4. MATEMAATILISED MUDELID

algebralised funktsioonid

transtsendentsed võrrandid

võrrandisüsteemid

diferentsiaalvõrrandid

harilikud (täistuletistega)

osatuletistega

integraalvõrrandid

integrodiferentsiaalvõrrandid

mälu (ajaloo) arvestamine

diferentsvõrrandid (kujutised)

Meetodid

analüütilised

lähendusmeetodid

numbrilised

lihtsustusmeetodid

agregatsioon

Põhimõisted

* skalaar a

temperatuur, aeg

* vektor k j i a 321 aaa

i, j, k ühikvektorid

kiirus, kiirendus

* tensor 3 ,2 ,1 j ,i ,aij

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

pinge, deformatsioon

Algebralised võrrandid ja süsteemid

0a...xaxn

1n

1

n

…

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bx a...x ax a

.................................

bx a...x ax a

bx a...x ax a

A · x = B A: n × n maatriks

x, B - n - vektor

Üle- ja alamääratud süsteemid

Mittelineaarsed võrrandisüsteemid

Spetsiaalfunktsioonid

Diraci deltafunktsioon

)x( – kirjeldab ühte punkti kontsentreeritud

suurust (jõud, laeng, intensiivsus …)

1 dx )x(

diferentseeruv

Heaviside’i funktsioon

0x,1

0x,0)x(H

Besseli funktsioon (id)

0 y)nx(xyyx 22'''2

)1kn( !k

2

x )1(

)x(Jy

k2n

k

n

1nx2x1xx

n!nlimx

1x

n

gammafunktsioon

Funktsioonid

Näide: elastne kiil, pinged

0

r2cos22sin

2cos2cosM

r2cos22sin

2sinM2

2r

2rr

Näide: diferentsiaalvõrrandi ilmutamata lahend

)X,X k, tuvad(sõlconst.,,,A

eAxXXxx

xXXxxkx

21

kt

21

21

faasianalüüs:

dpüsipunkti

Xx

Xx

0x

0xXXxxk

0X

2

1

21

Harilikud diferentsiaalvõrrandid

1. järku ))t(x,t(X)t(x

näide: txx

kõrgemat järku

0(x (t), t)a (t)x a (t)x21

süsteemid

)t,x(Xx x - n – vektor

Volterra–Lotke

y B Ky x Ky

y x Kx A Kx

32

21

x – saak

y – röövloom

K1, K2, K3, A, B – const

D.K. Arrowsmith, C.M. Place.

Ordinary Differential Equations.

Chapman, London, 1982.

P.G. Drazin

Nonlinear Systems.

Cambridge Univ. Press, 1992

Diferentsvõrrandid, kujutised

Difference equations, maps (iterated maps)

, ...2, 1, 0 n, n), F (x xn1n

üldkuju

Kujutis võib olla seotud diferentsiaalvõrrandiga

näiteks

2xbxadt

dx

Valime h , defineerime , ...1, 0 nx (n h), xn

hnth

xx~

dt

dxn1n

jaoks

Siis

2

nn

n1n xbxah

xx

ehk

)x,h,b,a(Fxn1n

ligikaudselt

mitmemõõtelised, näiteks

)x1(yy

yx

nn1n

n1n Neimark’i kujutis

n1n

n

2

n1n

xby

yxa1x Hénoni kujutis

2. järku osatuletistega diff. võrrandid

0),uF(x,y,u,uuaua2uayxyy22xy12xx11

täpsed teisendused

1. hüperboolsed tx,yx,

xx

2

ttuau

ääretingimused 0t)(l,u, 0,t)0u(

algtingimused )x()t,x(u ),x()t,x(u0t0

2. paraboolsed tx,yx,

1

2

1

txx

tt0)t()t,l(u

)t()t,0(u

lx0)x()0,x(u

0kuu

3. elliptilised

0uuyyxx

ehk 0u

11

fu pinnal (joonel)

2

fn

u

pinnal (joonel)

Elastsusteooria 3D

0t

u)uu()uu)((u)2(

0t

u)uu()uu)((u)2(

0t

u)uu()uu)((u)2(

2

3

2

022,311,323,213,133,3

2

2

2

033,211,232,312,322,2

2

1

2

033,122,131,321,211,1

321

u u u – siirde komponendid

321x x x – koordinaadid

Navier- Stokes’i võrrandid hüdrodünaamikas, 3D

y2

2

2

2

2

2

z2

2

2

2

2

2

x2

2

2

2

2

Fz

v

y

v

x

v

x

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

Fz

w

y

w

x

w

x

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

Fz

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

2

u, v, w – kiiruse komponendid

x, y, z – koordinaadid

p – surve

μ – viskoosus

zyxF,F,F – välisjõud

FU pUUt

U 2

Hetkväärtused ja mälu

.constA ),t(FA)t(G

hetkväärtuste vaheline seos

t

0

d)(F)t(R)t(FA)t(G

võtab arvesse ajal τ ka eelmisi väärtusi intervallis [0, t]

)t(F)t(R)t(FA)t(G

sidumiintegral

Volterra integralvõrrand

reoloogia, nn. relaksatsioonieffekt

bioloogilised protsessid viiteajaga

Näide: mälu

Integro–differentsiaalvõrrandid

ds)st,x(ux

)s('G

x

u)0(G

t

u

2

2

0

2

2

2

2

0

)(G – relaksatsioonifunktsioon

)(Gds

d)('G

ρ0 – tihedus, u – siire

Olulised matemaatilised mudelid

lainevõrrand 2

22

2

2

x

uc

t

u

Schrödingeri võrrand ψHψ

ti

Fourier teisendus dxixxff 2exp)(ˆ

Maxwelli võrrandid 0E

0H

t

H

c

1E

t

E

c

1H

Lisa

Näiteid CENSist:

0dukuuuxxxxt

0buduuPuxxxxxxxxxt

42 u4

1u

2

1uP

0vrdukuuuxx

2

xxxxxt

0u3uuu6uyyxxxxxt

0uuufut

g

uu,ukukkuf0

2

210gg

0ucumucuxxxx

2

2ttxx

2

1tt