3. vorlesung ss09computational chemistry1 verschiedene kraftfelder terme in kraftfeldern...
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3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 1
• verschiedene Kraftfelder
• Terme in Kraftfeldern
• Elektrostatik
• starke und schwache zwischenmolekulare Kräfte
• Optimierungs-/Minimierungsalgorithmen
V3 Kraftfelder und Minimierung
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 2
Kovalente Bindungen
Kovalente Bindungen lassen sich erfolgreich als Oszillator darstellen.
Mathematisch kann diese Form des Energiepotentials auf
verschiedene Weise angenähert werden.
E
Auslenkungro
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 3
Bindungen im Kraftfeld (I)
E
harmonisch (r2)
ro tatsächlich
Die einfachste Annäherung ist das harmonische Potential
Vorteile: schnell zu berechnen (v.a. bei sehr vielen Atomen)
Betonung des Minimums bei sehr großem r (z.B. schlechte
Startgeometrie)
Nachteil: schlechte Werte wenn r weit weg von r0 ist
202rr
krV
→ AMBER, CHARMM, ...
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 4
Bindungen im Kraftfeld (II)
E
Morse-Potential
tatsächlichD0
Sehr viel exakter ist das Morsepotential
Vorteile: sehr gute Übereinstimmung mit dem tatsächlichen Potentialverlauf
Nachteil: exp-Funktion ist numerisch aufwendig zu berechnen
3 Parameter pro Bindung notwendig
200 exp1 rraDrV
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 5
Bindungen im Kraftfeld (III)
E
r2 + r3
ro tatsächlich
Quadratische und kubische Funktion vom Abstand r
Vorteil: noch relativ schnell zu berechnen
Nachteil: falscher Verlauf wenn r sehr viel größer als r0 ist
3022
01
22rr
krr
krV
→ MM2, MM3, ...
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 6
Bindungsabstände und Bindungsdissoziationsenergien (I)
Bindung Abstand [Å] Do [kJ/mol] (homolytische Spaltung)
H–H 0.742 432
C–H 1.09 ± 0.01 411 ± 7
C–C 1.54 345
C=C 1.34 - 1.40* 602 ± 21 *aromatische Bindung
C≡C 1.20 835
C–N 1.47 305
C=N 1.35 615
C≡N 1.16 887
C–O 1.43 358
C=O 1.20 526
C–Si 1.85 318
C–P 1.84 264
C–S 1.82 272
C=S 1.60 577 ± 21
H
Na
Li
K
Be
Cs
Rb
Ca
Sr
Ba
B C N O
Al SSi P Cl
He
F
Ge
Ne
In ITeSn
Br
XnSb
KrSeAsGa
Ar
Bi PoPb RnAtTl
Mg
länger
läng
er,
schw
äche
r
Verändert aus: J.E.Huheey Inorganic Chemistry, Wiley.
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 7
Bindungsabstände und Bindungsdissoziationsenergien (II)
Bindung Abstand [Å] Do [kJ/mol]
C–F 1.35 485
C–Cl 1.77 327
C–Br 1.94 285
C–I 2.14 213
C–H 1.09 411
O–H 0.96 459
N–H 1.01 386 ± 8
S–H 1.34 363 ± 5
N–N 1.45 247 ± 13
N=N 1.25 418
N–O 1.40 201
N=O 1.21 607
P–O 1.63 ≈335
P=O ≈1.50 ≈544
polare Wasserstoffe, tauschen in polarem Solvens aus (z.B. mit denen des Wassers)
apolares Wasserstoffatom
Grund:N, O, und S sind elektronegativer als C;
Heterolytische Spaltung der Bindung → Ionen
Aber nicht in Kraftfeldern, da die Topologie nicht verändert wird !(kein Bindungsbruch)
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 8
Bindungen im Kraftfeld (II)Um die unterschiedlichen Bindungslängen und Bindungsstärken
angemessen wiederzugeben brauchen wir also für jedes Element eine
ganze Reihe von Atomtypen.
Zumindest so viele, wie es Hybridisierungszustände gibt.
