22

4. EVALUACIÓN DE LA DEMANDA DE TRANSPORTES DE PERSONAS Ya hemos visto las características tanto de la oferta como la demanda de transportes de personas. Ahora intentaremos reflejarlas y así poder evaluar la demanda en un futuro. La elección entre dos modos de transporte no se puede analizar como una simple elección entre dos bienes. Toda decisión de consumo supone en general una inmovilización de tiempo reservado al consumo. Rechazando la vieja idea según la cual el tiempo era sólo un atributo de un bien económico, consideramos el tiempo como un bien libre; la actividad transporte obliga, para llegar al nivel de actividad deseado, a combinar estrechamente el bien y el tiempo. En una óptica puramente productivista podemos mostrar que lo único que debería orientar la elección del viajero es el valor del tiempo. Pero esto no es siempre así. El fallo de esta óptica se encuentra en la función de utilidad que debería introducir la influencia del confort y del motivo en el comportamiento del viajero. Se ha de tener en cuenta que la elección de un modo es sólo uno de los aspectos de la demanda de transporte. La decisión de viajar viene dada como consecuencia de un conjunto de respuestas a un cierto número de preguntas, a las que se le intenta buscar un orden lógico. En algunas circunstancias la elección del destino, del modo, del horario obedece a una secuencia definida. Otras veces únicamente se considera el destino y el modo. Como consecuencia de lo anterior deberíamos buscar medios aptos para confrontar las aproximaciones teóricas a los hechos observados. Esto es lo que intentan hacer los diferentes modelos de previsión de la demanda de transporte que presentaremos a continuación.

4.1. LOS MODELOS DE PREVISIÓN DE LA DEMANDA DE TRANSPORTES Hasta los años 1960, para la planificación de los transportes sólo se tenían en cuenta elementos financieros, dejando de lado el tiempo, el confort y la seguridad, los llamados costes sociales. En 1960 se desarrollaron nuevos métodos, que reposaban sobre los fundamentos teóricos dados por una economía muy matematizada. Actualmente se usan modelos matemáticos, que se ajustan con los datos actuales. El organigrama teórico de estos modelos, incluidos en la planificación de los transportes es el siguiente:

23

FIGURA 4.1: Organigrama de los modelos de transporte.

4.2. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE PREVISIÓN DE LA DEMANDA

Antes de presentar los principales modelos usados, se han de evocar los diferentes tipos. Hay varias formas de clasificarlos. 4.2.1. Clasificación entre modelos estadísticos y explicativos La clasificación más simple es la que distingue entre los modelos estadísticos (o empíricos) de los modelos explicativos. Los modelos estadísticos o empíricos se basan en una relación estadística definida a priori cuyos coeficientes se determinan con ajustes a los datos observados describiendo la movilidad actual (conocida por encuestas,...). Estos modelos, fácilmente aplicables, tienen el gran inconveniente de prohibir toda reflexión prospectiva sobre la evolución de los comportamientos de los usuarios, ya que las relaciones estadísticas no buscan reproducirlas y los coeficientes así determinados no pueden normalmente reflejar ninguna significación (excepto en algunos modelos). La calidad de los ajustes obtenidos es muy a menudo una ilusión. Los modelos explicativos, al contrario, se basan en un análisis detallado de los datos; se avanza una explicación del sistema y ésta se formaliza bajo una forma matemática. Los parámetros, ajustados a los datos actuales, tienen entonces una significación y se puede reflejar en su evolución futura en función de las modificaciones posibles de los comportamientos. Estos modelos, más difíciles de aplicar y sobretodo de ajustar, son mejores para las previsiones y para la planificación. Permiten testar diferentes hipótesis. 4.2.2. Clasificación de los modelos según sus características de concepción

Encuestas Censos

Demanda actual

Métodos de previsión

Demanda futura

Previsiones demográficas, económicas, urbanísticas

Oferta actual

Estadísticas Encuestas

Oferta futura (infraestructuras suplementarias y

necesarias)

Estudios económicos

Programa de inversiones

24

Se pueden distinguir diversas categorías de modelos siguiendo su grado de agregación o siguiendo la forma en que los agentes económicos hacen su elección: Según el nivel de agregación bajo el cual se tienen en cuenta los comportamientos de los agentes económicos, tenemos los modelos agregados y desagregados:

Los modelos agregados están ligados a modelos macro-económicos y se estudia la elección del modo de transporte a través de los volúmenes o partes de tráfico observadas. Estos modelos permiten analizar los desplazamientos entre zonas geográficas de origen y de destino sin tener en cuenta las particularidades de los viajeros en el interior de cada zona. Las características de los viajeros están representadas por distribuciones del conjunto de la población.

Los modelos desagregados están ligados a modelos microeconómicos y se refieren a los comportamientos individuales. Buscan explicar, bajo una forma probabilística, las actitudes de elección de los individuos, cuyo comportamiento está ligado a fenómenos aleatorios.

El análisis econométrico de la demanda del transporte presenta el desplazamiento como resultado de una sucesión lógica donde se abordan los problemas de generación de tráfico, de distribución espacial, de repartición modal, de afectación sobre la red, de repartición horaria,... Según la manera en que la elección es efectuada por los agentes tenemos los modelos secuenciales y directos:

Los modelos secuenciales suponen que las diferentes elecciones se hacen sucesivamente por el individuo. Cada aspecto de la cadena de decisión se estudia separadamente por una formulación adecuada. Son modelos que calculan primero el tráfico global, de todos los modos, entre dos zonas antes de afectar, con una operación diferente, la parte que repercute a cada modo.

Los modelos directos, aunque entienden que las elecciones pueden ser sucesivas, consideran que la decisión es un todo. Buscan integrar en una sola ecuación todo el proceso de elección. Estos modelos conducen directamente al cálculo del tráfico de cada modo. Se puede reconstruir el tráfico global como suma de los tráficos de cada modo.

Estas distinciones tan generales conducen a cuatro tipos de modelos de demanda:

1- Modelos agregados secuenciales. 2- Modelos agregados directos. 3- Modelos desagregados secuenciales. 4- Modelos desagregados directos.

Esta clasificación no pretende cubrir todas las posibilidades que dan los modelos al tratar el análisis de la demanda; a veces algunos modelos más complejos son difíciles de clasificar.

Las cuatro familias de modelos se pueden formalizar como sigue. 4.2.2.1. Los modelos agregados secuenciales

25

Estos modelos describen y prevén más particularmente los flujos de tráfico global entre dos zonas geográficas. Luego afectan las partes de estos flujos de los diferentes modos interviniendo en la relación. Cuando las zonas geográficas son numerosas, una última parte se reserva a la afectación de estos flujos en el conjunto de la red. Así podemos distinguir cuatro etapas sucesivas:

La generación de tráfico que tiene por objeto el cálculo del número de desplazamientos efectuados por una persona.

La distribución de tráfico que corresponde a la repartición espacial de los desplazamientos.

La elección modal que permite afectar los desplazamientos a los diversos modos con presencia.

La afectación sobre la red que consiste en repartir el flujo por modo de forma óptima sobre la red.

4.2.2.2. Los modelos agregados directos Los modelos agregados directos formalizan en una sola ecuación, los análisis de generación-distribución y la repartición modal. Generalmente la forma en que tratan la generación y la distribución es parecida a los modelos agregados secuenciales (teniendo en cuenta variables demográficas o socioeconómicas que describen los polos), pero se diferencian por el tratamiento de la elección modal. Esto conduce a distinguir tres tipos de modelos agregados directos:

Modelos de elección de modo específico, que calculan modo por modo el tráfico correspondiente.

Modelos de elección de modo abstracto que estudian la demanda relativa a los modos definidos únicamente en términos de características de servicio.

Modelos de repartición modal que distinguen en una misma ecuación la función generación y la función de elección modal.

4.2.2.3. Los modelos desagregados secuenciales Estos modelos tienen dos ventajas. Primero, parece que tienen mejor en cuenta los procesos de elección individual, por la manera en que los datos están tomados y utilizados en la construcción del modelo. De otro lado las técnicas de desagregación parecen más aptas para predecir los fenómenos de comportamiento y aplicarlos en la planificación. Se han desarrollado principalmente para ayudar a la determinación modal, ya que la generación y la distribución de tráfico están tratadas de forma relativamente clásica. La elección modal, inicialmente, era una elección binaria entre dos modos concurrentes. Se podría usar una elección más compleja. Estos modelos se caracterizan por:

26

El uso de técnicas de calibración en las que cada observación individual se trata como un punto y no como el interior de un agregado, temporal o demográfico.

La manera como son tratadas las características de las diferentes alternativas así como las del usuario.

El uso de funciones matemáticas específicas. Entre las numerosas formas de las funciones probadas, hay dos que son las más usuales:

La forma logística tal que:

))(exp(1

))(exp(xG

xGPA += (4.1)

La forma probit tal que:

duuPxG

A ∫∞−

−=

)( 2

2exp

21π

(4.2)

donde PA es la probabilidad de elegir la alternativa A

G(x) es la combinación lineal de los atributos de las diversas alternativas y de las características del usuario

4.2.2.4. Los modelos desagregados directos En este tipo de modelos, el usuario no se supone que toma su decisión en una secuencia de elección (¿viajar o no?, ¿por qué modo? ¿a qué destino?), sino que la toma simultáneamente. Este principio ya desarrollado en los modelos agregados directos se ha aplicado a los modelos desagregados, estos últimos constituyen para algunos el mejor acercamiento a las elecciones de los individuos. En la parte central de estos modelos se encuentra el análisis de la repartición modal, que se suele tratar como un acercamiento de tipo logístico. 4.2.3. Clasificación de los modelos siguiendo los objetivos buscados Con el fin de poner en evidencia las necesidades en los datos que implica la realización de los objetivos buscados, clasificamos a continuación los modelos haciendo referencia a la lista de criterios propuestos:

El primer tipo contiene todos los estudios con carácter prospectivo que se pueden orientar con el objetivo de determinar cuál podrá ser el estado de la demanda de transportes en el futuro, con independencia de toda transformación particular aplicada al sistema de transporte en sí mismo.

El segundo tipo designa los trabajos de estimación a priori del tráfico interesado en un proyecto particular de mejora, cuyo inicio se está considerando. Normalmente esta estimación supone reconstruir los efectos que son susceptibles de producir esta mejora estudiada con relación a la situación existente.

27

El tercer tipo se aproxima al segundo en la medida que se trata de evaluar a priori los efectos de una acción en materia de transporte, pero las acciones aquí consideradas provienen de la gestión global de una red (por ejemplo reglamentación de la velocidad en las carreteras o tarificación del usuario de las redes de autopistas o de transporte colectivo), ya que aunque estas acciones inciden sobre las condiciones de transporte ofrecidas al usuario, no constituyen propiamente dicho un proyecto de transportes espacialmente delimitado.

El cuarto tipo consiste en la evaluación propiamente dicha de un proyecto de mejora, o de la política de gestión aplicada, desde el punto de vista del interés que el proyecto o la política pueden presentar para la empresa de transportes o la colectividad pública.

El quinto tipo está formado por todos los análisis destinados a imaginar las acciones propias para mejorar el sistema de transportes, poniendo en evidencia las necesidades en desplazamiento ligadas a los modos de vida de los individuos y del funcionamiento de las actividades económicas, así como de un diagnóstico sobre la adecuación o no de la oferta de transportes a estas necesidades.

Para caracterizar estos modelos, tendremos en cuenta las diferentes aproximaciones existentes en materia de demanda, cuyos datos de base difieren según:

El horizonte de estudio sea más o menos extenso en el tiempo (estudio a corto, medio o largo término).

La escala geográfica del problema sea más o menos grande (estudio de una red o estudio de un corredor).

El estudio contemple uno o más modos de transporte, o una o más categorías de usuarios.

La transformación estudiada sea radical, o marginal (en lo que concierne a la oferta de transporte o el contexto socio-económico).

La demanda estudiada sea más o menos manifiesta en el momento del estudio. Los resultados esperados o los métodos usados requieran un nivel de detalle más

o menos preciso. Presentamos a continuación una tabla que muestra la diversidad de los resultados según los estudios de demanda y los métodos adoptados para la obtención de éstos.

28

29

4.3. MODELOS SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS DE CONCEPCIÓN 4.3.1. Modelos agregados

Los primeros modelos de transporte se inspiran en la ecuación de la gravedad de NEWTON, por lo que se llaman modelos gravitatorios. En su expresión más simple, suponemos que el tráfico entre dos pueblos es proporcional a la población de los dos pueblos y inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos pueblos:

ij

jiij d

ppkT 2= (1)

donde Tij: tráfico entre i y j pi, pj: poblaciones respectivas de los pueblos i y j dij: distancia entre i y j k: coeficiente a estimar

El fundamento de este modelo es que un punto es tan atractivo como es importante su masa y al revés.

Las hipótesis estrictas de la ecuación de NEWTON no siempre han sido confirmadas. Hay estudios que revelan que la distancia no se comporta siempre como el inverso de su cuadrado. Tampoco hay nada que indique que la población juegue un papel proporcional. Esto ha hecho que se substituya el modelo gravitatorio simple por uno más general:

ij

jiij d

ppkT γ

βα

= (2)

donde α, β, y γ son coeficientes de proporcionalidad de cada variable, parámetros a estimar.

Otros modelos que se inspiran en el modelo gravitatorio incluyen nuevas variables, ya que la población no es suficiente para caracterizar la generación de tráfico y la atracción de un pueblo, al igual que la distancia es sólo un factor entre los que determinan la impedancia del transporte entre dos pueblos. Bajo una forma más general el tráfico entre dos pueblos se puede escribir como:

)( ijjiij lfAkGT = (3) donde Gi caracteriza la generación de tráfico de desplazamiento de la zona i Aj caracteriza la atracción de desplazamiento de la zona j f( lij ) es la función de impedancia de transporte entre i y j

Sea cual sea el modelo, se han de cumplir unas ciertas exigencias, resumidas en forma de axioma son: 1.- El tráfico total ha de ser igual a la suma de los tráficos de todos los modos.

2.- Las funciones de demanda total y modal son funciones continuas, es decir, las características de todos los modos son no nulos.

