3. indicatorii statistici3. indicatorii statistici 3.1. necesitatea folosirii indicatorilor...

3. INDICATORII STATISTICI

3.1. Necesitatea folosirii indicatorilor statistici. Indicatori statistici primari. Indicatori statistici derivaţi

Am văzut că, obiectul de studiu al statisticii îl constituie fenomenele şi procesele de masă. Acestea se caracterizează prin variabilitatea formelor de manifestare în timp, în spaţiu şi sub raport organizatoric.

Pentru caracterizarea unei astfel de colectivităţi, statistica a trebuit să-şi elaboreze metodologii şi tehnici specifice de obţinere a unor determinări cantitativ-numerice, care se numesc indicatori statistici.

Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene, procese, activităţi sau categorii economice, tehnice, sociale, definite în timp, spaţiu şi structură organizatorică, el este elaborat iniţial ca metodologie, ca şi conţinut şi cu legături stabilite cu alţi indicatori. Indicatorul statistic este purtător de informaţii având conţinut real, obiectiv determinat, are o formulă de calcul şi valori cognitive proprii. Indicatorii statistici pot fi folosiţi atât unilateral cât şi în interdependenţă reciprocă.

Trebuie subliniat că în procesul de elaborare, de stabilire a conţinutului şi a metodologiei de calcul ale unui indicator, se porneşte de la natura fenomenului studiat, de la domeniul căruia acesta îi aparţine.

Un indicator statistic cuprinde două părţi: determinarea noţională şi expresia numerică asociată acestuia.

După funcţiile pe care le îndeplineşte un indicator, acesta poate fi: de măsurare, de comparare, de analiză sau sinteză, de estimare, de verificare a ipotezelor şi (sau) de testare a semnificaţiei parametrilor utilizaţi.

După etapa în care apar în procesul de cunoaştere statistică, indicatorii pot fi: primari şi secundari. În practică se întâlnesc mai multe tipuri de indicatori primari, dintre care amintim: a) Indicatorii primari obţinuţi prin agregarea unor valori individuale cu acelaşi

conţinut şi calculaţi la treptele ierarhice inferioare, cum ar fi: costurile totale de producţie etc.

b) Indicatorii primari obţinuţi direct din observare, de exemplu, pentru o întreprindere indicatorii valorici ai producţiei sunt în acelaşi timp şi indicatori absoluţi primari şi înregistraţi direct la nivelul unităţii.

Indicatorii statistici - 3 42

O trăsătură caracteristică a indicatorilor primari este faptul că elementele constitutive se regăsesc la nivelul tuturor unităţilor folosite la culegerea datelor statistice.

Să considerăm următorul tabel al datelor înregistrate, corespunzător unei colectivităţi statistice:

Tabelul 3.1.

Nr. curent al unităţii observate

Caracteristicile înregistrate la nivelul fiecărei unităţi observate

X1 X2 … Xr 1 x11 x21 … xr1 2 x12 x22 … xr2 M M M … M I x1i x2i … xri M M M … M N x1n x2n … xrn

Total ∑=

n

1ii1x ∑

=

n

1ii2x

∑=

n

1irix

Tabelul de mai sus, al datelor înregistrate pentru caracteristicile Xj, r,1j = ale

populaţiei statistice ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ == n,1i:uP i permite mai multe caracterizări statistice:

c1) Interpretarea corelată a indicatorilor înregistraţi la nivelul fiecărei unităţi pe baza valorilor caracteristicilor luate pe orizontală x1i, x2i,..., xri.

c2) Interpretarea sistemului de indicatori care poate fi format la nivelul întregului ansamblu prin agregarea tuturor valorilor individuale înregistrate. Presupunând că

Xk r,1k = este caracteristică statistică pentru care are semnificaţie statistică aditivitatea valorilor înregistrate, se obţine indicatorul absolut totalizator ΣkX

(3.1.1) ∑=

Σ =n

1ikik XX

În practică apar însă variabile (caracteristici) statistice pentru care o însumare directă a valorilor înregistrate nu are sens economic. Un astfel de caz este atunci când valorile înregistrate provin dintr-un calcul statistic, ca de exemplu: productivitatea muncii, salariul mediu, rata rentabilităţii etc.

În sens statistic, astfel de valori înregistrate au conţinut de indicatori derivaţi:

3.1. - Necesitatea folosirii indicatorilor statistici. Indicatori primari. Derivaţi 43

Există situaţii când datele individuale ale unei caracteristici nu sunt direct însumabile, dar în urma aplicării unui coeficient de echivalenţă se poate obţine un indicator absolut totalizator de forma:

(3.1.2) ∑=

Σ ⋅=n

1iikik eXX

Din cele de mai sus se constată că, prin totalizare pe grupe şi pe întreaga populaţie, pentru variabile care au sens economic pentru însumare, se stabilesc indicatori absoluţi, care exprimă nivelul cumulat al diferitelor caracteristici în unităţi de măsură specifice caracteristicii observate (buc., kg., m. etc.).

Această descriere cantitativă, prin nivelul absolut, nu permite enunţarea unor aprecieri calitative asupra obiectului cercetării, dar stă la baza întregii analize statistice, deoarece prin confruntarea, compararea diverşilor indicatori absoluţi (primari), prin completarea lor cu alte informaţii utile, se emit aprecieri calitative asupra obiectului cercetării statistice, iar cunoaşterea acestora reprezintă o premisă a conducerii raţionale a activităţii economice, sociale, tehnice etc.

Indicatorii derivaţi se obţin în faza de prelucrare statistică a mărimilor absolute, prin aplicarea diferitelor metode de calcul statistic: comparaţii, abstractizări, generalizări etc.

Indicatorii derivaţi fac posibilă analiza aspectelor calitative ale fenomenelor şi procedeelor cercetate, ei pun în lumină legăturile de interdependenţă dintre fenomene, tendinţa obiectivă de manifestare a fenomenelor, rolul şi contribuţia diferiţilor factori la formarea şi modificarea unui fenomen complex.

Indicatorii derivaţi se obţin, de obicei, prin aplicarea unui model de calcul statistic, de comparare sau de estimare. Compararea se poate efectua pe baza operaţiei de diferenţă sau pe baza operaţiei de raport. De exemplu, sporul produsul brut se obţine scăzând din nivelul acestuia din anul curent, pe cel din anul precedent. Compararea pe bază de raport este mai puţin restrictivă decât cea pe bază de diferenţă şi conduce la aşa numitele mărimi relative şi indicii statistici.

