cápitulo 2 - deformación

Cuando el perno causa la compresión de estas dos placas transparentes, se producen deformaciones en el material,las cuales se manifiestan como un espectro de colores bajo una luz polarizada. Estasdeformaciones pueden relacio-narse con el esfuerzo del material.

Deformación

OBJETIVOS DEL CAPíTULOEn ingeniería, la deformación de un cuerpo se especifica mediante losconceptos de deformación unitaria normal y cortante. En este capítu-lo se definirán estas cantidades y se mostrará cómo pueden determi-narse en distintos tipos de problemas.

2.1 Deformación

Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, ésta tiende a cambiar la formay el tamaño del cuerpo. Estos cambios se conocen como deformación, lacual puede ser muy visible o casi imperceptible. Por ejemplo, una bandade goma (liga) experimentará una deformación muy grande al estirar-se. En cambio, en un edificio sólo ocurren deformaciones ligeras en suselementos estructurales cuando las personas caminan dentro de él. Ladeformación de un cuerpo también puede ocurrir cuando cambia su tem-peratura. Un ejemplo típico es la expansión o contracción térmica de untecho provocada por el clima.

En un sentido general, la deformación de un cuerpo no será uniformeen todo su volumen, por lo que el cambio en la geometría de cualquiersegmento de línea dentro del cuerpo puede variar de forma considerablea lo largo de su longitud. Por lo tanto, para estudiar los cambios por de-formación de una manera más uniforme, se considerarán segmentos delínea muy cortos, ubicados en las cercanías de un punto. Sin embargo,es necesario tener en cuenta que estos cambios también dependerán dela orientación del segmento en dicho punto. Por ejemplo, un segmentode línea puede alargarse si está orientado en una dirección y puede con-traerse si apunta a otra.

Observe las posiciones antes y despuésde tres segmentos de línea diferentessobre esta membrana de goma someti-da a tensión. La línea vertical se alarga,la línea horizontal se acorta y la líneainclinada cambia de longitud y gira.

65

66 CAPíTULO 2 DEFORMACiÓN

n

Cuerpo no deformado(a)

Cuerpo deformado(b)

Figura 2-1

2.2 Deformación unitaria

A fin de describir la deformación de un cuerpo mediante cambios en lalongitud de los segmentos de línea y cambios en los ángulos que existenentre ellos, se desarrollará el concepto de deformación unitaria. La medi-ción real de la deformación unitaria se hace por medio de experimentos,y una vez que se haya obtenido la deformación unitaria, en el siguientecapítulo se mostrará cómo puede relacionarse con el esfuerzo que actúadentro del cuerpo.

Deformación unitaria normal. Si se define la deformaciónunitaria normal como el cambio en la longitud de una línea por unidadde longitud, entonces no habrá necesidad de especificar la longitud real decualquier segmento de línea en particular. Por ejemplo, considere la líneaAB que está contenida dentro del cuerpo sin deformar de la figura 2-1a.Esta línea se ubica a lo largo del eje n y tiene una longitud inicial ~s.Después de la deformación, los puntos A y B se desplazan a los puntosA' y B', y la línea recta se convierte en una curva con una longitud de Ss',figura 2-1b. El cambio en la longitud de la línea es entonces Ss' - ~s. Sise define la deformación unitaria normal promedio mediante el símboloEprom (épsilon), entonces

Lls' - LlsD..s (2-1)Eprom =

A medida que el punto B se elige cada vez más cerca del punto A,la longitud de la línea se hace cada vez menor, de manera que Lls ~ o.Además, esto causa que B' se aproxime a A', de modo que Ss' ~ o. Porconsiguiente, en el límite, la deformación unitaria normal en el punto Ay en la dirección de n es

Lls' - ~s

~sE = lím

B-'> A a lo largo de n(2-2)

Por consiguiente, cuando E (o Eprom) es positiva, la línea inicial se alargarámientras que si E es negativa, la línea se contrae.

