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Cápitulo 3 Vigas
3.1 Introducción
Las vigas soportan cargas transversales perpendiculares a su eje longitudinal, usualmente dirigidas hacia
abajo como se ve en la Fig 3.1 (a). La viga lleva las cargas a sus apoyos que pueden consistir en columnas
en el caso de las estructuras aporticadas y a otras vigas como en el caso de las vigas de piso. En ambos
casos las vigas se conectan estructuralmente a las columnas o a las vigas con conexiones empernadas,
soldadas o más comúnmente una combinación de pernos y soldadura. En los apoyos las reacciones
tienen una magnitud que depende de las cargas muertas y vivas que soportan, incluyendo su peso
propio que normalmente en este caso tiene un efecto relativamente pequeño en los momentos y
cortantes de menos del 4%.Como el peso de la viga no se conoce hasta que ha sido diseñada,el diseño
empieza con una estimación preliminar del peso que está sujeto a una revisión posterior.
Observando la Fig 3.1 el diseño de una viga consiste principalmente en proporcionar suficiente
resistencia a la flexión y suficiente resistencia al cortante. Comúnmente es más económico usar una sola
sección transversal para todo el claro, en cuyo caso solo tienen que determinarse del análisis los valores
máximos del momento flector y del cortante.
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Una viga simplemente apoyada está soportada verticalmente en cada extremo con poca o ninguna
restricción rotatoria y las cargas hacia abajo generan un momento flector positivo en todo el claro. El
patín o ala superior de la viga esta en compresión mientras que el ala o patín inferior esta en tracción. La
sección transversal más comúnmente utilizada corresponde a un perfil laminado ‘’W’’ que tiene gran
parte de su material en las alas donde es más efectivo para el momento de inercia necesario para
resistir el momento flector. El alma de la viga proporciona la mayor parte de la resistencia al cortante y
por ello resulta ligeramente deformada como se ve en la Fig 3.1 (e). La contribución de esta deformación
a la deflexión de la viga usualmente se desprecia.
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El momento flector positivo causa la curvatura del eje de la viga, cóncavo hacia arriba como se muestra
en la Fig 3.1 (d) a diferencia de un momento flector negativo que curva el eje de la viga, cóncavo hacia
abajo como en el modelo de vigas continuas cerca a los apoyos internos. La deflexión de las vigas se
calcula usualmente suponiendo que esta es causada en su totalidad por la deformación debida al
momento flector.
Las vigas se conectan normalmente con otras vigas o se unen a la losa de un piso, de manera que la viga
no pueda moverse lateralmente y quede obligada a flexionarse verticalmente en el plano fuerte (y-
y’).Siempre que una viga se flexione en el plano en que está cargada puede usarse la teoría simple de
flexión, sin embargo si la carga está en el plano fuerte la viga puede necesitar soporte lateral para
impedir que se pandee lateralmente. Si la viga está cargada en el plano débil el pandeo lateral en el otro
plano en este caso en el plano fuerte no ocurre. Las secciones que no tienen dos (2) ejes de simetría,
requieren usualmente más soportes laterales positivos que los perfiles ‘’W’’ . El canal de la Fig 3.5 (b) sin
soporte lateral se torcerá si se carga a través del eje centroidal y requiere restricción contra la torsión y
el pandeo lateral.
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La mayor parte de las vigas se diseñan con la teoría simple de flexión. El proceso de diseño implica
primeramente el análisis para determinar los momentos flectores y cortantes críticos usualmente los
máximos de forma de seleccionar un perfil ‘’W’’ con suficiente resistencia a la flexión es decir фMn> Mu
o Mn/ῼ>M y al cortante фVn> Vu o Vn/ῼ>V para luego verificar las deflexiones.