30

3.- Un modo de transporte en el cual la frecuencia es muy débil ha de tener muy poca influencia sobre la demanda total y su repartición. 4.- Aunque el coste o el tiempo de transporte de un modo disminuya, o aunque su frecuencia aumente, la demanda total no ha de disminuir y las demanda de los otros modos no han de aumentar. 5.- La demanda depende sólo de las características de los modos de transporte, de su nivel de servicio.

4.3.1.1. Modelos agregados secuenciales

1. El modelo de Wilson basado en la maximización de la entropía

Partiendo de una crítica al modelo gravitatorio simple, WILSON propone una fórmula más general. La atención no se centra en la relación entre dos zonas o dos pueblos, sino en un conjunto de relaciones, representado por la matriz Tij, en la cual el elemento tij es el número de viajes entre i y j. Siendo Oi el número total de viajes salidos de i y Dj el número de viajes que llegan a j, tenemos:

∑ =j

iij OT (4)

∑ =i

jij DT (5)

∑ ∑ ∑∑ ===i

ji j

iijj

DOTT (6)

Globalmente estas tres condiciones significan que todos los viajes que salen de un origen i deben llegar a un destino j, y al revés.

WILSON considera que el tráfico no puede ser explicado por un modelo gravitatorio simple, ya que no satisfaría las condiciones anteriores. Si doblamos Oi y Dj, el modelo gravitatorio conduciría a cuadriplicar los viajes entre i y j, mientras que las condiciones anteriores implicaría que se duplicarían.

WILSON propone introducir una función de distancia que mida la impedancia entre i y j. Esta función se puede medir en términos de tiempo, de coste o de coste generalizado. Para asegurarse que el modelo satisface las condiciones iniciales, en cada zona introduce unas constantes de emisión y de atracción, Aj y Bj, tales que:

1

)(−

= ∑ ijjji dfDBA (7)

1

)(−

= ∑ ijiij dfOAB (8)

El modelo gravitatorio propuesto por WILSON resulta: )( ijjijiij dfDOBAT = (9)

Se necesita una cuarta condición: los gastos de transporte representan una suma fija:

∑∑ =i j

ijij CCT (10)

31

En este método se ha de buscar la matriz Tij más probable que obtendríamos si repartiéramos los T movimientos al azar, respetando las cuatro condiciones. Cada movimiento está considerado como equiprobable. El método se basa en la hipótesis fundamental que la probabilidad de distribución de los Tij es proporcional a los estados del sistema, que son toda combinación posible de los T trayectos, en los que se respeta las cuatro condiciones. Se llega así a la expresión siguiente:

ijcjijiij eDOBAT β−= (11)

donde 1

)exp(−

−= ∑ ijjji cDBA β (12) y

1

)exp(−

−= ∑ ijiij cOAB β (13)

La distribución de viajes más probable es de la misma forma que preveía el modelo gravitatorio. Los Ai y Bj son variables de moderación cuya función es compensar respectivamente la atracción y la generación de tráfico de una zona, es una medida de la accesibilidad de una zona.

Si suponemos que hay muchos modos de transporte. Tij, Oi, Dj y Cij tienen el mismo significado pero se ha de añadir Tk

ij, Oki, Dk

j y que contemplan los viajes cubiertos por el modo k. WILSON llega al resultado siguiente:

)exp( kijjiji

kij cDOBAT β−= (14)

donde 1

)exp(−

−= ∑ ∑

jij

k

kjji cDBA β (15)

1

)exp(−

−= ∑ ∑

iij

k

kiij cOAB β (16)

Esta expresión del tráfico modal conduce a una repartición simple del tráfico por modo sobre la relación ij:

∑

−

−

=

k

c

c

ij

kij

kij

kij

e

eTT

β

β

(17)

Al modelo de repartición se le asocia un modelo de generación de viajes de tipo gravitatorio con la introducción de un nuevo modo de transporte:

[ ])(exp ijijij cfDT λ−= (18) donde Dij es el número de viajeros entre i y j antes de la introducción del nuevo modo, y cij el coste generalizado de un viaje entre i y j.

Suponiendo que f(cij)=Log (cij), se tiene: λ)( ij

ijij c

DT = (19)

donde el coste generalizado, cuando hay k modos, viene definido por:

∑=

−=−k

kijkij c

kc

1)exp(1)exp( ββ (20)

32

El coeficiente λ no ha sido estimado, con lo que se usa alternativamente igual a 0 y 1. Para usar un modelo así se ha de disponer de datos fiables y usar un método de estimación no muy empírico. 2.Modelos de repartición modal Su centro de interés se encuentra en la forma como se analiza la repartición del tráfico entre los diferentes modos. Al lado de una ecuación que mide el tráfico global y cuya forma es de tipo gravitatorio, aparece una ecuación donde la variable a explicar es la parte del tráfico. 2.1. Modelo de MC LYNN El fundamento teórico de este modelo se basa en la noción de concurrencia modal: todos los modos de transporte son concurrentes entre ellos sobre la base de sus características. Este postulado en términos de elasticidad es: las elasticidades directas de la demanda de cada uno de los modos han de ser negativas mientras que las elasticidades cruzadas deben ser no negativas. Esto quiere decir que si hay un cambio en una de las características, y las demás permanecen constantes, y la demanda de un modo aumenta, la demanda de los otros modos no puede aumentar. MC LYNN rechaza la hipótesis de elasticidad constante y propone que todas las elasticidades puedan ser explicadas como una función lineal de todas las demandas modales. Si denotamos como Xij un conjunto de variables independientes caracterizando el modo j:

≠=−

=

∆∆−

kjkwkjkw

XX

kwkw

ij

ij

ij

ij

)())(1(

)()(

1

αα

(21)

donde w(k) representa la fracción de la demanda satisfecha por el modo k. Esta relación expresa que la elasticidad de la demanda de un modo con relación a sus propias variables es proporcional a la parte del mercado que puede ganar y que la elasticidad cruzada es proporcional a la parte del mercado que otro modo puede perder. Esta ecuación conduce a soluciones que se encuentran en el límite de lo correcto: si w(k) es próximo a la unidad, la elasticidad directa es prácticamente nula y el modelo predice que una mejora del servicio no aumentará de forma importante la parte del mercado de este modo, así como un deterioro no la disminuirá de forma sensible. Un modo de transporte que tiene una parte importante del mercado posee tanta superioridad de manera que pequeños cambios en sus características no afectan casi a su superioridad. Igualmente si w(k) es próximo a cero, el modo ganará o perderá una parte significativa de su propia parte del mercado con una mejora o un deterioro de sus características, pero esta parte será débil en el conjunto del mercado. Estas hipótesis conducen al modelo siguiente:

33

∑∑ ∏

∏

==

== m

jk

km

j iijj

iikk

w

w

xc

xckw

ij

ik

11

)(α

α

(22)

donde w(k) es la fracción de la demanda asegurada por el modo k xij es el valor de la característica i del modo j αij y cj son los parámetros a estimar Estos parámetros se pueden determinar de muchas formas. Se puede suponer que son específicos del modo o que son idénticos o que sólo algunos son específicos. Las relaciones de w(k) se pueden linealizar, para ello se ha de escoger un modo de referencia. Se llega a:

( )m

kk w

wLog=µ (23)

( )m

kk c

cLogr = (24)

ikk Logxv = (25)

donde m indica el modo de referencia. Las expresiones quedan de la forma:

∑ ∑= =

−+=3

1

2

1i iimimikikkk vvr ααµ (26)

El problema se reduce a encontrar para cada modo k sus rk y αik que minimizan:

∑ − 2)ˆ( kk µµ donde kµ es el logaritmo de los valores observados kµ̂ es el logaritmo de los valores previstos Se han hecho muchas regresiones con diversas hipótesis de tiempo y de coste. Pero la existencia de colinearidad priva a los coeficientes de significación, ya que el tiempo y el coste de transporte están ligados linealmente. Para resolver éste y otros problemas MCLYNN propone una solución fundada en el intercambio entre el tiempo y el coste. Supone que los exponentes de estas dos variables están ligadas de forma que: kkk 12 αλα = (27) Así tenemos:

{ } ∑=

−+++=2

133211

iimimkkkkkkkk vvvvr ααλαµ (28)

y se escribe: kkkk vvv 21 λ+= (29)

λk por hipótesis es igual a: k

k

1

2

αα

34

De las hipótesis del modelo se deduce que la elasticidad de substitución entre el tiempo y el coste es igual a:

kk

k

k

k

k

k

xx

xx

λαα

−=−=∂∂

×1

2

1

2

2

1

Por regresión y para cada modo se puede determinar el coeficiente γ que liga el tiempo y el coste: kkk xx 12 γ= Tenemos así la siguiente relación:

kk

k

k

k

k xx

λαα

γ−=−=

∂∂

×1

2

1

21 (30)

Donde k

k

xx

1

2

∂∂ es asimilable al valor del tiempo. Mc LYNN supone que es constante y lo

iguala a un valor determinado por hora. Esta evaluación asociada a la determinación de γk permite obtener λk. Este modelo se aplicó en EE.UU. considerando todos los modos de transporte y la repartición modal se hizo depender de tres variables clásicas: el tiempo, el coste y la frecuencia. Para el coste del automóvil MC LYNN dividió el coste total por tres para intentar acercarse al coste percibido por el usuario. En cuanto a la frecuencia se tomaron medidas del inverso de la frecuencia, y de un valor F’ definido por: KFeF −−= 1' cuyo valor varía de 0 a 1, de forma que es nulo cuando la frecuencia es nula y tiende asimptóticamente a 1 cuando la frecuencia es elevada, como es el caso del automóvil. La eliminación de la colinearidad con la introducción del parámetro λ mejora considerablemente los resultados ya que todas las elasticidades tienen los signos correctos. 2.1.1. Alternativas a la solución de MC LYNN 2.1.1.1. Modelo de ELLIS y RASSAM La solución propuesta por Mc LYNN para eliminar la colinearidad no siempre ha encontrado el éxito deseado. H. ELLIS y R. RASSAM llegaron a resultados en contradicción con el axioma 4 y proponen un modelo que elimina radicalmente la colinearidad ya que se introduce una sola variable. Al hacer esto se limita considerablemente el poder explicativo del modelo. Para escapar del riesgo de colinearidad inherente a todos los modelos que incorporan simultáneamente el tiempo y el coste de transporte, ELLIS y RASSAM introducen una única variable explicativa, combinación lineal de las diferencias de tiempo y de costes de cada modo:

ctx ∆+∆= βα (31) con 12 ttt −=∆ (32) 12 ccc −=∆ (33)

35

Donde α y β son dos coeficientes específicos. Fundado sobre la noción de diferencia, un tratamiento de este tipo sólo aborda el problema de la repartición entre dos modos.

Este modelo se basa en la idea que una modificación en la parte del mercado de un modo referente a una cambio de la variable explicativa es proporcional a las partes respectivas de los diversos modos y a este cambio. Matemáticamente esta hipótesis se presenta de la forma:

dxwpwdw 211 = (34) donde w1 representa la parte del mercado del modo 1 w2 es la parte del modo 2 p es el coeficiente a estimar

w1 y w2 están ligados por la relación w1 + w2 = 1 si queremos que le modelo satisfaga el axioma 1. Podemos escribir:

pdxww

dw=

− )1( 11

1 (35)

La integración de esta función diferencial conduce a:

)exp(1

11 apx

w−−+

= (36)

Donde a es una constante de integración a estimar. También tenemos:

)exp(

12 bqxa

w−−+

= (37)

Donde q y b son los parámetros correspondientes respectivamente a p y a.

Los cuatro parámetros han de satisfacer:

)exp(1

1)exp(1

121 bqxapx

ww−−+

+−−+

=+ (38)

sea 0)()( ≡+++ baxqp para todo x

Se necesita que q=-p y b=-a.

Este resultado es importante porque indica que es suficiente estimar una de las dos ecuaciones.

La estimación del modelo se hace por simple regresión lineal:

)exp(1

11 apx

w−−+

= se escribe como: apxwwLog +=

1

2 (39)

La ventaja de eliminar la colinearidad limita las posibilidades del modelo. Éste se basa en una sola variable explicativa; aunque sea una variable compuesta de las diferencias

36

de tiempo y de coste, es evidente que la búsqueda muy empírica de los coeficientes α y β no asegura un gran valor a las estimaciones del modelo ni a su poder de previsión. 2.1.1.2. Modelo multimodal de ELLIS, RASSAM y BENNETT ELLIS y RASSAM con BENNETT desarrollaron un modelo que no está limitado al análisis bimodal y que puede incorporar muchas variables.

La hipótesis central dice que el cambio en la parte de la demanda de un modo como consecuencia de una modificación en una de las variables explicativas es proporcional a la parte de este modo y a una función lineal de las partes de los otros modos:

∑=∂∂

kkijmkm

ij

m wwxw

α (40)

donde xij es el valor de la característica i del modo j wm es la parte del modo m wk es la parte del modo k αijmk es un coeficiente a determinar, j indica el modo cuya variable se ha

modificado, m el modo cuya repartición cambia, k el modo cuya parte tiene una influencia sobre la parte del modo m como consecuencia de un cambio en la característica i del modo j.

