0,-5)
La ecuación de la parábola la obtendremos utilizando la fórmula: x2 = - 4py
x2 = - 4(5)y
x2= -20y Igualando a cero obtenemos:
La ecuación de la parábola: x2 + 20y = 0
Conclusión:F(0,-5) Coordenadas del foco.V(0,0) Coordenadas del vértice.Lado recto: L.L.R = 20 unidades.x2 + 20y = 0 Ecuación de la parábola.
Veamos cómo queda la gráfica de la parábola que tiene como ecuación: x2 + 20y = 0
https://youtu.be/TkRX7bwiaNU https://youtu.be/jJJPztZuOTU
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Para aprender más puedes consultar: Ecuación de la parábola dado el foco y la ecuación de la directrizhttps://youtu.be/xK-TGtJxmJU
Ejemplo 3. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que pasa por un punto determinado.
Encuentra la ecuación de la parábola y todos sus elementos si la curva tiene vértice en el origen, pasa por el punto A(4,8) y su eje focal coincide con el eje de las x.
Solución: Paso 1. Primero se grafican los datos que nos da el problema.
Paso2. El primer dato que obtenemos es que la parábola abre hacia las “x” positivas, por lo que la forma de la ecuación es:
y2 = 4px
Ya que el punto A(4,8) pertenece a la parábola, este debería satisfacerla, es decir: (8)2 = 4p(4)De donde podemos obtener el valor de p.
64 = 16p
p = 6416
p = 4
Paso 3. Sustituir el valor de p para encontrar la ecuación.
y2 = 4px
y2 = 4(4)x
y2 = 16xy2 - 16x = 0 Esta es la ecuación general de la parábola solicitada.
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Conclusión:
Lado recto: L.L.R = 4(2) = 8 unidadesLos elementos y la ecuación de la parábola son: V(0,0)Coordenadas del vértice. F(4,0)Coordenadas del foco.L.L.R = 16 Longitud del lado recto.Directriz: x+4 = 0Ecuación de la parábola:
y2 - 16x = 0
Paso 4. Realizar la gráfica.
Para aprender más puedes consultar:Ecuación de la parábola que pasa por un punto y tiene vértice en el origen
https://youtu.be/pzLiHzaAP8Q https://youtu.be/Mo18U5yFgKE
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I. En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas para practicar y fortalecer aprendizajes.
1. Para cada caso obtén la ecuación de la parábola y traza su gráfica. Considera todos los para casos, el con vértice en el origen y :
a) F(-9,0)b) F(0,-10)c) Fd) Ecuación de la directriz y = 3e) Ecuación de la directriz x = -7f) Ecuación de la directriz 2x -8 = 0g) cuación de la directriz 2y + 12 = 0h) Longitud del lado recto igual a 15 y la parábola es horizontal y abre hacia la izquierda.
II. Encuentra todos los elementos y la ecuación de la parábola según su gráfica:
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Ecuación general de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen
Si partimos de la ecuación general de las cónicas Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0, La forma general de la parábola cuando está en el origen queda:
Ecuación general Tipo de parábolaAx2 + Ey = 0 Parábolas horizontales con vértice en el origen.Ay2 + Dx = 0 Parábolas verticales con vértice en el origen
La parábola a partir de su ecuación
Para obtener los elementos de la parábola a partir de la ecuación debes analizar esta última y obtener la mayor información posible, es decir:
a) Las coordenadas del vértice.b) Las coordenadas del foco.c) La longitud del lado recto.d) La ubicación del eje de simetría.e) Hacia dónde abre la parábola, entre otros datos.
Cualquier información será importante para, posteriormente, trazar su gráfica.
Ejemplo 1. Determinando el foco y la directriz a partir de su ecuación.
Encuentra el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es y2 = -12x y realiza su gráfica.
Solución:
Paso 1. Analiza la ecuación que se te proporciona y compáralas con tu formulario. La ecuación corresponde al tipo Ay2 + Dx = 0. Por lo tanto la parábola es horizontal y abre hacia la izquierda, con vértice en el origen.
w Encuentra el valor del parámetro p. De tal manera que comparándolo con la ecuación ordinaria: y2 = -4px entonces:
-4p = -12
Despejando p se obtiene: p = -12-4
p = 3
Paso 3. El foco está en el punto: F(-p,0), es decir, las coordenadas del foco son: F(-3,0).
Paso4. La directriz es la recta: x = p , es decir x = 3 por lo tanto la ecuación de la directriz queda: x - 3 = 0
Para trazar la gráfica: necesitamos la longitud del lado recto, el vértice, foco y directriz. Calculando la longitud del lado recto resulta:
L.L.R = |4P|L.L.R =12
Recuerda que las parábolas horizontales “abren” en el eje “X”, y las verticales, en el eje “Y”.