Observe que la deformación unitaria normal es una cantidad adimen-sional, puesto que es una relación de dos longitudes. Aunque éste sea elcaso, en ocasiones se establece en términos de una relación de unidadesde longitud. Si se utiliza el sistema SI, entonces la unidad básica para lalongitud es el metro (m). Por lo general, en la mayoría de las aplicacio-nes de ingeniería E será muy pequeña, por lo que las mediciones de ladeformación unitaria se dan en micrometros por metro (/Lm/m), donde

1 ¡Lm = 10-6m. En el sistema pie-libra-segundo la deformación unitariasuele establecerse en unidades de pulgadas por pulgada (pulg/pulg). Aveces, para el trabajo experimental, la deformación unitaria se expresacomo un porcentaje, por ejemplo, 0.001 m/m = 0.1%. A modo de ejem-plo, una deformación unitaria normal de 480(10-6) se puede expresarcomo 480(10-6) pulg/pulg, 480 ¡Lm/m o 0.0480%. Asimismo, esta res-puesta se puede establecer simplemente como 480 ¡L (480 "micras").

Deformación unitaria cortante. Las deformaciones no sólocausan que los segmentos de línea se alarguen o contraigan, sino tam-bién hacen que cambien de dirección. Si se seleccionan dos segmentosde línea que en un principio eran perpendiculares entre sí, entonces elcambio en el ángulo que ocurre entre estos dos segmentos de línea sedenomina deformación unitaria cortante. Este ángulo se denota por 'Y(gamma) y siempre se mide en radianes (rad), que son unidades adimen-sionales. Por ejemplo, considere los segmentos de recta AB y AC queparten desde un mismo punto A en un cuerpo, y que están dirigidos a lolargo de los ejes perpendiculares n y t, figura 2-2a. Después de la defor-mación, los extremos de ambas líneas se desplazan, y las mismas líneasse vuelven curvas, de manera que el ángulo entre ellas en A es e', figura2-2b. Por consiguiente, la deformación unitaria cortante en el punto Aque está asociada a los ejes n y T se convierte en

7T lím e''Ynt = "2 - B ....•A a lo largo de n

e ....•A a lo largo de t

Observe que si e I es menor que 7T/2, la deformación unitaria cortante espositiva, mientras que si e I es mayor que 7T/2, la deformación unitariacortante es negativa.

<:»C' V I

A'

Cuerpo no deformado(a)

Cuerpo deformado(b)

Figura 2-2

2.2 DEFORMACiÓN UNITARIA 67

•

(2-3)


z

x

(a)

Componentes cartesianas de la deformación unitaria.Usando las definiciones de la deformación unitaria normal y cortante,ahora se mostrarán cómo pueden utilizarse para describir la deforma-ción del cuerpo en la figura 2-3a. Para hacerlo, imagine que el cuerpo sesubdivide en pequeños elementos como el que se muestra en la figura2-3b. Este elemento es rectangular, tiene dimensiones no deformadas LlX,Lly y LlZ, y se encuentra cerca de un punto en el cuerpo, figura 2-3a. Silas dimensiones del elemento son muy pequeñas, entonces su forma de-formada será la de un paralelepípedo, figura 2-3c, ya que los segmentosde línea muy pequeños se mantendrán aproximadamente rectos despuésque el cuerpo se haya deformado. A fin de obtener esta deformación,se considerará primero la manera en que la deformación unitaria nor-mal cambia la longitud de los lados del elemento rectangular, y despuésel modo en que la deformación unitaria cortante cambia los ángulos decada lado. Por ejemplo, Llx se alarga a ExLlX y entonces su nueva longitudes Llx + ExLlX. En consecuencia, las longitudes aproximadas de los treslados del paralelepípedo son

y los ángulos aproximados entre estos lados son

7T"2 - I'xy

7T"2 - I'yz

7T"2 - I'xz

Observe que las deformaciones unitarias normales causan un cambioen el volumen del elemento, mientras que las deformaciones unitariascortantes causan un cambio en su forma. Por supuesto, ambos cambiosocurren al mismo tiempo durante la deformación.