Las vigas también se diseñan y fabrican alternativamente a los perfiles laminados , de planchas
soldadas, en nuestro país hace ya más de 20 años se estandarizaron estos perfiles de sección ‘’I’’ en VS-
viga soldada- CVS-viga columna soldada- y CS- columna soldada- con diversos espesores de almas y alas
que responden a los espesores comerciales de la planchas gruesas de acero estructural en sus dos (2)
calidades locales: A-36 y A-572 Gr.50. (Normas en INDECOPI)
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En los casos de luces grandes o cargas muy pesadas en los cuales ya no resulta económico o
factible el uso de perfiles W laminados se recurre a las llamadas vigas armadas usualmente de
gran peralte fabricadas también a partir de planchas soldadas. En estas vigas antiguamente
denominadas ‘’trabes’’ la relación h/tw del alma es grande por lo que para evitar fenómenos de
pandeo elástico o inelástico por cortante del alma se recurre al uso de ‘’rigidizadores’’ para
compartimentalizar el alma aumentando su resistencia al cortante.
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3.2 Comportamiento de las vigas en flexión
La norma AISC-2010 establece :
Las alas se consideran elementos no atiesados y las almas elementos atiesados.
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El momento máximo que puede resistir una sección de una viga depende de la clasificación del
perfil como compacto, no-compacto o esbelto y de las condiciones de soporte lateral que tiene.
CURVA: CAPACIDAD DE MOMENTO Vrs LONGITUD ENTRE SOPORTES LATERAL
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Las curvas mostradas ɸMn versus Lb nos permiten calcular el momento resistente de una
sección de un perfil ‘’W’’ dependiendo de su clasificación y de Lb la distancia entre soportes
laterales. Por ejemplo un perfil ‘’compacto’’ con Lb < Lp puede desarrollar toda su capacidad de
flexión experimentando el paso de su condición elástica hasta alcanzar la fluencia de las fibras
extremas es decir el momento de fluencia My = Fy.Sxx y de aquí a la plastificación total donde
el momento resulta siendo el momento plástico Mp = Fy.Zxx .
(Sxx= módulo elástico Zxx=módulo plástico,verlos en las tablas de propiedades físicas
del manual AISC)
Distribución de esfuerzos de flexión en vigas
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Ejemplo: Diseño de viga de piso, conectada a la losa con pernos de corte para impedir su
separación en un sismo.
Nota: Los conectores de corte proporcionan estabilidad lateral total a lo largo de la viga,
esto es Lb = 0 .La estabilidad lateral total no es efectiva hasta que el concreto fragua.
En la planta mostrada diseñar las vigas de piso B1,usar acero ASTM A-992 Gr.50. La carga
muerta incluido el peso propio de la viga es D=85.00 lbs/pie2 y la carga viva L=125.00 lbs/pie.
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En este caso los pernos de corte están separados no más de 18’’=1.50 pies es decir la viga
tiene soporte lateral estrecho o Lb=1.5’,asumimos < Lp.
Usando el método LRFD tendremos Mu = ɸMp = ɸFy.Zxx de donde requerimos un Zxx =
Mu/ɸFy
Calculemos las cargas repartidas que toma la viga de piso:
ωD = 85.00 X 6.67 = 566.95 lbs/pie y ωL = 125.00 X 6.67 = 833.75 lbs/pie
ωu = 1.20ωD + 1.60ωL = 1.20X567.00 + 1.60X834.00 = 2014.80 lbs/pie
ωu = 2.015 Klbs/pie
Mu = (1/8)ωuL2 = 0.125X2.015X(30.00)2 = 226.69 Klbs-pie
Zxx = 226.69X12/(0.90X50) = 60.45 pulg2
Seleccionamos un perfil con un peralte de (1/20)L = (1/20)X30.00=1.5’=18’’ o sea un W18
Luego del manual AISC página: 1-19 escojemos el W18X35 que tiene un Zxx= 66.5>60.45 OK
Verifiquemos si se cumple que Lb=1.50’ es < Lp
Lp= 1.76ry√E/Fy ry= 1.22’’
Lp= 1.76X1.22X√29000/50 = 51.71’’ = 4.31’
Se ve que Lb = 1.50’<Lp=4.31’ en consecuencia: ɸMn=ɸMp=ɸFy.Zxx
ɸMn=0.90X50.00X66.50/12=249.38 Klbs-pie>226.69 OK
En la misma página 1-19 leemos bf/2tf =5.76<9.15 y h/tw=50.9<90.55
Caso 10 tabla B4.1b bf/2tf<0.38√E/Fy=0.38√29000/50=9.15 y caso 15 h/tw<3.76√E/Fy=90.55
El perfil W18X35 es compacto.