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Conclusión:
Tenemos que todos los elementos de la parábola y2 = -12x son: V(0,0) Coordenadas del vértice.F(-3,0) Coordenadas del foco.Directriz: x = 3Lado recto: L.L.R = 12 unidades
Y la gráfica queda:
Para aprender más puedes consultar:Elementos de la parábola dada su ecuaciónhttps://youtu.be/VI5pgAzVJLI
Ejemplo 2. Encuentra los elementos de la parábola cuya ecuación es:
x2 = -8y
Paso 1. Al igualar la ecuación a cero nos queda: x2 + 8y = 0 vemos que es de la forma: Ax2 + Ey = 0 por lo tanto la parábola es vertical y las coordenadas del foco están sobre el eje “y”.
Paso 2. Encuentra el valor del parámetro p. De tal manera que comparándolo con la ecuación ordinaria: x2 = -4py entonces:
-4p = -8
Despejando p resulta: p= -8-4
p=2
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Paso 3. El foco está en el punto: F(0,-p), es decir, las coordenadas del foco son: F(0,-2).
Paso 4. La directriz es la recta: y = p , es decir, y = 2 por lo tanto la ecuación de la directriz queda: y - 2 = 0
Para trazar la gráfica: necesitamos la longitud del lado recto, el vértice, foco y directriz. Calculando la longitud del lado recto resulta:
L.L.R = |4P|L.L.R = |4(2)|
L.L.R = 8
Conclusión:
Tenemos que todos los elementos de la parábola x2 = -8y son: V(0,0) Coordenadas del vértice.F(0,-2) Coordenadas del foco.Directriz: y = 2Lado recto: L.L.R = 8 unidades
Y la gráfica queda:
Organízate con tus compañeros y formen equipos de cuatro integrantes. Resuelvan los siguientes ejercicios y recuerden mantener siempre una actitud de respeto y tolerancia.
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II. Por último, evalúen su desempeño en esta actividad con la guía de autoobservación que se presenta a continuación.
I. Determina los elementos de las siguientes parábolas y tracen sus gráficas.
a) 2x2 + y = 0b) 3x2 + 12y =0c) 4y2 + x = 0d) y2 + 4x = 0
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Aplicaciones prácticas de la parábola
La parábola es una de las curvas que tiene importantes y variadas aplicaciones.
Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica.
Una aplicación práctica de la parábola son las antenas parabólicas, en las que todas las rectas paralelas al eje de la parábola se reflejan en el foco de la misma. (Empleado en óptica, antenas de transmisión de radiofrecuencia, estufas domésticas parabólicas, captación de energía solar, etc.)
En la ingeniería, apreciamos la forma parabólica en los cables de los puentes colgantes, tal como se muestra en la siguiente fotografía.
Los faros de los automóviles envían rayos de luz paralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una superficie parabólica.
La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.
Los radiotelescopios concentran las formas de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.
Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.
Sabías que...Los espejos cóncavos y convexos utilizan de manera natural los principios de la parábola para determinar el tipo de imágenes que se forman en ellos.
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Ejemplo 3: Problema de aplicación de la parábola.
Una persona sube a la cima de un faro de 42 metros de altura, de ahí lanza una piedra hacia su derecha y una más hacia su izquierda con una velocidad promedio de 12 metros por segundo. Determina la ecuación de la trayectoria parabólica descrita por las piedras, considera los brazos de la persona como el origen.
Solución: de física, utilizamos la ecuación del tiro parabólico para determinar la distancia recorrida:
Sustituyendo valores:
Una vez determinada la distancia, precisamos el lado recto de la figura. Y su gráfica resulta:
La ecuación de dicha parábola será de la forma x2 = 4py, por lo tanto el vértice tendrá coordenadas v(0,0) sustituyendo valores.
Por la dirección de las piedras respecto al origen, el foco tendrá coordenadas.f(0,-7.33)
Por lo tanto la ecuación de la parábola es:
x2 = 4py
x2 = 4(-7.33)y
x2 = -29.33y
x2 + 29.33y = 0
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Para aprender más puedes consultar:Problemas de aplicación de la parábola
I. Resuelve los siguientes problemas de manera individual y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto (9,0). Realiza la gráfica.
2. Encuentra la ecuación de la parábola que tiene como ecuación de la directriz a x + 5 = 0 y su vértice está en el origen. Realiza la gráfica.
3. Calcular el parámetro p, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de las siguientes parábolas:
a) x2 = -8y b) y2 = 10x c) y2 + 4x = 0 d) x2 - 5y = 0
4. Determine las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la parábola con vértice en el origen cuyo eje focal coincide con el eje “x”, pasando por el punto indicado. Tracen la gráfica.
a) A(-8,2)
b) A(-2,-1)
5. Determine las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la parábola con vértice en el origen cuyo eje focal coincide con el eje “y”, pasando por el punto indicado. Tracen la gráfica.
a) A(-2,1).
b) A(-4,-3)
6. Un reflector cuya concavidad es parabólica, tiene un diámetro de 30 cm y mide 20 cm de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco de la parábola, ¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra?