Bindung r0 [Å] k [kcal mol-1 Å-2]
Csp3–Csp3 1.523 317
Csp3–Csp2 1.497 317
Csp2=Csp2 1.337 690
Csp2=O 1.208 777
Csp3–Nsp3 1.438 367
Auswahl an Atomtypen des MM Kraftfeldes (N. Allinger 1977)
CC C
O
sp3 sp2 sp spx
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 9
BindungsabständeExtreme Abweichungen von idealen Bindungsabständen
1.8 Å 1.54 Å
1.9 Å
1.54 Å
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 10
Bindungswinkel (I)
Hängen sehr stark von der Hybridisierung ab
C CC CC109.5°
sp3+ 3
120°
sp2 + p
-Biungen
-Bindungen
=
180°
sp + 2p
2s 2p
Die C–C -Bindung entsteht durch Überlappung der 1s Orbitale
Die C–C -Bindung durch Überlappung der 2p Orbitale
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 11
Bindungswinkel (II)
→ Probleme für Kraftfelder. Man benötigt deshalb mehr als einen Atomtyp pro Hybridisierung (vgl. spx Hybridisierung).
Extreme Abweichungen von idealen Bindungswinkeln
C
C
C
H
H H
H
H
HC
C
C
C C
CC
C
H H
H
H
HH
H
H
C
C
CH H
H
H
60°
Cuban Cyclopropan
90°
64°
Cyclopropen
58°
109.5°
109.5°
109.5°
120°
Verursacht Ringspannung in 3- und 4-Ringen
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 12
Bindungswinkel (III)
202
kV
Mathematische Formen für das Bindungswinkelpotential
Harmonisches Potential → MM, MM2, MM3, AMBER, CHARMM,...
(cyclische) Cosinusterme → UFF
n
in nCV
1
cos
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 13
Torsionswinkel (I)
C
H
C
CH3
HH
H
CH3
H
CH3H
CH3
HH
Mathematische Formen für das Torsionspotential
Überlagerung von Cosinustermen
0 180 360
E
offsetcos120
nV
VN
n
n
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 14
Zusätzliche Potentiale (I)
OO
135°120°
Problemfall Cyclobutanon
Out of plane bending
Improper torsion: Potential des Torsionswinkel über 1-2-3-4 soll
bei 180° ein Minimum haben
12
3
4
Lösung: spezielle Atomtypen und Winkelpotentiale, oder
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 15
Zusätzliche Potentiale (II)Typische Gruppen und Fragmente bei denen improper torsions
oder out of plane bending Terme eingesetzt werden, um Planarität
zu erzwingen
O O
N
NH2
NH2
H+
→ Seitenketten in Aminosäuren (welche ?)
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 16
Zusätzliche Potentiale (III)
Kreuzterme zwischen Winkel und Bindungslängen
Beobachtung: bei kleineren Winkeln werden die Bindungen länger
→ MM2, MM3, CHARMM
Weitere Kreuzterme:
Bindung-Torsion, Winkel-Torsion, Winkel-Winkel,...
Ursache: Nichtbindende Wechselwirkungen zwischen Atomen
zwischen denen keine Bindung besteht
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 17
Elektrostatische Kräfte (I)
+
0 -
qi
qj
rij
Das unterschiedliche Bestreben der Atome/Elemente Elektronen
aufzunehmen bzw. abzugeben führt zu einer ungleichmäßigen
Verteilung der Ladung über das Molekül.
Am einfachsten wird diese durch die Annahme partieller Ladungen
auf den Atomen modelliert.
(Eigentlich: Atomkerne positiv geladen, Elektronenhülle negativ)
N
i
N
ij ij
ji
orestat r
qqE
41
In der Praxis werden solche nicht-bindenden Wechselwirkungen nur
zwischen Atomen berechnet, die mindestens 4 oder mehr Bindungen
auseinander sind (implizit in Winkel- und Torsionstermen enthalten).