En resumen, el estado de deformación unitaria en un punto del cuerporequiere que se especifiquen tres deformaciones unitarias normales, Ex'

Ey' Ez' y tres deformaciones unitarias cortantes I'xy' I'YZ' I'xz' Estas defor-maciones unitarias describen por completo la deformación de un ele-mento de volumen rectangular de material ubicado en el punto y orien-tada de manera que sus lados sean originalmente paralelos a los ejes x,y y Z. Una vez que se hayan definido estas deformaciones unitarias entodos los puntos del cuerpo, entonces se puede determinar la forma de-formada del cuerpo.

(f - 'Yxy)~,;r----_

Elementono deformado

Elementodeformado

(e)(b)

Figura 2-3

Análisis de pequeñas deformaciones unitarias. La mayorparte de los diseños de ingeniería implican aplicaciones para las cualessólo se admiten deformaciones pequeñas. Por lo tanto, en este libro se su-pondrá que las deformaciones que se producen dentro de un cuerpo soncasi infinitesimales. En particular, las deformaciones unitarias normalesque ocurren dentro del material son muy pequeñas en comparación con1, es decir que E « 1. Este supuesto tiene una amplia aplicación prácticaen la ingeniería, y a menudo se conoce como un análisis de deformacionesunitarias pequeñas. Por ejemplo, puede usarse para aproximar sen e = e,cos e = 1 Y tan e = e, siempre que e sea muy pequeño.

El soporte de goma bajo esta trabe de unpuente de concreto está sometido a defor-maciones unitarias normales y cortantes.La deformación unitaria normal es causa-da por el peso y las cargas del puente sobrela trabe, y la deformación cortante se debeal movimiento horizontal de la trabe porcambios en la temperatura.

• Las cargas hacen que todos los cuerpos materiales se deformeny, en consecuencia, los puntos en un cuerpo experimentarándesplazamientos o cambios de posición.

• La deformación unitaria normal es una medida por unidad delongitud de la elongación o contracción de un segmento de lí-nea pequeño en el cuerpo, mientras que la deformación unitariacortante es una medida del cambio en el ángulo que se produceentre dos pequeños segmentos de línea que originalmente eranperpendiculares entre sí.

• El estado de deformación unitaria en un punto se caracterizapor seis componentes de deformación: tres deformaciones nor-males Ex' Ey' Ez' y tres de deformaciones cortantes I'xy' I'yz' I'xz·

Estos componentes dependen de la orientación original de lossegmentos de línea y su ubicación en el cuerpo.

• La deformación unitaria es la cantidad geométrica que se midemediante técnicas experimentales. Una vez obtenida, es posibledeterminar el esfuerzo en el cuerpo a partir de las relacionesentre las propiedades del material, tal como se analizará en el··pi6XimO'cápÍtulü:'·'

• La mayoría de los materiales de ingeniería sufren deformacio-nes muy pequeñas, por lo que la deformación unitaria normalE« 1. Este supuesto del "análisis de deformaciones pequeñas"permite simplificar los cálculos de la deformación unitaria nor-mal, ya que las aproximaciones de primer orden se pueden ha-cer con respecto a su tamaño.


•


•

Eprom = Resp.

La barra delgada mostrada en la figura 2-4 está sometida a un incre-mento de temperatura a lo largo de su eje, el cual produce una de-formación unitaria normal en ésta de Ez = 40(10-3)Zl/2, donde z seexpresa en metros. Determine (a) el desplazamiento del extremo Bde la barra debido al aumento de la temperatura, y (b) la deformaciónunitaria normal promedio en la barra.

Figura 2-4

SOLUCiÓN

Parte (a). Como la deformación unitaria normal se da en cadapunto a lo largo de la barra, un segmento diferencial dz, ubicado enla posición z, figura 2-4, tiene una longitud deformada que puede de-terminarse con la ecuación 2-1; esto es,

dt' = dz + Ez dz

dz' = [1 + 40(1O-3)Z1/2] dz

Al sumar estos segmentos a lo largo del eje se obtiene la longitud de-formada de la barra, es decir,r:

Z' = lo [1 + 40(10-3)z1/2] d.;

= [z + 40(10-3)~Z3/2]18·2m

= 0.20239 mPor lo tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es

LlB = 0.20239 m - 0.2 m = 0.00239 m = 2.39 mm t Resp.