Sugerencia: Si haces un bosquejo de la figura en el plano cartesiano,(no olvides ubicar el tu sistema de referencia, es decir, el punto de origen), observa que tienes el punto (20,15) sobre la parábola.
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https://youtu.be/D1GYBNR_9Z8 https://youtu.be/FXZTrqhBz_k?list=TLPQMzAwNTIwMjD4bbovmqUB9w
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Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en (h,k)
La ecuación de la parábola depende de si el eje focal es Eje focal vertical o paralelo al eje “y”. (Ramas hacia arriba o abajo)
Vertical u horizontal.
Ecuación ordinaria de la parabóla vertical
Parábola vertical con vértice en el origen v(h,k)
Gráfica
Abre hacia arriba Abre hacia abajo
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Eje focal horizontal o paralelo al eje “x”. (Ramas hacia la derecha o izquierda).
Las expresiones mostradas en las tablas anteriores nos permiten determinar los elementos que integran una parábola con vértice fuera del origen y cuyo eje es paralelo a los ejes de coordenadas.
Ecuación ordinaria de la parábola horizontal
Parábola Horizontales con vértice fuera del origen V (h,k)
Gráfica
Abre hacia la derecha Abre hacia la izquierda
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Problemas resueltos para estudiar
Ejemplo 1. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice V(-2,3) y foco F(2,3).
Paso 1. Graficar el vértice y el foco en el plano cartesiano, para determinar si la parábola es horizontal o vertical y cuál es el valor de p.
La distancia del vértice al foco es 4, por lo tanto este es el valor de p.
El vértice y el foco están horizontales de manera que el eje focal es paralelo al eje “x” y abre hacia la derecha; entonces la fórmula para encontrar la ecuación es: (y - k)2 = 4p(x - h)
Paso 2. Sustituyendo las coordenadas del vértice y el valor de p tenemos: (y - 3)2 = (4)(4)(x - (-2))
(y - 3)2 = 16(x + 2)
Desarrollando el binomio y multiplicando tenemos: y2 - 6y + 9 = 16x + 32
Igualando a cero la ecuación resulta: y2 - 6y + 9 - 16x - 32 = 0
Conclusión: Es la ecuación de la parábola. y2 - 6y - 16x - 23 = 0
Para aprender más puedes consultar.Ecuación de la parábola conociendo vértice (fuera del origen) y foco https://youtu.be/kOHiFMQgB0E
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Ejemplo 2. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice V(-8,4) y en la que la directriz es x=1.
Paso 1. Al graficar el vértice y la directriz, observamos que la distancia que hay entre los dos es igual a 9.
Por definición sabemos que la distancia entre el vértice y la directriz es p y es igual a la que existe del vértice al foco; por lo tanto p = 9.
Como la parábola abre hacia la izquierda y es horizontal, utilizaremos la fórmula para su ecuación:
(y-k)2 = -4p(x-h)
Sustituyendo las coordenadas del vértice V(-8,4) y h = -8 y k = 4, tenemos:
(y - 4)2 = -4(9)(x + 8)
Desarrollando el binomio y multiplicando e igualando a cero se obtiene:
y2 - 8y + 16 = -36x - 288
y2 - 8y + 16 + 36x + 288 = 0
Y la ecuación de la parábola es: y2 - 8y + 36x + 304 = 0
Para aprender más puedes consultar:Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y la directriz.https://youtu.be/gEM9tRFRbAo
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Ecuación general de parábolas verticales y horizontales con vértice V(h,k) fuera del origen
Ahora estudiaremos la obtención de la ecuación general de la parábola con vértice V(h,k) fuera del origen; para ello usaremos las ecuaciones ordinarias de la parábola que estudiaste anteriormente.
En cualquiera de los casos anteriores, la estructura de la ecuación de la parábola tiene estas características:
● Existe solamente una variable al cuadrado y otra lineal. ● El coeficiente de la variable (4p) representa la proporción del lado recto con respecto de la distancia
focal.
Para obtener la expresión general de la parábola, es necesario desarrollar algebraicamente la forma ordinaria de la ecuación e igualar a cero.