Si M y I son respectivamente el número de modos y el número de atributos, hay ( M x I x M) ecuaciones diferenciales que definen el conjunto de los wm. Este modelo implica la estimación de un gran número de coeficientes, pero las condiciones impuestas a las funciones de demanda conducen a que ciertos coeficientes tengan valores determinados a priori:

mkjijmk ≠≠= 0α kjijjkijkj ≠−= αα 0=ijkkα ijijjmijjk ααα =−= Estas condiciones permiten simplificar la relación anterior:

mjmij

m wxw

∆=∂∂

(41)

donde

=−≠−

=∆jmw

jmw

mim

jijjm )1(α

α (42)

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales es:

∑ ∑

∑

+

+=

j ijijij

imimim

m x

xw

)exp(

)(exp

αα

αα (43)

Donde αj es una constante de integración específica del modo. Podemos transformar la ecuación (41) en términos de elasticidad:

37

=−≠−

=∂∂

jmxwjmxw

xw

wx

immim

ijjij

ij

m

m

ij

)1(αα

(44)

Esta ecuación significa que la elasticidad de wm con relación a xij, la característica i del modo j, es proporcional a xij y a la parte wj de este modo; la elasticidad de wm con relación a sus propias características es proporcional a xim y a la parte del mercado que este modo puede ganar. La única diferencia con el modelo de MC LYNN es la aparición del valor inicial de la característica; si ésta es más elevada, las elasticidades son mayores: la influencia relativa es tan grande como la situación inicial de la característica modificada es desfavorable ( tiempo y costes elevado). En cuanto a las soluciones límite, éstas son las mismas que el modelo de MC LYNN: una parte suplementaria del mercado es tan difícil de conquistar como la parte inicial es importante; el riesgo de perder una parte significativa de su propio mercado aumenta cuando el modo ocupa un sitio importante. 2.1.1.3. Modelo de MONSOD MONSOD propone un modelo de demanda ferroviaria, pero establece que existe una demanda global que se reparte entre los diferentes modos en función de sus características; por lo que es imposible construir un modelo de demanda ferroviaria independiente de los otros modos. Propone un modelo de generación y un modelo de afectación. La ecuación fundamental del modelo de afectación implica que la parte de mercado de un modo con relación a la de otro modo de referencia depende de las relaciones entre las características de estos modos. Establece una relación, sin justificar desde un punto de vista teórico, entre las variables explicativas y la variable explicada que supone que es una relación a elasticidad constante:

4

321

0 α

ααα

αij

ijr

ijk

ijr

ijk

ijr

ijk

ijr

ijk YDD

HH

CC

eTT

= (45)

donde Tijk y Tijr son los tráficos respectivos de los modos k y r ( ferrocarril) entre i y j.

Cijk y Cijr sus costes respectivos. Hijk y Hijr sus tiempos respectivos. Dijk y Dijr sus frecuencias diarias medias. ijY la renta media entre i y j. α0, α1, α3 y α4 son parámetros a estimar. Todos los signos de los coeficientes son correctos con relación a los axiomas anunciados: cuanto más débiles sean los costes y los tiempos ferroviarios, el tráfico ferroviario será más importante; lo mismo ocurre si la frecuencia sube.

38

Este modelo intenta llegar a un resultado práctico a partir de datos y técnicas existentes. Y subraya la insuficiencia de los datos relativos al transporte de automóvil, y el freno que constituye al desarrollo de modelos globales de la demanda de transporte. 3. Modelo de pura repartición modal: el modelo dinámico de ALAIN BIEBER Este modelo se centra en la idea que la elección del modo de transporte es el resultado de un proceso evolutivo. Hace referencia a la teoría del aprendizaje que considera que el individuo busca mejorar su bienestar por adaptaciones sucesivas a su entorno. Así el individuo tiene una probabilidad de escoger diferentes modos, pero esta probabilidad se modifica en cada periodo para conseguir un proceso de aprendizaje. Se ha de encontrar una ley que permita pasar de la probabilidad inicial de un período a la del final del período. Llamamos a t

ijp la probabilidad que el individuo observado utilice el modo i al principio del período t y el modo j al final del período. La teoría del aprendizaje implica que existe una probabilidad no nula que el individuo se quede con el modo desfavorable, también hay una probabilidad no nula que el individuo pase de mejor modo al peor. Sea t

2λ y t1λ estas dos probabilidades, las cuatro probabilidades de

transición pueden escribirse: ttp 111 1 λ−= ttp 112 λ= ttp 221 1 λ−= ttp 222 λ= Conociendo este conjunto de probabilidades de transición y el conjunto de las probabilidades tm1 y tm2 que el individuo use respectivamente el modo 1 y el modo 2 al principio del período t, es posible expresar las probabilidades que el individuo escoja los modos 1 y 2 al principio del período siguiente aplicando el teorema de las probabilidades condicionales: ttttttttt mmmpmpm 2211221111

11 )1()1( λλ −+−=+=+

ttttttttt mmmpmpm 22112221121

2 λλ +=+=+ El caso particular de dos modos se puede generalizar. Si designamos por tm el vector columna de n dimensiones, si hay n modos, las probabilidades de elección de estos modos al principio del período t y según la Pt matriz de probabilidades de transición válidas para este mismo período, tenemos: ttt Pmm =+1 (46)

∏+=

=

+ =skk

tk

ktst Pmm (47)

Y si suponemos la estabilidad de los procesos evolutivos: [ ] stst Pmm =+ (48) En principio el modelo exige estimar las probabilidades de transición a partir de datos individuales, ya que conociendo los comportamientos individuales, se pueden agregar para obtener una evolución global. Pero la falta de datos adecuados y las dificultades teóricas que pone el problema de la agregación han conducido a BIEBER a transponer

39

directamente al nivel macro-económico el comportamiento individual descrito antes. Las probabilidades de transición son entonces substituidas por sus equivalentes macro-económicas observables: los comportamientos de la matriz P representan la proporción de viajeros que a lo largo del período t pasan del modo i al modo j. En cuanto a los componentes del vector mt, son el número de usuarios de cada modo al principio del período t. La estimación de este modelo exige encontrar la matriz óptima de las probabilidades de transición. Ésta se obtiene minimizando una función objetivo bajo las condiciones de coherencia. El defecto de este método es considerar la demanda de transporte constante en el conjunto de los periodos. Pero la evolución continua del mercado de transportes exige tener en cuenta una demanda nueva en cada periodo. BIEBER introduce esta nueva demanda según dos hipótesis: una consiste en estimar las probabilidades de elección de los nuevos viajeros, la otra parte de una hipótesis de inercia y da a los nuevos viajeros la probabilidad de los viajeros del período precedente. 4.3.1.2.Modelos agregados directos 1. Modelos de elección de un modo específico 1.1. Modelo de la SARC Este modelo se interesa en la repartición entre modos y no en el volumen de tráfico en su conjunto. Este estudio trata de evaluar el número de viajes de ida y vuelta, por modo de transporte, entre pueblos. Se distingue el efecto de los factores socio-económicos y los factores de transporte, haciendo posible la estimación del efecto sobre el viaje en un modo de transporte determinado, de un cambio en el ambiente, el precio o la duración de este modo de transporte o de otros modos. Se tiene en cuenta la concurrencia entre los diferentes medios de transporte, en este sentido se prevé que un cambio en las características de un modo influirá en la demanda de los otros modos.

El modelo gravitatorio otorga a la población un rol importante: considerada a la vez como una fuente de viajeros y una medida de la atracción de un pueblo. Para evaluar la demanda de viajes por razones personales la población total es una buena medida. Esta población total no parece prestarse a la estimación de los viajes de negocios. Para ello se utiliza el número de empleos; aunque la relación de las proporciones entre empleo y población de cada pareja de pueblos es muy cercana a la unidad, no es la masa global de empleo lo que importa sino su composición: hay diferencias muy elevadas en el número de viajes por empleo según el tipo de industria. Sin embargo, el modelo no permite analizar la influencia de la estructura del empleo.

Como indicador de las posibilidades de viaje se introduce la renta. Está claro que la distribución de las rentas en un pueblo sería la mejor medida, pero por razones de simplicidad se usa la renta media por cápita.

Aunque se tienen en cuenta las principales variables de población, de la actividad económica y de la renta, hay diferencias substanciales que persisten en el nivel de transportes interurbano de localidades que son comparables bajo todos los aspectos citados.

40

Cada pueblo tiene un grupo de características que la hacen más o menos atractivas y éstas no tienen la misma importancia según el motivo. Con el objetivo de establecer una medida única de la atracción de cada pueblo, los autores han calculado el número de empleos a tiempo completo corregido con variaciones estacionarias, en los hoteles, restaurantes, cafés y lugares de espectáculos y de ocio por millón de habitantes. Haciendo la hipótesis que un pueblo es tan atractivo como el lugar de residencia no lo es, el índice de atracción relativa es la relación entre el índice de atracción del pueblo destino y el índice de atracción del pueblo de domicilio.

El tiempo de transporte escogido es un tiempo global des del punto de origen al punto de destino. El tiempo de transporte automóvil es el tiempo medio usado para ir del centro de un pueblo al centro del pueblo de destino. Contrariamente, para los modos de transporte públicos, los autores han tenido en cuenta el tiempo principal más corto en la ruta considerada, los diferentes tiempos terminales, los tiempos de espera, así como un tiempo medida de la condición que impone el respeto de los horarios. La suma de estos elementos determina el tiempo de transporte público.

Los costes de los modos de transporte públicos es la suma de los costes del modo de transporte principal y los modos terminales usados tanto en el origen como en destino. Los costes de transporte terminal se establecen para cada pueblo y para cada modo de transporte principal: es una media ponderada en función de la distancia y del modo terminal usado. El coste del transporte principal representa la media del coste monetario efectivamente pagado y tiene en cuenta la tasa de reducción media obtenida sobre cada uno de los modos así como las diferentes clases ofertadas.

Para el automóvil se trata de un coste por milla que multiplica la distancia, se busca acercarse al coste percibido por el usuario dividiendo por el número medio de ocupantes, el cual varia según el motivo del viaje.

El modelo consiste en dos conjuntos de relaciones matemáticas, uno de los conjuntos se aplica a los viajes de negocio, el otro a los viajes por razones personales. En cada conjunto se establece una relación particular para cada uno de los cuatro modos de transporte: ferrocarril, autocar, avión y automóvil. Cada relación se presenta bajo la forma:

∑ ∑=

++++++=CABRq

sjms

sims

qsij

qms

qsij

qms

sj

sdm

si

somms

msij LogAaLogYYLogTtLogppLogNnLogNnLogkLogD

,,,

(49)

donde msijD : número de viajes de ida y vuelta desde el pueblo i hasta el pueblo j

por el modo m, con el motivo s msK :constante de la relación de la demanda de viaje en el modo m por el motivo s s

iN : medida de la población o del empleo en el pueblo origen i empleada en la relación de demanda para el motivo de viaje s s

jN : igual en el pueblo de destino j

somn y s

dmn : elasticidad de la demanda de viajes respectivamente con relación a las dos variables anteriores

41

qsijp : medida del precio de viajes des del pueblo i al pueblo j en el modo

de transporte q cuando el viaje se hace por el motivo s ijp : elasticidad de la demanda en relación con la variable anterior

qsijT : medida de la duración del transporte para los viajes des del pueblo i

al pueblo j en el modo de transporte q por el motivo s q

mst : elasticidad de la demanda con relación a la variable anterior iY : medida de la renta de la población del pueblo i msY : elasticidad de la demanda de viaje del modo de transporte m por el motivo s relativa a la medida de la renta s

jA : medida de la atracción del pueblo j por el motivo s :msa elasticidad de la demanda de viaje del modo m por el motivo s relativo a la medida de la atracción del pueblo de destino

Este modelo se modificó debido a errores en los primeros resultados, debidos principalmente a la multicolineariedad o a los signos de la elasticidad en contradicción con el axioma 4. Este modelo ha permitido mostrar que los viajes de negocio son poco sensibles a los costes de viajes, los de razones personales lo son un poco más, menos en lo relacionado con el transporte ferroviario que está afectado por un coeficiente superior a la unidad. Todos los viajes en su conjunto y los de negocio más especialmente se muestran más sensibles al tiempo de transporte del modo usado. La elasticidad de la demanda ferroviaria con relación al precio del autocar es superior a la unidad tanto por motivos de negocios como personales.

Por motivos profesionales la demanda de transporte automóvil parece sensible al coste ferroviario y un poco menos al tiempo, los otros modos no tienen ninguna influencia significativa. El coste ferroviario revela una influencia notable sobre el tráfico automóvil, pero sólo por viajes de negocio.

Este modelo es el primero en analizar la demanda global a través de las demandas de los diversos modos; estas últimas incorporan el conjunto de las características del sistema de transporte. 1.2. Modelo de demanda no lineal de BLACKBURN Este modelo parte de la demanda individual obtenida a partir del equilibrio del consumidor. Éste busca el máximo de una función de utilidad, no con relación a los bienes que consume, si no en relación con los atributos que caracterizan estos bienes; si limitamos la función de utilidad a las actividades de transporte, estos atributos son el tiempo de transporte, la seguridad, el confort, la renta después deducir los gastos de transporte. El conjunto de estas relaciones constituye las condiciones del modelo. Se puede formalizar el problema como: el equilibrio del consumidor se obtiene a partir de la función:

42

∑=

−m

jjjn xpyU

11 ),,...,( ζζ (50)

que es máxima bajo las condiciones:

∑=

=m

jjiji x

1αζ (51)

donde iζ es el nivel de consumo del atributo i jx es la demanda del bien j “ modo de transporte “ en nuestro caso jp es el coste del viaje por el modo j y es la renta del consumidor ijα es un coeficiente técnico que liga el nivel de consumo del atributo i con el modo de transporte j. Si el atributo i es el tiempo de transporte, ijα corresponde al tiempo de transporte de un viaje por el modo j En el equilibrio, si consideramos una relación determinada y si los diferentes modos son perfectamente substituibles bajo esta relación, el modo escogido en una ocasión debe ser tal que la variación de utilidad que resulte sea superior a toda variación resultante de la elección de otro modo:

∑ ∑= =

++ −≥−n

i

n

ijnijikniki pUUpUU

1 111 αα (52)

Donde iU es la derivada parcial de la función U con relación a su argumento i Denotando como iw la tasa marginal de substitución entre la renta y el atributo i, la relación anterior se escribe:

∑ ∑= =

+≤+n

i

n

ijijikiki pwpw

1 1αα j=1,2,...,n (53)

La expresión izquierda de la desigualdad representa el coste generalizado del viaje por el modo k. La desigualdad significa que un viaje se realizará por el modo k si su coste generalizado es inferior o al menos igual al coste generalizado de cada uno de los otros modos. El equilibrio del viajero se establece a partir que un viaje suplementario dé un aumento de bienestar inferior a su coste generalizado. En el equilibrio: )(1 kk xwc −= (54) Donde 1w es la tasa marginal de substitución entre el dinero y el viaje. 1w es una función creciente con xk.. Llamando Ψ a la función inversa de

)(1 kxw− , la demanda individual del modo k es:

=≤

=casosotros

mjcccx jkk

k 0,...,2,1)(ψ

(55)

El objetivo de BLACKBURN, siendo construir un modelo econométrico, le hace especificar la función de demanda y determinar los diferentes atributos a partir de los