Parte (b). La deformación unirananermal promedio de la barra sedetermina a partir de la ecuación 2-1, la cual supone que la barra o "elsegmento de línea" tiene un longitud original de 200 mm y un cambiode longitud de 2.39 mm. Por consiguiente,

LlS' - LlS = 2.39 mm = 0.0119 mm/rnmLlS 200 mm


Cuando la fuerza P se aplica al mango de la palanca rígida ABC quese muestra en la figura 2-5a, el brazo gira en sentido antihorario alre-dedor del pasador A un ángulo de 0.05°. Determine la deformaciónunitaria normal desarrollada en el alambre BD.

SOLUCiÓN I

p 300rnrn

eBf--4oornrn~

(a)

(b)

Figura 2-5

Geometría. La orientación del brazo de la palanca después de quegira alrededor del punto A se muestra en la figura 2-5b. A partir de lageometría de esta figura,

(400 mm)

a = tan-1 300 rnrn = 53.1301°

Entonces

<p = 90° - a + 0.050 = 90° - 53.1301° + 0.05° = 36.92°

Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo ABD se obtiene

LAD = Y(300 mm)" + (400 mm)? = 500 mm

Utilizando este resultado y aplicando la ley de cosenos al triánguloAB'D,

LB'D = YL~D + L~B' - 2(LAD) (LAB,) cos <p D

= V(500 mm)? + (400 mm)2 - 2(500 mm)(400 mm) cos 36.92°

= 300.3491 mm p

Deformación unitaria normal.B'

LB'D - LBD 300.3491 mm - 300 mm _ 000116 / e .EBD = L

BD= 300 mm -. mm mm Resp.

SOLUCiÓN 11

Como la deformación unitaria es pequeña, este mismo resultado pue-de obtenerse al aproximar el alargamiento del alambre BD comoilLBD, figura 2-5b. Aquí,

ilLBD = OLAB = [(~'~~:)(1Trad) Jc400 mm) = 0.3491 mm

Por lo tanto,

b..LBD 0.3491 mmEBD = -- = = 0.00116 mm/mm

LBD 300 rnrnResp.


3mm~hT j""T2

-

250rnm :

11A

(b)

y

2wnj f3~-¡"r- "-~--:-----------------!'

250rnm! xy :

/ !I~ ,I ~ .¡!\ ~J/A~~~~~~~~~C~---X

(e)

Debido a una carga, la placa se deforma como lo indica la línea dis-continua de la figura 2-6a.Determine (a) la deformación unitaria nor-mal promedio a lo largo del lado AB, Y (b) la deformación unitariacortante promedio en la placa en A relativa a los ejes x y y.

y

3mmB --1n

r---------------------1J:I :, I

250¡mm ! !: /l f'-----------------------1----- X

A f--- 300 mm -------1 e(a)

Figura 2-6

SOLUCiÓN

Parte (a). Línea AB, coincidente con el eje y, se convierte en lalínea AB1 después de la deformación, como se muestra en la figura2-6b. La longitud de AB1 es

AB1 = Y(250mm - 2mm? + (3mm? = 248.018mm

Por lo tanto, la deformación unitaria normal para AB es

( ) _ AB' - AB _ 248.018 mm - 250 mmEAB prom - AB - 250 mm

= -7.93(10-3) mm/mm Resp.

El signo negativo indica que la deformación unitaria provoca una con-tracción de AB.

Parte (b). Como se observa en la figura 2-6c, el ángulo BCA quealguna vez fue de 90° entre los lados de la placa en A cambia a e' de-bido al desplazamiento de B a B'. Como 'Yxy = 71"/2- e', entonces 'Yxy esel ángulo que se muestra en la figura. Por lo tanto,

_ -1( 3 mm ) _'Yxy - tan 250 - 0.0121 radmm - 2mm Resp.


La placa que se muestra en la figura 2-7a está conectada de manera fijaa lo largo de AB y se sostiene sobre las guías horizontales en sus par-tes superior e inferior, AD y Be. Si experimenta un desplazamientohorizontal uniforme de 2 mm en su lado derecho CD, determine (a) ladeformación unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal AC y(b) la deformación unitaria cortante en E respecto a los ejes x, y.