Como todas las canónicas, las ecuaciones generales de las parábolas están relacionadas con una ecuación de segundo grado. Dependiendo el eje donde se encuentren tienen la forma siguiente:
Ecuación general Tipo de parábolaAy2 + Dx + Ey + F = 0
Con A ≠ 0
Eje de la parábola horizontal con eje paralelo al eje “x”
Ax2 + Dx + Ey + F = 0
Con A ≠ 0
Eje de la parábola vertical con eje paralelo al eje “y”
4
En equipo de cuatro integrantes, resuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de trabajo colaborativo, respeto y tolerancia. Después evalúen su desempeño con la guía de autoobservación.
1. Dados los elementos de la parábola que se proporcionan a continuación, identifiquen la ecuación correspondiente y tracen su gráfica. a) a) Vértice en V(3,2) y foco en (0,2).b) Vértice en V(-2,6) y foco en (-2,0).c) Vértice en V(5,-2) y directriz en x+6=0.d) Vértice en V(-2,3) y directriz en y-6=0.e) Vértice en V(4,-2), longitud del lado recto es igual a 4 y eje focal x-4=0 (dos soluciones).
2. Determina la ecuación de la parábola y todos sus elementos cuyo vértice y foco son los puntos V(-3,-4) y F(-3,2), respectivamente. Luego tracen la gráfica.
3. La directriz de la parábola es la recta y+5=0 y su foco es el punto F(-5,-2). Determinen la ecuación de la parábola y los elementos restantes. Tracen la gráfica.
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Ejemplo1. Encontrar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola que tiene por ecuación y2 - 4x - 8y + 36 = 0. Traza la gráfica.
Paso 1. Para encontrar los elementos de la parábola, es necesario que identifiquemos la literal de la ecuación que está elevada al cuadrado, en este caso se trata de y2; despejaremos los términos que no contienen y , al segundo término. Es decir:
y2 - 4x - 8y + 36 = 0y2 - 8y = 4x - 36
Paso 2. Una vez hecho esto, completaremos los trinomios cuadrados perfectos en el primer miembro de la ecuación.
y2 - 8y = 4x - 36y2 - 8y + 16 = 4x - 36 + 16
y2 - 8y + 16 = 4x - 20
Paso 3. Factorizamos ambos miembros de la igualdad.
y2 - 8y + 16 = 4x - 20(y - 4)2 = 4(x - 5)
Paso 4. La ecuación que obtuvimos es la forma ordinaria de La parábola, y a partir de ella es posible determinar losElementos que la forman.
(y - 4)2 = 4(x - 5)(y - k)2 = 4p(x - h)
El vértice es V(5,4)
4p = 4
Por lo tanto el parámetro p = 1
Es una parábola horizontal que abre hacia la derecha, por lo que el foco se encuentra a una unidad del vértice:
F(h + p,k)F(5+1,4)
F(6,4)
El punto más cercano al vértice que se encuentra en la directriz está una unidad a la izquierda del vértice,
x = h - px = 5 - 1
x = 4Es la ecuación de la directriz: x - 4 = 0
Y la longitud del lado recto: L.L.R = | 4P |L.L.R = 4
Saber +Sabías que...
Para completar trinomio cuadrado perfecto, se hace lo siguiente:
1. tomar la mitad del coeficiente del término lineal -82 =-4
2. elevarlo al cuadrado y sumarle a cada miembro esa misma cantidad. (-4)2 = 16
Al factorizar trinomio cuadrado perfecto resulta un binomio al cuadrado.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
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Su gráfica es:
Ejemplo2. A partir de la parábola 4x2 + 16x - 3y + 28 = 0, encuentra la ecuación ordinaria, todos sus elementos y su gráfica.
Paso 1. Dividiendo entre el coeficiente de la x2: 4x2 16x 283y4 4 4 4+ + = 0 -
x2 4x 283y
4 4+ + = 0 -
Paso 2. Reagrupa y despeja:
x2 4x 283y
4 4+ = -
Se completa el trinomio cuadrado perfecto:
Haciendo las operaciones del lado derecho de la igualdad tenemos:
2 123y4(x + 2) 4= -
2 283y 164(x + 2) 44 += -
Paso 3. Completa trinomio cuadrado perfecto:
x2
x2
x2
2
2
2
4x
4x
4x
28
28
28
3y
3y
3y
4 4
16
4
4
4
2
(2)
2
4
4
4
4
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
-
-
-
Paso 4. Factorizando la parte derecha de la igualdad como factor común a 34
resulta:
(x + 2)2 = 34 (y - 4)
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Paso 5. Comparándola con la ecuación ordinaria: (x - h)2 = 4p(y - k)
El vértice es: V(-2,4)
El parámetro se calcula: 4p = 34 y por lo tanto p = 3
16
Las coordenadas del foco: F(h,k + p) es decir: F(-2,4 + 316 ) y resulta: F(-2,4.1)
La ecuación de la directriz se obtiene sustituyendo en: y = k - p
y = 4 - 3
16
y = 6116
y - 3.8 = 0
La longitud del lado recto es: L.L.R = | 4P |
L.L.R = 34
Y su gráfica queda:
Para aprender más puedes consultar:Graficar la parábola conociendo la ecuación general.
