Ploča rotira oko normale na svoju ravninu po zakonu φ(t) = 0,5πt2. U ploču je urezan

žljeb po kojem se giba kuglica po zakonu s(t) = πt2. Gibanje počinje iz prikazanog

položaja. Treba odrediti veličinu i smjer brzine i ubrzanja kuglice za trenutak t = 1 s od

početka gibanja. Prikazati položaj točke i sve vektore crtežom. R = 2 m.

ODREðIVANJE POLOŽAJA ZA t1=1 s:

PRIJENOSNO GIBANJE

- rotacija ploče oko točke A

1

21

1( )2 2

za t s

PR PR

tt rad

π πϕ ϕ=

= → =

RELATIVNO GIBANJE

Relativno gibanje kuglice zadano je prirodnim načinom, odnosno po trajektoriji (kružnica), uz

skalarnu funkciju gibanja s(t).

1 12 2

1( ) 1 mza t s

REL RELs t t sπ π π== → = ⋅ =

Da bi se odredio položaj kuglice za prijeñeni put s(t1)=s1, izračunat će se opseg kružnice po

kojoj se kuglica relativno giba:

1

2 2 2 4 m

m4

REL

o R

os kuglica je prešla četvrtinu opsega

π π π

π

= = ⋅ ⋅ =

= = −

Na slici je prikazan položaj za t = 1 s. Ploča

se zarotirala za kut φPR = π/2 rad oko točke

A, dok se kuglica u žljebu prešla je put od

π m po obodu kružnice.

Nakon što se odredi položaj ploče i kuglice,

mogu se odrediti vektori brzina i ubrzanja

za prikazani položaj.

PRIJENOSNO GIBANJE

Ako zaustavimo gibanje kuglice u žljebu (relativno gibanje), kuglica će vršiti samo prijenosno

gibanje. U zadatku, prijenosno gibanje je rotacija ploče oko točke A po zakonu φ(t) = 0,5πt2.

Budući da se radi o rotaciji vektori će se odrediti u polarnom koordinatnom sustavu.

1

1

1

21

1

1

1

1 2

1

( )2 2

( ) /

( ) /

za t s

PR PR

za t sPRPR PR

za t sPRPR PR

tt rad

dt t rad s

dt

dt rad s

dt

π πϕ ϕ

ϕω π ω π

ωε π ε π

=

=

=

= → =

= = → =

= = → =

Za odreñivanje vektora brzina potrebno je znati da je brzina okomita na radijvektor položaja

točke. Za prijenosno gibanje rotacija se vrši oko točke A, tako da radijus rotacije za dani trenutak

iznosi 10R , vektor brzine okomit je na radijus.

1 1

1 1 1

1

1

10 2 10 18.87 /

3 1cos sin

10 10

cos sin

3 12 10 2 10

10 10

6 2

PR PR

PR PR PR

PR

PR

v R m s

v v i v j

v i j

v i j

ω π

α α

α α

π π

π π

= = =

= =

= − +

= − +

= − +

� ��

� ��

� ��

Kod rotacije (i općenito kod krivolinijskog gibanja) ubrzanje je prikazano s tangencijalnom i

normalnom komponentom. Tangencijalno ubrzanje T

PRa leži na pravcu okomito na radijvektor

položaja kao i vektor brzine PRv , a komponenta normalnog ubrzanja N

PRa usmjerena je prema

središtu rotacije.

2

1 1

1 1 1

1

10 2 10 19.87 /

3 1cos sin 2 10 2 10

10 10

6 2

T

PR PR

T T T

PR PR PR

T

PR

a R m s

a a i a j i j

a i j

ε π

α α π π

π π

= = =

= − + = − +

= − +

� � � ��

� �

�

( ) ( )

2 2 2

1 1

2 2

1 1 1

2 2

1

2 2

1 1 1

2 2

1

10 2 10 62.42 /

1 3sin cos 2 10 2 10

10 10

2 6

6 2 2 6

2 6 6 2

N

PR PR

N N N

PR PR PR

N

PR

T N

PR PR PR

PR

a R m s

a a i a j i j

a i j

a a a i j i j

a i j

ω π

α α π π

π π

π π π π

π π π π

= = =

= + = +

= +

= + = − + + +

= − + +

� � � ��

� ��

� � � �� � �

� ��

RELATIVNO GIBANJE

Gibanje kuglice u pomičnom koordinatnom sustavu je relativno. U ovome zadatku, gibanje

pomičnog sustava je rotacija ploče ABCD, a gibanje unutar tog pomičnog sustava je rotacija

kuglice po kružnici polumjera R (gibanje kuglice u žljebu) i ono predstavlja relativno gibanje

kuglice.

