3 geometria tridimensional 3.1 retas no espaço...
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Cálculo II-���������� �� 65
3 Geometria Tridimensional
3.1 Retas no Espaço Tridimensional
Equação da Reta que Liga os Pontos �����, ��, ���, �����,��, ���
Forma Normal � � ���� � �� �
� � ���� � �� �� � ���� � ��
Forma Paramétrica
� � �� � � � �� � � � � �� � �
3.2 Plano
Equação Geral do Plano
�� � �� � �� � � � 0
Equação do Plano em Relação a suas
Interseções
� ��� � �� � 1 onde , �, � são as interseções nos eixos �, �, �, respectivamente
Equação do Plano que contém os pontos �����, �� , ���, �����,��, ���, �!��!, �!, �!� " � � �� � � �� � � ���� � �� �� � �� �� � ���! � �� �! � �� �! � ��# � 0
Cálculo II-���������� �� 66
3.3 Superfície Cilíndrica ou Cilindro
Superfície obtida pela translação de uma reta, chamada geratriz, ao longo de uma curva, chamada diretriz.
Exemplo:
Curva Geratriz Paralela ao Eixo $ e Curva Diretriz no Plano %&
� � ��'(����� � � �����)��(����
3.4 Superfície de Revolução
Superfície obtida pela rotação de uma
curva plana (curva diretriz) em torno
de uma reta (eixo de revolução), que
pertence ao plano da curva.
Exemplo:
Curva Diretriz no Plano &$ rotacionada em torno do eixo $
� � �����)��(���� � � � *+,�� � ��-�./0(���(�
3.5 Esfera
�� � �� � �� � �� � 1 0
Todos os traços são círculos
Curva Geratriz
Curva Diretriz
Eixo de
Revolução
Curva
Diretriz
Cálculo II-���������� �� 67
3.6 Superfície Quadráticas
Chama-se superfície quadrática ao conjunto de pontos ��, �, �� ∈ ℜ! que
satisfazem uma equação de 2º grau do tipo:
��� +��� + ��� + ��� + 4�� + 5�� + 6� + 7� + 8� + 9 = 0
Com coeficientes reais, onde pelo menos um dos coeficientes �,�,�,�, 4 ou 5 é diferente de zero. Tipo I : Superfícies geradas por equações do tipo
±��
�±
��
��±
��
��= 1
onde , � e � são constantes positivas e com sinais algébricos simultâneamente não negativos. São chamadas superfícies quadráticas centrais pois possuem simetria em relação aos 3 eixos coordenados, aos 3 planos coordenados e à origem e se classificam em: esfera, elipsóide, hiperbolóide de uma folha (ou uma seção) e hiperbolóide de duas folhas (ou duas seções). Tipo II : Superfícies geradas por equações do tipo
±��
�±
��
��±
��
��= 0
onde a, b e c são constantes positivas e nem todos os três sinais algébricos são igual são chamadas de cone elíptico (ou cone circular se = � = �).
Tipo III : Superfícies geradas por equações do tipo
±��
�±
��
��=
�
��/ ±
��
��±
��
�� =
�
�/ ±
��
�±
��
��=
�
�
onde , � e �são constantes positivas Se ambos os termos à esquerda possuem o mesmo sinal algébrico, o gráfico de qualquer destas equações é chamado parabolóide elíptico. Se os termos tiverem sinais contrário, o gráfico é chamado de parabolóide hiperbólico.
Cálculo II-���������� �� 68
Técnicas para o estudo das superfícies quadráticas centradas na origem do sistema cartesiano Identificar: Traços, interseções com os eixos coordenados e simetrias. 1) Traço As seções transversais das superfícies são formadas pela interseção da superfície com planos, especialmente planos paralelos aos planos coordenados ou perpendiculares ao plano de simetria da superfície. A curva formada interseção de uma superfície com um plano é chamada de traço da superfície no plano.
2) Interseções com os eixos coordenados: As interseções �, � e �da superfície são definidas como sendo os pontos em que os eixos �, � e �, respectivamente, interceptam a superfície. Por exemplo, para determinar a interseção �, fazemos � = 0 e � � 0 na equação da superfície. 3) Simetrias: As superfícies geralmente apresentam simetrias em relação a pontos, retas ou planos. Por exemplo, se uma equação equivalente à equação original é
obtida quando � é substituido por –�, então, a superfície é simétrica em relação ao plano ��.
A equação do traço da superfície
em um plano em particular pode
ser determinada substituindo a
equação do plano na equação da
superfície.