43

cuales se ha de establecer el coste generalizado de cada modo. Considera dos grupos de elementos en la función de demanda. El primero contiene aquellos que hacen resistencia al viaje: entran en la función de coste generalizado. BLACKBURN propone que la demanda de transporte decrece exponencialmente con relación al coste generalizado. El segundo grupo está formado por elementos generadores de viajes: la población, suponiendo constante la elasticidad de la demanda en relación con esta variable y un factor de atracción propio del individuo, supuesto ligado a la renta del pueblo de destino por la relación: 2αα dovYv =∗ (56) En estas condiciones la demanda de viajes por el modo k a partir de un origen o y para un destino d se escribe:

=≤

=−

casosotrosmjccveYp

x odjodkc

ddoodk

odk

0,...,2,1321 αααα (57)

donde Pd: población en el destino Yd: renta en el destino α0, α1, α2 y α3 son los parámetros a estimar. En la función de coste, se deberían introducir todas las características que hacen que un viaje sea diferente si se cambia el modo de transporte bajo una relación determinada. Pero los datos existentes limitan considerablemente la generalidad de la función en este dominio. BLACKBURN distingue las variables que se modifican según el modo y la relación (los diferentes tiempos y costes de transporte) y aquellos que sólo cambian con el modo, como la seguridad, el confort,... Para estos últimos BLACKBURN piensa que no es posible determinar estadísticamente la contribución de cada uno de ellos, por ello los une en una variable única específica de cada modo. El coste generalizado se escribe: kodkodkodk wtwpc ++= 1 (58) donde podk es el coste monetario del viaje por el modo k

1w es la tasa de intercambio entre el dinero y el tiempo de transporte, que es igual para todos los modos

kw es la variable específica de cada modo La segunda etapa de la construcción del modelo consiste en especificar la agregación de las demandas individuales con el fin de determinar la demanda del mercado. Es evidente que si todos los individuos respondieran de la misma forma a los diferentes atributos, un único modo de transporte se elegiría para una relación dada. Se ha de suponer que los gustos varían según los individuos, en consecuencia los parámetros de la función individual se pueden considerar como observación de variables aleatorias continuas cuya distribución suponemos sigue una ley normal. La esperanza matemática de la demanda individual se escribe:

[ ] ∑ ∫∫∫∫∫∫ +∑

=−−−−

∈

++−−odk

x

RU

epuddoodk edUeeYpxE

UU

k

ku

odko)(1)'(

21

13 )(2

1321 )2(

µµµααα πα (59)

donde U es el vector de seis variables aleatorias µ es el vector de las medias de seis variables aleatorias Σ es la matriz de varianzas-covarianzas

44

odke es el término residual kR está definido por mjcc odjodk ,...,2,1=≤ En el caso donde hay cuatro modos de transporte se tendrá que estimar otros αo, α1, α2 y α3, 6 medias, 6 varianzas, y 15 covarianzas. Este número tan elevado de parámetros a estimar está por encima de las posibilidades de los datos. BLACKBURN pone ciertas hipótesis para reducir sensiblemente el número. Teniendo la demanda individual completamente especificada, la esperanza matemática de la demanda del mercado es igual al producto de la esperanza matemática individual por el número de habitantes del pueblo origen. El modelo requiere finalmente la estimación de diecisiete parámetros que BLACKBURN efectúa por aplicación directa del método de los mínimos cuadrados. Pero la minimización no pudiéndose hacer de forma analítica, exige un proceso iterativo, el algoritmo de MARQUARDT. De otro lado esta estimación requiere la evaluación de una integral de seis dimensiones para lo cual el método de MONTECARLO es el más apropiado. 2. Modelos directos basados en la noción de modo abstracto 2.1. La noción de modo abstracto Con la intención de construir modelos que puedan integrar sin dificultad los nuevos modos de transporte susceptibles de aparecer como consecuencia del progreso tecnológico, aparece la noción de modo abstracto. QUAND y BAUMOL no nombran los diferentes modos de transporte por su nombre: tren, coche, avión. Ellos intentan caracterizar cada modo por el nivel de servicio que percibe el viajero, independientemente de la administración y de la naturaleza de la infraestructura. Un modo abstracto se caracteriza por un conjunto de variables que afectan el deseo de utilización de un modo: el confort, la velocidad, el coste, la seguridad, la frecuencia de servicio,... De este modo, se puede, haciendo variar el nivel de servicio, definir un conjunto continuo de modos de transporte. De cada uno de los modos se definen unas características que se clasifican en unas tablas, donde cada modo tiene un valor de cada característica. La elección del modo de transporte sólo depende de las características de cada modo. Con la noción de modo abstracto, se supone que el individuo es indiferente al hecho de viajar por aire, por tierra o por raíl. Los autores introducen un segundo elemento en la elección del usuario, haciendo depender la elección al nivel relativo de cada servicio con relación al mejor servicio, tomado como servicio de referencia. A partir de una primera tabla de datos se establece una segunda que da el nivel relativo de los atributos de un modo de transporte en relación con el mejor modo por cada característica.

45

La elección del individuo no depende únicamente de los atributos absolutos sino también de los atributos relativos; gracias a estos atributos relativos se podrán hacer intervenir los nuevos modos de transporte. La originalidad principal de esta teoría consiste en definir un modo de transporte por sus características; el nombre del modo no tiene ninguna importancia en la elección del viajero. Esto implica, que los individuos exclusivamente efectúan su elección comparando los atributos de cada modo para cada característica. Según los autores este nuevo método tiene tres ventajas:

Permite predecir para todos los modos que existen el efecto de la introducción de un nuevo modo.

La introducción de un nuevo modo se hace muy simplemente con ayuda de sus características.

La demanda total es función de todas las alternativas posibles y teóricamente los modelos de modo abstracto deben permitir calcular separadamente el tráfico tomado de otros modos y el tráfico inducido, el originado por el nuevo modo.

Si disponemos de los datos de coste y tiempo de m modos de transporte diferentes podemos calcularnos sus atributos relativos. Denotamos con bH y bC respectivamente el mejor tiempo de transporte y el coste más bajo y por rkH y rkC el tiempo relativo de transporte y el coste relativo para el modo k. Llamamos kT al tráfico efectuado entre los dos pueblos para el modo k y N el número de modos en servicio. Se supone que sobre la base de una información estadística suficiente, se puede estimar una función que relacione linealmente kT con bH , bC , rkH , rkC y N. Se considera la introducción de un nuevo modo de transporte cuyas características son tales que el coste es mayor que el menor de la situación anterior y su tiempo es menor que el menor de la situación anterior. En este caso se modifican los valores de bC y en consecuencia todos los valores de rkC .Por otro lado los valores de bH y rkC son iguales. Con la fórmula de kT se obtiene un aumento de tráfico total, pero la introducción del nuevo modo hace disminuir el tráfico de los otros modos existentes. Un modelo de modo abstracto es susceptible de resolver simultáneamente los problemas de generación y de repartición del tráfico. Además la introducción de nuevos modos de transporte se hace sin ninguna dificultad. La hipótesis de neutralidad modal hace que este modelo sea bastante criticable, ya que en la realidad no se da nunca. Hay mucha gente que siente una gran aversión por el avión. Para evitar este fallo los autores proponen introducir una variable de punta, una variable que toma el valor uno o cero según el viaje se efectúe por aire o por tierra. Quizá se trate de una solución contradictoria con la noción de modo abstracto, aunque hace posible incorporar uno o más índices de calidad que caracterizan la confianza o aversión media de la gente para cada modo.

46

Partiendo de la noción de modo abstracto, MAYBERRY muestra que los modelos han de responder a un cierto número de exigencias:

La función de demanda total ha de ser invariante si se permuta el nombre de los modos de transporte.

La función de demanda del modo m ha de ser invariante sobre cada permutación de los otros modos.

Las funciones de demanda de cada modo han de incorporar las misma características.

2.2. Modelos econométricos de modo abstracto Los primeros modelos de modo abstracto hacían intervenir al lado de las características modales ( tiempo, coste y frecuencia), las variables socioeconómicas clásicas: )()()( 321

76533210 DfCfHfNMMYYPPT ijjijijiijk

αααααααα= (60)

donde 101 )()()( ββ ∗= kij

bij HHHf (61)

102 )()()( γγ ∗= kij

bij CCCf (62)

103 )()()( δδ ∗= kij

bij DDDf (63)

donde iP , jP , iY , jY , iM y jM son respectivamente la población, la renta media, y el número medio de depósitos bancarios en i y j.

ijN es el número de modos sobre la relación

bij

bij CH , y b

ijD son respectivamente el mejor tiempo, el mejor coste y la mejor frecuencia sobre la relación ∗∗

ikjijk CH , y ∗ijkD son respectivamente el tiempo, el coste y la frecuencia

del modo k en relación al mejor tiempo, coste y frecuencia. Sin embargo nada garantiza que este modelo conduzca a resultados acordes con los axiomas. QUANDT y BAUMOL buscan las condiciones requeridas y establecen las relaciones que deben respetar los coeficientes. Resulta que la sensibilidad a la variable relativa ha de ser más elevada que la sensibilidad a la mejor variable. Estudios posteriores de YOUNG y QUANDT, han permitido estimar características propias a cada relación. El principio se basa en descomponer el error aleatorio en dos elementos independientes: ijkijkijk vU += ε (64)

ijkε reproduce las características de la relación, ijkv es el error aleatorio. Esta hipótesis implica la aplicación del método de los mínimos cuadrados generalizado. Para cada relación se obtiene un coeficiente característico. En cuanto a la función de demanda, YOUNG propone usar un conjunto de variables definidas cada una con relación a la característica del modo que le es más próximo pero menos favorable.

47

YOUNG distingue en la función de demanda un término no concurrente y un término concurrente. Para expresar el volumen de tráfico del modo k, propone el modelo econométrico siguiente: )()( oo kkijk gkfT = (65)

donde 210 )()( αααjiji YYPPek = (66)

)(okf es el término no concurrente, en el sentido que sólo incorpora las características del modo k )(okg es el término concurrente: incorpora diversas variables de otros modos

La primera versión log-lineal tiene por originalidad hacer depender los coeficientes de las diferentes variables del nivel de renta. El número tan importante de parámetros hace poner dos hipótesis: las elasticidades-renta son diferentes según la relación y el modo; las elasticidades-renta son idénticas para todos los modos de una misma relación, pero diferentes según la relación. A lo largo de la estimación se testó el término concurrente con tres especificaciones: la primera introduce las características más variables. La segunda substituye la media geométrica de las características más variables por las del modo k. Finalmente se incorpora la media geométrica de las características de todos los otros modos. En este último caso se dan los mejores resultados, ya que respetan los axiomas. COOLEY propuso reformular la estructura concurrente de forma que un nuevo modo sea considerado como disponible pero a precio infinito. Esta idea es delicada a la hora de ponerla en práctica. YOUNG trata el nuevo modo como una parte del modo que le es más próximo. La ventaja es que el número de modos es el mismo para la estimación y la previsión pero su inconveniente es el de aumentar un volumen agregado en el que será difícil atribuir sus partes al viejo y al nuevo modo. La solución propuesta por YOUNG que parece la más satisfactoria para integrar el término concurrente, tiene un problema teórico por la noción de modo abstracto. Este modelo debería ser válido para todos los modos, pero esta solución únicamente se limita a los modos cuyos flujos de tráfico no son negligibles. Tampoco esta estructura se adapta a la previsión, ya que la introducción de un nuevo modo, cuyas variables serán inferiores a las medias geométricas, conduciría a una reducción de tráfico, resultado en contradicción con los axiomas. 3. Modelos de repartición modal integrada 3.1. El modelo de MC LYNN

48

MC LYNN parte de consideraciones que generalizan el modelo gravitatorio. La demanda global del transporte sobre una relación es el resultado de la acción de variables que juegan en sentido favorable al desarrollo del transporte, estas son las variables socio-económicas del modelo gravitatorio, y de variables que frenan este desarrollo que representan la impedancia de la relación. Ésta es función de la impedancia de cada modo. Pero los términos de impedancia modal son los mismos para toda utilidad modal: las características de los modos. El autor propone una formulación en términos de utilidad modal medida por kw que se define a partir del modelo de repartición modal:

∑=

= m

kk

kk

w

ww

1

(67)

Donde kw es la fracción de demanda asegurada por el modo k El autor toma que la impedancia de la relación es función inversa de una función de las utilidades modales. Llamando E al conjunto de variables socio-económicas del modelo gravitatorio, U la función de impedancia de la relación y G una función de la utilidad de los modos de transporte, la demanda global D se expresa:

),...,(),...,( 1

1m

m

wwGEUUU

ED ⋅== (68)

MC LYNN conforme a los axiomas anunciados, impone que la demanda sea siempre positiva y que no disminuya como consecuencia de una mejora de alguno de los modos. Suponiendo que D y G son funciones continuas, se tiene que:

0≥∂∂

kwD implica 0≥

∂∂

kwG

MC LYNN emite una serie de hipótesis para especificar completamente la función de demanda global. Inicialmente el aumento de la demanda no debe depender únicamente de una mejora modal, sino también del nivel de demanda que precede la mejora. Esta condición se expresa:

)( kk

wDfwD

=∂∂ (69)

Donde )( kwf es una función no negativa de kw . Se tiene:

)( kk

wGfwG

=∂∂ (70)

Como G es una función que depende sólo de kw . Se tiene:

∑= ∂∂

=m

kk

k

dwwGdG

1

(71)

Integrando, tenemos:

∑

= =

m

kkwF

ceG 1

)(

(72)

49

Donde )( kwF es la integral de )( kwf . La demanda global se expresa como:

∏=

=m

k

wF keEcD1

)( (73)

Esta demanda ha de ser tal que la introducción de un nuevo modo de transporte, en el que el índice de utilidad es 1+mw , aumente la demanda. Sea D’ la nueva demanda, tenemos: )( 1' += mwFDeD con DD ≥' lo que implica que 0)( 1 ≥+mwF MC LYNN asigna dos condiciones a la demanda global de transporte. De un lado un modo con débil utilidad tendrá una influencia débil o nula sobre el mercado, cosa que se expresa por:

00)(

→=

wwFLim (74)

De otro lado la utilidad tendrá una influencia que será menor cuando la utilidad inicial sea más débil:

00)(

→=

wwfLim (75)