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La norma AISC-2010 establece los criterios de diseño en flexión dependiendo de la
clasificación y forma del perfil:
Vigas con perfiles compactos de sección ‘’I’’ de simetría doble y canales flexionados con
respecto a x-x’
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Pandeo lateral torsional
Vigas con perfiles de sección ‘’I’’ de simetría doble con almas compactas y alas no
compactas o esbeltas flexionadas con respecto a su eje x-x’
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La norma también establece los criterios para calcular el momento resistente ɸMp tomando en
consideración el ‘’gradiente’’ de momentos flectores a lo largo de la viga, es decir para el caso
usual de diagramas de momentos flectores no uniformes, asumiendo que en los apoyos la viga
tiene restricción rotativa.
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De modo que la resistencia efectiva a la flexión de la sección sería CbɸMp. En muchos casos la
consideración de Cb que es mandatoria en el diseño profesional permite obtener perfiles más
livianos es decir diseños más económicos.
En el caso del ejemplo de la viga
Como la viga tiene soporte lateral estrechamente distribuido la sección más solicitada siendo
compacta puede desarrollar el momento máximo , en consecuencia no se requiere involucrar
en este caso al coeficiente Cb.
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Valores de Cb para vigas simplemente apoyadas con distinto soporte lateral y cargas
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Cálculo de deflexiones
Las deflexiones de las vigas están limitadas según los detalles constructivos:
Elementos Carga viva Carga muerta+carga viva
En techo
Cielo raso estucado L/360 L/240
Cielo raso no estucado L/240 L/180
No soportan c/r L/180 L/120
En entrepisos L/360 L/240
Usualmente en vigas con conexiones simples (flexibles) en sus extremos las deflexiones por
cargas muertas se absorben con contra flechas. Existen dos (2) procedimientos, primero
aplicando calor a la viga con el soplete de oxi-corte hasta alcanzar la contra flecha calculada y
el otro procedimiento es en el pedido de compra de los perfiles solicitar al fabricante
(siderurgia) o al ‘’brocker’’ que a los perfiles se les de la contra flecha en planta, con maquinaria
en frío. No se recomienda usar contra flechas en vigas con conexiones de momento en sus
extremos.
ΔL = ML(L2)/C1.Ixx
ML= momento flector por cargas vivas en Klbs-pie
L= Luz en pies
C1=coeficiente, depende de la carga
Ixx=Momento de inercia del perfil en pulg4
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En el ejemplo de diseño de la viga calculemos la deflexión por cargas viva:
ωL = 0.834 Klbs/pie
ML = 0.125X0.834X(30.00)2 = 93.83 Klbs=pie
L= 30.00’
C1= 161
Ixx= 510.00 pulg4
ΔL= 93.83X(30.00)2/161X510.00 = 1.03 ≈ 1.00’’ Aceptable.
ΔLmax= L/360 = 30.00X12/360= 1.00’’
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Diseño por cortante
En el proceso de diseño de las vigas de acero rara vez el cortante controla el diseño, por lo que
la mayoría de las vigas se diseñan por flexión y deflexión. En casos infrecuentes de
condiciones especiales de cargas, tales como cargas extremadamente pesadas sobre luces o
claros cortos se pueden presentar casos en los que la resistencia al cortante controla el diseño.
De la resistencia de materiales tenemos que el cortante unitario en la sección de una viga es:
fv = VQ/Ib donde fv = cortante unitarios en el punto considerado y V=cortante vertical debido a
las cargas, I=momento de inercia de la sección , Q=momento estático de la sección por arriba
del punto donde se calcula el cortante.
De este modo en un perfil laminado ‘’W’’ la variación del cortante a lo largo del peralte de la
viga sería:
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Según el AISC-2010 la resistencia de diseño al corte es:
ɸvVn= ɸv0.6FyAwCv
donde: Cv=coeficiente de corte del alma, Aw=dtw , y ɸv=0.90
Debido a que el cortante se concentra en el alma de la viga,se requiere verificar el pandeo local
del alma por corte. El límite de esbeltés del alma para pandeo local si la sección es de forma ‘’I’’
es: h/tw ≤ 2.24√(E/Fy).Si se satisface este límite el pandeo local del alma por corte no ocurrirá y
Cv=1.0 y ɸv=1.0 .La mayoría de los perfiles laminados ‘’W’’ cumplen con este criterio.