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 18
Elektrostatische Kräfte (II)
m
C
C
Jm
r
qqE
N
i
N
ij ij
ji
orestat
2
7
219
212 108.2
106.1
1085.814
1
4
1
Beispiel: die Coulomb-Anziehung zwischen einem Na+ und Cl- Ionenpaar
im Abstand von r = 2.8 Å (= 280 pm = 2.8 ∙10-7 m) im Vakuum
Die Ladung eines Protons ist e = +1.60 ∙10-19 C,
die eines Elektrons e = –1.60 ∙10-19 C,
Dielektrizitätskonstante des Vakuums o = = 8.85 ∙10-12 C2 J-1m-1
relative Dielektrizitätskonstane r (Vakuum = 1, Wasser ≈ 80)
J221022.8
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 19
Partielle Atomladungen (I)Das Konzept partieller Atomladungen ist zwar äußert nützlich,
physikalisch sind diese jedoch weder beobachtbar noch messbar.
Lit: J.Gasteiger, M.Marsili, Tetrahedron 36 (1980) 3219-3288.
Zur Ableitung partieller Atomladungen gibt es mehrere Verfahren:
Gasteiger-Marsili-Ladungen:
Partieller Ausgleich der Elektronegativität in einem iterativen
Verfahren (es wird ein Teil der Elektronen auf das jeweils
elektronegativere Element transferiert).
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 20
Partielle Atomladungen (II)
ii
iKerne
A A
AESP dr
rr
r
Rr
ZrV
2
Fit der Atomladungen aus quantenchemischen Berechnungen der
Elektronendichte bzw. des elektrostatischen Potentials.
Die Partialladungen werden so lange angepasst, bis das von ihnen
erzeugte Potential auf van-der-Waals Oberflächen um das Molekül
herum am besten dem von der Kern- und Elektronenladungen
erzeugten quantenmechanischen Potential gleicht.
Literatur:
Cox & Williams J. Comput. Chem. 2 (1981) 304
Breneman & Wiberg J. Comput. Chem. 11 (1990) 361 CHELPG Verfahren
Singh & Kollman J. Comput. Chem. 5 (1984) 129RESP Verfahren Ladungen für das AMBER Kraftfeld
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 21
Elektrische Multipole
+
+
+ +O C O
+
Die elektrischen Multipole geben die Ladungsverteilung im Molekül wieder:
Cl- Ion Monopol
H- Cl >=2 Ladungen Dipol
allgemeines Dipolmoment vektorielle Größe = q ∙ l
Die höheren elektrischen Momente sind:
CO2 4 Ladungen Quadrupol 3*3 Matrix (Tensor)
CH4 8 Ladungen Octupol
16 Ladungen Hexadekapol ...
Ladungen müßen nicht zwangsweise auf den Atomen liegen !
+
+
+
+
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 22
Nichtbindende Wechselwirkungen (I)
Welche gibt es?
Elektrostatische: Salzbrücken
Koordinative Bindung von Metallen (Komplexe)
Wasserstoffbrücken (auch zu geladenen Gruppen)
van der Waals
Bereich
bis zu:
≈250 kcal/mol
≈200 kcal/mol
1-8 kcal/mol (neutral)
0.5 kcal/mol (pro Atompaar)
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 23
Nichtbindende Wechselwirkungen (II)
+Na Cl
O
O
N
NH
NH
H
H
H+
carboxylateAsp, Glu
guanidiniumArg
Starke und mittlere Elektrostatische Interaktionen (statisch)
O
O
H O
H
H
O
H
N
H
H
H+
-
+
ion-dipoleionic hydrogen bond
-
+
+
O H N- -++
dipole-dipolehydrogen bond
O
O
O
O
Mg++ ion-ionsalt bridge
S
H
Zn++
metal complexation
-ion-dipole interaction
coordinative binding
MO interactionalmost covalent binding
schw
äche
r
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 24
Nichtbindende Wechselwirkungen (III)
N HH H
+ion-quadrupolecation-
O
H
quadrupole-quadrupole- stacking
C HH H octupole-quadrupole
schwache elektrostatische Interaktionen (induziert, dynamisch)
C
H
HH C
H
HH
octupole-octupole
Hydrophobe Interaktionenvan der Waals (vdW) WW
sch
wä
che
r
Ge
ring
ere
P
ola
risi
erb
ark
eitdelocalized
-system
localized-bond
-bond
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 25
Nichtbindende Wechselwirkungen (IV)
E
r0welldepth
long rangeattractive
short rangerepulsive
collisiondiameter
+ +
+ +
verringerte ElektronendichteAbstoßung der Kerne
qi qj
r rijE =
Dispersive Interaktionen: London-Kräfte und van der Waals WW
Lennard-Jones potential
Fluktuationen der Elektronenwolke erzeugen kurzzeitige Dipole. Diese induzieren wiederum Dipole wodurch im zeitlichen Mittel eine Anziehung resultiert.
r6ELondon = +...