Modelele de estimare sunt folosite în statistică pentru a putea măsura gradul de influenţă a diferiţilor factori asupra fenomenului analizat. Recurgându-se la ajutorul unor funcţii matematice se poate măsura statistic, prin una sau mai multe ecuaţii de estimare, dependenţa unei caracteristici de factorii care o determină sau în funcţie de timp. Aceste probleme fac obiectul capitolelor de analiză statistică a seriilor independente şi a seriilor cronologice.

Indicatorii derivaţi, în general, au un caracter abstract, dar în acelaşi timp sunt utili în măsura în care au un conţinut real. Nu este suficient ca un indicator statistic derivat să fie corect calculat, el trebuie, în acelaşi timp, să corespundă naturii fenomenului sau procesului studiat.

Pentru a realiza cele două cerinţe, statistica recurge la o serie de teste care au la bază principiile teoriei probabilităţilor şi la o fină cunoaştere a domeniului de


cercetare. Aceste considerente stau la baza dezvoltării statisticii ca disciplină de sine stătătoare şi a statisticilor de ramuri.

Categoria cea mai simplă de indicatori derivaţi şi care au o largă răspândire în statistică este aceea a mărimilor relative care va fi prezentată în paragraful următor.

3.2. Indicatori derivaţi relativi

Indicatorul relativ (mărimea relativă) este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi exprimă printr-un singur număr proporţiile indicatorului raportat faţă de indicatorul bază de raportare, numită şi bază de comparaţie.

Forma de exprimare a indicatorilor relativi se stabileşte în raport cu gradul de variaţie a fenomenelor, scopul urmărit şi particularităţile specifice ale fenomenelor cercetare.

Rezultatul raportării este un număr întreg sau o fracţie. Pentru a mări expresivitatea acestuia se înmulţeşte cu 100, 1.000, 10.000 respectiv 100.000 şi astfel rezultatul se exprimă în procente, promile, prodecimile, respectiv procentimile.

Mărimile relative se exprimă în unităţi sau coeficienţi. În acest caz indicatorul relativ arată câte unităţi din mărimea raportată revin la o singură unitate din mărimea bazată pe raportare. Astfel, se exprimă: indicatorii vitezei de circulaţie a mărfurilor, indicatorii eficienţei economice, indicatorii tehnico-economici de utilizare a fondurilor etc. În general aceştia au valori supraunitare.

Forma cea mai frecventă de exprimare a indicatorilor relativi o constituie procentele, care arată câte unităţi din mărimea raportată revin la 100 unităţi ale mărimii bază de raportare.

Promilele, prodecimile se folosesc când mărimea comparată este mult prea mică faţă de mărimea bază de raportare şi exprimarea în coeficienţi sau în procente ar conduce la mărimi relative dificil de interpretat.

Mărimile relative se dovedesc a fi utile în analiza întregii activităţi tehnico-economice şi sociale. Calcularea indicatorilor statistici impune însă o alegere atentă a bazei de comparaţie şi verificarea comparabilităţii datelor raportate. Alegerea bazei de raportare nu trebuie să se facă în mod mecanic, ci pe baza unei analize calitative prealabile. Ca numitor al raportului trebuie folosită baza de referinţă care corespunde din punct de vedere al reprezentativităţii sale în timp, în spaţiu şi în structură organizatorică.

Mărimile selective pot fi împărţite în următoarele clase: de structură, de coordonate, ale dinamicii, ale planificării (programării) şi de intensitate.

Mărimile relative de structură stabilesc în ce raport se află fiecare element sau grup de elemente ale colectivităţii faţă de volumul (nivelul) întregii colectivităţi. Astfel, într-o serie teritorială, sau pentru o variabilă statistică construită pe baza unor

3.2. - Indicatori derivaţi relativi 45

componente, ponderea sau greutatea specifică ( gi

x) a unui element xi în totalul

colectivităţii ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

n

1iix se obţine pe baza relaţiei

(3.2.1) ⋅=

∑=

ni

jj

ix

x

xg

1

Să considerăm cazul unei grupări simple în care datele individuale pentru o caracteristică X, se caracterizează pe fiecare grupă şi mărimea relativă de structură

exprimă raportul dintre aceste mărimi ∑=

in

1jijx şi valoarea agregată pe întregul

ansamblu ∑∑= =

k

1i

n

1jij

ix . Atunci ponderile grupelor vor fi date prin:

(3.2.2)

∑∑

∑

= =

==k

1i

n

1jij

n

1jij

x i

i

i

x

x

g

Să considerăm o grupare combinată utilizând două variabile (x1, x2,..., xi,..., xk) şi (y1, y2,..., yj,..., ym) pentru care s-au centralizat şi variabilele individuale pe grupe. Greutăţile specifice se calculează cu formulele:

(3.2.3)

∑∑∑∑

∑∑∑∑

=⋅=

=⋅=

jj

j

jij

j iij

y

ii

i

iij

i jij

x

y

yy

yg

x

xx

xg

i

i

1

1

Într-o grupare simplă sau combinată se pot calcula greutăţi specifice pentru toate caracteristicile care au fost centralizate.

Într-o distribuţie de frecvenţă, fiecare mărime de structură exprimă ponderea grupului de elemente xi şi frecvenţă ni în volumul total.


Atunci când se cunosc valorile centralizate pe grupe, greutăţile (ponderile) specifice vor fi:

(3.2.4.) ∑∑∑⋅=

jij

i jij

x xx1g

i,

iar când se cunosc frecvenţele, ponderile specifice pe grupe sunt:

(3.2.5) ii

iii

x nxnx1g

i⋅=

∑

Mărimile relative de structură, care arată raportul dintre numărul unităţilor din

fiecare grupă ni şi numărul unităţilor din întreaga populaţie n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∑

ii nn , se numesc

frecvenţe relative. Dacă le notăm prin *in acestea sunt date de:

(3.2.6) ∑

=

jj

ii n

nn*

Se observă imediat că 1n1i

*i =∑

=, iar dacă le calculăm în procente:

(3.2.7) 100* ⋅=∑

jj

ii n

nn ,

atunci avem: 100ni

*i =∑ .

Prin reprezentarea grafică, mărimile relative de structură devin mai sugestive. Să considerăm o colectivitate statistică reprezentată prin raport cu o anumită caracteristică în trei grupe cu ponderile 45%, 15% şi respectiv 40%. În cazul diagramei de structură prin sectoare de cerc se consideră că întregul ansamblu de 100% este proporţional cu cele 360O ale unui cerc. Se înmulţesc greutăţile specifice cu 360O şi se împarte la 100. Se obţine reprezentarea din fig.3.1.

O diagramă de structură corespunzătoare se poate obţine utilizând un pătrat. Se efectuează o reţea dublă de 10 diviziuni egale şi se haşurează un număr de pătrate egal cu ponderea grupei. Se obţine reprezentarea grafică din fig.3.2.

