3. 地球の姿勢と自転の変化 歳差・章動（月、太陽の潮夕力） 極運動（大気、海洋、陸水、地球システム内部に原因） 自転角速度変動（ΔLOD、風、潮汐、流体核（？）） 歳差 Precession → 天の赤道も運動 春分点γ、50``/年 （東から西） 章動 Nutation → 短周期の多くの移動 歳差・章動＝月、太陽からの潮汐力によるトルクが原因 極運動 Polar motion, Wobble 自転角速度変動→Length of day change (LOD) IS×歳差×章動×極運動×（自転＋その変動）= TS 回転変動の観測はなぜ必要か？

1. 高精度な座標値（空間だけでなく時間”座標”も）を維持するため 2. 地球（惑星）の性質を知るため 入力 → 特性 → 出力 潮汐力 固有の性質 回転変動、地震波 風、地震 扁平率

（例）1msの LODの errorがいかに深刻か？ 角度にすると、0.015秒角（慣性系に対し） 〜地球近傍の人工衛星、〜50cmの誤差 〜火星近傍の人工衛星、〜10kmの誤差 惑星探査にとっても地球の回転計測は重要 2.7 座標変換の基本

xyz系で、𝑥! =  𝑥!𝑦!𝑧!

とする

xyz系を z軸のまわりに、反時計回りにγだけ回転させる

𝑥!` =cos 𝛾 sin 𝛾 0− sin 𝛾 cos 𝛾 00 0 1

 𝑥!𝑦!𝑧!

z軸まわりの回転行列 𝑅! 𝛾 =cos 𝛾 sin 𝛾 0− sin 𝛾 cos 𝛾 00 0 1

x軸まわりの回転行列 𝑅! 𝛼 =1 0 00 cos𝛼 sin𝛼0 − sin𝛼 cos𝛼

y軸まわりの回転行列 𝑅! 𝛽 =cos𝛽 0 − sin𝛽0 1 0

sin𝛽 0 cos𝛽

新しい座標系の単位ベクトルは，元の座標系の単位ベクトルの線形結合で与え

られ，その時の係数が「方向余弦」で与えられるので，上の式を丸暗記する必

要はない．例えば，R3(γ)はこんな感じで求まる： x ' = cos(x ', x)x + cos(x ', y)y+ 0zy ' = cos(y ', x)x + cos(y ', y)y+ 0zz ' = 0 x + 0 y+1z

方向余弦 cos(x ', x)とは，ある二つの単位ベクトルで挟まれる角の余弦というこ

とで，図を描けば分かる． （注意）座標系を回転する行列と，あるベクトルをその座標系の中で回転する

行列は別物． 歳差・章動の行列＝理論的に与える.具体的な表現は、Seeberの教科書「Satellite Geodesy」などにある． 3.1 回転楕円体の力学 軸対称な回転楕円体を考える．慣性主軸の方向に xyz 軸を設定したとすれば、慣性テンソルは以下のように対角化できる：

慣性モーメント I =  𝐴 0 00 𝐴 00 0 𝐶

角速度ベクトル 𝜔 =  𝜔!𝜔!𝜔!

とする．

以下剛体の場合とする．外力トルク（モーメント）をLとする． 角運動量 H = Iω 𝜔で回転する座標系での角運動量保存則は、以下の通り

dHdt +  ω×H =  L

これを成分ごとに書き下すと、

A𝑑𝜔!𝑑𝑡 + 𝐶 − 𝐴 𝜔!𝜔! =  𝐿!

A𝑑𝜔!𝑑𝑡 − 𝐶 − 𝐴 𝜔!𝜔! =  𝐿!

C𝑑𝜔!𝑑𝑡 =  𝐿!

歳差・章動・・・自転軸が慣性空間で長周期（>1日）の運動をする（月、太陽） 極運動・・・自転軸が地球固定系に対して長周期（＞１日）で運動（大気、海

洋） 自転角速度運動 𝜔! = 𝛺(𝑚!,𝑚!, 1+𝑚!) とする。𝑚!は微小量とする。 𝑚!の１次までは残す。

A𝛺𝑑𝑚!

𝑑𝑡 + 𝐶 − 𝐴 𝛺!𝑚! =  𝐿! ①

A𝛺𝑑𝑚!

𝑑𝑡 − 𝐶 − 𝐴 𝛺!𝑚! =  𝐿! ②

C𝛺𝑑𝑚!

𝑑𝑡 =  𝐿! ③

𝑚 =  𝑚! + 𝑖𝑚!（複素表記）として ① +𝑖②より

𝑖𝜎!  𝑑𝑚dt +  𝑚 =  

𝑖(𝐶 − 𝐴)𝛺! 𝐿 ④

ただし、𝜎! =  !!!!  𝛺 （オイラー周波数）

ここで、L=0とすると④式は、𝑚  ∝  𝑒!!!!  の解を持つ 自由振動（固有振動）→305日周期のオイラー極運動が 実際、～435日周期（1.2年）＝チャンドラー極運動（ウォブル）Wobble ＋365日周期 ＝年周ウォブル（強制運動） 自由振動というのは，外力 0 で出てくる解．しかし，外力が全くの０ではそもそも観測できないはずなので、何らか（何でも良いが）の励起源は必要． 3.2 座標系 １秒の定義と“自転”の関係の変遷 ・太陽時 Solar Time 南中から南中まで 24h（旧） 南中高度の変化が１周→１年 視太陽時 問題点①：公転軌道の楕円→１日の長さが非一様

②：軌道面が 23.4°傾いている→視太陽時は一様ではない （１日の長さ～１６分（Max）変化）

平均太陽時・・・赤道に沿って円運動する仮想太陽を考える →世界時 Universal Time（グリニッジ子午線での平均太陽時） Mean solar time の１日 1/86400＝１秒（～1956年迄）

