4 2 5 1 0011 0010 universidade federal de uberlÂndia faculdade de matemÁtica projeto pibeg unidade...
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0011 0010
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE MATEMÁTICA
PROJETO PIBEG
Unidade VI
Solução Numérica deEquações Diferenciais
Ordinárias
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Uma equação diferencial ordinária é definida como uma equação
que envolve uma função incógnita y e algumas de suas derivadas
avaliadas em uma variável independente x, da forma:
)]x(y,),...x(''y),x('y,x[f)x(y )1n()n(
INTRODUÇÃO
Nas ciências aplicadas a utilização de equações diferenciais tem
como objetivo descrever o comportamento dinâmico de sistemas
físicos. Por exemplo, o comportamento dinâmico de um circuito,
mostrado na figura a seguir, pode ser descrito por uma equação
diferencial.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS RLC
Circuitos elétricos mais complexos são basicamente formados
por resistores de resistência R, indutores de indutância L,
capacitores de capacitância C, carregado com uma diferença
de potencial VC e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial
é indicada E(t).
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Se E(t) é a diferença de potencial da fonte de alimentação e i(t) é
a intensidade da corrente elétrica, então:
VL é a diferença de potencial nos terminais do indutor:
dt
diLtVL )(
VR é a diferença de potencial nos terminais do resistor:
)()( tRitVR
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VC é a diferença de potencial nos terminais do capacitor:
t
C duuiC
tV0
)(1
)(
A lei de Kirchoff para tensões afirma que a soma algébrica de
todas as tensões tomadas num sentido determinado (horário ou
anti-horário), em torno de um circuito fechado é nula. Assim,
quando for fechado o interruptor, obteremos:
)()()()( tEtVtVtV CRL
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Substituindo
dt
diLtVL )( )()( tRitVR
t
C duuiC
tV0
)(1
)(
)()()()( tEtVtVtV CRL em
obtemos:
)()(1
)(0
tEduuiC
tRidt
diL
t
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Se E(t) é constante e derivarmos em relação à variável t, teremos
0)(1)()(
2
2
tiCdt
tdiR
dt
tidL
e temos uma EDO de segunda ordem, linear e homogênea.
Se E(t) é uma função diferenciável da variável t, então
dt
dEti
Cdt
tdiR
dt
tidL )(
1)()(2
2
e temos uma EDO linear não-homogênea.
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TIPOS DE EQUAÇÕESDIFERENCIAIS
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
São equações diferenciais que possuem apenas uma
variável independente.
Exemplos:
yxdx
dy y é função de x e x é a única variável
independente.
22 yxdt
dy y e x são funções de t; t é a única
variável independente.
222
2
yxdw
yd
y e x são funções de w; w é a única variável independente. Esta edo é de segunda ordem.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Uma equação diferencial parcial é aquela cuja função
incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes.
Exemplo:
u é função de x e y; x e y são variáveis independentes. EDP linear, de 2ª ordem e homogênea. (Equação de Laplace)
02
2
2
2
y
u
x
u
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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Determinadas equações diferenciais podem ser
solucionadas analiticamente, cuja solução é uma expressão
literal. No entanto, isto nem sempre é possível. Neste caso, a
solução é obtida através de solução numérica, como será visto
na seqüência.
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Exemplo:
21)ln( cxcydxy
dydx
y
dyy
dx
dy
.)( cxcx eeexy
:obtemos Tomando cek
xkexy )(
.ydx
dyResolva a equação diferencial
Solução:
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Observe que a solução da equação diferencial resulta numa
família de curvas que dependem da constante k, como pode ser
visto na figura abaixo. Uma solução particular pode ser obtida a
partir das condições iniciais do problema. A especificação de
uma condição inicial define uma solução entre a família de
curvas.
xkexy )(
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SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS – PROBLEMA DE VALOR INICIAL
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Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial :
axbaxyxy
yxfy
000
];,[,)(
),('
Se a solução da equação diferencial acima é do tipo y(x), conforme
ilustrado abaixo:
y
x
y(x1)
x0 = a x1 x2 x3 xn = b
y(x2)
y(x3)
y(xn)
y(x0) = y0
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então a solução numérica da equação diferencial é obtida
aproximando-se os valores ,)(,),...(),(),(),( 3210 nxyxyxyxyxy
conforme a tabela abaixo:
njxy j ,...,2,1),(
nxxxx ,...,,, 321 njy j ,....,2,1, Considera-se que a notação indica a solução
, e
indica a solução aproximada obtida por um método numérico.
exata da EDO nos pontos
onde xj = x0 + jh, comn
abh
e n é o número de subintervalos
de [a,b].
