Teorija Mrea - 1

1. UVOD 1. Objasnite na nekoliko primjera to znai tvrdnja da model neke naprave posjeduje neka svojstva koja sama naprava ne posjeduje? U modelu otpornika postoji trenutna promjena napona i struje to u stvarnom sluaju ne postoji. Isto je i za modele kondenzatora i zavojnice.

U modelu kapaciteta postoji uskladitenje naboja, ali u kondenzatoru imamo i gubitke (R, L). 2. U kojim bi sluajevima vrijedio KZS za efektivne vrijednosti struja grane neke mree? Vrijedio bi u istosmjernim mreama (gdje je Ief = Isr) i u izmjeninim mreama graenim od istovrsnih elemenata (samo L ili samo C) tj. u kvazi-istosmjernim mreama. 3. Obrazloite vrijedi li KZN za Fourierove koeficijente napona grana neke mree?un = a0 + (ak cos kx + bk sin kx) 2 k =1 1 ak = f ( x) cos kxdx; k = 0,1,2,...

1

bk =

f ( x) sin kxdx;

k = 0,1,2,...

KZN vrijedi za Fourierove koeficijente napona grana jer za dobivanje koeficijenata koristimo integriranje, a integriranje je linearna transformacija. KZ vrijede za linearne transformacije.

4. Petlju proetu izmjeninim magnetskim poljem indukcijom b(t) tvore etiri otpornika od 1. Efektivna vrijednost struje petlje je 1A. Odredite efektivnu vrijednost napona izmeu A i B.1

1 1

1

Napon ne moemo odrediti jer je petlja proeta magnetskim poljem pa ne vrijede KZ, odnosno prema drugom i etvrtom postulatu TM nema magnetske veze izmeu naprava tj. nema magnetske veze koja proima tu petlju

5. Pod kojim uvjetima vrijede Kirchoffovi zakoni? Kirchoffovi zakoni vrijede ako vrijede etiri postulata teorije mrea: Dimenzije elektrinih naprava i od njih stvorena mrea zanemarive su u odnosu na valnu duljinu koja odgovara najvioj frekvenciji potrebnoj za rad mree. Spojni vodii meu napravama beskonane su vodljivosti i oko njih nema EM polja. Rezultantni naboja svake naprave u mrei jednak je nuli. Nema magnetske veze izmeu naprava u mrei.

Teorija Mrea - 2

6. U mrei prema slici a) izmjerena je struja kroz otpor R5=1 u iznosu 2A. Koliki je napon na R1=2 iste mree otpora, ali uz premjeteni naponski izvor E=10V kako je prikazano slikom b)? a) b)

- nadomjesna shema za Tellegenov teorem: a)

u (t )i (t ) = 0k =1 k 1 k 2

b

b)

iR 5 = i2 Prvi pokus: u2 = E = 10V u2 = 0V u1 (i1 ) + u 2 (i2 ) = u1 (i1 ) + u2 (i2 ) u1i1 + u 2i2 = u1i1 + u 2i2 Drugi pokus:

u2 = E = 10V u1 = 0

10i1 + 0i2 = 0i1 + 10 2i1 = 2 A u R1 = iR1 R1 = 2 2 = 4

(ako struja ulazi u M tada ide s + predznakom, ako izlazi iz mree s predznakom)

Teorija Mrea - 3

7. Promjenom napona E1 za E1 struja i1 promjeni se za i1, a struja i2 za i2. odredite promjenu struje izvora E1 ako se napon E2 promjeni za E2.

E1 i1 + E2 i2 = E1 i1 + E2 i2 E1 i1 = E2 i2

i1 =

E2 i2 E1

8. U mrei sa b grana napon i struja svake grane rastavljeni su u istosmjernu i izmjeninu komponentu, to znai da za k-tu granu vrijedi da je:

~ u k (t ) = U k (0) + uk (t ) ,emu umnoci b

~ ik (t ) = I k (0) + ik (t ) . emu je jednak umnoak

Uk =1

b

k

(0) I k (0) , a

~~ uk ik ik =1

Uk =1

b

k

~ (0) ik ?b ~~ uk ik = 0 k =1 b ~ U k (0) ik = 0 (Tellegen) k =1

U k (0) I k (0) = 0k =1

b

a), b) zakon ouvanja energije (to izvor privede, troilo mora potroiti), c) prvi pokus istosmjerni poticaj, drugi pokus izmjenini poticaj po Tellegenu =0. - p(t ) = P(0) + ~ - zakon ouvanja snage na frekvenciji p

P(0) = 0;k =1

b

p ~ = 0 , (Tellegen)k =1

b

9. Vrijedi li za dvije mree prikazane na slikama a) i b) da je:

u ik =1

b

~

k k

= 0 gdje je sa

~ uk oznaen napon k-te grane prema slici a), a s ik struja k-te grane prema slici b).Obrazloite.

Izraz

u ik =1

b

~

k k

= 0 predstavlja Tellegenov teorem i u ovom sluaju vrijedi jer se nije izmijenio

graf mree (broj grana i vorova je ostao isti). Razliite mree samo moraju imati isti graf jer za KZS i KZN ne igraju ulogu komponente nego samo kako su meusobno spojene.

Teorija Mrea - 4

10. Na mrei linearnih vremenski nepromjenjivih otpora M provedena su dva pokusa. U prvom pokusu narinut je napon E=3V i uz opteretni otpor 1 izmjerena je struja naponskog izvora iE=1A i napon na opteretnom otporu uR=2V. U drugom pokusu narinut je napon E =6V i uz opteretni otpor R =2 izmjerena je struja naponskog izvora iE =1,5A. Odredite napon na opteretnom otporu u R u drugom pokusu.

EiE + u R (iR ) = E iE + u R (iR ) u u EiE + u R R = E iE + u R R R R u 2 3 1,5 + 2 R = 6 1 + u R 2 1 u R + 2u R = 6 4,5 u R = 1,5V 2. JEDNOPRILAZNI DISIPATIVNI ELEMENTI (OTPORI)11. Zato je linearni memnistor identian linearnom otporu?u = iR = M q /d dt

Relacija linearnog otpora:

Relacija linearnog memnistora:

d dq =M dt dt u = Mi

- Identian je jer su im relacije jednake. 12.

Nacrtati karakteristiku otpora zadanog sa i (t ) = I cos(t + ) .

- minimum funkcije je u I , a maksimum u I , zbog cos- ovo je karakteristika nelinearnog otpora, predstavlja strujni izvor = poopeni prekid 13. Zadana je karakteristika otpora prema slici. Je li otpor aktivan / pasivan, linearan / nelinearan i kako je upravljan? - aktivan jer na dijelu kart. vrijedi u R iR < 0 (prolazi kroz 2 i 4 kvadrant) - nelinearan jer ne prolazi kroz ishodita (nema aditivnosti ni homog.) - strujno i naponski upravljan (monoton) Nelinearan jer nije zadovoljio naelo homogenosti Aktivan jer mu karakteristika prolazi kroz II i IV kvadrant u-i ravnine VNP jer se u karakteristici eksplicitno ne pojavljuj vrijeme t

Teorija Mrea - 5

14.

Odredite koji je od ovih otpora pasivan, a koji aktivan: a) i = u cos 2t , b) i = I sin(t + ) , c) i = 3 + u + 2u 3 , d) u = sh3i , e) u = 2i + 3i 2 .

- otpor je pasivan ako prolazi kroz 1 i 3 kvadrant - otpor je aktivan ako prolazi kroz 2 i 4 kvadrant (i 1 i 3 kvadrant) a) i = u cos 2t - aktivan

b) i = I sin(t + ) - aktivan

c) i = 3 + u + 2u 3 - aktivan2 0 1 5 1 0 5 2 1 5 -0 1 -5 1 1 2

d) u = sh3i - pasivan - striktno pasivan3 2 1 6 4 2 1 2 4 6

e) u = 2i + 3i 2 - aktivan6 5 4 3 2 1

2 3

-. 15

1

-. 05

05 .

1

15 .

15. Navedite nekoliko primjera naprava s pomou kojih se moe realizirati poopeni kratki spoj. Svaki naponski izvor moemo interpretirati kao poopeni kratki spoj (akumulator, istosmjerni generator, izmjenini generator). 16. Je li bipolarni tranzistor kvazi-aktivni otpor? Obrazloiti.

otpor je kvazi-aktivan [u A (t ) u B (t )] [i A (t ) iB (t )] < 0

ako

vrijedi:

a) ako moemo mijenjati struju baze, tj. iB = iB (t ) , tada je tranzistor kvazi-aktivan otpor (moemo nai dvije toke A i B koje zadovoljavaju gornji uvjet toku A na karakteristici za iB (t1 ) , a toku B na karakteristiciiB (t 2 ) ).

u A > uB i A < iB

b) ako je iB konstantno tada tranzistor nije kvaziaktivni otpor.

Teorija Mrea - 6

17.

Odredite jalovu i prividnu snagu izvora u = U sin t .

u = U sin t U i = I sin t = sin t R 1 2 f = , = 2f T TP= T 1 U 2 T /2 2 1 U2 U2 sin 2 (t )dt = sin (t )dt + sin 2 (t )dt = 0 0 R 0 T /2 T R 14 244 T R 4 3 0 2 1 U 2 1 T 1 T 2 2 T U 2 2 4 2 sin T 2 (0 0 ) = 4 R T R { 14444 4444 2 3 0 1 TT

u (t )i (t )dt =

1 T

T

1 1 2 t 4 sin( 2t ) 0

T /2

=

S = UI =

1 T

T

0

u 2 dt

1 T /2 2 1 2 T 2 1 U2 i dt = U sin (t )dt 0 0 T T T R2

T /2

0

sin 2 (t )dt = * ** =

U2 R 8

T U 1 1 1 1 1 1 T 2 *=U 2 t 4 sin(2t ) = U T 2 T 4 2 sin 2 T T (0 0) = 2 T 0 144 2444 4 3 0 T /2 U 1 U 1 1 1 U 1 1 T 1 T 2 T ** = t sin(2t ) sin 2 = (0 0) = R T 2 4 R T 2 2 12 4 444 4 4 4 T 2 0 R2 2 3 0

Q = S 2 P2 =18.

U4 U4 = 8R 2 16 R 2

2U 4 U 4 U 2 = 4R 16 R 2

Na otpor R (t ) = R0 + R1 sin 1t narinuta je struja valnog oblika izraza i = I sin t .

Odredite valni oblik napona na otporu kao i sve lanove pripadnog Fourierova reda.

u (t ) = R(t )i (t ) = IR0 sin(t ) + IR1 sin(t ) sin(1t ) u (t ) = IR0 sin(t ) + IR1 1 [cos(( 1 )t ) cos(( + 1 )t )] 2

a) ako zbog lakeg raunanja pretpostavimo 1 = n , n = 1,2,3... tada je da je: b) ako nije zadovoljen uvjet 1 = n tada se koeficijenti raunaju po formuli:

bk = R0 I , ak =

1 R1 I 2

un =

a0 + (ak cos kx + bk sin kx) 2 k =1 1 ak = f ( x) cos kxdx; k = 0,1,2,...

1

bk =

f ( x) sin kxdx;

k = 0,1,2,...

Teorija Mrea - 7

19. Obrazloite koji uvjeti moraju biti zadovoljeni da bi se realizirao linearni aktivni otpor? Linearnost zahtjeva da karakteristika prolazi kroz ishodite, a aktivnost da karakteristika ne prolazi kroz ishodite. Kontradikciju moemo izbjei samo tako da aktivnost definiramo u odnosu na pogodno odabranu fiksnu toku karakteristike (U 0 , I 0 ) tako da u okoliu toke vrijedi (u U 0 )(i I 0 ) < 0 .

