własności spektralne operatorów unitarnych na przestrzeniach focka

Uniwersytet Mikołaja KopernikaWydział Matematyki i InformatykiKatedra Teorii Ergodycznej i Układów

Dynamicznych

Joanna Kułaganr albumu: 183529

Praca magisterskana kierunku matematyka

Własności spektralne operatorówunitarnych na przestrzeniach Focka

Opiekun pracy dyplomowejprof. dr hab. Mariusz LemańczykKatedra Teorii Ergodyczneji Układów Dynamicznych

TORUŃ 2008

Pracę przyjmuję i akceptuję

..............................................data i podpis opiekuna pracy

Potwierdzam złożenie pracy dyplomowej

..............................................data i podpis pracownika dziekanatu

Spis treści

Wstęp v

1 Wiadomości z teorii spektralnej 1

2 Iloczyn tensorowy 5

3 Teoria miary, działanie grup na zbiorach 113.1 Miary warunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Działanie grup na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Przykłady analizy spektralnej 154.1 Iloczyn tensorowy dwóch operatorów . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Słaba zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar . . . . . . . 29

Bibliografia 45

Lista symboli 47

Skorowidz 49

iii

Wstęp

Opis skończonych produktów tensorowych przestrzeni Hilberta i operato-rów na unitarnych tych przestrzeniach został podany przez J. von Neumannaoraz F. Murraya w roku 1936 w pracy „On Rings of Operators” (Ann. Math.(2) 37, 116-229) ([14]). Produkty tensorowe przestrzeni skończenie wymia-rowych były jednak znane o wiele wcześniej.

Operatory unitarne na przestrzeniach Focka związane są z układami dy-namicznymi Gaussa ([7], [10]) i Poissona ([15]). Przestrzenie Focka są rów-nież ważnym narzędziem w mechanice kwantowej. Przy ich pomocy możnanp. wyjaśnić zjawiska anihilacji i tworzenia się cząstek ([5]).

W pracy nie będziemy się zajmować znanymi faktami dotyczącymi ope-ratorów unitarnych na przestrzeniach Focka związanymi z maksymalnymtypem spektralnym, czy problemem ograniczoności funkcji krotności spek-tralnej (patrz [7], [10]). Skoncentrujemy się na kilku mniej znanych rezulta-tach. Najpierw podamy kryterium na prostotę widma dla produktów tenso-rowych (na podstawie preprintu [9]). Wskażemy też inny dowód niedawnegowyniku O. Ageeva ([2]) dotyczącego częściowo zsymetryzowanych produktówtensorowych. Na koniec uogólnimy rezultat F. Parreau i E. Roy związanyz wzajemną zależnością warunków na prostotę widma operatora unitarnegona symetrycznej przestrzeni Focka.

Praca składa się z czterech rozdziałów:

1. Wiadomości z teorii spektralnejW tym rozdziale zamieszczone są wiadomości z teorii spektralnej wy-korzystywane w pracy.

2. Iloczyn tensorowyPrzedstawiono tutaj konstrukcje iloczynu tensorowego, symetrycznegoiloczynu tensorowego oraz przestrzeni Focka i symetrycznej przestrzeniFocka.

3. Teoria miary, działanie grup na zbiorachPodane są tu podstawowe wiadomości o miarach warunkowych orazdziałaniach grup na zbiorach.

4. Przykłady analizy spektralnejPrzeprowadzona została analiza spektralna produktu tensorowego

v

dwóch operatorów unitarnych z prostym widmem. W następnej częścizałożono pewne słabe zbieżności, by uzyskać proste widmo dla pro-duktów tensorowych. Na koniec badana jest funkcja krotności spek-tralnej. Wskazane są pewne zależności między miarami spektralnymina naturalnych podprzestrzeniach symetrycznej przestrzeni Focka przyzałożeniu prostego widma na tych podprzestrzeniach.

U czytelnika założono podstawową znajomość następujących działówmatematyki: algebry liniowej, teorii miary, analizy funkcjonalnej, topologiii analizy harmonicznej.

vi

Rozdział 1

Wiadomości z teoriispektralnej

Definicje i twierdzenia z tego rozdziału oraz ich dowody można znaleźćw [13]. W dalszej części pracy będziemy swobodnie korzystać z podanychtutaj informacji.

Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta, zaś U : H → H ope-ratorem unitarnym, tzn. izomorfizmem liniowym spełniającym warunek〈Uh,Ug〉 = 〈h, g〉 dla dowolnych elementów h, g ∈ H.

Definicja 1.1. Ciąg liczb zespolonych {rn}+∞n=−∞ nazywamy dodatnio okre-ślonym, gdy dla dowolnego ciągu {an}+∞n=0 ⊂ C i dowolnego N > 0 zachodziwarunek

N∑n,m=0

rn−manam 0.

Przykładem ciągu dodatnio określonego jest ciąg {〈Unh, h〉}+∞n=−∞. Istotnie:∑Nn,m=0〈Un−mh, h〉anam =

∑Nn,m=0〈Unh, Umh〉anam =

= 〈∑Nn=0 anU

nh,∑Nm=0 amU

mh〉 = ‖∑Nn=0 anU

nh‖2 0.

Twierdzenie 1.1 (G. Herglotz). Jeśli ciąg {rn}+∞n=−∞ jest dodatnio okre-ślony, to istnieje dokładnie jedna nieujemna, skończona miara borelowska σna T taka, że dla wszystkich n ∈ Z

rn =∫

Tzndσ(z).

Ponadto dla dowolnej miary nieujemnej, skończonej, borelowskiej σ na Tciąg rn zadany powyższym wzorem jest dodatnio określony.

Wniosek 1.2. Dla każdego x ∈ H istnieje jedyna miara σx na okręgu speł-niająca dla wszystkich n ∈ Z warunek

〈Unx, x〉 =∫

Tzndσ(z).

1

2 1. Wiadomości z teorii spektralnej

Definicja 1.2. Miarę σh nazywamy miarą spektralną elementu h.

Definicja 1.3. Przestrzeń Z(x) = span{Unx, n ∈ Z} nazywamy przestrze-nią cykliczną elementu h. Przestrzeń ta jest U -niezmiennicza.

Głównym twierdzeniem w teorii spektralnej operatorów unitarnych jestnastępujące twierdzenie o rozkładzie ośrodkowej przestrzeni Hilberta na su-mę prostą podprzestrzeni cyklicznych:

Twierdzenie 1.3. Niech U : H → H będzie operatorem unitarnym ośrod-kowej przestrzeni Hilberta. Wówczas istnieją elementy xn ∈ H takie, że

H =∞⊕n=1

Z(xn) oraz σx1 � σx2 � . . . (1.1)

Ponadto, jeśli H =⊕∞n=1 Z(yn) dla pewnych y1, . . . , yn ∈ H takich, że

σy1 � σy2 � . . . , to dla dowolnego n 1, σxn ≡ σyn.

Definicja 1.4. Każdy rozkład przestrzeni H spełniający warunek (1.1) na-zywamy rozkładem spektralnym.

Definicja 1.5. Typ miary σx1 nazywamy maksymalnym typem spektralnymoperatora U .

Niech An = suppdσxndσx1(dµdν oznacza pochodną Radona-Nikodyma miary µ

wględem miary ν, gdzie µ� ν, patrz [4]). Zbiory An są zdefiniowane prawiewszędzie względem miary σx1 . Ponadto

dσxn+1dσx1

=dσxn+1dσxn

· dσxndσx1

,

więcA1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . .

Definiujemy funkcję MU : T→ N ∪ {∞} wzorem

MU (z) =∞∑n=1

χAn(z).

Funkcja ta jest zdefiniowana z dokładnością do zbioru miary σU zero.

Definicja 1.6. Funkcję MU nazywamy funkcją krotności spektralnej opera-tora U .

Definicja 1.7. Powiemy, że operatory unitarne Ui : Hi → Hi, i = 1, 2 sąspektralnie izomorficzne, jeśli istnieje W : H1 → H2 izometria „na” taka, żeWU1 = U2W . Piszemy wtedy U1 ' U2.

3

Twierdzenie 1.4. Operatory U1, U2 ośrodkowych przestrzeni Hilberta od-powiednio H1, H2 są spektralnie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mająte same maksymalne typy spektralne i funkcje krotności spektralnej.

Definicja 1.8. Powiemy, że operator U ma proste widmo, jeśli jego ciągmiar spektralnych jest postaci

σx1 � 0 ≡ 0 ≡ . . . ,

U ma jednorodne widmo krotności n, jeśli jego ciąg miar spektralnych jestpostaci

σx1 ≡ · · · ≡ σxn � 0 ≡ . . .

Stwierdzenie 1.5. Przestrzeń L2(T, µ) z operatorem mnożenia przezzmienną niezależną V (f)(z) = zf(z) jest przestrzenią cykliczną z typemspektralnym µ.

Stwierdzenie 1.6. Operator unitarny U : Z(x)→ Z(x) jest spektralnie izo-morficzny z operatorem Vx : L2(T, σx)→ L2(T, σx).

Twierdzenie 1.7 (Lemat Wienera). Jeśli H0 jest domkniętą podprzestrze-nią V -niezmienniczą (tzn. V H0 = H0) przestrzeni L2(T, µ) (gdzie V jestoperatorem mnożenia przez zmienną niezależną), to

H0 = χAL2(T, µ)

dla pewnego zbioru borelowskiego A ⊂ T.

Stwierdzenie 1.8. Jeśli H1 ⊂ Z(x) jest domkniętą podprzestrzeniąU -niezmienniczą, to H1 jest także przestrzenią cykliczną.

Stwierdzenie 1.9. Jeśli µ� σx, to istnieje y ∈ Z(x) takie, że σy = µ.

Stwierdzenie 1.10. Jeśli y ∈ Z(x), to σy � σx, przy czym σx ≡ σydokładnie wtedy, gdy Z(x) = Z(y).

Stwierdzenie 1.11. Jeśli σ jest maksymalnym typem spektralnym operato-ra U : H → H, to dla każdego x ∈ H, σx � σ. Jeśli µ� σ, to istnieje x ∈ Htakie, że σx = µ.

Stwierdzenie 1.12. Jeśli σx ⊥ σy, to Z(x) ⊥ Z(y), σx+y = σx + σy orazZ(x+ y) = Z(x)⊕ Z(y).

Stwierdzenie 1.13. Jeśli miary {σxn}∞n=1 są parami ortogonalne oraz sze-

reg∞∑n=1

xn jest zbieżny, to przestrzenie Z(xn) (n 1) również są parami

ortogonalne, σ∑∞n=1 xn

=∑∞n=1σxn oraz Z(

∞∑n=1

xn) =∞⊕n=1

Z(xn).

Rozdział 2

Iloczyn tensorowy

W niniejszym rozdziale przedstawimy konstrukcję iloczynu tensorowegoprzestrzeni Hilberta, iloczynu tensorowego symetrycznego, przestrzeni Fockaoraz symetrycznej przestrzeni Focka. Wiadomości te pochodzą z [12] oraz[14]. Tam również można znaleźć dowody przytaczanych faktów.

Zdefiniujemy najpierw iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych. NiechE1, E2 będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Będziemy analizowaćjedynie przypadek, gdy K = C. Niech E1 × E2 będzie przestrzenią liniową,której bazą jest zbiór E1 × E2. Niech N ⊂ E1 × E2 oznacza podprzestrzeńgenerowaną przez wektory postaci

(n∑i=1

aix1,i, x2)−n∑i=1

ai(x1,i, x2), (2.1)

(x1,n∑i=1

aix2,i)−n∑i=1

ai(x1, x2,i), (2.2)

gdzie ai ∈ C, x1,i, x1 ∈ E1, x2,i, x2 ∈ E2, 1 ¬ i ¬ n, n 1.

Definicja 2.1. Przestrzeń ilorazową E1 × E2/N nazywamy (algebraicznym)produktem (iloczynem) tensorowym przestrzeni liniowych E1, E2 i oznacza-my ją E1 ⊗ E2.

Niechπ : E1 × E2 → E1 × E2/N = E1 ⊗ E2

będzie naturalnym homomorfizmem. Dla x1 ∈ E1, x2 ∈ E2 stosujemy ozna-czenie

x1 ⊗ x2 = π((x1, x2)).

Wówczas (2.1) i (2.2) oznaczają, że

(n∑i=1

aix1,i)⊗ x2 =n∑i=1

aix1,i ⊗ x2,

5

6 2. Iloczyn tensorowy

x1 ⊗ (n∑i=1

aix2,i) =n∑i=1

aix1 ⊗ x2,i.

Zasadniczą własnością produktu tensorowego jest następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie 2.1. Niech E1, E2, F będą przestrzeniami liniowymi. Istniejenaturalny izomorfizm liniowy pomiędzy przestrzenią odwzorowań liniowychE1 ⊗ E2 w F : Lin(E1 ⊗ E2, F ), a przestrzenią odwzorowań dwuliniowychE1 × E2 w F : Lin2(E1 × E2, F ). Izomorfizm ten wyznaczony jest przez za-leżność

A(x1 ⊗ x2) = A(x1, x2),

dla A : E1 × E2 → F .

Stwierdzenie 2.2. Niech X1, X2 będą niepustymi zbiorami i niechV1 ⊂ CX1 , V2 ⊂ CX2 będą podprzestrzeniami liniowymi. Wówczas przestrzeńV1 ⊗ V2 jest izomorficzna z poprzestrzenią W ⊂ CX1×X2 generowaną przezfunkcje postaci f1 ⊗ f2, gdzie

f1 ⊗ f2(x1, x2) = f1(x1) · f2(x2)

dla dowolnych (x1, x2) ∈ X1 ×X2.