În mod analog se obţine o reprezentare grafică în triunghi sau sub alte forme.

3.2. - Indicatori derivaţi relativi 47

Mărimile relative de coordonate caracterizează raportul numeric în care se găsesc doi indicatori de acelaşi fel, aparţinând unor grupe ale aceleiaşi colectivităţi statistice sau unor colectivităţi statistice de acelaşi fel, dar situate în spaţii diferite. Aceste mărimi relative de coordonate admit proprietatea de reversibilitate.

40%

15%

45%

Fig.3.1.

40 % 15 % 45%

Fig.3.2.

Fie xA şi xB cele două mărimi comparate; în funcţie de scopul cercetării mărimea relativă de coordonate poate fi considerată:

(3.2.8) B

AB/A x

xK = sau A

BA/B x

xK =

Pentru a reprezenta grafic mărimile relative de coordonate, de obicei se con-sideră grupa sau colectivitatea aleasă ca bază de comparaţie ca fiind proporţională cu 100% şi scara de reprezentare se va alege în funcţie de valoarea maximă procentuală.


Mărimile relative ale dinamicii se utilizează pentru caracterizarea evoluţiei fenomenelor în timp. Ele se obţin ca raport al nivelului fenomenului într-o perioadă de timp şi nivelul aceluiaşi fenomen dintr-o perioadă anterioară, considerată drept bază de comparaţie. Studiul dezvoltat al acestor mărimi relative ale dinamicii face obiectul capitolelor “Serii cronologice” şi “Metoda indicilor”.

Mărimile relative ale programării de dezvoltare se calculează la nivelul fiecărei unităţi, în funcţie de programele elaborate privind aprovizionarea, producţia şi desfacerea de mărfuri.

Pentru stabilirea acestor indicatori sunt necesare următoarele informaţii: x0 = nivelul realizat în perioada de bază, xpl = nivelul programat în perioada curentă şi x1 = nivelul realizat în perioada curentă. Pe baza acestor mărimi putem calcula indicatorii relativi:

(3.2.9) 100xxK,100

xx

Kpl

1pl/1

0

pl0/pl ⋅=⋅=

al nivelului planificat în perioada curentă faţă de nivelul realizat în perioada de bază şi respectiv, al nivelului realizat faţă de cel planificat în perioada curentă.

La studierea realizării programării (planului) statistica urmăreşte îndeplinirea acesteia la toţi indicatorii prin care se caracterizează activitatea agenţilor economici: producţie, desfacere, servicii, productivitatea muncii, costuri, fond de salarizare, numărul mediu al salariaţilor etc. Fiecărui indicator i se ataşează câte o denumire în funcţie de tendinţa de modificare şi de semnul diferenţei dintre mărimea relativă exprimată în procente şi 100%, cât şi de conţinutul sarcinii de program (plan) de a fi minime sau maxime. Astfel, avem: spor (excedent), surplus, deficit (risipă), economie (reducere).

Desfăşurarea pe bază de contracte a relaţiilor directe dintre unităţile economice necesită în practică şi un indicator al gradului de acoperire a sarcinilor din programele de producţie cu contracte,

(3.2.10) 100xx

Kpl

cpl/c ⋅= ,

obţinut prin raportarea nivelului contractărilor în cadrul perioadei curente (xc) la sarcina de program (plan) (xpl).

Mărimile relative de intensitate se obţin prin raportarea a doi indicatori absoluţi X, Y, de natură diferită, care se află într-o relaţie de interdependenţă.

Exemple de mărimi relative de intensitate sunt: - productivitatea muncii (producţia în unitatea de timp), - cursul de schimb valutar (exprimată cu câţi lei se poate cumpăra un dolar), - preţul unitar, - rentabilitatea economică (beneficiul economic în sens larg la un leu activ global),

3.3. – Mărimile medii

49

- eficienţa activelor fixe, - durata medie a zilei (lunii) de lucru.

Specific mărimilor relative de intensitate este faptul că ele pot fi interpretate sub forma unor valori individuale ale unei variabile aleatoare pentru care se poate stabili repartiţia lor de frecvenţă.

Să notăm cu xi mărimea relativă de intensitate

i

ii z

yx = ,

yi zi fiind mărimile absolute comparate. Dacă asimilăm pe zi ca un ni (frecvenţă absolută ataşat lui xi, atunci fiecare mărime relativă de intensitate, calculată cel puţin la nivelul unei grupe de unităţi simple, poate fi considerată ca având conţinut de mărime medie.

Menţionăm că mărimile relative de intensitate care se calculează sub formă de rapoarte cu baze diferite de raportare şi au conţinut de medie, nu admit operaţia de adiţiune, adică mărimea relativă corespunzătoare la nivelul ansamblului nu se obţine ca o sumă a mărimilor relative parţiale de acelaşi conţinut, calculat la nivelul grupelor, ci ca o medie a acestora:

∑

∑

=

== k

1ii

k

1ii

z

yx

Prin diferite raportări cantitative mărimile relative de intensitate permit sesizarea unei multitudini de aspecte calitative ale colectivităţii cercetate.

3.3. Mărimile medii

Mărimile medii constituie categoria de indicatori derivaţi şi de indicatori sintetici generalizatori utilizaţi pe scară largă în activitatea de cercetare statistică, de planificare şi de conducere. Indicatorii medii reprezintă un instrument principal de cunoaştere a fenomenelor de masă şi au un grad mare de aplicabilitate practică. Cu cât valorile individuale din care se obţin mediile sunt mai apropiate, cu atât mediile calculate oferă un conţinut mai real. În calcularea valorilor medii trebuie avută în vedere omogenitatea datelor individuale. Eterogenitatea acestora impune calcularea unor medii parţiale şi a mediei de ansamblu ca o sinteză a acestora.

50 Indicatori statistici - 3

Pentru a obţine o medie cu un conţinut cât mai real este necesar ca aceasta să se bazeze pe un număr mare de cazuri individuale diferite, a căror variaţie să fie aleatoare în raport cu fenomenul în totalitatea lui, valorile din care se va calcula media să fie omogene, forma de medie utilizată trebuie să corespundă cât mai bine formei de variaţie a datelor individuale.

Prin definiţie, media valorilor individuale ale unei variabile statistice este expresia sintetizării într-un singur nivel reprezentativ a tot ce este esenţial, tipic şi obiectiv în apariţia, manifestarea şi dezvoltarea acesteia.