20. U mrei sheme spoja prema slici trai se struja kroz otpor R6. Nacrtati maksimalno pojednostavljenu shemu spoja zadane mree na temelju koje se moe odrediti traena struja.

E2 E4 E2 R5 + E4 R4 + +0 ( E2 R5 + E4 R4 ) R6 R R5 R4 R5 = U6 = 4 = 1 1 1 R5 R6 + R4 R6 + R4 R5 R5 R6 + R4 R6 + R4 R5 + + Po Millmanovom tm: R4 R5 R6 R4 R5 R6 I6 = U6 E2 R5 + E4 R4 = R6 R5 R6 + R4 R6 + R4 R5

3. JEDNOPRILAZNI REAKTIVNI ELEMENTI21. Kapacitet je naponom upravljan ako se naboj kapaciteta q(t) moe izraziti jednoznanom funkcijom napona na kapacitetu, tj. q(t)=f[uc(t)]. Dokaite da je uskladitena energija naponom upravljanog kapaciteta dana izrazom:

C (t ) = uc (t )q(t )

uc (t )

0

q ( x)duc ( x) .q (t )

c (t ) =

0

uc dq = uc t

t

df dx dxt

uc () = 0 duc dx dx

c (t ) = uc (t ) f (uc (t )) f (uc ) c (t ) = uc (t )q(t ) uc ( t ) 0

qduc

Teorija Mrea - 8

22.

Odredite uskladitenu energiju kapaciteta 0,5F nabijenog na napon 10V.

Obrazloite! Energija je beskonana, tj. onolika koliku je uskladiti izvor. Po konvenciji uskladitena je beskonana energija, realno onoliko koliko uskladiti izvor. 23. Kako bi se obzirom na svojstvo upravljivosti nazvali kapacitet karakteristike na slici? Je li ovaj kapacitet aktivan ili pasivan? - Naponom je upravljan (jer tada uvijek imamo tono definiran iznos naboja) -lokalno aktivan ili kvaziaktivan vrijedi da je u2>u1 tj. napon raste a pri tome je q2 0, iL dt Lc)

diL = 0 iL = const > 0 dtI1 = Et 2L

iL (t1 ) = I1

E T iL (t ) b) I1 = t1 t1 I1 iL (T / 2 t1 ) = I1 L 24243 1t

Teorija Mrea - 11

30. Sklopke S1 i S2 periodiki i protutaktno sklapaju i to tako da je svaka od sklopki polovinu periode T uklopljena, a polovinu isklopljena. Odredite srednje vrijednosti napona na C1 i C2 ako je poznato L1, E, C1=2C2. Obrazloi.

E = U C1 (0) + U C 2 (0) jer U L1 (0) 0 I C1 I C 2 0

- shema za srednje vrijednosti

Kada je sklopka uklopljena na C je napon jednak E, kada je isklopljena onda je napon 0. Kako je pola vremena ukljuena, a pola iskljuena tada je srednja vrijednost napona E E napon na C1 = i C2 = . 2 2

31.

Zato za vremenski promjenjivi induktivitet ne vrijedi PL=0? Navesti primjer.

Vremenski promjenjivi induktivitet predstavlja model elektrike naprave za koje ne vait +T uvjet ne disipativnosti WL (t , t + T ) = u L ( x)iL ( x)dx =0 . Fizikalni mehanizam pomou t kojeg se ostvaruje vremenska promjenjivost valja shvatiti kao izvor djelatne snage (uvor). Uloeni mehaniki rad pretvara se u elektrinu energiju (npr. generatori).

Teorija Mrea - 12

4. VIEPRILAZNI DISIPATIVNI ELEMENTI (OTPORI)32.

to odreuje broj prilaza neke naprave sa 3 ili vie prikljuaka?

Broj prilaza neke naprave ovisi o primjeni naprave odnosno o vrsti spoja naprave. Npr. ako bipolarni tranzistor radi u spoju pojaala tada je on dvoprilaz, dok ako radi kao sklopka tada je jednoprilaz. (o primjeni naprave) 33. Je li zadani dvoprilaz aktivan ili pasivan?

- opteretimo sa R2 da vidimo je li dvoprilaz aktivan ili pasivan

u1 (1 A) = Ri1u1 Au1 = Ri1 u 2 + i2 R2 = 0 zanima nas : u1i1 + u 2i2 = ? u 2 = Au1

(1 A)u1 R u2 = i2 R2 i1 = i2 = u2 Au = 1 R2 R22 2

u u u1i1 + u2i2 = (1 A) 1 A2 1 R R2 u u 2 (1 A) 1 A2 1 0 : u1 R R2 1 A A2 R R2 (1 A) R2 A2 Ra) 1 A A2 b) 1 A < A22 2

0 1 uvijek je aktivan 34. Simbol OP prikazan je na slici. Zato se prikljuak 2' ne smije u analizi ispustiti i kako je on u stvarnosti realiziran. Ako ispustimo prikljuak 2' u skladu sa KZS-om i konstitutivnom Za j-tu relacijom i-=0, i+=0 vrijedilo bi ii=0 to nije tono. (KZS napravu Nj sa m-prikljuaka vrijedi da je:

ak =1

m

jk k

i = 0 .)

U stvarnosti taj prikljuak ne postoji nego se napon izlaza ui definira u odnosu na srednju toku izvora za napajanje.

Teorija Mrea - 13

35.

Odredite prijenosnu karakteristiku sklopa ui=f(u).

u i = f (u ) ud = u E u = E ui = EZ kad u > E u i = E Z kad u < E

U mrei sheme spoja prema slici a) spojena je dioda V karakteristike na slici 36. b). Odredite u-i karakteristiku mree.

a) linearni reim

b) nelinearni reim zasienje

ud = 0 i+ = i = 0 E Z ui < EZ u + ud = 0 u = 0 ui + uv + ud = 0 ui = uv i = iv za EZ u < EZ 0 < iV = f ( EZ ) u = 0 i = iv

ud > 0 ii = i+ = 0 ui = E Z > 0 u + ud = 0 u < 0 EZ + uv + ud = 0 uv < 0 i = 0 = iV uv = EZ u d

Teorija Mrea - 14

37. Odredite u-i karakteristiku zadane mree ako se idealno OP nalazi samo u linearnom reimu rada. - u-i karakteristika jednoprilaza, Rul = Linearni reim rada

u i

i+ = i = 0 ud = 0

Mrea za KZN

Mrea za KZS

3 KZN-a 1. u = iR R 2. iR1 R1 + iR 2 R2 = 0 3. uizl = iR2 R2 + iR R(1KZN ) 678 ( 2 KZS ) ( 2 KZN ) iR1 R1 (1KZS ) R1 u = iR R = iR 2 R = R = i R * R2 R2

2 KZS-a 1. i = iR1 + i 2. iR 2 = iR + i+

i = u

R2 ** R1 R

(3 644KZN ) 4 ( 2 KZS ) 74 8 (1KZN ) * ** u R 1 R R uizl = iR 2 R2 + iR R = iR R2 + iR R = ( R2 + R) = i 1 R ( R2 + R ) = u 2 1 ( R2 + R) R R2 R R1 R R2

uizl = u

R2 + R R

- linearni reim rada: EZ uizl EZR2 + R EZ R R R EZ u EZ R +R R +R 142243 1 24 42 3 EZ uu1 + u1

( ovaj element mree je vremenski ne promjenjiv, linearan, aktivan; negativni otpor)

Teorija Mrea - 15

38. Koji je linearni zavisni izvor realiziran zadanom mreom nakon to uklopi sklopka S?

ud = 0i = i+ = 0

- nakon to uklopi sklopka nema vie R2

u1 = ud = 0 - strujom upravljani element mreeu 2 = i1 R1 = i2 R1 - Strujom Upravljani Naponski Izvor

SUNI u 2 = f (i1 , R1 ) 39.

Koji je linearni zavisni izvor realiziran mreom nakon to isklopi S?- nakon to isklopi sklopka S nema vie R1u1 + u d = u R 2 u1 = u R 2 u R 2 = i1 R2 = i2 R2 = u1 i2 = u1 R2

i2 = f (u1 , R2 ) - Naponom Upravljan Strujni Izvor.

NUSI 40. Koji je element mree realiziran shemom prema slici? KZN1: u = iR 2 R2 KZN2: uC = R1iR1 KZS1: i + iR1 = i iR1 = i KZS2: iC = iR 2 + i+ iC = iR 2

u = ic R2 iC = C u =C duC dt duC di d (R1 (i ) ) d ( R1iR1 ) = CR2 = CR1 R2 R2 = CR2 dt dt dt dt di , dtL = CR1 R2

u = L

- negativni induktivitet

Teorija Mrea - 16

41.

Dokaite koji je element realiziran shemom?

ud = 0; i+ = i = 01KZN: u + ud = uC 2KZN: 0 = u R1 u R 2 1KZS: i2 = i+ + iC i2 = iC 2KZS: i = i + i1 i1 = i

u = uC =

1 1 iC dt = C i2 dt C

u R1 = u R 2 i1 R = i2 R i2 = i1 = i

u=

1 1 ( i )dt = C idt C

- realiziran je negativni kapacitet 42. Nacrtajte element mree dualan idealnom transformatoru zadanom konstitutivnim relacijama u1 = nu 2 , i2 = ni1 .i2 = ni1 u1 = nu 2

Dualan element:i1 = ni2 1 i1 n 1 u 2 = nu1 u1 = u 2 n i2 =

(kod dualnosti n=-1/n pa se mogu direktno napisati jedndbe) 43.

Dokaite da se lebdei induktivitet moe realizirati mreom:Lebdei induktivitet realiziran je giratoromu1 = ri2 u 2 = ri1

u1 = ri1 ' u1 ' = ri1 0 = uC u1 '

u 2 ' = ri2 1 u 2 = ri2 ' * i2 ' = u 2 r

u1 ' = uC

0 = i1 '+i2 '+iC i1 ' = i2 'iC du du ' d ( ri1 ) 1 u1 = ri1 ' = r (i2 'iC ) = r i2 'C C = ri2 ' rC 1 = r u 2 rC dt dt dt r u1 = u 2 + r 2 C {L

di1 di = u2 + L 1 dt dt

Teorija Mrea - 17

5. VIEPRILAZNI REAKTIVNI ELEMENTI44. Na linearnom dvonamotnom transformatoru L1=L2=100mH provedena su dva mjerenja. U prvom je mjerenju narinut na primar izmjenini napon U1ef = 100V , a na neoptereenom sekundaru izmjeren je izmjenini napon U 2 ef = 10V . U drugom mjerenju narinut je na sekundar izmjenini napon U 2 ef = 10V . Kolika je izmjerena efektivna vrijednost napona U1 na neoptereenom primaru i zato?

U1 = L1

di1 + dt

= 0 jer nema struje i2

di M 2 1 dt 2 3

di1 = M=

U1 dt L1

di di U1 = L1 1 + M 2 dt dt 13 2=0

di di U 2 = L2 2 + M 1 dt 1 dt 2 3=0

U 2 dt U 2 dt = U1 di1 dt L1

U 2 = L2

U dt di di2 + M 1 di2 = 2 L2 dt dt 1 3 2=0

U 10 M = L1 2 M = 100 10 3 = 0,01 U1 100 k= |M | 0,01 = = 0,1 3 L1 L2 100 10

U1 = M

10 10 U 2 dt U U = L1 2 2 = 100 10 3 L2 dt U1 L2 100 100 10 3

U1 = 1V

- Pojavu da uz iste induktivitete namota primara i sekundara imamo 10 puta manje inducirani napon na sekundaru moemo objasniti pomou faktora magnetske veze k0 ako H1 H 2 > 0 , tj. ako r r 0 ( H1 , H 2 ) < 90(ne translatirat vektore nego ih ''voziti '' po jarmu)

M 12 < 0 M 23 > 0 M 14 < 0

M 13 < 0 M 24 > 0

M 14 < 0

47.

