3. Linijski kodovi ZADATAK 1: Pokazati da linearni linijski koder i dekoder imaju inverzne funkcije prenosa. REŠENJE:

Struktura linearnog linijskog kodera:

...

Kanal

0c 1c 2c 1Nc − Nc

1c

2c

Nc

nbna

nc

na

nb 1nb − 2nb − 1n Nb − + n Nb −

Q∑

∑

+ -

Koder je FIR (finite impulse response) filtar:

0 0

1

1 1

2

1 1

; 1

( ) ( ) d

N

n n i n ii

N N

n n i n i n n i n ii i

N Nj ifT

i d ii i

a c b c b c

a b c b b a c b

H f F c t iT c e πδ

−=

− −= =

−

= =

= + =

= + ⇒ = −

= − =

∑

∑ ∑

∑ ∑

Dekoder je IIR (infinite impulse response) filtar:

- prenosna funkcija povratnog dela

[ ]

1

* *

* *

( ) ( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) / : ( )( )( ) 1 ( ) 1 ( )( )1( ) ( ) ( ) 1( )

N

i n ii

C f F c b H f

B f A f C f B f A fB fH f H f H fA f

H f H f H fH f

−=

= = −

= −

= = − −

= ⇒ =

∑

- kada se uvede smena 2j fTdD e π−= prethodni izraz postaje:

*

0

0

1 ( ) ( )N

ii N

iii

i

H D c D H Dc D=

=

= ⇒ =∑∑

ZADATAK 2: Dat je linearni linijski kod sa prenosnom karakteristikom:

2 3( ) 1H D D D D= − + −

a) Nacrtati šeme kodera i dekodera. Odrediti broj nivoa na izlazu kodera i signal koji koder emituje za sledeću ulaznu sekvencu:

…1110001110101111… Pretpostaviti da je pri dolasku prvog bita sadržaj svih D flipflopova u koderu bio jednak 1.

b) Odrediti trag greške ako drugi simbol kodovanog niza stigne na ulaz dekodera sa vrednošću 2.

Pretpostaviti da je dekoder na početku dekodovanja bio u stanju 0 i da neodgovarajući nivo na ulazu D flipflopova vrši njihovo setovanje.

REŠENJE:

Kanal

1+ 1− 1+ 1−

1−

1+

1−

nbna

nc

na

nb 1nb − 2nb − 3nb −

Q

∑

∑ + -

Prenosna funkcija kodera: 3

1 2 31

n n i n i n n n ni

a b c b b b b b− − − −=

= + = − + −∑

3

1 2 31

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆn n i n i n n n ni

b a c b a b b b− − − −=

= − = + − +∑

Na osnovu ove funkcije može da se formira tabela svih mogućih kombinacija:

nb 1nb −

2nb −

3nb −

na

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 -2 0 1 1 0 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 -1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

Vidi se da se na izlazu kodera pojavljuje skup simbola

{ } { }2, 1, 0, 1, 2na = − −

sa sledećim verovatnoćama:

an -2 -1 0 1 2 P(an) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Izgled odgovarajućeg kvantizera:

1 2-1-2

-1

-2

1

2

ˆna

ˆ( )nQ a

Za datu ulaznu sekvencu proces kodovanja i dekodovanja ilustrovan je sledećom tabelom:

nb 1nb −

2nb −

3nb −

na na

1nb −

2nb −

3nb −

nb

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 0 0 0 2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 -1 -1 1 1 0 -1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -1 -1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 -1 -1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 -2 -2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 0 1 0 1 1 1 0 1 -1 -1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

ZADATAK 3: Dat je prekodovani linijski koder sa funkcijom prenosa 2( ) (1 )(1 )H D D D= − + Nacrtati šeme kodera i dekodera i odrediti broj nivoa na izlazu kodera. Odrediti kodovani niz ako su izlazi ćelija za kašnjenje na početku rada resetovani a koder se pobuđuje sekvencom

...0111010100... REŠENJE: Šema prekodovanog linijskog koda u opštem slučaju:

...

...