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Na solução numérica não se determina a expressão literal da
função y(x), mas sim uma solução aproximada do PVI num
conjunto discreto de pontos.
Nos problemas das ciências aplicadas, normalmente estuda-
se o comportamento dinâmico de determinadas variáveis, portanto
necessita-se da evolução das variáveis em função da variável
independente. A partir dos dados numéricos é possível gerar um
esboço do gráfico da função incógnita.
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MÉTODOS BASEADOSNA SÉRIE DE TAYLOR
Série de TaylorResumo
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Suponhamos que, de alguma forma, tenhamos as
aproximações y1, y2, ..., yi para y(x), em x1, x2, ..., xi.
Se y for suficientemente “suave”, a série de Taylor de y(x) em torno
de x = xi é:
)!1(
)()(
!
)()(
!2
)()("))((')()(
1)1()(
2
k
xxy
k
xxxy
xxxyxxxyxyxy
ki
xk
ki
iki
iiii
. e entre xxix
Assim,
!
)()(
!2
)()("))((')()( 1)(
21
11 k
xxxy
xxxyxxxyxyxy
kii
ikii
iiiiii
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Se yi(j) representa a aproximação para a j-ésima derivada da função
y(x) em xi: y(j)(xi) e h = xi+1 – xi, teremos:
!!2"')( )(
2
11 k
hy
hyhyyyxy
kk
iiiiii
e o erro de truncamento é dado por:
)1()1(
)!1(
)()(
kx
k
i hk
yxe i
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Observamos que, se y(x) tem derivadas de ordem (k+1), contínua
num intervalo fechado I que contém os pontos sobre os quais
estamos fazendo a discretização, então existe:
|)(|max )1(1 xyM k
Ixk
Assim, teremos um majorante para o erro de truncamento pois
11
1
1
)1(
)!1(|)(|max|)(|
|)(|
kk
k
Ixi
xkx
k
Chk
hMxexe
IMy
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Um método numérico é dito de ordem p se existe uma constante C
tal que:1
1 |)(| p
i Chxe
Onde C depende das derivadas da função que define a equação
diferencial.
Para aplicar o método da série de Taylor de ordem k:
kk
iiiii h
k
yh
yhyyy
!!2
'''
)(2
1
temos de calcular yi’, yi”, yi’’’, ..., yi(k).
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Agora, y’(x) = f(x, y(x)). Então:
fffxyxyxfxyxfy yxyx )('))(,())(,("
Assim, por exemplo, o método de série de Taylor de 2ª ordem é:
...,1,0)],,(),(),([2
),(2
1 iyxfyxfyxfh
yxhfyy iiiiyiixiiii
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A expressão da terceira derivada já nos mostra a dificuldade dos
cálculos de um método de Taylor de terceira ordem. Observe
ainda que todos esses cálculos são efetuados para cada i,
i = 1, ..., n.
Observe que
),()(
)("))(,()(')]('))(,())(,([
)('))(,())(,()('''
fffffffffff
xyxyxfxyxyxyxfxyxf
xyxyxfxyxfxy
yxyyyyxxyxx
yyyyx
xyxx
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Os métodos que usam o desenvolvimento em série de Taylor
de y(x) teoricamente fornecem solução para qualquer equação
diferencial. No entanto, do ponto de vista computacional, os
métodos de série de Taylor de ordem mais elevada são
considerados inaceitáveis pois, a menos de uma classe restrita
de funções f(x,y) ( f(x,y) = x2 + y2, por exemplo), o cálculo das
derivadas totais envolvidas é extremamente complicado.
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MÉTODO DE PASSO UMMÉTODO DE EULER
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Consideremos, o método de série de Taylor de ordem k = 1, ou
seja,
),('1 iiiiii yxhfyhyyy
onde
2x1i h
2
)("y)x(e 1i
Este é o método de Euler, que é um método de série de Taylor de
ordem 1.