Nadomjesna induktivnost paralelnog spoja dvaju magnetskih vezanih

induktiviteta dana je izrazom: Lekv = magnetskoj vezi namota Lekv = 0 ?

L1 L2 M 2 . Znai li to da je pri savrenoj L1 + L2 2M

- pri savrenoj vezi k = 1 i L1 L2 = M 2 - savrenu magnetsku vezu moe postii samo ako je broj zavoja jednak i ako ice jednog namota padaju u ice drugog. Pri tome vrijedi da je L1 = L2 = L .Lekv = L2 M 2 ( L + M )( L M ) L + M = = 2 L 2M 2( L M ) 2

1 ( L + M ) L - ovaj je izraz proporcionalan sa L to znai 2 da je postojao samo jedan induktivitet.48. Objasnite pod kojim uvjetom vrijedi da je induktivitet zavojnice od N zavoja

jednak L = N 2 L1 , gdje je L1 induktivitet jednog zavoja. Izraz vrijedi ako je magnetska veza meu njima savrena, to znai da se magnetske silnice dvaju susjednih zavoja poklapaju. Problem je to savrena veza ne postoji.

Teorija Mrea - 19

49. Nacrtajte transformatora. Savreni:

i

objasnite

nadomjesnu

shemu Idealni

nelinearnog

savrenogu1 = nu 2

transformator:

idealni + induktivitet magnetiziranja

1 i1 + i2 = 0 n

Konstruktivne relacije nelinearnog savrenog transformatora:

u1 ' = nu2 = u1 1 i1 '+ i2 = 0 n 1 1 i1 = i + i1 ' = i i2 = f (1 ) i2 n nL

nelinearni savreni savreni linearni

i

u1 = nu2

1 i1 = f (1 ) i2 n

Savreni transformator prikazujemo kao lanani spoj induktiviteta magnetiziranja L1 i idealnog transformatora. 50. Objasnite je li mogue da u linearnom dvonamotnom transformatoru protjeranom strujama i1 (t ) i i2 (t ) bude barem u jednom trenutku ukupna uskladitena energija jednaka nuli?

W1 (0, T ) = u1i1dt = L1i1di1 + Mi1di2 1230

W2 (0, T ) = u 2i2 dt = L2i2 di2 + Mi2 di1 123 4 40

(matematika i1di2 + i2 di1 = 0 ) pa dobivamo

W1 (0, T ) + W2 (0, T ) = 0

Mi di + Mi di1 2 2

1

=0drugi namot

W1 (0, T ) > 0

prvi namot se ponaa kao troilo

W2 (0, T ) = | W1 (0, T ) |< 0

se ponaa kao izvor. - faktor magnetske veze k: 0 k =

|M | 1 L1 L2

ako je k=0 ili ako su u nekom trenutku struje i1 i i2 proporcionalne.

Teorija Mrea - 20

51. Objasnite nain prijenosa elektrine energije izmeu dva galvanski odvojena sustava u periodikom reimu rada s pomou termina TM. Prijenos elektrine energije izmeu dva galvanski odvojena sustava mogu je ako postoji meuinduktivitet M 0 i drugi uvjet je da u ravnini (i1 , i2 ) postoji petlja nenulte povrine, da vrijedi i1di2 = i2 di1 0 . Drugi uvjet je da struje nisu proporcionalne tj. i1 Ai2 , A = konst. 52. Odredite snagu prenesenu linearnim dvonamotnim transformatorom troilu ako su poznati valni oblici struja namota. i = I cos t J sin t , i = I cos t ,1 1 1 2 2

te svi parametri transformatoraP + P2 = 0 1 P= 1

1 T

T

0

u1i1dt

di1 di + M 12 2 = L1 I 1 ( sin t ) J 1 cos t + M 12 I 2 (sin t ) dt dt u1i1 = L1 I 1 sin t L1 J 1 cos t M 12 I 2 sin t I 1 cos t J 1 sin t 2 2 2 2 = L1 I 1 sin t cos t + L1 I 1 J 1 sin t L1 J 1 I 1 cos t + L1 J 1 sin t cos t MI 1 I 2 sin t cos t + MI 2 J 1 sin 2 t u1 = L1

(

)

(

)(

)

sin t cos t = 0 - zbog ortogonalnosti

u1i1 = L1 I1 J1 sin 2 t L1 I1 J1 cos 2 t + MI 2 J1 sin 2 t P= 1 T 2 2 2 0 L1I1 J1 sin t L1I1 J1 cos t + MI2 J1 sin t dt T

(

)

P=

T

0 T

1 1 1 sin t = t sin 2t = t 2 4 0 22

T

0

1 1 1 cos 2 t = t + sin 2t = t 2 4 0 2 P= 1 MI 2 J1 2

T

1 1 1 1 L1 I1 J1 T L1 I1 J1 T + MI 2 J1 T T 2 2 2

Objasnite kada se dvonamotni transformator shvaa kao pasivni dvoprilaz, 53. a kada kao aktivni jednoprilaz! Je li on tada reaktivni ili disipativni jednoprilaz?

Sa strane sekundara je aktivni jednoprilaz, tada je on disipativan jednoprilaz Ako se ispituju svojstva transformatora sa gledita oba prilaza ta je on pasivan dvoprilaz. Disipativan je. (Otpori su disipativni elementi mree kao i izvori.) 54. Zato idealni transformator nije reaktivni element mree?

Idealni transformator niti rasipa niti uskladitava energiju. Prijenos energije idealnim transformatorom ne moemo objasniti koristei pojmove vezane uz reaktivne elemente.

Teorija Mrea - 21

55. Na slici je prikazana nadomjesna shema linearnog dvonamotnog savrenog transformatora pri emu je induktivitet magnetiziranja podijeljen u dva induktiviteta LA i LB. A) odredite to je dualno linearnom dvonamotnom savrenom transformatoru; B) zato je bilo nuno razdijeliti induktivitet magnetiziranja u LA i LB. Dualnost:u =i L=C iL = uC KZN = KZS

u '1 = nu '2 i '2 = ni '1KZN: u1 = u '1 = L KZS: i1 = iLA + i '1

diLA dt i '1 = ni '2 u '2 = nu '1

u 2 = u '2 = Li2 = iLB + i '2

diLB dt

KZS: i1 = i '1 = C

duCA dt

i2 = i '2 = C

duCB dt

KZN: u1 = uCA + u '1 a)

u2 = uCB + u '2

b)

LA i LB nam slue da bi mogli odrediti gubitke transformatora (iz pokusa praznog hoda odreujemo gubitke u eljezu, a iz pokusa kratkog spoja odreujemo gubitke u bakru). Poto kod transformatora moemo zamijeniti ulaz s izlazom tada ponovo moramo imati istu konfiguraciju odnosno zbog toga razdvajamo induktivitet.

6. ZAKON KOMUTACIJA56. Objasnite pod kojim uvjetima u mrei nastupa prijelazno stanje.

Promjenom mree ili nekih parametara mree nastaje prijelazno stanje. Prijelaznom stanju uvijek prethodi komutacija i prvobitno ustaljeno stanje, a slijedi novo ustaljeno stanje ili nestabilno stanje. Prijelazno stanje nastaje ako u mrei imamo L i/ili C ili npr. ako prikljuimo mreu na napon, ako kratko spojimo dio mree, nakon skokovitih promjena amplitude ili frekvencije itd.

Teorija Mrea - 22

57. Je li mrea na slici, nakon to uklopi sklopka S dobro ili loe definirana mrea?

E = L1 uc = M uc =- ako je k = 1 M = L1 L2

di di1 +M 2 dt dt di1 di + L2 2 dt dt

di 1 di1 = E M 2 dt L1 dt

EM M 2 di2 di L2 2 L1 L1 dt dtE L1 L2 L1 L2 di2 di + L2 2 , tj. postojat e skok L1 L1 dt dt

tada je uc =

napona na kapacitetu: uc (+0) =

EM pa je mrea loe definirana. L1

- ako je k 1 mogue je da uc (0) = uc (+0) tj. da je mrea dobro definirana 58. Izvedite zakon komutacije za kapacitivnu petlju.

- kapacitivna petlja je svaka petlja koja nastaje komutacijom, a tvore ju samo kapaciteti i naponski izvori. - obzirom da su naponi na kapacitetu neposredno prije komutacije nezavisni mogua su dva sluaja:

1)Prije komutacije:

u ukC kC kC

kj

(0) + ukj (0) = 0 (0) + ukj (0) 0kE kE

2)

kj

C, E skup svih kapaciteta / naponskih izvora koji NAKON KOMUTACIJE tvore j-tu kapacitivnu petlju.

Nakon komutacije vrijedi:

u

kj

(+0) + ukj (+0) = 0kE

- za naponske izvore vrijedi da je uk (0) = uk (+0) dakle pod sluaj 1 je i uc (+0) = 0 te mrea u intervalu [-0,+0] ostaje dobro definirana. U mrei 2 mora doi do skoka napona, a to je mogue samo uz beskonani impuls struje. - KZS za n-ti vor kapacitivne petlje:

ikI

kn

+ ikn + ikn + kR kL

dqn =0 kC dt

- integriramo jednadbu u intervalu [-0,+0]:

kI

+0

0

ikn dt = 0 ;

kR kC

+0

0

ikn dt = 0 ;kn

kL

+0

0

ikn dt = 0 ;

k C

dq n dt = 0 0 dt+0

- iz toga slijedi:

q

(0) = qkn (+0)kC

Teorija Mrea - 23

59. Napiite sustav jednadbi pomou kojega se mogu odrediti naponi na svim kapacitetima mree neposredno nakon uklopa S. Do uklopa svi kapaciteti nenabijeni. Kapacitivna petlja: E , C1 , C2 , C4

q (0) = q(+0)

E = uC1 (+0) + uC 2 (+0) uC 4 (+0)

q = 0 uA

C1

(+0)C1 + uC 2 (+0)C2 = 0 (+0)C2 uC 4 (+0)C4 = 0

uC1 (+0) =

uC 2 (+0)C2 C1 uC 2 (+0)C2 C4

q = 0 uB

C2

uC 4 (+0) =

E=

uC 2 (+0)C2 u (+0)C2 + uC 2 (+0) C 2 C1 C4 E

C2 C2 C +1+ C 4 1 C E uC1 (+0) = 2 C1 C2 C +1+ 2 C C4 1 uC 4 (+0) = C2 E C4 C2 C2 C +1+ C 4 1

uC 2 (+0) =

uC 3 (0) = uC 3 (+0)

Teorija Mrea - 24

60. U zadanoj mrei svi su kapaciteti do t=-0 nenabijeni. U t=0 uklopi sklopka S. Odredite napon na svik kapacitetima u t0. Loe definirana mrea 2 spremnika energ. Za loe definiranu mreu KZN: - kapaciteti ne nabijeni:

q = 0A

uC1 (0) = uC 2 (0) = uC 3 (0) = 0 , ali uC1 (+0) uC1 (0) 0Kapacitivna petlja: C1 , C2 , C3 , E

uC 2 (+0) uC 2 (0) 0 uC 3 (+0) uC 3 (0) 0 E = uC 2 (+0) + uC 3 (+0) + uC1 (+0)C2

q = 0 u q = 0 uB A

(+0)C2 + uC 3 (+0)C3 = 0 (+0)C3 + uC1 (+0)C1 = 0

C3

uC1 (+0) =

uC 3 (+0)C3 C1 uC 3 (+0)C3 uC 3 (+0)C3 + + uC 3 (+0) E = uC 3 (+0)C3 C1 C2 uC 2 (+0) = C2