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3.6.1.Elipsóide
��
�+
��
��+
��
��= 1
, �, � 1 0 Todos os traços são elipses ou círculos Se � � � � o elipsóide é uma esfera
Equação na forma reduzida:
��� ����� ����� � 1
, �, � 1 0 Dicas para reconhecer a equação de um elipsóide:
• As três variáveis ( �, �, �) estão na segunda potência e o termo
independente é não nulo.
• Os coeficientes das três variáveis são positivos.
• Os traços nos planos perpendiculares aos três eixos coordenados são
elipses ou círculos.
• Se � � � � o elipsóide é uma esfera.
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Exemplo: Análise dos traços do elipsóide cuja equação é dada por:
�� + 4�� + 4�� � 4 = 0 ��4 � �� � �� � 1
Interseções com os eixos coordenados: Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +2 → �+2, 0, 0� Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +1 → �0, +1, 0� Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +1 → �0, 0, +1�
Traços Plano cortante: � � > com |>| @ 1
Plano cortante: � � 0 (Traço xy)
��4 � �� � 1 � >�
Se |>| A 1
Elipses:
eixo maior paralelo ao eixo dos � eixo menor paralelo ao eixo dos �
Se |>| � 1
Pontos �0, 0,+1�
��2� � �� � 1
Elipse:
semi-eixo maior no eixo dos � → � 2 semi-eixo menor no eixo dos � → � � 1
Cálculo II-���������� �� 71
Plano cortante: � = > com |>| @ 1
Plano cortante: � � > � 0 (Traço xz)
Plano cortante: � � > com > @ 2
Plano cortante: � � 0 (Traço yz)
��4 � �� � 1 � >�
Se |>| A 1
Elipses:
eixo maior paralelo ao eixo dos � eixo menor paralelo ao eixo dos �
Se |>| � 1
Pontos �0, +1, 0�
�� � �� � 1 � >�2�
Se |>| A 2
Círculos:
Círculos em planos paralelos a yz
de raio � � ,1 � >�/4
Se |>| � 2
Pontos �+2, 0, 0�
�� � �� � 1
Círculos no plano yz de raio � � 1
��2� � �� � 1
Elipse:
semi-eixo maior no eixo dos � → � 2 semi-eixo menor no eixo dos � → � � 1
Cálculo II-���������� �� 72
3.6.2. Hiperbolóide de uma folha
��
�+
��
���
��
��= 1
, �, � 1 0
Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos
Equações na forma reduzida: ��� ����� ����� � 1
��� ����� ����� � 1
���� ����� ����� � 1 , �, � 1 0 Dicas para reconhecer a equação reduzida de um hiperbolóide de uma folha
• As três variáveis ( �, �, �) estão na segunda potência e o termo
independente é não nulo.
• Os coeficientes de duas variáveis são positivos e da outra é negativo.
• O eixo do hiperbolóide de uma folha é homônimo à variável de
coeficiente negativo.
• Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são
hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são
elipses ou círculos
Cálculo II-���������� �� 73
Exemplo: Análise dos traços do hiperbolóide de uma folha cuja equação é
dada por:
4�� + �� � �� = 9
��
9/4+��
9���
9= 1 → ���3/2��� ��3� � ��3� � 1
Interseções com os eixos coordenados: Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +1,5 → �+3/2, 0, 0� Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +3 → �0, +3, 0� Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 →não intercepta Traços: Plano cortante: � � >
Plano cortante: � � > � 0 (Traço xy)
���3/2�� � ��3� � 1� >�3�
Elipses:
eixo maior paralelo ao eixo dos � eixo menor paralelo ao eixo dos �
���3/2�� � ��3� � 1
Elipse:
semi-eixo maior no eixo dos � → � 3 semi-eixo menor no eixo dos � → � � 1,5
Cálculo II-���������� �� 74
Plano cortante: � = > com |>| A 3
Plano cortante: � = > com |>| 1 3
Plano cortante: � = > com |>| = 3
Plano cortante: � = > = 0 (Traço xz )
���3/2�� � ��3� � 1 � >�3�
Se |>| A 3
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos x
eixo imaginário paralelo ao eixo dos z
�F ���3/2�� � ��3�G � �F1 � >�3�G
Se |>| 1 3
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos z
eixo imaginário paralelo ao eixo dos x
��3� � ���3/2��
Se |>| � 3
Retas : � � +2�
���3/2�� � ��3� � 1
Hipérbole:
semi-eixo real no eixo dos x → � 1,5 semi-eixo imaginário no eixo dos z → � � 3
Cálculo II-���������� �� 75
Plano cortante: � = > com |>| A 1,5
Plano cortante: � � > com |>| 1 1,5
Plano cortante: � � > com |>| � 3/2
Plano cortante: � � > � 0 (Traço yz )
��3� � ��3� � 1 � >��3/2��
Se |>| A 1,5
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos y
eixo imaginário paralelo ao eixo dos y
�F��3� � ��3�G � �F1 � >��3/2��G
Se |>| 1 1,5
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos z
eixo imaginário paralelo ao eixo dos y
��3� � ��3�
Se |>| � 3/2
Retas: � � +�
��3� � ��3� � 1
Hipérbole:
semi-eixo real no eixo dos y → � 3 semi-eixo imaginário no eixo dos z → � � 3
Cálculo II-���������� �� 76
3.6.3.Hiperbolóide de duas folhas
���
��
��
��+
��
��= 1
, �, � 1 0.
Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos
Equações na forma reduzida:
���� � ���� ����� � 1
��������� ����� � 1
��� ����� ����� � 1
, �, � 1 0 Dicas para reconhecer a equação de um hiperbolóide de duas folhas
• As três variáveis ( �, �, �) estão na segunda potência e o termo
independente é não nulo.
• Os coeficientes de duas variáveis são negativos e da outra é positivo.
• O eixo do hiperbolóide de duas folhas é homônimo à variável de
coeficiente positivo.
• Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são
hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são
elipses ou círculos
Exemplo: Análise dos traços do hiperbolóide de duas folha cuja equação é
dada por:
Cálculo II-���������� �� 77
�� + 2�� � �� + 4 = 0 →��� � 2�� � �� � 4
���4 � ��2 � ��4 � 1 Interseções com os eixos coordenados: Com o eixo dos � →não intercepta Com o eixo dos � →não intercepta Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +2 → �0, 0, +2� Traços: Plano cortante: � � >
Plano cortante: � � > � 0�Traço xy )
��4 � ��2 � >�2� � 1
Se |>| 1 2
Elipses:
eixo maior paralelo ao eixo dos x
eixo menor paralelo ao eixo dos y
Se |>| � 2
Ponto �0, 0,+2� Se |>| A 2
não intercepta
Não existe
Cálculo II-���������� �� 78
Plano cortante: � = >
Plano cortante: � = > = 0 (Traço xz)
Plano cortante: � � >
Plano cortante: � � 0 (Traço yz)
���2� � ��2� � 1
Hipérbole:
semi-eixo real no eixo dos z → � 2 semi-eixo imaginário no eixo dos x → � � 2
���4 � ��4 � 1 � >�2
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos z
eixo imaginário paralelo ao eixo dos x
���2 � ��4 � 1 � >�4
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos z
eixo imaginário paralelo ao eixo dos y
� ��H√2J� �
��2� � 1
Hipérbole:
semi-eixo real no eixo dos z → � 2 semi-eixo imaginário no eixo dos y → � � √2
Cálculo II-���������� �� 79
3.6.4. Cone
Equação Tipo II
��
�+
��
���
��
��= 0
, �, � 1 0
Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos.
Equações na forma reduzida:
��� � ��
�� � ���� � 0
��� � ��
�� � ���� � 0
���� � ��
�� � ���� � 0
, �, � 1 0 Dicas para reconhecer a equação de um cone
• As três variáveis ( �, �, �) estão na segunda potência e o termo
independente é nulo.
• Os coeficientes de duas variáveis são positivos e da outra é negativo.
• O eixo do cone é homônimo à variável de coeficiente negativo.
• Os traços planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são
hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são
elipses ou círculos
Cálculo II-���������� �� 80
Exemplo: Análise dos cortes das seções transversais do cone cuja equação
é dada por:
��
4+��
9���16 � 0
��2� � ��3� � ��4� � 0
Interseções com os eixos coordenados: Ponto �0, 0, 0�
Traços: Plano cortante: � � >
Plano cortante: � � > � 0 (Traço xy )
��2� � ��3� � >�4�
Se > L 0
Elipses:
eixo maior paralelo ao eixo dos y
eixo menor paralelo ao eixo dos x
Ponto (0, 0, 0)
Cálculo II-���������� �� 81
Plano cortante: � = >
Traço xz : Plano cortante: � = > = 0
Plano cortante: � � >
Plano cortante: � � > � 0 (Traço yz)
���2� � ��4� � >�3�
Se > L 0
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos z
eixo imaginário paralelo ao eixo dos x
���3� � ��4� � 0
� � +34 � Retas:
���3� � ��4� � >�2�
Se > L 0
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos z
eixo imaginário paralelo ao eixo dos
���2� � ��4� � 0
� � +12 � Retas:
Cálculo II-���������� �� 82
3.6.5. Parabolóide Elíptico
Equação Tipo III
��
�+
��
��=
�
�
, � 1 0(� L 0
Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos.