-C6
612
4rr
EvdW
durchschnittlicheselektrischesMomentist Null
Die Fluktuation der Elektronenverursacht kurzzeitigeDipolmomente
+ -
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 26
Nichtbindende Wechselwirkungen (V)
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
methylMe
isopropylipr
cyclohexyl phenyltert-butylt-butyl
naphthyl
Hydrophobe Interaktionen sind durch die Abwesenheit von polaren Wasserstoffen (und geringen Elektronegativitätsunterschieden) charakterisiert.
Beispiele für apolare Gruppen:
Beispiele für apolare Substituenten:
Cl IBrF( )
Elektronegativität (Elektronen-ziehend)
Polarisierbarkeit
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 27
Zusätzliche Potentiale (IV)
1012 r
C
r
AE bondH
Zusätzlich zur elektrostatischen Anziehung gibt es Terme um
Wasserstoffbrücken (exakter) zu beschreiben, v.a. deren
Winkelabhängigkeit.
Eine Modifikation der van der Waals Anziehung berücksichtigt nur
die Abstandsabhängigkeit
→ AMBER, CHARMM Kraftfeld
O H N
HNH
N
r
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 28
Zusätzliche Potentiale (V)
O
H
N
r
421012
coscos
r
C
r
AE bondH
Zusätzliche Berücksichtigung der Winkelabhängigkeit bei H-Brücken:
GRID Programm P.Goodford J.Med.Chem. 28 (1985) 849.
YETI Kraftfeld
41012cos
r
C
r
AE bondH
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 29
Zusätzliche Potentiale (VI)
Spezielle Kraftfelder beinhalten Terme zur Modellierung von
• -Elektronen (konjugative Effekte auf Bindungslängen)
• Polarisierbarkeit
Nachteile: hoher numerischer Aufwand
Parameterisierung erklärt nicht (immer) die
zugrundeliegenden physikalischen Effekte
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 30
Kraftfelder – ein (unvollständiger) Stammbaum
MM Allinger 1973
MM2 Allinger 1977
MM3 Allinger 1989
MM4 Allinger 1996
AMBER
Weiner, Kollman 1981
CHARMM
Brooks, Karplus 1982
GROMOS
van Gunsteren,
Berendsen 1987
OPLS
Jorgensen 1989Dreiding
Olafson, Goddard 1990
UFF
Rappé, Goddard 1992
Karplus, Gelin
Sybyl, MMCV
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 31
Minimierungsalgorithmen (I)
Für eine vorgegebene Molekülgeometrie (Konformer) können wir nun
also die spezifische Kraftfeldenergie berechnen.
Die Frage ist nun: Gibt es energetisch günstigere Konformere ?
Wir brauchen also die Ableitung der Energie nach der Geometrie,
sprich den Atomkoordinaten.
...
1cos22
612
20
20
Estat
ij ij
jivdW
ij
Torsionen
n
WinkelBindungen
r
r
B
r
A
nCk
rrk
E
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 32
Minimierungsalgorithmen (II)
202rr
krV
0rkrk
r
rV
k
r
rV
2
Im einfachsten Fall könnten wir zufällige Veränderungen der
Atomkoordinaten generieren, und energetisch günstigere als neue
Geometrie akzeptieren.
Eine ähnliche Vorgehensweise liegt bei Monte Carlo Simulationen vor.
Für nur eine Koordinate (z.B. 1 Bindungslänge) könnten wir das
Minimum durch Intervallschachtelung finden. Für eine zielgerichtete
Suche nach einem Energieminimum werden wir aber die Ableitungen
der Energiefunktion verwenden.
E
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 33
Energiehyperfläche
f = (x-2)2 + (y+1)2
Einfache Energiehyperflächen (2 Koordinaten) kann man entweder als
Hyperfläche (links) oder als Contour-Plot (rechts) darstellen.