Stwierdzenie 2.3. Niech H1, H2 będą przestrzeniami prehilbertowskimi ziloczynami skalarnymi odpowiednio 〈·, ·〉H1, 〈·, ·〉H2. Wówczas przestrzeń li-niowa H1 ⊗ H2 jest również przestrzenią prehilbertowską, z iloczynem ska-larnym danym wzorem

〈x1 ⊗ x2, y1 ⊗ y2〉 = 〈x1, y1〉H1〈x2, y2〉H2 .

Definicja 2.2. Produktem tensorowym (iloczynem tensorowym) przestrzeniHilberta H1, H2 nazywamy uzupełnienie przestrzeni metrycznej H1 ⊗ H2

z metryką wyznaczoną przez określony powyżej iloczyn skalarny. Oznaczamyją w ten sam sposób: H1 ⊗ H2. W dalszym ciągu pracy przez H1 ⊗ H2

będziemy rozumieć przestrzeń Hilberta.

Stwierdzenie 2.4. Jeśli {xi; i ∈ I} oraz {yj ; j ∈ J} generują przestrzenieHilberta odpowiednio H1 i H2, to rodzina

{xi ⊗ yj ; (i, j) ∈ I × J}

generuje przestrzeń Hilberta H1 ⊗ H2. Ponadto, jeśli {xi; i ∈ I} oraz{yj ; j ∈ J} są bazami ortonormalnymi odpowiednio przestrzeni H1, H2, to{xi ⊗ yj ; (i, j) ∈ I × J} jest bazą ortonormalną przestrzeni H1 ⊗H2.

Stwierdzenie 2.5. Produkt tensorowy przestrzeni Hilberta

L2(X1,B1, µ1)⊗ L2(X2,B2, µ2)

7

jest izomorficzny z przestrzenią L2(X1×X2,B1⊗B2, µ1⊗µ2) oraz z przestrze-nią L2(X1, µ1;L2(X2, µ2)). Pierwszy z izomorfizmów otrzymujemy przezidentyfikację tensora f1 ⊗ f2 z funkcją

(x1, x2) 7→ f1(x1) · f2(x2),

a drugi przez jego identyfikację z funkcją

x1 7→ f1(x1) · f2(·) ∈ L2(X2, µ2).

W podobny sposób, jak w przypadku dwóch przestrzeni Hilberta, możnarozpatrywać produkt tensorowy dowolnej skończonej liczby przestrzeni Hil-berta H1, . . . ,Hn. Odwzorowania dwuliniowe zamienia się na wieloliniowe,przy czym z konstrukcji wynika reguła „łączności” produktu tensorowego.Iloczyn skalarny w przestrzeni H1 ⊗ · · · ⊗Hn spełnia równość

〈x1 ⊗ · · · ⊗ xn, y1 ⊗ · · · ⊗ yn〉 = 〈x1, y1〉H1 · · · · · 〈xn, yn〉Hn .

Uwaga 2.1. 〈x⊗n, y⊗n〉 = 〈x, y〉n dla x, y ∈ H.

Definicja 2.3. Niech U1, U2 będą operatorami unitarnymi przestrzeni Hil-berta odpowiednio H1, H2. Operator U1⊗U2 : H1⊗H1 → H1⊗H2 definiu-jemy w następujący sposób:

(U1 ⊗ U2)(x1 ⊗ x2) = U1(x1)⊗ U2(x2), (2.3)

dla dowolnych elementów x1 ∈ H1, x2 ∈ H2 i nazywamy go produktem(iloczynem) tensorowym operatorów U1, U2.

Uwaga 2.2. Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy wzór (2.3) rozsze-rza się w sposób jednoznaczny do operatora unitarnego zadanego na prze-strzeni H1 ⊗H2.

Definicja 2.4. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta. Przestrzeń

F (H) =∞⊕n=0

H⊗n,

gdzie H⊗n = H ⊗ · · · ⊗H︸︷︷︸n

, H0 = C, nazywamy przestrzenią Focka. Dla

operatora unitarnego U : H → H przez F (U) oznaczać będziemy odpowia-dający operator unitarny przestrzeni Focka:

F (U) =∞⊕n=0

U⊗n : F (H)→ F (H).

Zdefiniujemy teraz symetryczny produkt tensorowy.

8 2. Iloczyn tensorowy

Stwierdzenie 2.6. Niech H będzie przestrzenią Hilberta, niech n 1 orazniech σ ∈ S(n), gdzie S(n) oznacza grupę permutacji zbioru {1, . . . , n}.Istnieje dokładnie jeden operator unitarny na H⊗n, oznaczany przez Uσ,który spełnia warunek:

Uσ(x1 ⊗ · · · ⊗ xn) = xσ(1) ⊗ · · · ⊗ xσ(n) dla dowolnych x1, . . . , xn ∈ H.

Uwaga 2.3. Operatorem odwrotnym do Uσ jest operator Uσ−1 .

Definicja 2.5. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta. Przestrzeń

H�n = {x ∈ H⊗n; Uσ(x) = x dla dowolnej permutacji σ ∈ S(n)}

nazywamy n-tą symetryczną potęgą tensorową przestrzeni H.

Stwierdzenie 2.7. Dla dowolnej przestrzeni Hilberta H oraz n 1,

projH�n =1n!

∑π∈S(n)

Uπ.

Niech x1, . . . , xn ∈ H. Kładziemy

x1 � · · · � xn =1√n!

∑π∈S(n)

xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(n) =

=1√n!

∑π∈S(n)

Uπ(x1 ⊗ · · · ⊗ xn) =√n! · projH�nx1 ⊗ · · · ⊗ xn.

Wówczas

〈x1 � · · · � xn, y1 � · · · � yn〉 =∑

π∈S(n)

〈x1, yπ(1)〉 · · · · · 〈xn, yπ(n)〉.

W szczególności, dla x ∈ H mamy

x�n =√n! · x⊗n

oraz〈x�n, y�n〉 = n!〈x, y〉n.

Stwierdzenie 2.8. Niech {xi; i ∈ I} będzie bazą ortonormalną ośrodkowejprzestrzeni Hilberta H. Wówczas rodzina

{ 1√∏rs=1 ks!

x�k1i1� · · · � x�krir

;

i1 < · · · < ir, 0 < ks (s = 1, . . . , r), k1 + · · ·+ kr = n}

jest bazą ortonormalną przestrzeni H�n.

9

Definicja 2.6. Niech U : H → H będzie operatorem unitarnym ośrodkowejprzestrzeni Hilberta. Ograniczenie U⊗n do podprzestrzeni H�n będziemyoznaczać przez U�n. Przestrzeń

Fsym(H) =∞⊕n=0

H�n, H�0 = C,

nazywamy symetryczną przestrzenią Focka. Przez Fsym(U) oznacza-my odpowiadający operator unitarny symetrycznej przestrzeni Focka:Fsym(U) =

⊕∞n=0 U

�n.

Rozdział 3

Teoria miary, działanie grupna zbiorach

W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia i zacytujemy twierdzenia,które są potrzebne w dalszej części pracy.

3.1 Miary warunkowe

Zdefiniujemy teraz warunkową wartość oczekiwaną.

Twierdzenie 3.1. Niech (X,B, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaśA ⊂ B pod-σ-algebrą. Wówczas istnieje odwzorowanie (nazywane warunko-wą wartością oczekiwaną)

E(·|A) : L1(X,B, µ)→ L1(X,A, µ),

które spełnia poniższe własności:

1. Dla f ∈ L1(X,B, µ), E(f |A) jest wyznaczona jednoznacznie prawiewszędzie przez następujące warunki:

• E(f |A) jest funkcją A-mierzalną,

• dla dowolnego zbioru A ∈ A,∫AE(f |A)dµ =

∫A fdµ.

2. E(·|A) jest operatorem liniowym o normie 1. Ponadto E(f |A) 0,gdy f 0 dla f ∈ L1(X,B, µ).

3. Dla f ∈ L1(X,B, µ), g ∈ L∞(X,A, µ)

E(gf |A) = gE(f |A) p.w.

4. Jeśli A′ ⊂ A jest pod-σ-algebrą, to

E(E(f |A)|A′) = E(f |A′) p.w.

11

12 3. Teoria miary, działanie grup na zbiorach

5. Dla f ∈ L1(X,A, µ) E(f |A) = f p.w.

6. Dla dowolnej funkcji f ∈ L1(X,B, µ), |E(f |A)| ¬ E(|f ||A) p.w.

Uwaga 3.1. Operator E(·|A) działa na przestrzeni L2(X,B, µ) jako pro-jekcja ortogonalna na podprzestrzeń L2(X,A, µ).

Przykład 3.1. Jeśli A = σ(ξ) jest skończoną σ-algebrą generowaną przezskończone rozbicie ξ = {A1, . . . , An} przestrzeni X, to

E(f |A)(x) =1

µ(Ai)

∫Ai

fdµ dla x ∈ Ai.

Przykład 3.2. Rozpatrzmy przestrzeń X = [0, 1]2 z dwuwymiarową miarąLebesgue’a. Niech A = B × {∅, [0, 1]} będzie σ-algebrą złożoną ze zbiorówpostaci B × [0, 1] (B ∈ B). Wówczas

E(f |A)(x1, x2) =∫ 1

0f(x1, t)dt.

Zauważmy, że wartości funkcji E(f |A) są otrzymywane przez obliczenie śred-niej funkcji f na zbiorze dwuwymiarowej miary Lebesgue’a zero.

W świetle własności z twierdzenia 3.1 oraz powyższych przykładów, naE(f |A)(x) możemy patrzeć jak na średnią funkcji f na pewnej części prze-strzeni mierzalnej, gdzie wybór tej części zależy od argumentu x.

Definicja 3.1. Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną z miarą pro-babilistyczną zadaną na σ-algebrze B zbiorów borelowskich tej przestrzeni.Przestrzeń (X,B, µ) nazywamy standardową borelowską przestrzenią proba-bilistyczną.

Definicja 3.2. Dla σ-algebr C, C′ równość C µ= C′ oznacza, że dla dowolnych

zbiorów A ∈ C, B′ ∈ C′ istnieją zbiory B ∈ C, A′ ∈ C′ takie, że µ(A4A′) = 0oraz µ(B4B′) = 0.

Zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.2. Niech (X,B, µ) będzie standardową borelowską przestrze-nią probabilistyczną, zaś A ⊂ B pod-σ-algebrą. Istnieje podzbiór X ′ ⊂ X taki,że µ(X \X ′) = 0 oraz układ {µAx ; x ∈ X ′} miar na X, nazywany układemmiar warunkowych o następujących własnościach:

1. µAx jest miarą probabilistyczną na X oraz dla wszystkichf ∈ L1(X,B, µ) zachodzi

E(f |A)(x) =∫f(y)dµAx (y) p.w.

Innymi słowy, dla dowolnej funkcji f ∈ L1(X,B, µ),∫f(y)dµAx (y) za-

leży w sposób A-mierzalny od x oraz∫A

∫f(y)dµAx (y)dµ(x) =

∫Afdµ dla wszystkich A ∈ A.

3.1. Miary warunkowe 13

2. Dla dowolnej σ-algebry A′ takiej, że A′ µ= A zachodzi µAx = µA′

x dlap.w. x ∈ X.

3. Jeśli σ-algebra A jest przeliczalnie generowana, to µAx ([x]A) = 1 p.w.,gdzie

[x]A =⋂

x∈A∈AA

jest atomem σ-algebry A, do którego należy x. Ponadto, jeśli[x]A = [y]A, to µAx = µAy .

4. Własność 1 w jednoznaczny sposób wyznacza µAx dla p.w. x ∈ X. Cowięcej, wystarczy, by własność 1 zachodziła dla gęstego przeliczalnegozbioru funkcji ciągłych na X, by miary µAx były w jednoznaczny sposóbwyznaczone dla p.w. x ∈ X.

Definicja 3.3. Układ miar warunkowych z powyższego twierdzenia nazy-wamy dezintegracją miary µ.

Twierdzenie 3.2 charakteryzuje miary warunkowe w terminach warun-kowej wartości oczekiwanej. Podamy teraz bardziej geometryczną charakte-ryzację.

Twierdzenie 3.3. Niech (X,B, µ) będzie standardową borelowską przestrze-nią probabilistyczną i niech A będzie pod-σ-algebrą σ-algebry B. Przypuśćmy,że istnieje zbiór X ′ ∈ B pełnej miary µ oraz układ {νx; x ∈ X ′} miar pro-babilistycznych takich, że:

• odwzorowanie x 7→ νx jest mierzalne, to znaczy dla dowolnej funkcjif ∈ L∞(X,B, µ) funkcja

∫fdνx jest mierzalna,

• νx = νy dla x, y ∈ X ′ takich, że [x]A = [y]A,

• νx([x]A) = 1,

• µ =∫νxdµ(x), to znaczy

∫fdµ =

∫∫fdνxdµ(x) dla wszystkich funkcji

f ∈ L∞(X,B, µ).

Wówczas νx = µAx dla p.w. x. Teza jest również prawdziwa w przypadku, gdypowyższe własności zachodzą dla gęstęgo przeliczalnego zbioru rzeczywistychfunkcji ciągłych na X.

Dowody twierdzeń dotyczących warunkowych wartości oczekiwanychi miar warunkowych oraz więcej informacji na ten temat można znaleźćw [6]. Stamtąd pochodzą też przytoczone przykłady.

14 3. Teoria miary, działanie grup na zbiorach

3.2 Działanie grup na zbiorach

Niech G będzie grupą, a X niepustym zbiorem. Poniższe definicje istwierdzenia pochodzą z [3].

Definicja 3.4. Niech δ : G × X → X. Oznaczmy δ(g, x) = g(x) ∈ X.Funkcję δ nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X, o ile spełnione sąnastępujące warunki:

1. ∀x∈X e(x) = x,

2. ∀x∈X∀g,h∈G (gh)(x) = g(h(x)).

