variáveis de estado e equações de estado desenvolvimento ......observe que, segundo o modelo, h...
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Variáveis de Estado e Equações de EstadoDesenvolvimento de Modelos Matemáticos
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Roteiro
1 Variáveis de Estado e Equações de EstadoVariáveis de EstadoEquações nas Variáveis de Estado
2 Desenvolvimento de Modelos MatemáticosEstado EstacionárioComportamento Dinâmico
3 ExemplosTanque de NívelTanque de MisturaTanque de Mistura TérmicaReator Bioquímico
4 Atividades Complementares
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Variáveis e Equações de Estado
A caracterização do comportamento de um sistema requer:1 quantidades dependentes fundamentais: descrevem o estado
do sistema2 equações nas variáveis fundamentais: descrevem como o
estado do sistema varia com o tempo e no espaço(comportamento dinâmico e no espaço)
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Variáveis de Estado
Quantidades fundamentais de interesse na Engenharia Química:
massa massa específica, pressãoenergia ⇐= concentração, vazão
momento temperatura, etcnem sempre podem ser medidas
medidas direta e convenientemente paraconvenientemente determinar as
quantidadesfundamentais
VARIÁVEISDE ESTADO
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Equações de Estado
Relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) com otempo e a posição (variáveis independentes):
princípio de conservação EQUAÇÕES−→ DE
(massa, energia, momento) ESTADO
EQUAÇÕES E modelo matemáticoVARIÁVEIS −→ doDE ESTADO processo
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Equações de Estadocontinuação
Como resultado obtém-se:comportamento dinâmico: equações diferenciais (+ algébricas)comportamento estacionário: equações algébricas (+ diferenciais:
posição)
Na representação de muitos processos químicos com equações e va-riáveis de estado (Espaço de Estados), todas as equações diferenciaisordinárias não-lineares do modelo matemático do sistema são equa-ções de primeira ordem. O número dessas equações diferenciais éigual a ordem do sistema.
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Modelos Matemáticos
O projeto de controladores requer uma representação matemática dosfenômenos físicos e químicos envolvidos.Portanto, a modelagem é uma etapa muito importante no controle deprocessos.A modelagem pode ser realizada através dos seguintes enfoques:1. experimental: perturba-se o processo já existente e observa-se o
seu comportamentodispendioso (pode requerer um grande número de experimentos)lento e cansativo, podendo ser perigososistema pode ainda não existirvalidade limitada (válido somente para as condições dosexperimentos)pouca informação física do processo (parâmetros com pouco ounenhum significado físico)modelo é fácil de construir e usar
eqs. de diferençaModelos Matemáticos (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 7 / 40
Modelos Matemáticoscontinuação
2. teórico: o comportamento é obtido a partir da aplicação dosprincípios básicos da engenharia química(termodinâmica, cinética, fenômenos de transporte, etc)
valores dos parâmetros físicos desconhecidos ou com errosprocesso muito complexo (dificuldade na aplicação dos princípiosbásicos)faixa ampla de aplicação
balanços de quantidade de movimento,energia e massa
⇓eqs. diferenciais e algébricas (DAE)
entrada| {z }através dasfronteiras do
sistema
+
geração| {z }dentro dosistema
-
saída| {z }através dasfronteiras do
sistema
-
consumo| {z }dentro dosistema
=
acúmulo| {z }dentro dosistema