Para los perfiles ‘’I’’ y para otros de doble simetría y simetría simple y canales (excluidos los
tubos circulares) ɸv=0.90 y el Cv será:
Si h/tw≤ 1.10√kvE/Fy , Cv=1.00
Si 1.10√kvE/Fy < h/tw ≤ 1.37√kvE/Fy . Cv= 1.10√kvE/Fy/(h/tw
Para h/tw > 1.37√kvE/Fy , Cv= 1.51Ekv/(h/tw)2.Fy
Donde kv= 5.00 para almas no rigidizadas con h/tw< 260
En el caso del ejemplo de la viga:
Vu=ωuL/2 = 2.015X30.00/2=30.23 Klbs
De las tablas del manual AISC tenemos que para el perfil W18X35 , h/tw=53.50<53.95
2.24√E/Fy = 2.24√29000/Fy = 53.95
Luego: ɸvVn= ɸv0.6FyAwCv=0.90X0.60X50.00X5.31X1.00=143.37 Klbs>30.23 OK
Aw=dtw= 17.7X0.30=5.31 pulg2
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Ejemplo: Diseñar la viga ABCDE de una instalación industrial mostrada,cuyos DMF y
DFC se muestran en la figura para cargas de servicio, use acero A-36.Considere que la
viga tiene soporte lateral en A,B,C,D y E. Use el método de diseño ASD
M+max = 825.00 KN-m≈ 82.50Ton-mX(2.2X3.28)=595.32Klbs-pie
Lb= 3.00 mts tramo crítico: BC Lb=3.00X3.28=9.84pies
Observe que hay dos tramos para el cálculo de Cb el tramo BC y el CD de estos tramos se
calcularía Cb en el tramo BC pues es el que nos daría un valor menor de Cb
Fy= 36.00 Ksi
d≈ (1/20)L= 8.00/20 = 0.40 mts ≈ 16’’ →W16
La gama de perfiles W16 es pequeña y limitada mejor utilizo W18
Mn/Ω≥ 595.32 → Mn=595.32X1.67=994.18 Klbs-pie
Mn=Mp=Fy.Zxx/12 → Zxx= Mn.12/Fy=994.18X12/36.00=331.39 pulg3
En las tablas de propiedades físicas selecciono preliminarmente:W18X158 ,Zxx=356 pulgs3
Lp=1.76ry√E/Fy=1.76X2.74√29000/36=136.87’’=11.41’
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Lb=9.84’<Lp=11.41’→ Mn/Ω=Fy.Zxx/12Ω=36.00X356.00/12X1.67=639.52 Klbs-pie> 595.32 OK
En este caso no se require usar el coeficiente Cb.
Verificación del cortante: V-max=-375KN≈35.00Tons=77.00 Klbs
2.24√E/Fy=2.24√29000/36=63.58 , h/tw=19.8 < 63.58
Vn/Ω=0.6Fy.Aw/Ω=0.6X36.00X15.96/1.67=206.43>77.00 OK
Aw=d.tw=19.7X0.810=15.96 pulg2
Verificación de la deflexión
Considero el tramo apoyado AD y calculo la deflexión para este tramo simplemente apoyado
225KN 450KN
2.00 3.00 3.00m
Se considera que el 20% es carga muerta y el 80% carga viva.
P1L=180 KN P2L=360 KN
Requisitos de soporte lateral
Las vigas que tienen el patín de compresión firmemente conectado a un sistema de piso o
techo que le proporciona un soporte lateral continuo o casi continuo se diseñan considerando
que siendo perfiles compactos pueden desarrollar su máxima capacidad última de flexión ɸMp.
Algunas condiciones para las cuales el soporte lateral puede ser cuestionable son las siguiente:
1.- No hay ninguna conexión firme entre la viga y el sistema de carga que soporta,
particularmente si las cargas son vibratorias o causan impacto.
