Operációkutatás2. előadás

Előadó:

Dr. Csipkés Margit, tanársegéd

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATTÍPUSOK

1. Normál feladat

2. Módosított normál feladat

3. Általános eset típusú feladat

4. Minimum feladat

NORMÁL FELADAT

max2211

2211

22222121

11212111

⇒+++≤+++

≤+++≤+++

nn

mnmnmm

nn

nn

xpxpxp

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

K

K

MMMMM

K

K

� x1,x2,xn elemi tevékenységek� b1,b2,…,bm rendelkezésre álló kapacitások

1, 2, m-edik erőforrásból� aij j-edik tevékenység fajlagos

szükséglete az i-edik erőforrásból� pj a j-edik tevékenység kapcsolódó

fajlagos hatékonysági mutató, célfüggvényegyüttható

aholbbb

xxx

m

n

,0,,,

0,,,

21

21

≥≥

K

K

NORMÁL FELADAT ÖSSZEVONT FORMÁI

1.

max

,,2,10

,,2,10

⇒

≤=≥

=≥

∑

∑

jj

ijij

i

j

xp

bxa

mib

njx

K

K

max*

0

0

⇒

≤≥≥

xp

bxA

b

x2.

A – fajlagos erőforrás-szükséglet mátrix

(technológiai mátrix)

x – termelési szerkezet

p* – célfüggvény együtthatók vektora

NORMÁL FELADAT JELLEMZŐI

� A mérlegfeltételek felső korlát

formájában vannak megadva

� A célfüggvény maximumát keressük

A lineáris programozás feltételezi, hogy a pj

és az aij koefficiensek konstans értékek és

nem függenek az xj értékének változásától

� Egységnyi termék termelése mindig

ugyanannyi jövedelem realizálását teszi

lehetővé

� Egységnyi termék előállítása mindig

ugyanannyi erőforrást igényel

MÓDOSÍTOTT NORMÁL FELADAT

∑

∑

∑

⇒

≤

=≥

≥

max

0

0

jj

ijij

ijij

i

j

xp

bxa

bxa

b

x

max*

0

0

22

11

⇒

≤=

≥≥

xp

bxA

bxA

b

x

MÓDOSÍTOTT NORMÁL FELADAT JELLEMZŐI

� A mérlegfeltételek felső korlát és

egyenlőség formájában vannak megadva

� A célfüggvények maximumát keressük

ÁLTALÁNOS ESET TÍPUSÚ FELADAT

Általános eset típusú feladatjellemzői:

� A mérlegfeltételek alsó,felső korlát és egyenlőségformájában vannak megadva

� A célfüggvény maximumátkeressük

max*

0

0

33

22

11

⇒

≥=≤

≥≥

xp

bxA

bxA

bxA

b

x

MINIMUM FELADAT

Minimum feladat jellemzői:

� A mérlegfeltételek alsó,

felső korlát és egyenlőség

formájában vannak megadva

� A célfüggvény minimumát

keressük

min*

0

0

33

22

11

⇒

≥=≤

≥≥

xp

bxA

bxA

bxA

b

x

A RACIONÁLIS GAZDÁLKODÁS ELVE

1. A kitűzött gazdasági célt a lehető

legkisebb ráfordítással kívánjuk elérni.

2. A rendelkezésre álló erőforrásokkal a

lehető legnagyobb jövedelmet kívánjuk

elérni.

A két megfogalmazás azonos értékű.

� A lineáris programozás pontosan kifejezi

a racionális gazdálkodás elvét.

� Legnagyobb jövedelem elve – maximum

feladat

� Legkisebb ráfordítás elve – minimum

feladat

SZIMPLEX MÓDSZER

1. Megnézzük a táblázat utolsó sorát

(célfüggvénysor) és megjelöljük azt az

oszlopot, ahol az utolsó sorban

legnagyobb pozitív értéket találjuk. Ez

az úgynevezett generáló oszlop.

2. A b vektor vagy kapacitás vektor

értékeit osztjuk a generáló oszlop

megfelelő adataival. Ahol a legkisebb

hányadost kaptuk az az osztó lesz a

generáló elem, amelyet bekeretezéssel

megjelölünk.

SZIMPLEX MÓDSZER(folytatás)

3. Új táblázatot szerkesztünk, amelyben a

generáló elem oszlopának és sorának

szimbóluma helyet cserél.

4. Az új táblázatban a generáló elem

helyére beírjuk annak reciprokát.