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Como conhecemos x0 e y0 = f(x0), então sabemos calcular y’(x0) =
f(x0,y0). Assim, a reta r0(x) que passa por (x0,y0), com coeficiente
angular y’(x0), é:
)(')()()( 0000 xyxxxyxr
Escolhido
)(')()()( 001011 xhyxyxryxy
ou seja).,( 0001 yxhfyy
kk xxh 1
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉDODO DE EULER:
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O raciocínio é repetido com (x1,y1) e y2 = y1 + hf(x1,y1) e assim,
sucessivamente, o método de Euler nos fornece:
).,(1 kkkk yxhfyy ,...2,1,0k
GRAFICAMENTE:
y0=1
y1 P1
x1 = x0 + hx0 = 0
y
x
y = ex
r0 (x)y(x1)
Erro
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EXEMPLO:
Seja o PVI: y’ = y, y(0) = 1. Trabalhando com quatro casas
decimais, usaremos o método de Euler para aproximar y(0.04) com
erro menor do que ou igual a ; = 5×10-4.
O primeiro passo é encontrar h de modo que:
2
2
)(")( h
yxe ix
i
Neste caso, conhecemos a solução analítica do PVI: y(x) = ex,
temos então que:
204.0
]04.0,0[2 |)("|0408.1|)("|max MyexyM
ixx
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donde
0408.1
10
0408.1
1052 então;105
2
0408.1
]04.0,0[2
0408.1|)(|
34242
2
hh
Ixhxe
Portanto,.0310.0h
Considerando pontos igualmente espaçados, tem-se h = 0.04/n,
onde n é o número de subintervalos de I. Assim,
.229.1031.0
04.00310.0
04.0 nnn
n
Portanto, tomando n = 2, h = 0.02.
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Assim,
04.0
02.0
.1)0()( e0
2
1
000
x
x
yyxyx
Agora:
02.1
)02.01(1)1(
),()(
0
0000011
hy
hyyyxhfyyxy
e
0404.1
02.1)02.1(02.1
)1(),()(2
111122
hyyxhfyyxy
Dado que e0.04, com quatro casas decimais, vale 1.0408, temos que
o erro cometido foi 1.0408 – 1.0404 = 4×10-4 < 5×10-4.
x0 x1 x2
h
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MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
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A idéia básica destes métodos é aproveitar as qualidades
dos métodos de série de Taylor (ordem elevada) e ao mesmo
tempo eliminar sua maior dificuldade que é o cálculo de
derivadas de f(x,y) que, conforme vimos, torna os métodos de
série de Taylor computacionalmente inaceitáveis.
MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
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Podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem p se
caracterizam pelas propriedades:
São de passo um (auto-iniciantes);
não exigem o cálculo de derivadas parciais de f(x,y);
necessitam apenas do cálculo de f(x,y) em determinados pontos
(os quais dependem da ordem dos métodos);
expandindo-se f(x,y) por Taylor em torno de (xi , yi) e agrupando-
se os termos em relação às potências de h, a expressão do método
de Runge-Kutta coincide com a do método de Taylor de mesma
ordem.
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MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE 1ª ORDEM: MÉTODO DE EULER
Já vimos que o método de Euler é um método de série de
Taylor de 1ª ordem:
...,2,1,0),,(1 iyxhfyy iiii
Observe que o método de Euler possui as propriedades
anteriores que o caracterizam como um método de Runge-
Kutta de ordem p = 1.
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MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE 2ª ORDEM:
Inicialmente será apresentado um método particular que é o
método de Heun, ou método de Euler Aperfeiçoado, pois ele tem
uma interpretação geométrica bastante simples.
Conforme o próprio nome indica, este método consiste em fazer
mudanças no método de Euler para assim conseguir um método de
ordem mais elevada.
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MÉTODOS DE EULER APERFEIÇOADO:
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
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Considere o ponto (xi, yi), yi y(xi). Vamos supor a situação
ideal em que a curva desenhada com linha cheia seja a solução
y(x) da nossa equação ( isto só acontece mesmo em (x0, y0)).