0c 1c 2c Nc

2c

1Nc −

Nc

1c

Mod 2∑nb

na

ne

1ne −

2ne −

1n Ne − +

n Ne −

nd1nd − 2nd − n Nd −

kanal

mod 2

ˆna

n̂b

prekodovanilinijski koder

prekodovanilinijski dekoder

+-

∑

∑

Q

Sistem jednačina koji opisuje rad kodera:

1 0

, mod 2, N N

n n i n i n n n i n ii i

e b c e d e a c d− −= =

= − = =∑ ∑

Sređivanjem datog sistema i korišćenjem činjenice da za svaki binarni broj X važi Xmod2=X (1mod2=1, 0mod2=0)

01 0

0 0 0

, 1 normalizovano ( )

mod 2 mod 2 ( mod 2) mod 2 mod 2 mod 2

N N

n n i n i i n ii i

N N N

n n i n i i n i i n i ni i i

b e c e c e c H D

b b c e c e c d a

− −= =

− − −= = =

= + = = −

= = = = =

∑ ∑

∑ ∑ ∑

Ako je prenos kroz kanal bio bez greške može se pisati: ˆˆ , mod 2n n n na a b a= =

Prenosna karakteristika posmatranog kodera:

2 2 3 2 3( ) (1 )(1 ) 1 1H D D D D D D D D D= − + = + − − = − + −

pa su koeficijenti: 0 1 2 31, 1, 1, 1c c c c= = − = = −

Šema kodera po uvođenju sabirača po modulu dva postaje:

1 1− 1 1−

1

1−

1−

nb

na

nd1nd − 2nd − 3nd −

∑

nd

1nd −

2nd −

3nd −

Pošto se ista procedura obavlja dva puta a operacija oduzimanja je ekvivalentna sabiranju u polju GF(2), ova šema se može dodatno uprostiti. Ako u prenosnoj funkciji postoje parni koeficijenti, u povratnoj sprezi fale neke veze jer je u pitanju sabiranje po modulu dva. Pri određivanju kodovanog signala obavezno treba uzeti u obzir sve koeficijente (parne/neparne, pozitivne/negativne) jer je u pitanju obično sabiranje.

nb

na

nd

Pošto je sabiranje i oduzimanje po modulu dva ekvivalentno:

1 2 3n n n n nd b d d d− − −= ⊕ ⊕ ⊕ dok je izlaz linijskog kodera određen izrazom: 1 2 3n n n n na d d d d− − −= − + − Sve moguće kombinacije 1 2 3, , , n n n nb d d d− − − određuju nd a zatim se odredi na :

nb nd 1nd − 2nd − 3nd − na 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 -1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 -1 1 1 1 0 1 -1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 -1

Na izlazu kodera pojavljuje se pet simbola { }2, 1,0,1, 2na ∈ − − sa verovatnoćama 1/16, 4/16, 6/16, 4/16 i 1/16 respektivno. Ako se pobuda vrši sekvencom 0111010100 i ako je na početku rada resetovan tj.

0n kd − = , 0k ≠ proces kodovanja je prikazan sledećom tabelom:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

nb 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0

nd 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

1nd − 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0

2nd − 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

3nd − 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1

na 0 1 -1 1 0 -1 2 -1 0 0 pa je za ulaznu sekvencu 0,1,1,1,0,1,0,1,0,0 sekvenca na izlazu linijskog kodera je 0,1,-1,1,0,-1,2,-1,0,0.

ZADATAK 4: Napisati program kojim se može simulirati oblik spektralne gustine srednje snage (SGSS) za duobinarni kod, dikod i modifikovani duobinarni kod ako je digitska učestanost fD=200Hz. SGSS proceniti slanjem N=2000 elementarnih unipolarnih impulsa pravougaonog oblika pri čemu se odabiranje vrši sa T=5 odmeraka po jednom impulsu. Dobijene rezultate uporediti sa teorijskim vrednostima REŠENJE:

Kao što je jasno iz prethodnih zadataka, linearni linijski kodovi zasnivaju se na strukturi transferzalnog filtra:

D D Db(t)

c(t)...