E C3 C3 + C C + 1 2 1 C E uC1 (+0) = 3 C1 C3 C3 + C C + 1 2 1 uC 3 (+0) = uC 2 (+0) = C3 E C 2 C3 C3 + C C + 1 2 1

Teorija Mrea - 25

61. U t=0 uklopi sklopka S. Odredite struje primarnog i sekundarnog namota u trenutku t=+0 ako je transformator linearan i savren.M = L1 L2

E = L1

di1 di +M 2 dt dt

0=M

di1 di + L2 2 + Ri2 dt dt

di1 L di R = 2 2 i2 dt M dt M

R di L di E = L1 2 2 i2 + M 2 dt M dt M L L di RL di E = 1 2 2 1 i2 + M 2 M dt M dt di L L di L L + M 2 RL1 RL E = 2 1 2 + M 1 i2 = 2 1 2 i2 dt M dt M M 4 244 M 1 4 30

E=

RL1 i2 M

i2 (+0) =

M E RL1L2 i2 (+0) = 0 L1 i1 (+0) = L2 M E L1 RL1

Transformator je savren pa vrijedi: i1 (+0) +

62. Do trenutka t=-0 mrea je bila ustaljenom stanju. U t=0 isklopi sklopka S. Odrediti struju kroz L1 u t=+0.

L1i1 ( 0) + L2i2 ( 0) = L1i1 ( +0) + L2i2 ( +0) - zakon ouvanja tokai1 (+0) = i2 (+0) L1i1 (0) = L1i1 (+0) + L2i1 (+0) L1 E = i1 (+0)[ L1 + L2 ] R1 i1 (0) = E R1

L1E L1E L1 E R1 = = i1 (+0) = L1 + L2 R1 ( L1 + L2 ) L1 + L2 R

Teorija Mrea - 26

63.

Do t=-0 mrea je bila u ustaljenom stanju. U t=0 isklopi sklopka S. Odredite L L koliinu energije pretvorene u toplinu na sklopci. Komentirajte sluaj 1 = 2 . R1 R2 Loe definirana mrea (imamo induktivni vor)

iL1 (0) iL1 (+0) iL 2 (0) iL 2 (+0) WS = ?

iL (+0) = iL1 (+0) = iL 2 (+0)

1 2 2 W1 = [ L1i R1 (0) + L2 i R 2 (0)] 2 1 2 W2 = [( L1 + L2 )i L (+0)] 2- u ustaljenom stanju (sve veliine ili periodike ili konstantne): u L = L

diL =0, dt

iR1 =

E E ; iR 2 = , t = (0) R1 R2

= 0t = 0 t = +0 L1iR1 (0) L2iR 2 (0) = ( L1 + L2 )iL (+0) L L E 1 2 R R 2 iL (+0) = 1 L1 + L22 1 2 L1 L2 L1 L2 W = W1 W2 = E 2 + 2 ( L1 + L2 ) 2 R1 R2 R1 R2

- ako sklopci.

L1 L2 = tada R1 R2

W =

1 2 L1 L E 2 + 22 i pri tome su gubici najvei na R 2 1 R2

Teorija Mrea - 27

64. Objasnite na primjerima zato neka stvarna mrea (ureaj) koja na razini najjednostavnijih modela komponenata koje tvore tu mreu predstavlja loe definiranu mreu najvjerojatnije neu u praksi uspjeno raditi? a) Kod uzbude motora prilikom otvaranja sklopka e izgorjeti. Mogua je zatita reverzno spojena dioda. (bez diode loe definirana mrea, s diodom dobro definrana) b) Uklapanje / isklapanje tranzistora

7. MREE PRVOG REDA65. Dokaite da je u mrei sheme prema slici napon na kapacitetu od t=+0 dan

izrazom uC (t ) = uC (+0)e

t RC

+

1 t RC e u ( x)dx RC 0 iC = C duC dt

t

u = u R + uC = Ri + uC u = RC

duC du + uC RC C + uC = u dt dt

duC + uC = u dt

Pdx Pdx y '+ P( x) y = Q( x) - linearna diferencijalna jednadba; rjeenje: y = e Qe dx + C

u C ' (t ) +

1

u C (t ) =

1

u (t )

P=

1

,

Q=

u (t )

1 1 dt u (t ) dt u=e e dt + C t t 1 = e u (t )e dt + C

= Ce

t

+

1

u ( x )e t

t x +

dx u ( x)dx

= uC (+0)e

+

1

T

0

e

tx

Teorija Mrea - 28

66. U mrei sheme spoja prema slici a) djeluje izmjenini strujni izvor valnog oblika prema slici b). U t=0 isklopi S. A) Odredite valni oblik napona na kapacitetu, b) odredite valni oblik napona na kapacitetu za nekoliko razliitih trenutaka isklopa sklopke S. Interpretirajte fizikalno dobivene valne oblike; c) Odredite valni oblik napona na kapacitetu u periodikom reimu rada.

uC =

I 1 t 0 Idt = C t linearan C

c) istosmjerni odziv ne nastaje od periodinih poticaja. Uzrok posljedica. Za periodiki poticaj srednja vrijednost =0

67. Na slici je prikazan valni oblik struje kroz jedan element kapacitivne mree prvog reda nakon sklapanja sklopke u t=0. odredite najjednostavniju shemu spoja te mree.

E R I E t= i= = 2 2R t=0 i=I =68. Na slici je prikazan valni oblik struje kroz jedan element induktivne mree prvog reda. Nakon sklapanja sklopke u t=0. odrediti najjednostavniju shemu spoja.

t = 0 i = I t = i = 3I

E =I 2R E E E 3R 3 E i= = = = 2 2R R 2R 2R 2 2R 2R + R 3R E i = 3I jer I = 2R t=0 i=

Teorija Mrea - 29

69. Odredite valni oblik struje izvora ako u t=0 uklopi sklopka S. Do t=-0 mrea je bila u ustaljenom stanju. Nacrtajte mreu dualnu zadanoj.

S otvorena: E = u R1 + u R 2 + uC S zatvorena: E = u R1 + uC Dulano: S otvorena: I = iR1 + iR 2 + iL S zatvorena: I = iR1 + iL

70. U trenutku t=0 uklopi sklopka S. Odredite vremenski interval u kojem vrna vrijednost struje i2 dosegne 99% svoje ustaljene vrijednosti.

Teorija Mrea - 30

71. Na mreu prvog reda narinuta je struja valnog oblika prema slici a). Prisilni odziv mree je na slici b) i sastoji se od dvaju segmenata eksponencijalne funkcije vremenske konstante 1,44ms. Odrediti shemu spoja i vrijednosti elemenata. Mrea dobro definirana (jer je 1. reda) - induktivitet - 2 otpora

Partikularnoi L prijel = Ke st

s + 1 = 0 s = iR1 + iL = 1 R1iR1 = L diL + R2iL dt i L prijel = Ke K =?

1

t

L diL R1 + iL = R1 + R2 dt R1 + R2 iL = iL partikularno + iL stacionarnostacionarno

iL =dif. jed. Kruga

R1 + Ke R1 + R2

t

t = 0 iL = 0 K = iL = R1 1 e t / R1 + R2

R1 R1 + R2

(

)

u = R1iR1 ; iR1 = 1 iL

u= iL stac = 1 R1 R1 + R2

R1 R2 + R1e t / R1 + R2u (0) R1 = 5

(

)

t = 0 u (0) = 5V t = 2ms 2= u (2ms) = 2V

5 ( R2 + 5e 2 /1, 44 ) 5 + R2 L L = 9mH R1 + R2

R2 = 1,25

= 1,44ms =

Teorija Mrea - 31

72. Obrazloite zato je fizikalno nemogue da u serijskom RL-krugu napajanom iz istosmjernog izvora napona E i u jednom trenutku struja prisilnog odziva kruga bude vea od E/R.

E=L

di + iR dt

Prisilni odziv je linearna funkcija vanjskog poticaja, tj. E. U t=0 kada ukljuimo sklopku zavojnica nema uskladitene energije, tj. ne ponaa se kao izvor. Jedini poticaj u mrei je E. Kada bi i>E/R bio bi prekren zakon ouvanja energije. 73. U istosmjernom krugu prvog reda poznat je potpuni odziv za neku varijablu

mree y = Ae t + B, t 0 . Odredite slobodni i prisilni odziv kruga. - pronalaenje diferencijalne jednadbedy + K1 y = K 2 dt Ae t + K 1 ( Ae t + B) = K 2 e t ( K 1 A A) + K 1 B = e t 0 + K 2

K1 A A = 0 K1 = K1 B = K 2

A

A K 2 = B

=

dy + y = B dtprisi ln i } } pretpostavka : y = y1 + y 2 slobodni

- iz definicije prisilnog odziva y2 (+0) = 0

y1 (+0) = y (+0) = Ae 0 + B = A + B y1 = Ke t y1 (+0) = A + B = Ke 0 = K y2 = y y1 = Ae t + B Ae t Be t = B(1 e t )y1 = ( A + B)e t t 0 SLOBODNI ODZIV y2 = B(1 e t ) t 0 PRISILNI ODZIV

Teorija Mrea - 32

74.

Krug prvog reda opisan je diferencijalnom jednadbom

dy + y = Ae t . dt

Odredite potpuni odziv ako je y (0) = y0 .

dy + y = 0 dt

mrtva mrea (slobodni odziv)

y slob = Ke ty pris = Ate t

y = yslob + y pris y = Ke t + Ate t y (0) = K 1 + 0 = K y = ( y0 + At )e t

75. Odredite koliinu energije pretvorene u toplinu u otporu R nakon uklapanja sklopke S u t=0.

uC1 (0) = u0 uC 2 (0) = 0

( 0) = C 1 u 0 2

1 2 C1u C1 (0) + C 2 u C 2 (0) = C1u C (+0) + C 2 (+0) 14 4 2 30

u C1 (+0) = u C 2 (0) = u C (+0) =

C1 C1 u C1 (0) = u0 C1 + C 2 C1 + C 22 2

C1 1 1 1 2 C1 2 u0 = u0 (+0) = (C1 + C 2 )u C 2 (+0) = (C1 + C 2 ) 2 C1 + C 2 2 2 2 (C1 + C 2 ) C1 1 1 2 C1 1 2 2 = C1 u o 1 W R = ( 0) ( + 0) = C 1 u 0 u 0 C +C C1 + C 2 2 2 2 1 2 2

Teorija Mrea - 33

76. Od trenutka t=+0 kapacitet C prethodno nabijen na U0 prazni se u jednom sluaju preko linearnog vremenski ne promjenjivog otpora R, a u drugom sluaju

U preko otpora konstantne snage zadanog izrazom: u R iR = 0 . Nacrtati valne oblike R napona na kapacitetu za t +0 u oba sluaja.

2

a)

b)

R=R du i=C C dt du U = RC C dt t / U = U 0e

U U 1 u R iR = 0 i R = 0 R UR R du R U 0 dt = dt R C 2 U udu = 0 dt RC 2 U u2 = 2 0 t RC 2t u = U0 =K t RC uRC2

2

2

a)

= RC

b)

Teorija Mrea - 34

8. MREE DRUGOG REDA SLOBODNI ODZIV77. Odredite faktor guenja i vlastite frekvencije mree.

iL + iC = iR 1 iC dt = 0 C di RiR + L L = 0 dt RiR + 1 iC dt = 0 C d RiR + L (iR iC ) = 0 dt RiR +iR = K1e st RK1e st + iC = K 2 e st iL = ( K1 K 2 )e st1 st K 2e dt = 0 C d RK1e st + L( K1 K 2 ) e st = 0 dt

1 1 K 2 e st = 0 C s st RK1e + LK1se st LK 2 se st = 0 RK1e st +11 K2 = 0 Cs ( R + Ls ) K1 LsK 2 = 0

RK1 +

R R + LS

1 1 1 ( R + Ls ) = 0 (Cs ) C s = RLs Cs LS

s 2 RLC + R + Ls = 0 s 2 RLC + sL + R = 0 : RLC 1 1 =0 s+ RC LC 1 2 = RC s2 +

faktor guenja

=

1 2 RC

vlastita frekvencija mree

0 =

1 LC

Teorija Mrea - 35

78.