3. híbrido: teoria associada ao experimentoModelos Matemáticos (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 8 / 40
Modelos Matemáticosestudo de caso
Tanque de Aquecimento com Agitação
quantidades fundamentais1 massa total de líquido no tanque2 energia total no tanque
variáveis de estado1 massa total: m = ρV = ρAh2 energia total: E = U + K + P
tanque estático: dKdt = dP
dt = 0 → dEdt = dU
dtpara líquidos: dU
dt ≈dHdt com
H – entalpia total eH = ρVCp(T − Tref) = ρVCpTonde Cp – calor específico e Tref –temperatura de referência: Tref = 0
3 variáveis de estado: h e T
Estudo de CasoF i 1
T i 1
F T,T
F s t
Q h
C o n d e n s a d o
V a p o r
F i 2
T i 2
T s t
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Modelos Matemáticosestudo de caso (continuação)
Tanque de Aquecimento com Agitação
parâmetros constantes: ρ, A, Cp
equações de estado1. balanço de massa total (BM)
dmdt
= ˙mi1 + ˙mi2− m
d(ρAh)
dt= ρFi1 + ρFi2− ρF
Adhdt
= Fi1 + Fi2− F
Estudo de CasoF i 1
T i 1
F T,T
F s t
Q h
C o n d e n s a d o
V a p o r
F i 2
T i 2
T s t
observe que, segundo o modelo, T não afeta h! (e também Ti1, Ti2 eFst não afetam h)
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Modelos Matemáticosestudo de caso (continuação)
Tanque de Aquecimento com Agitação
equações de estado2. balanço de energia total (BE)
dEdt
= ˙Ei1 + ˙Ei2 + Q − E
d(ρAhCpT )
dt= ρCpFi1Ti1+ρCpFi2Ti2+Q−CpρFT
Ad(hT )
dt= Fi1Ti1 + Fi2Ti2 +
QρCp
− FT
Estudo de CasoF i 1
T i 1
F T,T
F s t
Q h
C o n d e n s a d o
V a p o r
F i 2
T i 2
T s t
aplicando a regra da multiplicação: d(hT )dt = T dh
dt + h dTdt
AhdTdt
= Fi1Ti1 + Fi2Ti2 +Q
ρCp− FT −Fi1T − Fi2T + FT︸ ︷︷ ︸
BM:−TAdh/dt
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Modelos Matemáticosestudo de caso (continuação)
Tanque de Aquecimento com Agitação
AhdTdt
= Fi1(Ti1− T ) + Fi2(Ti2− T ) +Q
ρCp
observe que, segundo o modelo, h afeta T ! (e também Fi1, Fi2afetam T )
equações adicionais (constitutivas)equações que expressam o equilíbrio termodinâmico, taxas dereação, transportes de calor, massa e quantidade de movimento,etc:
transporte de energia: Q = UAt(Tst − T ), com UAt = aFstb
transporte de quantidade de movimento: F = k√
h
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Modelos Matemáticosestudo de caso (continuação)
Tanque de Aquecimento com Agitação
equações de estadoApós a inclusão das equações constitutivas tem-se:
dhdt
= −k√
hA
+Fi1A
+Fi2A→ BM
dTdt
= −1A
Fi1 + Fi2 + aFstb
ρCp
h
T +1A
Fi1Ti1h
+1A
Fi2Ti2h
+1A
aFstb
ρCp
Tsth→ BE
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Estado Estacionário ("Steady-State")
Solução das equações (algébricas) obtidas do modelo dinâmicofazendo-se x = 0:
0 = f(xs, us)
ondef é linear: solução única e trivialf é não-linear:
solução pode não ser única (múltiplos estados estacionários →CSTR)pode exigir métodos numéricos adequados
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Estado Estacionário ("Steady-State")graus de liberdade
Análise do Número de Graus de Liberdade
O número de graus de liberdade disponível para a solução de umconjunto de equações é igual a
f = V(ariáveis) − E(quações)
Pode-se ter:f < 0: em geral não há solução para o modelof = 0: o modelo pode ser resolvido para as n variáveisdependentes xi . Normalmente, as m entradas são especificadas.f > 0: infinitas soluções são possíveis
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Estado Estacionário ("Steady-State")estudo de caso
Tanque de Aquecimento com Agitação
equações estacionárias
hs =1k2 (Fi1s + Fi2s)
2
Ts =1
Fi1s + Fi2s + aFstbs
ρCp
(Fi1sTi1s + Fi2sTi2s +
aFstbs
ρCpTsts
)