Definicja 3.5. Stabilizatorem elementu x ∈ X nazywamy zbiór

Gx = {g ∈ G; g(x) = x}.

Definicja 3.6. Orbitą elementu x ∈ X nazywamy zbiór

Gx = {y ∈ X; ∃g∈G y = g(x)}.

Niech grupa skończona G działa na zbiorze X. Prawdziwe są wówczasnastępujące stwierdzenia:

Stwierdzenie 3.4. Dla dowolnego x ∈ X stabilizator Gx elementu x jestpodgrupą grupy G.

Stwierdzenie 3.5. Moc orbity dowolnego elementu grupy jest równa indek-sowi jego stabilizatora:

#(Gx) = #(G : Gx).

Lemat 3.6 (Cauchy, Frobenius, Burnside). Liczba oG orbit wyznaczonychprzez działanie grupy G na zbiorze X jest równa

oG =1

#G

∑g∈G

#Xg,

gdzie Xg = {x ∈ X; g(x) = x}.

Rozdział 4

Przykłady analizyspektralnej

4.1 Iloczyn tensorowy dwóch operatorów

Niech Ui : Hi → Hi, i = 1, 2 będą operatorami unitarnymi ośrodkowychprzestrzeni Hilberta.

Twierdzenie 4.1. Maksymalny typ spektralny σU1⊗U2 jest równy σU1 ∗σU2.

Dowód. Ponieważ przestrzeń H1 ⊗ H2 jest generowana przez tensorypostaci x1 ⊗ x2 oraz

〈(U1 ⊗ U2)n(x1 ⊗ x2), x1 ⊗ x2〉 = 〈Un1 x1, x1〉〈Un2 x2, x2〉,

więc zachodzi następująca równość współczynników Fouriera miar:

σx1⊗x2 [n] = σx1 [n] · σx2 [n]

dla dowolnego n ∈ Z. Zatem

σx1⊗x2 = σx1 ∗ σx2 � σU1 ∗ σU2 .

Stąd miara spektralna dowolnego elementu przestrzeni H1 ⊗ H2 względemoperatora U1⊗U2 jest absolutnie ciągła względem miary σU1 ∗σU2 . Ponadtomiara ta jest realizowana przez iloczyn tensorowy elementów realizującychmaksymalne typy spektralne operatorów U1, U2. �

Wskażemy teraz metodę obliczania krotności spektralnej produktu ten-sorowego operatorów unitarnych. Przeprowadzimy analizę przypadku, gdyU1, U2 mają proste widmo. Niech σ, ν będą miarami dodatnimi na T. Roz-patrzmy operator Vσ⊗Vν . Przy identyfikacji przestrzeni L2(T, σ)⊗L2(T, ν)

15

16 4. Przykłady analizy spektralnej

z przestrzenią L2(T × T, σ ⊗ ν) ze stwierdzenia 2.5 operator Vσ ⊗ Vν stajesię równy operatorowi W , dla którego

W (F )(z1, z2) = z1z2F (z1, z2)

dla dowolnej funkcji F ∈ L2(T×T, σ⊗ ν). Niech s : T×T→ T będzie danewzorem s(z1, z2) = z1z2. Zatem s∗(σ ⊗ ν) = σ ∗ ν, a ponadto

σ ⊗ ν =∫

Tµzd(σ ∗ ν)(z),

gdzie miary warunkowe µz są skupione na zbiorach s−1(z) dla σ ∗ ν prawiewszystkich z ∈ T. Zauważmy, że wówczas dla A ∈ B(T) mamy

σ ∗ ν(A) = 0 ⇐⇒ µz(s−1(A)) = 0 dla σ ∗ µ-p.w. z ∈ A. (4.1)

Rzeczywiście,

σ ∗ µ(A) = 0 ⇐⇒ s∗(σ ⊗ µ)(A) = 0 ⇐⇒ σ ⊗ µ(s−1(A)) = 0 ⇐⇒

⇐⇒∫Aµz(s−1(A))dσ∗µ(z) = 0 ⇐⇒ µz(s−1(A)) = 0 dla σ∗µ-p.w. z ∈ A.

Zauważmy ponadto, że operator Us : L2(T, σ∗µ)→ L2(T×T, σ⊗µ) określonywzorem

Us(f)(z1, z2) = f(s(z1, z2)) = f(z1z2)

jest izometrią (na ogół nieodwracalną, gdyż odwzorowanie s nie musi byćróżnowartościowe p.w.). Ponadto

W ◦ Us = Us ◦ Vσ∗ν . (4.2)

Rozbijamy teraz okrąg T:

T =∞⋃n=1

Zn ∪ Z∞ ∪ Zc, (4.3)

gdzie dla z ∈ Zn miara warunkowa µz jest miarą atomową o n atomach(n 1), dla z ∈ Z∞ miara µz jest miarą dyskretną o nieskończenie wieluatomach, natomiast dla z ∈ Zc miara warunkowa nie jest miarą dyskretną.

Aby wykazać mierzalność powyższego rozbicia skorzystamy z następują-cego lematu Lebesgue’a (jego dowód można znaleźć np. w [8]):

Twierdzenie 4.2 (H. Lebesgue). Niech (X, d) będzie zwartą przestrzeniąmetryczną i niech U = {Uλ}λ∈Λ będzie otwartym pokryciem X. Wówczasistnieje liczba δ > 0 (nazywana liczbą Lebesgue’a) taka, że dla dowolnegopodzbioru A ⊂ X o średnicy diam(A) < δ istnieje λ ∈ Λ taka, że A ⊂ Uλ.

Lemat 4.3. Rozbicie (4.3) jest mierzalne.

4.1. Iloczyn tensorowy dwóch operatorów 17

Dowód. Niech {xi; i ∈ N} będzie podzbiorem gęstym (np. zbiorem liczbzespolonych o module jeden i argumentach będących wymierną wielokrot-nością π). Oznaczmy przez Ai,j (i, j ∈ N) następujące zbiory:

Ai,j = {(z1, z2) ∈ T2; Arg(xi) ¬ Arg(z2) ¬ Arg(xj) lub

Arg(xj) ¬ Arg(z2) ¬ Arg(xi)}.

Niech funkcje fn1 , fz : T→ R będą dane wzorami

fn1 (z) = supi,j∈N{µz(Ai,j); |Arg(xi)−Arg(xj)| <

1n},

f1(z) = infn∈N

fn1 (z).

Ze względu na twierdzenie 3.2, funkcje fn1 dla n 1 są mierzalne, więcrównież funkcja f1 jest mierzalna. Pokażemy, że wartość funkcji f1 dla argu-mentu z ∈ T to miara największego atomu miary µz, a w przypadku miaryciągłej wartość ta wynosi zero. Istotnie, załóżmy, że f1(z0) > ε dla pewnegoε > 0. Pokażemy, że miara µz0 ma atom. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn.miara ta jest ciągła. Z definicji funkcji f1, fn1 otrzymujemy, że fn1 (z0) > ε dlawszystkich n ∈ N, a następnie, że dla dowolnego n ∈ N istnieją in, jn ∈ N ta-kie, że |Arg(xin)−Arg(xjn)| < 1

n oraz µz0(Ain,jn) > ε. Weźmy teraz otwartepokrycie T2 zbiorami miary ε postaci T × Uλ, gdzie λ ∈ T oraz λ ∈ Uλ dladowolnego λ ∈ T. Niech δ > 0 będzie liczbą Lebesgue’a dla tego pokrycia.Istnieje n ∈ N takie, że |Arg(xin) − Arg(xjn)| < δ. Oznacza to, że istniejetakie λ ∈ Λ, że Ain,jn ⊂ T× Uλ. Zatem

ε < µz0(Ain,jn) ¬ µz0(T× Uλ) = ε.

Otrzymaliśmy więc sprzeczność. Z drugiej strony, jeśli punkt (zz−10 , z0) jest

atomem miary µz, to fn1 (z) µz({(zz−10 , z0)}) dla wszystkich n ∈ N, więc

również f1(z) = infn∈N fn1 (z) µz({(zz−1

0 , z0)}) > 0, co kończy dowód fak-tu, że f1(z) przyjmuje wartość miary największego atomu miary µz.

Niech funkcje fnk , fk : T→ R dla k 1 dane będą wzorami:

fnk (z) = supi1,...,ik,j1,...,jk∈N{µz(Ai1,j1 ∪ · · · ∪Aik,jk);

zbiory Ai1,j1 , . . . , Aik,jk są parami rozłączne oraz

|xis − xjs | <1n

dla 1 ¬ s ¬ k},

fk(z) = infn∈N

fnk (z).

Podobnie, jak wcześniej, można pokazać, że wartość funkcji fk dla argumen-tu z ∈ T to suma miar k atomów miary µz o największej mierze.

Niech funkcja g : T→ R będzie dana wzorem

g(z) = µz(T2)− limk→∞

fk(z).


Funkcja g jest funkcją mierzalną i przyjmuje wartość zero dla tych argumen-tów z ∈ T, dla których miara µz jest czysto atomowa i przyjmuje wartośćwiększą od zera dla tych z ∈ T, dla których miara µz ma część ciągłą.

Zauważmy, że

Zn = {z ∈ T; fn+1(z) = fn(z)} ∩ g−1({0}) dla n 1,

Zc = g−1((0,+∞)),

Z∞ = T \ ∪∞n=1Zn \ Zc.

Są to więc zbiory mierzalne. Tym samym dowód lematu został zakończo-ny.1 �

Twierdzenie 4.4. Operator Vσ ⊗ Vν ma:

• jednorodną krotność spektralną n na Zn z typem σ ∗ ν|Zn, n 1,

• nieskończoną krotność jednorodną na Z∞ ∪ Zc z typem σ ∗ ν|Z∞∪Zc .

Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego Z ∈ B(T) podprzestrzeńχs−1(Z)L

2(T×T, σ⊗ν) jest podprzestrzenią niezmienniczą dla operatora W .Ustalmy n 1 i niech ρn = σ ∗ ν|Zn . Istnieje rozbicie mierzalne2

s−1(Zn) =n⋃i=1

Zn,i,

dla którego zbiór Zn,i ∩ s−1(z) zawiera dokładnie jeden atom miary µz dlaρn-p.w. z ∈ Zn (tzn. istnieje mierzalna metoda wyboru po jednym atomiemiar warunkowych z włókien odwzorowania s). Oznacza to, że odwzorowanies|Zn,i jest różnowartościowe (p.w.), a ponadto

(s|Zn,i)∗(σ ⊗ ν|s−1(Zn,i)) ≡ σ ∗ ν|Zn ,

co (patrz (4.2)) oznacza, że odpowiednie obcięcie operatora Us ustala izo-morfizm działania operatora W na podprzestrzeni χZn,iL

2(T × T, σ ⊗ ν)z obcięciem działania operatora Vσ∗ν do χZnL

2(T, s∗(σ ⊗ ν)|Zn,i). Ale zewzględu na (4.1),

s∗(σ ⊗ ν)|Zn,i ≡ (σ ∗ ν)|Zn .

Ponieważ Vσ∗ν |χZnL2(T,σ∗ν) ma proste widmo, więc naχs−1(Zn)L

2(T× T, σ ⊗ ν) operator W ma krotność jednorodną równąn (a maksymalny typ spektralny wynosi σ ∗ ν|Zn).

1Funkcje, których wartościami są miary kolejnych atomów miar warunkowych pojawia-ją się w [1], jednak bez dowodu ich mierzalności.2W. A. Rochlin, Ob osnownych poniatiach tieorii miery, Mat. Sbornik 67 (1949),

107-150 (patrz [10])

4.2. Słaba zbieżność 19

Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla Z∞. Dla (p.w.) z ∈ Zc kła-dziemy µz = µ

(d)z +µ

(c)z , gdzie µ(c)

z jest (z założenia niezerową) częścią ciągłąmiary µz. Zauważmy, że maksymalny typ spektralny operatora W na pod-przestrzeni χs−1(Zc)L

2(T × T, σ ⊗ ν) jest równy σ ∗ ν|Zc . Weźmy dowolną

liczbę naturalną k 1. Ponieważ miary µ(c)z są ciągłe, więc istnieje rozbicie

mierzalne

s−1(Zc) =k∑i=1

Zc,i

takie, że µ(c)z (Zc,i) > 0 dla (p.w.) z ∈ Zc. Wtedy, ze względu na (4.1)

miara s∗(σ ⊗ ν)|Zc,i jest miarą równoważną mierze σ ∗ ν|Zc . Oznaczato, że znaleźliśmy k podprzestrzeni niezmienniczych (dla operatora W )przestrzeni χs−1(Zc,i)L

2(T × T, σ ⊗ ν) parami ortogonalnych, na którychich maksymalny typ spektralny jest typem miary σ ∗ ν|Zc . Ponieważmaksymalny typ spektralny operatora W na χs−1(Zc,i)L

2(T× T, σ ⊗ ν) jestrówny σ ∗ ν|Zc , więc na χs−1L2(T× T, σ ⊗ ν) operator W ma nieskończonąkrotność jednorodną (zauważmy, że ewentualne atomy miar warunkowychdla z ∈ Zc już niczego nie wnoszą do tego rozumowania). �

Powyższe twierdzenia wraz z dowodami (oprócz twierdzenia 4.2 i lema-tu 4.3) pochodzą z [11].

4.2 Słaba zbieżność

W tej części pracy będziemy zakładać pewne słabe zbieżności, aby otrzy-mać proste widmo dla produktów tensorowych rozpatrywanych operatorów.Będziemy się opierać na [9].