https://youtu.be/MX9jnNp8DKA https://youtu.be/Fbus5sduS68
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I. Encuentra los elementos y realiza las gráficas de las parábolas que tiene como ecuación general:
a) x2 - 16x + 12y + 40 = 0b) y2 - 10y + 4x + 37 = 0
III. Escriba la ecuación en forma general de la parábola con vértice en v(1,-3) y que pasa por el punto (0,1).
III. Convertir las siguientes ecuaciones de la forma ordinaria, a la general:
a) (x - 1)2 = -6(y + 3)b) (y + 4)2 = 12(x - 2)c) (x - 7)2 = 20(y - 8)d) (y + 6)2 = (x - 2)
Puedes consultar:Ecuación de la parábola conociendo vértice (fuera del origen) y foco
https://youtu.be/kOHiFMQgB0E Dada la ecuación general de la parábola con vértice fuera del origen, encontrar sus elementos.
https://youtu.be/qv0wcv480G0
5
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
6.- Iguales pero no idénticos.Página: 230
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Una vez revisada esta actividad por tu profesor(a), guárdala en tu portafolio de evidencias.
I. Resuelve los siguientes problemas y subraya la respuesta correcta. Posteriormente, entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1. Encuentra la ecuación de las siguientes parábolas:a) Foco (0, 2) y directriz y = -2b) Foco (-1, 0) y directriz x = 1c) Foco (3, 0) y directriz x = -3d) Foco (0, -4) y directriz y = 4
2. Determine el vértice, el foco, la directriz, la longitud del lado recto y el gráfico de la parábola con ecuación:a) x2 + 8y = 0b) 6y2 - 12x = 0c) 2y2 = -7xd) 15x2 = -42y
3. Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel con forma de arco parabólico, que tiene 4 metros
de claro y 6 metros de altura. ¿cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 2 metros de ancho, para pasar sin atorarse dentro del túnel?
4. ¿A qué distancia se debe colocar el módulo RF del vértice de una antena parabólica para captar toda la señal electromagnética si el ancho focal es decir la longitud del lado recto es de 60 cm?
5. El puente Golden Gate, en San Francisco, California, es un puente de suspensión cuya forma es aproximada a una parábola. Los cables del tramo principal se suspenden entre dos torres que se encuentran separadas 1 280 metros y cuyo borde superior se ubica a 150 metros por arriba de la autopista. El cable se extiende 3 metros arriba del punto medio de la autopista entre las dos torres. Encuentra una ecuación que represente la forma del cable. Observa la figura.
6. Determine las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la parábola con vértice en el origen cuyo eje focal coincide con el eje “x”, pasando por el punto indicado. Tracen la gráfica.a) A(-1, -2)b) A(2,4)
REACTIVOS DE CIERRE
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11. Determina la ecuación general de las parábolas que tienen los siguientes elementos y realiza la gráfica para cada una de ellas:a) Foco en (3,7) y vértice (-3,7).b) Foco en (-3,9) y directriz y -5 = 0.c) Vértice en (3,8) y directriz en x+2 = 0.
d) Vértice en ( 12 , 1
3 ) y directriz en x + 12 =0.
12. Determina la ecuación de la parábola que tiene su vértice en (2,6) y su foco en (7,6). Exprésala en su forma general y realiza la gráfica.
13. Determina el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola que tiene por ecuación y2 - x + 10y + 27 = 0. Traza la gráfica.
14. Determina el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola que tiene por ecuación x2 - 6x + 8y + 17 = 0. Traza la gráfica.
15. Encuentra los elementos y realiza las gráficas de las parábolas que tiene como ecuación general: a) x2 + 4x - 8y - 20 = 0b) y2 + 6y - 4x + 49 = 0c) x2 - 4x + 8y + 28 = 0
16. Determina la ecuación y los elementos de la parábola con directriz y - 5 = 0 Y el vértice en el punto (3,-1). Exprésala en su forma general.
17. Se analiza el crecimiento de una bacteria en un medio de cultivo y de obtiene la ecuación y = t2 + 1, donde y es la cantidad de bacterias y t el tiempo que tardan en desarrollarse. Encuentre la gráfica que representa el problema.
7. Determine las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la parábola con vértice en el origen cuyo eje focal coincide con el eje “y”, pasando por el punto indicado. Tracen la gráfica.a) A(3,-2)b) A(4,-4)
8. Un puente colgante de 120 metros de longitud tiene la trayectoria parabólica sostenida por torres de igual altura, si la directriz se encuentra en la superficie terrestre y el punto más bajo de cada cable está a 15 metros de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres.