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Estado Estacionário ("Steady-State")estudo de caso (continuação)
Tanque de Aquecimento com Agitação
número de graus de liberdade
V: Fi1s, Ti1s, Fi2s, Ti2s, Fsts, Tsts, hs, Ts = 8E: f1(xs, us) = 0, f2(xs, us) = 0 = 2
(−)
f = 6
especificando Fi1s, Ti1s, Fi2s, Ti2s, Fsts, Tsts → f = 0,calcula-se hs, Ts
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Estado Estacionário ("Steady-State")estudo de caso (continuação)
Tanque de Aquecimento com Agitação
parâmetros:k = 2 · 10−1 m5/2/mina = 3, 556 · 103 kcal/min2/3.m.oCb = 1/3ρ = 1 · 103 kg/m3
Cp = 1 kcal/kg.oCA = 1 m2
especificações:Fi1s = 1 · 10−1 m3/minTi1s = 18 oCFi2s = 1 · 10−1 m3/minTi2s = 20 oCFsts = 3 · 10−2 m3/minTsts = 120 oC
Como resultado do sistema de equações:hs = 1m e Ts = 104, 5oC
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Estado Estacionário ("Steady-State")estudo de caso (continuação)
Tanque de Aquecimento com Agitação
comportamento estacionário
∆Fi1s = 10% Fi1s
{∆hs = 0, 1025m∆Ts = −0, 6580oC
∆Fsts = 50% Fsts
{∆hs = 0m∆Ts = 1, 6898oC
∆Fi1s = −10% Fi1s
{∆hs = −0, 0975m∆Ts = 0, 6681oC
∆Fsts = −50% Fsts
{∆hs = 0m∆Ts = −3, 2763oC
Sobre não-linearidades:são observadas em ambas as variáveis h e T , para ambas asperturbações em Fi1 e Fstquanto maior a amplitude da perturbação, mais a não-linearidadese destaca
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Estado Dinâmico
Resolução do modelo dinâmico conhecendo-se parâmetros econdições iniciais.
Tanque de Aquecimento com Agitação
modelo dinâmico
dhdt
= −k√
hA
+Fi1A
+Fi2A
dTdt
= −1A
Fi1 + Fi2 + aFstb
ρCp
h
T +1A
Fi1Ti1h
+1A
Fi2Ti2h
+1A
aFstb
ρCp
Tsth
condições iniciais: h(t = 0) = hs, T (t = 0) = Ts
parâmetros: ρ, A, Cp, k , a, b
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Estado Dinâmicoestudo de caso
Tanque de Aquecimento com Agitação
0 10 20 30 40 50 600.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
Degrau em Fi1 (± 10%)
t (min)
h (
m)
degrau +degrau −
0 10 20 30 40 50 60103.5
104
104.5
105
105.5
t (min)
T (
oC
)
degrau +degrau −
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Estado Dinâmicoestudo de caso (continuação)
Tanque de Aquecimento com Agitação
0 10 20 30 40 50 600.9
0.95
1
1.05
1.1
Degrau em Fst (± 50%)
t (min)
h (
m)
degrau +degrau −
0 10 20 30 40 50 60101
102
103
104
105
106
107
t (min)
T (
oC
)
degrau +degrau −
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Estado Dinâmicoestudo de caso (continuação)
Sobre não-linearidades:as não-linearidades ficam também evidentes a partir da análisedinâmica do sistema, principalmente com uma maior amplitudeda perturbação
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Modelos Matemáticos
Exemplo: Tanque de NívelObtenha o modelo de um tanque de nível de seção reta uniforme deárea A, ao qual é adaptado uma resistência ao fluxo, tal como umaválvula. Suponha que a vazão volumétrica F , através da resistência,se relaciona com a altura de líquido h pela relação F = k
√h. Uma
vazão volumétrica Fo de líquido e massa específica constante ρalimenta o tanque.
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Modelos Matemáticos
Exemplo (continuação)
F o
h( A ) hkF =
Figura: Tanque de nível
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Modelos Matemáticos
Solução
Balanço de Massa Global
dmdt
= mo − m
d(ρAh)
dt= ρFo − ρF
ρAdhdt
= ρFo − ρF
dhdt
=Fo
A− F
A
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Modelos Matemáticoscontinuação
Equações Auxiliares: fenômenos de transporte
F = k√
h
Modelo Não-Linear: equação de estado (espaço de estado)
dhdt
=Fo
A− k
√h
A, h(0) = hs
onde k√
h é um termo não-linear.