Ran Friedmanbioinfo.tau.ac.il/Protein_Visualization_01-02/Lesson%207/Introduction_Prot_Simul.ppt
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 34
Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (I)
Selbst einfachste Moleküle haben eine Vielzahl von Freiheitsgraden,
die die einzelnen Konformere ineinander überführen. Wir können diese
Freiheitsgrade entweder durch die internen Koordinaten ausdrücken
(Bindungen, Winkel, Torsionen), oder durch Angabe der kartesischen
Koordinaten (x,y,z) für jedes der N Atome.
Im Falle von kartesischen Koordinaten haben wir 3 ∙ N Koordinaten.
Durch reine Translationen und Rotationen des gesamten Moleküls
ändert sich dessen Geometrie jedoch nicht. Benutzen wird dagegen
interne Koordinaten so reduzieren sich die Optimierung auf 3N – 6
Koordinaten.
4 Atome: 3 Bindungen + 2 Winkel + 1
Torsion = 6 interne Koordinaten
4 Atome: 4 ∙ 3 x,y,z-Koordinaten =
12 kartesische Koordinaten
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 35
Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (II)
Die Verwendung der internen Koordinaten macht dann Sinn, wenn die
Generierung der Ableitungen rechenzeitaufwendig ist, z.B. bei
quantenchemischen Methoden.
Zur Darstellung/Eingabe solcher Molekülkoordinaten wird daher oft eine
sog. Z-Matrix verwendet:
H
C r1 1
N r2 2 a1 1
O r3 3 a2 2 d1 1
r1
r2a1
r3
a2d1
H
C N
O
x
z
y
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 36
Freiheitsgrade und Koordinatensysteme (III)
Bei großen Molekülen kommt der Unterschied zwischen 3N – 6 und 3N
Koordinaten kaum noch zum Tragen. Deshalb verwendet man bei
Kraftfeldrechnungen üblicherweise kartesische Koordinaten.
Weiterer Vorteil von kartesischen Koordinaten:
Visuell einfach darstellbar
Keine numerischen Probleme der Z-Matrix bei linearen Molekülen
Nachteil kartesischer Koordinaten:
Zur Berechung der Ableitungen muss oftmals in interne Koordinaten
transformiert werden.
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 37
Energiehyperfläche
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 38
• Gradient – die erste Ableitung der Energie E bezüglich der Koordinaten
kartesische Koordinaten x, y, z
interne Koordinaten l, , , ...
Kraft
• Stationäre Punkte - Punkte auf der Energiehyperfläche, in denen der
Gradient (bzw. die Kraft) gleich Null ist.
Dies sind Maxima, Minima, Übergangszustände und Sattelpunkte.
Energiehyperfläche: Gradient
E
bzw
Ex
E EF
r y
Ez
Fr
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 39
• Für eine stetige und zweimal differenzierbare Funktion f ist
g(x) = (g1, ..., gN) der Gradientenvektor der ersten Ableitungen
• Die N N Matrix der zweiten Ableitungen heisst Hess’sche-Matrix.
• In einem Minimum ist die Krümmung positiv.
In höheren Dimensionen wird Konvexität in einem Punkt x* als positive
Definitheit der Hess’schen Matrix bezeichnet:
Positive Definitheit garantiert, daß alle Eigenwerte in x* positiv sind.
Energiehyperfläche: Hess’sche Matrix
ji
ij xx
xfxH
2
i
i x
xfxg
00* yyxHyT
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 40
• Eine positiv-semidefinite Matrix hat nichtnegative Eigenwerte.
• Eine negativ-semidefinite Matrix hat nichtpositive Eigenwerte.
• Eine negativ-definite Matrix hat lediglich negative Eigenwerte.
• Ansonsten ist die Matrix indefinit.
Energiehyperfläche: Definitionen
Stationäre Punkte
sind fett markiert.
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 41
Vorzeichen der zweiten Ableitungen• Durch Diagonalisierung der Hess’schen Matrix erhält man Eigenvektoren, die die
normalen ( = orthogonalen) Schwingungsmoden des Moleküls sind.
Die zugehörigen Eigenwerte sind proportional zum Quadrat der jeweiligen
Schwingungsfrequenz.