Por (xi, yi) traçamos a reta L1 cujo coeficiente angular é
y’i = f(xi, yi), ou seja,
).y,)f(xx(xy')yx(xy(x)z:L iiiiiii11
Dado o PVI:
axbaxyxy
yxfy
000
];,[,)(
),('
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y
x
iy
1L
)(xy
ix
(Solução analítica)
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Assim, dado o passo h, z1(xi+1) = z1(xi + h) é igual ao valor yi+1
obtido do método de Euler, que chamamos aqui de .1iy
Seja).y,(x)hy'yh,(xP 1i1iiii
Por P agora, traçamos a reta L2, com coeficiente angular
dado por:
).y,f(x)hy'yh,f(x 1i1iiii
)hy'yh,h)]f(x(x[xhy'y(x)z:L iiiiii22
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y
x
iy
1L
)(xy
ix
iii hyyy '1
P2L
h 1ix
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A reta pontilhada L0 passa por P e tem inclinação dada pela
média aritmética das inclinações das retas L1 e L2, ou seja, sua
inclinação é:
2
)hy'yh,f(x)y,f(x iiiii
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0011 0010
y
x
1L
)(xy
P2L
h
0L
iy
ix
iii hyyy '1
1ix
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A reta L passa por (xi, yi) e é paralela à reta L0, donde:
2
)hy'yh,f(x)y,f(x)x(xyz(x):L iiiii
ii
A reta pontilhada L0 passa por P e tem por inclinação a
média das inclinações das retas L1 e L2, ou seja, sua inclinação é:
2
)hy'yh,f(x)y,f(x iiiii
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0011 0010
y
x
ny
1L
)(xy
nx
nnn hyyy '1
P2L
h 1nx
0L
L1ny
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O valor fornecido para yi+1 pelo método de Euler Aperfeiçoado é:
.,...,,i)],yxhfh,yf(x),y[f(xh
yy iiiiiiii 210),(21
Observamos que este método é de passo um e só trabalha
com cálculos de f(x,y), não envolvendo suas derivadas. Assim,
para verificarmos que ele realmente é um método de Runge-
Kutta de 2ª ordem, falta verificar se sua fórmula concorda com a
do método de série de Taylor até os termos de 2ª ordem em h:
)y,x(f)y,x(f2
h)y,x(f
2
h)y,x(hfyy iixii
2
iix
2
iii1i
Esta verificação será feita para o caso geral, apresentado a
seguir.
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FORMA GERAL DOS MÉTODOS DE
RUNGE-KUTTA DE 2ª ORDEM
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0011 0010
O método de Euler Aperfeiçoado é um método de Runge-Kutta
de 2ª ordem e podemos pensar que ele pertence a uma classe
mais geral de métodos do tipo:
)),(,(),( 21211 iiiiiiii yxhfbyhbxfhayxfhayy
Para o método de Euler Aperfeiçoado,
1
1
221
2
121
1
ba
ba
Temos quatro parâmetros livres: a1, a2, b1e b2. A concordância
com o método da série de Taylor até os termos de ordem h2 é
será mostrado a seguir.
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0011 0010
O desenvolvimento de Taylor da função f(xi + b1h, yi + b2hf(xi , yi ))
em torno do ponto (xi , yi ) é dado por:
),(),(),(),()),(,( 2121 iiyiiiixiiiiii yxfyxhfbyxhfbyxfyxhfbyhbxf
+ termos de h2.
)],(),(),(),([),( 21211 iiyiiiixiiiiii yxfyxhfbyxhfbyxfhayxhfayy
+ termos de h3.
Desta forma o método de Runge-Kutta pode ser reescrito como:
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0011 0010
)],(),(),(),([),( 21211 iiyiiiixiiiiii yxfyxhfbyxhfbyxfhayxhfayy
+ termos de h3.
A expressão:
pode ser escrita como
),(),(),(),(),( 222
212211 iiyiiiixiiiiii yxfyxfhbayxfhbayxhfayxhfayy
)],(),(),([))(,( 22122
211 iiyiiiixiiii yxfyxfbayxfbahaayxhfyy
+ termos de h3.
+ termos de h3.