Lemat 4.5. Niech V : H → H będzie operatorem unitarnym przestrzeniHilberta. Jeśli F ⊂ H jest domkniętą podprzestrzenią V -niezmienniczą, orazV nt → A w słabej topologii operatorowej, gdzie A jest operatorem liniowymi ciągłym na H, to AF ⊂ F .

Dowód. Z twierdzenia Mazura przestrzeń F jako domknięta podprze-strzeń przestrzeni Hilberta H jest słabo domknięta, co pociąga zawieranieAF ⊂ F. �

Lemat 4.6. Niech Vi : Hi → Hi będzie operatorem unitarnym (i = 1, 2)oraz V nt

i → Ai słabo, gdzie Ai są operatorami liniowymi i ograniczonymi naprzestrzeniach Hi. Wówczas (V ∗i )nt → A∗i słabo oraz (V1⊗V2)nt → A1⊗A2

słabo.

Dowód. Dowód wynika wprost z definicji słabej zbieżności. �


Twierdzenie 4.7. Niech V1 i V2 będą operatorami unitarnymi ośrodko-wych przestrzeni Hilberta odpowiednio H1, H2 oraz załóżmy następujące słabezbieżności:

V nt1 → c1 · Id,V nt

2 → c2 · Id,

gdzie c1 6= c2. Wówczas σV1 ⊥ σV2.

Dowód. Przypuśćmy, że σV1 6⊥ σV2 . Wówczas istnieje niezerowa miara µtaka, że µ � σV1 , σV2 . Zatem istnieją niezerowe elementy yi ∈ Hi takie, żeσy1,V1 = σy2,V2 = µ. Stąd

µ[−nt] = σy1,V1 [−nt] = 〈V nt1 y1, y1〉 → c1||y1||2.

Z drugiej strony jednak

µ[−nt] = σy2,V2 [−nt] = 〈V nt2 y2, y2〉 → c2||y2||2.

Obie te równości nie mogą zachodzić jednocześnie przy c1 6= c2, gdyż

||y1||2 = σy1,V1(T) = ν(T) = σy2,V2(T) = ||y2||2.

�

Lemat 4.8. Załóżmy, że W : H → H jest operatorem liniowym i ogra-niczonym przestrzeni Hilberta. Jeśli F ⊂ H jest podprzestrzenią W - orazW ∗-niezmienniczą, to

projF ◦W = W ◦ projF .

Dowód. Zauważmy, że W (F⊥) ⊂ F⊥. Istotnie, niech x ⊥ F . Wów-czas dla f ∈ F mamy 〈Wx, f〉 = 〈x,W ∗f〉. Ponieważ W ∗(F ) ⊂ F , więcx ⊥W ∗(F ), co pociąga Wx ⊥ F . Niech x ∈ H. Wówczas ze względu naliniowość rozpatrywanych operatorów otrzymujemy, że

projF ◦W (x) = projF (W (projF (x))︸︷︷︸∈F

+W (x− projF (x))︸︷︷︸∈F⊥

) = W ◦ projF (x).

�

Twierdzenie 4.9. Niech Vi : Hi → Hi, i = 1, 2 będą operatorami unitarny-mi z prostym widmem. Przypuśćmy ponadto, że

1. V nti → 1

2(Id+ Vi) słabo (i = 1, 2),


2. V mti → 1

2(Id+ ciVi) słabo (i = 1, 2).

Jeśli c1 6= c2, to również operator V1 ⊗ V2 : H1 ⊗H2 → H1 ⊗H2 ma prostewidmo.

Dowód. Niech fi ∈ Hi będą takie, że Hi = ZVi(fi) (i = 1, 2). Pokażemy,że

H1 ⊗H2 = ZV1⊗V2(f1 ⊗ f2). (4.4)

Połóżmy F := ZV1⊗V2(f1 ⊗ f2). Mamy

V k1 f1 ⊗ V k

2 f2 ∈ F (4.5)

dla dowolnego k ∈ Z. Ponieważ z lematu 4.6

(V1 ⊗ V2)nt → 14

(Id+ V1)⊗ (Id+ V2),

więc(f1 + V1f1)⊗ (f2 + V2f2) ∈ F,

a zatem, korzystając z (4.5) otrzymujemy, że

f1 ⊗ V2f2 + V1f1 ⊗ f2 =

= (f1 + V1f1)⊗ (f2 + V2f2)− f1 ⊗ f2 − V1f1 ⊗ V2f2 ∈ F. (4.6)

Podobnie, (f1 + c1V1f1)⊗ (f2 + c2V2f2) ∈ F , skąd

c1V1f1 ⊗ f2 + f1 ⊗ (c2V2f2) =

= (f1 + c1V1f1)⊗ (f2 + c2V2f2)+

− f1 ⊗ f2 − (c1V1f1)⊗ (c2V2f2) ∈ F. (4.7)

Z (4.6) oraz (4.7) wynika, że

c1f1 ⊗ V2f2 − c2f1 ⊗ V2f2 =

= c1(f1 ⊗ V2f2 + V1f1 ⊗ f2)− (c1V1f1 ⊗ f2 + f1 ⊗ (c2V2f2)) ∈ F,

c2V1f1 ⊗ f2 − c1V1f1 ⊗ f2 =

= c2(f1 ⊗ V2f2 + V1f1 ⊗ f2)− (c1V1f1 ⊗ f2 + f1 ⊗ (c2V2f2)) ∈ F.

Ponieważ c1 6= c2, więc

f1 ⊗ V2f2 ∈ F, V1f1 ⊗ f2 ∈ F.

Załóżmy teraz, że f1⊗V j2 f2 ∈ F , V j

1 f1⊗f2 ∈ F dla j = 0, 1, . . . , s. Wówczasze względu na założone słabe zbieżności

4V nt1 ⊗ V

nt2 (V s

1 f1 ⊗ f2)→ (V s1 f1 + V s+1

1 f1)⊗ (f2 + V2f2) ∈ F.


Po opuszczeniu nawiasów mamy więc

V s1 f1 ⊗ f2 + V s

1 f1 ⊗ V2f2 + V s+11 f1 ⊗ f2 + V s+1

1 f1 ⊗ V2f2 ∈ F.

Zauważmy, że pierwszy, drugi i czwarty składnik sumy należą do Fz założenia indukcyjnego. W związku z tym, również musi zachodzićV s+1

1 f1 ⊗ f2 ∈ F . Podobnie, (f1 + V1f1)⊗ (V s2 f2 + V s+1

2 f2) ∈ F . Po opusz-czeniu nawiasów otrzymujemy, że

f1 ⊗ V s2 f2 + f1 ⊗ V s+1

2 f2 + V1f1 ⊗ V s2 f2 + V1f1 ⊗ V s+1

2 f2 ∈ F.

Tak, jak wcześniej, pierwszy, trzeci i czwarty składnik już z założenia należądo F , zatem również drugi składnik musi należeć do tej podprzestrzeni:

f1 ⊗ V s+12 f2 ∈ F.

Wykazaliśmy zatem, że V s1 f1 ⊗ V r

2 f2 ∈ F dla dowolnych r, s ∈ Z, skąd jużwynika (4.4) i dowód twierdzenia jest tym samym zakończony. �

Twierdzenie 4.10. Niech V : H → H będzie operatorem unitarnym z pro-stym ciągłym widmem. Przypuśćmy, że V nt → 1

2(Id+V ). Wówczas operatorV ⊗ V ma widmo jednorodne krotności 2.

Dowód. Pokażemy najpierw, że krotności spektralne operatora V ⊗ Vsą parzyste. Weźmy dezintegrację miary σV ⊗ σV nad σV ∗ σV :

σV ⊗ σV =∫

TµzdσV ∗ σV .

Niech miary µz dla z ∈ T dane będą wzorem P∗(µz) gdzie przekształcenieP : T2 → T2 zdefiniowane jest jako P ((z1, z2)) = (z2, z1). Wówczas

σV ⊗ σV = P∗(σV ⊗ σV ) =∫

TP∗(µz)dσV ∗ σV =

∫TµzdσV ∗ σV ,

więc z twierdzenia 3.3 mamy µz = µz dla p.w. z ∈ T. Pokażemy, że dla p.w.z ∈ T prawdziwa jest następująca własność:

jeśli punkt (z1, z2) ∈ T2 jest atomem miary µz,

to również (z2, z1) ∈ T2 jest jej atomem. (4.8)

Istotnie, niech z ∈ T będzie takie, że µz = µz. Załóżmy, że µz({(z1, z2)}) > 0.Wówczas

µz({(z2, z1)}) = µz({(z1, z2)}) = µz({(z1, z2)}) > 0.

PonieważσV ⊗ σV {(z, z) ∈ T2; z ∈ T} = 0, (4.9)


więc z (4.8) wynika, że ilość atomów miar warunkowych nie leżących na prze-kątnej {(z, z) ∈ T2; z ∈ T} jest parzysta i tym samym, z twierdzenia 4.4 (pomodyfikacji uwzględniającej (4.9)), funkcja krotności spektralnej operatoraV ⊗ V może przyjować tylko wartości parzyste.

OznaczmyF = ZV⊗V (f ⊗ V f) + ZV⊗V (V f ⊗ f),

gdzie f ∈ H jest taki, że H = ZV (f). Pokażemy, że F = H ⊗H. Postępującpodobnie jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia mamy

(V nt ⊗ V )(f ⊗ V f)→ 12

(f + V f)⊗ V 2f,

więc (ponieważ (V ⊗ V )(f ⊗ V f) = V f ⊗ V 2f ∈ F ) otrzymujemy, żef ⊗ V 2f ∈ F i podobnie f ⊗ V kf ∈ F dla k 1, a następnie dla k ¬ −1.Podobnie, jak wcześniej, korzystając z lematu 4.6

(V −nt ⊗ V )(V f ⊗ f)→ 12V f ⊗ f + f ⊗ f ∈ F,

więc również V kf ⊗ V kf ∈ F dla dowolnego k ∈ Z (wiemy już, żeV f ⊗ f ∈ F ). Oznacza to, że dla dowolnych k, l ∈ N mamy V kf ⊗ V lf ∈ F ,a zatem H ⊗ H ⊂ F . Oczywiście zawieranie odwrotne również zachodzi.Zatem funkcja krotności spektralnej operatora V ⊗ V jest ograniczonaz góry przez 2, co kończy dowód. �

Uwaga 4.1. Zauważmy, że zamiast założenia o ciągłym widmie w powyż-szym twierdzeniu wystarczy przyjąć, że σV ({1}) = 0. Istotnie, przypuśćmy,że funkcja f jest wektorem własnym dla operatora V , to znaczy V f = cfdla pewnego c ∈ T. Mamy więc

cnt ||f ||2 = 〈V ntf, f〉 → 12〈f + cf, f〉 =

12

(1 + c)||f ||2,

skąd cnt → 12(1 + c), co jest możliwe jedynie dla c = 1. Zatem jedyną możli-

wą wartością własną operatora V jest jeden. Jeśli wykluczymy tę możliwość,prawdziwa będzie równość (4.9). Jest to jedyne miejsce w dowodzie, w któ-rym została wykorzystana ciągłość miary σV .

W dalszej części rozpatrywać będziemy operatory unitarne V z prostymwidmem takie, że dla nieskończenie wielu κ (|κ| ¬ 1) istnieje ciąg nieskończo-

ny n(κ)t →∞ taki, że V n

(κ)t → 1

2(κ · Id+V ) w słabej topologii operatorowej.

Uwaga 4.2. Zauważmy, że takie operatory mają czysto ciągłe widmo. Istot-nie, przypuśćmy, że widmo nie jest czysto ciągłe. Jeśli V f = cf (|c| = 1, boV unitarny), to cnt → 1

2(κ+c) , co jest możliwe tylko dla κ = c, a założyliśmyistnienie nieskończonie wielu takich κ. Otrzymaliśmy więc sprzeczność.


Poniższe twierdzenie - w nieco słabszej wersji - udowonił O. Ageev. Po-dany tu dowód pochodzi natomiast z [9].

Twierdzenie 4.11. Załóżmy, że V i W są operatorami unitarnymi prze-strzeni Hilberta odpowiednio H i G oraz mają proste widmo. Niech S ⊂ Cbędzie zbiorem przeliczalnym. Załóżmy ponadto, że dla dowolnego κ ∈ S ist-nieją podciągi (n(κ)

t ), (m(κ)t ) takie, że zachodzą następujące zbieżności w sła-

bej topologii operatorowej:

V n(κ)t → 1

2(κ · Id+ V ), Wn

(κ)t → 1

2(κ · Id+W ), (4.10)

V m(κ)t → 1

2(κ · Id+ V ), Wm

(κ)t → 1

2(κ · Id+W ), (4.11)

gdzie κ 6= κ. Wówczas operator Fsym(V ) ⊗W ma proste widmo. W szcze-gólności, dla dowolnego k 1 operator V �k ⊗W ma proste widmo.

Dowód. Ustalmy k 1. Pokażemy, że V �k ⊗ W ma proste widmo.Załóżmy, że H = ZV (f), G = ZW (g) dla pewnych elementów f ∈ H, g ∈ G.Udowodnimy, że

H�k ⊗G = ZV �k⊗W (f⊗k ⊗ g). (4.12)

Pokażemy najpierw, żeH�k = ZV �k(f⊗k). (4.13)

Oznaczmy F = ZV �k(f⊗k). Z (4.10), dla dowolnego κ ∈ S, ponieważ prze-strzeń H�k jest V ⊗k-niezmiennicza oraz

(V ⊗k)nκt → 1

2k(κ · Id+ V )⊗k,

więc jest również (κ · Id+ V )⊗k- oraz((κ · Id+ V )⊗k

)∗-niezmiennicza i z le-

matu 4.8

projH�k ◦ (κ · Id+ V )⊗k = (κ · Id+ V )⊗k ◦ projH�k . (4.14)

Udowodnimy, że

projH�k(f⊗i0 ⊗ (V n1f)⊗i1 ⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗ip

)∈ F (4.15)

dla dowolnych i0, . . . , ip 0, i0 + i1 + · · ·+ ip = k, 0 = n0 < n1 < · · · < np.Istotnie, (4.15) zachodzi, gdy p = 0 (wtedy np = 0). Przypuśćmy, że rów-ność ta jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wyborów parametrówtakich, że np ¬ N. Pokażemy teraz, że zależność ta jest też prawdziwa dlaograniczenia N + 1. W tym celu przypuśćmy, że j0, . . . , jp 0,

∑ps=0 js = k,

np = N oraz

projH�k(f⊗j0 ⊗ (V n1f)⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗jp) ∈ F.