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Modelos Matemáticos
Exemplo: Tanque de MisturaObtenha o modelo de um tanque de mistura de volume constante V ,do qual uma corrente contendo sal dissolvido escoa com uma vazãovolumétrica constante F . Uma corrente de líquido com concentraçãode sal Co alimenta o tanque.
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Modelos Matemáticos
Exemplo (continuação)
F
C( V )
C o
FC
Figura: Tanque de mistura
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Modelos Matemáticos
SoluçãoBalanço de Massa por Componente: sal
dmdt
= mo − m
d(VC)
dt= FCo − FC
VdCdt
= F (Co − C)
dCdt
=FV
(Co − C)
Modelo Linear: equação de estado (espaço de estado)
dCdt
=FV
(Co − C), C(0) = Cs
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Modelos Matemáticos
Exemplo: Tanque de Mistura TérmicaObtenha o modelo de um tanque de mistura térmica de volumeconstante V , do qual uma corrente escoa com uma vazão volumétricaconstante F . Uma corrente de líquido com temperatura To alimenta otanque.
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Modelos Matemáticos
Exemplo (continuação)
F
T( V )
T o
FT
Figura: Tanque de mistura térmica
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Modelos Matemáticos
Solução
Balanço de Energia Totalconsiderando
energia total: E = U + K + Ptanque estático: dK
dt = dPdt = 0 → dE
dt = dUdt
para líquidos: dUdt ≈
dHdt com H – entalpia total e
H = ρVCp(T − Tref) = ρVCpTonde Cp – calor específico e Tref – temperatura de referência:Tref = 0
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Modelos Matemáticoscontinuação
Balanço de Energia Total
dEdt
= Eo − E
d(ρVCpT )
dt= ρCpFTo − ρCpFT
ρVCpdTdt
= ρCpF (To − T )
dTdt
=FV
(To − T )
Modelo Linear: equação de estado (espaço de estado)
dTdt
=FV
(To − T ), T (0) = Ts
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Modelos Matemáticos
Exemplo: Reator BioquímicoObtenha o modelo de um reator bioquímico tanque-contínuo com mis-tura perfeitamente agitada, isotérmico e com volume constante. Umacorrente com substrato puro alimenta o reator.
FS f
V F SX
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Modelos Matemáticos
Solução
Balanço de Massa por Componente: biomassa
dmX
dt= mXf − mX + RX
dVXdt
= FXf − FX + VrX
dXdt
=FV
Xf −FV
X + rX
Definindo D = F/V , taxa de diluição, e considerando nenhuma bio-massa na alimentação, Xf = 0, tem-se
dXdt
= −DX + rx
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Modelos Matemáticoscontinuação
Balanço de Massa por Componente: substrato
dmS
dt= mSf − mS − RS
dVSdt
= FSf − FS − VrS
dSdt
=FV
Sf −FV
S − rS
dSdt
= (Sf − S)D − rS
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Modelos Matemáticoscontinuação
Equações Auxiliares: cinética bioquímica
rX = µX , com µ = µmáxSkm+S+k1S2 – inibição por substrato
Y =rX
rS, com Y = biomassa produzida
substrato consumido → rS = rXY
Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)
dXdt
= (µ− D)X , X (0) = Xs
dSdt
= (Sf − S)D − µXY
, S(0) = Ss
com µ =µmáxS
km + S + k1S2
apresentando vários termos não-lineares: µX , S2.
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Leitura I
Leitura Complementar
Próxima aula:
apostila do Prof. Wua, capítulos 8 e 9 (volume I).
livro do Stephanopoulosb, capítulos 8 e 9.
livro do Marlinc , capítulo 4.
livro do Seborg et al.c , capítulo 3.
aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.
bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA,1984.
cMarlin, T. E., Process Control. Designing Processes and Control Systems for Dynamic Performance. 2nd Edition, McGraw-Hill,New York, USA, 2000.
d Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Doyle III, F. J., Process Dynamics and Control. 3rd Edition, John Wiley, New York,USA, 2011.
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Vídeos I
e-Lessons Prof. MarlinModelling and Analysis for Process Control - Part I. Laplace Transform Solutionof Differential EquationsModelling and Analysis for Process Control - Part II. Transfer Functions and BlockDiagrams
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