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0011 0010
Como o método de série de Taylor de 2ª ordem é escrita como:
E o método de Runge-Kutta de 2ª ordem é dado por:
)],(),(),([))(,( 22122
211 iiyiiiixiiii yxfyxfbayxfbahaayxfhyy
Então, a concordância dos dois métodos até h2 é obtida se:
+ termos de h3.
...,1,0)],,(),(),([2
1),( 2
1 iyxfyxfyxfhyxfhyy iiiiyiixiiii
+ termos de h3.
21
22
21
12
21 1
ba
ba
aa
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0011 0010
O sistema anterior possui três equações e quatro variáveis.
Escolhendo um dos parâmetros arbitrariamente, por exemplo
a2=w ≠ 0, temos:
wbb
wa
21
21
1 1
e a forma mais geral dos métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem é
dada por
...,2,1,0))],,(,([),()1[( 221 iyxfyxfwhyxfwhyy iiwh
iwh
iiiii
21
22
21
12
21 1
ba
ba
aa
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0011 0010
MÉTODOS DE RUNGE-KUTTADE
ORDENS SUPERIORES
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0011 0010
De forma análoga, pode-se construir métodos de 3ª ordem, 4ª
ordem, etc. A seguir serão fornecidas apenas fórmulas para
métodos de Runge-Kutta de 3ª e 4ª ordem:
)4
3,
4
3(
)2
,2
(
),(
9
4
3
1
9
2
23
12
1
3211
kyhxhfk
ky
hxhfk
yxhfk
kkkyy
ii
ii
ii
ii
3ª ordem
onde
4251
0011 0010
4ª ordem
onde
)4
3,
4
3(
)2
,2
(
),(
9
4
3
1
9
2
23
12
1
3211
kyhxhfk
ky
hxhfk
yxhfk
kkkyy
ii
ii
ii
ii
4251
0011 0010
OBSERVAÇÃO:
Os métodos de Runge-Kutta, apesar de serem auto-
iniciáveis (pois são de passo um) e não trabalharem com
derivadas de f(x,y), apresentam a desvantagem de não
haver para eles uma estimativa simples para o erro, o que
inclusive poderia ajudar na escolha do passo h.
Existem ainda adaptações dos métodos de Runge-Kutta que
são simples operacionalmente e que são usadas também
para estimativas de erro e controle do tamanho do passo h.
4251
0011 0010
MÉTODOS DO PONTOMÉDIO
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0011 0010
Considere agora o desenvolvimento de y(xi + h) e y(xi − h) em
série de Taylor em torno do ponto xi, isto é:
.)('''!3
)("!2
)(')()(
.)('''!3
)("!2
)(')()(
32
32
iiiii
iiiii
xyh
xyh
xhyxyhxy
xyh
xyh
xhyxyhxy
Fazendo )()( hxyhxy ii obtemos:
.)('''!3
)('2)()(3
iiii xyh
xhyhxyhxy
)( 3hO
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0011 0010
Considerando apenas o primeiro termo do lado direito da
expansão acima, substituindo y(xi+h) por yi+1, y(xi − h) por yi−1 e
y’(xi) por fi, obtemos:
iii hfyy 211
ou
iii hfyy 211
onde y0 e y1 são valores iniciais.
Desta forma o método do ponto médio é de passo dois e
possui ordem 2.
4251
0011 0010
Série de Taylor:
Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum
intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de
Taylor gerada por f em x = a é
...)(!
)(...)(
!2
)´´())(´()()(
!
)( )(2
0
)(
nn
k
k
k
axn
afax
afaxafafax
k
af
4251
0011 0010
Exemplo:
Desenvolver f(x) = ln(x) , em torno de x = 1.
)!1()1()1()!1()1()(
6)1(6)(
2)1('''2)('''
1)1('')(''
1)1(')('
0)1(ln)(
11
4
3
2
1
nfxnxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
nnnnn
IVIV
Assim,
...!
)1()!1()1(...
!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1()1(0ln
1432
n
xnxxxxx
nn
4251
0011 0010
...)1()1(
...4
)1(
3
)1(
2
)1()1(ln
1432
n
xxxxxx
nn
Portanto,
4251
0011 0010
MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLOBASEADOS EM INTEGRAÇÃO
NUMÉRICA
4251
0011 0010
A característica destes métodos é a utilização de
informações sobre a solução em mais de um ponto. Podem ser
divididos em:
Métodos explícitos: trabalha-se com as aproximações yi, yi-1,
yi-2, ..., yi-m para obter yi+1.