9. Un jugador de béisbol realiza un batazo el cual logra elevarse 12 m y alcanza una longitud de 5 m. Realiza la gráfica que representa el problema y encuentra la ecuación considerando que en la altura máxima está el origen de coordenadas.
10. Conviertan las siguientes ecuaciones de la forma ordinaria a la general: a) (x + 5)2 = 8(y + 3)b) (y - 3)2 = 6(x + 4)c) (x + 4)2 = -4(y + 1)d) y2 = 12(x + 3)
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Subraya la respuesta correcta en los siguientes problemas:
1. La ecuación de la parábola con vértice en el origen que se abre hacia abajo cuyas coordenadas de su foco son F(0,-2) es: a) x2 + 8y = 0b) x2 - 8y = 0c) y2 + 8x = 0d) y2 - 8y = 0
5. La ecuación de la parábola con vértice en el origen, el eje “y” coincidiendo con su eje focal, se abre hacia arriba y con el parámetro p = 3 es:
6. Las coordenadas del foco de la parábola que tiene por ecuación y = 1
6 x2 es:
a) F(0,6)
b) F(6,0)
c) F(0, 32
)
d) F(0,- 32
)
5. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuya ecuación de la directriz es x + 4 = 0, tiene como ecuación general:a) y2 + 12x = 0b) x2 + 12y = 0c) y2 - 16x = 0d) y2 + 16x = 0
5. Si las coordenadas del foco y el vértice son F(-5,0)y V(0,0), ¿cuál es la ecuación de la directriz?a) 3x - 15 = 0b) 2x + 10 = 0c) 2y + 12 = 0d) 4y - 12 = 0
6. La ecuación ordinaria de la parábola que tiene como coordenadas de su vértice y foco V(-3,5) y F(-3,6) es:a) (x + 3)2 = 4(y - 5)b) (x - 3)2 = 4(y + 5)c) (y + 3)2 = -4(x - 5)d) (y - 3)2 = -4(x + 5)
5. Si las coordenadas del vértice y foco son V(6,-5) y F(8,-5), la ecuación general de la parábola es: a) x2 + 10x - 8y + 73 = 0b) y2 + 10y - 8x + 73 = 0c) x2 - 12x - 8y + 63 = 0d) y2 + 7x - 8y + 43 = 0
5. Si el la longitud del lado recto de una parábola con vértice en V(2,-3) mide 8 unidades y sabemos que abre hacia abajo, ¿Cuál es su ecuación general?a) x2 - 2x - 8y + 6 = 0b) y2 - 12x - 8y + 28 = 0c) x2 - 4x + 8y + 28 = 0 d) y2 - 4y + 8x + 28 = 0
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5. Si la ecuación de la parábola es x2 - 8x - 8y = 0, ¿Cuáles son las coordenadas de su vértice?a) V(4,2)b) V(4,-2)c) V(-4,2)d) V(-4,-2)
5. Si la ecuación general de la parábola es y2 - 20x - 6y + 9 = 0, las coordenadas del vértice y la ecuación de la directriz son: a) V(0,3) y y + 2 = 0 b) V(0,-3) y y + 2 = 0c) V(3,0 ) y x + 2 = 0d) V(-3,0) y x - 2 = 0
Si de la autoevaluación anterior respondiste correctamente todos los reactivos considera tu nivel de conocimientos EXCELENTE, si fueron nueve correctos tu nivel se considera como MUY BUENO, ocho reactivos correctos tu desempeño es BUENO. Se considera un desempeño REGULAR, si obtuviste de seis a siete reactivos buenos. Si fueron menos de cinco tu desempeño es MUY BÁSICO, lo que exige refuerces tus conocimientos previos.
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos en función de las respuestas correctas que tuviste? Señala con una según sea el número de reactivos correctamente contestados.
¾ C.G. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
¾ C.D. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y/o geométricos.
Estas competencias serán alcanzadas si obtuviste un desempeño BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE.
EXCELENTE
MUY BUENO
BUENO
REGULAR
MUY BÁSICO
Si tu resultado fue BUENO, MUY BUENO O EXCELENTE te felicitamos y te motivamos a que sigas esforzándote como lo has hecho y, obviamente, que corrijas aquello que no te permitió alcanzar la excelencia; si tu desempeño fue REGULAR O MUY BÁSICO, refuerza tus conocimientos consultando de nuevo el contenido del bloque si lo consideras necesario. Además te invitamos a que te acerques a tu maestro o tus compañeros para que le solicites el apoyo para reforzar los temas en los que fallaste, asimismo, que acudas a asesorías en donde se te apoyará para que mejores tu desempeño y puedas obtener mejores resultados.