Equações na forma reduzida:
��� � ���� � �� ��� � ���� ��� ��� � ���� � �� , � 1 0(� L 0 Dicas para reconhecer a equação de um parabolóide elíptico
• Duas variáveis estão na segunda potência e a outra na primeira
potência.
• Os coeficientes das variáveis em segunda potência são positivos.
• O eixo do parabolóide elíptico é homônimo à variável em primeira
potência.
• Os traços planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são
parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são
elipses ou círculos
Cálculo II-���������� �� 83
Exemplo:Análise dos traços do parabolóide elíptico cuja equação é dada
por:
9�� + 4�� � 36� = 0 → 936�� � 436�� � �
��4 � ��9 � � → ��2� � ��3� � �
Interseções com os eixos coordenados: Ponto �0, 0, 0�
Traços Plano cortante: � � >
Plano cortante: � � > � 0 (Traço xy)
��2� � ��3� � >
Se > 1 0
Elipses:
eixo maior paralelo ao eixo dos y
eixo menor paralelo ao eixo dos x
Ponto �0, 0, 0�
Cálculo II-���������� �� 84
Plano cortante: � = >
Plano cortante: � = > = 0 (Traço xz)
Plano cortante: � � >
Plano cortante: � � 0 (Traço yz)
�� � 4 F� � >�3�G
Parábolas em planos paralelos a xz com
vértice em*0, >, MNO -, eixo paralelo ao eixo dos z e voltadas para o sentido
positivo de z
(distância focal 0 � 1�
�� � 9F� � >�2�G
Parábolas em planos paralelos a yz com
vértice em*>, 0, MNP -, eixo paralelo ao eixo dos z e voltadas para o sentido positivo de z
(distância focal 0 � 9/4�
�� � 9�
Parábola no plano yz com vértice
em�0, 0, 0�, eixo coincidente com o eixo dos
z e voltada para o sentido positivo de z
(distância focal 0 � 9/4�
�� � 4�
Parábola no plano xz com vértice
em�0, 0, 0�, eixo coincidente com o eixo dos
z e voltada para o sentido positivo de z.
(distância focal 0 � 1�
Cálculo II-���������� �� 85
3.6.6. Parabolóide Hiperbólico
Equação Tipo III
���
�+
��
��=
�
�
, � 1 0(� L 0
Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são hipérboles.
Equações na forma reduzida:
���� � ��
�� ��� �/ ��
� ����� � ��
���� � ���� ��� �/ ��
� � ���� � ��
���� � ���� � �� �/ ��
� � ���� � ��
, � 1 0(� L 0 Dicas para reconhecer a equação de um parabolóide hiperbólico
• Duas variáveis estão na segunda potência e a outra na primeira
potência.
• Os coeficientes das variáveis em segunda potência têm sinais
contrários.
• Os traços hiperbólicos são os obtidos pela interseção da superfície com
planos paralelos homônimos à variável em primeira potência.
• Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são
parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são
hipérboles.
Cálculo II-���������� �� 86
Exemplo: Análise dos traços do parabolóide hiperbólico cuja equação é dada
por:
� = �� � ��
Interseções com os eixos coordenados: Ponto �0, 0, 0�
Tracos: Plano cortante: � � > com > 1 0
Plano cortante: � � > com > A 0
Plano cortante: � � > � 0 (Traço xy)
�� � �� � >
Se > 1 0
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos y
eixo imaginário paralelo ao eixo dos x
���� � ��� � �>
Se > A 0
Hipérboles:
eixo real paralelo ao eixo dos x
eixo imaginário paralelo ao eixo dos y
�� � ��
Se > � 0
Retas: � � +�
Cálculo II-���������� �� 87
Plano cortante: � = >
Plano cortante: � = > = 0 (Traço xz)
Plano cortante: � � >
Plano cortante: � � > � 0 (Traço yz)
�� � ��� � >�� Parábolas em planos paralelos a xz
com vértice em�0, >, >��, eixo paralelo ao eixo dos z e voltadas para o sentido
negativo de z
(distância focal 0 � �1/4�
�� � �� � >�� Parábolas em planos paralelos a yz com
vértice em�>, 0, �>��, eixo paralelo ao eixo dos z e voltadas para o sentido
positivo de z
(distância focal 0 � 1/4�
�� � �
Parábola no plano yz com vértice
em�0, 0, 0�, eixo paralelo ao eixo dos z e voltada para o sentido positivo de z
(distância focal 0 � 1/4�
�� � ��
Parábola no plano xz com vértice
em�0, 0,0�, eixo coincidente com o
eixo dos z e voltada para o sentido
negativo de z
(distância focal 0 � �1/4