În statistică, media este interpretată ca nivelul la care ar fi ajuns o caracteristică înregistrată, dacă în toate cazurile, toţi factorii esenţiali şi neesenţiali ar fi acţionat constant. În acest sens se interpretează media ca fiind “speranţa matematică” către care tind toate valorile, variaţia dintre ele fiind influenţa factorilor aleatori.

Ţinând seama de diversitatea fenomenelor economice, tehnice, sociale etc., care astăzi sunt cercetate cu metode statistice, şi luând în calcul variabilitatea acestor fenomene, în practică trebuie să se aleagă tipul de medie adecvat. Mediile cele mai frecvent folosite sunt: aritmetică, geometrică, armonică, pătratică şi cronologică, calculate ca medii simple şi ponderate.

3.3.1. Media aritmetică

Să considerăm o serie statistică unidimensională (3.3.1) X: x1, x2,..., xi,..., xn discretă formată din n valori distincte, ca rezultat al celor n observaţii efectuate.

Definiţia 1. Se numeşte medie aritmetică simplă a seriei (3.3.1) valoarea notată cu x şi calculată ca raport al sumei valorilor observaţiilor xi, n,1i = şi numărul observaţiilor n. Aşadar avem:

(3.3.2) ∑=

=n

1iixn

1x

Exemplul 1. Să considerăm că seria statistică X conţine informaţii referitoare la vechimea în muncă (în ani) a membrilor unei echipe de 8 specialişti într-un domeniu de activitate. X: 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 18.

Atunci vechimea medie a echipei respective este:

( ) ani375,918121110975381x =+++++++=

Să considerăm că seria statistică X este una de frecvenţe, adică fiecărei valori xi îi este asociată frecvenţa absolută a apariţiei ni, în urma observaţiilor efectuate, adică:


51

(3.3.3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

k21

k21n,,n,nx,,x,x

:XK

K,

unde xi∈3, ni∈∠*, k,1i = . Definiţia 2. Se numeşte medie aritmetică ponderată a seriei X şi se notează cu

x valoarea obţinută ca raport al sumei produselor dintre valorile şi frecvenţele absolute corespunzătoare şi numărul observaţiilor efectuate care coincide cu suma frecvenţelor absolute. Adică, în acest caz:

(3.3.4)

∑

∑∑

=

=

===

k

1ii

k

1iiik

1iii

n

xn

xnn1x

Exemplul 2. Fie X seria de frecvenţe a notelor obţinute de studenţii unei grupe la un examen:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1258612

10987654:X

În acest caz numărul absolvenţilor este 25=2+1+6+8+5+2+1, iar media (nota medie) ponderată a notelor grupei este:

92,625

17325

101928578665142x ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Să considerăm cazul când valorile seriei statistice X sunt date prin intervalele de valori la care aparţin, adică ştim că xi∈[ei, ei+1], cu frecvenţa absolută ni. În ipoteza că valorile xi sunt uniform repartizate în fiecare interval [ei, ei+1], atunci media aritmetică ponderată a seriei statistice, de intervale de valori, se calculează prin:

(3.3.5) ∑=

=k

1iiicnn

1x ,

unde ∑=

=k

1iinn şi 2

eec 1iii

++=

Dacă pentru orice k,1i = ni = 1, (n=k), atunci din (3.3.5) obţinem media aritmetică simplă a unei serii statistice de intervale de valori:

(3.3.6) ∑=

=n

1iicn

1x


Observaţia 1. Dacă pentru o serie de frecvenţe considerăm (sau sunt date) frecvenţele relative

(3.3.7)

∑=

=k

1ii

ii

n

nf cu ∑

==

k

1ii 1f ,

atunci mediile aritmetice ponderate (3.3.4) şi (3.3.5) iau forma:

(3.3.8) ∑=

=k

1iiixfx şi respectiv, ∑

==

k

1iiicfx

Exemplul 3. Să considerăm că seria statistică de frecvenţe a grupelor de vechime pentru muncitorii unui atelier este dată de Tabelul 3.2.

Tabelul 3.2.

Grupe de vechime [ani] Număr de muncitori [ni] ci cini 2 – 7 5 4,5 22,5 8 – 13 4 10,5 42,0

14 – 18 6 16,5 99,0 19 – 25 5 22,5 112,5 26 – 31 2 28,5 57,0 Total 22 - 333,0

Să se calculeze vechimea medie pe atelier. Utilizând datele din Tabelul 3.2 şi formula (3.3.5) obţinem:

]ani[13,15333221x =⋅=

Media aritmetică a unei serii statistice prezintă unele proprietăţi cu utilitate practică. Menţionăm mai întâi că formulele de calcul prezentate mai sus rămân valabile numai dacă valorile individuale înregistrate sunt numerice. Pentru o serie cu valori nenumerice sau cu valori măsurabile pe o scală calitativă nu se poate calcula media aritmetică.

P1) Valoarea mediei aritmetice calculate este unică, ea poate să coincidă sau nu cu vreo valoare individuală înregistrată.

P2) Întotdeauna mărimea mediei aritmetice se încadrează în intervalul de variaţie a caracteristicii X, adică xmin ≤ x ≤ xmax.

Pentru o serie de distribuţie de frecvenţe media oscilează în jurul termenilor cu frecvenţa cea mai mare.


53

P3) Pentru o serie statistică, suma algebrică a tuturor abaterilor individuale, di = xi - x , ale termenilor seriei, de la valoarea medie este egală cu zero. Adică pentru o serie simplă avem:

(3.3.9) ( )∑=

=−n

1ii 0xx ,

iar pentru o serie de frecvenţe are loc:

(3.3.10) ( )∑=

=−k

1iii 0xxn ,

P4) Media aritmetică calculată pe baza datelor unei serii statistice micşorate sau mărite cu o constantă “a” se modifică în acelaşi sens cu aceeaşi mărime “a” faţă de media aritmetică a seriei iniţiale.

Într-adevăr, fie seria simplă de date, iniţială X: x1, x2,..., xi,..., xn cu media

aritmetică ∑=

=n

1iixn

1x . Pornind de la seria dată să considerăm seriile :

X: x1±a, x2±a,..., xi±a,..., xn±a. Atunci media x ’ a seriei X’ este:

(3.3.11)

( )

axann1x

n1

an1x

n1ax

n1'x

n1'x

n

1ii

n

1i

n

1i

n

1iii

n

1ii

±=⋅⋅±=

=±=±==

∑

∑∑ ∑∑

=

== ==

În mod similar se demonstrează proprietatea de mai sus pentru serii de frecvenţe.

P5) Media aritmetică calculată pe baza datelor unei serii statistice împărţite cu acelaşi coeficient p≠0 se obţine prin împărţirea mediei aritmetice a seriei iniţiale cu coeficientul p.