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3. Encuentra la ecuación general de cada una de las parábolas con base en su gráfica:
I. Resuelve los siguientes problemas y compara tus resultados con los de tus compañeros de equipo.
1. Encuentra la ecuación de la parábola con: a) Vértice en el origen y F(15,0).b) Ecuación de la directriz y = 4 y F(0,-4).c) Ecuación de la directriz x = 4 y F(-4,0).d) Ecuación de la directriz x = 8 y V(0,0).e) Ecuación de la directriz 2x - 1 = 0 y V(0,0).f) F(0,- 2
3 ) y vértice en el origen.g) Longitud del lado recto igual a 20, vértice en el origen y eje de simetría en el eje “y”.h) Ecuación de la directriz 5y + 12 = 0 y V(0,0).i) Vértice en V(2,3) y ecuación de la directriz 3x - 24 = 0.j) F(-1,3) y ecuación de la directriz x + 5 = 0.k) Vértice en V(8,4) y F(8,8).
2. Encuentra los elementos y la gráfica de las siguientes parábolas:
a) a) x2 - 16y = 0b) x2 + 24y = 0c) y2 - 7x = 0d) y2 + 9x = 0e) x2 + 8x - 8y - 8 = 0f) x2 - 10x - 9y + 7 = 0g) y2 + 2y - 5x - 9 = 0h) y2 - 6y + 12x - 39 = 0
9. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que pasa por el punto:
a) A(4,6). b) A(-3,7).
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Tercer Parcial. Parábola
En el parcial pasado realizaste el proyecto de presentar las medidas de las canchas de los diferentes deportes, ubicar en un plano cartesiano cada una de estas, identificando los lugares geométricos y sus expresiones algebraicas.
En esta ocasión el interés es trabajar el tiro parabólico que se presenta en el movimiento de la pelota de cada uno de los deportes, de tal manera que va a simular el lanzamiento en cada uno de estos, realizando imagen de la trayectoria del movimiento de la pelota, ubicando un plano cartesiano y proporcionando la ecuación de la parábola que se genera, teniendo así al menos 5 parábolas por los deportes que haya seleccionado.
Competencia genéricaNo construye hipótesis, ni diseña, ni aplica modelos matemáticos para probar su validez.Tiene problemas para construir hipótesis y diseñar modelos matemáticos.Construye hipótesis, ni diseña, ni aplica modelos matemáticos para probar su validez.
Competencia disciplinar
1
No construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de modelos aritméticos.Identifica algunos de los procedimientos aritméticos y/o gráficos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de modelos aritméticos y/o geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Para evaluar tu desempeño de la actividad anterior, señala con una palomita el color del semáforo que consideres lo describe.
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada directriz, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Lado recto: Es el segmento de recta que une dos puntos de la parábola y que pasa por el foco.Parámetro “p”: Distancia del vértice al foco.Directriz: recta fija representada por “d” y es paralela al lado recto y se encuentra a una distancia “p” del vértice. Foco: es un punto fija representada por “f”.Eje: Recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola. También llamado eje focal.Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola.
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Desempeño
Núm
ero Indicador Excelente
o Bueno (2)
Regular(1)
Insuficiente(0)
1 Propusimos la manera de solucionar y desarrollamos la tarea en equipo, asumiendo responsabilidad compartida.
2Establecimos las relaciones entre los elementos de la parábola proporcionados para obtener la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen.
3 Establecimos las relaciones entre la ecuación y los elementos de la parábola con vértice en el origen.
4 Resolvimos problemas con la forma ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen
5 Identificamos lo que sabemos y lo que nos falta aprender.Calificación:
Guía de autoobservación
Primero obtén tu calificación de manera individual: coloca una X en la puntuación que refleja tu desempeño en cada indicador y súmalas para conocer el total. Después reúnete con tus compañeros para realizar un promedio y obtener su calificación como equipo.
Secuencia didáctica 2 - Actividad 2
Guía de autoobservación
Primero obtén tu calificación de manera individual: coloca una X en la puntuación que refleja tu desempeño en cada indicador y súmalas para conocer el total. Después reúnete con tus compañeros para realizar un promedio y obtener su calificación como equipo.
Desempeño
Núm
ero Indicador Excelente
o Bueno (2)
Regular(1)
Insuficiente(0)
1 Propusimos la manera de solucionar y desarrollamos la tarea en equipo, asumiendo responsabilidad compartida.
2Establecimos las relaciones entre los elementos de la parábola proporcionados para obtener la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen.