SOLUCiÓN

Parte (a). Cuando la placa se deforma, la diagonal AC se convierteen AC', figura 2-7b. La longitud de las diagonales AC y AC' puededeterminarse a partir del teorema de Pitágoras. Se tiene

AC = V(0.150 m? + (0.150 m? = 0.21213 m

AC' = V(0.150 m? + (0.152 m)2 = 0.21355 m

Por lo tanto, la deformación unitaria normal promedio a lo largo dela diagonal es

( )_ AC' - AC _ 0.21355 m - 0.21213 m

EAC prom - AC - 0.21213 m

= 0.00669 rnm/mm Resp.

y

E

x

•

Parte (b). Para encontrar la deformación unitaria cortante en Econ respecto a los ejes x y y, primero es necesario determinar el ángu-lo 8' después de la deformación, figura 2-7b. Se tiene

tan (~) = 76 mm2 75mm

8' = 90.759° = C;o }90.7590) = 1.58404 rad

Aplicando la ecuación 2-3, se obtiene que la deformación unitaria cor-tante en E es

1Tl'xy = '2 - 1.58404 rad = -0.0132 rad Resp.

El signo negativo indica que el ángulo 8' es mayor de 90°.

NOTA: Si los ejes x y y fueran horizontal y vertical en el punto E,entonces el ángulo de 90° entre los ejes no cambiaría debido a la de-formación, y así l'xy = O en el punto E.

TA

150mm

1B e[--150 mm---j f--2 mm

(a)

Figura 2-'


IF2-1. Cuando la fuerza P se aplica al brazo rígido ABC,el punto B se desplaza de manera vertical hacia abajo unadistancia de 0.2 mm. Determine la deformación unitarianormal desarrollada en el alambre CD.

F2-1F2-2. Si la fuerza P aplicada hace que el brazo rígidoABC gire en sentido horario alrededor del pasador A unángulo de 0.02°, determine la deformación unitaria normaldesarrollada en los alambres BD y CEo

F2-2F2-3. La placa rectangular se deforma como un rombosegún lo muestra la línea discontinua de la figura. Determi-ne la deformación unitaria cortante promedio en la esquinaA con respecto a los ejes x y y.

y2rnrn

D-I er .'.---I ----11 11 11 1

400rnrn I 11I

A - - - - 11 14 ~1--300rnrn~

F2-3

F2-4. La placa triangular se deforma como lo indica lalínea discontinua de la figura. Determine la deformaciónunitaria normal desarrollada a lo largo del borde BC y ladeformación unitaria cortante promedio en la esquina Acon respecto a los ejes x y y.

y

5rnrn

F2-4

F2-5. La placa cuadrada se deforma según lo muestra lalínea discontinua de la figura. Determine la deformaciónunitaria normal promedio a lo largo de la diagonal AC y ladeformación unitaria cortante del punto E respecto a losejes x y y.

y x

F2-5


2-1. Una pelota de hule llena de aire tiene un diámetrode 6 pulg. Si la presión del aire en su interior se incrementahasta que el diámetro de la pelota sea de 7 pulg, determinela deformación unitaria normal promedio en el hule.2-2. Una tira delgada de hule tiene una longitud sin es-tirar de 15 pulg. Si se estira alrededor de un tubo con undiámetro exterior de 5 pulg, determine la deformación uni-taria normal promedio en la tira.2-3. La viga rígida se sostiene mediante un pasador en Ay por los alambres BD y CEo Si la carga P sobre la vigahace que el extremo C se desplace 10 mm hacia abajo, de-termine la deformación unitaria normal desarrollada en loscables CE y BD.

Prob.2-3

*2-4. Los dos alambres están conectados entre sí en A. Sila fuerza P ocasiona que el punto A se desplace 2 mm enforma horizontal, determine la deformación unitaria nor-mal desarrollada en cada alambre.

Prob.2-4

-2-5. La viga rígida se sostiene mediante un pasador enA y por medio de los alambres BD y CEo Si la carga distri-buida ocasiona que el extremo C se desplace 10 mm haciaabajo, determine la deformación unitaria normal desarro-llada en los alambres CE y BD.