Să considerăm seria X: x1, x2,..., xi,..., xn pentru care media aritmetică este

∑=

=n

1iixn

1x şi să construim seria ,p

x,

px

,p

x,

px

"X ni21 KK= p≠0.

Atunci media x ” a seriei X” este:

(3.3.12) pxx

n1

p1

px

n1"x

n

1ii

n

1i

i =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== ∑∑

==


Demonstraţia de mai sus rămâne valabilă şi în cazul seriilor de frecvenţe de valori sau pe intervale.

Din (3.3.12) rezultă relaţia:

x = p x ” , care oferă o metodă avantajoasă de calcul a mediei seriei X, atunci când există un divizor comun p pentru toate valorile xi ale seriei X.

Proprietăţile 4 şi 5 pot fi folosite împreună pentru obţinerea unei metode avantajoase de calcul a mediei aritmetice pentru o serie de frecvenţe pe intervale X, pentru care xi∈[ei, ei+1) cu frecvenţa ni, k,1i = . În acest caz putem scrie:

(3.3.13) cpp

ccn

n1x

k

1i

ii +⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −= ∑

=,

unde ci reprezintă mijlocul intervalului [ei, ei+1), c numit origine arbitrară, poate fi considerat centrul de interval cu ponderea cea mai mare iar p este un coeficient convenabil ales de micşorare a termenilor seriei date.

P6) Fie o serie statistică de frecvenţe

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ki21

ki21n,,n,,n,nx,,x,,x,x

:XKK

KK,

pe care o împărţim în două grupe:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i21

i21a n,,n,n

x,,x,x:X

K

K, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++

k2i1i

k2i1ib n,,n,n

x,,x,x:X

K

K

Dacă x a este media seriei Xa, x b este media seriei Xb, atunci media seriei considerate iniţial X este media aritmetică ponderată a mediilor seriilor celor două

grupe Xa şi Xb, cu frecvenţele cumulate ∑=

=i

1jia nn , ∑

+==

k

1ijjb nn , adică are loc

(3.3.14) ba

bbaann

xnxnx

++

= ,

unde ∑=

=i

1jjj

aa xn

n1x , ∑

+==

k

1ijjj

bb xn

n1x

Pornind de la relaţia (3.3.14), se deduce că, atunci când se efectuează o nouă măsurătoare, şi astfel se obţine o nouă serie statistică, cu o dată în plus, media acesteia


55

se poate obţine pornind de la media seriei iniţiale şi utilizând valoarea adăugată. Mai exact, pentru seria simplă X’={ x1, x2,..., xk, xk+1} are loc relaţia:

(3.3.15) 1k

xxn'x 1k+

+= + ,

unde x este media seriei X={ x1, x2,..., xk}. Dacă pornim de la o serie de frecvenţe

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

k1

k1nnx,x

:XK

K cu ∑

==

k

1ik nn ,

şi în urma a nk+1 măsurători a apărut valoarea xk+1 atunci media seriei statistice de frecvenţe

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+

1kk1

1kk1n,n,,nx,x,,x

:'XK

K

se poate obţine prin:

(3.3.16) 1k

1k1knn

xnxn'x

+

+++

+= ,

P7) Cazul caracteristicilor alternative. Dacă pentru fiecare unitate a populaţiei generale P o caracteristică Xa înregistrează o formă de manifestare, considerată normală, caracterizată de valoarea xi=1 sau o formă opusă acesteia, caracterizată de valoarea xi=0, k,1i = spunem că avem o caracteristică alternativă (cu valori alternative).

Observăm că cele două variante “normală” (xi=1) şi “anormală” (xi=0), caracterizează populaţia sau o grupă de unităţi statistice prin frecvenţa cu care apar. Să notăm cu na şi respectiv nb cele două frecvenţe. Atunci seria de frecvenţe asociată caracteristicii Xa se poate scrie sub forma:

knn,nn01

:X baba

a =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Conform definiţiei mediei aritmetice, media variabilei statistice alternative Xa va fi:

(3.3.17) k

nk

0n1nx abaa =

⋅+⋅= ,

x a fiind o mărime relativă de structură se exprimă, de regulă, sub formă procentuală şi ea arată câte unităţi, în medie, la o sută de unităţi ale populaţiei posedă forma de manifestare “normală” a caracteristicii Xa.


Exemplul 4. Să presupunem că din 10.000 candidaţi la admitere la o facultate au fost admişi numai 2.500 candidaţi. Să se determine media candidaţilor admişi în totalul candidaţilor.

Populaţia P constă din cei 10.000 candidaţi. Considerăm caracteristica X care poate lua valori alternative: admis (A) şi respins (R). Ea va avea distribuţia de frecvenţe:

,500.7500.2RA

:X ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

atunci, media candidaţilor admişi, în procente, va fi:

%25100000.10500.2:X =⋅ ,

O reprezentare grafică a mediei candidaţilor admişi se obţine prin:

2 5 %a d m is i2 5 0 0 7 5 %

re s p in s i7 5 0 0

Fig.3.3.

care arată că din fiecare sută de candidaţi au fost admişi numai 25 (un sfert). P7) Media aritmetică admite următoarea generalizare naturală, astfel că alte

medii cunoscute şi utilizate apar drept cazuri particulare ale acestei generalizări. Fie X o variabilă statistică de frecvenţe:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

k21

k21n,,n,nx,,x,x

:XK

K

şi f: D1={x1, x2, ..., xk} → 3 o funcţie monotonă (crescătoare sau descrescătoare), atunci numim f - media variabilei statistice de frecvenţe X, cantitatea x f definită de egalitatea

(3.3.18) ( ) ( )ik

1ii xfrxf f ∑

== ,


57

unde frecvenţele relative ri sunt definite prin relaţiile:

(3.3.19)

∑=

=k

1ii

ii

n

nr ,

Dacă funcţia f este definită prin f(t)=xt atunci f – media se numeşte medie de ordinul t, şi de obicei se notează cu x t. Se demonstrează că au loc relaţiile:

x t > x dacă t > 1

(3.3.20) x t = x dacă t = 1

x t < x dacă t < 1

Pentru t=2, x 2 devine media pătratică, şi deci avem x 2> x , pentru t = -1, x -1 devine media armonică, şi deci avem x -1 < x . De asemenea pot fi considerate alte f - medii.

Observaţia 2. Principalul dezavantaj al folosirii mediei aritmetice constă în

sensibilitatea sa faţă de valorile externe. Ea devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt prea împrăştiaţi, iar dacă în colectivitatea statistică se observă modificări distincte din punct de vedere calitativ, media tinde să devină o mărime lipsită de conţinut. În acest caz este indicat să se calculeze medii parţiale pentru fiecare tip calitativ şi, în final, să se determine media generală.