SZIMPLEX MÓDSZER(folytatás)

5. Az új táblázatban a generáló sorban

lévő elemeket úgy számítjuk ki, hogy az

előző táblázat generáló sorának adatait

szorozzuk a generáló elem reciprokával

(osztjuk a generáló elemmel).

SZIMPLEX MÓDSZER(folytatás)

SZIMPLEX MÓDSZER(folytatás)

6. Az új táblázatban a generáló elemnek

megfelelő oszlop további adatait úgy

számítjuk ki, hogy az előző táblázat

megfelelő adatait szorozzuk a generáló

elem reciprokértékének mínusz

egyszeresével.

SZIMPLEX MÓDSZER(folytatás)

7. A táblázat többi adatát úgy kapjuk meg,hogy az előző táblázat megfelelő adataibóllevonjuk az új táblázat generáló soránakmegfelelő oszlopában lévő adat, és a régitáblázat generáló oszlopának megfelelősorában levő adat szorzatát. Ahol az előzőtáblázat generáló elemének oszlopában 0van, annak a sornak az értékeiváltozatlanok! Ahol az új táblázat generálósorában 0-t találunk azok az oszlopokváltozatlanok maradnak!

NORMÁL FELADAT MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

NORMÁL FELADAT

x1 x2 x3 > 0

8x1 + 3x2 < 500

2x1 + 4x2 + 6x3 < 500

8x2 + 8x3 < 600

50x1 + 65x2 + 70x3 → max

X1 X2 X3 b

U1 8 3 0 500

U2 2 4 6 500

U3 0 8 8 600

-Z 50 65 70 0

~

X1 X2 U3 b

U1 8 3 0 500

U2 2 -2 -0,75 50

X3 0 1 0,125 75

-Z 50 -5 -8,75 -5250

~

U2 X2 U3 b

U1 -4 11 3 300

X1 0,5 -1 -0,375 25

X3 0 1 0,125 75

-Z -25 45 10,0 -6500

~

U2 U1 U3 b

X2 -0,36 0,09 0,27 27

X1 0,14 0,09 -0,105 52

X3 0,36 -0,09 -0,145 48

-Z -8,8 -4,05 -2,15 -7715

8 * 52 + 3 * 27 < 500 (497)2 * 52 + 4 * 27 + 6 * 48 < 500 (500)

8 * 27 + 8 * 48 < 600 (600)50 * 52 + 65 * 27 + 70 * 48 = 7715

MÓDOSÍTOTT NORMÁL FELADAT

x1 x2 x3 x4 > 0

3x1 + x2 + 4x3 + 2x4 < 55

x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 < 89

2x1 + 5x2 + + 2x4 < 60

x2 = 10

10x1 + 15x2 + 18x3 + 13x4 → max

X1 X2 X3 X4 b

U1 3 1 4 2 55

U2 1 4 5 3 89

U3 2 5 0 2 60

U4* 0 1 0 0 10

-Z 10 15 18 13 0

*Z 0 1 0 0 10

X1 X2 X3 X4 b

U1 3 1 4 2 55

U2 1 4 5 3 89

U3 2 5 0 2 60

U4* 0 1 0 0 10

-Z 10 15 18 13 0

*Z 0 1 0 0 10

X1 X3 X4 b

U1 3 4 2 45

U2 1 5 3 49

U3 2 0 2 10

X2 0 0 0 10

-Z 10 18 13 -150

*Z 0 0 0 0

X1 U2 X4 b

U1 2,2 -0,8 -0,4 5,8

X3 0,2 0,2 0,6 9,8

U3 2 0 2 10,0

X2 0 0 0 10,0

-Z 6,4 -3,6 2,2 -326,4

U1 U2 X4 b

X1 0,45 -0,36 -0,18 2,64

X3 -0,09 0,27 0,64 9,27

U3 -0,90 0,72 2,36 4,72

X2 0,00 0,00 0,00 10,00

-Z -2,88 -1,30 3,35 -343,30

U1 U2 U3 b

X1 0,38 -0,30 0,08 3,00

X3 0,15 0,07 -0,27 8,00

X4 -0,38 0,31 0,42 2,00

X2 0,00 0,00 0,00 10,00

-Z -1,61 -2,34 -1,41 -350,00

X1=3 X2=10 X3=8 X4=2

3 * 3 + 10 + 4 * 8 + 2 * 2 < 55

3 + 4 * 10 + 5 * 8 + 3 * 2 < 89

2 * 3 + 5 * 10 + 2 * 2 < 60

10 * 3 + 15 * 10 + 18 * 8 + 13 * 2 = 350