Para satisfacer estas condiciones, MC LYNN propone que F(w) sea de la forma: 1)( += τλwwF (76) Donde τ es un coeficiente comprendido entre 0 y 1. La demanda global es entonces:

∑

= =

+m

kkw

EeD 1

1τλ

(77) La función de impedancia está ahora perfectamente especificada:

∏=

=m

kkuu

1

con 1

1

1 +

+

−==τ

τλ

λw

wk ee

u (78)

Esta relación satisface bien la exigencia teórica que una mejora de la utilidad provoca una reducción de la impedancia:

0≤∂∂

k

k

wU

La demanda de cada modo se escribe:

∑=

+

=∑

= m

kk

kw

k

w

wEeD

k

m

k

1

1

1

τλ

(79)

Esta forma de presentarse hace que el modelo sea muy sensible a la introducción de un nuevo modo, en este caso la demanda global se escribe:

∑

= =

++

+ +m

kmk ww

EeD 1

11

1

'ττλ

(80)

50

sea: [ ]1'11 −=

++

τλ mweDD (81) Se puede observar que la demanda inducida por la introducción de un nuevo modo crece de forma exponencial. Para evitar este fallo el autor propone la expresión siguiente para la demanda:

α

= ∑

=

m

kkwED

1 (82)

Entonces la nueva demanda como consecuencia de la introducción de un nuevo modo se escribe:

α

+=

∑=

m

kk

k

w

wDD

1

1' (83)

Se remarca que la demanda inducida depende exclusivamente de la capacidad atractiva del modo m+1 en referencia a la capacidad atractiva de todos los otros modos. Desde un punto de vista teórico, esta expresión es más satisfactoria que las propuestas por YOUNG o WALMSLEY y WIGAN. 3.2. El modelo de MONSOD MONSOD presenta una versión que comporta un factor de impedancia ligada al sistema de transporte muy próximo al modelo de MC LYNN:

43

321210 )()()( ββ

αααβββij

kkkkijjiij vDHcYPPeT

= ∑ (84)

donde ijji YPP ,, son las variables socioeconómicas del modelo gravitatorio

kkk DHc ,, son respectivamente el coste, el tiempo y la frecuencia del modo k de la relación

∑k

kkk DHc )( 321 ααα es la impedancia de la relación

ijv es un índice cultural de atracción entre los dos pueblos Este modelo sólo puede ser estimado con la determinación de los parámetros 321 ,, ααα del modelo de afectación siguiente:

4

321

0 )( α

ααα

αij

ijr

ijk

ijr

ijk

ijr

ijk

ijr

ijk YDD

HH

cc

eTT

= (85)

Al igual que en el modelo de MC LYNN, se necesita un modo de referencia, el modelo de MONSOD trata el modo de referencia de forma diferente a los otros modos. El modelo de afectación asociado a la condición que impone que el volumen total de tráfico sea igual a la suma de los tráficos de cada modo comprende el modo de referencia:

51

∑−

=

+=1

1

m

kkr TTT (86)

Que conduce a las siguientes expresiones:

[ ]31

21

11

31

21

11

40321

32140

...)( ααααααααααα

ααααα

−−−+++=

mmmrrr

kkkk DHcDHcYeDHc

TDHcYeT (87)

[ ]31

21

11

31

21

11

40321

321

...)( ααααααααααα

ααα

−−−+++=

mmmrrr

rrrr DHcDHcYeDHc

TDHcT (88)

La diferencia entre las dos ecuaciones es el producto 40 αα Ye . Únicamente cuando el producto es igual a la unidad los modos se tratan de forma idéntica. El modelo de MONSOD consiste en dos ecuaciones claramente ligadas entre sí. Se pueden estimar los parámetros α0, α1, α2, α3 y α4 de forma independiente del tráfico global. 4.3.2. Modelos desagregados Estos modelos parten de elecciones individuales: la información de base no es el flujo de tráfico ni su repartición modal sino el comportamiento del viajero. El objetivo es determinar una probabilidad de elección en función de las características del individuo, de su viaje y de la oferta de transporte. A diferencia de los modelos agregados ninguna condición se impone, lo que se hace es observar a que lógica responde el comportamiento descrito por el modelo. Desde un punto de vista estadístico se desea disponer de un instrumento que permita hacer una correspondencia entre un individuo, caracterizado por un vector x, y una probabilidad que sea la más próxima posible a la frecuencia observada de los individuos caracterizados por el mismo vector. El problema se puede formular como la búsqueda de la función que permita clasificar mejor los individuos entre los diversos modos de transporte. Referente al vector x se ha de tener en cuenta dos hipótesis. La primera supone que sólo existe una función de densidad, por lo que existe para cada individuo un valor de indiferencia tal que por encima de él pertenece a un grupo que usa el modo 1 y por debajo al grupo que usa el modo 2: esta es la hipótesis fundamental que se encuentra en la base del análisis probit. La segunda hipótesis supone que el vector x se distribuye de forma diferente en la población según el individuo elija el modo 1 o el modo 2: el problema es encontrar la función que reparta más exactamente estas dos subpoblaciones; esta aproximación conduce al análisis discriminante. El análisis discriminante así como el análisis probit, bajo ciertas hipótesis de distribución del vector x, conducen a una probabilidad de elección de forma sigmoidea ( forma de S achatada). Esta propiedad incita a ciertos autores a construir un nuevo análisis, cuya hipótesis fundamental es postular una probabilidad sigmoidea. En este caso la función logística es la más apropiada: esto es el análisis logit.

52

4.3.2.1. El análisis discriminante En este análisis se considera que una población P se divide en dos subpoblaciones diferentes P1 y P2 ya que existen dos comportamientos diferentes según la elección de la variable. Esto significa que el vector x de las variables explicativas no tiene la misma distribución en las dos poblaciones. Se supone que la distribución de las variables explicativas es única. De una forma general el análisis discriminante consiste en buscar una función que permite, por el conocimiento que se tiene del vector x, mejorar la probabilidad a priori que la observación caracterizada por el vector x tiene de pertenecer a la una o a la otra de las subpoblaciones. La función discriminante aparece como el instrumento de una regla de decisión que indica los valores de las variables explicativas por las cuales una nueva observación cuya elección es desconocida ha de ser clasificada como perteneciente a la subpoblación P1, si no, se clasifica como perteneciente a la subpoblación P2. Bajo ciertas hipótesis esta regla conduce a buscar la función que maximice la distancia entre las dos subpoblaciones. Consideremos una población P que dividimos en dos subpoblaciones P1 y P2. Si obtenemos una muestra en la que se toman N1 observaciones provenientes de P1 y N2 observaciones provenientes de P2. Suponemos que conocemos las densidades de probabilidad de las características de los individuos de cada subpoblación respectivamente )(1 xf y )(2 xf , la probabilidad que un individuo pertenezca a la subpoblación P1 sabiendo que está caracterizado por el vector x se escribe aplicando el teorema de BAYES:

)()(1

1)()(

)(

11

222211

11

xfqxfqxfqxfq

xfq

+=

+ (89)

donde

+=

+=

21

22

21

11

NNNq

NNNq

(90)

Para determinar esta probabilidad se han de conocer las probabilidades a priori y la ley de probabilidad del vector x. Suponiendo que este vector esté distribuido siguiendo una ley normal, y que la matriz de varianzas-covarianzas sea la misma en las dos subpoblaciones, esta probabilidad se puede escribir llamando Σ a esta matriz y µ1 y µ2 los vectores medios en cada subpoblación:

[ ]

−∑+−−∑+

−∑+−−∑

=∈−−

−−

)()'(21)('exp1

)()'(21)('exp

121

12121

1

211

21211

µµµµµµ

µµµµµµ

x

xxP (91)

llamando

−∑+−−∑−== −− )()''(

21)('exp

)()(

121

12211

2

1 µµµµµµxxfxfL (92)

53

tenemos:

[ ] [ ][ ] L

Lbax

baxxPexp1

exp'exp1

'exp1+

=++

+=∈ (93)

donde )( 211 µµ −∑= −a (94)

)()'(21

211

21 µµµµ −∑+−= −b (95)

Sea k el número de componentes del vector x, se busca una partición del espacio de k dimensiones en dos regiones diferentes R1 y R2 que minimicen los errores de clasificación afectando a cada una de ellas los costes respectivos siguientes: C(2/1) clasifica en P2 una observación de P1 C(1/2) clasifica en P1 una observación de P2 Existe un procedimiento óptimo de clasificación que define las regiones R1 y R2 como:

1

2

2

11 )1/2(

)2/1()()(:

qCqC

xfxfR ≥

1

2

2

12 )1/2(

)2/1()()(:

qCqC

xfxfR <

Bajo las hipótesis anteriores la regla de decisión se puede escribir:

1Px∈ si 1

2

)1/2()2/1()exp(qCqCL ≥

2Px∈ si 1

2

)1/2()2/1()exp(qCqCL <

Tomando los logaritmos se obtiene:

1Px∈ si ∗=≥ LqCqCLogL

1

2

)1/2()2/1(

2Px∈ si ∗=< LqCqCLogL

1

2

)1/2()2/1(

L es una variable aleatoria cuya varianza es: αµµµµ =−∑−= − )()'( 21

121VarL (96)

α representa la distancia entre N(µ1, Σ) y N(µ2, Σ) que llamamos la distancia de MAHALANOBIS.

L se distribuye siguiendo una ley normal de media 2α y de varianza α cuando x

pertenece a P1 y de media -2α cuando x pertenece a P2. La probabilidad de error de

clasificación de una observación preveniente de P1 se puede escribir:

∫

−

∞−

−

∗

=α

α

π

21

21 2

21)1/2(

L

ydyeP (97)

54

donde 1

2

)1/2()2/1(qCqCLogL =∗ (98)

Igualmente la probabilidad de error de clasificación proveniente de P2 es:

∫∞

+

−

∗

=

α

απ

21

21 2

21)2/1(

L

ydyeP (99)

Cuando las probabilidades a priori son desconocidas se ha de escoger L* de manera que: )2/1()2/1()1/2()1/2( PCPC = En el caso general la búsqueda de L* se hace por tanteo. Se observa que si

)2/1()1/2( CC = , entonces L* es nulo y la probabilidad de mala clasificación es:

∫∞

−

2

21 2

21

α πdye

y (100)

Se observa que la probabilidad de mala clasificación es más débil cuanto α es mayor, ya que cuanto mayor sea la distancia entre las dos poblaciones, mejor será la discriminación. De esta forma será posible comparar la eficacia de la discriminación aportada por diferentes vectores de variables exógenas: se escogerá aquel vector que proporcione la distancia mayor entre las poblaciones P1 y P2. α se la conoce comúnmente como cuadrado de la distancia entre las dos poblaciones: 2D=α (101) De su expresión se deduce la contribución a D2 de la i variable exógena: iiiiiii aD )()()( 2121

121

2 µµµµµµ −=−∑−= − (102) donde 1−∑ i es la línea i de la matriz de las varianzas y covarianzas ia es el coeficiente de la variable i Es fácil de ver que papel juega la variable i en la separación de las dos poblaciones. Se ha presentado el análisis discriminante en el caso de aplicación de dos poblaciones conocidas, pero la mayoría de los casos es imposible disponer de datos precisos sobre la población. Se obtienen entonces parámetros de la función discriminante con la idea de las estimaciones clásicas obtenidas por el método de la máxima verosimilitud de µ1, µ2 y Σ:

55

(103)

−−+−−

−+==∑

∈∀==

∈∀==

∑ ∑

∑

∑

= =

=

=

1 2

2

1

1 12211

21

212

22

111

11

)')(()')((2

1ˆ

1ˆ

1ˆ

N

j

N

jjjjj

jj

N

jj

jj

N

jj

xxxxxxxxNN

S

PztqxxN

x

PztqxxN

x

µ

µ

donde jz es la variable endógena Si la muestra es representativa del conjunto de las poblaciones se usará:

21

11 NN

Nq+

= y 21

22 NN

Nq+

=

4.3.2.2. Análisis probit El análisis probit es otro instrumento que puede ser usado para estimar la relación entre una variable dependiente binaria y un conjunto de variables explicativas. Los economistas trabajan con la idea de distribución de umbrales. Es raro que una sola variable intervenga de forma determinante. Así el análisis de la elección del modo de transporte en la concurrencia ferrocarril-automóvil no se puede componer únicamente del valor del tiempo. Es por lo que se ha desarrollado el análisis probit en el cuadro multidimensional haciendo depender la elección del modo de transporte de un conjunto combinado de variables. Suponemos entonces que existe un índice L que es el resultado de una combinación lineal de variables independientes x1, x2,..., xk y que el valor de este índice L determina si la variable dependiente z tiene el valor 1 ( el modo elegido es el 1) o 0 ( el modo elegido es el 2) para la persona observada habiendo efectuado el viaje dado. Cada persona j de la población se caracterizará por un conjunto diferente de variables independientes (x1j, x2j, ...,xkj) y cada persona tendrá un índice de valor diferente tal que: kjkjjj xaxaxaaxL ++++= ...)( 22110 (104) Cada persona tendrá un valor crítico diferente, es decir un valor por el cual los dos modos en concurrencia le serán indiferentes. Por encima del valor, el individuo escogerá el modo 1; por debajo, escogerá el modo 2. Esto se expresa en forma matemática: Si jj LL ≥ 1=jz

Si jj LL < 0=jz Es imposible conocer exactamente el valor de indiferencia de cada individuo, por lo que supondremos que sigue una cierta ley de distribución. Se hace la hipótesis que los jL se distribuyen siguiendo una ley normal de media 0 y de varianza 1. Esta es la hipótesis de base en la que reposa el análisis probit.