+

+/-

Za razni broj kola za kašnjenje mogu se dobiti razne funkcije prenosa, koje određuju oblik spektra informacionog sadržaja. U nastavku su dati spektri nekih linearnih kodova, normalizovani na opseg [(0, fd2) - značajno zbog Nikvistovog kriterijuma], pri čemu se taj opseg periodično ponavlja.

Teorijske vrednosti oblika spektra i oblika elementarnog impulsa:

Rezultati simulacije za modifikovani duobinarni signal:

a) Vremenski oblik ulaznog i izlaznog signala

b) Spektar informacionog sadržaja i spektar elementarnog signala

Spektar informacionog sadržaja ima isti oblik koji je predviđen teorijom. Takođe, vidi se da teorijska vrednost spektra elementarnog impulsa i vrednost dobijena diskretnom Furijeovom transformacijom (DFT) imaju identične vrednosti.

c) SGSS nekodovanog signala, duobinarnog koda, dikoda i modifikovanog duobinarnog koda.

Listing programa:

%Ulazni podaci N=2000; T=5; fD=200; kod=1; tip=1; %pomocni podaci rez=fD*T; per=1/fD; %generisanje ulaznog niza w_uni=randint(1,N); w_bi = (w_uni-.5)*2; %Primena koda if kod==1 %bez kodovanja H=1 sluc_uni=w_uni; sluc_bi=w_bi; elseif kod==2, %duobinarni H=1+D sluc_uni=w_uni(2:length(w_uni))+w_uni(1:length(w_uni)-1); sluc_bi=w_bi(2:length(w_bi))+w_bi(1:length(w_bi)-1); elseif kod==3 %dikod H=1-D sluc_uni=w_uni(2:length(w_uni))-w_uni(1:length(w_uni)-1); sluc_bi=w_bi(2:length(w_bi))-w_bi(1:length(w_bi)-1); elseif kod==4 %modifikovani duobinarni H=1-DD sluc_uni=w_uni(3:length(w_uni))-w_uni(1:length(w_uni)-2); sluc_bi=w_bi(3:length(w_bi))-w_bi(1:length(w_bi)-2); end; if tip==1, for ii=1:length(sluc_uni), x_or((ii-1)*T+1:ii*T)=w_uni(ii); end; for ii=1:length(sluc_uni), x((ii-1)*T+1:ii*T)=sluc_uni(ii); end; else for ii=1:length(sluc_bi), x_or((ii-1)*T+1:ii*T)=w_bi(ii); end; for ii=1:length(sluc_bi), x((ii-1)*T+1:ii*T)=sluc_bi(ii); end; end;

%ose i DFT t=1:1:N*T; br_tacaka=2^fix(log2(N*T)) F=fft(x,br_tacaka); SGSS=(F.*conj(F))/br_tacaka; f=rez*(1:br_tacaka/2)/br_tacaka; %ispis figure(1) stem(t(1:15*T),x_or(1:15*T)) axis([0 15*T -2 2]) grid on xlabel('Vreme [ms]') ylabel('Originalni signal') title('Vremenski oblik prvih 15 impulsa originalnog signala') figure(2) stem(t(1:15*T),x(1:15*T)) axis([0 15*T -2 2]) grid on xlabel('Vreme [ms]') ylabel('Originalni signal') title('Vremenski oblik prvih 15 impulsa kodovanog signala') figure(3) semilogy(f,SGSS(1:br_tacaka/2)) grid on xlabel('Ucestanost [Hz]') ylabel('Spektar snage') title('SGSS(f) - log razmera') %Informacioni deo spektra Td=per; S_f=sin(pi*f*Td)./(pi*f*Td); Skv_f=S_f.*conj(S_f); Ka=SGSS(1:br_tacaka/2)./Skv_f; figure(5) plot(f,Ka) axis([0 f(br_tacaka/2) 0 100]) grid on xlabel('Ucestanost [Hz]') ylabel('Informacioni deo spektra Ka(f)') title('K_a(f)=\Phi(f)/(|S(f)|^2) za bipolarni slucajni signal - DFT')

