3 4 ondas eletromagnéticas equações de maxwell · 5 equações de maxwell aas evidências...
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June 04 Hédison K. Sato
GEO046Geofísica
Aula no 10MÉTODOS ELETROMAGNÉTICOSEquações de MaxwellEspectro e fontes de energia
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Ondas eletromagnéticas
A teoria eletromagnética representa a extensão e o entendimento de que os fenômenos elétricos e magnéticos são interligados.Além das fontes naturais, o campo EM é gerado, controlado e usado num intervalo largo em freqüência.Da mais alta para a mais baixa, são a radiação gama, raio X, luz ultravioleta, luz visível, infravermelho (calor irradiado), microonda, telefonia celular, comunicação em UHF, televisão/FM (VHF), rádio difusão de longo e curto alcance, VLF (“Very low frequency”).
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Ondas eletromagnéticas
As ondas EM podem ser irradiadas emdiversas direções que é o caso das TV, lâmpadas, etc.concentradas através de antenas parabólicasliteralmente entubadas como ocorre nas fibras óticas.
Espectro das ondas EM
10-11 10-9 10-7 10-5 10-3 10-1 101 103 105 107 109
Comprimento de onda (cm)
3×10
21 Freqüência(Hz)3×
1017
3×10
13
3×10
9
3×10
5
3×10
1
Raiogama
RaioX
Ultravioleta
Luzvisível
Infravermelho
Ondascurtas
OndaslongasFM
TV(2-6)
TV(7-13)Celular
VLF ELFMicroondas ULF
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Equações de Maxwell
( )( )
( )( )
( ).,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,
tzyxtzyx
tzyxtzyx
tzyx
jd
bh
e
elétrica corrente de densidade vetor oe ,por elétrico todeslocamen vetor o
magnético fluxo do densidade vetor opor magnético campo o
por elétrico campo o
Alguns métodos geofísicos usam ondas EM: radiométricos (radiação gama), eletromagnéticos ⌧UHF e VHF no método GPR (“ground penetrating radar”).⌧VLF e ULF nos eletromagnéticos clássicos.
Denotando
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Equações de Maxwell
As evidências experimentais demonstram que
t∂∂
−=×∇be
t∂∂b
t∂∂
+dj
t∂∂
+=×∇djh
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Equações de Maxwell
Na forma integral, as equações de Maxwell ficam
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂∂
−=⋅ ∫∫SC
dt
d sble ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂∂
+⋅=⋅ ∫∫∫SSC
dt
dd sdsjlh
C curvaC curva
7
Equações de Maxwell
elétrica. carga de densidade a é onde, e
que demonstrar se-pode
elétrica, carga de oconservaçãda princípio o usando e anteriores equações Das
tq
0=⋅∇=⋅∇
∂∂
−=⋅∇
bd
j
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Relações constitutivas
Para meios lineares e isotrópicos, tem-se
( )
( )
elétrica. adecondutivid a sendo
e elétrica, vidadepermissi a sendo,
magnética, dadepermeabili a é onde
σσ
εεε
πµµµ
ej
ed
hb
=×=
=×=
=
−
−
mF1085,8
mH104
120
70
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Equações de onda
Tomando as equações de Maxwell
( ) ( ) ( ) 0=∂
∂×∇−×∇−×∇×∇=
∂∂
×∇+×∇×∇
===
∂∂
+=×∇∂∂
−=×∇
tt
tt
eehhe
ejedhb
djhbe
εσµσεµ
e 0
, e ,:vasconstituti relações as supondo disso, Além
equação. da lados dois aos rotacional oaplicar vamos
e
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Equações de onda
Invertendo a ordem das diferenciações, e supondo que o meio é homogêneo,
( ) ( )
.0
0
.00
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+×∇×∇
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+×∇×∇
∂∂
+=×∇∂∂
−=×∇
=×∇−×∇∂∂−×∇×∇=×∇
∂∂+×∇×∇
ttt
tt
tt
tt
bbh
dje
djhbe
eehhe
σε
µ
σεµ
e
, e
Maxwell de equações as oRelembrand
e
11
Equações de onda
Repetindo o uso das relações constitutivas,( )
( ) ( )
0
0
.0
0
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+×∇×∇
=∂∂
+∂∂
+×∇×∇
=∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+×∇×∇
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+×∇×∇
tt
tt
ttt
tt
hhh
eee
hhh
eee
µσµε
µσµε
µσµε
εσµ
e
çãodiferencia de ordens e termos os oRearrumand
e
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Equações de onda
Utilizando a identidade vetorial, válido para coordenadas cartesianas:
.0
0
2
22
2
22
=∂∂
−∂∂
−∇
=∂∂
−∂∂
−∇
tt
tthhh
eee
µσµε
µσµε e
queescrever se-pode finitas, adescondutivid comhomogêneas regiões em anulam se e que fato o e he
aaa⋅∇⋅∇
∇−⋅∇∇=×∇×∇ 2
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Equações de onda
Em meios não condutores (no vácuo), as equações reduzem-se a:
.00 2
22
2
22 =
∂∂
−∇=∂∂
−∇tthhee µεµε e
que são equações de onda com velocidade de fase
.km/s299863mF1085,8
mH1041
120
70
=×=
×==
−
−
νε
πµµε
Assim,.