Omogenitatea colectivităţii pentru care se determină media este, de fapt, condiţia reprezentativităţii pentru orice tip de mărime medie.

3.3.2. Alte tipuri de medii utilizate în analiza seriilor statistice

În cazuri speciale de serii statistice simple sau de frecvenţe se aplică anumiţi indicatori medii dintre care prezentăm:

Media pătratică, o notăm cu x p, ea reprezintă acea valoare a caracteristicii

care, dacă ar înlocui fiecare valoare individuală din serie, suma pătratelor termenilor seriei nu s-ar modifica.

Fie X o variabilă statistică simplă. X: x1, x2, ..., xi, ..., xn. Pentru aceasta, media pătratică x p este definită de

relaţia:

(3.3.21) ∑=

=+++=n

1i

2p

2p

2p

2p

2i xnx...xxx


Deducem imediat formula de calcul a mediei pătratice asociate unei variabile statistice simple:

(3.3.22) 21

n

1i

2ip xn

1x⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∑

=

Dacă variabila statistică X este una de frecvenţe, adică avem:

(3.3.23) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ki21

ki21n,n,,n,nx,x,,x,x

:XKK

KK,

atunci media pătratică corespunzătoare este dată prin:

(3.3.24) 21

n

1i

2iip xnn

1x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

=, cu ∑

==

k

1ii nn .

Dacă se trece la frecvenţe relative nn

f ii = , atunci (3.3.24) devine

(3.3.25) 21

k

1i

2ip xfx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∑

=.

Relaţiile de calcul ale mediei pătratice conduc la următoarele observaţii: Deşi media pătratică se poate calcula şi în cazul când variabila statistică ia şi

valori negative sau nule, ea are semnificaţie practică (economică) numai dacă se calculează din valori pozitive.

În mod frecvent media pătratică se utilizează pentru a caracteriza tendinţa centrală în ansamblul abaterilor valorilor individuale de la valoarea lor medie.

De asemenea, media pătratică se utilizează când se doreşte să se acorde o importanţă mai mare la nivelul mediu, a acelor unităţi pentru care caracteristica înregistrată prezintă valori absolute mari.

Media armonică o notăm cu x h, ea se defineşte ca valoare inversă a mediei

aritmetice a inverselor valorilor individuale înregistrate. Pentru o serie statistică simplă X: x1, x2, ..., xi, ..., xn relaţia de definiţie a mediei armonice este:

(3.3.26) ∑=

=+++n

i horin

hhh xxxx 111...11

44 344 21,

de unde rezultă că:


59

(3.3.27)

∑=

= n

i ix

nx h

1

1,

Pentru o serie statistică de frecvenţe:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

k21

k21n,,n,nx,,x,x

:XK

K,

prin intermediul relaţiei (3.3.26), de definiţie, rezultă următoarea formulă de calcul a mediei armonice ponderate:

(3.3.28)

∑

∑

=

==k

1i ii

k

1ii

x1n

n

x h ,

Dacă între două variabile statistice există o relaţie de invers proporţionalitate şi pentru una dintre ele se foloseşte media aritmetică, atunci pentru cealaltă variabilă este obligatoriu să se folosească media armonică, deoarece raportul de inversă proporţionalitate se realizează şi între cele două valori medii.

Exemplul 1. Fie w productivitatea muncii într-un atelier de producţie, t

consumul specific de timp de muncă pe unitatea de produs, T – cheltuielile totale de timp de muncă şi q producţia obţinută; atunci productivitatea medie a muncii se determină cu relaţia:

(3.3.29) ∑∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

= ===k

1iiik

1ii

k

1iii

k

1ii

k

1ii

fw

T

Tw

T

q

w ,

unde

∑=

=k

1ii

ii

T

Tf , iar qi = wi⋅Ti

Consumul specific de timp de muncă, este dat prin:

(3.3.30) ii

i qT

t =


Ţinând seama că ii

i Tq

w = rezultă relaţia:

(3.3.31) i

i w1t = .

Având în vedere relaţia de invers proporţionalitate de mai sus şi faptul că productivitatea medie a fost calculată ca medie aritmetică ponderată, rezultă că pentru calculul consumului specific mediu se va folosi media armonică ponderată:

(3.3.32)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

= ===k

1ii

i

k

1ii

k

1iii

i

k

1ii

k

1ii

k

1ii

h

Tt1

T

tqt1

T

q

T

t ,

Am văzut că x h= x -1 este mai mică decât media aritmetică. Dacă valorile caracteristicii X sunt egale, atunci cele două medii iau aceeaşi valoare.

De asemenea, în situaţia când pentru o caracteristică nu se cunosc ponderile reale ale valorilor xi ci ponderile complexe ni xi, atunci cele două medii, aritmetică şi armonică au valori egale.

Într-adevăr,

(3.3.33) x

x

xn

x1xn

xn

xk

1ii

k

1iii

i

k

1iii

k

1iii

h ===

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= ,

În practică, atunci când se cunosc valorile caracteristici xi k,1i = şi ponderile ni pot fi folosite oricare din mărimile medii, când însă se cunosc numai valorile xi şi ponderile complexe xi ni se aplică media armonică care, de asemenea este utilizată la calculul indicilor medii.

Exemplul 2. Să presupunem că pentru efectuarea unei operaţii, un lucrător cheltuieşte 15 minute, iar altul 30 minute. Care este timpul mediu de lucru pentru această operaţie ?

Dacă utilizăm media aritmetică, atunci timpul mediu consumat pentru operaţia dată este (30+15)/2 = 22,5 minute.

Dacă utilizăm media armonică, atunci timpul mediu consumat pe această operaţie este:


61

203202

301

151

2=⋅=

+ minute.

Dacă acceptăm timpul mediu de lucru de 20 minute, atunci într-o oră cei doi

lucrători efectuează 62060

2060

=+ operaţii. Dacă considerăm timpul mediu de lucru de

22,5 minute, atunci cei doi lucrători efectuează într-o oră 55,22

605,22

60=+ operaţii.

În realitate, într-o oră cei doi lucrători efectuează 63060

1560

=+ operaţii.

Observăm că în acest caz este raţional să se calculeze media armonică pentru a stabili timpul mediu pe operaţie.