Ponieważ, podobnie jak H�k, podprzestrzeń F jest V ⊗k-niezmiennicza, ma-my z (4.10), że przestrzeń ta jest też (κ · Id + V )⊗k-niezmiennicza oraz((κ · Id+ V )⊗k

)∗-niezmiennicza. Korzystając więc z lematu 4.5 otrzymuje-

my, że

(κ · Id+ V )⊗k(projH�k

(f⊗j0 ⊗ (V n1f)⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗jp

))∈ F.

Z (4.14) wynika, że

projH�k((κ · Id+ V )⊗k(

f⊗j0 ⊗ (V n1f)⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗jp))∈ F. (4.16)

Innymi słowy, ze względu na liniowość operatora rzutowania,

projH�k(κkf⊗j0 ⊗ · · · ⊗ (V npF )⊗jp + κk−1(. . . ) + . . . ) =

= κkprojH�k(f⊗j0 ⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗jp) + κk−1projH�k(. . . ) + · · · ∈ F.

Popatrzmy na tę zależność, jak na pewne równanie algebraiczne, konkretnie

κk(projH�k(f⊗j0⊗· · ·⊗ (V npf)⊗jp)+F )+κk−1(projH�k(. . . )+F )+ · · · = 0

w H�k/F . Ponieważ powyższa równość jest spełniona dla nieskończonej ilo-ści κ, zatem „współczynniki” z H�k/F znikają, to znaczy należą wszystkiedo F . Faktycznie, wystarczy zadziałać na powyższą równość elementami z(H�k/F )∗ (gdyby któryś ze współczynników nie należał do F , to po zadzia-łaniu na nim pewnym funkcjonałem z przestrzeni sprzężonej otrzymaliby-śmy liczbę różną od zera, co nie jest możliwe ze względu na nieskończonąilość wartości κ, dla których równość ma być spełniona oraz teorię równańalgebraicznych). Zwróćmy teraz uwagę na współczynnik przy κk−1. Otrzy-mujemy, że

projH�k( f ⊗ · · · ⊗ f︸︷︷︸jedno f zastąpione przez V f

⊗(V n1f)⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V npf)jp+

+ f⊗j0 ⊗ V n1f ⊗ · · · ⊗ V n1f︸︷︷︸jedno V n1f zastąpione przez V n1+1f

⊗ · · · ⊗ (V npf)jp + · · ·+

+ f⊗j0 ⊗ (V n1f)⊗j1 ⊗ · · · ⊗ V npf ⊗ · · · ⊗ V npf︸︷︷︸jedno V npf zastąpione przez V np+1f

) ∈ F.

Korzystając z liniowości operatora projH�k oraz założenia indukcyjnegootrzymujemy, że wszystkie składniki oprócz ostatniego są już elementamiF . Stąd

projH�k(f⊗j0 ⊗ (V n1f)⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗(jp−1) ⊗ V np+1f) ∈ F


i tym samym wykazaliśmy (4.15) dla ograniczenia N + 1 i wszystkich do-puszczalnych parametrów z ostatnim elementem jq = 1. Spójrzmy na współ-czynnik przy κk−2. Otrzymujemy, że

projH�k(∑u¬w

f⊗j1 ⊗ · · · ⊗ V nuf ⊗ · · · ⊗ V nuf︸︷︷︸jedno V nuf zastąpione przez V nu+1f

⊗ · · ·⊗

⊗ V nwf ⊗ · · · ⊗ V nwf︸︷︷︸jedno V nwf zastąpione przez V nw+1f

⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗jp) ∈ F.

Jeśli w < p, możemy skorzystać z założenia indukcyjnego - odpowiednieprojekcje są już elementami podprzestrzeni F . Jeśli u < w = p również takjest, gdyż wykazaliśmy już (4.15) dla N + 1 oraz jq = 1. Zatem ostatniskładnik jest jedynym, który nie pojawił się wcześniej. Stąd

projH�k(f⊗j1 ⊗ (V n1f)⊗j1 ⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗(jp−2) ⊗ (V np+1)⊗2) ∈ F.

Pokazaliśmy zatem (4.15) dla ograniczenia N + 1 z jq = 2. Rozpatrującwspółczynniki przy κk−3, κk−4 itd., otrzymujemy, że (4.15) zachodzi.

Ponieważ Z(f) = H,

span({f⊗i0 ⊗ (V n1f)⊗i1 ⊗ · · · ⊗ (V npf)⊗ip ; i0, . . . , ip 0,

i0 + i1 + · · ·+ ip = k, n0, n1, . . . , np ∈ Z}) = H⊗k.

Zatem, z (4.15), F = ZV �k(f⊗k) = H�k i (4.13) zachodzi, więc operatorV �k ma proste widmo.

Oznaczmy przez F1 = ZV �k⊗W (f⊗k⊗g). Tak jak wcześniej, wykazujemy,że dla dowolnego κ ∈ S

(κf + V f)⊗k ⊗ (κg +Wg) ∈ F1,

(κf + V f)⊗k ⊗ (κg +Wg) ∈ F1,

więc po wzięciu różnicy mamy (κf + V f)⊗k ⊗ (κ − κ)g ∈ F1 i dalej(κf + V f)⊗k ⊗ g ∈ F1. Powtarzając wcześniejsze rozumowanie, patrzymytym razem na współczynnik przy κ0 i orzymujemy, że

(V f)⊗k ⊗ g ∈ F1. (4.17)

Ponieważ jednak przestrzeń F1 jest niezmiennicza ze względu na operatory(κ · Id+ V )⊗k ⊗ (κ · Id+W ) oraz (κ · Id+ V )⊗k ⊗ (κ · Id+W ), więc

(κV f + V 2f)⊗k ⊗ (κg +Wg) ∈ F1,

(κV f + V 2f)⊗k ⊗ (κg +Wg) ∈ F1,

skąd (κV f +V 2f)⊗k⊗ g ∈ F1 i - powtarzając argumenty, które uzasadniały(4.17) - również (V 2f)⊗k ⊗ g ∈ F1 oraz (indukcyjnie) (V rf)⊗k ⊗ g ∈ F1


dla dowolnego r 0. Stosując lemat 4.6, pokażemy, że jest tak również dlaujemnych r. Ponieważ

(κ · Id+ V )∗ = κ · Id+ V −1,

więc całe powyższe rozumowanie możemy powtórzyć, zamiast V i κ piszącV −1 i κ. Tym samym, dowód (4.12) został zakończony.

Aby udowodnić, że operator Fsym(U) ma również proste widmo, wystar-czy pokazać, że dla dowolnego N 1

Z⊕N

k=1 V�k(

N∑k=1

f⊗k) =N⊕k=1

H�k. (4.18)

Wprowadźmy oznaczenie

F = Z⊕N

k=1 V�k(

N∑k=1

f⊗k).

Ponieważ∑Nk=1 f

⊗k ∈ F , więc dla dowolnego κ ∈ S,∑Nk=1(κf+V f)⊗k ∈ F .

Stąd

κNf⊗N + κN−1(f⊗(N−1) +N ! · projH�N (f⊗N−1 ⊗ V f)) + · · ·++ (V f + · · ·+ (V f)⊗N ) ∈ F .

Rozpatrując⊕N

k=1H�k/F , tak jak wcześniej, otrzymujemy, że f⊗N ∈ F ,

a zatem H�N ⊂ F . Ponadto

f⊗(N−1) +N ! · projH�N (f⊗(N−1) ⊗ V f)︸︷︷︸∈H�N⊂F

∈ F ,

więc f⊗(N−1) ∈ F . Wynika stąd, że H�(N−1) ⊕H�N ⊂ F . Postępując dalejw ten sam sposób wykazujemy, że dla 1 ¬ k ¬ N f⊗k ∈ F , a zatem (4.18)zachodzi.

Aby pokazać, że również operator⊕∞

k=0 V�k ⊗ W ma proste widmo,

postępujemy podobnie. Przy ustalonym N 1, oznaczamy przez F1 pod-przestrzeń cykliczną generowaną przez

∑Nk=1 f

⊗k ⊗ g i mamy(N∑k=1

(κf + V f)⊗k)⊗ g ∈ F1.

Wówczas, powtarzając wcześniejszy argument,

κN(f⊗N ⊗ g

)+ κN−1

(f⊗(N−1) ⊗ g+N ! · projH�N (f⊗(N−1) ⊗ V f)⊗ g

)+

+ κN−2(f⊗(N−2) ⊗ g + (N − 1)! · projH�(N−1)(f

⊗(N−2) ⊗ V f)⊗ g+

+

(N

2

)·projH�N (f⊗(N−2)⊗(V f)⊗2)⊗g

)+· · ·+

(V f+· · ·+(V f)⊗N

)⊗g ∈ F1.


Zatem f⊗N × g ∈ F1, więc H�N ⊗G ⊂ F1. Ponadto

f⊗(N−1) ⊗ g + projH�N (f⊗(N−1) ⊗ V f)⊗ g︸︷︷︸∈H�N⊗G⊂F1

∈ F1,

więc f⊗(N−1) ⊗ g ∈ F1. Wynika stąd, że (H�(N−1) ⊕ H�N ) ⊗ G ⊂ F1.W ten sam sposób f⊗k ⊗ g ∈ F1 dla dowolnego 1 ¬ k ¬ N . Oznacza to, żeF1 =

⊕Nk=1H

�k ⊗ G. Zatem operator Fsym(V ) ⊗W ma proste widmo, cokończy dowód. �

Uwaga 4.3. Z powyższego dowodu można wywnioskować jeszczejedną własność: przy tych samych założeniach operator unitarnyFsym(V )⊕ Fsym(V )⊗W również ma proste widmo. Istotnie, wystarczy po-kazać, że dla dowolnych k, l ∈ N σ∗kV ⊥ σ∗lV ∗ σW . Aby otrzymać tę własnośćwykażemy, że

H�k ⊕ (H�l ⊗G) = ZV �k⊕V �l⊗W (f⊗k + f⊗l ⊗ g). (4.19)

Kładąc F2 = ZV �k⊕V �l⊗W (f⊗k + f⊗l ⊗ g) i postępując, jak w dowodzietwierdzenia 4.11, otrzymujemy, że

12k

(κf + V f)⊗k +12l

(κf + V f)⊗l ⊗ (κg +Wg) ∈ F2,

12k

(κf + V f)⊗k +12l

(κf + V f)⊗l ⊗ (κg +Wg) ∈ F2,

więc biorąc różnicę, (κf + V f)⊗l ⊗ g ∈ F2. Ponieważ takich κ jest nie-skończona ilość, więc (V f)⊗l ⊗ g ∈ F2, a zatem H�l ⊗ G ⊂ F2. Ponieważf⊗k + f⊗l ⊗ g ∈ F2, więc również f⊗k ∈ F2, skąd już wynika (4.19).

Uwaga 4.4. Niech V i W będą operatorami unitarnymi przestrzeni Hilbertaodpowiednio H i G oraz niech dla nieskończenie wielu 0 < κ < 1 istniejąpodciągi (n(κ)

t ), (m(κ)t ) takie, że zachodzą następujące zbieżności w słabej

topologii operatorowej:

V n(κ)t → κ · Id+ (1− κ)V , Wn

(κ)t → κ · Id+ (1− κ)W,

V m(κ)t → κ · Id+ (1− κ)V , Wm

(κ)t → κκ · Id+ (1− κ)W,

dla pewnego κ 6= 1, κ ∈ C. Wówczas zachodzą tezy twierdzenia 4.11 orazuwagi 4.3. Istotnie, zauważmy, że odwzorowanie x 7→ x

1−x jest 1−1 na odcin-ku (0, 1), a przestrzenie są niezmiennicze ze względu na mnożenie wektorówprzez stałe. Wystarczy teraz powtórzyć argumenty z dowodów twierdzenia4.11 oraz uwagi 4.3.

4.3. Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar 29

4.3 Funkcja krotności spektralnej. Rozłącznośćmiar

Niech U : H → H będzie operatorem unitarnym ośrodkowej przestrzeniHilberta. Zdefiniujmy Ik = {~i = (ik,1, . . . , ik,k) ∈ {1, . . . , n}k; ik,r 6= ik,s, r 6=s}. Niech G będzie podgrupą grupy S(n). G działa na zbiorze Ik w nastę-pujący sposób:

π((ik,1, . . . , ik,k)) = (π(ik,1), . . . , π(ik,k))

dla π ∈ G. Zauważmy, że G(Ik) = Ik. Na Ik możemy rozpatrywać relacjęrównoważności daną przez orbity działania grupy G na zbiorze Ik:

~ik ≡ ~i′k ⇐⇒ ∃π∈G π(~ik) = ~i′k.

Oznaczmy przez ok liczbę orbit działania grupy G na Ik. Udowodnimy teraznastępujące własności wymienione w [2]:

Lemat 4.12. Przy powyższych oznaczeniach prawdziwe są poniższe stwier-dzenia:

1. (o1, . . . , on) = (1, . . . , 1) dla G = S(n).

2. (o1, . . . , on) = (n, n(n− 1), . . . , n!, n!) dla G = {e}.