• Das Vorzeichen der zweiten Ableitungen entscheidet, ob es sich bei stationären
Punkten auf der PES um Maxima oder um Minima handelt, da mit einer
Frequenzrechnung das Vorzeichen der Schwingungsfrequenzen bestimmt wird.
Damit lässt sich auch endgültig klären, ob eine Konformation tatsächlich ein Minimum
auf der PES ist
• Minima auf der PES besitzen nur positive Eigenwerte bzw. reelle
Schwingungsfrequenzen
• Maxima oder Sattelpunkte (Maximum in einer Richtung, aber Minima in allen
anderen Richtungen) besitzen eine oder mehrere imaginäre Schwingungs-
frequenzen. (Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ergibt eine imaginäre Zahl).
• Übergangszustände haben genau 1 negativen Eigenwert.
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 42
Algorithmen zur Energieminimierung
Lokales Minimum:
Für einen Vektor x mit n Komponenten {xi} lautet das Minimierungsproblem
minx { f(x) }, x D n. Dann ist x ein lokales Minimum und
f( x) < f(y) y D n, y x
Globales Minimum:
x n ist ein globales Minimum f( x) < f(y) y n x
[Schlick 10.2.4]
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 43
Methode, die nur die Energiewerte verwendet ...
• Am einfachsten zu implementieren.
• Läuft in eine Richtung bis die Energie
ansteigt, dreht dann um die
Suchrichtung um 90º, etc.
• ist am wenigsten effizient
– viele Schritte notwendig
– Schritte sind nicht gerichtet
• wird daher selten verwendet.
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 44
Grundlegende algorithmische KonzepteDie grundlegende Struktur von iterativen, lokalen Optimierungsalgorithmen ist die
des “greedy descent” (am schnellsten bergab).
D.h. ausgehend von einem Startpunkt x0 wird eine Sequenz von Schritten {xk}
erzeugt, wobei bei jeder Iteration versucht wird, den Wert der Zielfunktion f(x) zu
verringern.
Es gibt 2 Klassen von Algorithmen: line-search und trust-region.
Beide sind weitverbreitet und sind Bestandteile von Optimierungsmethoden, die von
jedem Startpunkt aus die Konvergenz zu einem lokalen Minimum garantieren.
Beide Methoden sind gleichermaßen empfehlenswert.
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 45
Line-Search basierender Descent Algorithmus [A1]
Von einem gegebenen Anfangspunkt x0 aus, führe für k = 0, 1, 2, … die folgenden
Schritte so lange aus bis Konvergenz eintritt.
(1) Überprüfe xk auf Konvergenz
(2) Berechne eine Abstiegs-Richtung pk
(3) Bestimme eine Schrittweite k durch eine 1-dimensionale Suche so dass für
den neuen Positionsvektor xk+1 = xk + k pk und den entsprechenden Gradient
gk+1 gilt:
(“ausreichende Abnahme”)
(“ausreichende Verringerung der
gerichteten Ableitung”)
z.B. = 10-4, = 0.9 in Newton-Methoden
(4) Setze xk+1 = xk + k pk und k k + 1 und gehe zurück nach (1)
10
und
1
1
mit
ff
kTkk
Tk
kTkkkk
pgpg
pgxx
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 46
[A1] (2): Richtung der Abnahme
Eine solche Richtung pk ist eine Richtung, entlang derer die Funktion f lokal
abnimmt.
Solch einen Vektor kann man durch definieren.
Für genügend kleine gilt dann:
0kTkpg
0
2
2
pxg
pxHppxgxpx
T
TTff
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 47
Steepest Descent (SD)
Die einfachste Möglichkeit, eine gültige Abnahme-Richtung vorzugeben, ist
zu setzen:
Damit ist automatisch erfüllt
kk gp
0...
...
...