Media geometrică, o notăm cu x g. Ea se calculează pe baza unei relaţii multiplicative între termenii unei serii statistice simple sau de frecvenţe

Media geometrică x g reprezintă acea valoare a caracteristicii care, dacă ar înlocui fiecare valoare individuală din serie, produsul acestora nu s-ar modifica. Deci x g se defineşte prin relaţia:

(3.3.34) nggggn

1ii xxxxx =⋅⋅⋅=∏

=K ,

de unde rezultă:

(3.3.35) n1

n

1iig xx⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∏

=,

relaţie valabilă pentru o serie simplă X: x1, x2, ..., xi, ..., xn. Pentru o serie de distribuţie de frecvenţe:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

k21

k21n,,n,nx,,x,x

:XK

K

se obţine:

(3.3.36)

∑=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∏

=

k

1iin

1

ik

1i

nig xx ,


Utilizând proprietăţile logaritmului se obţine din (3.3.35) următoarea relaţie de definiţie a mediei geometrice x g:

( )n

xln

xln ii

g

∑=

Calculul nivelului mediu al unei variabile statistice ca medie geometrică se efectuează numai atunci când operaţia de multiplicare între termenii seriei este posibilă şi are sens economic.

Utilizarea mediei geometrice este indicată atunci când termenii seriei prezintă o concentrare către valorile cele mai mici sau când se urmăreşte să se dea o importanţă deosebită valorilor individuale reduse. Cel mai frecvent media geometrică se utilizează la calculul tendinţei centrale din seria indicilor de dinamică cu baza fixă şi mai ales mobilă.

În mod evident, atunci când un termen al seriei statistice este zero, produsul din relaţia de definiţie (3.3.34) devine nul şi definiţia nu poate furniza informaţii utile.

Exemplul 3. În trei ani consecutivi o întreprindere a realizat un profit de 10 mil. lei, 20 mil. lei şi respectiv 160 mil. lei. Să se determine indicele mediu al profitului realizat.

În anul al doilea profitul s-a dublat, iar în anul al treilea a crescut de 8 ori faţă de precedentul. Media aritmetică a indicelui de multiplicare ne arată că în medie

profitul s-a multiplicat de 52

82=

+ ori pe an. Acest rezultat nu concordă cu realitatea,

deoarece dacă multiplicăm pe 10 mil. lei prin 5 obţinem 250 mil. lei, profiturile corespunzătoare anului al doilea şi al treilea obţinute astfel sunt mult mai mari. Să utilizăm media geometrică. Vom avea 482xg =⋅= . Prin multiplicarea cu 4 obţinem pentru anul al doilea şi al treilea 40 mil. lei, respectiv 160 mil. lei, care oferă un rezultat mult mai apropiat de cel real şi putem considera ca indice mediu al profitului realizat I=4, ca un rezultat corect.

În general, media geometrică se aplică atunci când fenomenul cercetat poate fi aproximat printr-o evoluţie exponenţială.

3.4. Indicatori de poziţie

De multe ori, informaţiile utile în fundamentarea deciziilor legate de seriile de repartiţie, le furnizează pe lângă indicatorii medii, indicatorii de poziţie, care reflectă forma în care se raportează unităţile colectivităţii cercetate, după caracteristica respectivă. În caracterizarea tendinţei centrale, în seriile de repartiţie rolul de valoare

3.4. – Indicatori de poziţie

63

tipică poate fi jucat de indicatorii de poziţie: modul şi cuantile, care evidenţiază tendinţa de aglomerare, de concentrare a unităţilor după caracteristica studiată.

Valoarea modală a caracteristicii numită şi valoare dominantă sau modul, reprezintă acea valoare a caracteristicii care corespunde celui mai mare număr de unităţi, sau acea valoare care are cea mai mare frecvenţă de apariţie.

Pentru o repartiţie discretă, valoarea modală este uşor de stabilit prin simpla

examinare a şirului de frecvenţe k,1ii

inx

:X=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Valoarea modală a caracteristicii este

acea valoare individuală pentru care frecvenţa de apariţie este cea mai mare. De exemplu, pentru seria de frecvenţe

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12311

109865:X

modul este m0 = 8. Seria de repartiţie de mai sus este reprezentată grafic în fig.3.4.

Fig.3.4

În cazul seriilor de repartiţie pe intervale egale valoarea modală se obţine astfel: se identifică intervalul cu frecvenţă absolută sau relativă cea mai mare, apoi în intervalul modal se estimează valoarea modală.

Estimarea valorii modale se efectuează în diferite variante: Dacă în cadrul intervalului modal frecvenţele sunt distribuite simetric sau

aproximativ simetric, atunci modul coincide cu centrul intervalului modal. Dacă repartiţia frecvenţelor în cadrul intervalului modal nu este simetrică,

atunci se calculează mai întâi diferenţele: ∆1 – diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului

premodal (precedent); ∆2 – diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi cea a intervalului

postmodal (următor).


Dacă intervalul modal este [xi, xi+1] de lungime hi = xi+1 – xi, atunci valoarea modală (modul) seriei statistice este dat prin:

211

ii0 hxm ∆+∆∆

+=

Exemplul 1. Distribuţia a 50 de unităţi după volumul încasărilor lunare este dată în tabelul 3.3.

Tabelul 3.3.

Grupe de unităţi după volumul

încasărilor

Număr de unităţi ni

Centrul de interval xi

Număr de unităţi cumulate crescător

Observaţii

100 - 150 3 125 3 150 - 200 12 175 15 200 - 250 17 225 32 Interval modal 250 - 300 8 275 40 300 – 350 4 325 44 350 - 400 6 375 50

Valoarea modală a încasărilor lunare sau încasarea lunară cea mai frecventă

este dată aproximativ prin:

( ) ( )8171217121750200m0 −+−

−+= = 218

În mod asemănător cu valoarea modală se defineşte valoarea antimodală cu cea mai mică frecvenţă sau cea mai puţin probabilă.

Modul are avantajul că se determină rapid şi are o semnificaţie simplă. Pe graficul repartiţiei statistice valoarea modală corespunde punctului de pe abscisă, în care graficul îşi atinge maximul.

În practică există serii de distribuţie multimodale, adică se determină mai multe valori modale (pe grupe), de obicei ele nu pot fi sintetizate într-o singură valoare modală cu semnificaţie pentru întreaga colectivitate.

În unele situaţii practice valoarea modală furnizează informaţii mai utile decât valoarea medie, de exemplu în lansarea unui tip de confecţie pe piaţă este importantă cunoaşterea valorii modale, pe când o valoare medie este lipsită de semnificaţie.

Cuantilele indică o divizare a distribuţiei observaţiilor într-un număr oarecare de părţi. Ele sunt indicatori care descriu poziţiile particulare din cadrul seriilor de distribuţie statistică.