2.- El sistema de soporte lateral es removible
3.- Los elementos de soporte lateral por ejemplo las vigas de piso que le proporcionan soporte
lateral a la viga principal en la que se apoyan (conectan) tienen que estar firmemente
conectadas a la losa con conectores de corte de modo de evitar que en un sismo se
‘’oblicualizen’’ y dejen de proporcionar un soporte lateral efectivo. Se deduce entonces que si
estas vigas de piso no están firmemente conectadas a la losa entonces hay que proporcionar
diagonales cruzadas en el plano de estas vigas para que eviten esta deformación.
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El caso de pisos en estructuras industriales usualmente diseñados con ‘’parrillas metálicas’’ o
con planchas estriadas debe considerarse cuidadosamente para que el soporte lateral sea
efectivo.
Diagonales cruzadas para dar arriostramiento a las vigas de piso.
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Los conectores de corte colocados cada 18’’=1.5 pies proporcionan el soporte lateral necesario
para que las vigas de piso den un soporte lateral efectivo a las vigas en la que se apoyan
(conectan).
Flexión bi-axial de secciones simétricas
Los esfuerzos de flexión en secciones que tienen al menos un eje de simetría y están cargadas
a través de su centroide se pueden calcular con:
σ = Mx/Sx + My/Sy donde ,Sx=Ix/(d/2) y Sy=Iy/(bf/2)
Utilizando los momentos nominales Mnx y Mny podemos establecer:
Fy = Mnx/Sx + Mny/Sy
El uso de las fórmulas de interacción para columnas (axial nulo) en el diseño de flexión bi-axial
puede ser no conservador,si utlizamos los esfuerzos actuantes y admisibles de la siguiente
forma:
fbx/Fbx + fby/Fby ≤ 1.00
esta expresión se puede también establecer en términos de momentos como:
Mux/ɸMnx + Muy/ɸMny ≤ 1.00
Y ahora para compensar el problema de la subestimación tomamos conservadoramente:
Mnx = Fy.Sx y Mny = Fy.Sy reemplazando en la expresión anterior obtenemos:
Despejando Sx ≥ Mnx/ɸbFy + Mny/ɸbFy(Sx/Sy)
En términos de ASD: Sx ≥ ΩMx/Fy + ΩMy/Fy(Sx/Sy), Mx=momento de servicio en ‘’x’’ ,
My=momento de servicio en ‘’y’’.
Los factores (Sx/Sy) son:
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Perfiles d Sx/Sy
W 4-8 3
8,10 3-4
12 3-6
14(<84#/’) 4-8
14(>84#/’) 2.5-3
16,18y21 5-9
24,27 6-10
30,33 y36 7-10
Flexión bi-axial pura Flexión bi-axial con torsión Torsión en una sección
de simetría simple.
Viga carrilera Vigueta de cubierta viga soporta fachada
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Ejemplos comunes de torsión
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Detalles usados para controlar la torsión
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Ejemplo
En las figuras se muestra un edificio de estructura de acero de 4 pisos y un 5to. parcial de
servicios. La estructura está arriostrada contra sismos en ambas direcciones con los sistemas
de arriostramiento indicados preliminarmente ,es posible que se requiera arriostrar también
ambos paños centrales y los 3 paños de cada extremo.
Estudiar el diseño de las vigas de 8.00 mts de luz.