太陽そのものの観測は困難（大きさ、熱などが原因） ・恒星時 Sidereal Time － 恒星の子午線通過に基づく θ：グリニッジ恒星時（Greenwich Sidereal Time） ↓

平均恒星時(γの動きを補正)の観測 ↓

UT0（Universal Time Zero） ↓

UT1＝UT0にΔλ（極運動の補正） 1930年代 永年減速 UTによる１日は次第に長くなる⇒一様ではない 1940年代 水晶時計 ・力学時（Dynamical Time）による１秒（1956-1967）を一秒としたこともあった． 天体力学の運動方程式の独立変数 tは一様に流れるはずである ↓ 天体（太陽系）の位置を時間で表現した表＝天体暦（“れき”という言い方

をする．（太陽系天体の記述に使用）人工衛星, たとえば GPSでも速報暦とか精密暦という言い方をする． ・原子時（Atomic Time） １秒＝𝐶!!""原子の特定の放射周期の 9192631770倍 ↓ （1950年代の１秒に合わせた） 国際原子時 TAI（Temps Atomique International）：これは未来永劫不変

・日常使われている時系は？ UTC（協定世界時）Coordinated Universal Time TAIの１秒を採用 UT1からあまり違わないもの（～平均太陽時） 1958年には TAIと UT1は一致していた ↓ 2009年 TAI-UT1＝+33.59秒 （正午ではない時刻に南中） ΔUT1=|UT1-UTC|≦0.9sになるように UTCに 1s足したり、引いたりする＝うるう秒（Leap Second） 3.3 潮汐（Tide）ポテンシャルと起潮力 潮汐現象→地球（惑星）の性質を知る 測地データ（変位、重力）への影響 潮汐の他の現象（地震、噴火をトリガー） 用語：地球潮汐（固体地球） 海洋潮汐（海水面の変化） 慣性系での位置ベクトル P 𝑟! Q 𝑟! R 𝑟!

点 Pでの海水（地殻）の運動方程式

µμ𝑑!𝑟!𝑑𝑡! = −𝐺𝑀𝜇

𝑟! − 𝑟!𝑟! − 𝑟!

! − 𝐺𝑀𝜇𝑟! − 𝑟!𝑟! − 𝑟!

! ①

地球へはmからの引力が働く

𝑀𝑑!𝑟!𝑑𝑡! = −𝐺𝑀𝑚

𝑟! − 𝑟!𝑟! − 𝑟! ! ②

地球地心に対する運動は𝑟 = 𝑟! − 𝑟!と𝑅 = 𝑟! − 𝑟!を用いて、

①!−  ②

!より

𝑑!𝑟𝑑𝑡! = −𝐺𝑀

𝑟𝑟! − 𝐺𝑀

𝑟 − 𝑅

𝑟 − 𝑅! +

𝑅

𝑅! ③

地球重力 起潮力

起潮力 𝑓 =  − !!!!"となるためには

𝑈! = −𝐺𝑀1

𝑟 − 𝑅−

𝑟 ∙ 𝑅𝑅! ④ であればよい

ここで、

1𝑟 − 𝑅

=1

𝑅! + 𝑟! − 2𝑅𝑟 cos𝜑=1𝑅

𝑟𝑅

!𝑃!(cos𝜑)

!

!

=1𝑅 +

1𝑅! 𝑟 cos𝜑 +

𝑟𝑅

!𝑃!(cos𝜑)

!

!

よって、

𝑈! =𝑟𝑅

!𝑃!(cos𝜑)

!

!

ここで n>3以上の項の寄与は小さいので無視すると、

𝑈! = −𝐺𝑚𝑟!

2𝑅! (3𝑐𝑜𝑠!𝜑 − 1)

r方向、𝜑方向への起潮力は

𝑓! = −𝜕𝑈!𝜕𝑟 =

𝐺𝑚𝑟𝑅! (3𝑐𝑜𝑠!𝜑 − 1)

𝑓! = −1𝑟𝜕𝑈!𝜕𝜑 = −

3𝐺𝑚𝑟𝑅! 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑

よって、𝑈! =𝐺𝑚!"#𝑎!

𝑅! 𝑃! 𝑐𝑜𝑠𝜑 でほぼ OK

3.2.2 潮汐力による地球の変形応答 まともにやると、

ρ𝑑!𝑣𝑑𝑡! = ∇ ∙ 𝜎 + 𝜌∇𝑈

を解けばよいが・・・

潮汐ポテンシャルの時間変化は半日以上 自由振動（Max54分）の周期より長い 慣性項（加速度項）を無視した近似が成立 例えば、

m𝑑!𝑥𝑑𝑡! = −𝑘𝑥 + 𝑓(𝑥)

→ 自由振動。!!より長周期ならば、x = !(!)

!

・弾性地球の変位、重力ポテンシャル変化

 𝑈! =ℎ𝑔𝑈!              gravity

𝑢! =𝑙𝑔𝜕𝑈!𝜕𝜃                  𝜃:余緯度

𝑢! =𝑙

𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃𝜕𝑈!𝜕𝜆

ここで h,k:Love数、l:Shida数でいずれも無次元量。 History：Love（1909）は非圧縮均質な弾性球について計算した。 その後竹内均（1950）がより現実的な地球モデルで初めて計算した。 例）検潮による潮位変化への応用

剛体地球＋海水→ ζ＝!!!

弾性地球＋海水→地球自身の変形による∆U = kU!で海底の変形を考える

1+ 𝑘𝑔 𝑈! −

ℎ𝑔𝑈! =

1+ 𝑘 − ℎ𝑔 𝑈!

剛体地球に比べて 0.7倍になる。