Anlisis de Posiciones

Anlisis de PosicionesTEORA DE MECANISMOSESPECIALIZACIN EN DISEO MECNICOINTRODUCCINUna vez que el diseo tentativo de un mecanismo ha sido sintetizado, debe entonces ser analizado. Un objetivo fundamental del anlisis cinemtico es determinar las aceleraciones de todas las partes mviles del ensamble.Las fuerzas dinmicas son proporcionales a la aceleracin, segn la segunda Ley de Newton. Es necesario conocer las fuerzas dinmicas para calcular los esfuerzos en los componentes.INTRODUCCINPara calcular las fuerzas dinmicas se necesita conocer las aceleraciones, primero se deben localizar las posiciones de todos los eslabones o elementos en el mecanismo por cada incremento del movimiento de entrada, y luego diferenciar las ecuaciones de posicin contra el tiempo para hallar las velocidades y luego diferenciar otra vez para obtener expresiones para la aceleracin.MTODOS DE SOLUCINMtodo Grfico

Mtodo analtico

SISTEMAS DE COORDENADASLos sistemas de coordenadas y los marcos de referencia existen para la conveniencia del ingeniero que los define. Se denota a uno de stos como sistema de coordenadas global o absoluto, y los dems sern sistemas de coordenadas locales dentro del sistema global. El sistema global a menudo se considera como unido a la Madre Tierra, aunque muy bien podra estar unido a otro plano fijo arbitrario, tal como el armazn de un automvil.POSICINLa posicin de un punto en el plano puede definirse por medio de un vector de posicin, como se muestra en la figura:

POSICINUn vector bidimensional tiene dos atributos, los cuales pueden expresarse en coordenadas polares o cartesianas. La forma polar proporciona la magnitud y el ngulo del vector. La forma cartesiana proporciona las componentes X y Y del vector.Posicin Relativa y Absoluta

Caso 1: Un cuerpo en dos posiciones sucesivas Diferencia de posicin

Caso 2: Dos cuerpossimultneamente en dos posiciones distintas Posicin relativaTRASLACINTodos los puntos en el cuerpo tienen el mismo desplazamiento.

ROTACINPuntos diferentes del cuerpo sufren desplazamientos diferentes, que son proporcionales a la distancia de cada uno de ellos al pivote.

MOVIMIENTO COMPLEJODesplazamiento total = componente de traslacin + componente de rotacin

ANLISIS GRFICO

ANLISIS GRFICO

ANLISIS GRFICOLos ngulos de los eslabones 3 y 4 se miden con un transportador. Un circuito tiene los ngulos 3 y 4, el otro 3' y 4'. Una solucin grfica slo es vlida para el valor particular del ngulo de entrada utilizado. Para cada anlisis de posicin adicional habr que volver a dibujar por completo. Esto puede llegar a ser tedioso si se requiere un anlisis completo con cada incremento de 1 o 2 grados de 2. En ese caso convendr derivar una solucin analtica para 3 y 4, la cual puede resolverse por computadora.ANLISIS ALGEBRAICOLas coordenadas del punto A se encuentran con:

Las coordenadas del punto B se encuentran con las ecuaciones de los crculos en torno a A y O4.

ANLISIS ALGEBRAICOUna vez que se encuentran los valores de Bx y By, de la manera que se crea conveniente, se puede proceder a calcular los ngulos 3 y 4 usando el arcotangente:

Representacin de lazo vertical

Ecuacin de lazo vectorial

Estas dos soluciones, como con cualquier ecuacin cuadrtica, pueden ser de tres tipos: reales e iguales, reales y desiguales, complejas conjugadas.Esto puede ocurrir cuando las longitudes de los eslabones son completamente incapaces de establecer una conexin en cualquier posicin o, en un mecanismo de no Grashof, cuando el ngulo de entrada queda ms all de la posicin lmite de agarrotamiento.En el mecanismo de cuatro barras, la solucin negativa da 4 para la configuracin abierta, y la positiva da 4 para la configuracin cruzada.18M. DE MANIVELA-CORREDERA INVERSIN 1

R2 R3 R4 R1=0Este mecanismo podra representarse por slo tres vectores de posicin, R2, R3 y RS, pero uno de ellos (RS) ser un vector de magnitud y ngulo variables. Ser ms fcil utilizar cuatro vectores, R1, R2, R3 y R4 con R1 dispuesto paralelamente al eje del deslizamiento y R4 perpendicular. En realidad, el par de vectores R1 y R4 son componentes ortogonales del vector de posicin RS del origen hasta la corredera.19M. DE MANIVELA-CORREDERA INVERSIN 3

R2 R3 R4 R1=0

En la figura los eslabones estn representados como vectores de posicin con sentidos compatibles con los sistemas de coordenadas seleccionados por conveniencia cuando se definieron los ngulos de los eslabones. Esta disposicin particular de los vectores de posicin conduce a lamisma ecuacin de lazo vectorial que la del ejemplo previo de manivela-corredera. Tres incgnitas: Longitud b, ngulos 3 y 4. Gamma es constante.20Mecanismo de cinco barras engranado