56

Para un valor dado del índice 0L z será igual a 1 para todas las personas cuyo umbral

jL es inferior o igual a 0L , todas estas personas habrán elegido el modo 1; z será igual

a 0 para las personas cuyo umbral jL es superior a 0L , todas estas personas habrán elegido el modo 2. Como el valor de este umbral se supone distribuido siguiendo una ley normal en el seno de la población, la probabilidad que un individuo caracterizado por un valor dado

0L escoja el modo 1 viene dado por:

[ ] ∫∞−

−=

02

01 21exp

21 L

dttLPπ

(105)

La forma general del modelo probit se puede escribir:

dtexPt

xL

jj 2)(

1

2

21)(

−

∞−∫= π (106)

donde )(1 jxP es la probabilidad que un individuo j caracterizado por el vector

jx de variables explicativas tome el modo 1 )( jxL es una combinación lineal de variables explicativas tal que: kjkjjj xaxaxaaxL ++++= ...)( 22110 (107) El problema ahora es encontrar las estimaciones de los coeficientes kaaaa ,...,,, 210 de la función )( jxL . TOBIN ha desarrollado la solución del máximo de verosimilitud. Para encontrar los estimadores de máxima verosimilitud de estos parámetros, se ha de establecer la función de verosimilitud de la muestra. Se sabe que disponemos de una muestra de N individuos, y para cada uno de estos individuos sabemos si ha tomado el modo 1 o el modo 2, conocemos el valor de cada una de las variables explicativas que lo forman. Llamamos jx al valor del vector x de las variables explicativas para el individuo j. Con el fin de facilitar los cálculos, se han de ordenar los individuos de manera que las N1 primeras observaciones coincidan con personas que han tomado el modo 1 y as N-N1 restantes han tomado el modo 2. La función de verosimilitud de la muestra se puede escribir:

[ ]∏∏+==

−=ΛN

Njj

N

jj xPxP

11

11 )(1)(

1

(108)

donde kjjjj xxxx ,...,, 21= xij: valor de la variable explicativa i para el individuo j Substituyendo )(1 jxP y )(2 jxP por su expresión en función de las variables, la función de verosimilitud de la muestra se escribe:

dtedtetN

j

N

Nj axL

axL t

j

j

2

1 1 ),(

),(

2

21

1

2

21

21 −

= +=

∞

∞−

−

∏ ∏ ∫∫=Λππ

(109)

57

y la función logarítmica de verosimilitud es:

dteLogdteLogLogtN

Nj axL

tN

j

axL

j

j

2

1 ),(

2

1

),( 2

1

21

21

21 −

+=

∞−

= ∞−

∗ ∑ ∫∑ ∫ +=Λ=Λππ

(110)

Esta función pasa por un máximo para los valores de los parámetros que anulan las derivada parciales primeras:

0=∂Λ∂

=Λ∗

∗

ii a

kii ,...,1=∀

Para simplificar se escribe:

dteaxPtaxL

j

j

2

),(

1

2

21),(

−

∞−∫=

π (111)

dteaxPt

axLj

j

2

),(2

2

21),(

−∞

∫=π

(112)

Así el logaritmo de la función de verosimilitud se escribe más simplemente:

[ ] [ ]∑∑+==

∗ +=Λ=ΛN

Njj

N

jj axLogPaxLogPLog

12

11

1

1

,, (113)

i

j

j

jN

Nj j

j

i

j

j

jN

j j

ji da

axdLaxdLaxdP

axdPaxdLogP

daaxdL

axdLaxdP

axdPaxdLogP ),(

),(),(

),(),(),(

),(),(

),(),( 2

1 2

21

1 1

1

1

1

⋅⋅+⋅⋅=Λ ∑∑+==

∗

(114)

[ ][ ]

[ ][ ]

0),(

,,

1),(

,,

1 2

1 2

1

1 1

1

=⋅⋅+⋅⋅=Λ ∑∑+==

∗ij

j

jN

Nj jij

j

jN

j ji x

axdLaxdP

axPx

axdLaxdP

axP (115)

Poniendo:

[ ] [ ]

2),(

2

),(

12

2

21

),(21

),(, axL

j

taxL

j

jj e

axdL

dted

axdLaxdP

z

j

−

−

∞− ===∫

ππ (116)

Se puede escribir:

[ ]

2),(

),(

2

22

2

21

),(21

),(),( axL

j

axL

t

j

j eaxdL

dted

axdLaxdP

j−

∞−

−==∫

π

π (117)

Por lo que: jj

j zaxdLaxdP

−=),(),(2 (118)

Con esto, podemos escribir:

[ ] [ ] 0,

1,

11 21 1

1

=−=Λ ∑∑+==

∗ijj

N

Nj jijj

N

j ji xz

axPxz

axP i=1,2,...,k (119)

58

Tenemos un sistema que no es lineal en sus parámetros. Este sistema ha de ser resuelto por un proceso iterativo en el cual se usa un conjunto de valores iniciales de los coeficientes ia . Si llamamos ∗a al vector de estos valores iniciales, Sea )( ∗∗Λ ai ∗Λ i evaluado en ∗a Los ajustes lineales que harán tender ∗Λ i hacia 0 están calculados como las soluciones del sistema lineal siguiente:

∑=

∗∗∗∗ =Λ∆+Λk

lilli aaa

1

0)()( (120)

donde l

iil a∂

Λ∂Λ

∗∗ y ∗∗∗ Λ=Λ ilil a )( evaluado en ∗a

[ ] [ ]∑∑+=

∗

∗∗

=∗

∗∗

∗ ∂∂

−∂

∂

−∂

∂−

∂

∂

=ΛN

Nj j

ljijj

l

jijN

j j

ljijj

l

jij

ilaxP

aaxPzxaxP

az

x

axP

aaxPzxaxP

az

x

12

2

22

12

2

11

),(

),(),(

),(

),(),(1

(121) donde:

jljl

j zxaxLaz

)),(( ∗−=∂

∂ (122)

ljjl

j xza

axP=

∂

∂ ∗ ),(1 (123)

ljjl

j xza

axP−=

∂

∂ ∗ ),(2 (124)

Se puede escribir:

[ ][ ]

[ ][ ]∑∑

+=∗

∗∗

=∗

∗∗∗ +−

−−−

=ΛN

Nj j

jjjljijN

j j

jjjjljijil

axP

zaxLaxPzxx

axP

zaxLaxPzxx

12

2

2

12

1

1

),(

)),()(,(

),(

)),()(,(1

(125) Los ajustes lineales se obtendrán con la resolución del sistema siguiente:

[ ][ ]

[ ][ ]∑

∑ ∑ ∑ ∑

+=∗

∗∗

= += = =∗

∗∗

∗∗

+−−

−−∆+−=

1

1

1

1

12

2

2

1 1 1 12

1

1

21

),(

)),()(,(

),(

)),()(,(),(),(

0

N

Nj j

jjjjljij

N

j

N

Nj

k

l

N

j j

jjjjljijl

j

jij

j

jij

axP

zaxLaxPzxx

axP

zaxLaxPzxxa

axPzx

axPzx

(126) Después de haber obtenido los nuevos valores iniciales de ia tales que: iii aaa ∆+= ∗∗∗ (127)

59

el proceso se repite hasta que los ia∆ sean negligibles. 4.3.2.3. Análisis logit Este es el análisis que tiene las bases más empíricas. La hipótesis fundamental es que una relación entre la probabilidad de escoger un modo de transporte dado y una combinación lineal o no lineal de variables explicativas es de forma sigmoidea. La función de probabilidad logística tiene una forma simétrica con relación a su punto de inflexión como la curva acumulada de la ley de GAUSS, pero aquí no se tiene en cuenta la hipótesis que los valores de indiferencia de la combinación de las variables están distribuidas normalmente en el seno de la población de los viajeros. Si llamamos P1 a la probabilidad que un individuo escoja el modo 1, el logit de P1 estará

definido como la expresión [ ]xLP

PLog =

− 1

1

1 (128)

donde [ ]xL es una combinación de las variables que afectan la elección modal o alguna transformación de estas variables. De esta ecuación se deduce:

[ ]xLeP

P=

− 1

1

1 con lo que:

[ ]

[ ]xL

xL

eeP+

=11 (129)

4.4. MODELOS SEGÚN LOS OBJETIVOS BUSCADOS 4.4.1. Modelos de estimación prospectiva del tráfico independientemente de las transformaciones en el sistema de transportes. Estos modelos son independientes a cualquier transformación en el sistema de transportes y se caracterizan porqué ninguna de las variables explicativas son representativas de la oferta de transportes. Además del modelo que presentamos, dentro de este bloque se deberían incluir los modelos gravitatorios que ya hemos comentado anteriormente. 4.4.1.1. Modelos de proyección a corto término Estos modelos destinados a los estudios de coyuntura, se usan para la proyección a corto término de series cronológicas mensuales. La modelización de series cronológicas mensuales no se puede tratar de forma satisfactoria para la aplicación de los métodos clásicos de modelización de series cronológicas anuales. Las series mensuales presentan una estacionalidad y una dinámica propias que afectan a la calidad estadística de las regresiones. Los procesos ARIMA permiten modelizar una serie cronológica mensual a partir del conocimiento de los valores pasados tomados para estas series, y de la puesta en

60

evidencia de las relaciones dinámicas que se pueden establecer entre estos valores. También se pueden usar para proyectar la evolución de la serie en el tiempo, por extrapolación de la dinámica y de sus fluctuaciones pasadas, sin recurrir a las variables exógenas.

De hecho, es importante subrayar que la proyección obtenida no puede ser interpretada más que como una situación de referencia y, de ninguna forma, como una previsión: el modelo usado suministra una proyección a partir de la memoria de la serie, sin tener en cuenta directamente el efecto de un ambiente que puede ser relativamente influyente, y atribuyendo un peso decisivo a la evolución reciente de la serie, particularmente a los valores de los últimos meses.

Una ventaja importante de este método es que conserva los datos mensuales a su estado original (no corregidos de las variaciones estacionarias); sólo después de la realización de las proyecciones en datos brutos las series mensuales se desestacionalizan (periodo de proyección incluido) para la claridad de la exposición de los resultados.

Los comentarios han sido realizados sobre los datos desestacionalizados para tomar las evoluciones de forma continua en el tiempo ( en relación a un periodo inmediatamente precedente, por oposición al análisis clásico sobre los datos brutos que sólo pueden ser hechos en relación al mismo periodo del año anterior). Las interpretaciones se encuentran liberadas de toda consideración de naturaleza estacionaria ( al menos en lo que concierne a la estacionalidad media, las fluctuaciones excesivas para un mismo mes serán puestas en evidencia en el mismo tiempo).

Además del interés metodológico de este tipo de modelo, una aproximación de este tipo permite, en un segundo lugar, el análisis de las divergencias constatadas entre las realizaciones y las últimas proyecciones, que conducen a una situación de referencia sobre una duración cercana a tres meses. Estas diferencias son debidas a los efectos de tipo coyuntural ( por ejemplo una subida tarifaria) o de tipo estructural ( nueva política de oferta, modificaciones en el entorno económico y social,...). Se encuentran así puestos en evidencia los cambios de tendencia de la forma como se manifiestan.

Este análisis de la evolución pasada, que lleva a diferencias en los datos mensuales con una duración muy limitada, sólo se efectúa sobre los datos brutos. 4.4.1.2. Modelos de previsión del tráfico aéreo Para las previsiones a medio término se usan fórmulas que se calibran en cada país del tipo: βα )()( ijcfPNBkT = (130) 4.4.2. Modelos de estimación del tráfico relativos a un proyecto de mejora

61

Esta categoría de modelos es usada para prevenir el tráfico de una nueva infraestructura en un horizonte determinado. Se trata de modelos secuenciales. Las variables explicativas contienen las variables ligadas a la oferta de transporte. 4.4.2.1. Modelo de la SNCF para el TGV Atlántico Este modelo fue concebido para un mercado donde los modos de transporte concurrentes sean el ferrocarril, el avión y los transportes por carretera. Con la introducción de una línea nueva de ferrocarril este modo ganará parte de la demanda aérea, parte de la demanda por carretera así como tráfico inducido, sea por un aumento de desplazamientos de los clientes del tren o sea por la aparición de tipos nuevos de desplazamientos.

A partir de la matriz de orígenes-destinos del tráfico sin la nueva línea, la estimación de las relaciones y del tráfico inducido se efectúa en dos etapas ( análisis de los efectos de repartición de la demanda entre modos y efectos de inducción) o simultáneamente.

1. Repartición modal ferrocarril 1ª clase-avión Para estimar esta repartición se usa un modelo precio-tiempo. Principios del modelo

Este modelo se basa en la hipótesis que la elección de un viajero entre los dos modos se efectúa en función del valor que él atribuye a su tiempo, y de las características de coste y de tiempo de transporte de cada uno de los modos. Así, el usuario k elige el modo cuyo coste generalizado, teniendo en cuenta su valor del tiempo hk, sea menor.

Si pF y pA son los precios respectivos del ferrocarril 1ª clase y del avión, y si TF y TA son las duraciones de los trayectos ( comprendiendo los trayectos terminales), los costes generalizados para el usuario k se definen por: A

kA

kA ThpCg += (131)

Fk

FkF ThpCg += (132)

Sobre una relación dada i, existe un valor del tiempo hi tal que kF

kA CgCg = y que se

llama valor de indiferencia del tiempo sobre la relación i. Si ik hh < , el viajero elige el ferrocarril, sino el avión. Tal y como muestra la siguiente figura:

Costes

generalizados

62

Densidad del valor del tiempo

CA, CF

FIGURA 4.2:Elección de un modo según el coste generalizado. Se supone que la población de los viajes sobre una relación dada se caracteriza por una distribución del valor del tiempo del los viajeros f(h). La función de repartición

∫∞

=0

)()( dxxfhF es igual a la proporción de viajes cuyo valor del tiempo es inferior a h.

En estas condiciones, si hi designa el valor de indiferencia sobre la relación i, la proporción Yi de usuarios de la carretera sobre el tráfico total vendrá dado por:

)(1)( ih

hFdxxfYi

−== ∫∞

(133)

FIGURA 4.3: Función densidad del valor del tiempo.

El usuario toma el tren

El usuario toma el avión

CAi=PAi+hTAi

CFi+hTFi

Valor del tiempohi

h

Densidad del valor del tiempo

63

FIGURA 4.4: Repartición del tráfico según el valor del tiempo.