Odredite faktor guenja i vlastitu frekvenciju mree. - faktor guenja i vlastita frekvencija 0 su neovisni o poticaju ukinemo poticaj.

R1iL1 + L1KZN:

u R2 iL1 iL 2 R1iL1 + L1

diL1 di + L2 L 2 = 0 dt dt diL 2 = u L 2 = L2 = iR 2 R2 dt

KZS: iL1 = iL 2 + iR 2

L2 diL 2 =0 R2 dt diL1 di + L2 L 2 = 0 dt dt K1e st K 2 e st L2 sK 2 e st = 0 R2

iL1 = K1e st iL 2 = K 2 e st

R1 K1e st + L1sK1e st + L2 sK 2 e st = 0 L K1 1 + s 1 K 2 = 0 ( R1 + sL1 ) R2 ( R1 + sL1 ) K1 + sL2 K 2 = 0 ; K1 , K 2 0

L 1 + s 1 (R1 + sL1 ) = sL2 R2 R R R RR s 2 + 1 + 2 + 2 s + 1 2 = 0 L L L L1 L2 2 44 1 44 { 11 2 3 22

0

Teorija Mrea - 36

79.

Odredite prirodne frekvencije mree.

iRC = iC iR 1 iC dt + iR R = 0; iR = iC iRC C 1 iR R iRC R iRC dt = 0 C 1 iC dt + iC R iRC R = 0 C 1 iC R iRC R iRC R iRC dt = 0 C 1 1 K1 e st + K1e st R K 2 e st R = 0 C s 11 K1e st R 2 K 2 e st R K 2 e st = 0 Cs 11 K1 + R K2R = 0 C s 1 1 K1 R K 2 2 R + =0 C s 1 1 11 2 + R 2 R + + R = 0 C s C s 2R 1 R 2 2 2R 2 + R 2 = 0 (C 2 s 2 ) Cs C s Cs 2 RCs + 1 + R 2C 2 s 2 + RCs = 0 s 2 R 2C 2 + s (3RC ) + 1 = 0 : R 2C 2 s2 + s 3 1 + 2 2 =0 RC R2 { 1C 32

iC = K1e st iRC = K 2 e st iR = ( K1 + K 2 )e st

0

s1, 2 = 2 0 s1 = s1 =

2

3 9 1 3 94 3 5 2 2 = = 2 2 2 2 2 RC 4R C RC 2 RC 4R C 2 RC 2 RC s2 = 3+ 5 2 RC

3 5 2 RC

Teorija Mrea - 37

80.

Odredite prirodne frekvencije mree.

i2 = i3 = iL di L L R2iL = 0 dt 2 d q R2 dq =0 dt 2 L dt R s2 2 s = 0 L

s1, 2 = s1 = 0 s2 =

R2 R2 R R = 2 2 2 2L 4L 2L 2L

2

R2 L

81. Kondenzator kapaciteta C poetno nabijen na napon U0 prazni se od t=0 preko otpornika R. Idealni valni oblik struje pranjenja dan je na slici. Nacrtajte i objasnite neke od moguih valnih oblika struje pranjenja. Za primjer emo se posluiti otpornikom snage koji je izveden od puno zavoja debele ice, pa osim to ima svojstvo otpora, javlja se i svojstvo induktiviteta. Moemo nacrtati nadomjesnu shemu: Krug 2. reda diferencijalna jednadba drugog reda. Za varijablu stanja je zgodno odabrati struju iL je ista na svim elementima. - donju granicu integrala - moemo zamijeniti s nulom ali moramo paziti na u0

.uC + u L + u R = 0 1 t di iL (t )dt + L dtL + RiL = 0 Cdi d 1 t 0 iL (t ) u0 + L dtL + RiL = 0 dt C d 2i di 1 iL + L 2L + R L = 0 C dt dt

R2 1 > 0 - prirodne frekvencije su a) 2 4 L LC realni brojevi aperiodksi odziv R2 1 < 0 - prirodne frekvencije su 2 4 L LC konjugirano kompleksni brojevi oscilatorni odziv.(poto je >0 oscilatori odziv je priguen)b)

d iL R diL 1 + + iL = 0 2 dt L dt LC2

s2 +

R 1 s+ =0 L LC R ; L

2 = s1, 2 =

0 2 =

1 LC

R R2 1 - prirodne frekv. mree 2 2L 4 L LC

Teorija Mrea - 38

82. Odredite otpor slabo priguenog serijskog RLC kruga ako je poznat L, C, a vrna vrijednost napona na C se nakon 5 perioda istitravanja smanji na 10% poetne vrijednosti.

1 Am = = 10 Am + n 0,1 T= 2

n=5

d

= 2 LC

d 0

=

A R 1 1 2,3 0,073 = ln m = = ln 10 = 2 L nT Am + n 5 2 LC LC 10 LC

R 0,073 L = R = 0,146 2L C LC

Teorija Mrea - 39

83.

Odredite faktor dobrote slabo priguenog titrajnog kruga.

1 iC dt = 0 C di iR R2 + iRL R1 + L RL = 0 dt iR R2 + iR R2 + 1 iC dt = 0 C d (iR iC ) = 0 dt

iR = iC + iRL iRL = iR iC

iR = K1e st iC = K 2 e st

iR R2 + iR R1 iC R1 + LK1e st R2 +

1 1 K 2 e st = 0 : e st 0 C s st K1e R2 + K1e st R1 K 2 e st R1 + L( K1 K 2 ) s e st = 0 : e st

K1 R2 = K 2

1 1 C s

K2 = R2Cs K1 K 2 R1 + R2 + Ls = K1 R1 + Ls

K1 ( R1 + R2 + Ls ) K 2 ( R1 + Ls ) = 0 R2Cs = R1 + R2 + Ls R1 + Ls

R1 R2Cs R2CLs 2 = R1 + R2 + Ls s 2 ( R2CL) + s ( R1 R2C + L) + ( R1 + R2 ) = 0 : ( R2CL) R R C + L R1 + R2 s 2 + s 1 2 R CL + R CL 4243 42 4 1 42 4 1 2 32

0 2

R1 + R1 R2CL = Q= 0 = 2 R1 R2C + L R2CL

R1 + R2 R2CL R1 R2C + L

Teorija Mrea - 40

84. Odredite faktor dobrote serijskog RL-kruga prikljuenog na izmjenini izvor frekvencije f.

Faktor dobrote: Q = 2

uskladitena energija u krugu (t ) = 2 disipirana energija u krugu u periodi T (t ) (t + T )

L ,mag = LI L 2 PRT = 1 2 RI L T 2

1 2

( L je L / VNP ) jer je P = RI 2 uz I = I L

1 2 LI L 2 L L = = Q = 2 2 1 2 T R R RI L T 285. Koji uvjet mora biti zadovoljen da bi u istosmjernoj mrei sheme spoja prema slici bio ostvaren periodiki reim rada? Periodiki reim rada zadovoljen je ako je

t +T

t

Ri 2 dt = 0 . Ovaj

se uvjet moe zadovoljiti samo ako je R = R(t ) 0 . Otpor R >mora biti vremenski promjenjiv, ali tako da u dijelu periode T iskazuje svojstvo pasivnog otpora, a u dijelu periode T svojstva aktivnog otpora.

9. MREE DRUGOG REDA POTPUNI ODZIV86. Zato je poznavanje slobodnog odziva dovoljno da bi se odredio potpuni odziv istosmjerne mree. Poznavanje slobodnog odziva dovoljno je da se odredi potpuni odziv istosmjerne mree u kojoj je istosmjerni naponski izvor spojen u seriju s kapacitetom ili istosmjerni strujni izvor spojen u paralelu s induktivitetom, jer sa stajalita analize nema razlike izmeu poetnog napona na kapacitetu i nezavisnog izvora, odnosno poetne struje kroz induktivitet i nezavisnog strujnog izvora spojenog paralelno induktivitetu.

Teorija Mrea - 41

87.

Zato valni oblici odziva u prijelaznom stanju ne ovise o valnim oblicima poticaja? Objasniti na primjeru RL kruga ukljuenog u t=0 na izvor u = U sin t .

ustaljeno stanje

+

prijelazno stanje

Za krugove s konstantnim ili periodikim poticajem za odreivanje prijelaznog stanja rjeavamo homogenu diferencijalnu jednadbu, dakle ne sudjeluje poticaj. Valni oblici ovise iskljuivo o prirodnim frekvencijama kruga. ( poticaj ne igra ulogu u prijelaznom stanju, dok poetni uvjeti imaju utjecaja) 88. Nacrtajte najjednostavniju shemu spoja mree napajane iz istosmjernog konstante

naponskog izvora pri emu je struja izvora i = I 0 + I1e 1t + I 2 e 2t . Odziv: I 0 , I1 , I 2

1 , 2 > 0Poticaj: istosmjerni naponski

Ustaljeno stanje: i istosmjerno;t = i = I 0 (mogua 2 rjeenja)

Prijelazno stanje: 1 , 2

mrea 2. reda

(mogue da se pojave LC, LL, CC) - moram paziti da ne dobijemo kratki spoj, i da imamo mreu 2. reda tj. da se od dva C ne moe napraviti nadomjesni C).

Rjeenje:

Teorija Mrea - 42

89. Nakon uklopa koje sklopke ili grupe sklopki se moe u mrei sheme prema slici postii samo prigueni odziv neovisno o vrijednostima elemenata mree? Mogue dvije mogunosti: - APERIODSKI ODZIV - PRIGUENI ODZIV : ako je > 0 i prirodne frekvencije s1 i s2 su dva realna broja. - ako uklopi S2 mrea je prvog reda, odziv je eksponencijalan (nije mogu ni prigueni ni aperiodski odziv) - ako uklopi S1 mrea drugog reda

- ako je R1 0q1

q2

uC , q punjenje C troilo, pasivanE

WR =

uC 2 = E

uC 1 = 0

qduC = AuC duC = A2 0

uC 3

3 E

=A0

E 3

3

- nelinearan, vremenski nepromjenjiv, pasivan

Teorija Mrea - 44

92. Na serijski RC krug narinut je napon valnog oblika prema slici. Koji uvjet mora biti zadovoljen da bi se snaga disipirana na otporu s dovoljnom tehnikom tonou mogla izraunati prema izrazu: PR = fCU 2 , f =

? 2

(Karakteristika kapaciteta)

/2

3/2

2

t

1 PRC = T

T

0

T /4 du C U u 1 u RC iC dt = 2 u RC C RC dt = 2 u RC du RC = 2 fC RC 0 0 T dt T 2

2 U

2 = fCU0

iC = C

du RC du iC = C C ako je T >> RC uC u RC dt dt

Mora biti zadovoljen uvjet da je T >> RC (tada "odmah" nastupa ustaljeno stanje tj. napon

uC u RC ) inae bi disipaciju morali raunati po I 2 R .93. Koliina energije predana serijskom RC krugu iz izvora valnog oblika napona do t=0 do uspostava ustaljenog stanja iznosi:

u = E (1 e t / T ); T > 0

1 T + 2 RC . Odredite koliinu energije disipiranu na otporu R te WE = CE 2 2 T + RC komentirajte sluaj T>>RC i TRC (odmah nastupa ustaljeno stanje)

2) T WR 0

T Ovaj kut je uvijek:

4 ( L C ) . 2P

2

( Z ( j ))

2

& & U = Z I , tako je maksimalni fazni pomak izmeu U i I ( Z ( j )) . 2 2126. Koji uvjeti moraju biti zadovoljeni da bi u jdenopirlaznoj mrei sloenosti po volji nastupila fazna rezonancija, a koji da bi nastupila prava rezonancija.Z ( j ) = 2 P + j 4 ( L ' C ' ) , Z(j) impedancija opeg jednoprilaza, L ' - srednja 2 I1

magnetska energija

uskladitena u svim induktivitetima mree, C ' - srednja

elektrostatika energija uskladitena u svim kapacitetima mree M. - fazna rezonancija nastupa pod uvjetom da je L ' = C ' - ako npr. je L ' C ' , ali je razlika | L ' C ' | mala u odnosu na L ' odnosno C ' , tada smo sigurni da smo u okoliu toke fazne rezonancije. Ako je istodobno

P

malen u odnosu

prema L ' odnosno C ' , tada se sigurno nalazimo u blizini maksimuma amplitudnih karakteristika. (Uoimo da se pri T

R U C = U R RI (0) = E U L + U C U = U E = (1 ) E

iL I (0) =

E

U C je konstantna i ne mijenja se preklopom sklopke pa i kroz R tee konstantna struja. U = E E = (1 ) E

(1) T T

Teorija Mrea - 64

134.