3 Establecimos las relaciones entre la ecuación y los elementos de la parábola con vértice en el origen.
4 Resolvimos problemas con la forma ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen
5 Identificamos lo que sabemos y lo que nos falta aprender.
Calificación:
Secuencia didáctica 2 - Actividad 4
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Reactivo Respuesta correcto
1 C2 A3 D4 B5 A6 B7 B8 D9 D
10 B
Reactivo Respuesta correcto
1 A2 B3 C4 C5 A6 A7 B8 C9 B
10 A
Reactivo Respuesta correcto
1 A2 B3 D4 B5 C6 D7 A8 C9 A
10 C
Reactivo Respuesta correcto
1 D2 C3 B4 A5 D6 D7 A8 B9 C
10 A
Reactivo Respuesta correcto
1 B2 B3 C4 D5 D6 B7 C8 D9 D
10 A
BLOQUE VBLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV
En la asignatura desarrollaste actividades que forman parte de tu portafolio de evidencia.
Actividad Secuencia didáctica Entrego Observaciones
Bloque I Si No Actividad 4 Cierre 1Actividad 4 Cierre 2Coevaluación 2Proyecto TransversalBloque IIActividad 3 Cierre 1Actividad 5 Cierre 2Actividad 2 Cierre 3Coevaluación 3Bloque IIIActividad 1 Cierre 2Ractivos de Cierre 3Proyecto TransversalBloque IVReactivos de Cierre 1Reactivos de Cierre 2Autoevaluación 2Bloque VReactivos de Cierre 1Reactivos de Cierre 2Proyecto Transversal
TREN DE RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN
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6 Iguales pero no idénticosCONSTRUYE T
b. tabla de la actividad anterior.
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Activ
idad
Con
stru
ye T
Para tu vida diaria CONCEPTO CLAVE
GLOSARIO
¿Quieres saber más?
Escribe en un minutoqué te llevas de la lección
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Bibliográficas:• Carvajal, J. A. (2007). Matemáticas III para Bachillerato. México, D.F.: McGraw-Hill.• Eduardo Basurto Hidalgo, G. C. (2012). Matemáticas 3. México, D.F.: Pearson.• Lehmann, C. H. (2010). Geometría Analítica. México, D.F.: Limusa.• María Estela Navarro Robles, A. P. (2014). Matemáticas 3. México: Fernández Editores.• Patricia Ibáñez Carrasco, G. G. (2013). Matemáticas III con enfoque por competencias. Querétaro,Qro. :
CENGAGE Learning.• Juan Antonio Cuellar, Matemáticas III, Editorial Mc Graw Hill 2007• Patricia Ibañez, Gerardo García, Matemáticas III, CENGAGE Learning Editores 2013• Patricia Ibáñez Carrasco, Gerardo García Torres, Matemáticas III con enfoque por competencias, segunda
edición. Cengage Learning.• Arturo Méndez Hinojosa, Matemáticas III, 2011. Ed. Santillana• Agustín Vázquez Sánchez, fundamentos de la Geometría Analítica. Thomson 2002.
Electrónicas:• Lugar Geométrico: https://youtu.be/954jkmsM_78• Distancia entre dos puntos ejemplo 1: https://youtu.be/kDzTTOvv5dc• Distancia entre dos puntos ejemplo 2: https://youtu.be/VA6WsOxJ40U• Punto de división de un segmento de una razón: https://youtu.be/P7yZ65c9oXo• Punto Medio: https://youtu.be/qzRxsVoUaMo• Área de polígonos: https://youtu.be/dgxbTA9tLPc• http://www.aem.gob.mx/haciaelespacio/articul.php?interior=151• http://www.satelital-movil.com/2016/06/proponen-sistema-de-posicionamiento.html• https://www.google.com.mx/search?q=satelite+iridium&espv=2&site=webhp&source=lnms&tbm=isch&sa=X
&ved=0ahUKEwj3uMW7kOnSAhVk5IMKHX-kB3cQ_AUIBigB&biw=1024&bih=509#imgrc=CHYzkydt8Xvs8M• https://es.wikipedia.org/wiki/Iridium• http://www.astrosafor.net/Huygens/2005/54/Iridium.htm• http://www.astrosafor.net/Huygens/2005/54/Iridium.htm• https://www.google.com.mx/search?q=conicas&rlz=1C1AOHY
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tbm=isch&q=ojo+de+HURACAN+wilma&*&imgrc=22wSYZ4_YY83vM:• https://www.google.com.mx/search?q=ojo+de+wilma&espv=2&tbm=isch&tbo=u&source=univ&s• a=X&ved=0ahUKEwjjwomjrO3SAhVDjlQKHQXhCywQ7AkINA&biw=1012&bih=640&dpr=1#i• mgrc=hQjmSy369YW6PM:• http://internacional.elpais.com/internacional/2005/10/21/actualidad/1129845603_850215.html• https://es.wikipedia.org/wiki/Hurac%C3%A1n_Wilma• https://www.google.com.mx/search?q=danza+de+la+abejas&espv=2&site=webhp&source=lnms&t
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