Teniendo en cuenta los conocimientos adquiridos sobre la distribución de rentas dentro de la población, se obtiene una función de densidad f(h) Log-normal:

)2

)(exp(2

1)( 2

2

σπσLogmLogh

hhf −−

= (134)

donde σ es la diferencia del logaritmo neperiano de los valores de tiempo m es la media de los valores del tiempo

Ajuste del modelo El ajuste del modelo consiste en calibrar los parámetros σ y m anteriores. Introduciendo las variables Z y X tales que Z sea el inverso de la transformada de Gauss de la variable Y y X el logaritmo de hi, la relación )(1 ihFY −== se convierte en

)(1 LogmXZ ii −−=σ

. (135)

Esto permite sustituir en el ajuste del modelo sobre las variables ( Yi), el ajuste de las variables transformadas (Zi, Xi), ajuste que se convierte en lineal. 2. Los efectos de inducción El aumento de tráfico se liga a la variación de la oferta ferroviaria, por medio de un coste generalizado 2.1. Tráfico de ferrocarril 2ª clase inducido sobre todas las relaciones y tráfico de ferrocarril 1ª clase sobre todas las relaciones no concurrentes con el avión. La inducción se estima a partir de un modelo gravitatorio, llamado modelo de coste generalizado. Principios El tráfico ferroviario Ti entre dos ciudades de una misma provincia se expresa bajo la forma:

Repartición del tráfico

Valor del tiempo

F(h)

FNA

FN

N

+

FNANNA

+

hi

h

64

γ

βσ

gi

iii C

RkPT = (136)

donde Pi es la población y Ri es un índice de renta de la aglomeración i Cgi es el coste generalizado sobre la relación i

σ, β, γ son las elasticidades del tráfico, respecto a la población, la renta de la aglomeración i y del coste generalizado sobre la relación.

El coste generalizado es función del precio medio, de los tiempos de trayectos y de espera y de una penalización psicológica cuando que los viajeros son obligados a cambiar de tren en una línea. Se expresa así:

)5,05,0(2

CfrIthpCg +

+++= (137)

donde p: precio = distancia x producto medio por viajero-Km t: tiempo de trayecto = media de los tiempos de recorrido de los trenes sobre la relación

f: frecuencia de los trenes sobre la relación

I: intervalo medio =1

)18(−−

ft , 18 es la amplitud horaria de la jornada de 6

h a 24h r: número de cambios en el conjunto de la mejora C: constante que representa el tiempo de trayectos terminales h: valor del tiempo medio de los viajeros Ajuste La calibración del modelo consiste en calcular los valores de α, β y γ, h y C. Las elasticidades α, β y γ se estiman por regresión múltiple, los parámetros h y C por barrido conduciendo al coeficiente de correlación más elevado. 2.2. Tráfico de ferrocarril 1ª clase inducido sobre el tráfico aéreo Para calcular la inducción, se introduce en el modelo precio-tiempo, una elasticidad del tráfico al coste generalizado ( este coste corresponde con la definición dada en el principio del modelo precio-tiempo), igual a la más elevada para la 1ª clase. 4.4.2.2. Modelo del SETRA para las autopistas Se trata de un modelo ARIANE que calcula automáticamente las afectaciones de tráfico y las ventajas económicas ligadas a las mejoras o a las construcciones de nuevas vías. A partir de tráficos actuales descompuestos según los principales orígenes y destinos y de una hipótesis de evoluciones globales o por relación, el modelo permite la afectación de tráfico sobre los itinerarios que se describen por el usuario. La afectación se efectúa según una ley:

α

=

1

2

2

2

dd

tt (138)

65

con t1: tráficos afectados en el itinerario 1 t2: tráficos afectados en el itinerario 2 d1: costes de circulación medios sobre 1 d2: costes de circulación medios sobre 2 α=10 El coste de circulación media d se calcula por la fórmula siguiente: iLhTmd ++= (139) con m: gasto monetario ( gasolina, reparaciones, peajes) h: valor del tiempo medio T: duración del recorrido i: inconfort medio L: longitud del itinerario La inducción de tráfico debida a la mejora como consecuencia de la bajada del coste de circulación del itinerario se calcula con una fórmula que da el porcentaje de inducción en función de los costes de circulación:

% inducción= 132

1

0 −

dd

sobre la parte del itinerario mejorado, el índice 0

indica el estado inicial y el índice 1 el estado final. Las ventajas económicas para los automovilistas (A), estimados sobre la base de los tráficos previsibles, tienen en cuenta:

Las ganancias de tiempo o pérdidas de tiempo valoradas en términos monetarios.

Las variaciones de gastos monetarios de los automóviles. La mejora del confort de los automóviles.

)(2 10

10 ddtt

A −+

= (140)

Estas ventajas se actualizan según la fórmula:

∑=

= +=

Nn

nn

n

iA

A0 )1(

(141)

Donde An representa la ventaja económica en el año n y i la tasa de actualización. El cálculo efectuado por ARIANE integra igualmente otras ventajas para la colectividad, ligado a las ganancias ( o pérdidas eventuales) de los ingresos de los peajes o fiscales, al consumo de energía y a la seguridad; el conjunto de las ventajas así calculadas se comparan a los costes de realización y de funcionamiento de las mejoras para evaluar su rentabilidad para la colectividad. 4.4.2.3. Modelo usado para las relaciones transfronterizas Franco-Alemanas Basado en el modelo anterior de la SNCF para el TGV Atlántico, este estudio fue el usado para la previsión de la demanda de tráfico en ferrocarril en las relaciones transfronterizas entre Francia, Alemania y Luxemburgo. Este estudio primero identifica

66

la demanda actual (1998) y hace una previsión de lo que pasará con la demanda en el momento de la introducción de una nueva infraestructura en el año 2003. Para proceder con el estudio se definieron inicialmente las unidades espaciales que serían objeto de estudio basado en las zonas de emisión y de recepción de los desplazamientos domicilio-trabajo.

Este modelo introduce conocimientos del territorio ( población, infraestructuras automovilísticas,...), así como los flujos ferroviarios. También tiene en cuenta los elementos aportados por los estudios y encuestas efectuadas puntualmente en ciertas partes de la zona de estudio.

Este modelo tiene en cuenta los siguientes modos de transporte: ferrocarril, autocar y vehículo particular.

Se han considerado tres situaciones:

Situación de base: situación actual en la que se conoce perfectamente los datos

de tráfico y de oferta en su entorno socio-económico actual. Situación de referencia: situación futura sin contemplar la modificación de la

oferta ferroviaria pero sí de la situación socioeconómica evolucionada en relación con la situación actual.

Situación de proyecto: situación con la puesta en servicio del proyecto modificando la oferta del modo ferroviario.

El proceso de estas tres situaciones se presenta en la figura siguiente:

Tráfico

Años FIGURA 4.5: Situaciones consideradas en el modelo.

1. Situación de base 1.1. Primera etapa: constitución de una base de cálculo. La primera etapa permite constituir una base para las etapas siguientes. Su objetivo es de determinar los flujos domicilio-trabajo de todos los modos para cada pareja Origen-Destino del campo de estudio.

Esta primera evaluación se basa en la calibración de un modelo de distribución de tráfico. Este modelo supone que son las poblaciones las que generan los flujos

Situación de base

Situación de referencia

Situación de proyecto

67

domicilio-trabajo y son las duraciones de los desplazamientos las que limitan el

volumen. La función usada es: γ

βα

ij

jiij T

PPGM ×= (142)

donde ijM es el número de migraciones de ida y vuelta desde la aglomeración i hacia la aglomeración j iP , jP son las poblaciones respectivas de las aglomeraciones i y j ijT es el tiempo de recorrido por carretera desde i a j α, β, γ son constantes que se fijan calibrando el modelo con datos conocidos

La fórmula anterior se calibra con datos censales de las ciudades del territorio de estudio. De esta forma obtenemos un conjunto de valores que representan los flujos domicilio-trabajo de todos los modos entre los orígenes y destinos pero sin considerar los efectos fronterizos. 1.2. Segunda etapa: determinación de los flujos de viajeros de todos los modos En esta etapa se aplica el modelo sobre proyecciones más recientes. Sobre la base de los datos recogidos se atribuye a las fronteras, según las zonas separadas y el sentido del desplazamiento, coeficientes que traducen las diferencias socioeconómicas ( empleos, poder adquisitivo, coste de una habitación,...). Apoyándose en una encuesta sobre movilidad regional, se obtienen los flujos de todos los modos, todos los motivos para cada pareja Origen-Destino del campo de estudio. Para estimar las partes del mercado del modo ferroviario, se determinan los flujos ferroviarios a partir de estimaciones realizadas a partir de bases de datos sobre las ventas de billetes ( para cada uno se tiene el origen y el destino) de un lado y del otro contajes. Finalmente, para asegurarse la validez de los resultados, se calculan a partir de los flujos anteriores los flujos automovilísticos para comparar con los datos de contajes realizados sobre las carreteras que sirven a las aglomeraciones y los pasos fronterizos. Esta es una fase iterativa. Se supone un efecto de ida y vuelta entre la elección de los coeficientes y los resultados obtenidos a partir de estos últimos. Se distinguen cinco fases:

Intervención de los efectos frontera

Se trata de fijar los coeficientes traduciendo la existencia de una perturbación, negativa o positiva, con el paso de una frontera. Esto puede ser debido a varios factores: diferencia de rentas, inserción profesional facilitada, poder adquisitivo, idioma, estilos de vida,...

68

Estos coeficientes traducen la diferencia de los flujos observados entre las situaciones sin frontera (cálculo de la primera etapa) y con la frontera. Se opta por un efecto frontera variable en función de la distancia (siguiendo una ley exponencial). Los valores de los coeficientes se fijan inicialmente de forma grosera a partir de informaciones disponibles sobre ciertas relaciones, y se van modificando para afinar los resultados.

Paso de flujos domicilio-trabajo todos los modos a flujos todos los modos todos

los motivos

Para efectuar esta transformación se usa un método normativo. Este método, usado para los estudios de mercado de la SNCF, se obtiene de una encuesta sobre la movilidad regional. Para tener en cuenta la especificación de la demanda transfronteriza, se disminuyen las partes de los motivos domicilio-estudio y de los motivos privados obligados (administrativos,...).

Determinación de las partes del mercado del modo ferroviario

Se usan en esta fase las informaciones que disponemos sobre el número de clientes del modo ferroviario en el territorio de estudio (contajes, informaciones cualitativas,...). Estos datos son insuficientes para establecer precisamente el número de personan que usan el tren para el conjunto de los orígenes-destinos estudiados. Lo que se hace es basarse en los flujos de tráficos de viajeros observados al nivel de los puntos fronterizos y sobre las posibilidades ofertadas por la oferta actual. El método de repartición de los flujos ferroviarios entre los orígenes-destino que pasan por un punto fronterizo dado consiste en usar un modelo gravitatorio para determinar el peso relativo de cada uno. La impedancia usada es un coste generalizado que integra la duración de los trayectos ( tiempos terminales comprendidos), las frecuencias de los trenes, el número de correspondencias y el coste del desplazamiento. Las partes del mercado se calculan relacionando los tráficos ferroviarios de viajeros con los tráficos de todos los modos.

Controles de validez

Para ser lo más próximo posible a la realidad, se efectúan una serie de tests haciendo referencia a las informaciones que no han sido usadas hasta ahora. Se trata de confrontar los resultados obtenidos por este método a los obtenidos a través de estudios o encuestas realizadas en una parte de la zona de estudio y controlar que los flujos calculados sean conformes a los flujos automovilísticos medidos con los contajes.

Reiteración de los cálculos

69

Se constatan las diferencias eventuales y se realizan las correcciones volviendo a la primera fase de esta etapa. Se repiten las series de cálculos de esta etapa hasta que los resultados sean conformes a los diferentes tests de validez. Un esquema de estas dos primeras etapas es de la forma siguiente:

70

FIGURA 4.6: Pasos seguidos por el modelo.

No válido

Datos de las poblaciones

Duración de los trayectos por

carretera

CALIBRACIÓN DE UN MODELO

Número de migraciones

domicilio-trabajo de un año determinado

Determinación de los flujos domicilio-trabajo, de todos los modos, en el año y entre

las aglomeraciones del estudio

Correcciones teniendo en cuenta los efectos fronterizos sobre los

desplazamientos

Puesta al día de las poblaciones para el año de

estudio

Determinación de los flujos todos los modos, todos los

motivos en el año y las aglomeraciones del sector de

estudio y de las partes de mercado para el ferrocarril

Flujos ferroviarios entre las aglomeraciones para

el año de estudio

Datos de los billetes vendidos así como contajes

y estimaciones

Test de coherencia con los datos de los

contajes automovilísticos

Test de coherencia con las

informaciones recogidas

Validación final por expertos

No válido

71

2. Situación de referencia A partir de los datos de la situación de base y con hipótesis del crecimiento anual del tráfico según los modos se obtienen los flujos para la situación de referencia, para el momento de la puesta en marcha de la infraestructura. Se usa un modelo que introduce variables socioeconómicas y variables relativas a los servicios actuales ofrecidos por los modos de transporte existentes. 3. Situación de proyecto La puesta en servicio de un proyecto ferroviario modifica la situación de concurrencia entre los modos con relación a la situación de referencia. Los efectos a tener en cuenta son: Efecto de desviación del modo concurrente: las mejoras del modo ferroviario atraen un

tráfico del modo concurrente. Algunos pasajeros que viajaban en el modo concurrente de referencia viajarán en ferrocarril en la situación de proyecto. Se usa un modelo logit multimodal.

Efecto de inducción del tráfico ferroviario: el tráfico inducido corresponde al tráfico suplementario que no habría existido si el proyecto ferroviario no hubiera sido puesto en servicio. Se estima con un modelo gravitatorio de Coste Generalizado.

El esquema a seguir es el siguiente:

FIGURA 4.7: Esquema del modelo.