Odredite valni oblik struje troila za dva granina sluaja a) Nadomjesna shema

L L > T . R R

u=Usintpozitivni poluval

2

t

V1 i V2 su idealne a)

negetivni poluval - tu se krije vieharmonijski signal, ne rjeavati fazorima

L >> T R

u LR = u L + u R u LR = L diL + Ri L : R dt L diL u 1 + iL = LR R dt R T L / R diL u LR 1 = iL T dt 4 4 T 1R2 3konaon

U LR (0) = U L (0) + U R (0) U L (0) 0 U (0) = U R (0) = I L (0) R iL = konst I L (0) 1 U sin t dt = 2 0 U (cos t ) = U [1 (1)] = U U (0) = 0 2 2 U (0) = I L (0) = U R

L L/ R >> T R T di mora L 0, tj. iL = konst. = I L = I L (0) dt

2

t

L T/2. KZN, KZSu = uV 1 + ud 0 = uV 2 + u d id = iV 1 + iV 2 ud = L did + Rd id dt

Postoje 4 mogua naina intervala rada:

a) V1 i V2 vode b) V1 ne vodi, V2 ne vodi c) V1 vodi, V2 ne vodi d) V1 ne vodi, V2 vodi

a) uv2=0

ud=0 & uv1=0

u=0, a u0 nije mogu

b) id=0 ud=0 uv2=0 (mogue u ishoditu) , uv1=u (ne vodi ako je negativna poluperioda). b) mogue ako U0. d) uv2=0 ud=0 ne smije voditi v1 uv1 t 1

a) i (t ) = 0 s (t ) +

t

0 t1

E s (t x)dx tl1

0 t t1 t > t1

b) i (t ) = 0 s (t ) +

0

t E E s (t x)dx + s (t x)dx t1 t t1 1

195. Na ulazu dvoprilaza djeluje impuls napona prikazan na slici. Odredite valni oblik napona na izlazu dvoprilaza u intervalu t1 t < .

s (t ) = h(t ) =

u2 = u1

R

E RC e t R =e Et

t

ds 1 = e dt 0

t1 t1 1 u 2 (t ) = u1 ( x)h(t x)dx = E e0

tx

dx

t t 1 u 2 (t ) = E 1 e e

Teorija Mrea - 90

196.

Odredite odziv struje serijskog RC kruga na jedinini impuls napona.

iR +

i (t ) = u ( x)h(t x)dx0

t

d 1 t 0 i( x)dx =1 dt C di 1 R + i=0 dt C di 1 = dt i RC

i = Ke t / i (+0) = K Ri = 1 i = 1 =K R

i (t ) =

1 RC = s (t ) e R t ds 1 1 RC = h(t ) = e dt R RC h(t ) = 1 e R 2Ct

t

197. Koji uvjeti moraju biti zadovoljeni da bi se mree mogle analizirati pomou superpozicijskih integrala? Svi pasivni elementi mree moraju biti linearni i vremenski nepromjenjivi. 198. Kako primijeniti superpozicijske integrale ako analizirana mrea nije mrtva?

Tada mreu teoremom superpozicije rastavimo na onoliko mrea koliko treba da svaka bude mrtva i rijeimo svaku posebno.

199. Koji su osnovni razlozi za primjenu Laplaceove transformacije u analizi mrea? Laplaceova nam transformacija omoguuje da se integro-diferencijalne jednadbe mree pretvore u algebarske jednadbe, te doputa u analizi razne vrste poticaja i omoguuje dobivanje potpunog odziva.

Teorija Mrea - 91

200. U kojim je sluajevima nuno da donja granica definicijskog integrala Laplaceove transformacije bude t=-0? Ilustrirati primjerom. Kod loe definiranih mrea samo izbor t=-0 kao donje granice definicijskog integrala omoguuje da dobijemo rjeenje. Ako je mrea dobro definirana ne postoji diskontinuitet poetnih uvjeta, tada je nebitno je li donja granica t=-0 ili t=+0.i1 (0) = E R1

i2 (0) = 0 i1 (+0) = 0 t +0

I : E = i1 R + L1

di1 di + M 2 + us dt dt di di II : 0 = R2i2 + L2 2 + M 1 dt dtt=+0

t=-0, II .0 = R2 I 2 ( s ) + sL2 I 2 ( s ) L2i2 (0)+ sMI 2 ( s ) Mi1 (0)=0 =0

0 = R2 I 2 ( s ) + sL2 I 2 ( s ) L2i2 (+0) + sMI1 ( s ) Mi1 (+0)=0 =0

0 = R2 I 2 ( s ) + sL2 I 2 ( s ) Mi1 (0) I 2 (s) = 1 Mi1 (0) Mi1 (0) = R R2 + sL2 L2 s+ 2 L2 Mi1 (0) M E e = e L2 L2 R1t t

I 2 ( s ) = i2 (+0)

1 R s+ 2 L2 t

i2 (t ) = i2 (+0)e

i2 (t ) =

i2 (+0) ne znamo pa ne moemo rijeiti

zadatak

Teorija Mrea - 92

201.

dx + x = A dt obliku zbroja slobodnog i prisilnog odziva.Rijeite diferencijalnu jednadbun n 1 n2

x(0) = B i iskaite rjeenje u

Laplaceova transformacija deriviranja:f (t ) = s F ( s ) s f (0) s dx f ' (t ) = = sX ( s ) X (0) dt ( n =1)n

f ' (0)... f

( n 1)

( 0)

dx + x = A dt sX ( s ) X (0) + X ( s ) = ( s + ) X ( s) = A +B s A s

x X (s ) s (t ) f ija jed . skoka A A s

X ( s) =

A B + s( s + ) s + Prisilni odziv

Slobodni

Prisilni - jer je A u dif. jed. poticaj, a slobodni - jer je B posljedica akumulirane energije u reaktivnom elementu mree.

1 1 e t / T L1 sT + 1 T 1 X (s) = 1 e t / T 1 s ( sT + 1) L X (s) =

1 A A A (1 e t ) = L1 L1 s(s + ) 1 s + 1 B 1 B 1 = Be t L1 =L s +1 s +

x( s ) = Bet +

A

(1 e t )

xs = Be t ,

x pr =

(1 e ) At

202.

Prvi korak pri odreivanju Laplaceove transformacije neke periodike funkcije f (t ) 0 t T f (t ) = f (t + T ) je da se uvede nova funkcija f1 (t ) = za koju vrijedi da t >T 0

je f [ f1 (t )] = F1 ( s ) . Provedite postupak odreivanja Laplaceove transformacije do kraja.

L[ f (t )] = e st f (t )dt

L[ f1 (t )] = F1 ( s ) k =0

0

f (t ) = f1 (t kT ) S (t kT ) L[ f (t )] = F1 ( s )e kTs = F1 ( s ) e kTs =F1 ( s )k =0 k =0 geometrijski red

1 1 e Ts

Teorija Mrea - 93

203.

Odredite Laplaceovu transformaciju pravokutnog napona prema slici?Ts 1 1 E (1 e ) u1 = Es(t ) Es(t T ) L[u1 (t )] = E e Ts = s s s 1 e Ts L[u (t )] = E s (1 e Ts )

T

T

T

ili ?T

L[u (t )] =

F1 ( s ) E 1 e sT = 1 e st s 1 e sT E st e sT

F1 ( s ) = Ee st dt = 0

T

=0

E s T E e 1 = 1 e sT s s

(

)

(

)

204.

Odredite Laplaceovu transformaciju pilastog napona prema slici.u1 = E E t S (t ) E S (t T ) (t T ) S (t T ) T T vremenski pomak : L[ f (t a) S (t a )] = e as F ( s ) L[u1 (t )] = E 1 e Ts E e Ts 2 E = U1 ( s ) T s s T s2

T

2T

T

E 1 e Ts E e Ts 2 E U1 ( s ) T s s T s2 = U (s) = 1 e sT 1 e sT

205. Odredite Laplacovu transformaciju impulsa jedinine povrine prikazanog na slici. emu je jednaka Laplacove transformacija impulsa ako 0 .1/

u(t)

prikazati preko f-je jedinine stepenice S(t)

u (t ) =1/

1

[S (t ) S (t )]direktna L.t .

1 1 1 s 1 e s L[u (t )] U ( s ) = e = s s s 01/

lim U ( s ) = lim 0+

1 e s 0 = 0 s 0

kada sumiramo dvije jed. stepenice dobijemo f-ju1/

(t )dt = 1

(t) - diracova f-ja

Teorija Mrea - 94

206.

Odredite i nacrtajte 1 F ( s ) = (1 e s ) 2 . s

funkciju

f(t)

Laplaceova

transformacija

koja

je

F (s) =

2 1 1 2e s + e 2 s 1 e s e 2 s = 2 + 1 es = s s s s s f (t ) = S (t ) 2 s (t 1) + s (t 2)

(

)

207.

Ako

je L[sin t ] =

(s + 2 )2

odredite

Laplaceovu

transformaciju

funkcije

U sin t 0 t / . u (t ) = / t < 0 u1 = U sin t s (t ) + U sin t s t / 2/

s +2 s U 1 + e L[u1 (t )] = 2 s +2 L[sin t ] =2

208.

Struja

neke

grane

mree

dana

je

u

frekvencijskom

podruju

I ( s) =

b0 s 2 + b1s + b2 . Svi koeficijenti su realni i pozitivni. to se sve moe zakljuiti a0 s 2 + a1s + a2

o toj mrei samo na temelju zadanog izraza prije transformacije funkcije I(s) u vremensko podruje? - teorem konane vrijednosti: lim f (t ) = lim s F ( s )t s 0

b0 s 3 + b1s 2 + b2 s 0 lim s F ( s ) = lim = = 0, s 0 s 0 a s 2 + a s + a a2 0 1 2- teorem poetne vrijednosti: lim f (t ) = lim s F ( s )t 0 s

i ( ) = 0

stabilnost mree

b b 1 b0 + 1 + 2 b0 s 3 + b1s 2 + b2 s s 3 s s 2 = b0 = , i (0) = + lim s F ( s ) = lim = s s a s 2 + a s + a a0 a1 a2 1 0 0 1 2 + 2+ 3 3 s s s s

skok struje

LDM

Teorija Mrea - 95

209.