e vácuo,o mosconsiderar Se .v
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Equações de onda (exemplo)
Vamos tomar o caso 1-D com um componente
.02
2
2
2
=∂∂
−∂∂
te
xe ii µε
o.demonstrad fica , se Logo,
assim, ;
lado, outroPor assim, ;
:Vejamosequação? a satisfaz que Será
µε1
).()(
).()(
)(),(
22
2
2
2
=
−′′=∂∂
−′−=∂∂
−′′=∂∂
−′=∂∂
−=
v
vtxfvtevtxfv
te
vtxfxevtxf
xe
vtxftxe
ii
ii
i
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Equações de onda
Em meios condutores, naqueles em que
.00 22 =∂∂
−∇=∂∂
−∇
<<2
thh
tee
rrr
r µσµσ
µσωµεω
e
difusão de equações às se-reduzem onda de equações as
Na versão 1-D (dependência com z), a solução para o campo elétrico pode ser escrita como
( ) ( )
.
cosexp0
2==
−−= +
ωµσβα
αωβ
onde
ttzee rr
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Equações de onda
como β é positivo, e-βz diminui à medida que z aumenta e representa uma atenuação. A atenuação é de 1/e a cada intervalo
,00tizzitizzi eeehheeeee ωβαωβα −−+−−+ ==
rrrr e
).depth" skin(" σωµσ
δf15032
==
além disso, como
( ),sen)cos()sen()cos( titezize tizi ωωαα ωα +=−=− e
a onda varia senoidalmente com a profundidade z e com o tempo t.
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Skin depth
-1
-0,5
0
0,5
10 2 4profundidade em "skin depth"
ampl
itude
rela
tiva
ωΤ=0ωΤ=(1/3) πωΤ=(2/3) πωΤ=πωΤ=(4/3) πωΤ=(5/3) π
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1E+0
1E+1
1E+2
1E+3
1E+4
1E+5
1E+6
0,01 0,1 1 10 100 1000 10000Freqüência (Hz)
"ski
n de
pth"
(m)
0.001 S/m
0,010 S/m
0,100 S/m
1,000 S/m
Skin depth
Condutividade
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Espectro EM
EHF (Extremely High Frequency: 30-300 GHz)SHF (Super High Frequency: 3-30 GHz)UHF (Ultra High Frequency : 0.3-3 GHz)VHF (Very High Frequency : 30-300 MHz)HF (High Frequency: 3-30 MHz)MF (Medium Frequency: 0.3-3 MHz)LF (Low Frequency: 30-300 kHz)VLF (Very Low Frequency : 3-30 kHz) ELF (Extra Low Frequency : 3-3000 Hz)ULF (Ultra Low Frequency : < 3 Hz)
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Espectro útil
A profundidade de exploração depende de alguns fatores e, entre eles, a freqüência é fundamental.Quanto menor a freqüência, maior a penetração da onda EM.Na geofísica, tem-se aplicado os intervalos:
UHF, VHF⌧Ground Penetrating Radar
VLF (15-25 KHz na prática), ELF, ULF.⌧Métodos geofísicos eletromagnéticos clássicos.
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Fontes de energia
Naturais:Para freqüências acima de 1 Hz, predominam as ondas irradiadas a partir dos relâmpagos que ocorrem durante as tempestades (concentradas na região equatorial), que se propagam a grandes distâncias.Para freqüências abaixo de 1 Hz, predominam as ondas irradiadas a partir do sistema de correntes elétricas que se desenvolvem na magnetosfera terrestre, subordinada à atividade solar.
Artificiais magnéticasPara baixas freqüências, bobinas para a geração de campos magnéticos primários, cujas áreas podem variar de alguns cm2 a milhares de m2 (retângulo com 100m x 400m), ou mais.
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Fontes de energia
Artificiais elétricasPara altas freqüências (VHF-UHF), dipolos elétricos de 1m.Para baixas freqüências (VLF)
Antena Jim CreekEstação NLKPróximo a Seattle
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Campos primário e secundário
Conceitos típicos da geofísica.Campo primário é o campo EM devido à fonte geradora.Na realidade não existem ondas planas mas, na prática, elas são consideradas quando a fonte encontra-se distante.O campo EM secundário é aquele gerado por um corpo condutor quando este está sob a ação de um campo primário.
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Campos primário e secundário
De certa forma, a luz refletida por um espelho é um campo secundário.
fonte
campoprimário campo
secundário
campoprimário
observador
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Campos primário e secundário
A imagem “fantasma” no receptor de TV é uma reflexão indesejada em obstáculos (edifícios)
antenade TV
campoprimário
camposecundário
campoprimário
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Campos primário e secundário
Corpo condutor em um ambiente resistivo
camposecundário
verticaleixo de bobina a devidoprimário, magnético, Campo
condutor corpo
elétricas correntes
superfície
superf
ície
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Referências:
McNeill, J. D. e Labson, V. F., 1991, Geological mapping using VLF radio fields. In: Nabighian, M. N., Electromagnetic methods in applied geophysics, V.2, Theory, p. 521-640. Telford, W. M., Geldart, L. P., Sheriff, R. E. e Keys, D. A., 1978, Applied geophysics. Cambridge University Press. Ward, S. H. e Hohmann, G. W., 1987, Electromagnetic theory for geophysical applications. In: Nabighian, M. N., Electromagnetic methods in applied geophysics, V.1, Theory, p. 131-311.