Análisis de la expansión del tráfico Datos socioeconómicos

Situación de referencia

Modelo de demanda total Origen-Destino según motivo del viaje

Previsión para la situación de referencia según Origen-Destino, modo y motivo del viaje

Situación de proyecto

Modelo Gravitatorio Demanda Inducida

Modelo Logit Multimodal Dispersión del tráfico

72

3.1.Tráfico derivado de otros modos

Para calcular el tráfico que procede de otros modos de transporte, se supone que la elección de uno u otro modo depende de cuál es el modo que ofrece más utilidad. Se usa un modelo de tipo Precio-Tiempo de elección modal para estimar los pasajeros transferidos de los modos existentes al ferrocarril de alta velocidad. Este modelo se basa en el principio del Coste Generalizado. Si un pasajero quiere ir de un punto a otro tiene la posibilidad de viajar con diferentes modos de transporte, y elegirá el que les sea más barato de acuerdo con su definición de coste generalizado. El viajero asigna a cada modo un coste de viaje, un tiempo de viaje y elige dependiendo a su valor del tiempo. El modelo usado para estimar cuál es la probabilidad de elección de un modo es el logit multimodal, cuya forma general es la siguiente:

avpferr

M

UUU

u

ij

ijM

eeee

TT

++= (143)

donde ij

ijM

TT

es la parte del tráfico del modo m dentro del tráfico

ferrocarril+vehículo privado+autocar entre la zona i y j u es la función de utilidad de un modo

La función de utilidad de un modo es de la forma siguiente: gmm CU ⋅= γ (144) donde Cgm es el coste generalizado de un modo cualquiera entre la zona i y j γ es el coeficiente del modelo

La puesta en servicio de un proyecto ferroviario modifica las condiciones de oferta debido a una disminución del coste generalizado del ferrocarril con relación a la situación de referencia. La parte del tráfico de ferrocarril aumentará. Una parte del tráfico en vehículo particular y en autocar cambiará de modo, escogiendo el tren en la situación de proyecto. Si tomamos la siguiente notación: Tijm,r: tráfico del modo m entre la zona i y la zona j en situación de referencia Tij,r: tráfico total entre la zona i y la zona j en situación de referencia

rij

rijm

TT

,

, : parte de tráfico del modo m entre la zona i y la zona j en situación de

referencia

73

rij

pijm

TT

,

, : parte de tráfico del modo m entre la zona i y la zona j con la puesta

en servicio del proyecto ferroviario ( sin tener en cuenta el tráfico inducido) Tijm,p: tráfico del modo m entre la zona i y la zona j con la puesta en servicio del proyecto ferroviario

δTijm: aumento del tráfico del modo m entre la zona i y j

rijm

pijm

TT

,

, : tasa de aumento del tráfico del modo m entre la zona i y la zona j

Suponemos que en la situación de proyecto el tráfico total es el mismo que en la situación de referencia, ya que el tráfico inducido se calcula de otra manera. Usando el modelo logit de repartición modal, con la puesta en servicio del proyecto ferroviario, se obtiene la nueva parte del tráfico del modo m:

avpferr

m

UuU

U

rij

pijm

eeee

TT

++=

,

, (145)

El tráfico del modo m con la puesta en servicio del proyecto ferroviario es el siguiente:

avpferr

m

UuU

u

rijmpijmeee

eTT++

= ,, (146)

Así el aumento de tráfico del modo m y la tasa de aumento son los siguientes:

δTijm=Tijm,p-Tijm,r= )1(,avpferr

m

eeeeT uu

u

rijm++

+ (147)

rijm

pijm

TT

,

, =avpferr

m

uuu

u

eeee

++ (148)

3.2. Tráfico inducido Para el cálculo del tráfico inducido se usa un modelo gravitatorio basado en el coste generalizado. Se asume que los pasajeros eligen entre diferentes modos con relación al valor que le dan al tiempo, y el coste y el tiempo de viaje de cada modo. Los modelos gravitatorios únicamente se pueden aplicar al modo de transporte cuya generación de tráfico ha de ser estimada.

Se supone que el pasajero usa el modo de coste generalizado menor con relación a su valor del tiempo.

74

El coste generalizado es la suma de los costes de desplazamiento desde la zona i a la zona j sentidos por el viajero. Comprende los costes monetarios de un modo de transporte pagado por un viajero y los tiempos de recorrido valorados según su valor del tiempo. La fórmula general del coste generalizado para un modo cualquiera es la siguiente:

)( agrarg TThPPC +∗++= (149)

donde gC es el coste generalizado rP es el precio del recorrido principal aP es el precio del recorrido terminal grT es el tiempo generalizado del recorrido principal aT es el tiempo del recorrido terminal h es el valor del tiempo que está ligado a la renta de los viajeros

El tiempo generalizado del recorrido principal en ferrocarril comprende todos los elementos del viaje: tiempo de recorrido, frecuencia de salida y el número de rupturas.

2

5,01

165,0

∗+

−−

∗+=fr

ft

tT rrgferr (150)

donde gferrT es el tiempo generalizado en ferrocarril

rt es el tiempo del recorrido principal f es la frecuencia de los trenes

1

16−−

ftr es el intervalo medio entre dos trenes circulando entre las 6h00 y

22h00 ( 16hde servicio diario) r es el número de rupturas en el conjunto de los trenes

La fórmula general del modelo gravitatorio usado es la siguiente:

gfkTraf ij = (151)

donde ijTraf es el tráfico intercambiado entre la zona i y la zona j f es la función de los factores de atracción entre las zonas i y j g es la función de repulsión entre las zonas i y j k es la constante del modelo

Los factores de atracción son: población, PIB, salario medio y renta, empleo y enseñanza superior. La calibración determinará las variables explicativas más significativas. Los factores de repulsión son los costes generalizados calculados. Si elegimos las poblaciones como factores de atracción, tenemos la fórmula siguiente del modelo gravitatorio:

75

β

α

gij

jiij C

PPkTraf

)(= (152)

donde ijTraf es el tráfico intercambiado entre la zona i y la zona j Pi, Pj son las poblaciones de la zona i y de la zona j gC es el coste generalizado entre la zona i y la zona j α es la elasticidad del tráfico con la población y la riqueza β es la elasticidad del tráfico con el coste generalizado k es la constante del modelo

La puesta en servicio de un proyecto ferroviario modifica las condiciones de la oferta comportando una variación del coste generalizado gC∂ con relación a la situación de referencia. La variación del tráfico está ligada a la variación del coste generalizado por la fórmula siguiente:

gij

gijij C

CT

∂−=∂ γ (153)

Esta variación del tráfico entre la situación de referencia y la situación de proyecto representa el tráfico inducido por la modificación de la oferta. 4. Datos usados Para la aplicación del modelo los datos usados han sido

Base de datos de 1998

o Datos de tráfico en 1998

Los datos de tráfico por origen-destino en 1998 son:

El tráfico ferroviario El tráfico en vehículo particular El tráfico en autocar

o Datos de la oferta en 1998

Los datos de la oferta en 1998 son:

Para el modo ferroviario:

Distancia Tiempo de recorrido

76

Tarifa media del recorrido principal Frecuencias diarias directas, con una ruptura y con dos rupturas Número de rupturas Tiempo de acceso a la estación Coste de acceso a la estación

Para el modo vehículo particular:

Distancia Tiempo de recorrido Consumo de gasolina Tasa de ocupación media

Para el modo autocar:

Distancia Tiempo de recorrido Frecuencia Tiempo de acceso a la estación de autobuses Coste de acceso a la estación de autobuses

o Datos socioeconómicos

Los datos socioeconómicos usados son las poblaciones de cada zona urbana. 5. Hipótesis Las evoluciones del tráfico en el futuro

Las evoluciones anuales del tráfico en el futuro son las siguientes:

Ferrocarril:1% Vehículo particular: 2% Autocar: 1%

Los valores del tiempo Los valores medios del tiempo son los siguientes: Valor del tiempo en 1998: 10,80 €/h Las hipótesis de evolución son las siguientes:

1998

1999

2000

2001

A partir del 2002

77

Evolución del valor del tiempo

2.5% 2.2% 2.0% 1.9% 1.8%

TABLA 4.2: Evolución del valor del tiempo. 4.4.3. Modelos de previsión sobre una red Estos estudios tienen como objetivo prever las perspectivas a largo término de la evolución futura de los principales modos de transporte. Se centra en una aproximación estratégica que se esfuerza en exponer las grandes opciones presentes y las principales implicaciones que comportan. Con el fin de poder predecir la incidencia de las estrategias futuras de transporte, se han construido dos modelos que analizan la oferta y la demanda. El modelo de oferta consiste en una descripción cuantitativa detallada del sistema de transporte y de los servicios ofertados así como sus precios. El modelo de demanda se articula alrededor de: generación, distribución, repartición modal y afectación de viajes. Los autores han distinguido dos clases de desplazamientos, según el motivo: los desplazamientos personales y los viajes de negocio. Para cada tipo se ha construido un modelo de demanda. 1. Los desplazamientos personales El problema que conllevan estos desplazamientos reside en el hecho que están fuertemente ligados a la estructura de las familias. Se ha de proceder a análisis por categorías. Se introducen tres parámetros para separar las familias por categorías: la estructura de la familia, la tasa de motorización y la renta. La combinación de estas variables permite constituir 30 categorías de familias. Las tasas de generación se obtienen multiplicando las tasas de viajes por el número de personas de cada categoría. La hipótesis hecha es que las tasas de generación de viajeros no varían en el futuro y que por consecuencia la variación de la generación sólo dependería de la estructura de las familias, de la motorización y de la renta. Se deben buscar tres tipos de información:

El número de personas por tipo de familia, calculado a partir de relaciones entre la talla media de la familia, la relación del número de adultos jóvenes con el número de adultos mayores y el grado de urbanización.

La distribución de las familias por renta, estimado a partir de la forma de la distribución de rentas ( función Gamma) por país y de una relación entre el producto regional bruto y la renta media de las familias.

La proporción de familias que poseen un coche, por tipo y por fracción de renta.

78

La distribución de los desplazamientos ha sido calculada suponiendo que las tasas de generación de los viajes aplicables a los residentes de una zona i están distribuido entre todas las otras zonas con la ayuda de una función gravitatoria.

Sea: ij

jiij R

Atkt = (154)

Con: it : tasa de generación aplicable a los residentes de la zona i jA : medida de la atracción de la zona j ijR : función de impedancia ( o de resistencia) al viaje de la zona i a la zona j

Los coeficientes de atracción de cada zona se calculan por un análisis especial sobre las características de atractividad de las zonas, ponderadas por su grado de accesibilidad.

La función de impedancia ha de permitir medir las disparidades de la resistencia al viaje. Se establece a partir del tiempo generalizado:

λ

ijijij

CTG += (155)

donde ijT : tiempo de viaje de i a j ijC : coste de viaje de i a j λ: valor del tiempo ( ligado a la renta de la familia )

ijG es una variable específica en relación a cada modo. El valor atribuido a la función de distribución es el valor minimizador de ijG min. Se ha podido probar que la función de

impedancia consiste en un aumento del tiempo generalizado mínimo: αmin)( ijij GR = .

El coeficiente αΑ ha sido determinado a partir de la distribución de la longitud de los desplazamientos en función de las clases de renta. El resultado de estas dos primeras fases consiste en un conjunto de matrices de flujo total entre todas las zonas, según el motivo y la categoría de la familia. Para cada matriz, la repartición modal se determina por un análisis de categoría sobre los diferentes casos de repartición modal. En particular, los casos donde no existe ninguna de las elecciones o una elección muy limitada son separados de los otros casos.

Las elecciones bimodales se tratan a partir de funciones de afectación que dan la probabilidad de elegir un modo a partir de los tiempos generalizados. La función es de tipo logístico y se puede escribir como:

mU

ij

kij

ett

+=

11 con 'k

ij

kij

m GG

aU = (156)

donde k

ijt : tráfico del modo k

79

'kij

kijij ttt += k y k’ son los dos modos presentes

kijG : tiempo generalizado del modo k

2. Los desplazamientos de negocios

Los viajes de negocios se analizan con la ayuda de un modelo directo de la demanda total basándose en una función gravitatoria, la repartición modal está estrechamente ligado a la parte generación-distribución.

La generación de los viajes de negocio y su repartición espacial ha sido simulada por una función gravitatoria del tipo:

γα βijJIij TPRBPRBt ⋅⋅= )( (157)

con ijt : número anual de desplazamientos de negocios entre zonas i y j PRB : producto regional bruto de la zona ijT :tiempo de desplazamiento ponderado por modo de transporte entre las

zonas i y j

En lo que concierne a la repartición modal, los viajes de negocio se clasifican en cuatro categorías:

Los de menos de 250 Km que llegan a zonas rurales. Los de menos de 250 Km que a las ciudades Los desplazamientos comprendidos entre 250 y 1200 km Los desplazamientos de más de 1200 Km

La primera y la última categoría son esencialmente unimodales (respectivamente viaje en coche y viaje en avión). Para las otras categorías, las funciones de repartición modal dan la probabilidad de elegir el modo 1 entre los modos 1 y 2 en función de las relaciones de los tiempos generalizados de viajes con la ayuda de una función logística. La ecuación es la misma que la usada precedentemente. Ahora bien, es necesario calcular la repartición de los viajes entre los que llegan a zona rural o al contrario a zona urbana, en función del grado de urbanización del destino. 4.4.4. Modelos de estimación de los efectos de política de transportes 4.4.4.1. Modelo de evaluación del tráfico aéreo Este modelo permite calcular los tráficos entre dos ciudades y se basa en regresiones que hacen intervenir las principales variables explicativas del tráfico.

80

Se trata de una ecuación del tipo:

[ ] [ ] [ ]δγβα θθ ∆= ijJIjiij DescalaonestiposdeavifCSPPPkT ),()( (158) donde Tij: tráfico entre los aeropuertos i y j PiPj: producto de las poblaciones con CSP superiores en las dos ciudades θiθj: producto de los tráficos totales de los dos aeropuertos Dij: distancia ortodrómica en Km ∆: diferencia de tiempos de trayecto por ferrocarril y avión

Las variables correctoras tipo de avión distinguen los jets de los turbos y escala el número de escalas eventuales bajo forma de variables discretas tomando los valores 1 o 0.

Este modelo permite tener en cuenta la concurrencia entre ferrocarril y avión. 4.4.5. Modelos de evaluación de necesidades a largo término Las formulaciones de estos modelos, que se usan por grupos de poblaciones y motivos de desplazamiento son del tipo:

BLogINDALogPIBTij += (159) BLogINDALogCONSTij += (160)

Las variables explicativas son variables económicas aplicadas a un conjunto de países. PIB: producto interior bruto IND: índice relativo de los precios teniendo en cuenta a la vez el índice de

los precios y la tasa de cambio CONS: consumo de familias por habitante

Estos modelos no tienen en cuenta explícitamente la calidad de la relación, pero podrían hacerlo con la ayuda de una variable suplementaria representando el nivel de la oferta global de transporte. La elección modal se efectúa por modelos de precio-tiempo.