Objasniti vezu izmeu Laplaceove transformacije i fazorske transformacije.

Ako su svi poetni uvjeti u t=-0 jednaki nuli, pravila Laplaceove transformacije identina su pravilima fazorske transformacije samo se varijabla s zamjeni sa j. Npr. za serijski RLC krug Fazorska transformacija:

[(

2 0

2 & & 2 ) + j 2 U C = 0 U 2 2

]

Laplaceova transformacija: [ s 2 + 2s + 0 ]U C ( s ) = 0 U ( s ) Ako se stavi s=j jednadbe su potpuno istog oblika, ali imaju posve razliita znaenja. 210. Vrijedi li KZ za napon i struju u frekvencijskom s-podruju? Posjeduju li pojmovi transformiranih napona i struja fizikalni smisao? Laplaceova transformacija je linearna transformacija pa za nju vrijede KZ. Transformirani napon i struja nemaju fizikalni smisao jer zapravo oni i nisu naponi i struje. Dimenzija transformiranog napona je Vs, a struje As. 211. Pod kojim uvjetom svaki reaktivni element u frekvencijskom podruju ponaa kao otpor. Pod uvjetom da je mrea mrtva, tj. da su svi poetni uvjeti (iL i uC) jednaki nuli.u L = sLI L ako su pooet uvjeti 0 , (ako je mrea mrtva) iC = sCU C

212.

Objasnite mogue prikaze kapaciteta u frekvencijskom podruju.

a) pomou transformirane impedancije Z C (s )

b) pomou transformirane admitancije

U C ( s) =

U (0) 1 I C (s) + C sC s

I C ( s ) = sCU ( s ) CU C (0)

- matematiki izraz ima isti oblik ako Ohmov 1 zakon za napon U C (s ) na otporu kroz koji sC prolazi struja I C (s ) i u seriju s kojim je ukljuen naponski izvor

U C (0) s

Teorija Mrea - 96

213.

Objasnite mogue prikaze induktiviteta u frekvencijskom podruju.

a) pomou Z L (s )

transformirane

impedancije b) pomou transformirane admitancije YL (s )

U L ( s ) = SLI L ( s ) LiL (0)

I L ( s) =

1 i (0) U L (s) + L sL s

214. Moe li se za bilo koji napon narinut na oba jednoprilaza pronai razlika u valnom obliku struje? Obrazloite.

Teorija Mrea - 97

215. Pomou teorema o poetnoj vrijednosti odredite poetne vrijednosti struja i1 (+0), i2 (+0) kroz otpore R1 i R2 nakon uklopa sklopke u t=0 i to za sluajeve: a)

M 2 < L1 L2 , b) M 2 = L1 L2E = R1 I1 ( s ) + sL1 I1 ( s ) L1i1 (0)+ sMI 2 ( s ) Mi2 (0) s =0 =0 0 = sMI1 ( s ) + sL2 I 2 ( s ) + R2 I 2 ( s ) E = I1 ( s )[ R1 + sL1 ] + I 2 ( s ) sM s 0 = I1 ( s ) sM + I 2 ( s )[ sL2 + R2 ] = R1 + sL1 sM sM = ( R1 + sL1 )( R2 + sL2 ) s 2 M 2 R2 + sL2 sM R2 + sL2 = E ( R2 + sL2 ) s

E 1 = s 0 2 =

R1 + sL1 sM

E E s = sM = EM s 0

E ( R2 + sL2 ) 1 sEL2 + ER2 s = = I1 = 2 2 2 ( R1 + sL1 )( R2 + sL2 ) s M sR1 R2 + s R1 L2 + s 2 L1 R2 + s 3 L1 L2 s 3 M 2 I2 = EM 2 = R1 R2 + sR1 L2 + sL1 R2 + s 2 L1 L2 s 2 M 2i1 (+0) = 0 0 = 0 i2 (+0) = 0 L1 L2 M 2

lim I1 = 0,

a)

s

lim I 2 =s

i1 (+0) +b)

L2 i2 (+0) = 0 L1 ER2 L1 R2 + L2 R1 i2 (+0) = EM L1 R2 + L2 R1

i1 (+0) =

Teorija Mrea - 98

216.

Odredite valni oblik struje induktiviteta L1 nakon to isklopi sklopka u t=0. to L L se dogaa ako je 1 = 2 ? R1 R2

i1 (0) =

E R

i2 (0) =

E R2 E E + L2 R1 R2

( sL1 + sL2 + R1 + R2 ) I S ( s ) = L1

R R E L2 R1 2 L1 R2 1 R1 t R2 e i (t ) = ( L1 + L2 ) R1 R2 i (t ) = E L2 L1 t e L1 + L2 R2 R1 L L ako je 1 = 2 i (t ) = 0 R1 R2

L2 R1 L1 R2 L2 R1 L1 R2 E R1 R2 ( L + L2 )( R1 + R2 ) I S ( s) = = 1 RR R1 + R2 + s ( L1 + L2 ) s+ 1 2 L1 + L2 123

217.

Odredite valni oblik napona na C2 ako u t=0 sklopka preklopi iz 2 u 1. ustaljeno stanje(prije prebacivanja sklopke) :

U C1 (0) = E U C 2 (0) = 0 1 E E = I ( s ) R + I C1 ( s ) + s sC1 s U C 2 ( s ) = I C1 ( s ) 1 1 E + = I C 2 (s) sC1 s sC2- svoenje na parcijalne razlomkeC1 Es A B C1 + C2 = + U C 2 ( s) = s s+ 1 1 s s + E C1 1 Es A s + + Bs = + C1 + C2 E

+

I ( s ) = I C1 ( s ) + I C 2 ( s ) 1 + sR (C1 + C2 ) E = U C 2 ( s ) s 1 + sRC 1 U C 2 (s) = E 1 + sR1C1 = s 1 + s E

= R (C1 + C2 )R=

1 E A = A = E;

C1 + C 2

B = E

C2 C1 + C2

s s +

1

+E

R C1 1 + s

U C 2 ( s) =

E C2 E s C1 + C2 s + 1

U C 2 (s) =

E C1 E + 1 1 C1 + C2 s+ s s +

C2 L1[U C 2 ( s )] = E Ee t / C1 + C2

C2 t / uC 2 (t ) = E 1 C +C e 1 2

Teorija Mrea - 99

218.

Odredite valni oblik struje kroz R2 nakon isklopa sklopke u t=0.

i1 (0) =

E R1LDM

i2 (0) = 0 i2 (+0)

vezani induktiviteti:

M >0 U1ekv = L1i1 (0) + M i2 (0)=0

U 2 ekv = L2i2 (0)+ Mi1 (0)=0

( sL2 + R2 ) I 2 ( s ) = U 2 ekv = M I 2 (s) = M

E R1

E ME 1 1 = R1 sL2 + R2 L2 R1 s + R2 L2

=

L2 ME 1 I 2 ( s) = E2 L2 R1 s + 1

ME 1 L [ I 2 ( s )] = L 1 L2 R1 s + 1 1

i2 (t ) =

ME t / e L2 R1

219. Zato je pri rjeavanju neke mree s pomou metode jednadbi struja petlji zgodno sve poetne uvjete prikazati kao naponske izvore? Ako poetne uvjete prikaemo kao naponske izvore svaka mrea sa reaktivnim elementima ponaa se kao otporna mrea i lake ju je analizirati i bre dolazimo do rjeenja. Broj petlji ostaje isti uz minimalan broj jednadbi. 220. Zato je pri rjeavanju neke mree pomou metode jednadbi napona vorova zgodno sve poetne uvjete prikazati kao strujene izvore? Transformirana mrea ponaa se kao otporna mrea. Broj vorova ostaje isti uz minimalan broj jednadbi.

Teorija Mrea - 100

221. Pod kojim uvjetima vrijedi definicija funkcije mree? Koja je osnovna razlika izmeu definicije funkcije mree u frekvencijskom s-podruju u odnosu na definiciju funkcije mree u frekvencijskom podruju? Definicija funkcije mree vrijedi za svaku linearnu vremenski nepromjenjivu mreu u kojoj djeluje samo jedan nezavisni izvor.

H (S ) =

L[prisilni odziv] R( s ) = L[poticaj] E ( s)

U frekvencijskom -podruju funkcija mree H(j) je kompleksni broj koji pomoen s fazorom poticaja daje fazor odziva, a u mrei koju karakteirzira H(s) svi poetni uvjeti jednaki su nuli i u mrei nema unutarnjih nezavisnih izvora. 222. Koji je fizikalni smisao polova i nula funkcija mree?

Polovi definiranju valni oblik odziva, a nule veliine svakog dijela odziva. polovi su podskup frekvencija iz skupa prirodnih frekvencija odziva. 223. to su to prirodne frekvencije varijable mree r(t)? Ilustrirajte primjerom.

Odziv se sastoji od valnog oblika u kojem se nalaze frekvencije pi koje ovise samo o funkciji mree i zovu se prirodne frekvencije varijable mree r(t).R 1 1 R s 2 + 1 + 2 s + 1 + 1 =0 R2 LC L R C

prirodne frekvencije varijable i2 (t ) su rjeenja ove karakteristine jednadbe ako je poticaj naponski izvor u1 (t ) to proizlazi iz Y21 =

I 2 (s) . U 2 (s)

Y21 =

I 2 (s) U 2 (s) I 2 (s) pa je rjeenje ove karakteristine I1 ( s )

ako je poticaj srujni izvor, funkcija mree je 21 ( s ) = jednadbe jedna prirodna frekvencija.

Neki broj S1 prirodna je frekvencija varijable mree x(t) ako za neko poetno stanje mree slobodni odziv varijable x(t) sadrava lan K1e s1t .

Teorija Mrea - 101

224.

Odredite prordne frekvencije varijable i2(t) ako je a) poticaj oblika U sin t , b)

poticaj oblika i1 = Ie t . krug drugog reda karakteristina jednadba ne ovisi o poticajus 2 + 2s + 0 = 02

prirodne frekvencije: s1, 2 = 2 0

2

a) poticaj naponski izvor prirodne frekvencije

k.s.

dvije b) poticaj strujni izvor prirodna frekvencija

p.h.

jedna

(sL1 + R2 )I1 ( s) + R2 ( I1 ( s) I 2 ( s)) = 0I 2 ( s ) sL2 R2 [ I1 ( s ) I 2 ( s )] = 0determinanta sustava:

( sL2 + R2 ) I 2 ( s ) = 0 s+ R2 =0 L2 R2 L2

( sL1 + R1 + R2 )( sL2 R2 ) R2 = 0 R R R RR s + 1 + 2 + 2 s + 1 2 = 0 L1 L2 L1 L1 L2 { 4 3 14 244 2 022

2

s1 =

Teorija Mrea - 102

225. Pokaite na primjeru mree sheme spoja prema slici da reciprona funkcjia neke prijenosne funkcije mree ne mora biti funkcija mree.A21 ( s ) = A12 ( s ) = A21 U 2 ( s) U1 ( s) U1 ( s) poticaj u 2 U 2 ( s)

1 A12

226. Izmeu zadanih racionalnih funkcija odredite one koje mogu biti ulazne funkcije mree. Z1 ( s ) = s 2 + 2s + 2 ; s3 + s + 1 Y2 ( s ) = s 3 ; 2 s + 3s + 1 Y3 ( s ) = 3s + 2 ; 4 3 s + s + 2s 2 + s + 1 Y4 ( s ) = s2 + s +1 s+2

ulazne funkcije mree: Z1 =

U1 ( s) I ( s) ; Y1 ( s ) = 1 I1 ( s ) U1 ( s )

I.) na viim frekvencijama dominira svojstvo jednog elementa mree. To znai da je mrea:

Z1 ( s ) ili Y1 ( s ) Z1 ( s ) = I ( s ) sLekv = sLekv I ( s)

- razlika stupnja polinoma u brojniku i nazivniku mora biti 1 (P(s)-Q(s)=1) Y3 otpada II.) mrea je L/VNP, R>0 pozitivni otpada Y2. pasivni elementi mree, svi koeficijenti P(s) i Q(s) moraju biti

III.) u polinomu moraju postojati svi lanovi od najvieg ka najniem osim ako nedostaju svi parni ili svi neparni otpada Z1(s). - funkcija Y4(s) moe biti ulazna.