Prob.2-5

2-6. Unas tiras de nylon se funden y se pegan a placasde vidrio. Al calentarlo de manera moderada, el nylon sevuelve blando mientras que el vidrio se mantiene aproxi-madamente rígido. Determine la deformación unitaria cor-tante promedio en el nylon debida a la carga P, cuando elensamble se deforma como lo indica la figura.

y

I2mm

Prob.2-6


2-7. Si la longitud no estirada de la cuerda del arco es 35.5pulg, determine la deformación unitaria normal promediode la cuerda cuando se estira hasta la posición indicada.

n18 pulg

6 PUIgJ 18 pulg

UProb.2-7

*2-8. Parte de un mecanismo de control para un aviónconsiste en un elemento rígido CBD y un cable flexibleAB.Si se aplica una fuerza al extremo D del elemento y haceque éste gire un ángulo (J =0.3°, determine la deformaciónunitaria normal en el cable. En un inicio, el cable no estáestirado.

-2-9. Parte de un mecanismo de control para un aviónconsiste en un elemento rígido CBD y un cable flexibleAB. Si se aplica una fuerza al extremo D del elemento yse produce una deformación unitaria normal en el cable de0.0035mm/mm, determine el desplazamiento del punto D.En un inicio, el cable no está estirado.

f-8--7D ,

P

300mm

, j

/1300mm

~

Probs, 2-8/9

2-10. Las esquinas B y D de la placa cuadrada reciben losdesplazamientos indicados. Determine las deformacionesunitarias cortantes en A y B.

2-11. Las esquinas B y D de la placa cuadrada reciben losdesplazamientos indicados. Determine las deformacionesunitarias normales promedio a lo largo del lado AB y de ladiagonal D B.

y

Probs, 2-10/11

*2-12. La pieza de hule es en un principio rectangular.Determine la deformación unitaria cortante promedio 'Yxy

en A si las esquinas B y D se someten a desplazamientosque ocasionan la distorsión del hule en la forma mostradapor las líneas discontinuas.-2-13. La pieza de hule es en un principio rectangular yestá sometida a la deformación mostrada por las líneas dis-continuas. Determine la deformación unitaria normal pro-medio a lo largo de la diagonal DB Ydel lado AD.

Probs, 2-12/13

2-14. Dos barras se utilizan para soportar una carga.Cuando está descargada, la longitud de AB es de 5 pulg,la de AC es de 8 pulg y el anillo en A tiene las coorde-nadas (O, O). Si una carga P actúa sobre el anillo en A, ladeformación unitaria normal en AB se convierte en EAB =0.02 pulg/pulg y la deformación unitaria normal en AC sevuelve EAC = 0.035 pulg/pulg, Determine la posición coor-denada del anillo debida a la carga.2-15. Dos barras se utilizan para soportar una carga P.Cuando está descargada, la longitud de AB es de 5 pulg,la de A e es de 8 pulg y el anillo en A tiene las coordenadas(O, O). Si se aplica una carga al anillo en A, de manera quese mueve a la posición de coordenadas (0.25 pulg, -0.73pulg), determine la deformación unitaria normal en cadabarra.

y

p

Probs.2-14/15

*2-16. El cuadrado se deforma hasta la posición indicadapor las líneas discontinuas. Determine la deformación uni-taria normal a lo largo de cada diagonal AB y CD. El ladoD' B' permanece horizontal.

Prob.2·16


-2-17. Las tres cuerdas están unidas al anillo en B. Cuan-do se aplica una fuerza al anillo éste se mueve al punto B',de modo que la deformación unitaria normal en AB es €AB

Y la deformación unitaria normal en CB es € CB' Si estasdeformaciones son pequeñas, determine la deformaciónunitaria normal en DB. Observe que, debido a las guías derodillo en A y e, AB y CB permanecen horizontal y verti-cal, respectivamente.

A'l B'~---------------~/,/ I

BIIII

D e

Prob.2-17

2-18. La pieza de plástico es en un principio rectangular.Determine la deformación unitaria cortante 'Yxy en las es-quinas A y B si el plástico se distorsiona como 10muestranlas líneas discontinuas.2-19. La pieza de plástico es en un principio rectangular.Determine la deformación unitaria cortante 'Yxy en las es-quinas D y C si el plástico se distorsiona como lo muestranlas líneas discontinuas.*2-20. La pieza de plástico es en un principio rectangular.Determine la deformación unitaria normal promedio queocurre a lo largo de las diagonales AC y DB.