Métodos implícitos: trabalha-se com as aproximações yi+1, yi, yi-
1, yi-2, ..., yi-m para obter yi+1.
4251
0011 0010
A fórmula geral dos métodos lineares de passo múltiplo
é dada por:
1;0
11
11
kifhyyk
jjij
k
jjiji
Nesta expressão, observa-se que:
Se β0 = 0, são necessários k passos anteriores: yi, yi-1, yi-2, ..., yi-
(k-1). Este é um método explícito.
Se β0 ≠ 0, necessita-se de k passos anteriores e do valor de
fi+1 = f(xi+1, yi+1). Este é um método implícito.
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0011 0010
MÉTODO DE ADAMS - BASHFORTH
4251
0011 0010
Estes métodos baseiam-se na idéia de integrar a
equação diferencial ordinária de primeira ordem, isto é:
11
)(,)(')(,)('i
i
i
i
x
x
x
x
dxxyxfdxxyxyxfxy
1
)(,)()( 1
i
i
x
x
ii dxxyxfxyxy
1
)(,)()( 1
i
i
x
x
ii dxxyxfxyxy
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0011 0010
Seja a aproximação de f(x, y(x)) dada pelo polinômio de
grau m, pm(x) , que interpola f(x, y(x)) em:
.,,,, 21 miiii xxxx
Desta forma, a expressão dos métodos de ADAMS – BASHFORTH são do tipo:
1
)(1
i
i
x
x
mii dxxpyy
.,,,,, )1(211 miiiii xxxxx (Método explícito)
(Método implícito)
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0011 0010
],[,)(720
251)( 1
)5(51 iixxiloc xxyhxe
ii
Para m = 3, mostra-se que:
3937595524 3211 iparaffffh
yy iiiiii
com erro local:
Método explícito de ordem 4
4251
0011 0010
],[,)(720
19)( 1
)5(51 iixxiloc xxyhxe
ii
Para m = 3, mostra-se que:
com erro local:
Método implícito de ordem 4
2519924 2111 iparaffffh
yy iiiiii
Aconselha-se a utilização de um método de passo
simples de mesma ordem para a obtenção dos valores
necessários para a inicialização do método de passo múltiplo.
Nesse caso, é usual aplicar o Método de Runge-Kutta de quarta
ordem.
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MÉTODO PREDITOR – CORRETOR DE ADAMS-MOULTON
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0011 0010
oo yxy
yxfy
)(
),('
Dado o PVI:
1o passo: Calcular usando um método de passo simples de 4ª
ordem os valores iniciais: 321 , yeyy
2o passo: Calcular yi+1(0) utilizando o método explícito
(PREVISÃO):
3937595524 321
)(1 iffff
hyy iiiii
oi
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0011 0010
3o passo: Calcular:
),( )(11
)(1
oii
oi yxff
4o passo: Calcular yi+1(k) utilizando o método implícito
(CORREÇÃO):
21)1()(
1 519924 1
iiik
ik
i ffffh
yyi
Até que
,..3,2,1)(1
)1(1
)(1
k
y
yyk
i
ki
ki
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EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE ORDEM M
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0011 0010
Uma equação diferencial de ordem m, pode ser reduzida
a um sistema de m equações de primeira ordem. A maneira mais
usual para resolver estas m equações, desde que seja um PVI, é
trabalhar na forma matricial.
Para exemplificar, consideremos uma e.d.o. de 2ª ordem:
oooooooo yxyyxz
zy
zyxfz
yzeyzsejayxyyxy
yyxfy
)(,')(
'
),,('
"'',)(,')('
)',,("
escrevendo na forma matricial vem:
z
zyxf
y
z ),,('
o
oo y
yxYparaYxFY
')(,'
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A equação diferencial
pode ser resolvida utilizando qualquer um dos métodos estudados
anteriormente. Por exemplo, o método de Euler Aperfeiçoado:
o
oo y
yxYparaYxFY
')(,'
'1 ,),(
2 iiiiiii YhYhxFYxFh
YY