R2 + R3 R4 R5 R1 = 0Mecanismo de cinco barras engranadoDos factores determinan el comportamiento del eslabn 5 con respecto al eslabn 2, es decir, la relacin de engranes y el ngulo de fase . La relacin es:

Mecanismos de seis barras

NGULOS DE TRANSMISIN

Valores extremos del ngulo de transmisin

POSICIONES DE AGARROTAMIENTO

CIRCUITOS Y RAMAS EN MECANISMOSChase y Mirth[2] definen un circuito en un mecanismo como todas las orientaciones posibles de los eslabones que pueden ser obtenidas sin desconectar ninguna de las juntas, y una rama como una serie continua de posiciones del mecanismo en un circuito entre dos configuraciones estacionarias Las configuraciones estacionarias dividen un circuito en una serie de ramas.Los defectos de circuito son fatales para el funcionamiento del mecanismo, pero los de rama no. Un mecanismo que debe cambiar circuitos para moverse de una posicin deseada a la otra (conocido como defecto de circuito) no es til, ya que no puede funcionar sin desarmarlo y volverlo a armar.Un mecanismo que cambia de rama cuando se mueve de un circuito a otro (conocido como defecto de rama) puede o no ser til segn la intencin del diseador.27Defecto de rama

Otro ejemplo de mecanismo comn con defecto de rama es el mecanismo manivela-corredera (cigeal, biela, pistn) utilizado en todos los motores de pistones y mostrado en la fi gura 13-3 (p.571). Este mecanismo tiene dos posiciones de agarrotamiento (puntos muertos superior e inferior)que forman dos ramas en una revolucin de su manivela.28MTODO DE SOLUCIN DE NEWTON-RAPHSONLos mtodos de solucin para anlisis de posicin mostrados hasta ahora en este captulo son de forma cerrada lo que significa que proporcionan la solucin con un mtodo directo no iterativo. En algunas situaciones, en particular con mecanismos de lazos mltiples, una solucin de forma cerrada puede no ser factible. En tal caso, se requiere un mtodo iterativo y el mtodo de Newton-Raphson es uno que puede resolver conjuntos de ecuaciones simultneas no lineales. Cualquier mtodo de solucin iterativo requiere uno o ms valores supuestos para iniciar el clculo.Determinacin de una raz unidimensionalUna funcin no lineal tiene mltiples races, donde una raz se define como la interseccin de la funcin con cualquier lnea recta. Por lo general, el eje cero de la variable independiente es la lnea recta de la cual se desean las races. Considere, por ejemplo, un polinomio cbico, el cual tendr tres races, con una cualquiera o todas reales.

GRFICA DE LA EXPRESIN

ALGORITMO

Si el valor supuesto inicial se aproxima a la raz, este algoritmo converger con rapidez en la solucin. Sin embargo, es bastante sensible al valor supuesto inicial. La figura 4-18b (p. 181) muestra el resultado de un leve cambio de la suposicin inicial x1 = 1.8 a x1 = 2.5. Con esta suposicinligeramente diferente converge en otra raz. Observe tambin que si se elige un valor inicial de x1 = 3.579, que corresponde a un mximo local de esta funcin, la lnea tangente ser horizontal y no intersectar el eje x. El mtodo falla en esta situacin. Se puede sugerir un valor de x1 que causaraconvergencia en la raz en x = 6.74?32Determinacin de races multidimensionalesEl mtodo de Newton unidimensional es fcil de ampliar a conjuntos de ecuaciones no lineales, mltiples y simultneas, por ello se denomina mtodo de Newton-Raphson. En primer lugar, se generaliza la expresin desarrollada para el caso unidimensional en el paso 4 del algoritmo anterior.Generalizacin

SolucinLa ecuacin anterior puede resolverse para X con una inversin de matriz o con una eliminacin Gaussiana. Los valores de los elementos de A y B se calculan para cualquier valor supuesto de las variables. Se puede considerar un criterio de convergencia como la suma de vector de error X en cada iteracin, donde la suma se aproxima a cero en una raz.Solucin de Newton-Raphson para el mecanismo de cuatro barrasLa ecuacin de lazo vectorial del mecanismo de cuatro barras, separada en sus partes real e imaginaria, proporciona el conjunto de ecuaciones que definen los dos ngulos de eslabn desconocidos, 3 y 4. Se usan las longitudes de eslabn a, b, c, d y el ngulo de entrada 2.

Jacobiano del sistema

Sustituyendo A, X y B:Para resolver esta ecuacin matricial se tendrn que suponer valores para 3 y 4 y las dos ecuaciones se resolvern de manera simultnea para 3 y 4. Para este sistema simple de dos incgnitas, las dos ecuaciones pueden resolverse por combinacin y reduccin. La prueba antes descrita que compara la suma de los valores 3 y 4 con una tolerancia seleccionada, debe aplicarse despus de cada iteracin para determinar si una raz ha sido encontrada.

Para un sistema ms grande de ecuaciones, se tendr que utilizar un algoritmo de reduccin de matriz.39