2mmi'~m.,-----------r! J4 mm

e : !II

300mm! !1 --~TImm x

~400mm~ 3mmProbs, 2-18/19/20


-2-21. La fuerza aplicada sobre el mango del brazo de lapalanca rígida hace que el brazo gire en sentido horario unángulo de 3° alrededor del pasador A. Determine la defor-mación unitaria normal promedio desarrollada en el alam-bre. En un inicio, el alambre no está estirado.

e

Prob.2-21

2-22. Una pieza cuadrada de material se deforma hastala posición que marca la línea discontinua. Determine ladeformación unitaria cortante 'Yxy en A.

2-23. Una pieza cuadrada de material se deforma en unparalelogramo como lo indica la línea discontinua. Deter-mine la deformación unitaria normal promedio que se pro-duce a lo largo de las diagonales AC y BD.*2-24. Una pieza cuadrada de material se deforma hastala posición que marca la línea discontinua. Determine ladeformación unitaria cortante 'Yxy en C.

Probs.2-22/23/24

-2-25. El alambre de retenida AB en el bastidor de unedificio está en un principio sin estirar. Debido a un terre-moto, las dos columnas del bastidor se inclinan un ángulo(}= 2°. Determine la deformación unitaria normal aproxi-mada en el alambre cuando el bastidor se encuentra en estaposición. Suponga que las columnas son rígidas y que giranalrededor de sus soportes inferiores.

Prob.2-25

2-26. El material se distorsiona hasta la posición que in-dica la línea punteada. Determine (a) la deformación uni-taria normal promedio a lo largo de los lados AC y CD yla deformación unitaria cortante 'Yxy en F, así como (b) ladeformación unitaria normal promedio de a lo largo dela línea BE.

2-27. El material se distorsiona hasta la posición que in-dica la línea punteada. Determine la deformación unitarianormal promedio que se produce a lo largo de las diagona-lesAD y CF.

10

Probs.2-26/27

*2-28. El alambre está sometido a una deformación uni-taria normal definida por e = xe-x', donde x se expresa enmilímetros. Si el alambre tiene una longitud inicial L, de-terminar el aumento de su longitud.

x

Prob.2-28

-2-29. El tubo curvo tiene un radio original de 2 pies. Sise calienta de manera no uniforme y la deformación uni-taria normal a lo largo de su longitud es E = 0.05 cos (),determine el aumento en la longitud del tubo.2-30. Resuelva el problema 2-29 si € = 0.08 sen ().

Probs. 2-29/30

2-31. La banda de hule AB tiene una longitud sin estirarde 1 pie. Si se encuentra fija en B y está unida a la superficieen el punto A', determine la deformación unitaria normalpromedio en la banda. La superficie está definida por lafunción y = (x2) pies, donde x se expresa en pies.

1pie

-----'---x

Prob.2-31


*2-32. La barra tiene en un principio 300 mm de largocuando está en posición horizontal. Si se somete a una de-formación unitaria cortante definida por 'rxy = 0.02x dondex se expresa en metros, determine el desplazamiento 6yen el extremo de su borde inferior. La barra se distorsionahasta la forma mostrada y no se presenta ninguna elonga- •ción en la dirección x.

y

I

Prob.2-32

-2-33. La fibra AB tiene una longitud L y una orientación(). Si sus extremos A y B experimentan desplazamientosmuy pequeños uA YVE' respectivamente, determine la de-formación unitaria normal en la fibra cuando se encuentraen la posición A'B'.

y

Prob.2-33

2-34. Si la deformación unitaria normal se define en refe-rencia a la longitud final, es decir,

, ,(6S' - 6S)En = lím A'

p ...• p' uS

en vez de hacer referencia a la longitud original, ecuación2-2, demuestre que la diferencia entre estas deformacionesunitarias se representa como un término de segundo orden,a saber, En - E~ = EnE~.

cápitulo 2 - deformación

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