3. (o1, . . . , on) = (2, 3, . . . , n, n) dla G = {g ∈ S(n); g(n) = n}.

4. ok ¬ om dla k < m.

5. on−1 = on.

6. o2 o1(o1 − 1).

7. on = n!#G .

Dowód.

1. Ponieważ G = S(n), więc dla dowolnych ~ik1 , ~ik2 ∈ Ik istnieje π ∈ Gtakie, że π( ~ik1) = ~ik2 , więc cały zbiór Ik jest jedną orbitą.

2.

ok = #{~ik ∈ Ik; ~ik = ~ik} = #Ik =k−1∏i=0

(n− i)

3. Orbity działania grupy G na zbiorze Ik można wypisać wprost:

{(i1, . . . , ik); 1 ¬ ij ¬ n− 1}, {(n, i2, . . . , ik); 1 ¬ ij ¬ n− 1},{(i1, n, i3, . . . , ik); 1 ¬ ij ¬ n− 1}, . . . ,

{(i1, i2, . . . , ik−1, n); 1 ¬ ij ¬ n− 1}.


4. Zauważmy, że Ik widzimy w zbiorze Ik+l jako jego pierwsze k współ-rzędnych. Elementy Ik odpowiadające elementom z Ik+l, które zostałysklejone, również zostaną sklejone. Zatem uzasadniane nierówności za-chodzą.

5. Równość ta wynika z faktu, że elementy zbioru In są wyznaczone jed-noznacznie przez pierwszych n− 1 współrzędnych.

6. Dla (i1, j1), (i2, j2) ∈ I2, jeśli (i1, j1) ≡ (i2, j2), to i1 ≡ i2 oraz j1 ≡ j2.Oznacza to, że o2 szacuje się z dołu przez liczbę par (i, j), gdzie wy-bieramy po jednym i oraz j z klas abstrakcji działania G na I1. Takichpar jest o1(o1 − 1).

7. Zauważmy, że jeśli g 6= id, to {~in ∈ In; g(~in) = ~in} = ∅, jeśli zaśg = id, to {~in; g(~in) = ~in} = In. Zatem z lematu 3.6

on =1

#G#In =

n!#G

.

�Przez H⊗ninv(G) oznaczmy podprzestrzeń przestrzeni H⊗n tensorów niezmien-niczych ze względu na Uπ dla wszystkich π ∈ G.

Lemat 4.13. Dla dowolnych x1, . . . , xn ∈ H,

1#G

∑π∈G

xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(n) ∈ H⊗ninv(G).

Dowód. Niech τ ∈ G. Ponieważ G jest podgrupą,

Uτ (1

#G

∑π∈G

xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(n)) =1

#G

∑π∈G

Uτ (xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(n)) =

=1

#G

∑π∈G

xτ◦π(1) ⊗ · · · ⊗ xτ◦π(n) =1

#G

∑π∈G

xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(n).

�

Lemat 4.14. Przy powyższych oznaczeniach zachodzi następujący wzór:

projH⊗ninv(G) =1

#G

∑π∈G

Uπ.

Dowód. Połóżmy p = 1#G

∑π∈G Uπ. Ze względu na lemat 4.13,

p : H⊗n → H⊗ninv(G). Ponadto dla dowolnych tensorów x ∈ H⊗n, y ∈ H⊗ninv(G)mamy

〈x, y〉 = 〈x, 1#G

∑π−1∈G

Uπ−1 y〉 = 〈 1#G

∑π∈G

Uπx, y〉,


co kończy dowód. �

Wskażemy teraz pewne zależności między widmem operatorów U⊗n orazU�n = U⊗n|H�n .

Twierdzenie 4.15. Załóżmy, że σU = σ jest miarą bezatomową oraz żeU ma proste widmo. Ponadto załóżmy, że operator U�n ma proste widmo.Wówczas

MU⊗n|H⊗ninv(G)

(T) = {on} σ∗n − p.w.

Dowód. Ponieważ U ma proste widmo, więc możemy przyjąć, że

H = L2(T, σU ) oraz Uf(z) = zf(z).

Będziemy wykorzystywać porządek na T pochodzący z przyporządkowanialiczbom zespolonym ich argumentów głównych. Niech

A~i = {(z1, . . . , zn) ∈ Tn; zi1 < . . . < zin}

orazF~i = 1A~iL

2(Tn, σ⊗nU )

dla ~i ∈ In. Zauważmy, że zbiory A~i są parami rozłączne, więc dla ~i 6= ~jmamy F~i ⊥ F~j . Niech

B = {(z1, . . . , zn) ∈ Tn; zi = zj dla pewnych i, j, i 6= j}.

Wówczas z twierdzenia Fubiniego

σ⊗n(B) ¬(n

2

)σ⊗2({(z, z) ∈ T2; z ∈ T}).

Z ciągłości miary σ mamy więc

σ⊗n(B) = 0.

ZatemTn =

⋃~i∈In

A~i ∪B.

StądH⊗n =

⊕π∈S(n)

Fπ(1,...,n).

Otrzymujemy więc, że

H⊗ninv(G) = projH⊗ninv(G)H⊗n = projH⊗ninv(G)(

⊕π∈S(n)

Fπ(1,...,n)).


Zauważmy, żeUπ(F~i) = Fπ(~i) (4.20)

dla π ∈ S(n) oraz ~i ∈ In.Jeśli ~i ≡ ~j, to ~i = τ(~j) dla pewnego τ ∈ G. Pokażemy, że wówczas

projH⊗ninv(G)F~i = projH⊗ninv(G)F~j .

Niech więc f~i ∈ F~i. Z lematu 4.14 oraz faktu, że G jest podgrupą wynika, że

projH⊗ninv(G) =1

#G

∑π∈G

Uπ(f~i) =1

#G

∑π∈G

Uπ ◦ Uτ (f~i).

Ponieważ Uτ (f~i) ∈ Fτ(~i) = F~j , więc

projH⊗ninv(G)f~i ∈(

1#G

∑π∈G

Uπ

)(F~j

).

Zamieniając rolami ~i oraz ~j, otrzymujemy żądaną równość.Jeśli zaś ~i 6≡ ~j, to dla dowolnych π, π′ ∈ G mamy π(~i) 6= π′(~j), więc zbioryAπ(~i) i Aπ′(~j) są rozłączne i Fπ(~i) ⊥ Fπ′(~j). Pokażemy, że

projH⊗ninv(G)F~i ⊥ projH⊗ninv(G)F~j .

Weźmy f~i ∈ F~i, f~j ∈ F~j . Wtedy

projH⊗ninv(G)f~i =1

#G

∑π∈G

Uπ(f~i),

projH⊗ninv(G)f~j =1

#G

∑π′∈G

Uπ′(f~j).

Ponieważ zachodzi (4.20), więc składniki w powyższych wzorach na rzu-towanie są parami prostopadłe, co dowodzi ortogonalności przestrzeniprojH⊗ninv(G)F~i i projH⊗ninv(G)F~j . Oznacza to, że

H⊗ninv(G) =on⊕k=1

projH⊗ninv(G)F~ik .

Zauważmy, że

F~i ' projH⊗ninv(G)F~i,

U⊗n|F~i ' U⊗n|proj

H⊗ninv(G)

F~i.

Istotnie, izomorfizm spektralny dany jest następująco:

F~i 3 f = 1A~if 7→√

#GprojH⊗ninv(G)f ∈ projH⊗ninv(G)F~i.


Sprawdźmy warunek izometryczności. Z lematu 4.14, a następnie z (4.20)i twierdzenia Pitagorasa oraz z faktu, że Uπ zachowuje miarę σ⊗nU mamy:∫

Tn|√

#GprojH⊗ninv(G)f |2dσ⊗nU =

∫Tn|√

#G1

#G

∑π∈G

Uπ(f)|2dσ⊗nU =

=∫

Tn

1#G

∑π∈G|Uπ(f)|2dσ⊗nU = #G

1#G

∫Tn|f |2dσ⊗nU =

∫Tn|f |2dσ⊗nU .

Rozpatrywane przyporządkowanie jest w oczywisty sposób „na”, pozostajewięc sprawdzić ekwiwariantność. Należy pokazać, że dla f ∈ F~i(

U⊗n ◦ projH⊗ninv(G)

)(f) =

(projH⊗ninv(G) ◦ U

⊗n)

(f) . (4.21)

Jednak z lematu 4.8 powyższa równość jest prawdziwa dla dowolnego ele-mentu f ∈ H⊗n, zatem w szczególności zachodzi ona dla f ∈ F~i. Stąd

H⊗ninv(G) 'on⊕k=1

F~ik .

Ponadto dla dowolnych i, j ∈ Ik zachodzi U⊗n|F~i ' U⊗n|F~j (izomorfizmzadany jest przez Uπ dla odpowiedniego π ∈ S(n)). Zatem

H⊗ninv(G) 'on⊕k=1

F(1,...,n).

Aby zakończyć dowód twierdzenia, wystarczy pokazać, że przestrzenie F~i sąprzestrzeniami cyklicznymi. Istotnie. Ponieważ operatory U⊗n|proj

H⊗ninv(G)

F~i

i U⊗n|F~i są spektralnie izomorficzne dla dowolnej podgrupy grupy S(n),więc w szczególności otrzymujemy izomorfizm między U�n i U⊗n|F~i .Zauważmy ponadto, że ze względu na warunek ekwiwariantności operatorwyznaczający izomorfizm przenosi podprzestrzenie cykliczne na podprze-strzenie cykliczne. Ponieważ zaś operator H�n ma proste widmo, więcprzestrzeń H�n, a tym samym przestrzeń F~i, jest przestrzenią cykliczną.Jej generatorem jest funkcja 1A~i . �

Bardziej złożona sytuacja to przypadek miary ciągłej z jednym atomemw jedynce. Udowodnimy dla takich miar twierdzenie analogiczne do poprzed-niego. Nieco inny dowód można znaleźć w [2].

Niech więc teraz σU = σ + δ1, gdzie σ jest miarą bezatomową. Załóżmyponadto, że przestrzeń wektorów U -niezmienniczych jest jednowymiarowa.

Twierdzenie 4.16. Niech n 2. Załóżmy, że U⊗n|(H�n)0 ma proste widmo,gdzie (H�n)0 = H�n Cx⊗n0 . Wówczas

MU⊗n|(H⊗ninv(G))0

(T) = {ok; k = 1, . . . , n}

σ + σ∗2 + . . .+ σ∗n − p.w., gdzie (H⊗ninv(G))0 = H⊗ninv(G) Cx�n0


Dowód. Weźmy x0 ∈ H taki, że ‖x0‖ = 1 oraz Ux0 = x0. Taki elementistnieje, gdyż miara δ1 jest absolutnie ciągła względem maksymalnego typuspektralnego operatora U . Oznaczmy przez H0 uzupełnienie ortogonalnepodprzestrzeni Cx0: H = H0 ⊕ Cx0. Wówczas H�n = (H0 ⊕ Cx0)�n. Przyoznaczeniu Cx0 = H1 mamy więc dalej H�n =

⊕nk=0H

�k0 ⊗H�n−k1 . Zatem

(H�n)0 =n⊕k=1

H�k0 ⊗H�n−k1 .

Ponieważ na (H�n)0 widmo jest proste, to musi być ono proste również napodprzestrzeniachH�k0 ⊗H

�n−k1 oraz maksymalne typy spektralne tych pod-

przestrzeni muszą być wzajemnie singularne: σ∗k ⊥ σ∗l dla k 6= l. W szcze-gólności, możemy zakładać, że H = L2(T, σU ) oraz Uf(z) = zf(z). Przy tejreprezentacji H0 = 1T\{1}L

2(T, σU ), H1 = 1{1}L2(T, σU ). Istotnie, H0 i H1,jako domknięte podprzestrzenie niezmiennicze, są z lematu Wienera postaci1BiL

2(T, σU ), i = 0, 1, a ich maksymalne typy spektralne to σU |Bi , i = 1, 2.Stąd B0 = T \ {1}, B1 = {1}.

Tak jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia, będziemy wykorzystywaćporządek na T pochodzący z przyporządkowania liczbom zespolonym ichargumentów głównych. Ustalmy 1 ¬ k ¬ n. Niech

A~ik= {(z1, . . . , zn) ∈ Tn; zik,1 < . . . < zik,k ; zj = 1, j 6= ik,l}

orazF~ik = 1A ~ik

L2(Tn, σ⊗nU ),

gdzie ~ik ∈ Ik. Zbiory A~iksą parami rozłączne, a więc dla ~ik 6= ~jk mamy

F~ik ⊥ F~jk . Niech

Bi1,i2 = {(z1, . . . , zn) ∈ Tn;

∃I⊂{1,...,n}#I = n− k, ∃i1,i1∈{1,...,n}i1 6= i2; i1, i2 /∈ I; zi1 = zi2 ,

zi = 1 dla i ∈ I, zi 6= 1 dla i /∈ I}

orazB =

⋃1¬i1<i2¬n

Bi1,i2 .

Wówczas z twierdzenia Fubiniego

σ⊗nU (Bi1,i2) = σ⊗nU (Bn−1,n) =

=

(n− 2n− k

)σ⊗nU ({(z1, . . . , zn) ∈ Tn;

z1 = · · · = zn−k = 1, zn−k+1, . . . , zn−2 < 1, zn−1 = zn < 1}) =

=

(n− 2n− k

)σU ({1})n−kσU (T \ {1})k−2σU ⊗ σU ({(z1, z2) ∈ T2; z1 = z2 < 1}).


Z ciągłości miary σU |T\{1} = σ mamy dalej

σU ⊗ σU ({(z1, z2) ∈ T2; z1 = z2 < 1}) = 0.