Relativno gibanje zadano funkcijom s(t) =πt2

– prirodni način zadavanja

Za relativno gibanje trajektorija je kružnica radijusa R (žlijeb) i za položaj u trenutku

t1=1s vektor brzine leži na pravcu tangente na kružnicu polumjera R u promatranom

položaju, a usmjeren je prema pravilu desne ruke (vektorski produkt), što je u ovom

slučaju smjer negativne osi x.

1 1

1

1

( ) 2 2 /

2 /

za t sRELREL REL

REL

dsv t t v m s

dt

v i m s

π π

π

== = → =

= −�

�

Na slici su prikazani vektori ubrzanja. Tangencijalna komponenta ubrzanja za ralativno

gibanje T

RELa leži na tangenti na tajektoriju (na istom pravcu kao i RELv ), dok je normalna

komponenta N

RELa usmjerena prema središtu rotacije, a to je za relativno gibanje točka S.

2 22

2

1 1

2

1 1 1

42 2

2

2 2

2 2

T NRELREL REL

T N

REL REL

T N

REL REL REL

dv va a

dt R

a i a j

a a a i j

ππ π

π π

π π

= = = = =

= − =

= + = − +

� �� �

� �� � �

APSOLUTNO GIBANJE

Za materijalnu točku koja vrši složeno gibanje, apsolutno gibanje točke odreñuje se vektorskim

zbrojem prijenosnog i relativnog gibanja.

Ukupna vrijednost brzine kuglice za trenutak u t1=1 s jednaka je vektorskom zbroju brzina

prijenosnog i relativnog gibanja:

( )

2 2

2 6 2

8 2

64 4 2 17 25.9 /

APS REL PR

APS

APS

APS APS

v v v

v i i j

v i j

v v m s

π π π

π π

π π π

= +

= − + − +

= − +

= = + = =

� � �

� � �

�

� ��

�

Kada je prijenosno gibanje rotacija, tada imamo i coriolisovo ubrzanje koje se odreñuje iz

vektorskog produkta:

22 2 0 0 4

2 0 0

COR PR REL

i j k

a v jω π π

π

= × = = −

−

�� �

��� �

Ukupna vrijednost ubrzanja odredi se zbrajanjem vektora:

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

1

1

2 2 2

1 1

2 2 2 6 6 2 4

2 8 4 2

5.39 45.76

( 5.39) 45.76 46.07 /

APS REL PR COR

APS

APS

APS APS

a a a a i j i j j

a i j

a i j

a a m s

π π π π π π π

π π π π

= + + = − + + − + + −

= − + +

= − +

= = − + =

� � � � �� � � �

� ��

� ��

�

PRIJELAZ S PRIRODNOG NA POLARNI NAČIN ZADAVANJA RELATIVNOG

GIBANJA

Zadatak se može riješiti tako da se i relativno gibanje analizira u polarnom koordinatnom

sustavu što je pogodno jer je trajektorija kružnica. Ishodište polarnog sustava za relativno

gibanje postavlja se u središte kružnice S.

2

2( )( )

2 2

RELREL

s t tt t

R

π πϕ = = =

1

1

1

12

1

1

1

1 2

1

( )2 2

( ) /

( ) /

za t s

REL REL

za t sRELREL REL

za t sRELREL REL

t t rad

dt t rad s

dt

dt rad s

dt

π πϕ ϕ

ϕω π ω π

ωε π ε π

=

=

=

= → =

= = → =

= = → =

Na slici je prikazano odreñivanje položaja

kuglice za φREL=π/2.

Dalje se vektori brzine i ubrzanja odreñuju po pravilima za polarni koordinatni sustav.

1 1

1

2

2

REL REL

REL

v R

v i

ω π

π

= =

= −�

�

1 1

1

2 2

1 1

2

1

2

1 1 1

2

2

2

2

2 2

T

REL REL

T

REL

N

REL REL

N

REL

T N

REL REL REL

a R

a i

a R

a j

a a a i j

ε π

π

ω π

π

π π

= =

= −

= =

=

= + = +

��

��

� �� � �