Teorija Mrea - 103

227.

Odredite koje funkcije mogu bit prijenosne funkcije mree,

A21 ( s ) =

s 3 + 2s ; s2 + s +1

Z 21 ( s ) =

s2 + s 1 1 s 3 + 2s . ; 21 ( s ) = 2 ; Y21 ( s ) = 4 s 2 + 2s + 2 s 2s + 2 s + 3s 2

s 3 + 2s A21 ( s ) = 2 s + s +1

Ne jer za prijenosne funkcije A21(s) i 21(s) najvii mogui stupanj brojnika jednak je stupnju polinoma nazivnika Ne, Q(s) mora imati pozitivne koeficijente Ova funkcija moe bit prijenosna funkcija mree Ne. Nedostaje Q(s) lan uz s0.

21 ( s) =

1 s 2s + 22

s2 + s 1 Z 21 ( s ) = 2 s + 2s + 2 s 3 + 2s Y21 ( s ) = 4 s + 3s 2

228. Odredite prijenosnu impedanciju Z21(s) i prijenosnu admitanciju mree prema slici.Z 21 ( s ) = U 2 ( s) I1 ( s ) Y21 ( s ) = I 2 (s) U 2 (s)

U1 ( s ) = sLI1 ( s ) + R1 I1 ( s ) +

1 [ I1 ( s ) I 2 ( s )] sC

1 [ I1 ( s ) I 2 ( s )] R2 I 2 ( s ) = 0 sC

1 1 1 [ I1 ( s ) I 2 ( s )] = R2 I 2 ( s ) I1 ( s ) = R2 I 2 ( s ) + I 2 ( s ) sC sC sC 1 I1 ( s ) = I 2 ( s ) R2 + sC = I 2 ( s ) (1 + R2 sC ) sC 1 1 U1 ( s ) = sLI 2 ( s )(1 + R2 sc) + R1 I 2 ( s )(1 + R2 sC ) + I 2 ( s )(1 + R2 sC ) I 2 ( s) sC sC U1 ( s ) = sL2 I 2 ( s ) + s 2 LR2CI 2 ( s ) + R1 I 2 ( s ) + R1 R2 sCI 2 ( s ) + I 2 ( s ) R2 U1 ( s ) = I 2 ( s )[ sL2 + s 2 LR2C + R1 + R1 R2 sC + R2 ] Y21 ( s ) = Z 21 ( s ) = I 2 (s) I 2 ( s) 1 = = 2 2 U1 ( s ) I 2 ( s )[ s LR2C + sR1 R2C + R1 + R2 ] s LR2C + sR1 R2C + R1 + R2 U 2 ( s) I 2 ( s ) R2 R2 = = I1 ( s ) I 2 ( s )(1 + R2 sC ) 1 + R2 sC

Teorija Mrea - 104

229. Dokaite da je za prijenosnu funkciju mree A21(s) najvii mogui stupanj polinoma brojnika P(s) jednak stupnju polinoma nazivnika Q(s).

A21 =

U 2 ( s) Z 2 (s) I (s) Z 2 (s) = = U1 ( s ) [ Z1 ( s ) + Z 2 ( s )]I ( s ) Z1 ( s ) + Z 2 ( s )

imamo 3 elementa mree, a po dva uzimamo istodobno. Postoje kombinacije: -ako su elementi iste vrste, A21=kost., a ako su razliiti sve kombinacije impedancija dvaju elemenata od 3 mogua (sL, 1/sC, R) pokazuju da stupanj P(s) ne premauje stupanj Q(s). primjer: 1).

Z1 ( s ) = R Z 2 ( s ) = sL

A21 =

sL R + sL

2.)

Z1 ( s ) =

1 sC Z 2 ( s ) = sL

A21 =

sL sL + 1 sC

=

s 2 LC s 2 LC + 1

230.

Prisilni odziv jednoprilaza na jedinini skok je y1 (t ) = e t . Odredite periodiki

odziv jednoprilaza na poticaj x(t ) = A cos t .

y1 (t ) = e t x(t ) = A cos t

1 L[prisilni odziv] s + s H (s) = = = 1 L[poticaj] s + s

funkcija mre

Teorija Mrea - 105

231.

Prisilni odziv mree na koju je narinut poticaj Ae t cos t je Be t cos(t + ) .

odredite prisilni odziv te mree na poticaj AS(t).

232. Dokaite da je pasivnost mree dovoljan, ali ne i nuan uvjet stabilnosti mrea. Sve pasivne mree su stabilne, ali sve stabilne mree ne moraj biti pasivne. Stabilna mrea je ona gdje ogranien poticaj proizvede ogranien odziv. 233. Objasnite i pokaite na primjeru kako bez detaljnije analize prepoznati da neki sklop s operacijskim pojaalom moe raditi kao oscilator. Sklopovi s pozitivnom povratnom vezom mogu raditi kao oscilatori.

Teorija Mrea - 106

234. Objasnite pojam stabilnosti impusnog odziva na primjerima mrea prema slici.

235.

Objasnite pojam stabilnosti slobodnog odziva na primjeru mree prema slici. odziv neke mree na poticaj = slobodni odziv (moraju biti nenulti poetni uvjeti) +prisilni odziv (zbog poticaja)

sLI L ( s ) LI 0 +

1 U0 + I L ( s) + I L ( s) R = 0 s sC sLI 0 U 0 R 1 2 , 2 = , 0 = I L ( s) = R 1 L LC L s 2 + s + L LC

stabilnost: ispitivanje polinoma u nazivniku karakteristina jednadba: s 2 + 2s + 0 = 0 s1, 2 = 2 0 - prirodne frekvencije2 2

| || 0 | - rjeenje je realni brojaperdiodski odziv (stabilna mrea)

> 0 - priguenjeSustav e biti stabilan ako je 0 odnosno

R 0 tj. ako su R i L pasivni. L

Teorija Mrea - 107

236.

Objasnite pojam stabilnosti prisilnog odziva na primjeru mree prema slici.

Isin t

237.

Odredite2

koji

je2

od

zadanih

polinoma4 2

Hurwitzov

polinom.

Q1 ( s ) = s + 5s + 6;

Q2 ( s ) = s + s 6;

Q3 ( s ) = s + 8s + 16 .

Teorija Mrea - 108

238.

Koji su osnovni nedostaci Hrwitzovog testa stabilnosti?

1) nepoznata udaljenost od granice stabilnosti 2) transformat impulsnog odziva najee nije poznat 239. Objasnite pojam lokalne stabilnosti mree.

240. Kako bi u vremenskom podruju izgledao valni oblik neke varijable stan ja sustava koja je lokalno nestabilna a globalno stabilna?

Teorija Mrea - 109

241. U kojim je primjerima korisna stabilnost neke elektrine mree, a u kojima primjerima nestabilnost? Ilustrirajte odgovor primjerima.

242. Ureaj konstantne snage napaja se preko niskopropusnog LC filtra iz istosmjernog naponskog izvora. Primijenivi metodu Ljapunova pokaite da sustav filtar-ureaj moe postati nestabilan!

stabilan dio (svi elementi L/VNP, pasivni)

snage

p = konst = u i u i = k u =Rurere = du di

k i= d k k 2 = k (1)i = 2 dt i i 0I 0 ,U 0

I 0 ,U 0

otpor sustava filtra + ureaj konstantne snage 0 aktivni otpor ,realizacija:

- sve mree koje sadre o.p. ili zavisni izvor (nuni, nusi, suni, susi) su potencijalno nestabilne mree

Teorija Mrea - 110

243.

Objasnite relativnost pojma faze sa stajalita teorije mrea.

e1 = e1 e3 e2 = e1 e2

opisivanje mrea, KZN, KZS:

e1 Ri1 = e3 Ri3 e2 Ri2 = e3 Ri3 i1 + i2 + i3 = 0- sa stajalita teorije mrea

e1 Ri1 = Ri3 e2 Ri2 = Ri3 i1 + i2 + i3 = 0iste mree: i1 + i2 + i3 = i1 + i2 + i3

- sa stajalita stvarnih mrea: prva mrea je simetrina trofazna, a druga nesimetrina dvofazna. - po teoriji mrea pojam faze je relativan 244. Kako je definiran fazni napon m-fazne m-ilne mree? Koje je osnovno svojstvo nulita? Viefaznu mreu opteretimo m-krakom zvijezdom jednakih otpora R, a u jednoharmonijskoj mrei m-krakom zvijezdom elemenata mree jednakih impedancija u svakoj fazi. Tada je fazni napon m-fazne i m-ilne mree jednak umnoku struje kroz mfazu i otpora R. uk = Rik Osnovno svojstvo nulita je da su sume faznih napona m-fazne m-ilne mree jednake nuli.

uk =1

m

k

= 0.

245. S pomou geometrijskih argumenata pokaite da su u svakoj simetrinoj viefaznoj mrei potencijali zvjezdita i nulita jednaki. Nulite dobivamo tako da n-terokutu raspolovimo stranice i taj postupak ponovimo za novi n-terokut i tako sve dok se n-terokut ne stegne u toku. Ta toka je nulite sustava. Za trofazni sustav nulite je teite trokuta linijskih napona.

Ukoliko je teite isto to i nulite, a teite je isto to i zvjezdite zakljuujemo da su potencijali zvjezdita i nulita jednaki.

Teorija Mrea - 111

246. Koje je osnovno svojstvo uravnoteene mree i kojim je primjenama to vano? postoje li i uravnoteene nesimetrine mree? Osnovno svojstvo uravnoteene mree je da je trenutna snaga mree konstantna u ustaljenom stanju.

e (t )i (t ) = konst. i jednaka zbroju srednjih snaga pojedinih faza.k =1 k k

m

(3-fazni asinkroni motor ne okree se pulzativno ??? (pulsirajui) nego konstantnom brzinom) Postoje uravnoteene nesimetrine mree (dvofazne troilne mree) gdje su naponi e = E cos t , e = E sin t .1 2

247. Odredite napon faze 2 u etverofaznoj mrei ako su poznate trenutne vrijednosti svih meufaznih (linijskih) napona?uk = 1 m ulk m l =1 k =2 m=4 1 u 2 = [u12 + u32 + u42 ] 4

248. U etverofaznoj simetrinoj mrei poznata je efektivna vrijednost napona jedne faze. odredite efektivne vrijednosti svih meufaznih napona. etverofazna simetrina mrea meufazni naponi: U12 ,U13 ,U14 ,U 23 ,U 24 , U 34

& & & & - fazni naponi: U1 ,U 2 ,U 3 ,U 4fazni dijagram, 360:4=90 U1 = U sin t

- U13 ,U 24 - U12 ,U14 ,U 34 ,U 23

U 2 = U sin t + 2 sin (t + ) U =U3

U 4 = U sin t + 3 2

veza izmeu efektivnih vrijednosni faznih i linijskih napona:

m U i =2

m

i =1

l q