En la planta vemos una losa con una luz de apoyo de 5.00 mts si preliminarmente la diseñamos
maciza y continua tendríamos un peralte de L/28=5.00/28=0.1786 mts digamos t=0.18 mts
Cada viga de L=8.00 mts tomaría las siguientes cargas:
D: Peso de losa: 5.00X0.18X2.40 = 2.16 Ton/m
Piso Terminado:0.100X5.00 = 0.50
Varios: 0.050X5.00 = 0.25
--------------
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ωD = 2.91 Ton/m
L: 0.400X5.00 = 2.00 Ton/m
ωL = 2.00 Ton/m
ωu =1.2X2.91 + 1.6X2.00=6.692 Tons/m
Mu =0.125X6.692X8.002=53.54 Tons-mX7.22=386.56 Klbs-pie
Para L=8.00mts necesitamos un peralte de L/20=8.00/20=0.40mts≈ 16’’ ,los perfiles W16 tienen
una gama limitada mejor usamos W18
Colocamos conectores cada 1.50’ , Lb=1.50’
Zxx=MuX12/ɸFy
Zxx=387X12/(0.90X50)=103.2 pulg3
Seleccionamos un perfil W18X55 Tabla 1-1 Pg 1-19 Zxx=112 > 103.2
En la tabla 3-2 Pag 3-17 leemos Lp=5.90’ > Lb=1.5’
Luego: ɸMp= 420.00 > 387 OK
Verifiquemos la deflexión:
ΔL= ML.L2/C1Ixx = 115.52X26.242/161X890 = 0.56’’ < 0.875’’ OK
ΔLmax=L/360 = 26.24X12/360=0.875’
ML= 0.125X2.00X8.002=16.00 Tons-mX7.22=115.52 Klbs-pie
L=8.00X3.28=26.24’
C1=161
Ixx=890 pulg4
Usariamos vigas W18X55, Peso de vigas 1ra.opción: 55/26.24=2.10 lbs/pie2
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Otra opción de diseño sería usar viguetas de piso de 5.00mts de luz para usar placa
colaborante y bajar el peso muerto de la losa.
Usamos viguetas de piso de L=5.00 mts @ 2.00 mts
Ru=ωuL/2 = 2.078X5.00/2= 5.20 TonsX2.2=11.43 Kips, RL= 0.400X5.00/2=1.00 Tons
L= 5.00X3.28=16.4’
Cargas: D: uso placa colaborante Acero-Deck AD-900 de h=38.9mm calibre 20
t= 4’’ espesor total Peso de losa : 182.30 Kgs/m2
Piso terminado : 100.00
Varios : 50.00
---------------------
D: 332.30 Kgs/m2
L = 400Kgs/m2 (S/C) L: 400.00 Kgs/m2
ωD = 332.30X2.00 = 664.60 Kgs/m ωL = 400.00X2.00 = 800.00 Kgs/m
ωu = 1.20X664.60 + 1.60X800.00 = 2077.52 Ton/m=2.078 Ton/m
Mu = 0.125X2.078X5.002 = 6.49 Ton-mX7.22=46.9 Klbs-pie
Zxx=46.9X12/0.9X50=12.50 pulg3
d = 16.4/20=0.82’ , 0.82X12=9.84’’ uso W10
Selecciono un W10X19 Zxx= 21.9 pulg2
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Tabla 3-2 Pag 3-18 ɸMp= 81.0 > 46.9 OK
Las vigas principales de 8.00 mts de luz reciben entonces 2Ru=22.86 Kips
L=26.24’
Mu= 1.5X22.86X26.24/2 – 22.86X6.56 = 749.81 Klbs-pie
d = L/20=26.24/20= 1.312’ d=1.312X12=15.74 → W16
Nuevamente la gama de los W16 es muy limitada tomo major W18
Tabla 3-2 Pag 3-16 W18X97 ɸMp= 791.00 Klbs-pie> 749.81 OK
Lb= 6.56’ < Lp= 9.36’
Deflexión:
ML= 1.5X3.00X26.24/2 - 3.00X6.56= 39.36 Ton-mX7.22= 284.18
L=26.24
C1=170
Ixx=1750
ΔL=284.18X26.242/170X1750=0.66’’ < 0.87’’ OK
L/360=26.24X12/360=0.87’’
Peso de vigas:
Vigas de piso: W12X19……………………….. 19/6.56 =2.90 lbs/pie2
Vigas principales: W18X97……………………97/26.24=3.70 lbs/pie2
-----------------------
Peso de vigas 2da.opción =6.60 lbs/pie2
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Comentario: La opción 2 tiene un mayor peso de vigas pero el peso de la losa es
182.30/432.00=0.42 es solo 42% del peso de losa en la 1ra.opción, esto redundará en un
menor peso de estructura en general.
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Asientos o apoyos de vigas
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