Stąd również σ⊗nU (Bi1,i2) = 0 oraz

σ⊗nU (B) = 0.

Zatem

{(z1, . . . , zn) ∈ Tn; ∃I⊂{1,...,n}#I = n− k,

zi = 1 dla i ∈ I, zi < 1 dla i /∈ I} = B ∪⋃~ik∈Ik

A~ik. (4.22)

Pokażemy, że ⊕qi∈{0,1},

∑qi=n−k

Hq1 ⊗ . . .⊗Hqn '⊕~i∈Ik

F~ik . (4.23)

Korzystając kolejno z identyfikacji ze stwierdzenia 2.5 (uogólnionego nawiększą liczbę przestrzeni) dla przestrzeni Hq1 , . . . ,Hqn oraz faktu, że zbio-ry Bq1 × · · · × Bqn są rozłączne dla różnych wyborów (q1, . . . , qn) ∈ {0, 1}nmamy ⊕

qi∈{0,1},∑n

i=1 qi=n−k

Hq1 ⊗ · · · ⊗Hqn '

'⊕

qi∈{0,1},∑n

i=1 qi=n−k

L2(Tn; σ⊗nU |Bq1×···×Bqn ) =

= L2(Tn; σnU |⋃qi∈{0,1},

∑n

i=1qi=n−k

Bq1×···×Bqn).

Z drugiej strony ⊕~i∈Ik

F~ik ' L2(Tn; σ⊗nU |∪ ~ik∈IkA ~ik

).

Z równości (4.22) otrzymujemy zatem, że (4.23) zachodzi. Przy tej sa-mej identyfikacji podprzestrzeń H⊗ninv(G) utożsamiamy z przestrzenią funkcjif ∈ L2(Tn, σ⊗nU ) takich, że

f(x1, . . . , xn) = f(xπ(1),...,π(n)) dla dowolnej permutacji π ∈ G.

Po tym utożsamieniu będziemy ją nadal oznaczać tym samym symbolemH⊗ninv(G). Zauważmy, że jeśli przezW oznaczymy operator unitarny ze stwier-dzenia 2.5 (uogólnionego na większą ilość przestrzeni) wyznaczający izo-morfizm między przestrzeniami H⊗n oraz L2(Tn, σ⊗nU ) oraz jego obcięcie doodpowiednich podprzestrzeni, to otrzymamy równość

projH⊗ninv(G) ◦W = W ◦ projH⊗ninv(G).


Mamy więc

H⊗ninv(G) = projH⊗ninv(G)H⊗n = projH⊗ninv(G)(H0 ⊕ Cx0)⊗n =

= projH⊗ninv(G)

n⊕k=0

⊕qi∈{0,1},

∑qi

=n−k

Hq1 ⊗ . . .⊗Hqn

'' projH⊗ninv(G)

n⊕k=0

⊕~ik∈Ik

F~ik

.Ponadto dla k 1, ~ik ∈ Ik mamy H⊗n1 ⊥ F~ik oraz (ze względu na lemat 4.14)H⊗n1 ⊥ projH⊗ninv(G)F~ik . Zauważmy również, że H⊗n1 ⊂ H⊗ninv(G), więc

projH⊗ninv(G)H⊗n1 = H⊗n1 . Ponieważ dla dowolnego π ∈ S(n) Fπ(~ik) ⊥ H⊗n1 ,

więc

(H⊗ninv(G))0 ' projH⊗ninv(G)(n⊕k=1

⊕~i∈Ik

F~ik). (4.24)

Dla k 6= l oraz ~ik ∈ Ik, ~il ∈ Il z lematu 4.14 otrzymujemy, że

projH⊗ninv(G)F~ik =

(1

#G

∑π∈G

Uπ

)F~ik ,

projH⊗ninv(G)F~il =

(1

#G

∑π∈G

Uπ

)F~il .

Ponieważ dla dowolnych π, π′ ∈ G mamy π(~ik) ∈ Ik, π′(~il) ∈ Il, więc skład-niki w powyższych sumach są parami prostopadłe. Zatem z (4.24) otrzymu-jemy, że

(H⊗ninv(G))0 'n⊕k=1

projH⊗ninv(G)(⊕~ik∈Ik

F~ik). (4.25)

Postępujemy podobnie, jak w dowodzie twierdzenia 4.15. Są dwie możliwo-ści: albo ~ik ≡ ~jk, albo ~ik 6≡ ~jk. Jeśli ~ik ≡ ~jk, to ~ik = τ(~jk) dla pewnegoτ ∈ G, więc

projH⊗ninv(G)F~i = projH⊗ninv(G)F~j .

Jeśli zaś ~ik 6≡ ~jk, to dla dowolnych π, π′ ∈ G mamy π(~ik) 6= π′(~jk), więcFπ(~ik) ⊥ Fπ′(~jk). Zatem, tak jak wcześniej, składniki po podstawieniu dowzoru na rzutowanie z lematu 4.14 są parami prostopadłe, skąd

projH⊗ninv(G)F~ik ⊥ projH⊗ninv(G)F~jk .


Zatem z (4.25) otrzymujemy, że


ok⊕lk=1

projH⊗ninv(G)F ~ilk. (4.26)

Identycznie, jak w dowodzie twierdzenia 4.15 mamy

U⊗n|F ~ik ' U⊗n|proj

H⊗ninv(G)

F ~ik.

Stąd z (4.26) otrzymujemy, że

(H⊗ninv(G))0 =n⊕k=1

ok⊕lk=1

F ~ilk. (4.27)

Ponadto dla ~ik, ~jk ∈ IkU⊗n|F ~ik ' U

⊗n|F ~jk .

Izomorfizm zadany jest przez Uπ dla odpowiedniego π ∈ S(n). Zatem z (4.27)


ok⊕lk=1

F~ik .

Przestrzenie F~ik są przestrzeniami cyklicznymi (generatorami są funkcje1A ~ik

) oraz, podobnie jak w dowodzie twierdzenia 4.15, mamy

U⊗n|F ~ik ' U⊗n|H�k0 ⊗H�(n−k)

1 .

Maksymalny typ spektralny na podprzestrzeniach F~ik jest więc równy σ∗k,a zatem dowód twierdzenia jest zakończony. �

Zauważmy, że operator Fsym(U) ma proste widmo wtedy i tylko wtedy,gdy zachodzą następujące dwa warunki:

1. Widmo operatora U�k : H�k → H�k jest proste dla k 1.

2. Maksymalne typy spektralne operatorów U�k (k 1) są parami roz-łączne: σ∗kU ⊥ σ∗lU dla k 6= l.

W dalszym ciągu pracy wskażemy pewne zależności między nimi.

Lemat 4.17. Załóżmy, że operatory V �kσ oraz V �2kσ mają proste widmo.

Wówczas operator (Vσ∗k)⊗2 ma widmo jednorodne krotności(2k)!(k!)2 z maksy-

malnym typem spektralnym σ∗2k.


Dowód. Z twierdzenia 4.1 maksymalny typ spektralny operatora(Vσ∗k)⊗2 jest równy σ∗k ∗ σ∗k = σ∗2k. Obliczymy teraz jego funkcję krot-ności spektralnej. Ponieważ operator V �kσ ma proste widmo i jego typ spek-tralny jest równy σ∗k, więc Vσ∗k ' V �kσ . Zatem (Vσ∗k)⊗2 ' (V �kσ )⊗2 =(V ⊗kσ )⊗2|(H�k)⊗2 , gdzie H = L2(T, σ). Pokażemy, że

(H�k)⊗2 = H⊗2kinv (G), (4.28)

gdzie grupa G jest zdefiniowana w następujący sposób:

G = {π ∈ S(2k); ∃σ,σ′∈S(k)

(π(1), . . . , π(2k)) = (σ(1), . . . , σ(k), k + σ′(1), . . . , k + σ′(k))}.

Istotnie, weźmy x1 ⊗ · · · ⊗ x2k ∈ H⊗2k. Wtedy x1⊗· · ·⊗xk, xk+1⊗· · ·⊗x2k ∈H⊗k, więc∑

π∈S(k)

xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(k),∑

π′∈S(k)

xk+π′(1) ⊗ · · · ⊗ xk+π′(k) ∈ H�k.

Zatem ∑π∈S(k)

xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(k)

⊗ ∑π′∈S(k)

xk+π′(1) ⊗ · · · ⊗ xk+π′(k)

∈ (H�k)⊗2.

Co więcej, elementy powyższej postaci generują (H�k)⊗2. Z lematu 4.14

projH⊗2kinv (G)(x1 ⊗ · · · ⊗ x2k) =

=1

#G

∑π∈S(k)

xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(k)

⊗ ∑π′∈S(k)

xk+π′(1) ⊗ · · · ⊗ xk+π′(k)

.Zatem (4.28) zachodzi. Aby otrzymać element π grupy G musimy wybraćdwie (niekoniecznie różne) permutacje zbioru k-elementowego. Takich per-mutacji jest k!, mamy więc (k!)2 wyborów. Stąd wynika, że #G = (k!)2.Zatem, korzystając z własności 7 lematu 4.12 otrzymujemy

o2k =(2k)!#G

=(2k)!(k!)2 .

Z twierdzenia 4.15 wynika teza. �

Lemat 4.18. Załóżmy, że µ1, . . . , µn są miarami bezatomowymi na T. Wów-czas

µ1 ⊗ · · · ⊗ µn({(z1, . . . , zn) ∈ Tn; zε11 · · · · · zεnn = c}) = 0, (4.29)

gdzie εi ∈ {−1, 0, 1} (1 ¬ i ¬ n),∑ni=1 ε

2i 6= 0 oraz c ∈ T.


Dowód. Dowód przeprowadzimy indukcyjnie ze względu na n. Rów-ność (4.29) zachodzi, gdy n = 1, gdyż rozpatrywany zbiór jest wówczaspostaci {z ∈ T; z = c} = {c}, zatem jako zbiór jednopunktowy jest mia-ry zero dla dowolnej miary ciągłej. Załóżmy teraz, że (4.29) zachodzi dlan = k. Pokażemy, że zachodzi również dla n = k + 1. Zauważmy, że bezutraty ogólności możemy zakładać, że εi 6= 0 dla 1 ¬ i ¬ k oraz εk+1 = 1.Istotnie, jeśli dla pewnego 1 ¬ i ¬ k, εi = 0, to wystarczy pominąć miarę µii rozpatrywać jedynie miary µ1 . . . , µi−1, µi+1, . . . , µn. Weźmy teraz dezinte-grację miary µ1 ⊗ · · · ⊗ µk+1 zadaną przez rozbicie Tk+1 na zbiory postaciT×k × {z0}. Ponieważ miary warunkowe są skupione na atomach rozbicia(patrz twierdzenie 3.3), mamy więc

µ1 ⊗ · · · ⊗ µk+1 =∫

Tµ1 ⊗ · · · ⊗ µk ⊗ δzdµk+1(z). (4.30)

Zauważmy, że przy ustalonym z ∈ T z założenia indukcyjnego otrzymujemy,że

(µ1 ⊗ · · · ⊗ µk ⊗ δz)({(z1, . . . , zk+1) ∈ Tk+1; zε11 · · · · · zεkk · zk+1 = c}) =

= µ1 ⊗ · · · ⊗ µk({(z1, . . . , zk) ∈ Tk; zε11 · · · · · · · zεkk =

c

z}) = 0.

Ze względu na wzór (4.30),

µ1 ⊗ · · · ⊗ µk+1({(z1, . . . , zk+1) ∈ Tk+1; zε11 · · · · · zεkk · zk+1 = c}) = 0

(funkcja podcałkowa jest tożsamościowo równa zero). Teza indukcyjnazostała wykazana, co kończy dowód. �

Poniższe twierdzenie to nieopublikowany rezultat F. Parreau i E. Roy.

Twierdzenie 4.19. Jeśli σ jest miarą ciągłą oraz operator Vσ � Vσ maproste widmo, to

σ ⊥ σ1 ∗ σ2

dla dowolnych miar ciągłych σ1, σ2. W szczególności, σ ⊥ σ∗k dla k 2.

Uogólnimy teraz ten wynik.

Twierdzenie 4.20. Jeśli operatory V �kσ oraz V �2kσ mają proste widmo oraz

σ jest miarą ciągłą, to wówczas

σ∗k ⊥ σ1 ∗ · · · ∗ σn

dla n > log2(2k)!(k!)2 oraz dowolnych miar ciągłych σ1, . . . , σn.


Dowód. Dla uproszczenia notacji i zwiększenia przejrzystości, dowódprzeprowadzimy w przypadku k = 2. Uogólnia się on bezpośrednio na przy-padek dowolnej liczby naturalnej k. Przypuśćmy, że dla pewnych miar cią-głych σ1, σ2, σ3 mamy

σ ∗ σ 6⊥ σ1 ∗ σ2 ∗ σ3. (4.31)

Rozpatrzmy dezintegrację miary (σ ∗ σ)⊗ (σ ∗ σ) nad σ∗4:

(σ ∗ σ)⊗ (σ ∗ σ) =∫Tµzdσ

∗4.

Wówczas z lematu 4.17 oraz twierdzenia 4.4, miary warunkowe µz są mia-rami czysto atomowymi i mają po 6 = 4!

(2!)2 atomów. Niech N ⊂ T2 będziedopełnieniem zbioru atomów miar warunkowych z powyższego rozkładu.Wówczas

(σ ∗ σ)⊗ (σ ∗ σ)(N) = 0, (4.32)

gdyż na każdym włóknie z dezintegracji mamy zbiór odpowiedniej miarywarunkowej zero. Niech

M = {(z1, w1, v1, z2, w2, v2) ∈ T6; z1 = z2 ∨ w1 = w2 ∨ v1 = v2∨∨ z1w1 = z2w2 ∨ z1v1 = z2v2 ∨ w1v1 = w2v2∨

∨ z1w2 = z2w1 ∨ z1v2 = z2v1 ∨ w1v2 = w2v1}.