65

Cuantilele de ordinul r (r∈∠) le notăm cu Cr, ele fiind valori ale caracteristicii

urmărite, care împart distribuţia observaţiilor în r părţi egale, care au acelaşi efectiv r1

din numărul total al observaţiilor. Cele mai frecvent utilizate cuantile sunt:

- cuantila de ordinul 2 (r=2), numită şi mediana (me); - cuantila de ordinul 4, Qi, i=1,2,3 (numită simplu cuantilă); - cuantilele de ordinul 10 (r=10) cunoscute şi sub numele de centile.

În mod evident, cuantilele de ordin superior r ≥ 4 se calculează în cazul distribuţiilor cu număr mare de grupe sau clase de valori individuale.

Mediana (me) reprezintă acea valoare a caracteristicii localizată în mijlocul seriei sau repartiţiei statistice cu valori individuale aranjate în ordine crescătoare sau descrescătoare. Cu alte cuvinte, mediana împarte numărul unităţilor investigate în două părţi egale, una conţinând unităţile cu valori ale caracteristicii inferioare medianei, iar cealaltă parte unităţile populaţiei cu valori ale caracteristicii superioare medianei.

Deoarece

( ) ( )21mxPmxP eiei =≥=≤

mediana se mai numeşte şi valoare echiprobabilă a caracteristicii. Am văzut că determinarea medianei presupune ordonarea crescătoare sau

descrescătoare a valorilor individuale ale caracteristicii. Să considerăm o serie statistică simplă X: x1, x2, ..., xn ordonată crescător.

Dacă seria are un număr impar de termeni, atunci mediana me este valoarea de rang

21n + din serie, adică:

21+

=ne

xm

De exemplu, dacă avem X: 5, 6, 12, 20, 25, 28, 50, atunci me=20. Dacă seria este formată dintr-un număr par de termeni, atunci mediana se

determină, în mod convenţional, ca valoare medie (media aritmetică) a valorilor

individuale de rang 2n şi

2n +1, adică:

2

xx

m1

2n

2n

e

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

= .


De exemplu, pentru seria X: 5, 8, 15, 25, 30, 37, 45, 51; n=8, 2n =4,

5,272

30252

xxm 54e =+

=+

= .

Observăm că în cazul seriei simple cu număr impar de valori individuale, mediana respectă exact definiţia dată, iar în cazul numărului par de valori, mediana este stabilită convenţional ca să aproximeze definiţia dată. În acest caz mediana poate să nu fie o valoare individuală a seriei date.

În cazul seriei de distribuţie de frecvenţe pe variante distincte, semnificaţia valorii mediane este afectată de metoda sa de calcul. În acest caz valoarea mediană este acea valoare individuală a caracteristicii care corespunde primei frecvenţe care

prin cumulare ascendentă depăşeşte 2

1nk

1ii∑

=+

Exemplul 2. În urma controlului de calitate a 100 loturi de aparate electrotehnice s-au înregistrat datele prezentate în tabelul 3.4.

Tabelul 3.4.

Număr de aparate cu defecţiuni xi

Număr de loturi de aparate ni

Număr cumulat crescător de loturi

0 1 2 3 4 5

15 25 30 15 10 5

15 40 70 85 95

100

Total 100 -

5,502

11002

1n6

1ii

=+

=

+∑= . 70 este prima frecvenţă cumulată crescător care

depăşeşte 50,5. Deci numărul median de aparate defecte este m=2. Observăm însă că valoarea mediană m=2 nu împarte seria în două părţi egale, numai 40% din loturi au un număr de defecte mai mic decât 2 şi nu 50% cum ar fi trebuit conform definiţiei. În asemenea situaţii mediana nu reprezintă o valoare tipică pentru caracterizarea tendinţei centrale de repartiţie şi sunt indicate alte mărimi ale tendinţei centrale.


67

În cazul distribuţiei de frecvenţe, pe intervale, valoarea mediană se determină în intervalul median, în mod aproximativ printr-un procedeu de interpolare liniară în ipoteza repartizării uniforme (după o anumită lege de repartiţie) a frecvenţelor în intervalul median.

În acest caz se parcurg următoarele etape: Se determină mai întâi intervalul median ca fiind intervalul care corespunde

primei frecvenţe cumulate crescător ce depăşeşte 2

1nk

1ii∑

=+

.

În cadrul intervalului median valoarea mediană se poate determina prin formula de interpolare:

i

1i

1jj

k

1jj

iie n

n1n21

hxm∑∑−

==−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

+=

unde [xi, xi+1] este intervalul median, iar hi=xi+1-xi este lungimea acestuia. De exemplu, pe baza datelor din Exemplul 1 obţinem:

23117

155,2550200me ≈−

+= mii lei

ceea ce semnifică faptul că 50% din unităţi au încasări mai mici de 321 mii lei, iar 50% au încasări mai mari de 251 mii lei.

În mod asemănător se calculează mediana în cazul seriilor de distribuţie de frecvenţe relative.

Prin generalizarea metodologiei de determinare a medianei se obţin procedee de calcul a cuantilelor de ordinul r ≥ 4.

Poziţiile pe care le ocupă în cadrul unei serii de valori, media aritmetică, valoarea modală şi mediana conduc la informaţii utile asupra formei de distribuţie a unităţilor colectivităţii după caracteristica analizată.

Dacă x = m0 = me, atunci distribuţia frecvenţelor este simetrică. Dacă distribuţia este unimodală uşor asimetrică, atunci frecvenţele sunt uşor

deplasate într-o parte sau alta. În acest caz între cei trei indicatori ai tendinţei centrale există, după o concluzie empirică, o relaţie de forma:

x - m0 = 3( x - me) În funcţie de diferitele cazuri particulare unul din cei trei indicatori ai tendinţei

centrale: medie, valoare modală, mediană, poate să aibă o semnificaţie mai puternică.


Fie seria X: 2, 4, 4, 8, 9, 10, 1000; în această serie, media aritmetică nu este semnificativă, fiind afectată de o valoare foarte mare faţă de celelalte; o mai bună semnificaţie este oferită de mediană.

Pentru angajaţii unei întreprinderi au semnificaţii diferite, din puncte de vedere diferite, salariul mediu şi salariul modal. Conducerea este interesată în a considera ca tendinţă salariul mediu. Cum acesta este afectat de salariile mari din întreprindere, sindicatul muncitorilor consideră că situaţia veniturilor angajaţilor este mai realist reflectată de salariul modal.

Din cele de mai sus reiese că în analiza tendinţei centrale a unei serii de date, după calculul indicatorilor corespunzători, trebuie acordată o atenţie deosebită acelora cu cea mai reprezentativă încărcătură informaţională, care reflectă şi gradul de împrăştiere (variaţie) a valorilor individuale.

3. indicatorii statistici3. indicatorii statistici 3.1. necesitatea folosirii indicatorilor...

Documents