223
22
21
3
2
1
321
n
n
n
kTkk
Tk
gggg
g
g
g
g
gggg
ggpg
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 48
Steepest Descent (SD) Methode in der Praxis• Ist die einfachste häufig verwendete Methode
• folgt wie oben erwähnt jeweils dem negativen
Gradienten g (also der grössten Kraft)
d = - g
• man legt meist einen minimalen und maximalen
Wert für die Verschiebung der Koordinaten fest
• jenach, wie steil der Gradient ist, wird die
Schrittweite vergrössert oder verkleinert
• SD ist die schnellste Methode, wenn man eine
schlechte Startgeometrie besitzt
• konvergiert langsam in der Nähe des Minimums
• kann dort um das Minimum oszillieren
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 49
Conjugate Gradient (CG) Methode• verwendet die ‘Geschichte’ der Minimierung,
also den vorherigen Wert di-1.
di = - gi + i-1 di-1
• Im Gegensatz zu SD wird also implizit die
Information der zweiten Ableitungen
verwendet um die Suche zu steuern.
• Es gibt viele Varianten von CG wie
Fletcher-Reeves, Davidon-Fletcher-Powell
und Polak-Ribiere Methoden.
• CG konvergiert wesentlich schneller in der
Nähe des Minimums als SD!
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 50
Methoden mit zweiter Ableitung• Die zweite Ableitung der Energie E bezüglich der (kartesischen)
Koordinaten r – die Hess’sche Matrix H(r) – bestimmt den Suchpfad.
Entwickle E(r) um r
Dann ist der Newton-Raphson Schritt
• fi ist die Projektion des Gradienten entlang des
Hess’schen Eigenvektors mit Eigenwert i.
• Ist rechenaufwendiger, aber gewöhnlich
schnell und zuverlässig, besonders in
der Nähe des Minimums.
• Varianten: Quasi-Newton (QN), Newton-Raphson ...
0 0 0 0
12
ttE E r r g r r r r H r r
' ' ', ii i
i i
fx x
r
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 51
Trust-Region basierender Descent Algorithmus [A2]
Nimm an, daß in einer inneren Region eine quadratische Funktion qk als Näherung
an f existiert, der man “vertrauen kann”. Es reicht dann aus, das Minimum dieser
quadratischen Funktion zu finden.
Algorithmus:
Von einem gegebenen Anfangspunkt x0 aus, führe für k = 0, 1, 2, … die folgenden
Schritte so lange aus bis Konvergenz eintritt.
(1) Überprüfe xk auf Konvergenz
(2) Berechne einen Schritt sk durch Lösen des Subproblems
wobei qk das quadratische Model der Zielfunktion ist:
Dies gilt für s innerhalb einer Schranke k > 0.
Ausgedrückt mit einer Skalierungsmatrix Dk gilt
(3) Setze xk+1 = xk + sk und k k + 1 und gehe zurück nach (1)
sqksmin
sHssgxs kTT
kkk fq2
1
kk sD
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 52
praktische Empfehlungen
• Benutze viele unterschiedliche Startpunkte
• Vergleiche Ergebnisse mehrerer Algorithmen (bzw. mehrerer Kraftfelder)
• überprüfe Eigenwerte im Minimum.
Bis auf 6 Eigenwerte, die fast gleich Null sein sollten und die Translations-
und Rotationsinvarianz wiederspiegeln, sollten alle positiv sein.
[Schlick, Kap. 10.7]
Bei der Optimierung von Proteinstrukturen ausgehend von den Koordinaten aus
der zugehörigen .pdb Datei empfiehlt sich folgende Strategie:
1. 100-500 Schritte mittels steepest descent (grobe Optimierung, v.a.
Torsionswinkel und nichtbindende Wechselwirkungen)
2. anschließende Optimierung mit einem conjugate gradient Verfahren
(schneller in der Nähe eines Minimums)
[Leach “Molecular Modelling”, Kap.4 Energy minimisation]
3. Vorlesung SS09 Computational Chemistry 53
Verfahren um das globale Energie-Minimum zu finden
• Systematische Variation der Torsionswinkel
• Randomization-minimization (Monte Carlo)
• Moleküldynamik (Newton’sche Bewegungsgleichung)
• Simulated Annealing (reduziere Temperatur während MD Simulation)
• Genetische Algorithmen (man startet wird einer Menge von Konformationen;
kleine Veränderungen; behalte die der geringsten Energie; wiederhole diese
Schritte)
• Reine Zufallssuche (funktioniert am schlechtesten)