Ze względu na lemat 4.18,

(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗ (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)(M) = 0. (4.33)

Aby otrzymać sprzeczność, wskażemy 8 = 23 różnych punktów ze zbioruT2 \N o takim samym iloczynie współrzędnych. Tak nie może być, gdyż zewzględu na liczbę atomów miar warunkowych w rozpatrywanej dezintegracji,takich punktów nie może być więcej, niż sześć. Ponieważ założyliśmy (4.31),więc istnieje zbiór A ⊂ T, σ1 ∗ σ2 ∗ σ3(A) > 0 taki, że

σ1 ∗ σ2 ∗ σ3|A � σ ∗ σ. (4.34)

Zatem ze względu na (4.32) oraz (4.34) mamy

(σ1 ∗ σ2 ∗ σ3)⊗ (σ1 ∗ σ2 ∗ σ3)(A×A ∩N) = 0,

skąd(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2(A× A ∩ N) = 0, (4.35)

gdzie A = s−13 (A), N = (s3 × s3)−1(N), a s3 : T3 → T jest funkcją zdefinio-

waną wzorem s3(z1, z2, z3) = z1z2z3.Ustalmy teraz ε > 0. Możemy znaleźć zbiory borelowskie B1, B2, B3 ∈

B(T) takie, że σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3(B1 ×B2 ×B3) > 0 oraz „kostka” B1 ×B2 ×B3

jest niemal zawarta w A, a precyzyjniej mówiąc

σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3(B1 ×B2 ×B3 \ A) < εσ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3(B1 ×B2 ×B3).


Dla z ∈ T połóżmy Az = {(w, v) ∈ T; (z, w, v) ∈ A}. Na mocy twierdze-nia Fubiniego, bez utraty ogólności (ewentualnie pomniejszając zbiór B1),możemy założyć, że

σ2 ⊗ σ3(B2 ×B3 \ Az) < εσ2 ⊗ σ3(B2 ×B3)

dla wszystkich z ∈ B1. Zatem dla z1, z2 ∈ B1 mamy

σ2 ⊗ σ3(Az1 ∩ Az2 ∩B2 ×B3) > (1− 2ε)σ2 ⊗ σ3(B2 ×B3). (4.36)

Niech przekształcenia P1, P2, P3 : T6 → T6 będą określone następująco:

P1 : (z1, w1, v1, z2, w2, v2) 7−→ (z2, w1, v1, z1, w2, v2),

P2 : (z1, w1, v1, z2, w2, v2) 7−→ (z1, w2, v1, z2, w1, v2),

P3 : (z1, w1, v1, z2, w2, v2) 7−→ (z1, w1, v2, z2, w2, v1).

Oznaczmy przez Z1, Z2 następujące zbiory:

Z1 = {(z1, w1, v1, z2, w2, v2, ) ∈ T6;

z1, z2 ∈ B1, (w1, v1), (w2, v2) ∈ Az1 ∩ Az2} ∩ (B1 ×B2 ×B3)×2},

Z2 = {(z1, w1, v1, z2, w2, v2, ) ∈ T6;

z1, z2 ∈ B1, (w2, v1), (w2, v1) ∈ Az1 ∩ Az2} ∩ (B1 ×B2 ×B3)×2}.

Ponieważ przekształcenie P2 zachowuje miarę produktową (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2

oraz Z2 = P2(Z1), więc

(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2 (Z1) = (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2 (Z2) .

Korzystając z (4.36) oszacujemy teraz miarę zbiorów Z1 i Z2:

(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2(Z1) = (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2(Z2) =

=∫B1

∫B1

(σ2 ⊗ σ3

(Az1 ∩ Az2 ∩B2 ×B3

))2dσ1dσ1

((1− 2ε) (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3) (B1 ×B2 ×B3))2 . (4.37)


Stąd, korzystając z faktu, że Z1, Z2 ⊂ B1 ×B2 ×B3 ×B1 ×B2 ×B3 oraz z(4.37) mamy

(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2 (Z1 ∩ Z2) =

= (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2((B1 ×B2 ×B3)×2

)+

− (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2((B1 ×B2 ×B3)×2 \ Z1 ∩ Z2

)

(σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2((B1 ×B2 ×B3)×2

)+

− (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2((B1 ×B2 ×B3)×2 \ Z1

)+

− (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2((B1 ×B2 ×B3)×2 \ Z2

)=

= (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2((B1 ×B2 ×B3)×2

)+

− 2 (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2((B1 ×B2 ×B3)×2

)+

+ (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2 (Z1) + (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2 (Z2)

− (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2((B1 ×B2 ×B3)×2

)+

+ 2 (1− 2ε)2 (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 (B1 ×B2 ×B3))2 =

= (2(1− 2ε)2 − 1) (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3 (B1 ×B2 ×B3))2 .

Zatem dla ε > 0 dostatecznie małych (σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ3)⊗2(Z1 ∩ Z2) > 0. Za-uważmy, że ze względu na definicję odwzorowań P1, P2, P3 zachodzi inkluzja

Z1 ∩ Z2 ⊂ A× A ∩ P−11 (A× A) ∩ P−1

2 (A× A) ∩ P−13 (A× A).

Stąd dla małych ε również miara zbioru

A× A ∩ P−11 (A× A) ∩ P−1

2 (A× A) ∩ P−13 (A× A)

jest dodatnia. Zatem (korzystając z (4.33), (4.35) oraz faktu, żeodwzorowania P1, P2, P3 zachowują miarę produktową) istnieje punkt(z1, w1, v1, z2, w2, v2) ∈ T6 taki, że

(z1, w1, v1, z2, w2, v2) ∈ (A× A) \M \ N ,P1 ((z1, w1, v1, z2, w2, v2)) = (z2, w1, v1, z1, w2, v2) ∈ (A× A) \M \ N ,P2 ((z1, w1, v1, z2, w2, v2)) = (z1, w2, v1, z2, w1, v2) ∈ (A× A) \M \ N ,P3 ((z1, w1, v1, z2, w2, v2)) = (z1, w1, v2, z2, w2, v1) ∈ (A× A) \M \ N .

Stąd

(s3 × s3)((z1, w1, v1, z2, w2, v2)) = (z1w1v1, z2w2v2) ∈ (A×A) \N,(s3 × s3)((z2, w1, v1, z1, w2, v2)) = (z2w1v1, z1w2v2) ∈ (A×A) \N,(s3 × s3)((z1, w2, v1, z2, w1, v2)) = (z1w2v1, z2w1v2) ∈ (A×A) \N,(s3 × s3)((z1, w1, v2, z2, w2, v1)) = (z1w1v2, z2w2v1) ∈ (A×A) \N


oraz (dzięki symetryczności zbioru N)

(z2w2v2, z1w1v1) ∈ (A×A) \N,(z1w2v2, z2w1v1) ∈ (A×A) \N,(z2w1v2, z1w2v1) ∈ (A×A) \N,(z2w2v1, z1w1v2) ∈ (A×A) \N.

Ponadto z definicji zbioru M punkty te są parami różne. To kończy dowód. �

Wniosek 4.21. Jeśli σ jest miarą bezatomową, a operator V �kσ ma prostewidmo dla dowolnego k 1, to

σ∗m ⊥ σ∗n dla m,n ∈ N takich, że n > log2(2m)!(m!)2 .

W szczególności,

σ ⊥ σ∗k dla k 2 oraz σ ∗ σ ⊥ σ∗k dla k 3.

Dowód. Wystarczy skorzystać z poprzedniego twierdzenia dlaσ1 = · · · = σn = σ. �

Bibliografia

[1] L. M. Abramow, W. A. Rochlin, Entropija kosogo proizwiedienija prie-obrazowanij s inwariantnoj mieroj, Westnik Leningradskogo Uniwersi-tieta 7, s. 5-17, 1962.

[2] O. Ageev, Mixing with staircase multiplicity function, Else-vier Science, 2005; [online], pobrano 13.05.2008 z lokalizacjiftp://ftp.esi.ac.at/pub/Preprints/esi1660.pdf (preprint).

[3] Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, Warszawa: SCRIPT, 2002.

[4] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, Warszawa: PWN, 1987.

[5] R. F. Blute, F. Panangaden, R. A. G. Seely, Fock Space: A Modelof Linear Exponential Types; [online], pobrano 27.05.2008 z lokaliza-cji http://www.cs.mcgill.ca/∼prakash/Pubs/fock.ps

[6] M. Einsiedler, T. Ward, Ergodic Theory: with a view to-wards Number Theory ; [online], pobrano 10.05.2008 z lokalizacjihttp://www.mth.uea.ac.uk/ergodic/

[7] S. W. Fomin, I. P. Kornfeld, J. G. Sinaj, Teoria ergodyczna, Warszawa:PWN, 1987.

[8] S. Hage, Der Satz von Seifert-van Kampen - Gruppoide, Pushouts undder Satz von Brown, 2004; [online], pobrano 2.06.2008 z lokalizacjihttp://www.uni-math.gwdg.de/schick/teach/KnotenSeminar/seifert-vankampen.pdf

[9] A. B. Katok, M. Lemańczyk, Realization of some subsets as essentialvalues of the multiplicity function, 2007 (preprint).

[10] J. Kwiatkowski, Funkcja krotności spektralnej układów Gaussa, UMKToruń, 1995 (praca magisterska).

[11] M. Lemańczyk, Teoria rozłączności układów dynamicznych, UMK To-ruń, 2006/2007 (wykład monograficzny).

45

46 Bibliografia

[12] J. Neveu, Processus aleatoires gaussiens, Les Presses de l’Universite deMontreal, 1968.

[13] W. Parry, Topics in ergodic theory, Cambridge Univ. Press, 1981.

[14] M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics,Vol. I: Functional Analysis, Academic Press, 1972.

[15] E. Roy, Mesures de Poisson, infinie divisibilite et proprietes ergodiques,Universite Paris 6, 2005 (rozprawa doktorska).

Lista symboli

N zbiór liczb naturalnych

Z zbiór liczb całkowitych

R zbiór liczb rzeczywistych

C zbiór liczb zespolonych

T zbiór liczb zespolonych o module 1

σ � ν miara σ jest absolutnie ciągłą względem miary ν

σ ≡ ν miary σ i ν są równoważne

σ ⊥ ν miary σ i ν są wzajemnie singularne

σ ∗ ν splot miar σ i ν

σ∗n splot n kopii miary σ

σ[n] n-ty współczynnik Fouriera miary σ

s∗(µ) obraz miary µ poprzez odwzorowanie s

E(f |A) warunkowa wartość oczekiwana funkcji f : (X,B, µ)→ C

S(n) grupa permutacji zbioru {1 . . . n}

Gx stabilizator elementu x

Gx orbita elementu x

Arg(z) argument główny liczby zespolonej z

arg(z) argument liczby zespolonej z

〈·, ·〉 iloczyn skalarny

L2(T, µ) przestrzeń funkcji zespolonych na T o całkowalnym kwa-dracie modułu

47

48 Lista symboli

L1(T, µ) przestrzeń zespolonych funkcji całkowalnych na T

χA funkcja charakterystyczna zbioru A

H1 ⊕H2 suma prosta przestrzeni Hilberta H1 i H2

⊕∞i=1Hi suma prosta przestrzeni Hilberta H1, H2, . . .

H⊥ dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni H w całej prze-strzeni Hilberta

projH projekcja ortogonalna na podprzestrzeń H

V ∗ operator sprzężony do operatora V

Lin(E,F ) przestrzeń liniowa odwzorowań liniowych E w F

Lin2(E1 × E2, F ) przestrzeń liniowa odwzorowań dwuliniowych E1 × E2

w F

CX przestrzeń funkcji zespolonych na X

E1 ⊗ E2 (algebraiczny) iloczyn tensorowy przestrzeni liniowychE1 i E2

H1 ⊗H2 iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta H1 i H2

H⊗n iloczyn tensorowy n kopii przestrzeni Hilberta H

H�n symetryczny iloczyn tensorowy n kopii przestrzeni Hil-berta H

x1 ⊗ x2 iloczyn tensorowy elementów x1 i x2

U1 ⊗ U2 iloczyn tensorowy operatorów unitarnych U1 i U2

U⊗n iloczyn tensorowy n kopii operatora unitarnego U

U�n ograniczenie operatora U⊗n do przestrzeni H�n

F (H) przestrzeń Focka

Fsym(H) symetryczna przestrzeń Focka

F (U) naturalne rozszerzenie operatora U na przestrzeni H doprzestrzeni Focka F (H)

Fsym(U) ograniczenie operatora F (U) do przestrzeni Fsym(H)

Skorowidz

baza ortonormalna, 6

ciąg dodatnio określony, 1

dezintegracja miary, 13działanie grupy, 14

funkcja krotności spektralnej, 2

grupa permutacji, 8

izomorfizm spektralny, 2

lematCauchy-Frobenius-Burnside, 14Lebesgue, 16Wiener, 3

liczba Lebesgue’a, 16

maksymalny typ spektralny, 2miara

spektralna, 2warunkowa, 12

operator mnożenia przez zmiennąniezależną, 3

operator unitarny, 1orbita, 14

produkt tensorowyoperatorów unitarnych, 7przestrzeni Hilberta, 6przestrzeni liniowych, 5

projekcja, 8przestrzeń

cykliczna, 2Focka, 7

symetryczna, 9

standardowa borelowska proba-bilistyczna, 12

rozkład spektralny, 2

stabilizator, 14

twierdzenieHerglotz, 1

warunkowa wartość oczekiwana, 11widmo

jednorodne, 3proste, 3

49

własności spektralne operatorów unitarnych na przestrzeniach focka

Documents