ZADATAK 5: Na ulaz HDB3 kodera stiže sledeća sekvenca koja se periodično ponavlja:

... 10011010011000000000 ... a) Odrediti izlaz kodera u stacionarnom režimu. Odrediti izlaz dekodera kada se na njegov ulaz dovede

kodovana sekvenca pri čemu je prenos bio bez greške. Pretpostaviti da je početno stanje dekodera nula. (1p)

b) Odrediti izlaz kola za nadgledanje greške u HDB3 kodu ako se na 18. poziciji u kodovanom nizu desi greška. (1p). Nacrtati šemu HDB3 dekodera i kola za detekciju greške.

REŠENJE:

Kodovanje HDB3 linijskim kodom zasniva se na supstituciji četiri uzastopne binarne nule simboličkim sekvencama OOOV ili BOOV, tako da ukupan broj simbola B između dva simbola V bude neparan. Svako B označava promenu znaka prethodne binarne jedinice a svako V zadržava znak. HDB3 sekvenca se može rastaviti na pozitivnu i negativnu sekvencu. Dekoder HDB3 linijskog koda prikazan je na slici 3.1. Na ulaz dekodera dolaze sekvence ‘poz’ i ‘neg’ dobijene dekompozicijom kodovane HDB3 sekvence na pozitivan i negativan deo. Kolo za nadgledanje greške (prikazano na slici 3.2) aktivira signal Alarm u slučaju pojave greške.

Q1

Q0'

Q0''

Q

QSET

CLR

D

Q

QSET

CLR

D

Q

QSET

CLR

Dout

A1 A3 Q2 Q3

J

Q

Q

K

SET

CLR

poz

neg

A2

HDB3 dekoder

Q1'

Q1''

J

Q

Q

K

SET

CLR

Q0'

Q0''

Alarm

Kolo za nadgledanje greške u HDB3 kodu

Tok kodovanja i dekodovanja:

a) Prenos bez greške – poslat signal sa periodom Per, dve periode ovog signala su S, kodovani signal je C, sekvenca greške je e a primljeni signal je R. Signal greške je Error a dekodovani signal je out.

Per= [1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0] S=[1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0] C=[B 0 0 B B 0 B 0 0 B B B 0 0 V B 0 0 V 0 B 0 0 B B 0 B 0 0 B B B 0 0 V B 0 0 V 0]

c=[1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0 1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] r=[1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0 1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0] poz= [1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0] neg= [0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0] Error= [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] Out= [0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0]

b) Prenos sa greškom na 18. poziciji – poslat signal sa periodom Per, dve periode ovog signala su S, sekvenca greške je e ima npr -1 na 18. poziciji a primljeni signal je R.

Per= [1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0] S=[1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0] C=[B 0 0 B B 0 B 0 0 B B B 0 0 V B 0 0 V 0 B 0 0 B B 0 B 0 0 B B B 0 0 V B 0 0 V 0]

c=[1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0 1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0] e=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] r=[1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0-1-1 0 1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0] poz= [1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0] neg= [0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0] Error= [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] Out= [0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0]

U oba slučaja dekodovanje je bilo uspešno jer je rekonstruisana polazna sekvenca.

Spektar HDB3 koda - nema jednosmernu komponentu - nema istaknut maksimum - "zaravnjeniji" je od spektra svakog

drugog nelinearnog linijskog koda (AMI, PST, B6ZS…)

Dve najvažnije osobine linijskog kodovanja, pored uobličavanja spektra (za dati primer):

- srednja vrednost originalnog niza 0.3 - srednja vrednost za kodovani niz 0. - maksimalni broj uzastopnih nula u

origunalnom nizu je 9 - maksimalni broj uzastopnih nula u

kodovanom nizu je 2. NAPOMENA:

Zapaziti da se kodovana HDB3 sekvenca može rastaviti i na dve AMI sekvence: c= [1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0 1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 1-1 0 0-1 0] ami1= [1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 0-1 0 0 0 0 1 0 0-1 1 0-1 0 0 1-1 1 0 0 0-1 0 0 0 0] ami2= [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0-1 0]